Design af emulsioner - simulering af dråbedeformation i komplekse flydefelter

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Design af emulsioner - simulering af dråbedeformation i komplekse flydefelter"

Transkript

1 Design af emulsioner - simulering af dråbedeformation i komplekse flydefelter Det kan være vanskeligt at udføre eksperimenter i procesudstyr. Derfor er det vigtigt at udvikle modeller til at forudsige mikrostrukturen i flydefelter Af Runi D. Egholm og Peter Szabo, Institut for Kemiteknik, Dansk Polymercenter, DTU Emulsioner er betegnelsen for disperse systemer, hvor en kontinuert væskefase indeholder dråber af en anden væskefase. Ved fremstilling af emulsionsbaserede produkter, heriblandt fødevarer og lægemidler, indgår som regel en række dispergeringsprocesser. Eksempler herpå er omrøring og ekstrudering. Formålet med en dispergeringsproces er at tilpasse mikrostrukteren i emulsionen således, at det endelige produkt får de ønskede reologiske egenskaber. Det er derfor vigtigt at forstå samspillet mellem procesbetingelser og mikrostruktur, så omkostningerne ved forsøg i laboratorie- og industriskala kan minimeres. I en tidligere artikel i Dansk Kemi [1] beskrev vi en eksperimentel opstilling til måling af dråbedeformationer i komplekse flydefelter. I forlængelse af det eksperimentelle arbejde vil vi i denne artikel præsentere resultater fra en numerisk metode til simulering af dråbedeformationer og opsplitninger i simple såvel som i komplekse flydefelter. Dråbedeformation og opsplitning Eksperimentelle og teoretiske studier af dispergerede systemer baseres ofte på iagttagelse af en enkelt dråbe, når denne påvirkes af et veldefineret modelflydefelt (f.eks. [2-7]). De mest almindelige flydefelter er simpel forskydning og ren forlængelse. Det er imidlertid ikke ligetil at overføre viden baseret på studier i de simple modelflydefelter til de generelt komplekse flydeforhold, der findes i industrielt procesudstyr. Det er derfor af stor interesse at udarbejde og implementere numeriske metoder, der kan anvendes til at simulere forholdene i disperse systemer, når de påvirkes af komplekse flydefelter. En sådan numerisk model skal være i stand til at håndtere tofasesystemer med store deformationer af grænsefladen samt grænsefladeopslitning. I forbindelse med dråbedeformationer er det især Boundary Integral (BI)-metoder [8,9] og Volume of Fluid (VOF)-metoder [10], som har været anvendt. Begge metoder er blevet anvendt med stor succes til simuleringer af dråbedeformationer i forskellige typer af simple flydefelter. Vi har valgt at basere vort modelarbejde på VOF-metoden, idet dråbeopsplitning indgår mest naturligt i denne metode. Den implementerede model Den numeriske model består af to hovedelementer. Disse er (1) beregning af selve flydefeltet og (2) opdatering af de to væskefaser ift. hinanden. Til beregning af flydefeltet anvendes en Finite Element (FE)-metode (elementmetode), der er baseret på Stokes ligninger samt kasseelementer med kvadratisk approksimation af hastigheder og konstante tryk (Q 2 P 0 elementer). Beliggenheden af de to faser ift. hinanden bliver sporet vha. VOF-metoden. Denne metode er baseret på en inddeling af domænet i et net af VOF-kasseelementer, hvortil der associeres en såkaldt farvefunktion F. I vores tilfælde angiver farvefunktionen volumenfraktionen af dråbefasen i et givent VOF-element, dvs.: 1, hvis VOF element i kun indeholder dråbefasen Fi = 0, hvis VOF element i kun indeholder den kontinuerte fase 1< F < 0, hvis VOF element i indeholder begge faser, dvs. er et grænsefladeelement i Et af problemerne med VOF-metoden er, at beliggenheden af grænsefladen kun er givet implicit ved farvefunktionen. Dette betyder bl.a., at det er nødvendigt at rekonstruere grænsefladen ud fra værdierne af farvefunktionen, før dråbefasen kan transporteres i flydefeltet. I vor implementering anvender vi den såkaldte Piecewise Linear Interface Calculation (PLIC)-metode til at rekonstruere grænsefladen. I denne metode approksimeres grænsefladen med stykker af plane flader (se f.eks. [11]). Disse planer bliver herefter transporteret i flydefeltet med en Lagrange-procedure [11]. For at inkludere grænsefladespænding i modellen anvendes den såkaldte Continuous Surface Stress (CSS)-metode [12]. Denne metode indebærer, at grænsefladespændinger indgår som volumenkræfter defineret i regionen omkring overfladen. Det er derfor ikke nødvendigt, at grænsefladens beliggenhed falder sammen med knudepunkterne på elementerne. Simuleringer i simple forskydningsfelter For at teste den implementerede model er der udført en række simuleringer i forskydningsflydefelter. Ved disse test anvendes et rektangulært beregningsdomæne, hvor der påtrykkes Figur 1. Skitse af det beregningsmæssige domæne, som anvendes til simuleringer af dråbedeformationer i forskydningsfelter. Pilene på top- og bundpladen angiver retningen af det påtrykte hastighedsfelt. dansk kemi, 88, nr. 10,

2 kemiteknik et hastighedsfelt svarende til simpel forskydning på grænsefladerne. I domænet defineres et start farvefelt svarende til en kugle med radius r 0 placeret i centrum af geometrien som angivet på figur 1. Ved diskretiseringen af beregningsdomænet anvendes et net, som består af rektangler med varierende sidelængde, se figur 2. Det er således muligt at have en høj koncentration af elementer i midten af domænet, hvor dråben befinder sig, og en lavere koncentration tæt på domænets grænser, hvor hastighedsfeltet ikke»mærker«dråbens tilstedeværelse. 3 a 3 b Figur 2. Eksempel på netinddeling af beregningsdomænet. For at relatere flydefeltets styrke og styrken af de kræfter, der er associeret med grænsefladespændingen, anvendes kapillartallet Ca: hvor G er flydefeltets styrke (forskydningshastigheden g ved ren forskydning), m k er viskositeten af den kontinuerte fase og s er grænsefladespændingen, som her antages at være konstant. Kapillartallet og forholdet l mellem viskositeten af dråbefasen og den kontinuerte fase er de dimensionsløse parametre, som styrer dråbens opførsel i flydefeltet. Hvis flydefeltet består af ren forskydning, vil en given dråbe splittes op i mindre dråber, når kapillartallet overstiger en kritisk værdi Ca krit og l < 3. Hvis kapillartallet er lavere end den kritiske værdi, vil dråben nå en stationær deformeret tilstand. I forbindelse med dråbedeformationer i forskydningsfelter anvendes ofte Taylors deformations- Figur 3. Simulering af dråbedeformation i forskydningsfelt med Ca=0.3 og l=1. Figur (a) viser den udeformerede dråbe ved tiden t=0 mens (b) viser den deformerede dråbe ved stationær tilstand. parameter D som mål for deformationsgraden. Denne parameter er defineret som: hvor L er længden af dråben langs dens længste akse og B er bredden af dråben. Parameteren D kan anvendes, såfremt dråben ikke er tæt på opsplitning, hvor der typisk ses en indsnævring i midten. I figur 3 ses resultaterne fra en simulering med Ca=0.3 og λ=1. Figur 3(a) viser den oprindelige kugleformede dråbe, mens figur 3(b) viser dråben ved tiden t=20, hvor den stationære deformation er nået. Den stationære deformationsparameter blev i t Hvis -reguleringsventilen støjer Industristandarden SAMSON model kan forsynes med integreret støjdæmper. Støjreduktion op til 34 db(a)! GTA 1352 SAMSON REGULERINGSTEKNIK A/S DK 3460 Birkerød Tlf Fax DK 8900 Randers Tlf Fax ISO 9001 PED - certificeret til de højeste krav. ATEX - FM - CSA - GOST m.fl. -førende i reguleringsventiler dansk kemi, 88, nr. 10, 2007

3 4 a 4 b 4 c 4 d Figur 4. Simulering af dråbedeformation i forskydningsfelt med Ca=0.46 og λ=1. Figur (a) til (d) viser deformations- og opsplitningsforløbet ved tiderne t=10, t=30, t=50 og t=60. dette tilfælde bestemt til D=0.362, hvilket stemmer godt overens med resultater beskrevet i litteraturen (f.eks. VOF-simuleringer udført af Li et al. [10]). Ved gradvist at øge kapillartallet har vi bestemt den kritiske værdi til at ligge omkring 0.44 ved λ=1. Figur 4(a)-(d) viser deformations- og opsplitningsforløbet for en dråbe simuleret ved Ca=0.46 og λ=1. Figur 4(a) viser deformationen ved tiden t=10, hvor dråben endnu ikke er begyndt at snævre ind ved midten. I figur 4(b) er tiden 30 og nu ses en tydelig indsnævring, som vokser i takt med, at dråben forlænges. I figur 4(c), hvor t=50, ses dråben lige før den splitter op. Her ses to hoveddråber ved enderne, som er forbundet af en tynd tråd. Ved et givet tidspunkt brydes denne tråd fra hoveddråberne og begynder at trække sig sammen. Undervejs i denne sammentrækning separeres enderne af tråden og danner 2 små»satellit«-dråber, mens den resterende del af tråden trækker sig sammen til en større dråbe. Dette resulterer i den endelige størrelsesfordeling 5 a vist i figur 4(d). Opsplitningsforløbet vist i figur 4 ses typisk i forskydningsfelter, når kapillartallet er lige over den kritiske værdi. For større kapillartal er dråbeforlængelsen større, før opsplitningen indtræder, hvilket resulterer i et større antal dråber, se f.eks. [10]. Ud over opsplitning af dråber vil der i industrielle dispergeringsprocesser forekomme hyppige kollisioner mellem to eller flere dråber. Disse kollisioner vil være med til at bestemme den endelige mikrostruktur af emulsionen. I figur 5 er vist en simulering af to dråber med oprindelig radius r 0 i et forskydningsfelt. Før start er begge dråber separeret fra hinanden med længden r 0. Centrum af de originale dråber er forskudt ift. hinanden i y-retningen, hvilket medfører at de bevæger sig hen mod hinanden. Figur 5(a) viser dråberne før de kommer i kontakt med hinanden. I (b) begynder overfladerne at smelte sammen og i (c) er sammensmeltningen af dråberne næsten overstået. I figur 5(d) ses det endelige resultat af kollisionen. Kapillartallet for 5 b 5 c 5 d Figur 5. Kollision af to dråber i et forskydningsfelt. Figur (a) (d) viser forløbet ved tiderne t=2,8, t=4, t=4,6 og t=10. Kapillartallet for de oprindelige dråber er 0.3. dansk kemi, 88, nr. 10,

4 6 a 6 b 6 c 6 d Figur 6. Simulering af dråbedeformation i et forlængelsesfelt. Figur (a) og (b) viser deformationsforløbet ved tiderne t=7 og t=9. Efter tiden t=9 stoppes det påtrykte fl ydefelt og i (c) og (d) ses forløbet, hvor dråben trækker sig sammen, hvilket medfører opsplitning. Tiderne er (c) t=2 og (d) t=11. de oprindelige dråber var 0.3. Efter kollisionen, hvor dråberne er smeltet sammen, har den resulterende dråbe dobbelt så stort volumen som en af de oprindelige dråber. Det betyder, at kapillartallet for den resulterende dråbe er 0.38, hvilket er lavere end den kritiske værdi. Resultatet af kollisionen er derfor en dråbe som er stabil i flydefeltet. Simuleringer i forlængelsesflydefelter Flydefelter, som er baseret på ren plan forlængelse, er generelt mere»effektive«til at opnå dråbeopsplitning end forskydningsfelter, idet det kritiske kapillartal altid er lavere ved forlængelse end forskydning [7]. I forbindelse med forlængelsesfelter angives flydefeltets styrke G ved forlængelseshastigheden ε, når kapillartallet beregnes. For at teste den implementerede model ved flydefelter baseret på forlængelse anvendes et beregningsdomæne svarende til det i figur 2. På væggene af domænet angives grænsebetingelser, der resulterer i ren plan forlængelse beskrevet ved: hvor x 0 og y 0 angiver domænets centrum i (x,y)-planet. Det kritiske kapillartal i denne type flydefelter er ca ved λ=1 [7]. I det tilfælde, hvor kapillartallet er over den kritiske SØGER DU JOB værdi, ses typisk et fænomen som kaldes»threading«. Her forlænges dråben til en lang og ganske tynd tråd, før den splitter op i et stort antal meget små dråber. Denne type flydefelt er således velegnet til at opnå en emulsion med en meget lille gennemsnitsdråbestørrelse. Dette medfører imidlertid et beregningsmæssigt problem, idet det kræver et meget langt beregningsdomæne med et meget fint net, hvilket resulterer i upraktisk lange beregningstider. Det er dog også muligt at opnå opsplitning ved at stoppe det påtrykte flydefelt, efter at dråben er blevet deformeret over en vis kritisk værdi. I dette tilfælde vil dråben begynde at trække sig sammen, hvilket resulterer i opsplitning. I figur 6(a)-(d) er et sådant forløb vist for en simulering med Ca=0.26 og λ=1. Først deformeres dråben til ca. 16 gange dens oprindelige diameter, se figur 6(a) og (b). Herefter stoppes flydefeltet, og dråben begynder at trække sig sammen igen. Kort efter flydefeltets ophøren klemmes to dråber af trådens ende (figur 6(c)), hvorefter den resterende tråd trækker sig yderligere sammen. I løbet af denne sammentrækning klemmes igen to dråber af trådens ender og til sidst splitter den sidste del af tråden op i 5 lige store dråber, se figur 6(d). Størrelsesfordelingen af de dannede dråber afhænger af størrelsen af kapillartallet og viskositetsforholdet, samt hvor meget dråben er deformeret, før flydefeltet stoppes. Det er således muligt vha. den implementerede model at undersøge en dråbes deformations- og opsplitningforløb ved forskellige procesbetingelser. Tlf Fax Velkommen i familien PUMPEGRUPPEN A/S byder Alldos velkommen i Grundfos familien og introducerer samtidig 2 nye modeller i den velkendte DIGITAL DOSING-serie. GRUNDFOS ALLDOS dækker nu hele området 0, l/h, og bar. PUMPE GRUPPEN A/S 19 dansk kemi, 88, nr. 10, 2007

5 KEMITEKNIK Simulering af dråbedeformation i komplekse flydefelter ter udført med to forskellige disperse systemer. Resultaterne i figur 8(a) er baseret på et system med σ = 5.6mN /m og λ=0.61 mens σ = 5.4mN / m og λ=1.52 i figur 8(b). I figur 8 er både de eksperimentelt målte deformationer (stiplede kurver) samt de computersimulerede deformationer (fuldt optrukne kurver) vist. Deformationsforløbene i begge figurer indikerer, at der er tale om et ganske komplekst flydefelt, hvilket medfører både store og små fluktuationer i D. Det ses også, at deformationen mere eller mindre periodisk falder pludseligt i et kort tidsrum for derefter at stige igen (ses tydeligst i figur 8(b)). Disse korte udsving skyldes, at dråben bevæger sig forbi kanten på en tand, hvor den skarpe udvidelse af kanalen medfører et pludseligt fald i flydefeltets styrke. På den anden side ses de største deformationer, når dråben befinder sig imellem to tænder, der møder hinanden, idet kanalen har en minimumsbredde i dette tilfælde. Dette er f.eks. tilfældet ved omkring 20s i figur 8(a) og 45s i (b). Sammenlignes de eksperimentelle deformationsdata og computersimuleringerne ses, at de simulerede data generelt ligger højere end de målte. Den kvalitative overensstemmelse er imidlertid ganske god, specielt for figur 8(b), hvor selv små udsving i deformation er gengivet i de simulerede data. Disse resultater indikerer derfor, at hvis dråbens lokale flydefelt approksimeres som beskrevet ovenfor (og i [9]), så er det muligt kvalitativt at forudsige deformationsforløbet i rotor-stator-opstillingen vha. vores numeriske model. Som nævnt i indledningen beskrev vi i en tidligere udgave af Dansk Kemi [1] en eksperimentel opstilling til analyse af dråbedeformationer i komplekse flydefelter. Den eksperimentelle opstilling var baseret på et såkaldt rotor-stator-apparat, hvor to koncentriske cylindre med tænder på væggene blev anvendt til at danne et komplekst flydefelt. Selve rotor-stator-delen af opstillingen kan ses i figur 7, hvor den kontinuerte væskefase findes i kanalen mellem cylindrene. I løbet af et forsøg roterer den indre cylinder mod uret og den ydre cylinder med uret. Før et forsøg sættes i gang placeres en dråbe af en anden ikke blandbar væske i den kontinuerte fase. Vha. et system bestående af to kameraer er det muligt at følge dråbens position og deformation i løbet af et eksperiment. Ved efterfølgende databehandling kvantificeres resultaterne i form af tidsafhængige (x,y)-koordinater (partikelbanen) samt en tidsafhængig deformationsparameter D. Figur 7. Billede af rotor-stator delen i den eksperimentelle opstilling. Vha. numeriske beregninger af flydefeltet i rotor-stator-apparatet samt eksperimentelle data for dråbens position er det muligt, at beregne et tilnærmet lokalt flydefelt for dråben bestående af en forskydningskomponent og en forlængelseskomponent [9]. I disse beregninger tages der ikke hensyn til dråbens tilstedeværelse i flydefeltet. Ydermere antages det, at der ikke er nogen hastighedskomponent i den aksiale retning (z-retningen). Dråbens lokale flydefelt kan ifølge denne metode beskrives ved: hvor G = ε + γ og α = ε / G. Her er ε og γ de beregnede tidsafhængige forlængelseshastigheder og forskydningshastigheder. De beregnede værdier af ε og γ anvendes efterfølgende til at udføre simuleringer af dråbens deformationshistorie i det meget mere simple kasseformede domæne vist i figur 2. Ved disse simuleringer indlæses først en tabel med ε og γ som funktion af tiden. De indlæste ε - og γ -værdier anvendes herefter til at påtrykke flydefeltet beskrevet ved ligning 1 på grænserne af beregningsdomænet. Dette betyder, at grænsebetingelserne varierer med tiden på en sådan måde, at det flydefelt som dråben påvirkes af i vores beregningsdomæne efterligner det rigtige flydefelt, der påvirker dråben i rotor-stator-apparatet. I figur 8(a) og (b) ses deformationshistorien for eksperimendansk kemi, 88, nr. 10, 2007 Figur 8. Figurerne viser deformation som funktion af tiden i rotor-stator-apparatet. De stiplede kurver er de eksperimentelle målinger, og de fuldt optrukne kurver er resultater fra computersimuleringer. Figur (a) viser resultater fra et eksperiment med σ =5.6mN/m og λ =0.6,1 mens figur (b) viser resultater fra et eksperiment med σ =5.4mN/m og λ =1.52. Proceduren som vi har anvendt i forbindelse med simulering af dråbedeformationen i rotor-stator-apparatet kan tænkes anvendt som et hjælpeværktøj ved design af procesudstyr. Man kan f.eks. anvende kommercielt CFD (Computational Fluid Dynamics)-software til at beregne strømningsforholdene langs partikelbaner i et givent procesudstyr. For hver partikelbane kan man 20

6 herefter indlæse det lokale flydefelt i vores numeriske model og simulere, hvordan en dråbe påvirkes af flydefeltet langs hver af partikelbanerne. F.eks. ville det være nærliggende at undersøge, hvilke områder i udstyret resulterer i dråbeopsplitning, og hvilken type opsplitning der er tale om. -adresser Peter Szabo: Runi D. Egholm: Referencer 1. R. D. Egholm, P. Fischer & P. Szabo, Design af emulsioner analyse af dråbedeformation i komplekse fl ydefelter, Dansk Kemi, vol. 87 (2006), G. I. Taylor, The Viscosity of a Fluid Containing Small Drops of Another Fluid, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, vol. 138 (1932), G. I. Taylor, The Formation of Emulsions in Defi nable Fields of Flow, Proceedings of the Royal Society, A, vol. 146 (1934), pages D. Barthès-Biesel & A. Acrivos, Deformation and Burst of a Liquid Droplet Freely Suspended in a Linear Shear Field, Journal of Fluid Mechanics, vol. 61 (1973), J. M. Rallison & A. Acrivos, A Numerical Study of the Deformation and Burst of a Viscous Drop in an Extensional Flow, Journal of Fluid Mechanics, vol. 89 (1978), M. Dressler & B. J. Edwards, The Infl uence of Matrix Viscoelasticity on the Rheology of Polymer Blends, Rheological Acta, vol. 43 (2004), H. P. Grace, Dispersion Phenomena in High Viscosity Immiscible Fluid Systems and Application of Static Mixers as Dispersion Devices in Such Systems, Chemical Engineering Communications, vol. 14 (1982), M. Loewenberg & E. J. Hinch, Numerical Simulation of a Concentrated Emulsion in Shear Flow, Journal of Fluid Mechanics, vol. 321 (1996), K. Feigl, S. F. M. Kaufmann, P. Fischer & E. J. Windhab, A Numerical Procedure for Calculating Droplet Deformation in Dispersing Flows and Experimental Verifi cation, Chemical Engineering Science, vol. 58 (2003), J. Li, Y. Renardy & M. Renardy, Numerical Simulation of Breakup of a Viscous Drop in Simple Shear Flow Trough a Volume-of-Fluid Method, Physics of Fluids, vol. 12 (2000), D. Gueyffier, J. Lie, A. Nadim, R. Scardovelli & S. Zaleski, Volumeof-Fluid Interface Tracking with Smoothed Surface Stress Methods for Three-Dimensional Flows, Journal of Computational Physics, vol. 152 (1999), B. Lafaurie, C. Nardone, R. Scardovelli, S. Zaleski & G. Zanetti, Merging and Fragmentation in Multiphase Flows with SURFER, Journal of Computational Physics, vol. 113 (1994), Dette projekt er støttet af Forskningsrådet for Teknologi og Produktion (FTP) bevilling nr Projektets hjemmeside er: Design.aspx (Google søgeterm: Design of emulsions) CAND. SCIENT ER SPARE PENGE? JA! Se hvordan IDA er med mere end medlemmer landets største interesseorganisation for tekniske og naturvidenskabelige kandidater. Flere og flere cand.scient.er har allerede opdaget, at de er bedst stillet i IDA. Udover økonomiske fordele som landets formentlig billigste og bedst dækkende forsikringer, får du som medlem adgang til mere end 700 arrangementer årligt, deltagelse i fagtekniske selskaber og meget mere. Brug 5 minutter på og læs om alle fordelene. Velkommen som cand.scient. i IDA. 21 dansk kemi, 88, nr. 10, 2007

PIV og CFD analyse af brændselscelle manifold

PIV og CFD analyse af brændselscelle manifold PIV og CFD analyse af brændselscelle manifold Jesper Lebæk Jespersen, ErhvervsPhD-studerende, M.Sc. (mech. Eng.) Teknologisk Institut Mads Bang and Søren Knudsen Kær Aalborg University, Institute of Energy

Læs mere

Forenklet PC-SAFT et nyt redskab i polymertermodynamik

Forenklet PC-SAFT et nyt redskab i polymertermodynamik Forenklet PC-SAFT et nyt redskab i polymertermodynamik Der er udviklet en tilstandsligning for blandinger, der indeholder polymerer. Det langsigtede mål er at udvikle en model til beregning af faseligevægte

Læs mere

Theory Danish (Denmark) Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point)

Theory Danish (Denmark) Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point) Q2-1 Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner i den separate konvolut før du starter på opgaven. Introduktion Bi-stabile ikke-lineære halvlederkomponenter

Læs mere

Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening

Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening M iljøpr ojekt nr. 449 1999 Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening Lektor, cand.scient., lic.tech. Helle Holst IMM, Institut for Matematisk Modellering DTU, Danmarks

Læs mere

En verden af fluider bevægelse omkring en kugle

En verden af fluider bevægelse omkring en kugle En verden af fluider bevægelse omkring en kugle Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 29. marts 2012 Indhold

Læs mere

Optimering af multifysisk-systemer

Optimering af multifysisk-systemer Optimering af multifysisk-systemer DANSIS, 29. marts 2006, DTU Fridolin Okkels, Laurits H. Olesen, og Henrik Bruus MIC Institut for Mikro- og Nanoteknologi Danmarks Tekniske Universitet www.mic.dtu.dk/research/mifts

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag A Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag B Støbeforløb for V1-V5 og NØ Figur B-1 viser et eksempel på temperaturudviklingen

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

C.V. for PER NIELSEN

C.V. for PER NIELSEN NAVN: Per Nielsen ADRESSE: Bistrup Park 81 3460 Birkerød e mail: per42nielsen@gmail.com FØDT: 25. juli 1961 UDDANNELSE: 1991 Ph.D., Danmarks Tekniske Universitet, Laboratoriet for Anvendt Matematisk Fysik

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet

Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 29 Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 5.1 Indledning Denne øvelse omhandler et fænomen som blandt andet optræder i en ganske dagligdags situation hvor et mekanisk relæ afbrydes. Overraskende

Læs mere

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse VIBRO CONSULT Palle Aggerholm Tilstandskontrol ved hjælp af vibrationsanalyse Et minikursus med særlig henvendelse til vindmølleejere Adresse: Balagervej 69 Telefon: 86 14 95 84 Mobil: 40 14 95 84 E-mail:

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Fordele og faldgruber ved anvendelse af CFD til brandtekniske beregninger

Fordele og faldgruber ved anvendelse af CFD til brandtekniske beregninger Fordele og faldgruber ved anvendelse af CFD til brandtekniske beregninger Jörgen Carlsson,, FOI i, jorgen.carlsson@foi.se Bjarne Husted, DBI ii og LTH iii, bph@dift.dk Ulf Göransson, LTH iii, ulf.goransson@brand.lth.se

Læs mere

Et bachelorprojekt om roterende vand

Et bachelorprojekt om roterende vand Et heldigt tilfælde Niels Bohr Institute University of Copenhagen 9 November 2007 Oversigt 1 1 1 2 Tilfældighed Efteråret 2004 Kryptering med kaotiske kredsløb Sandriller Mogens Høgh Jensen, NBI Clive

Læs mere

Hvornår kan man anvende zone-modellering og hvornår skal der bruges CFD til brandsimulering i forbindelse med funktionsbaserede brandkrav

Hvornår kan man anvende zone-modellering og hvornår skal der bruges CFD til brandsimulering i forbindelse med funktionsbaserede brandkrav Dansk Brand- og sikringsteknisk Institut Hvornår kan man anvende zone-modellering og hvornår skal der bruges CFD til brandsimulering i forbindelse med funktionsbaserede brandkrav Erhvervsforsker, Civilingeniør

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Øvre rand ilt. Den målte variation, er antaget at være gældende på randen i en given periode før og efter målingerne er foretaget.

Øvre rand ilt. Den målte variation, er antaget at være gældende på randen i en given periode før og efter målingerne er foretaget. MIKE 11 model til beskrivelse af iltvariation i Østerå Formål Formålet med denne model er at blive i stand til at beskrive den naturlige iltvariation over døgnet i Østerå. Til beskrivelse af denne er der

Læs mere

PRØVNINGSRAPPORT. Undersøgelse af vandprøver. Udarbejdet for: Greve Vandværk Håndværkerbyen 1 2670 Greve Att.: Preben Fogd Jørgensen 2011.11.

PRØVNINGSRAPPORT. Undersøgelse af vandprøver. Udarbejdet for: Greve Vandværk Håndværkerbyen 1 2670 Greve Att.: Preben Fogd Jørgensen 2011.11. PRØVNINGSRAPPORT Undersøgelse af vandprøver Udarbejdet for: Greve Vandværk Håndværkerbyen 1 2670 Greve Att.: Preben Fogd Jørgensen 2011.11.07 Center for Mikroteknologi og Overfladeanalyse, Teknologisk

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Beregning af angrebspunktet for luftens kræfter for henholdsvis en konisk, parabolsk, elliptisk og tangent ogive spids

Beregning af angrebspunktet for luftens kræfter for henholdsvis en konisk, parabolsk, elliptisk og tangent ogive spids Beregning af angrebspunktet for luftens kræfter for henholdsvis en konisk, parabolsk, elliptisk og tangent ogive spids Jørgen Franck Til beregning af angrebspunktet for luftens kræfter på raketspidser

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Høfde 42: Vurdering af specifik ydelse og hydraulisk ledningsevne i testcellerne TC1, TC2 og TC3

Høfde 42: Vurdering af specifik ydelse og hydraulisk ledningsevne i testcellerne TC1, TC2 og TC3 Høfde 42: Vurdering af specifik ydelse og hydraulisk ledningsevne i testcellerne TC1, TC2 og TC3 Søren Erbs Poulsen Geologisk Institut Aarhus Universitet 2011 Indholdsfortegnelse Sammendrag...2 Indledning...2

Læs mere

Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning 3-ugers kursus, s011337 og s011394 Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning Peter Jensen og Caspar Ask Christiansen Vejleder: Fridolin Okkels MIC Institut for mikro- og nano-teknologi

Læs mere

Undervisningsministeriets Fælles Mål for folkeskolen. Faglige Mål og Kernestof for gymnasiet.

Undervisningsministeriets Fælles Mål for folkeskolen. Faglige Mål og Kernestof for gymnasiet. Undervisningsministeriets Fælles Mål for folkeskolen. Faglige Mål og Kernestof for gymnasiet. I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål fra folkeskolen, Faglige Mål og Kernestof fra gymnasiet man

Læs mere

Kemi C - hf-enkeltfag, april 2011

Kemi C - hf-enkeltfag, april 2011 Kemi C - hf-enkeltfag, april 2011 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Kemi handler om stoffers egenskaber og betingelserne for, at de reagerer. Alt levende og vores materielle verden er baseret på, at

Læs mere

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets.

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets. Test af LMK mobile advanced Kai Sørensen, 2. juni 2015 Indledning og sammenfatning Denne test er et led i et NMF projekt om udvikling af blændingsmåling ved brug af et LMK mobile advanced. Formålet er

Læs mere

NOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet

NOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet NOTAT Dato J. nr. 15. oktober 2015 2015-1850 Projekt om rejsetidsvariabilitet Den stigende mængde trafik på vejene giver mere udbredt trængsel, som medfører dels en stigning i de gennemsnitlige rejsetider,

Læs mere

Introduktion til Clamp-on flowmålere

Introduktion til Clamp-on flowmålere Introduktion til Clamp-on flowmålere Februar 2016 Notatforfatter: Pieter F. Nieman, Teknologisk Institut 1 Indledning Dette notat omhandler brugen af clamp-on flowmålere og beskriver i korte træk nogle

Læs mere

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Formål Formålet med modellering af stoftransport i GMS MT3DMS er, at undersøge modellens evne til at beskrive den målte stoftransport gennem sandkassen ved anvendelse

Læs mere

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Notat Titel Om våde røggasser i relation til OML-beregning Undertitel - Forfatter Lars K. Gram Arbejdet udført, år 2015 Udgivelsesdato 6. august

Læs mere

Martin Ankjer Pauner. Alternative isoleringsmaterialer i Single Burning Item test og Small Flame test Fase 3

Martin Ankjer Pauner. Alternative isoleringsmaterialer i Single Burning Item test og Small Flame test Fase 3 Martin Ankjer Pauner Alternative isoleringsmaterialer i Single Burning Item test og Small Flame test Dansk Brand- og sikringsteknisk Institut December 22 Sag. nr. DZ6685 December 22 Side 2 af 9 FORORD

Læs mere

Stop cylinderen rigtigt i endestillingen Af Peter Windfeld Rasmussen

Stop cylinderen rigtigt i endestillingen Af Peter Windfeld Rasmussen Stop cylinderen rigtigt i endestillingen Af Peter Windfeld Rasmussen I nogle applikationer skal en cylinder køres helt i bund ved høj hastighed. For at afbøde det mekaniske chok kan alle cylinderleverandører

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

2) foretage beregninger i sammenhæng med det naturfaglige arbejde, 4) arbejde sikkerhedsmæssigt korrekt med udstyr og kemikalier,

2) foretage beregninger i sammenhæng med det naturfaglige arbejde, 4) arbejde sikkerhedsmæssigt korrekt med udstyr og kemikalier, Formål Faget skal give eleverne indsigt i det naturfaglige grundlag for teknik, teknologi og sundhed, som relaterer sig til et erhvervsuddannelsesområde. For niveau E gælder endvidere, at faget skal bidrage

Læs mere

Måling af turbulent strømning

Måling af turbulent strømning Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning

Læs mere

Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM)

Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Sep 2006. Lars Petersen og Erik Lægsgaard Indledning Denne note skal tjene som en kort introduktion

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion

Læs mere

Lysspredning for gymnasiet

Lysspredning for gymnasiet Lysspredning for gymnasiet Lars Øgendal Det Biovidenskabelige Fakultet, Københavns Universitet, 28. februar 2011 ii Indhold 1 Indledning 1 1.1 Hvad er lysspredning?.............................. 1 1.2

Læs mere

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden d. 6.10.2016 De Økonomiske Råds Sekretariat Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden Dette notat redegør for de stabilitetstest af forskellige tidsserier vedrørende investeringsadfærden i

Læs mere

Energibesparelse i vejtransporten.

Energibesparelse i vejtransporten. Energibesparelse i vejtransporten. Af: Per Ullidtz, Dynatest International Bjarne Schmidt, Vejdirektoratet - Vejteknisk Institut Birgitte Eilskov Jensen, NCC Roads A/S Med den konstante fokus på energiforbrug

Læs mere

AAU Landinspektøruddannelsen

AAU Landinspektøruddannelsen AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

Nulstrømme i den spændingsløse pause ved enpolet genindkobling

Nulstrømme i den spændingsløse pause ved enpolet genindkobling Nulstrømme i den spændingsløse pause ved enpolet genindkobling 29. august 2011 TKS/TKS 1. Indledning... 1 1.1 Baggrund... 1 1.2 Problemstilling... 1 1.3 Metode... 2 1.4 Tidshorisont... 2 2. Den inducerende

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

Simuleringsresultater

Simuleringsresultater Alfred Heller Solvarmeanlæg ved biomassefyrede fjernvarmecentraler m.m. Simuleringsresultater DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Sagsrapport BYG DTU SR-01-16 001 ISSN 1396-40x Solvarmeanlæg ved biomassefyrede

Læs mere

Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer

Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Introduktion Strømningsmønsteret i kemiske reaktorer modelleres ofte gennem to ydertilfælde, Ideal stempelstrømning, hvor

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Danish Centre for Composite Structures and Materials for Wind Turbines (DCCSM)

Danish Centre for Composite Structures and Materials for Wind Turbines (DCCSM) Danish Centre for Composite Structures and Materials for Wind Turbines (DCCSM) Bent F. Sørensen Afdelingen for Materialeforskning Risø National Laboratoriet for Bæredygtig Energi Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Modellering af jord-struktur-interaktion i jordskælvsanalyser for Izmit Bay Bridge

Modellering af jord-struktur-interaktion i jordskælvsanalyser for Izmit Bay Bridge Dansk Geoteknisk forening, 12. september 2013 Artikler fra ICSMGE 2013 Modelling of soil-structure interaction for seismic analyses of the Izmit Bay Bridge Modellering af jord-struktur-interaktion i jordskælvsanalyser

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. Matematisk Pendul. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. Matematisk Pendul. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Matematisk Pendul Hold E: Hold: D12 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Udarbejdet af maskiningeniørstuderende Marianne Gudnor

Udarbejdet af maskiningeniørstuderende Marianne Gudnor aug. 008 Udarbejdet af maskiningeniørstuderende Indholdsfortegnelse: Indledning...3 Formål...3 Manuelle beregninger...6 The radius of circular area of contact, a...6 The maximum compressive stress, σ...7

Læs mere

Forbedring af efterføderteknologier til energibesparelse i jernstøberier

Forbedring af efterføderteknologier til energibesparelse i jernstøberier Slutrapport for projekt: Forbedring af efterføderteknologier til energibesparelse i jernstøberier Niels Skat Tiedje DTU Mekanik 29. august 2014 Indhold Indhold... 2 Introduktion og mål... 3 Del 1: anvendelse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Grundlæggende fluid mekanik

Grundlæggende fluid mekanik Slide 1 Hvad er Fluid mekanik? Fluid er en fællesbetegnelse for væsker og gasser. Mekanik er en beskrivelse af den måde de opfører sig på i bevægelse. Fluid mekanik er altså en international betegnelse

Læs mere

Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub

Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck. Dansk Amatør Raket Klub Beregning af areal, volumen, massemidtpunkt og inertimomenter for en klasse af omdrejningslegemer med cirkelbuegeometri af Peter Orthmann Nielsen og Jørgen Franck Dansk Amatør Raket Klub Introduktion Denne

Læs mere

RAPPORT Karakteristik af tangtag nedbrydelighed og kemisk sammensætning

RAPPORT Karakteristik af tangtag nedbrydelighed og kemisk sammensætning RAPPORT Karakteristik af tangtag nedbrydelighed og kemisk sammensætning Forfattere: Lektor Erik Kristensen og Professor Marianne Holmer, Biologisk Institut, Syddansk Universitet, Campusvej 55, 523 Odense

Læs mere

NOTAT. 1. Lokale vindforhold

NOTAT. 1. Lokale vindforhold NOTAT Projekt Vindmiljø vurdering Holstebro Centrum Notat nr. 01 Dato 2016-04-08 Fra Christian Matthes Nørgaard, CHMN Det nye Citycenter i Holstebro planlægges etableret på en eksisterende parkeringsplads

Læs mere

Bremseventiler - hvor skal blenden sidde

Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Af Peter Windfeld Rasmussen Bremseventiler anvendes i hydrauliske systemer -som navnet siger- til at bremse og fastholde byrder. Desuden er det med bremseventilen

Læs mere

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Solcellelaboratoriet

Solcellelaboratoriet Solcellelaboratoriet Jorden rammes hele tiden af flere tusind gange mere energi fra Solen, end vi omsætter fra fossile brændstoffer. Selvom kun en lille del af denne solenergi når helt ned til jordoverfladen,

Læs mere

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 2 ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Jordtryk på gravitationsstøttemure

Jordtryk på gravitationsstøttemure Jordtryk på gravitationsstøttemure Anette Krogsbøll, DTU Byg DGF-møde, Odense, 12. marts 2009 Oplæg til diskussion Definition gravitationsmur Krav til jordtryksberegning i henhold til Eurocode 7 Brudgrænsetilstanden

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A

Undervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A Undervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A Termin August 2014 Juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Rybners HTX HTX Fysik A Jesper Pedersen (JEPE) Hold 2.A Oversigt over planlagte undervisningsforløb

Læs mere

Koncentrationsmålinger med håndholdt refraktometer

Koncentrationsmålinger med håndholdt refraktometer Koncentrationsmålinger med håndholdt refraktometer Moesgård Museum Jesper Frederiksen og Ina Buhr KONSERVERINGS - OG NATURVIDENSK ABELIG AFDELING Nr. 7 2003 Koncentrationsmålinger med håndholdt refraktometer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin. Maj 2013.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin. Maj 2013. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Maj 2013 Skive Tekniske Gymnasium HTX Kemi B Helle Ransborg

Læs mere

Noter om Bærende konstruktioner. Membraner. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole

Noter om Bærende konstruktioner. Membraner. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Noter om Bærende konstruktioner Membraner Finn Bach, december 2009 Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Statisk virkemåde En membran er et fladedannende konstruktionselement, der i lighed

Læs mere

Videreudvikling af LDV til on-sitemåling

Videreudvikling af LDV til on-sitemåling Videreudvikling af LDV til on-sitemåling Sammenligning mellem LDV og gasnormal i naturgasanlæg 19-21. maj 2010 Rapportforfattere: Matthew Adams, Teknologisk Institut Kurt Rasmussen, Force Technology LDV

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09 Institution Københavns Tekniske Skole, Sukkertoppen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Htx

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Dansk referat. Dansk Referat

Dansk referat. Dansk Referat Dansk referat Stjerner fødes når store skyer af støv og gas begynder at trække sig sammen som resultat af deres egen tyngdekraft (øverste venstre panel af Fig. 6.7). Denne sammentrækning fører til dannelsen

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral

Læs mere

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En massiv metalkugle

Læs mere

Effektiv planlægning af skærme mod trafikstøj Støjskærmes indvirkning på årsmiddelværdier

Effektiv planlægning af skærme mod trafikstøj Støjskærmes indvirkning på årsmiddelværdier Støjskærmes indvirkning på årsmiddelværdier Jørgen Kragh a, Gilles Pigasse a, Jakob Fryd b a) Vejdirektoratet, Vejteknisk Institut, kragh@vd.dk, gip@vd.dk b) Vejdirektoratet, Vejplan- og miljøafdelingen,

Læs mere

April 2009 Fordærvede fødevarer og fødevarer med farlige fremmedlegemer: Nyt lav energi røntgen system med hygiejnisk design er løsningen

April 2009 Fordærvede fødevarer og fødevarer med farlige fremmedlegemer: Nyt lav energi røntgen system med hygiejnisk design er løsningen April 2009 Fordærvede fødevarer og fødevarer med farlige fremmedlegemer: Nyt lav energi røntgen system med hygiejnisk design er løsningen Fødevare sikkerhed er et vidt begreb. Aktuelt er der særligt fokus

Læs mere

Vandmålere og installationsforhold

Vandmålere og installationsforhold Vandmålere og installationsforhold Dennis D. Sørensen Teknologisk Institut 1 Introduktion Ingeniøren berettede om en ivrig vandbruger - Målebæger - Gentagne korte aftapninger - 5-6 (enkelte tilfælde 10)

Læs mere

Kemiøvelse 2 1. Puffere

Kemiøvelse 2 1. Puffere Kemiøvelse 2 1 Puffere Øvelsens pædagogiske rammer Sammenhæng Denne øvelse er tilpasset kemiundervisningen på modul 3 ved bioanalytikeruddannelsen. Kemiundervisningen i dette modul indeholder blandt andet

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Ceratherm 100-200. Funktionalitet og design

Ceratherm 100-200. Funktionalitet og design Ceratherm 100-200 Funktionalitet og design Ceratherm 100-200 Ceratherm er en serie af funktionelle termostater i flot og enkelt design. Under sit rene, strømlinede udseende gemmer sig en verden af teknologi

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

May the force be with you

May the force be with you May the force be with you Esben Thormann, Department of Chemistry, Surface Chemistry, Royal Institute of Technology, Stockholm. Adam C. Simonsen og Ole G. Mouritsen, MEMPHYS-Center for Biomembran fysik,

Læs mere

Vejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz

Vejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 1 Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 2 Ansvar Programmet anvendes helt på eget ansvar, og hverken programmør eller distributør kan

Læs mere

Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation

Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation Rapport udarbejdet af Lars S. Søndergaard Henrik S. Olesen DELTA DELTA Venlighedsvej 4 2970 Hørsholm Danmark Tlf. +45 72 19 40 00 Fax +45 72 19

Læs mere

Brugermanual. HAJO pladeløfter SCC050 SCC075 SCC150 SCC300 SCC600

Brugermanual. HAJO pladeløfter SCC050 SCC075 SCC150 SCC300 SCC600 Brugermanual HAJO pladeløfter SCC050 SCC075 SCC150 SCC300 SCC600 Instruktion i korrekt brug af HAJO pladeløfter. Opbevar denne manual let tilgængelig for brugeren. Det er vigtigt at brugeren forstår advarslerne

Læs mere

KROMATOGRAFI GENERELT OM GASKROMATOGRAFI

KROMATOGRAFI GENERELT OM GASKROMATOGRAFI KROMATOGRAFI Kromatografi betyder egentlig farvetegning, men ordet bruges nu om en række analysemetoder, som alle bygger på det princip, at forskellige stoffer har forskellig bindingsevne til en given

Læs mere

Vi SPARK er. gang i dataopsamling. fokus på læring ikke på teknik. al drig har det været nemmere

Vi SPARK er. gang i dataopsamling. fokus på læring ikke på teknik. al drig har det været nemmere Vi SPARK er gang i dataopsamling al drig har det været nemmere SPARK taler dansk. Samme brugerflade på logger og computer. Matcher alle skærmstørrelser og opløsninger. Trygt og godt med færdige SPARKlabs.

Læs mere

Fysikken bag hverdagens materialer.

Fysikken bag hverdagens materialer. Fysikken bag hverdagens materialer. Carsten Svaneborg, Lektor Institut for Fysik, Kemi og Farmaci Syddansk Universitetet Campusvej 55, 5320 Odense M zqex@sdu.dk Http://www.zqex.dk Oversigt Intro hverdagens

Læs mere