At løse ligninger - og om at danne billeder i matematik

Transkript

1 At løse ligninger At løse ligninger - og om at danne billeder i matematik Af projektmedarbejder Birgitte Ahrenfeldt, på baggrund af samarbejde med Flemming Lind, matematiklærer i 9. klasse på Herningvej Skole, skoleåret 2011/2012 Ligninger er for mange elever en stor udfordring de er abstrakte og vanskelige at komme i gang med. Der er ikke mening i at huske regneregler, hvis man ikke forstår, hvornår og hvordan de skal bruges. Vi (matematiklærer og projektmed arbejder) har en hypotese om, at hvis eleverne får: konkretiseret og sat billede på den ubekendte, x aktiveret deres forforståelse - samt i de daglige før-, underog efterfaser arbejder med førfaglige og faglige ord og begreber forbundet med ligninger forståelse for den matematiske proces via sprog og billeder opgaver og aktiviteter, der kræver tilpas både fysisk, psykisk og social deltagelse så vil eleverne: opleve at give og få viden fra andre se meningen med regnereglerne kunne anvende regnereglerne være i stand til at angribe selv vanskeligere ligninger udtrykke sig mere præcist, både hvad angår den matematiske proces samt ord og begreber Denne artikel skildrer et matematikforløb om ligninger i en 9. klasse. Forløbet strækker sig over 6 uger med en dobbeltlektion om ugen. Målet med forløbet er, at eleverne bliver så fortrolige med den matematiske proces og dermed brugen af regneregler, at de mundtligt og skriftligt kan gøre rede for processen og brugen af relevante regneregler samt fremover anvende dem i forbindelse med mere komplicerede ligninger/opgaver. For at nå det mål inddrager vi to væsentlige elementer. Den ene er aktiviteter, der giver eleverne mulighed for at danne billeder på matematikken. Den anden er at skabe sprogbrugssituationer, hvor alle elever arbejder sprogligt aktivt i og med den matematiske proces. 1 Fra vidensbanken på

2 At løse ligninger Billeder og sprogbrugssituationer Michael Wahl Andersen redegør i Matematiske billeder, sprog og læsning 1 for betydningen af at danne billeder for at forstå og lære matematik. Inspireret heraf blev det vigtigt for os at indtænke aktiviteter i forløbet, der kunne sætte elevernes billeddannelse i gang. Vi arbejder ud fra en forståelse af, at eleverne gennem arbejdet med forskellige ydre repræsentationer som konkrete materialer, hverdagssituationer, mundtlig og skrift lig kommunikation vil få mulighed for at danne indre repræsentationer, dvs. billeder og tanker. Matematiklæring er en proces, hvor målet er indsigt i symbolske strukturer og relationer. Denne ind sigt skabes dog ikke ved blot og bar træning af mate matiske symboler. Man skal kunne sætte ord på matematik, knytte matematikken til hverdagssituationer, knytte mate matikken til konkrete repræsentationer samt generalisere matematikken Konkrete materialer Hverdagssituationer Billeder Skriftlig kommunikation Mundtlig kommunikation Figur 1: Transformationer mellem forskellige repræsentationsformer. 3 produktmål gruppevis skal lave en film på nogle minutter, hvor de forklarer, hvordan man løser en ligning. En sådan tydelig indramning af undervisningen og elevernes indsigt i målene anser vi for vigtigt for elevernes udbytte af forløbet. Ikke mindst, når arbejdet med at tale om og gøre noget med sproget i faget er nyt for eleverne. 1. Wahl Andersen, Wahl Andersen, 2008, s Wahl Andersen, 2008, s.14 (D.B. Eriksen, 1993) gennem skriftlige symboler. 2 Gennem sprogbrugssituationer og ydre repræsentationer anvender eleverne sproget i en bevægelse fra sprog i forbindelse med handling og tæt på situationen til sprog fjernt fra situationen, som f.eks. skriftsprog. Derved skabes der relationer til elevernes indre billeddannelse, og matematisk tænkning muliggøres (figur 1). Indramning Forløbet indledes for eleverne med et rids over mål, indhold og form både mundtligt og skriftligt. Desuden får eleverne at vide, at de som 9. klasse består af 21 elever. For 7 af elevernes vedkommende er dansk deres andetsprog. Andre modersmål end dansk, dvs. andre sprog og anden viden, der kan trækkes på i klassen, er vietnamesisk, kinesisk, islandsk, somali og arabisk. Fra vidensbanken på 2

3 At løse ligninger I dag skal I lave: 3 øvelser med ord fra sidst (led, parentes, regel) 3 øvelser med nye ord (produkt, differens, sum) 2 eller flere øvelser med ligninger at tale sammen om og skrive regnereglerne i ligningerne I dag skal I lære: at huske, forklare og bruge ord fra sidst mere om hvad de nye ord betyder i matematik at udtrykke mundtligt og skriftligt hvad det er der sker, når du regner ligninger Som indledning til hvert modul fremlægger vi mundtligt modulets indhold og form. På tavlen skriver vi, hvad eleverne skal lave, og hvad de skal lære. Derved får de mulighed for at danne sig et overblik, som de timen igennem kan vende tilbage til. Billeder og ord i praksis For hver dobbeltlektion indleder vi undervisningen med at koble dagens undervisning til gangen før ved at repetere 3 fokus-ord. Dernæst arbejder vi med dagens 3 nye ord. På baggrund af det går vi over til at løse ligninger gennem procesbeskrivelse. Herunder ses et eksempel på Dagens ord, hvor vi bl.a. opfordrer eleverne til at anvende modersmål som en måde at koble ord og billeder. Formålet med at arbejde med de udvalgte nye ord er at skabe sprogbrugssituationer, der aktiverer hverdagssprog og hverdagsviden samt viden fra tidligere matematikundervisning, ved at eleverne parvis skal gætte, tegne, finde synonymer, antonymer, mime og skrive sætninger. Repetition af 3 ord fra sidst har til formål at trække tråde til forrige matematiklektion med henblik på at aktivere den viden eleverne har derfra i forhold til dagens læring. I repetitionsaktiviteterne går det derfor ud på at være matematisk præcis og kunne forklare ordet for sin kammerat. DAGENS ORD ORD ORDKLASSE MODERSMÅL SYNONYM FORKLARING/ SKRIV EN SÆTNING MED ORDET NOTATER/ BILLEDE/ TEGNING Sum Substantiv Suma (polsk) Antal I alt Lagt sammen Summen af seksten plus tre er nitten Gå op i Opløse Faktor Bilag 1. Se kopiark bagest i artiklen. 3 Fra vidensbanken på

4 At løse ligninger Udover at arbejde med de udvalgte fokus-ord, som beskrevet i ovenstående, indgår ordene i et sæt af ordkort, som vi arbejder med et par gange undervejs i forløbet. Billeder og fortælling fra hverdagen Halvdelen af eleverne former en cirkel og vender ryggen imod cirklens centrum. Udenom står den anden halvdel af eleverne med ansigtet mod kammeraterne (som på foto). Læreren giver eleverne et af fokusordene. Eleverne i indercirklen forklarer ordets betydning for kammeraten overfor. Derefter rykker eleverne i ydercirklen et skridt til højre, så alle får nye makkere. Og forklaringerne gentages for nye makkere et par gange, hvilket giver eleverne mulighed for at skærpe forklaringen for hver nye makker, der skal forklares for. Derefter sættes nye ord i gang af læreren. Inspireret af ideer fra Kagan og Stenlevs Coopera tive Learning foregår dette i eksempelvis Dobbeltcirkler 4. Sprogbrugssituationen aktiverer her et sprog, der bevæger sig væk fra hverdagssproget og sprog knyttet til handling, dvs. til et sprog, der er abstrakt og frit hængende i luften. Sproget gør her en større del af arbejdet, og eleverne bliver nødt til at uddybe samt forklare sig entydigt og præcist om detaljer for at kunne gøre sig forståelig. Det vil sige, det er et skridt i retning af det skriftsprogslignende matematiksprog. 4. Kagan og Stenlev, 2010, s Som optakt til forløbet om ligninger får eleverne historien om Åges søndagstur. Det er en lille fortælling, der giver mulighed for at få indre billeder på en hverdagssituation. Eleverne bliver desuden bedt om parvis at tegne historien og efterfølgende gøre rede for, hvad problemet er. Historien indeholder en ubekendt det er en ligning med en ubekendt. En ydre repræsentation i form af en hverdagssituation relateret til en anden ydre repræsentation i form af en matematisk konkret og mundtlig kommunikation. Åge er ude i sin gamle Lada på søndags - tur. Ladaen kører 9 km på 1 liter benzin. Åge spiser frokost på en rasteplads lidt syd for Køge efter at have kørt 63 km. Han funderer over, hvor mange liter benzin der er brugt på turen: Hvor mange liter benzin er der brugt på at køre 63 km, når forbruget er 9 km per liter? Efterfølgende skal eleverne, ligeledes parvis, skabe den modsatte proces, dvs. konstruere en ligning og skrive en historie på den. Derefter bytter eleverne opgaver/historier og løser hinandens ligninger. Fra dette går vi videre til en 3. ydre repræsentation i form af en skriftlig kommunikation, procesnotatet. Fra vidensbanken på 4

5 Som fotografierne afspejler, oplevede vi koncentration og engagement om opgaverne hos alle elever... 5 Fra vidensbanken på

6 At løse ligninger Billeder og matematiske processer I denne sammenhæng ønsker vi at tydeliggøre og konkret arbejde med den matematiske proces. Med tanke på at skabe indre billeder gennem ydre repræsentationer præsenterer vi derfor eleverne for et procesnotat (bilag 2). Vi går langsomt til værks. På baggrund af hverdagshistorien om Åge, egen billedproduktion samt produktion af egne fortællinger/ligninger får eleverne i første omgang procesnotatets dele (procesnotatet forstørret og klippet ud) et ad gangen, så de parvis kan arbejde sig mundtligt og skriftligt igennem processen. Gradvist får eleverne gennem forløbet stadig sværere ligninger, der skal løses via procesnotatet. For at understøtte processen med at sætte ord og billeder på den matematiske proces får eleverne sprogpædagogiske opgaver som eks. at parre mellemregninger i tal og symboler med den rigtige løsningsregel (bilag 3) og senere at indsætte manglende løsningsregler og udregninger (bilag 4). I slutningen af forløbet skal eleverne lave små film med det formål at anvende viden om den matematiske proces i forbindelse med at løse ligninger samt sætte ord og billeder på så præcist som muligt. For at få et billede af og gøre sig tanker om, hvordan det virker for modtageren at høre og se en forklaring på løsning af ligninger, ser eleverne først et eksempel, vi har fundet under Fri viden på Youtube. Eleverne kommenterer på indhold og proces i udregningen samt performance. Efter følgende får eleverne til opgave at finde en ligning, de på samme måde skal fremvise på klassen og lægge ud på Youtube til gavn for andre elever. I en sådan sprogbrugssituation er der stor distance både til emnet og kommunikationens modtagere, hvilket kræver, eleverne formulerer sig matematisk korrekt på både indholds-, proces- og ordniveau. (Nogle af resulta ter ne kan ses på projektets hjemmeside: Bilag 2 Procesnotat Navn: Ligning nr. 1a Indsæt løsningsreglerne ved de rigtige steder i Problem Her skriver du med dine ord, hvad du skal finde ud af: Hvad har jeg brug for at vide/blive klogere på? ligningen Ligning 3a Indsæt de manglende løsningsregler og udregninger Før-viden Ny-viden Tegn Her skriver du nøgleord, regler eller andet om emnet, som du måske kan bruge for at løse opgaven: Her skriver du de oplysninger, du får i teksten til at løse opgaven: Her tegner du opgaven: 2(x+3) = 16 reduktion 2x+6-6 = 16-6 reduktion løsning 2x = 2(8-3x) 2x = 10 der ganges ind i parentesen 2x = 16-6x reduktion 8x = 16 2x/2 = 10/2-6 trækkes fra på begge sider af lighedstegnet 8x/8 = 16/8 X = 5 division med 2 på begge sider af lighedstegnet Ligning nr. 2a Indsæt løsningsreglerne ved de rigtige steder i Der lægges 6x til på begge sider af lighedstegnet Løsning ligningen Ligning 3b Indsæt de manglende løsningsregler og udregninger Fremgangsmåde Her forklarer du med ord, hvordan du vil regne opgaven: 4x-2+4 = 6 reduktion løsning 2(3x+4) = -4(3x+2½) der ganges ind i parentesen = reduktion Udregn Her laver du dine udregninger: 4x+2 = 6 reduktion 6x+8-8 = -12x x = -12x-18 = 12x lægges til på begge sider af lighedstegnet Svar Her svarer du med tekst (som en fortælling) 4x+2-2 = 6-2 division med 4 på begge sider af lighedstegnet 4x = 4 ophæve parentes 4x/4 = 4/4-2 trækkes fra på begge sider af lighedstegnet X = 1 reduktion 18x = -18 division med 18 på begge sider af lighedstegnet løsning Herningvej Skole, 9. klasse Bilag 2, 3 og 4. Se kopiark bagest i artiklen. Fra vidensbanken på 6

7 At løse ligninger Det er en informationskløftsopgave, hvor eleverne parvis (A og B) sidder med hver sin halvdel af en krydsordsopgave. A forklarer på matematiksprog de ord, der står på hans ark, så B kan gætte det og udfylde de tomme felter på sit ark. På samme måde forklarer B for A. Både lærer og elever har mulighed for at evaluere på udbytte i forbindelse med disse afsluttende opgaver. Resultat og evaluering Forløbet afsluttes med en sprogpædagogisk opgave, der har til formål at konsolidere matematiske ord og begreber. Til dette bruger vi en krydsordsopgave (Bilag 5). Efter afvikling af forløbet evaluerer matematiklærer og projektmedarbejder. Vi evaluerer både i forhold til målet: at eleverne bliver så fortrolige med den matematiske proces og dermed brugen af regneregler, at de mundtligt og skriftligt kan gøre rede for processen og brugen af relevante regneregler samt fremover anvende dem i forbindelse med mere komplicerede ligninger/opgaver og i forhold til vores indledende hypoteser. 7 Fra vidensbanken på

8 At løse ligninger Om elevernes faglige og sproglige udbytte siger matematiklæreren, at flere kunne løse ligninger i forvejen. Men viften af pædagogiske aktiviteter har bidraget til, at ikke blot de elever med dansk som andetsprog, som vi her har haft særlig fokus på, men også de øvrige elever har deltaget aktivt, formuleret sig mundtligt og skriftligt om matematiske symboler, begreber og processer i en variation af sammenhænge. Derved har eleverne fået et både bredere og mere præcist sprog. At eleverne blev fortrolige med den matematiske proces og fik lært mundtligt at gøre rede for den matematiske proces og regneregler, kan vi se ud af de klip, eleverne har lagt på Youtube. (En måned efter forløbets afslutning har elever i øvrigt uopfordret anvendt ord som produkt i en skriftlig færdighedsopgave, og det ser matematiklæreren som et udtryk for, at arbejdet med ord og billeder har sat sig mentale spor). sig rollen som læreren og fik derved en udfordring i at omsætte den faglige viden og det sproglige abstraktionsniveau, hun var kommet til, til viden og sprog, der matchede rollen som elev, som Henrik havde fået og påtaget sig. Ud over den sproglige udfordring for Lan, der lå i denne opgave, samt faglige og sproglige udfordring for Henrik, peger matematiklæreren på det generelle engagement, der var omkring opgaverne. Han ser desuden et fagligt og socialt potentiale i, at eleverne oplever at gøre sig erfaringer med at virke i en variation af betydningsskabende aktiviteter og samarbejdsrelationer. Elevernes daglige roller og opfattelse af sig selv som hørende med til de dygtige eller de svage bliver brudt, og de gives mulighed for nye roller og erfaringspositioner. Skeptikere påpeger af og til risikoen for ikke at skabe udviklingsmuligheder for de fagligt dyg tige elever, når disse skal samarbejde med, forstået som at vente på, elever med faglige vanskeligheder. Som fotografierne afspejler, oplevede vi koncentration og engagement om opgaverne hos alle elever, hvilket vi ser som et udtryk for, at de oplevede at blive tilpas udfordret både fagligt og socialt. Via fysisk aktivitet og variation i opgaverne samt faglig og sproglig progression i sprogbrugssituationerne blev eleverne sat i mange forskellige samarbejdssituationer. Samarbejdsrelationerne var kortvarige og lærerstyrede. Derved satte vi fokus på opgaven og fjernede elevernes, for denne sammenhæng unødvendige og forstyrrende, tanker om f.eks. hvem kan og vil jeg arbejde sammen med. En observation af et pararbejde mellem en, ifølge lærerens vurdering, fagligt og sprogligt dygtig elev, Lan 5, med dansk som andetsprog og en elev, Henrik, med dansk som modersmål, men med sproglige og faglige vanskeligheder, forløb koncentreret og udviklende for begge parter. I samarbejdet fik og påtog Lan Litteraturliste: Andersen, Michael Wahl (2008), Matematiske billeder, sprog og læsning, Dafolo Forlag og forfatteren, Frederikshavn Kagan, Spencer og Jette Stenlev (2006), Cooperative Learning, Kagan Publishing, Spencer Kagan Jette Stenlev, Alinea, København, 1. udgave, 9. oplag, 2010 Mulvad, Ruth (2009), Sprog i skole, Alinea, København 5. Elevernes navne er ændret Fra vidensbanken på 8

9 At løse ligninger / Bilag 1 DAGENS ORD ORD ORDKLASSE MODERSMÅL SYNONYM FORKLARING/ SKRIV EN SÆTNING MED ORDET Sum Substantiv Suma (polsk) Antal I alt Lagt sammen Summen af seksten plus tre er nitten Gå op i Opløse Faktor NOTATER/ BILLEDE/ TEGNING 9 Fra vidensbanken på

10 Bilag 2 / At løse ligninger Procesnotat Navn: Problem Her skriver du med dine ord, hvad du skal finde ud af: Hvad har jeg brug for at vide/blive klogere på? Før-viden Her skriver du nøgleord, regler eller andet om emnet, som du måske kan bruge for at løse opgaven: Ny-viden Her skriver du de oplysninger, du får i teksten til at løse opgaven: Tegn Her tegner du opgaven: Fremgangsmåde Her forklarer du med ord, hvordan du vil regne opgaven: Udregn Her laver du dine udregninger: Svar Her svarer du med tekst (som en fortælling) Herningvej Skole, 9. klasse Fra vidensbanken på 10

11 At løse ligninger / Bilag 3 Ligning nr. 1a Indsæt løsningsreglerne ved de rigtige steder i ligningen 2(x+3) = 16 reduktion 2x+6 = 16 reduktion 2x+6-6 = 16-6 løsning 2x = 10 der ganges ind i parentesen 2x/2 = 10/2-6 trækkes fra på begge sider af lighedstegnet X = 5 division med 2 på begge sider af lighedstegnet Ligning nr. 2a Indsæt løsningsreglerne ved de rigtige steder i ligningen (4x-2)+4 = 6 reduktion 4x-2+4 = 6 løsning 4x+2 = 6 reduktion 4x+2-2 = 6-2 division med 4 på begge sider af lighedstegnet 4x = 4 ophæve parentes 4x/4 = 4/4-2 trækkes fra på begge sider af lighedstegnet X = 1 reduktion 11 Fra vidensbanken på

12 Bilag 3 / At løse ligninger Ligning nr. 1b Indsæt løsningsreglerne ved de rigtige steder 2(2+2x) = 2x+8 4 trækkes fra på begge sider af lighedstegnet 4+4x = 2x +8 2x trækkers fra på begge sider af lighedstegnet 4+4x-2x = 2x+8-2x reduktion 4+2x = 8 reduktion 4-2x-4 = 8-4 løsning 2x = 4 division med 2 på begge sider af lighedstegnet 2x/2 = 4/2 der ganges ind i parentesen x = 2 reduktion Ligning nr. 2b Indsæt løsningsreglerne ved de rigtige steder 2x (6x+2) = 2x+10 reduktion 2x-6x-2 = 2x+10 reduktion -4x-2 = 2x+10 2x trækkes fra på begge sider af lighedstegnet -4x-2-2x = 2x+10-2x reduktion -6x-2 = 10 2 lægges til på begge sider af lighedstegnet -6x-2+2 = 10+2 minusparentesen ophæves -6x = 12 division med -6 på begge sider af lighedstegnet -6x/-6 = 12/-6 reduktion x = -2 løsning Fra vidensbanken på 12

13 At løse ligninger / Bilag 4 Ligning 3a Indsæt de manglende løsningsregler og udregninger 2x = 2(8-3x) 2x = 16-6x reduktion Der lægges 6x til på begge sider af lighedstegnet 8x = 16 8x/8 = 16/8 Løsning Ligning 3b Indsæt de manglende løsningsregler og udregninger 2(3x+4) = -4(3x+2½) der ganges ind i parentesen = reduktion 6x+8-8 6x = -12x-10-8 = -12x-18 = 12x lægges til på begge sider af lighedstegnet 18x = -18 division med 18 på begge sider af lighedstegnet løsning 13 Fra vidensbanken på

14 Bilag 5 / At løse ligninger A s krydsordsark B s krydsordsark Fra vidensbanken på 14