Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne resultater vl generelt afvge en smule, men du kan checke dt program ved at generere et datasæt med eksamensnummer 7. Tekst kursv er kommentarer tl besvarelsen. Sdetal referencer henvser tl SAS sdenumre. Opgave : a) Datasættet består af en række oplysnnger for et repræsentatvt udsnt af 50 danske vrksomheder. Der er tale om regnskabsoplysnnger for 996 og surveyoplysnnger vedrørende konkurrencestuaton og produktudvklng. Vrksomhederne datasættet spænder fra relatvt små vrksomheder med en nettoomsætnng på knap 5 mlloner kroner for den mndste vrksomhed tl mere end ½ mllard kroner for den største vrksomhed, jf. tabel. Den gennemsntlge vrksomhed har en omsætnng på mlloner kr. Også for de øvrge varabler ses et relatvt stort spænd mellem små og store vrksomheder. Konkurrencendekset varerer mellem - og + med et gennemsnt på, svarende tl, at der er en overvægt af vrksomheder, der vurderer deres konkurrencestuaton som relatvt skarp. Over halvdelen af vrksomhederne har et eller flere nyudvklede hovedprodukter, det gennemsnttet for nypr er 0,6. Tabel Deskrptv statstk for de 50 vrksomheder Mnmum Maxmum Gns. Std. Afv. Medan ætnng (oms),mo. kr.,7 59,6, 8,7 57,7 Antal ansatte 8 75 9,8 59 Dæknngsbdrag (dekbr), mo. kr. 0,6,,6 57,8 9,7 Anlægsaktver (anlakt), mo. kr. 0,05 7,0, 07,7 0, Egenkaptal (egenkp), mo. kr. -,9 70,0,,6 9,7 Konkurrencendeks (konk) -, 0,8 Produktudvklng (nypr) 0 0,6 0,5 Prmært resultat (prmres), mo. kr. -,9 76,5 6,,,9 Output fra proc means, blaget s.. b) Overskudsgraden defneret som vrksomhedens prmære resultat dvderet med omsætnngen (prmres/oms) varerer fra 0,0 tl 0, med et gennemsnt omkrng 0,05. Fgur vser kke nogen systematsk sammenhæng mellem overskudsgraden og størrelsen af vrksomheden målt ved den samlede (netto-)omsætnng.
Fgur. Overskudsgrad mod nettoomsætnng Output fra proc gplot. c) Model (.) er en lneær regressonsmodel, der beskrver sammenhængen mellem vrksomhedernes prmære resultat (prmres) og deres omsætnng (oms), konkurrencestuaton målt ved konkurrencendekset (konk), samt en dummyvarabel for, om et eller flere af vrksomhedens hovedprodukter er nyudvklet (nypr). Desuden ndføres en nteraktonsvarabel nypr*oms som produktet af dummyvarablen for produktudvklng (nypr) og omsætnngen. Parameteren β kan fortolkes som den forventede ændrng det prmære resultat (prmres) mo. kr. ved en ændrng af nettoomsætnngen (oms) med mo. kr., alt andet lge, for en vrksomhed der kke produktudvkler. β er parameteren for nteraktonsvarablen nypr*oms og kan fortolkes som en korrekton tl β for vrksomheder, der produktudvkler. Sammenhængen er altså følgende ( x er vektoren af forklarende varabler for vrksomhed ): ( E( prmres x)) ( E( prmres x)) = β hvs nypr = 0, = β+ β hvs nypr =. Vrksomheder, der produktudvkler, tllades at have en anderledes sammenhæng (en større eller mndre hældnng) mellem omsætnng og prmært resultat end vrksomheder, der kke produktudvkler. β er den forventede ændrng det prmære resultat mo. kr. ved en ændrng af ndekset for vrksomhedernes konkurrencestuaton med enhed, alt andet lge. Det er vanskelgt at forudsge fortegnet for β. På den ene sde kan stgende konkurrence føre tl faldende ndtjenng for vrksomhederne og dermed et lavere resultat (negatvt fortegn på β ). På den anden sde kan
stgende konkurrence føre tl højere omkostnngsbevdsthed vrksomhederne, dvs. lavere omkostnnger og dermed højere ndtjenng og et bedre resultat (postvt fortegn på β ). Det vl også være OK at hæfte sg ved den første effekt og forvente en negatv effekt. Men det er vgtgt, at det valg man træffer afspejler sg senere opgaven. Konkret betyder en forventnng om en negatv effekt, at man bør vælge en en-sdet negatv alternatvhypotese opgave.e.. Opgave : a) En estmaton af modellen (.) ved OLS fører tl parameterestmaterne vst tabel. Tabel. Regressonsresultater, OLS. Afhængg varabel: Prmres. Parameter Konstantled ˆβ -0,5705 Konk Nypr Nypr*oms 0 ˆβ 0,0567 ˆβ 0,07 ˆβ -0,8 ˆβ 0,0 Output fra proc reg. Se blaget, s.. Det er oplyst, at MLR.-MLR. er opfyldt. Derfor ved v, at regressonskoeffcenterne er både mddelrette og konsstente. Det er mdlertd kke oplyst, om MLR.5 er opfyldt, dvs. om fejlledene er homoskedastske. Derfor vl parameterestmaterne kke nødvendgvs være effcente og OLS gver kke nødvendgvs parameterestmater med mndst mulg varans. Da MLR.5 kke nødvendgvs holder, er estmaterne af OLS standardfejlene kke nødvendgvs mddelrette eller konsstente. Man bør derfor afholde sg fra at udføre test på parametrene på dette sted opgaven. b) Grafsk analyse af resdualerne: Hvs der er homoskedastctet (MLR.5 er opfyldt), skal resdualerne fordele sg tlfældgt omkrng 0 med konstant varans. ætnngen er den mest oplagte skalavarabel datasættet og et plot af resdualerne mod omsætnngen vser klare tegn på heteroskedastctet. Sprednngen på resdualerne vokser for stgende værder af nettoomsætnng. Plottet kunne tyde på, at sprednngen vokser proportonalt med nettomsætnngen. Whtes test udføres ved at regressere de kvadrerede resdualer mod de forklarende varabler samt deres kvadrater og krydsprodukter. Hjælperegressonen for de kvadrerede resdualer blver da: u = δ + δ + δ Konk + δ Nypr + δ ( Nypr ) + δ + δ Konk + 0 5 6 δ ( Nypr ) + δ ( * Konk ) + δ ( Nypr * Konk ) + δ ( * Nypr * Konk ) + υ 7 8 9 0
Fgur. Resdualer og nettoomsætnng (Output fra proc gplot) Whte-testet tester nulhypotesen om, at parametrene tl de forklarende varable hjælperegressonen alle er lg 0 mod alternatvhypotesen om, at mndst en af parametrene er forskellg fra 0: H H 0 0 : δ = δ =... = δ = 0 (homoskedastctet) overfor : Mndst en er forskellg fra nul (heteroskedastctet). Testet kan udføres vha. et F-test eller et LM-test. Modellen bruger 0 frhedsgrader svarende tl de oprndelge forklarende varabler samt de 6 nye forklarende varabler bestående af kvadrater og krydsprodukter. F-testet med (0,9) frhedsgrader (blaget, s. ) vser, at F=0,06 og p<0,000. V afvser derfor nulhypotesen og afvser, at der er homoskedastske fejlled. Det vl også være OK at udføre den smplere udgave af Whtes test, hvor regressonen sker mod de tlpassede værder og deres kvadrat. Men der er relatvt mange frhedsgrader her. Der ndføres kke en varabel svarende tl kvadratet på dummyvarablen nypr, da denne blot er dentsk med nypr (problem med multkollneartet). Lgeledes er der nogle af krydsprodukterne, der er overflødge, da der allerede er en varabel modellen, der opfanger nterakton mellem oms og nypr. Derfor ndføres der altså alt alt 6 ekstra forklarende varabler og kke 0 (svarende tl kvadrerede varabler og 6 krydsprodukter), som man maksmalt kunne forestlle sg. Alternatvt kunne man beregne LM-testet, som gver LM=R *N=0,96*50=7,. Den krtske værd for Ch (0)=, for et sgnfkansnveau på 0,0. LMtestet fører derfor på samme måde tl en afvsnng af nulhypotesen. c) I fgur fandt v tegn på, at omsætnngen kunne være den varansstyrende varabel og at der er lgefrem proportonaltet mellem sprednngen på resdualerne og omsætnngen. Dette stemmer udmærket overens med antagelsen om, at fejlledsvaransen opfylder sammenhængen (.), det sprednngen på fejlleddet da vl være gvet ved std. afv.( u x ) = σ. Estmeres sammenhængen mellem de kvadrerede resdualer og omsætnngen drekte som en udgave af Breusch-Pagan testet fås en postv sammenhæng. d) Antages at fejlledsvaransen opfylder (.), kan v udføre en vægtet mndste kvadraters estmaton (WLS) af model (.). V udfører nu en regresson, hvor både den afhængge
og de forklarende varable samt konstantleddet er dvderet gennem med. Dvs. at den afhængge varabel nu er prmært resultat over omsætnng (overskudsgraden). ( Prmres / ) = β / + β + β ( Konk / ) + β ( Nypr / ) + β Nypr + ( u / ) (.) 0 Det svarer tl at udføre en estmaton proc reg med en weght-varabel /. Resultatet af denne estmaton er vst tabel under WLS. Tabel. Regressonsresultater, OLS og WLS. Afhængg varabel: Prmres Varabel (.) OLS WLS Konstantled ˆβ -0,5705 0,658 0 (,6) (0,68) ˆβ 0,0567 0,050 (0,00907) (0,0078) Konk ˆβ 0,07-0,65 (0,75) (0,07) Nypr ˆβ -0,8-0,95 (,55500) (0,55) Nypr*oms ˆβ 0,0 0,0056 (0,005) (0,0097) Note: Standardfejl parenteser. Output fra proc reg. Se blaget, s. og. Parameterestmatet for ˆβ kke afvger væsentlgt mellem de to estmatonsmetoder, og der er heller kke stor forskel på standardfejlene på de to parameterestmater. Dermod er der store afvgelser for de øvrge parameterestmater. Estmaton vha. WLS gver lgesom for OLS mddelrette og konsstente estmater, hvs MLR.- er opfyldt for model (.). Transformatonen ovenfor ændrer kke på dette. Men transformatonen betyder, at MLR.5 antagelsen om homoskedastctet nu kan antages at være opfyldt. Dvs. estmaterne er også effcente og OLS-standardfejlen estmeres mddelret og konsstent. I stedet for at bruge weght optonen kunne man transformere varablerne drekte. I så fald skal man dog være på vagt overfor, at koeffcenten tl konstantleddet ændrer betydnng forhold tl den oprndelge model og at estmaterne for R kke umddelbart kan sammenlgnes. I blaget er begge fremgangsmåder vst. e) Gvet at antallet af observatoner er stort (n=50) og at alle Gauss-Markov antagelserne er opfyldte er t- og F-størrelserne approxmatvt t- hhv. F-fordelte. Nulhypotesen ) β = 0 testes ved et t-test (test på en enkelt parameter). Da v kke har nogen klar fornemmelse for, om koeffcenten tl Konk er postv eller negatv, er det naturlgt at vælge en dobbeltsdet alternatvhypotese, β 0. Jf. tabel, WLS resultaterne, kan v udregne t=-,88 og p=0,06 (pværden er bestemt en t-fordelng med 5 frhedsgrader som er meget tæt på 5
standardnormalfordelngen). Konk er altså sgnfkant på et 0 pct. sgnfkansnveau, men kke på et 5 pct. sgnfkansnveau. Havde man ovenfor forventet et negatvt fortegn skulle der her foretages et en-sdet test. Konk vlle så fald være sgnfkant også på et 5% nveau. Nulhypotesen ) β0 = 0, β = 0, β = 0 mod alternatvhypotesen β 0 0 eller β 0 eller β 0 kan testes ved et F-test. I SAS kan v udføre testet ved at gennemføre en vægtet regresson, hvor v udelader konstantleddet samt varablerne (Nypr*) og Nypr (s. blaget). V beregner da F ved at sammenlgne SSR den restrkterede og den urestrkterede (.) model. Der testes restrktoner, og der er alt forklarende varable modellen, dvs. ( SSRR SSRur) q SSR ( n k ) ( ) ( ) 0, 770 0, 7680 F = = = 0,5 0, 7680 50 ur se s. 5 blaget. For den krtske værd bruger v en F-fordelng, hvor q=antal restrktoner= og n- k-=antal frhedsgrader nævneren=5 er,08 på 0 pct. nveau. Den beregnede F-værd er altså mndre end den krtske værd, hvlket betyder, at v kke kan afvse nulhypotesen om, at de tre varable samlet set kan udelades af estmatonen. Igen kan man alternatvt lave testet på den transformerede udgave af modellen, se s. 6 og 9 blaget. Alt alt vser testene, at hverken produktudvklng (Nypr) eller dens nteraktonseffekt med omsætnngen gver noget sgnfkant bdrag tl at forklare prmært resultat. Konklusonen er mere tvvlsom for konkurrencendekset, der er sgnfkant på et 0% nveau men kke på 5%. Modellen under hypotese ) er følgende: mres = β + βkonk + u Pr For Konk=0 blver det forventede prmære resultat lgefrem proportonalt med omsætnngen. Opgave : a) Den udførte WLS opgave d) er ækvvalent med OLS på transformerede data. En estmator for standardfejlen, som er konsstent uanset eventuel heteroskedastctet modellen, er gvet ved følgende udtryk fra forelæsnngsnoten om robust kovaransestmaton: n ˆ Var( β ) = n( X ' X ) S( X ' X ), S = vˆ xx ' n = hvor X betegner n ( k+ ) matrcen af de k+ transformerede varabler, x er vektoren der består af den te række af X, og vˆ er de kvadrerede resdualer fra den transformerede model (.). 6
Forudsat at (.) er det sande udtryk for varansen på fejlleddet (.), burde heteroskedastcteten allerede være fjernet ved transformatonen opgave d). De robuste standardfejl for den vægtede estmator bør derfor kun mndre grad afvge fra de almndelge standardfejl. At der faktsk kun er små forskelle ses ved at sammenlgne de sædvanlge standardfejl og de robuste standardfejl (HCSE), jf. tabel. De robuste standardfejl beregnes som kvadratroden tl dagonalelementerne den robuste kovaransmatrx, der fremkommer når man tlføjer optonen ACOV. Beregnngen af robuste standardfejl gver kke anlednng tl nye konklusoner mht. parameterestmaternes sgnfkans. V bemærker at WLS regressonen (.) svarer tl at modellere overskudsgraden. I opgave b var der ud fra grafen ngen tydelg tendens tl ændrnger sprednngen med som evt. varansstyrende varabel. Tabel. Estmaton, standardfejl og robuste standardfejl Varabel betahat Standardfejl t-værd HCSE Robust t-værd (.) Konstantled ˆβ 0 0,658 0,68, 0,97,8 ˆβ 0,050 0,0078 6,0 0,00697 7,9 Konk ˆβ -0,65 0,07 -,88 0,077 -,85 Nypr ˆβ -0,95 0,55-0,77 0,7775-0,67 Nypr*oms ˆβ 0,0056 0,0097 0,58 0,009 0,60 Se blaget, p. 0 og. b) Antag, at v stedet for (.) havde valgt den varansstyrende funkton h = h( x) =. WLS svarer dette tlfælde tl følgende regresson: ( Prmres / ) = β / + β * + β ( Konk / ) + 0 β( Nypr / ) + βnypr* + ( u / ) ) Fejlleddet den transformerede model blver v = u / og u Var( v x ) = E(( ) x) = E( u x) = σ = σ dvs. der vl fortsat være heteroskedastctet modellen. ) MLR.- vl være opfyldt for den transformerede model, men kke MLR.5. OLS er mddelret og konsstent, men kke effcent. 7
Men kører man ovenstående regresson vl man se, at den varansstyrende funkton h = h( x ) = faktsk også vrker som et ganske fornuftgt valg for de faktske data. Opgave : Besvarelsen er baseret på, at man foretager transformatonen af varablerne drekte. Hvs man bruger weght optonen skal dummyerne redefneres tlsvarende, se sde 6 blaget. a. Indekset Konk er fremkommet som vrksomhedens egen kvaltatve bedømmelse af konkurrencestuatonen, en ordnal varabel. Bedømmelsen gves af en person vrksomheden, der har besvaret undersøgelsen. Indekset er resultat af en subjektv vurderng og andre vrksomheder samme branche vl mulgvs se helt anderledes på konkurrencen. Valget af ndeks tl repræsentaton af den kvaltatve konkurrencestuaton er restrktvt. Det er kke gvet, at en skala fra - tl + er den rette måde at sætte værder på forskellge konkurrencestuatoner. Det er fx mulgt, at der er større forskel på effekten af at bevæge sg fra et marked med mld konkurrencestuaton tl neutral konkurrencestuaton end der er ved et skft fra neutral konkurrencestuaton tl skærpet konkurrencestuatonen. Det gælder desuden, at vrksomhederne fordeler sg skævt mellem kategorer med få vrksomheder de laveste kategorer. b) Et alternatv tl en enkelt numersk varabel for konkurrencestuatonen er at ndføre 0- -dummyer for hver enkelt konkurrencestuaton. Dermed vl v højere grad tage højde for, at konkurrencestuatonen er et ordnalt mål. Udgangspunktet er den restrkterede model fra opgave e). Der skal fortsat tages højde for heteroskedastctet modellen følge (.). Modellen kan derfor udtrykkes som en restrkteret udgave af (.) og den vægtede regresson blver med prmært resultat over omsætnng (overskudsgrad) som afhængg varabel og Konk/ som forklarende varabel: ( Prmres / ) = β + β ( Konk / ) + ( u / ) (.) I stedet for Konk/ ntroduceres nye dummyvarabler: KM=/oms hvs Meget mld konkurrencestuaton ( Konk = ), 0 ellers KM=/oms hvs Mld konkurrencestuaton ( Konk = ), 0 ellers KP=/oms hvs Skærpet konkurrencestuaton ( Konk = ), 0 ellers KP=/oms hvs Meget skærpet konkurrencestuaton ( Konk = ), 0 ellers Der defneres kke nogen dummy for stuatonen med neutral konkurrencestuaton. I denne stuaton er alle fre dummer lg 0. Hvs v ndførte en femte dummy, vlle der være perfekt multkollneartet mellem de fem dummyvarabler ( dummyfælden ). ( Prmres / ) = β + α * KM + α * KM + α * KP + α * KP + ( u / ) (.5) 8
Estmaton af (.) fører tl resultaterne tabel 5. KM og KP er sgnfkante (t-test), mens KM og KP kke gver noget sgnfkant bdrag tl at forklare (Prmres/). Det kan derfor overvejes at udelade dsse to (svarende tl sammenfald med neutral konkurrencestuaton). Umddelbart ser der kke ud tl at være nogen monoton sammenhæng mellem konkurrencestuaton og overskudsgrad. Tabel 5. Estmaton med dummyvarabler. Afhængg varabel: Prmres/. Konstantled Parameter Standardfejl t-værd P ˆβ 0,0550 0,00,78 <0,000 KM ˆα -8,890,98 -,5 0,0 KM ˆα -0,896 0,9698-0,5 0,6059 KP ˆα 0,0567 0,0 0, 0,6787 KP ˆα -0,09 0,0986 -, 0,00 R 0,0 Se blaget, p.. Model (.) kan testes forhold tl (.) ved at undersøge, om koeffcenterne tl de nye dummyvarabler kan restrkteres så v netop opnår skalerngen den oprndelge Konk-varabel. Dvs. v kan teste nulhypotesen: H0 : α = α, α = α, α = α mod alternatvhypotesen, at en af dsse lgheder kke er opfyldt. V tester q= restrktoner ved et F-test, n=50, k= og n-k-=5. Se blag, s.. V fnder en F-værd på,8 og en sgnfkanssandsynlghed p=0,065. V kan netop kke afvse nulhypotesen på et 5 pct. sgnfkansnveau, men v kan godt afvse nulhypotesen på et 0 pct. sgnfkansnveau. Det er kke entydgt, om modellen blver bedre af at omdefnere Konk tl et sæt af dummy-varabler. Mulgvs vlle færre dummyvarabler gøre testet mellem de to funktonelle former mere overbevsende. Opgave 5: Sammenfatnng og konkluson a) Resultaterne af regressonerne sammenfattes tabel 6. Alle resultater er rapporteret forhold tl en modelformulerng med Prmres som afhængg varabel. Under de gvne forudsætnnger vl både OLS og WLS gve mddelrette og konsstente estmater. WLS transformatonen kolonne fjerner heteroskedastcteten, da der kke er nævneværdge forskelle mellem almndelge og robuste standardfejl. Reduktonen af modellen kolonne kunne kke afvses, mens konklusonen for testet mellem modellen kolonne og kke var klar. Samlet vl v foretrække modellen kolonne som 9
en smpel model med sgnfkante koeffcenter. Koeffcenten tl estmeres ret robust tl mellem 0,05 og 0,06 og meget sgnfkant WLS regressonerne. Den centrale parameter relaton tl konkurrencens betydnng er koeffcenten tl Konk. I OLS regressonen kolonne estmeres den postvt men meget upræcst, hvormod WLS estmatet er negatvt og tæt på at være sgnfkant. Udelukkelsen af øvrge regressorer reducerer koeffentskønnet numersk men kke sgnfkansen. Tabel 6. Regressonsresultater: 50 observatoner. Afhængg varabel: Prmres Varable orgnal model :OLS :WLS :WLS med restrktoner :WLS Omparametrserng af Konk Konstantled ˆβ -0,5705 0,658 0 (,6) (0,68) Konk Nypr Nypr*oms Konk=- ˆβ 0,0567 (0,00907) ˆβ 0,07 (0,75) ˆβ -0,8 (,55500) ˆβ 0,0 (0,005) {0,97} 0,050 (0,0078) {0,00697} -0,65 (0,07) {0,077} -0,95 (0,55) {0,7775} 0,0056 (0,0097) {0,009} 0,055 (0,00) -0,086 (0,079) 0,0550 (0,00) ˆα -8,890 (,98) Konk=- ˆα -0,896 (0,9698) Konk= ˆα 0,0567 (0,0) Konk= ˆα -0,09 (0,0986) Note: Sædvanlge standardfejl ()-parenteser. Robuste standardfejl {}-parenteser. b. Vores analyser vser at hverken produktudvklng (Nypr) eller dens nteraktonseffekt med omsætnngen gver noget sgnfkant bdrag tl at forklare prmært resultat over omsætnng (som er lg overskudsgraden). Der er således kke analysen nogen tydelge tegn på, at nvesterng og produktudvklng spller en rolle for ndtjenngen. Der er vsse tegn på en negatv effekt af konkurrencentensteten, men resultatet hænger tl dels på det konkrete valg af ndekset Konk. I en mndre restrktv model er sammenhængen kke-monoton men følsom overfor få lave værder. For vrksomheder med Konk=0 (neutral konkurrencestuaton) blver det forventede prmære resultat lgefrem proportonalt med omsætnngen. 0