AT LØSE LIGNINGER og om at danne billeder i matematik

Transkript

1 AT LØSE LIGNINGER og om at danne billeder i matematik - af Birgitte Ahrenfeldt, på baggrund af samarbejde med Flemming Lind, matematiklærer i 9. klasse på Herningvej Skole, skoleåret 2011/ klasse består af 21 elever. For 7 af elevernes vedkommende er dansk deres andetsprog. Andre modersmål end dansk, dvs. andre sprog og anden viden, der kan trækkes på i klassen, er vietnamesisk, kinesisk, islandsk, somali og arabisk. Udfordringen Ligninger er for mange elever en stor udfordring de er abstrakte og vanskelige at komme i gang med. Der er ikke mening i at huske regneregler, hvis man ikke forstår, hvornår og hvordan de skal bruges. Vi (matematiklærer og projektmedarbejder) havde en hypotese om, at hvis eleverne fik konkretiseret og billede på den ubekendte, x, aktiveret deres forforståelse samt i de daglige før-, under- og efterfaser arbejdede med før- faglige og faglige ord og begreber forbundet med ligninger forståelse for den matematiske proces via sprog og billeder opgaver og aktiviteter der krævede tilpas både fysisk, psykisk og social deltagelse så ville eleverne opleve at give og få viden fra andre se meningen med regnereglerne kunne anvende regnereglerne være i stand til at angribe selv vanskeligere ligninger udtrykke sig mere præcist både hvad angår den matematiske proces samt ord og begreber 1

2 Eksperimentet Indramning Eleverne i 9. kl. er efterhånden vant til at se mig (projektmedarbejder) og ved, at det bl.a. betyder forskelligt fra den daglige undervisning. Vi anså det derfor som vigtigt for elevernes udbytte af forløbet (12 lektioner over 6 moduler/uger), at vi rammede undervisningen tydeligt ind. Samarbejdet om opgaverne i undervisningssituationen havde læreren og jeg fordelt imellem os, så vi på skift underviste og observerede. Forløbet indledtes for eleverne med et rids over mål, indhold og form både mundtligt og skriftligt. Desuden fik eleverne at vide at de, som produktmål, gruppevis skulle lave en film på nogle minutter, hvor de forklarede, hvordan man løser en ligning. Som indledning til hvert modul, fremlagde vi mundtligt modulets indhold og form. På tavlen skrev vi, hvad eleverne skulle lave og hvad de skulle lære. Derved fik de mulighed for at danne sig et overblik, som de timen igennem kunne vende tilbage til. For hvert modul indledte vi undervisningen med at koble dagens undervisning til gangen før ved at repetere 3 fokus- ord. Dernæst arbejdede vi med dagens 3 nye ord. På baggrund af det gik vi over til at løse ligninger gennem procesbeskrivelse. I dag skal I LAVE: 3 øvelser med ord fra sidst (led, parentes, regel) 3 øvelser med nye ord (produkt, differens, sum) 2 eller flere øvelser med ligninger at tale sammen om og skrive regneregler i ligninger I dag skal I LÆRE: at huske, forklare og bruge ord fra sidst at udtrykke mundtligt og skriftligt hvad det er der sker, når du regner ligninger 2

3 Billeder og sprogbrugssituationer Inspireret af Michael Wahl Andersens redegørelse, i g læsni, for betydningen af at danne billeder for at forstå og lære matematik, blev det vigtigt for os at indtænke aktiviteter i forløbet, der kunne sætte elevernes billeddannelse i gang. Vi arbejdede ud fra en forståelse af, at eleverne gennem arbejdet mellem forskellige ydre repræsentationer, som konkrete materialer, hverdagssituationer, mundtlig og skriftlig kommunikation ville få mulighed målet er indsigt i symbolske strukturer og relationer. Denne indsigt skabes dog ikke ved blot og bar træning af matematiske symboler. Man skal kunne sætte ord på matematik, knytte matematikken til hverdagssituationer, knytte matematikken til konkrete repræsentationer samt generalisere 1. Gennem sprogbrugssituationer 2 og ydre repræsentationer 3 anvender eleverne sproget i en bevægelse fra sprog i forbindelse med handling og tæt på situationen, til sprog fjernt fra situationen, som eks. skriftsprog. Derved skabes der relationer til elevernes indre billeddannelse og matematisk tænkning muliggøres. 4 1 Wahl Andersen, 2008, s Mulvad, Wahl Andersen, Wahl Andersen, 2008, s. 14 (fra D.B. Eriksen, 1993) 3

4 Billeder og ord i praksis Som nævnt indledte vi hvert modul med at repetere 3 udvalgte ord fra sidst samt satte fokus på 3 hvor vi bl.a. opfordrede eleverne til at anvende modersmål, som en måde at koble ord og billeder. Formålet med at arbejde med de udvalgte nye ord var at skabe sprogbrugssituationer, der aktiverede hverdagssprog og viden samt viden fra tidligere matematikundervisning ved at eleverne parvis skulle gætte, tegne, finde synonymer/modsat betydning, mime og skrive sætninger. Repetition af 3 ord fra sidst havde til formål at trække tråde til forrige matematiklektion med henblik på at aktivere den viden eleverne havde derfra i forhold til dagens læring. I repetitionsaktiviteterne gik det derfor ud på at være matematisk præcis og kunne forklare ordet for sin kammerat. Inspireret af ideer fra Kagan og Stenlevs foregik dette i Dobbeltcirkler 5. Halvdelen af eleverne former en cirkel og vender ryggen imod cirklens centrum. Udenom står den anden halvdel af eleverne med ansigtet mod kammeraterne (som på foto). Læreren giver eleverne et af fokus- ordene. Eleverne i indercirklen forklarer ordets betydning for kammeraten overfor. Derefter rykker eleverne i ydercirklen et skridt til højre, så alle får nye makkere. Og forklaringerne gentages for nye makkere et par gange, hvilket giver eleverne mulighed for at skærpe forklaringen for hver nye makker, der skal forklares for. Derefter sættes nye ord i gang af læreren. Sprogbrugssituationen aktiverer her et sprog der bevæger sig væk fra hverdagssproget og sprog knyttet til handling, dvs. til et sprog der er abstrakt og frit hængende i luften. Sproget gør her en større del af arbejdet, og eleverne bliver nødt til at uddybe samt forklare sig entydigt og præcist om detaljer for at kunne gøre sig forståelig. Det vil sige det er et skridt i retning af det skriftsprogslignende matematiksprog. Udover at arbejde med de udvalgte fokus- ord, som beskrevet i ovenstående, indgik ordene i et sæt af ordkort, som vi arbejdede med et par gange. 5 Kagan og Stenlev, 2010, s

5 Billeder og fortælling fra hverdagen Som optakt til forløbet om ligninger fik eleverne historien om Åges søndagstur. Det er en lille fortælling, der giver mulighed for at få indre billede på en hverdagssituation. Eleverne blev desuden bedt om parvis at tegne historien og efterfølgende gøre rede for hvad problemet er. Historien indeholder en ubekendt det er en ligning med en ubekendt. En ydre repræsentation i form af en hverdagssituation relateret til en anden ydre repræsentation i form af en matematisk konkret og mundtlig kommunikation. Efterfølgende skulle eleverne, ligeledes parvis, skabe den modsatte proces, dvs. konstruere en ligning og skrive en historie på den. Derefter byttede eleverne opgaver/historier og løste hinandens ligninger. Fra dette gik vi videre til en 3. ydre repræsentation i form af en skriftlig kommunikation, procesnotatet. Billeder og matematiske processer I denne sammenhæng ønskede vi at tydeliggøre og konkret arbejde med den matematiske proces. Med tanke på at skabe indre billeder gennem ydre repræsentationer præsenterede vi eleverne for procesnotatet (bilag 2). Vi gik langsomt til værks. På baggrund af hverdagshistorien om Åge, egen billedproduktion samt produktion af egne fortællinger/ligninger fik eleverne i første omgang procesnotatets dele (procesnotatet forstørret og klippet ud) et ad gangen, så de parvis kunne arbejde sig mundtligt og skriftligt igennem processen. Gradvist fik eleverne gennem forløbet stadig sværere ligninger, der skulle løses via procesnotatet. For at understøtte processen med at sætte ord og billeder på den matematiske proces fik eleverne sprogpædagogiske opgaver som eksat parre mellemregninger i tal og symboler med den (bilag 3 indsætte manglende løsning). Åge er ude i sin gamle Lada på søndagstur. Ladaen kører 9 km på 1 li- ter benzin. Åge spiser frokost på en rasteplads lidt syd for Køge efter at have kørt 63 km. Han funderer over, hvor mange liter benzin der er brugt på turen: Hvor mange liter benzin er der brugt på at køre 63 km, når forbruget er 9 km per liter? 5

6 I slutningen af forløbet skulle eleverne lave små film med det formål at anvende viden om den matematiske proces i forbindelse med at løse ligninger samt sætte ord og billeder på så præcist som muligt. For at få et billede af og gøre sig tanker om hvordan det virker for modtageren at høre og se en forklaring på Youtube. Eleverne kommenterede på indhold og proces i udregningen samt performance. Efterfølgende fik eleverne til opgave at finde en ligning, de på samme måde skulle fremvise på klassen og lægge ud på Youtube til gavn for andre elever. I en sådan sprogbrugssituation er der stor distance både til emnet og kommunikationens modtagere, hvilket kræver, eleverne formulerer sig matematisk korrekt på både indholds-, proces- og ordniveau. Nogle af resultaterne kan ses på følgende adresser: SsXG7YDNqAPZIcDuIP m2qosiq0uy Den afsluttende sprogpædagogiske opgave, der havde til formål at konsolidere matematiske ord og begreber, foregi). Det er en informationskløftsopgave, hvor eleverne parvis (A og B) sidder med hver sin halvdel af en krydsordsopgave. A forklarer på 6

7 matematiksprog, de ord der står på hans ark, så B kan gætte det og udfylde de tomme felter på sit ark. På samme måde forklarer B for A. Både lærer og elever har mulighed for at evaluere på udbytte i forbindelse med disse afsluttende opgaver. Mål Målet for forløbet var at eleverne blev så fortrolige med den matematiske proces og dermed brugen af regneregler, at de mundtligt og skriftligt kunne gøre rede for processen og brugen af relevante regneregler samt fremover anvende dem i forbindelse med mere komplicerede ligninger/opgaver. Resultat og evaluering Efter afvikling af forløbet evaluerer matematiklærer og projektmedarbejder. Om elevernes faglige og sproglige udbytte siger matematiklæreren, at flere kunne løse ligninger i forvejen. Men viften af pædagogiske aktiviteter har bidraget til, at ikke blot elever med dansk som andetsprog, som Projekt Uddannelsesløft primært retter sig imod, men også de øvrige elever har deltaget aktivt, formuleret sig mundtligt og skriftligt om matematiske symboler, begreber og processer i en variation af sammenhænge. Derved har eleverne fået et både bredere og mere præcist sprog. En måned efter forløbets afslutning har elever uopfordret anvendt ord som og det ser matematiklæreren som et udtryk for at arbejdet med ord og billeder har sat sig mentale spor. Skeptikere påpeger af og til risikoen for ikke at skabe udviklingsmuligheder for de fagligt dygtige elever, når disse skal samarbejde med, forstået som at vente på, elever med faglige vanskeligheder. Som fotografierne afspejler, oplevede vi koncentration og engagement om 7

8 opgaverne hos alle elever, hvilket vi ser som et udtryk for, at de oplevede at blive tilpas udfordret både fagligt og socialt. Via fysisk aktivitet og variation i opgaverne samt faglig og sproglig progression i sprogbrugssituationerne blev eleverne sat i mange forskellige samarbejdssituationer. Samarbejdsrelationerne var kortvarige og lærerstyrede. Derved satte vi fokus på opgaven og fjernede elevernes, for denne sammenhæng unødvendige og forstyrrende, tanker om f.eks. hvem kan og vil jeg arbejde sammen med. En observation af et pararbejde mellem en, ifølge lærerens vurdering, fagligt og sprogligt dygtig elev, Lan 6, med dansk som andetsprog og en elev, Henrik, med dansk som modersmål men sproglige og faglige vanskeligheder, forløb koncentreret og udviklende for begge parter. I samarbejdet fik og påtog Lan sig rollen som læreren, og fik derved en udfordring i at omsætte den faglige viden og det sproglige abstraktionsniveau, hun var kommet til, til viden og sprog, der matchede rollen som, som Henrik havde fået og påtaget sig. Ud over den sproglige udfordring der lå i denne opgave for Lan samt faglige og sproglige udfordring for Henrik, peger matematiklæreren på det generelle engagement, der var omkring opgaverne. Han ser desuden et fagligt og socialt potentiale i, at eleverne oplever at gøre sig erfaringer med at virke i en variation af betydningsskabende aktiviteter og samarbejdsrelationer. Elevernes daglige roller og opfattelse af sig selv som hørende med til eller roller og erfaringspositioner. At eleverne blev fortrolige med den matematiske proces og fik lært mundtligt at gøre rede for den matematiske proces og regneregler kan vi se ud af de klip eleverne har lagt på Youtube. Matematiklæreren bruger efterfølgende tanker og ideer fra dette forløb i en 8. klasse, hvor han supplerer med nye og justerede sprogpædagogiske opgaver aktiviteter. 6 Elevernes navne er ændret 8

9 Litteraturliste: Andersen, Michael Wahl, Matematiske billeder, sprog og læsning, Dafolo Forlag og forfatteren, Frederikshavn, 2008 Kagan, Spencer og Jette Stenlev, Cooperative Learning, 2006 Kagan Publishing, Spencer Kagan Jette Stenlev, Alinea, København, 1. udgave, 9. oplag, 2010 Mulvad, Ruth, Sprog i skole, Alinea, København,

10 !"#$%'!"#$%'()!'!'!"#$!"#%'(()$ *!#)"(*+$ (,-!-,*$.!"%'"/-01$ (%"/2$)-$ (34-/-0$*)#$!"#)4$ $ (67$ Substantiv Suma (polsk) $ 08$9:$;$ $ Antal I alt Lagt sammen Summen af seksten plus tre er nitten -!4'4)"1$ 5/)#)1$ 4)0-/-0$ $!:<=>?$$ $.@AB9C$$$!!! "#$!%'()*+$),()!-.!///01''$))(2*(*23(450',!

11 !"#$%' ()*+,-.*/$/ 0$1.: Problem Her skriver du med dine ord, hvad du skal finde ud af: Hvad har jeg brug for at vide/blive klogere på? Før-viden Her skriver du nøgleord, regler eller andet om emnet, som du måske kan bruge for at løse opgaven: Ny-viden Her skriver du de oplysninger du får i teksten til at løse opgaven: Tegn Her tegner du opgaven: Fremgangsmåde Her forklarer du med ord, hvordan du vil regne opgaven: Udregn Her laver du dine udregninger: Svar Her svarer du med tekst (som en fortælling) 2,).".%1,345*#,6785#$--,

12 !"#$%'!"#$"$#%$'%()% *$+,-.%/0,$"$#,1#/1$1%21+%+1%"#."#1%,.1+1%"% /"#$"$#1$% ()*+', -./ "67 (*+/ -./ "67 (*+/8/ -./8/ #9:7"7% (* -.; 210%$7%1:"72"<$01751:17 (*=( -.;=( C -D GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG!"#$"$#%$'%3)% *$+,-.%/0,$"$#,1#/1$1%21+%+1%"#."#1%,.1+1%"% /"#$"$#1$% )H*8(,+H -/ "67 H*8(+H -/ #9:7"7% H*+( -/ "67 H*+(8( -/8( H* -H 6<B>E1<$01751: H*=H -H=H C "67!"#$%'()*+#),()$-.$///01''#))(2*(*23(450',$

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

15 !"#$%'!"#$%'(#)(#*%$ +"#$%'(#)(#*% $!"#$%'()*+#),()$-.$///01''#))(2*(*23(450',$