Hans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder. Resumé

Transkript

1 Hans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder Resumé Ved hjælp af en finite difference approksimation og dertilhørende diskretisering af akserne konstrueres matricer for Schrödingerligningen. Disse diagonaliseres med Jacobi-routinen og egenfunktioner plottes og animeres. Problemet løses for diverse en- og to-dimensionelle potentialer. Desuden sammenlignes performance af cyklisk og klassisk(med array der husker største element i rækkerne) Jacobi samt en implementering fra biblioteket NumPy 1 Motivation Jeg har altid syntes at jeg manglede nogle konkrete eksempler og illustrationer af løsninger til Schrödinger-ligningen. Derfor dette projekt hvor jeg numerisk vil løse Schrödinger-ligningen for nogle simple et og to dimensionelle potentialer. Schrödinger-ligningen Den tidsafhængige Schrödingerligning er det naturlige udgangspunkt for alle simulationer i kvantemekanikken. For at lave en simulation må vi have udtrykt ligningen vha. matricer. Vi starter med finde stationære løsninger til Schrödingerligningen, da vi derefter kan bruge dem som en basis for de tidsafhængige løsninger. Ĥψ = Eψ (1) ( ) 2 2m 2 + V ( r) ψ( r) = Eψ( r) (2) Det er altså denne ligning vi skal fremstille som en matrix. Lad os starte med at gøre det for en dimension. 1D Den tidsuafhængige Schrödingerligning i en dimension, x, ser således ud: Ĥψ(x) = Eψ(x) (3) Vi diskretiserer x-aksen i N dele. ψ(x) bliver dermed en vektor hvor indgangen n angiver ψ(x n ). Potentialet V (x) bliver til en diagonal matrice hvor V ii = V (x i ). Hamiltonoperatoren H bliver til: Ĥ = 2 2m 2 + V (x) = 2 2m Den enkeltafledte af ψ kan approksimeres med: 2 + V (x) (4) x2 ψ (x) ψ(x + x) ψ(x) x (5) 1 NumPy er beskrevet her: 1/12

2 hvilket jo for infinitesimale x jo netop er definitionen på den afledte. Tilsvarende for den dobbeltafledte: ψ (x) = ψ (x) ψ (x + x) x = 1 (ψ(x) 2ψ(x + x) + ψ(x + 2 x)) (6) ( x) 2 Lader vi nu x være afstanden mellem vores diskretiserede x-punkter kan vi opstille en matrice således: H = m ( x) V (7) Denne approksimation er tilstrækkelig god så længe antallet af diskrete punkter, N, er stort. Der vil dog altid opstå et problem i slutningen og i starten da man der ikke får det sidste 1 med. Man kan kompensere for dette ved at ændre en smule på matricen, men disse ændringer vil for det meste ødelægge symmetrien i matricen og dermed forhindre at man bruger Jacobi egenværdi algoritmen. Dette vil give et stort tab i effektivitet hvilket vi ikke kan acceptere. Desuden vil fejlen primært ophobe sige i de højeste tilstande som ikke er vores primære interesse. I det følgende, og resten af opgaven, bruges atomare enheder dvs fx = 1 så vi kan arbejde med dimensionsløse størrelser. Når vi plotter egenfunktionerne kan man dog tydeligt se problemet med randeffekter. Den trunkerede simulation vil svare til en uendelig høj potentialbarriere som egenfunktionerne vil sprede i mod. Har man en partikel som bliver meget spredt ud kan det derfor give problemer som dog til dels kan afhjælpes ved at gøre det simulerede område større så er der simpelthen mindre af bølgefunktionen der kommer i kontakt med randeffekterne. Dette skal dog afvejes med enten øget tidsforbrug da man tager flere punkter med eller dårligere opløsning fordi man prøver at simulere et større område med samme antal punkter. Derfor bør man afpasse sit område med sit potential. For en fri partikel vil randeffekterne være det største potential de kommer i kontakt med hvorimod en partikel i en uendelig dyb brønd slet ikke blive påvirket. Faktisk kan man bruge randen som potentialet. Vi har nu omdannet vores problem til et matrix egenværdiproblem og kan dermed bruge en rutine fra kurset nemlig Jacobi egenværdirutinen som giver os egenværdier og egentilstande. Normalt vil det være egenværdierne dvs. energierne af tilstandene som man vil være interesseret i, men mit primære mål er at illustrere bølgefunktionerne så jeg vil lave linearkombinationer af disse. Ved at bruge mindste kvadraters metode finder jeg projektionen af en given starttilstand ned på min basis af egentilstande. Derefter kobler jeg den tidsafhængige del på hver af mine egentilstande og lader tiden gå. For hvert tidsinterval laver jeg et plot og samler det til sidst i en video 2 Koden er konstrueret således at den gemmer på udregningner for energier og egentilstande for de forskellige potentialer fra gang til gang. Desuden er systemet konstrueret således at det er nemt at substituere potentialer eller startbetingelser. 2 Videoerne kan ses ved at tilgå

3 Hans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder Når man derfor først en gang har udregnet egenværdier for et system kan man derefter relativt hurtigt lave forskellige linearkombinationer af disse og se på deres tidsudvikling. Jacobi egenværdi algoritmen Den primære tidssluger ved disse simulationer er Jacobi egenværdi algoritmen. Derfor er det fornuftigt at se på måder hvorpå denne kunne effektiviseres. Den fra kurset implementerede Jacobi algoritme er den såkaldt cykliske som er hurtigere end den klassiske metode. I den klassiske metode bestemmer man først hvilket off-diagonal der er størst og starter med at nulstille den. Dette giver færre rotationer, men man skal så bruge en O(N 2 ) operation for at finde det største element hver gang. Det er derfor hurtigere bare at bruge den cykliske metode hvor man simpelthen kører fra en ende af. Hvis man holder øje med hvilke elementer der størst i hver række kan man dog nøjes med at opdatere for de rækker hvor der er sket ændringer. Dette er således en O(N) operation og er dermed billig. Så vidt teorien. Jeg har brugt denne rutine på en række forskellige værdier af N og plottet resultatet i figur 1. Figuren viser at der ikke er meget ydeevne at hente Tunneling, classic Tunneling, cyclic Free, cyclic Time to calculate[s] N Figur 1: Forskellige opløsninger udregnet for Tunneling-potentialet samt et enkelt punkt for en fri partikel. Den frie partikel udregnet vha. klassisk Jacobi tog 18 minutter og 3 sekunder og er derfor ikke med på figuren. 3/12

4 på at implementere den klassiske Jacobi (med array der husker største elementer) selvom der er et interval mellem ca. N=80 og N=100 hvor den klassiske er hurtigere end den cykliske. Der kan selvfølgelig være specifikke årsager til at netop min matrix tager lang tid med den klassiske. Man kunne fx forestille sig, at da matricen er tridiagonal vil den cykliske springe effektivt over alle nullerne og derfor primært vil rotere nær diagonalen. Den klassiske metode mister derved noget af sin fordel. Det kunne undersøges nærmere fx ved at implementere mere specifik tidstagning af de enkelte dele af programmet. 3 Der er også et stort hop ved N=30 for den klassiske metode. Hoppet kan ikke ses for N omkring 30 så det tyder på at der er en eller anden form for instabilitet i rutinen som ikke ses for andre N er. I Python er der stor forskel på at bruge fx for-løkker og bruge map funktionen, da for løkken kører i Python direkte, mens map bliver sendt videre til optimeret c- kode. Derfor er der mange muligheder hvis man kan finde disse steder hvor man kan ligge det beregningstunge arbejde over til c-kode. Det er muligvis det der gør at jeg ikke ser en væsentlig forskel i arbejdstiden for den klassiske og den cykliske Jacobi rutine. Forskellene bliver så at sige skjult i de store forskelle der er i hastigheden af Python-koden. Jeg har også forsøgt at bruge den indbyggede rutine fra NumPy til at diagonalisere med. Denne får dog ca. samme resultater som mine rutiner med den mindre krølle at den performer som den bedste af dem til hvert punkt også selvom de skiftes til at være bedst. De rammer indenfor tiendedele af et sekund den samme værdi. Dette tyder på at min implementering er tæt på optimal (i hvert fald for Pythonkode) og vil man have hurtigere algoritmer må man kigge i andre retninger evt. til andre sprog. Andre tidsslugere Der er selvfølgelig også andre dele af programmet der tager lang tid at udføre. Især når mit program husker sine egenværdier og egenfunktioner bliver de andre dele relativt vigtigere. Jeg har forsøgt at udkommentere dele af min kode for at se hvilke dele der tog lang tid. Som et eksempel kan nævnes potentialet tunneling som jeg beskriver senere. Her tog det ca. 825 sekunder at udregne egenværdier, lade tiden løbe og plotte(n=128). Hvis egenværdierne allerede var udregnet tog det blot 108 sekunder. Derpå udkommenterede jeg selve den kode der lavede billederne dvs. plottede funktionerne da jeg regnede med at det at skrive til disk og lave billeder ville være en stor del af den resterende tid. Da plottene var udkommenteret tog udregningerne kun 65 sekunder. Det er altså muligt at man vha. en mere effektiv plottefunktion kan opnå større hastigheder, men det er stadig egenværdierne der tager langt længst tid at udføre.

5 Hans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder 2.0 n=5,e= n=4,e= Psi(x) 1.0 n=3,e= n=2,e= n=1,e= n=0,e= x Figur 2: De seks første tilstande i den harmoniske oscillator. Bølgefunktionerne er forskudt for nemmere aflæsning. Den blå kurve er potentialet skaleret med 1/2. N = 256 Interessante potentialer og bølgepakker Harmonisk oscillator Vi begynder med den harmoniske oscillator dvs. potentialet: V (x) = 1 2 mω2 x 2 (8) Vi kender den analytiske løsning og dermed energiniveauerne og kan sammenligne med dem programmet udregner. Dette er gjort i tabel 2 og 1. Bemærk at de to udregninger kun adskiller sig ved den valgte x-akse. I den første figur er der brugt N = 256 og en x-akse fra x min = 20 til x max = 20. I den anden udregning er brugt et interval fra x min = 1, x max = 1. Det ses tydeligt at det lille interval giver helt forkerte værdier for energierne. Dette skyldes at randeffekterne af den approksimative Hamiltonoperator bliver større når intervallet bliver mindre. Effektivt er potentialet altså ændret fra en harmonisk oscillator til en harmonisk oscillator omkranset af en uendelig dyb potentialbrønd. Denne randeffekt bliver selvfølgelig meget større når intervallet bliver lille. 3 Der findes et modul til Python der hedder timeit som ville kunne gøre dette 5/12

6 Tabel 1: Sammenligning af analytiske og udregnede energiniveauer for den kvanteharmoniske oscillator. N = 256, x min = 20, x max = 20 n E analytisk / ω E numerisk / ω Afvigelse i % Tabel 2: Sammenligning af analytiske og udregnede energiniveauer for den kvanteharmoniske oscillator. N = 256, x min = 1, x max = 1 n E analytisk / ω E numerisk / ω Afvigelse i % Tilsvarende får man problemer hvis man vælger et for stort x-interval med for lille antal diskrete punkter, N. Fx hvis man vælger et interval på 200 vil det give en afvigelse på 4.01% for n = 0. Man må altså eksperimentere med de relevante størrelser for at se hvor man får den bedste præcision samtidigt med at udregningerne ikke tager for lang tid. En overfladisk undersøgelse giver at et interval fra x min = 4 til x max = 4 er tæt på optimalt med en afvigelse fra den analytiske løsning på = % På figur er de seks første egentilstande plottet sammen med potentialet. Kurverne er skaleret og forskudt for nemmere aflæsning. Vi ser at at vi rammer tæt på de analytiske løsninger. Vi ændrer nu på startbetingelserne. Da de fundne tilstande udgør en basis med dimension N = 256 kan vi projicere arbitrære bølgepakker ned på dem og se hvordan de udvikler sig i tid. Et oplagt første eksempel ville være en gaussfunktion. ψ(x) = C exp 2(x + x 0 ) 2 (9) Faktoren C er blot en normeringsbetingelse og to-tallet i eksponenten er blot for at lokalisere funktionen tættere omkring nul. Hvis den har peak i x = 0 dvs. hvis x 0 = 0 er det ikke særligt interessant, men hvis man til gengæld flytter peak så x 0 = 2 vil potentialet få bølgepakken til at oscillere omkring x = 0. Dette kan ses på projektets hjemmeside 4. Her ser vi også indflydelsen af randbetingelserne. I filmen harmonicgauss-2.avi er x-intervallet for lille og randeffekterne låser bølgefunktionen i enderne. 4 vælg filerne harmonic-gauss- 2.avi harmonic-gauss-2-big.avi

7 Hans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder I den første film er bølgefunktionen praktisk taget nul længe før vi rammer kanterne. Dette er altså også noget man skal overveje når man indstiller x-aksen. Fri partikel En fri partikel er en partikel hvor potentialet er nul (eller konstant). En simulation er kørt hvor potentialet var V (x) = 0 og bølgepakken igen var gaussisk og centreret om 0. Resultatet kan ses i filmen free-gauss-1.avi. Den meget lokaliserede partikel spredes hurtigt og bredes ud over hele x-aksen. Filerne free-gauss-#.avi hvor # tal fra 1 til 4 er forskellige diskretiseringer af x og t. Nr. 4 er den bedste, da randeffekter er minimeret her. Figur 3: Et billede taget midt i en simulation af en fri gaussisk bølgepakke. Tunnelering Et andet eksempel på et interessant system er tunnelering. Vi vil lade en bølgepakke være på den ene side af en potentialbarriere og se i hvor høj grad den gennemtrænger barrieren. I følge teorien afhænger gennemtrængningsgraden stærkt af højden på barrieren så det kræver en smule justering at få et godt signal. Efter at have afprøvet forskellige højder af potentialebarrieren finder jeg denne rette mellemvej mellem at barrieren blot virker som en overflade der reflekteres fra og at partiklen går igennem nærmest uforstyrret. Det viser sig at opløsningen på simulationen er 7/12

8 Figur 4: Tunnelering. Vi starter med en gaussfunktion multipliceret med en plan bølge. Det skulle give en bølgepakke der bevæger sig igennem potentialet og dermed igennem potentialbarrieren. afgørende for om partiklen trænger igennem. Der er altså kvalitativt forskel på hvad simulationen viser alt efter opløsning. Det er selvfølglig ikke nogen overraskelse, men det er noget man skal holde sig for øje når man simulerer. Det er derfor fornuftigt at prøve at variere sine parametre for at undersøge om der dukker nye effekter op. Ved at sætte N = 256 og højden af potentialbarrieren til V 0 = 150 for vi en god balance. På figur 4 kan udgangspunktet for partiklen ses. En gaussbølgepakke multipliceret med en plan bølge (p = 30) er brugt som startbetingelse og det resulterer i en partikel der bevæger sig. Denne bevægelse er så plottet i høj tidslig opløsning (i alt 5000 frames) og man ser tydeligt effekter som transmission, refleksion samt interferens mellem de forskellige dele af bølgen [se figur 5]. Igen viser det sig at hvad der med dårlig tidslig opløsning ligner støj viser sig at være tydeligt og forståeligt ved højere opløsninger. 5 5 Se i øvrigt filmene taget ved forskellige framerates og opløsninger fx dk/~hha07/numeric/project/video/tunneling fps(sim)-15fps.avi

9 Hans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder Figur 5: Tunnelering. Til et senere tidspunkt kan man tydeligt se bølgepakkerne, både den transmitterede og den mindre reflekterede. 2D Tilsvarende udregninger for to dimensioner er mere tidskrævende da man i stedet for N punkter udregner N 2 punkter. Vi starter derfor med at sætte N ned fra N = 256 til N = 8. Altså skal vi have en matrix på 8 2 = 64. Når man se har sin simulation til at virke kan N sættes op til 16 eller 20. Allerede ved N = 32 bliver udregningerne uoverskueligt store. Hamiltonoperatoren Ud fra tilsvarende betragtninger som for det en dimensionelle tilfælde vil vi igen diskretisere akserne. I stedet for en x-akse er det dog nu et plan vi skal diskretisere. Vi laver altså en N gange N kvadratisk matrix hvor hver indgang svarer til en x og en y værdi. Dvs. x 1, y 1 x 2, y 1... x j, y 1... x N, y 1. x 1, y 2... x j, y i x 1, y N... x N, y N (10) 9/12

10 For at finde Hamiltonoperatoren udregner vi først: 2 = 2 x y 2 (11) og bruger samme approksimation for de dobbeltafledte som før (vi bruger samme for x og y): 2 ψ(x i, y j ) = 1 2 (ψ i 1,j 4ψ i,j + ψ i+1,j + ψ i,j 1 + ψ i,j+1 ) (12) hvor ψ i,j = ψ(x i, y j ). Det er nemmere at arbejde med ψ som en vektor end som en matrix så vi omformer vores problem fra at være en N gange N matrix til at være en vektor med længde N 2. Dette gøres blot ved at sætte rækkerne i forlængelse af hinanden. Nu er det trivielt at opstille matricen for Hamiltonoperatoren på samme måde som for det en dimensionelle tilfælde. Herefter bruges samme rutine til at finde energier og egentilstande og til at lade tiden gå. Plottet bliver nu et såkaldt surface-plot og vi laver det igen til en lille film. Grundet den større kompleksitet er det en sværere balancegang mellem tiden udregningerne tager, opløsningen dvs. antallet af diskrete punkter, antal frames i filmene samt det område vi simulerer. Som tidligere nævnt gør den simple matrix vi bruger effektivt at vi vil være omgivet af en uendelig potentialbarriere til alle sider. Derfor er det vigtigt at få flyttet randen tilpas langt væk så disse effekter er tilpas små. To-dimensionelle systemer er altså meget tungere at arbejde med, hvorfor vi kun vil se kvalitativt på dem. Generelle forbedringsmuligheder Der er oplagt en del steder min kode kan forbedres både med hensyn til performance og nye features. Som et eksempel kan nævnes at koden ikke er bygget til at drage fordel af forskelle i x og y retning forstået sådan at x = y. Det betyder at vi ikke ville kunne køre med to forskellige opløsninger i x og y retning hvilket ellers kunne være smart fx hvis potentialet varierede langsommere i den ene retning end i den anden. Interessante potentialer og bølgepakker Fri partikel Som det første potential vælges naturligt nok ikke at have et potential det vil sige en fri partikel. Vi ser samme opførsel som i det en-dimensionelle tilfælde blot er opløsningen her dårligere og det er sværere at undgå randeffekter da kompleksiteten stiger hurtigere. Som før kan vi også give partiklen et skub vha. en planbølge og noget impuls. En animation af dette kan ses i filmen free-2d-16-gaussmoving.avi. Her skal det dog siges at vi bevæger os helt ud af domænet hvor partiklen kan kaldes fri, da den netop rammer kanterne af simulationen og derfor er i en uendelig dyb boks.

11 Hans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder Figur 6: 2D-simulation af en fri gauss-bølgepakke til tre forskellige tider. Harmonisk potentiale Det harmoniske potential simuleres også: V (r) = 1 2 r2 (13) Her bruges også en gaussisk bølgepakke som er centreret i bunden af potentialet. Resultatet kan ses i filmen harmonic-2d-16-gaussc.avi og på figur 7 Problemet er at beregningstiden gør det uforholdsmæssigt dyrt at simulere i 2D. Den dårlige opløsning kan evt. skjule struktur der er væsentlig for den fysiske problemstilling Konklusion Den anvendte metode finite difference approksimation samt Jacobi egenværdi algoritmen er anvendelige værktøjer som dog skal bruges varsomt, da man nemt kan snyde sig selv til at tro at man har set hele strukturen. Forskellen mellem den klassiske og den cykliske Jacobi algoritme er i mit tilfælde ikke stor, men det kan også skyldes den konkrete implementering. Der opnås god overensstemmelse på størrelsen af egenværdierne når de rigtigt parametre er valgt, men dette har ikke været det primære fokus for min undersøgelse. Det har derimod været den visuelle fremstilling især animationerne af tidsudviklingen af bølgefunktionerne for gaussbølgepakker. Disse har jeg brugt til at illustrere et lille udpluk af potentialer og jeg har forsøgt at finde interessante eller velkendte problemer fra kvantemekanikken og illustrere disse. 11/12

12 Figur 7: Gaussisk bølgepakke i harmonisk potentiale, N=16. Bølgepakken bliver ikke spredt og beholder i det store hele samme struktur over tid.