Er der en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast? - En undersøgelse af aktier i S&P 500

Transkript

1 D E T S A M F U N D S V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T Ø k o n o m i s k I n s t i t u t K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Kandidatspeciale (Finance) Kasper Emil Schmidt Olsson Er der en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast? - En undersøgelse af aktier i S&P 500 Vejleder: Hans Bay Antal ECTS: 30 Afleveret den: 14/04/2014 i

2 Abstract This thesis is about the relationship between risk and return. CAPM predicts a positive relation between volatility and expected returns, but new literature have shown that the relationship is rather negative than positive and that low volatility stocks outperform high volatility stocks. More authors have joined the discussion and some studies also show, that the relationship is actually positive and the differences between the findings, are down to different data and general methods. In this thesis a test of the relationship between risk and return is tested in the S&P 500 index. The author tries different measures of volatility, portfolio weighting, mean types and portfolio timespan. The author also estimates Jensen s s to compare the risk-adjusted returns from the different portfolios. In this study the relationship between risk and return is shown to be positive for total returns in the S&P 500 index, in the period 1990 to 2013, both years included. The results are robust for all the methods tried, even though there is quite a lot of difference between the different spreads. In general the market-cap weighted portfolios show a much larger growth in high volatilty stocks than the equal weighted portfolios. The conclusions remains the same though. The spreads between highest and lowest volatilty portfolios are 19,74 percent points and 5,2 percent points, for geometric averaged yearly portfolio returns. The big differences is caused by the choice of volatility timespan and portfolio weighting. Estimation of risk-adjusted returns, the s, show that low volatility stocks outperforms high volatility stocks. This conclusion is not robust though. Market-cap weighted portfolios estimates are insignificant and therefore show no difference in the s. The equal-weighted portfolios show significant results though. More effects might drive the results of the findings. Since the author only considers large cap stocks the default probability might be a lot lower in this data, than for other data sources, including both small-cap and middle-cap. This could drive the result towards higher returns for high volatilty stocks, since they in general have less chance to default than shares in data including middle and small-cap stocks. More effects are explained in the thesis. ii

3 The author ends up concluding, that the search for the relation between risk and returns requires more research and that a lot of different approaches can result in different outcomes, therefore it becomes very hard to make strong and robust analysis that satisfies all perspectives on the subject. iii

4 Indhold 1 Introduktion, motivation og problemformulering Problemformulering Motivation Introduktion S&P 500 indekset Metode og teori Beskrivelse af metode og modeller Inddeling baseret på volatilitet Værdivægtet portefølje vs. Ligevægtet portefølje Aritmetisk gennemsnit vs. Geometrisk gennemsnit Rå Afkast og Sharpe Ratio Capital Asset Pricing Model Fama-French Three-Factor model Idiosynkratisk volatilitet Kritik af CAPM, Fama French Three-Factor Model og Sharpe Ratio Roll s Kritik fra Sharpe Ratio og generelt finansiel modellering Alternativer til den valgte metode Data Dataindsamling Survivorship Bias Den Risikofrie Rente Præsentation, indhentning - og bearbejdning af den indhentede data Resultater og fortolkning Nøgletal og opsamling Kommentarer til resultaterne Side 1 af 79

5 5 Perspektivering Konklusion Litteraturliste Bilag... 1 Side 2 af 79

6 Figur liste Figur 2-1 Udviklingen i S&P 500 indekset fra til Figur Illustration af sammenhængen mellem afkast i Markedsportefølje, Beta og afkastet for et vilkårligt aktiv Figur 3-2 Plot af fordelingen af logafkast vs normalfordelingen, som er tilpasset S&P 500s gennemsnit og standardafvigelse Figur 4-1 Udvikling i årlig rente på 3 måneders Treasury Bill fra primo 1990 til ultimo Figur 4-2 Antallet af aktier fordelt i de forskellige måneder og år Figur 4-3 Udvikling i daglige afkast for månedsdata, hvor data medtages fra denne bliver tilgængelig Figur 4-4 Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 måneds volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for MKvægtede porteføljer med 1 måneds volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 års volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for MKvægtede porteføljer med 1 års volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 måneds idiosynkratisk volatilitetsvurdering Figur 4-9 Udviklingen i en investering på 1 dollar for MKvægtede porteføljer med 1 måneds idiosynkratisk volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 års idiosynkratisk volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for markedskapitaliseringsvægtede porteføljer med 1 års idiosynkratisk volatilitetsvurdering Figur 8-1 Udvikling i logafkast for S&P 500 i perioden primo 1990 til ultimo Side 3 af 79

7 Tabel liste Tabel 3-1 De forskellige scenarier til sammenligning af de rå afkast og Sharpe Ratios Tabel Eksempel på markeds- og aktivafkast til forståelse af Beta Tabel Afkast i kun 2 scenarier Tabel Effekten af størrelsen på Tabel 3-5 Overblik over momenter i S&P 500s logafkast fra primo 1990 ultimo Tabel 4-1 Bloomberg koder og beskrivelse af data der indhentes Tabel 4-2 Antallet af observationer i data sorteret på månedsnummer Tabel 4-3 Det gennemsnitlige antal observationer i hver tidsperiode med mere Tabel 4-4 Den gennemsnitlige andel af markedskapitaliseringen, der ligger i de forskellige volatilitetsgrupper. Data for månedsinddeling Tabel 4-5 Udviklingen i årlige afkast for månedsregulering af porteføljer Tabel Udviklingen i årlige afkast for årsregulering af porteføljer Tabel 4-7 Estimationer af og markeds- for ligevægetede porteføljer Tabel 4-8 Estimationer af og markeds- for markedskapitaliseringsvægtede porteføljer Tabel 4-9 Udregning af spread mellem højeste volatilitetsgruppe og laveste volatilitetsgruppe Tabel Udviklingen i årlige afkast for månedsregulering af porteføljer dannet med idiosynkratisk volatilitet Tabel Udviklingen i årlige afkast for månedsregulering af porteføljer dannet med idiosynkratisk volatilitet Tabel Estimationer af og markeds- for ligevægtede porteføljer, idiosynkratisk volatilitet Tabel Estimationer af og markeds- for markedskapitaliseringsvægtede porteføljer, idiosynkratisk volatilitet Tabel Udregning af spread mellem højeste volatilitetsgruppe og laveste volatilitetsgruppe Tabel Opsummering af centrale spreads, afkast og nøgletal for de forskellige metoder Tabel 5-1 Opsamling på diverste studiers resultater Side 4 af 79

8 Tabel 6-1 Spread mellem højeste volatilitetsgruppe og laveste afhængigt af metode og inddelingstype Tabel 6-2 Spreads i årligt Jensens for de forskellige gruppeinddelinger Tabel 8-1 De aktier der udelades fra analysen på grund af manglende data fra Bloomberg... 2 Tabel 8-2 De indgående aktier med antallet af tidsperioder de indgår, det gennemsnitlige logafkast og standard afvigelsen af denne... 4 Side 5 af 79

9 1 Introduktion, motivation og problemformulering I de følgende afsnit præsenteres først specialets problemformulering. Herefter redegør jeg for motivationen for at skrive om sammenhængen mellem volatilitet og forventet afkast på aktier. Slutteligt skrives den egentlige introduktion til specialets emne. 1.1 Problemformulering Målet med dette speciale er at undersøge om, der findes en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast på aktier. Opgaven vil tage udgangspunkt i teoretiske tilgange til problemstillingen, som blandt andet er fremlagt i (van Vliet, Blitz, & van der Grient, 2011) og vil begrænse sig til en undersøgelse af aktierne i S&P 500 fra perioden primo 1990 til og med udgangen af Motivation Jeg har valgt at skrive netop dette speciale, grundet min interesse for de finansielle fag gennem studieforløbet. Ydermere er et emne af denne type interessant, da det stiller spørgsmålstegn ved et generelt accepteret grundelement i finansieringsteorien. Det har desuden været vigtigt for mig at tage fat i et emne, som jeg ikke har været præsenteret for tidligere dette til dels på grund af udfordringen, men også fordi der ikke er en entydig forventning til specialets konklusion, inden arbejdet påbegyndes. 1.3 Introduktion Denne opgave har til formål at undersøge, om den såkaldte low volatilty anomaly (fremover oversat til lav volatilitets uregelmæssigheden) fremkommer i S&P 500 indekset. Der undersøges en periode, som starter primo 1990 og slutter ultimo Meget økonomisk teori inden for finansiering forudsiger, at et forventet afkast er positivt afhængigt af en given risiko. En høj risiko er lig med et relativt højt forventet afkast og en lavere risiko er lig med et mindre forventet afkast 1. Denne teori er 1 Se eventuelt CAPM, Mean-Variance eller lignende i blandt andet (Grinblatt & Titman, 2004) eller (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010). Side 6 af 79

10 forsøgt testet et utal af, gange og særligt i starten af 90 erne 2 bliver der for alvor stillet spørgsmålstegn ved rigtigheden af denne sammenhæng, da særligt to kendte studier finder at, sammenhængen mellem afkast og risiko er flad eller aftagende. I nyere litteratur bekræftes disse resultater yderligere for amerikanske aktier, 3 og studier af de internationale markeder 4 (set i forhold til USA) viser samme tendenser. Hovedparten af studierne viser yderligere at de aktier, der giver det højeste afkast er de aktier, som har den laveste risiko, og aktierne med den højeste risiko giver det laveste afkast. Yderligere viser flere af studierne også, at denne konklusion også gør sig gældende, hvis der korrigeres for forskellige risici i markedet eller kun undersøges den del af risikoen, som ikke følger de generelle markedstendenser - den idiosynkratiske volatilitet. Da disse konklusioner er modstridende med den ellers accepterede teori, kaldes dette fænomen for lav volatilitets uregelmæssigheden. Der findes også nyere undersøgelser, der viser modsatte resultater 5 ved hjælp af anderledes metoder og tilgange. Disse diskuteres senere i opgaven, og resultater af de forskellige studier sammenlignes med resultater i dette studie, hvor der også vil være en diskussion af forskellige metoder, og hvilken indflydelse disse har på de konklusioner, der fremkommer af de forskellige analyser. I dette studie findes blandt andet, at der er en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast på de indgående aktier i analysen. Dette konkluderes blandt andet på baggrund af forskellen i geometriske gennemsnit på årlige afkast i to pulje af aktier. Den ene pulje er sammensat, så denne har meget høj volatilitet og den anden pulje er sammensat, så denne har meget lav volatilitet. Forskellen på puljernes afkast afhænger af den valgte metode, men ligger i størrelsen 5,6 procentpoint til over 15 procentpoint. I studiet findes der videre, at der for en særlig vægtning af porteføljerne kan findes et højere risiko-korrigeret afkast på porteføljen med den laveste volatilitet end porteføljen med den højeste volatilitet. Dette resultat viser sig dog ikke, at være robust over alle de anvendte metoder. 2 (Fama & French, The Cross-Section of Expected Stock Returns, 1992), (Black, 1993) 3 (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, The Cross-Section of Volatility and Expected Returns, 2006), (Baker, Bradley, & Wurgler, 2011) med flere 4 (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, High Idiosyncratic Volatility and Low Returns: International and Further U.S. Evidence, 2008), (Blitz & van Vliet, The Volatility Effect: Lower Risk Without Lower Return, 2007) 5 (Fu, 2009), (Martellini, 2008). Side 7 af 79

11 I de følgende afsnit vil først S&P 500 indekset blive præsenteret. Herefter beskrives hvordan -og hvilke metoder / modeller der anvendes i undersøgelsen af en mulig forekomst af lav volatilitets uregelmæssigheden i S&P 500. Herefter introduceres data og analysens resultater præsenteres sammen med kommentarer, fortolkninger og eventuelle forklaringer. Videre følger et perspektiveringsafsnit, hvor specialets resultater sammenlignes med andre lignende undersøgelser, og eventuelle forskelle kommenteres og forklares, så vidt dette er muligt. Der afsluttes med en konklusion, som samler op på specialet og fremhæver de væsentligste konklusioner fra resultaterne og perspektiveringen. 2 S&P 500 indekset Standard & Poor s 500 er et aktieindeks, som er baseret på den samlede markedskapitalisering (Market Cap) for 500 store firmaer, med udstedte ordinære aktier 6 (Common stocks eller Ordinary Stocks) på New York Stock Exchange eller Nasdaq. Udvikling og vedligeholdelsen af indeksset varetages af S&P Dow Jones Indices 7. Indekset er designet til at reflektere det amerikanske aktiemarked og gennem aktiemarkedet, også den amerikanske økonomi. S&P 500 er tænkt, som et large cap indeks og grundet dets samlede størrelse, indeholder det store dele af den samlede markedsværdi for amerikanske aktier. Indekset kan derfor til dels bruges som repræsentant for det amerikanske aktiemarked som helhed. S&P 500 indekset er en del af det store S&P Global Vægtene af aktierne i indekset er baseret på markedskapitalisering og er ydermere float-justeret. Ved float-justeret menes der, at der ved udregning af indeksværdierne tages højde for antallet af udestående aktier, som er til rådighed for investorer, i stedet for det samlede antal udestående aktier. Med denne float-justering afspejler S&P 500 indekset den værdi, der er tilgængelig i det åbne marked. Indeksværdierne er udregnet efter følgende formel, 6 Aktien skal repræsentere ejerskab i den pågældende virksomhed. 7 (S&P Dow Jones Indices, 2013) 8 (S&P Dow Jones Indices, 2013) Side 8 af 79

12 (2.1) Her er n = 500, en for hver aktie. P er markedsprisen for aktien, S er det totale antal udestående aktier, divisoren er en indeksspecifik divisor, som kendes af Standard & Poor s Dow Jones Indices, og IWF er investeringsvægtfaktoren. IWF er det led, der giver indekset den føromtalte float-justering. IWF er udregnet på baggrund af, hvor stor en del af de udestående aktier, der ejes af blandt andet, direktører, private equity fonde og strategiske partnere 9 og altså ikke er tilgængelige i det åbne marked. IWF sættes til 1, hvis antallet af udestående aktier, som ikke er tilgængelige for investorer i det åbne marked, er højere end 95 %. Er denne andel mindre justeres IWF til 100 % - antal %, som ikke er tilgængelige i det åbne marked 10. Figur 2-1 viser udviklingen i S&P 500 indekset fra frem til , begge dage inklusiv. Figur 2-1 Udviklingen i S&P 500 indekset fra til Indeksværdi Kilde: YAHOO Finance. 9 Den fulde liste kan findes i (S&P Dow Jones Indices, 2013) 10 (S&P Dow Jones Indices, 2012) 11 Daglige adjusted price er anvendt i denne figur. Side 9 af 79

13 Figur 2-1 viser, at indekset i starten af den beskrevne periode stiger fra en indeksværdi på cirka 350 i starten af 1998 til cirka 450 i Herefter stiger indeksværdien markant frem til medio Udviklingen fra midten af 1990 erne frem til år 2000 kaldes for IT-boblen, og de efterfølgende markante fald i indekset, kom blandt andet som en konsekvens af at IT-boblen bristede. Fra 2003 begynder indekset igen at vokse markant frem til slutningen af 2007, hvor der igen sker et markant fald frem til starten af Dette markante fald skyldes den nuværende finansielle krise. Herfra observeres der igen markante stigninger frem til slutningen af Den i dette speciale beskrevne periode starter altså i et lettere opsving og medtager 3 markante fremgange i indeksets underliggende aktier. Ydermere er der 2 markante tilbagegange i perioden, hvor indeksets underliggende aktier falder. En illustration af afkastene for indekset kan findes i bilagets Figur 8-1 på side 1 i dette. I denne opgave er der valgt at arbejde med S&P 500, da forfatteren ikke har kendskab til, at dette indeks tidligere har været undersøgt for lav volatilitets uregelmæssigheden. Indekset er ydermere interessant, da der undersøges et rent large-cap segment af aktier, hvor der dog findes mange aktier, som relativt til hinanden både kan ses som værende store og små. Tidligere studier, som blandt andet (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, The Cross-Section of Volatility and Expected Returns, 2006), (Fu, 2009) og (Martellini, 2008) undersøger ligeledes amerikanske aktiemarkeder, men undersøger et bredt udsnit af aktier fra CRSP 12, som indeholder aktier fra flere størrelsessegmenter. 3 Metode og teori I dette afsnit gennemgås den teori og den fremgangsmåde der anvendes til undersøgelse af forekomsten af lav volatilitets uregelmæssigheden i S&P 500 indekset, fra staren af 1990 til og med Først præsenteres en beskrivelse af de valgte metoder og modeller, der anvendes. Herefter følger et afsnit om kritik af den valgte metode og et afsnit om alternative metoder til undersøgelsen Side 10 af 79

14 3.1 Beskrivelse af metode og modeller Dette afsnit indeholder den grundlægende beskrivelse af metoder og modeller, som anvendes i specialet Inddeling baseret på volatilitet I analysen vil det indsamlede data, for hver måned / år, blive opdelt i kvintiler 13. Opdelingen baseres på aktiernes seneste måneds volatilitet, mens en anden opdeling, baseres på det seneste års volatilitet. Der laves to forskellige inddelinger, da det ønskes, at analysen både skal indeholde et scenarie baseret på kortsigtet volatilitet, hvor porteføljen skiftes relativt hurtigt ud, og et scenarie baseret på længere historisk volatilitet hvor porteføljen holdes længere. Volatiliteten beregnes som standard afvigelsen (3.1) til den seneste periodes afkast. Denne beregnes som den naturlige logaritme til forholdet mellem prisniveauet fra en børsdag til den foregående (3.2) 14 [ [ ]] (3.1) ( ) (3.2) Ligning (3.2) kaldes også for log return og anvendes flittigt som afkastmål i store dele af den litteratur, der beskæftiger sig med kvantitativ finansiering Ideen med logreturns er blandt andet, at gøre regning med rentes rente lettere. Den primære årsag til at denne form for afkast bruges i dette speciale er, at det kan afhjælpe den skævhed, der ofte ses i afkastdata 17. Ydermere vil rentes rente beregninger forblive normalfordelte (under antagelsen af at de alle er normalfordelte enkeltvis), da summen af flere normalfordelte variable er normalfordelt. Bruges et almindeligt 13 Inddeling af volatiliteten i 5 grupper fra de 20 % mindst volatile aktier op til de 20 % mest volatile aktier. 14 Denne type afkast kaldes for log(returns) 15 (Brooks, 2008), side (Alexander, 2008), afsnit I (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, High Idiosyncratic Volatility and Low Returns: International and Further U.S. Evidence, 2008). Der laves ikke en lignende test I dette speciale, men det antages at resultaterne fra undersøgelsen vil give samme konklusioner, hvis testen blev lavet på data til dette speciale. Side 11 af 79

15 afkast, vil renterne skulle ganges sammen og et sådan produkt vil ikke være normalfordelt. Log returns kan anvendes som afkastmål, hvilket skyldes følgende approksimation, som dog kun gælder hvis r er lille. Dette kan bruges på almindelige afkast, (3.3) ( ) (3.4) De aktier der er blandt de 20 % mindst volatile kaldes for volatilitetsgruppe 1, de næste 20 % for volatilitetsgruppe 2 etc. Et alternativ til inddelingen i kvintiler er en inddeling i deciler. Denne metode benyttes blandt andet af (Blitz & van Vliet, The Volatility Effect: Lower Risk Without Lower Return, 2007) og (Fu, 2009). Forfatteren har dog valgt kvintilinddelingen, da denne vurderes som værende bedst egnet, ved et lavere antal observationer, da alt for få aktier ellers ville kunne drive udviklingen i de enkelte volatilitetsgrupper. Det er vigtigt, at inddelingen repræsenterer, at ikke alt for få aktier skal være repræsentanter for den seneste periode (her henholdsvis 1 måned og 1 år), da få aktier vil kunne påvirke det generelle billede i en for markant grad. Omvendt er det vigtigt, at ikke for mange aktier, som ikke bør tilhøre en given gruppe, kommer til at påvirke afkastudviklingen for gruppen. Endvidere er det vigtigt, at inddelingen tager højde for, at de afkast, der ligger i grupperne, skal bruges til estimation af parametre i blandt andet CAPM (se videre i afsnittet), hvorfor der skal være tilstrækkeligt med observationer til, at en sådan estimation bør kunne udføres med signifikante og relevante resultater. I denne analyse er der omtrent forskellige aktier, (se afsnit 4.1, da dette antal varierer ) og ved inddeling i kvintiler vil der derfor være maksimalt 200 observationer til hver gruppe, hvilket vurderes som tilstrækkeligt til at foretage de relevante estimationer. Inddelingen i kvintiler virker derfor rimelig. Side 12 af 79

16 3.1.2 Værdivægtet portefølje vs. Ligevægtet portefølje Udover de to forskellige tidshorisonter, der bruges til inddeling af aktierne, anvendes også to forskellige vægtninger af de porteføljer, der dannes ud fra volatilitetsgrupperne. Den første metode tager udgangspunkt i, at alle afkast for de aktier, der ligger i de underliggende kvintiler, vægter lige. Det svarer til, at en investor har nøjagtigt samme beløb investeret i alle aktier i indekset og derfor vægter de forskellige aktiers afkast ens i det samlede billede. Disse afkast udregnes efter nedenstående formel, (3.5) Her svarer til afkastet for aktie d i volatilitetsgruppe j til tidspunkt i. er det samlede antal aktier i volatilitetsgruppe j. Dette afkast udregnes for hver gruppe j og for hver tidsperiode i. Udover denne afkastvægtning anvendes også en vægtning, hvor der tages udgangspunkt i, at der ejes en af hver aktie, hvorfor de forskellige volatilitetsgruppers afkast, skal vægtes i forhold til den enkelte akties markedskapitalisering. Formlen for denne vægtning findes nedenfor, ( ) (3.6) I ovenstående formel ses det, at afkastet for hver volatilitetsgruppe til tidspunkt i, er givet som vægtningen af markedskapitaliseringen til tidspunkt i, i volatilitetsgruppe j, for aktie d, i forhold til den samlede markedskapitalisering i volatilitetsgruppen, til det givne tidspunkt. Denne vægt ganges med det tilhørende afkast for den givne aktie i den givne periode. Side 13 af 79

17 I litteraturen er valget af vægtning delt. Der findes dog eksempler, hvor begge vægtninger er valgt. Dette vælges også her for at undersøge effekten af metodevalget Aritmetisk gennemsnit vs. Geometrisk gennemsnit I analysen anvendes der to forskellige måder til at vurdere udviklingen i de forskellige volatilitetsgruppers afkast. Først anvendes det klassiske aritmetiske gennemsnit, hvor afkastene, for de forskellige tidsperioder summeres og til slut deles med antallet af tidsperioder. Det aritmetiske gennemsnit findes i nedenstående formel, (3.7) Denne udregning fortages for hvert af de 5 kvintiler, j. t er slutperiodens nummer og i angiver tidsperiodens nummer fra initialpunktet, således at. er den pågældende periodes afkast. Endvidere anvendes der geometriske gennemsnit. Ofte vurderes dette, som værende det rigtige gennemsnit, når der regnes med renter, da det tager højde for rentes rente 18. Det geometriske gennemsnit medtager altså den effekt, der fremkommer, når en eventuel investering taber værdi løbende på grund af negativ rentetilskrivning og medtager ligeledes den øgede gevinst geninvestering giver ved positive afkast. Det geometriske gennemsnit udregnes efter nedenstående formel, ( ( )) ( ) ( ) ( ) (3.8) Bogstaverne har samme betydning som tidligere, og igen udregnes gennemsnittet for hver volatilitetsgruppe. 18 Compounded return. Side 14 af 79

18 Det gælder, at det aritmetiske gennemsnit altid vil overvurdere det faktiske gennemsnitlige afkast, hvorfor dette altid vil give et resultat, som er større end det geometriske Rå Afkast og Sharpe Ratio Baseret på den beskrevne opdeling af aktierne i indekset samt den beskrevne vægtning og de forskellige gennemsnitstyper opstilles resultaterne for de gennemsnitlige afkast for de forskellige volatilitetsgrupper. I disse afkast-tabeller sammenlignes volatilitetsgrupperne med udgangspunkt i, at der er en positiv sammenhæng mellem øget volatilitet og forventet afkast. Se eventuelt afsnittet om CAPM på side 17, hvor der blandt andet præsenteres dele af den teori, som forudsiger en positiv sammenhængen mellem volatilitet og forventet afkast. Alternativt se kapitel 5 i (Grinblatt & Titman, 2004) eller kapitel 9 og 10 i (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010). Yderligere beregnes også en Sharpe-Ratio for hver volatilitetsgruppe. En Sharpe Ratio er et mål for en given investerings performance relativt til dennes risiko. Sharpe Ratio er udregnes som 19, [ ] [ ] (3.9) S er Sharpe Ratioen. er afkastet for et givent aktiv, er benchmarket, og er standard afvigelsen for den absolutte afvigelse mellem aktivets afkast og benchmarket. En given investor, der ønsker at optimere sit afkast i forhold til en given risiko, ønsker, at Sharpe Ratioen skal være størst mulig. I denne sammenhæng, anvendes den risikofrie rente som benchmarket, således at tælleren i (3.12) kommer til at svare til den forventede værdi af forskellen mellem de enkelte afkast og den 19 Denne er oprindeligt fra 1966, men er senere revideret af samme forfatter i (Sharpe, The Sharpe Ratio, 1994) Side 15 af 79

19 risikofrie rente. Denne størrelse kaldes også for, det overskydende afkast 20. Denne størrelse samt afvigelsen af denne præsenteres også som resultat i afsnit 4.3. I Tabel 3-1 er et overblik over hvilke rå afkast, der udregnes, og hvilke scenarier der er opstillet i afsnittene ovenfor. Idiosynkratisk volatilitet er et alternativ, til inddelingen efter total volatilitet, som er beskrevet tidligere i afsnittet. Den idiosynkratiske volatilitet beskrives senere i dette afsnit. Tabel 3-1 De forskellige scenarier til sammenligning af de rå afkast og Sharpe Ratios Volatilitetstype Volatilitetshorisont Vægtning Gennemsnit Volatilitetsgrupper Total 1 Måned Lige Aritmetisk 1 5 Total 1 Måned Lige Geometrisk 1 5 Total 1 Måned Markedsværdi Aritmetisk 1 5 Total 1 Måned Markedsværdi Geometrisk 1 5 Total 1 År Lige Aritmetisk 1 5 Total 1 År Lige Geometrisk 1 5 Total 1 År Markedsværdi Aritmetisk 1 5 Total 1 År Markedsværdi Geometrisk 1 5 Idiosynkratisk 1 Måned Lige Aritmetisk 1 5 Idiosynkratisk 1 Måned Lige Geometrisk 1 5 Idiosynkratisk 1 Måned Markedsværdi Aritmetisk 1 5 Idiosynkratisk 1 Måned Markedsværdi Geometrisk 1 5 Idiosynkratisk 1 År Lige Aritmetisk 1 5 Idiosynkratisk 1 År Lige Geometrisk 1 5 Idiosynkratisk 1 År Markedsværdi Aritmetisk 1 5 Idiosynkratisk 1 År Markedsværdi Geometrisk 1 5 Udover sammenligning af afkast, baseret på de forskellige volatilitets mål, analyseres også de risikokorrigerede afkast. Til dette bruges CAPM og FF-modellen, som beskrives nedenfor. 20 Excess return på engelsk Side 16 af 79

20 3.1.5 Capital Asset Pricing Model Capital Asset Pricing Model, bedre kendt som CAPM, er en model, der beskriver udviklingen i et underliggende aktiv, i forhold til den generelle markedsudvikling. Æren for CAPM tilfalder William Sharpe, John Littner, og Fischer Black, som alle har bygget videre på tidligere arbejde af Harry Markowitz og James Tobin, (Grinblatt & Titman, 2004). I denne opgave gennemgås CAPM kort med udgangspunkt i portefølje teori. Forståelsen af tilblivelsen af CAPM kræver en basis forståelse af porteføljeteori, herunder blandt andet afkast, varians -og standardafvigelser for porteføljer, samt sammensætningen af disse. Ydermere kræves der også kendskab til kovarianser -og korrelationer mellem aktiers afkast. Slutteligt bør man også kende til begreberne Efficient Frontier, Feasible Set, Capital Market Line og kende til de antagelser, som ligger til grund for eksistensen af markedsporteføljen, som blandt andet homogene forventninger blandt investorer. Ovenstående er blandt andet beskrevet i (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010) kapitel 10. CAPM beskriver således, sammenhængen mellem enkelte aktivers afkast og det afkast, der ligger i det generelle marked. CAPMs vigtigste parameter er. er et mål for, hvor meget et aktivs afkast afviger i forhold til de generelle tendenser i markedet. Dette illustreres bedst ved et konstrueret eksempel, hvor der tages udgangspunkt i et aktiv og dettes udvikling i forhold til den generelle markedsudvikling. Eksemplet er inspireret af et lignende eksempel i (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010). Der tages udgangspunkt i 4 scenarier, som alle giver forskellige udfald for både markedets og et vilkårligt aktivs afkast. Med udgangspunkt i disse 4 scenarier analyseres det, hvorledes afkastet for det pågældende aktiv udvikler sig, i forhold til udviklingen i det afkast det generelle marked giver. Tabel 3-2 viser opstillingen af de 4 scenarier, og hvordan henholdsvis markedet og aktivets afkast påvirkes af disse. Side 17 af 79

21 Tabel Eksempel på markeds- og aktivafkast til forståelse af Beta Scenarie Afkast i markedet Afkast for aktiv 1 10 % 20 % 2 10 % 15 % 3-5 % -10 % 4-5 % -15 % I ovenstående eksempel er der kun 2 scenarier, der berører markedet, men 4 der berører aktivet. Det antages, at alle 4 scenarier er lige sandsynlige. Derfor udregnes nu de forventede afkast for aktivet, for de scenarier, hvor markedets afkast ikke ændrer sig. Disse er illustreret nedenfor i Tabel 3-3. Tabel Afkast i kun 2 scenarier Scenarie Afkast i markedet Afkast for aktiv % % I ovenstående tabel ses der på forskellen i ændringer i henholdsvis markedets -og aktivets afkast ved ændringer i scenarierne. Det ses, at der er en forskel på 15 procentpoint på de to scenarier for markedet og en forskel på 30 procentpoint for aktivet. Hvis disse stilles overfor hinanden ses det, at aktivet er dobbelt så responsivt som markedet, når der ændres på scenarierne,. Dette illustreres i Figur 3-1. Side 18 af 79

22 Figur Illustration af sammenhængen mellem afkast i Markedsportefølje, Beta og afkastet for et vilkårligt aktiv 25% 20% 15% 10% Hældning = Beta = 2 10,0%; 17,5% 5% 0% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% -5% -10% -15% -5,0%; -12,5% -20% Kilde: Egne beregninger Figuren viser afkastet i markedet på 1. aksen og afkastet for aktivet på 2. aksen. De 4 omtalte scenarier er markeret med sorte punkter i figuren, og den grønne linje, er en opstillet lineær sammenhæng mellem de fire punkter. De to endepunkter på den grønne linje svarer til punkterne i Tabel 3-3, som danner grundlag for udregningen af hældningen på den grønne linje. Den grønne linje viser sammenhængen mellem en ændring i markedets afkast og ændringer i aktivets afkast. Denne viser, at der er en konstant sammenhæng hvor en ændring på 1 procentpoint i markedets afkast, giver en ændring på 2 procentpoint i aktivets afkast (hældningen på grafen). Denne sammenhæng er CAPMs. Mere generelt gælder følgende regler for størrelsen om CAPMs. Side 19 af 79

23 Tabel Effekten af størrelsen på Størrelsen på Effekt : Aktivets afkast afhænger positivt af markedets udvikling. Endvidere svinger aktivets afkast mere end markedet, hvorfor dette giver stor gevinst ved positiv markedsudvikling, men også et større gevinsttab, når markedets værdi falder. Aktivet følger markedets afkast perfekt : Aktivets afkast afhænger positivt af markedsudviklingen. Udsvinget er dog mindre end det generelle marked, hvorfor gevinsten for aktivet, er mindre end gevinsten i markedet, når dette vokser, men tabet på aktivet vil også være mindre end tabet i markedet, når dette falder. : Aktivets afkast er komplet uafhængigt af den generelle udvikling i markedet, hvorfor der intet kan siges om dettes udvikling relativt til udviklingen i markedet. : Afkastet på aktivet afhænger negativt af den generelle markedsudvikling. Dog er denne negative sammenhæng mindre end udviklingen i markedet. De aktiver med negative størrelser af giver positive afkast, når markedet er aftagende Afkastet på aktivet svinger perfekt modsat af markedet. Aktivet vil altså give samme afkast, som markedet blot med modsat fortegn : Afkastet på aktivet svinger mere end det generelle marked. Yderligere svinger dette negativt. Dette aktiv giver altså større gevinster ved negativ markedsudvikling. Kilde: Egne betragtninger af størrelsen på. Side 20 af 79

24 Beta kan udregnes ved formlen 21, (3.10) Hvor er kovariansen mellem det enkelte aktiv og markedet. Endvidere er variansen på markedsporteføljen CAPM bygger blandt andet på ideen om, at en investor skal kompenseres med et højere forventet afkast, hvis denne skal ønske mere risikofyldte aktiver i sin portefølje (Højere beta giver højere forventet afkast). I almen økonomisk teori 22 kan det forventede afkast, som gives i markedet repræsenteres ved følgende sammenhæng, (3.11) I ord betyder ovenstående ligning, at det forventede afkast for markedsporteføljen svarer til summen af afkastet af den risikofrie rente, og en risikopræmie, som er en form for kompensation, for at en given investor tager en given risiko, ved at være i markedet. Risikopræmien bør derfor altid være positiv og skal vokse med øget risiko. Dette betyder også at der alt andet lige må være en positiv sammenhæng mellem det forventede afkast og den risiko, som en given investor påtager sig. Med udgangspunkt i vores viden om, og dennes indflydelse på afkastet for et aktiv relativt til markedet samt ligning (3.11), kan vi nu udlede en formel, som beskriver udviklingen i et aktivs forventede afkast relativt til udviklingen i det generelle markeds forventede afkast 23. (3.12) 21 (Grinblatt & Titman, 2004), (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010) 22 (Grinblatt & Titman, 2004), (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010) med flere 23 (Grinblatt & Titman, 2004), (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010) Side 21 af 79

25 Ligning (3.12) kaldes for The Capital Asset Pricing Model og siger, at det forventede afkast for et givent aktiv, svarer til summen af den risikofrie rente, og produktet af det pågældende aktivs og forskellen mellem det forventede afkast i markedet, og den risikofrie rente. Der skal bemærkes, at der i CAPM antages en positiv lineær sammenhæng mellem det forventede afkast i markedet og afkastet på det pågældende aktiv. Dette betyder også, at det antages, at et større alt andet lige betyder en større risiko i forhold til det generelle marked. Ydermere gælder det, at hvis et aktiv har et beta på 0 og er perfekt ukorreleret med markedet, bør dette have et forventet afkast svarende til den risikofrie rente. I denne opgave bruges CAPM og en udvidelse af denne til yderligere at undersøge, om der kan findes den tidligere omtalte lav volatilitets uregelmæssighed. Denne undersøgelse bygger på, at CAPM udvides med endnu en parameter,, således at ligning (3.12) bliver til, ( ) (3.13) Det inkluderede skal ses som et mål for, at nogle aktiver, udover deres påvirkning fra, modtager enten en yderligere negativ ( ) eller positiv ( ) risikopræmie. Denne risikopræmie bør teoretisk set ikke eksistere i perfekte kapitalmarkeder med et perfekt informationssæt. Flere studier har dog påvist eksistensen af denne 24. Ideen om blev introduceret af Michael Jensen i 1967, hvor han brugte dette til at undersøge performance for forskellige investeringsforeninger 25. kendes også som Jensen s. Jensen s kan fortolkes, som det afkast der er tilbage, når der er korrigeret for markedsudviklingens indflydelse på aktiens pris. Hvis viser sig ikke at være voksende med volatilitetsgruppe nummereringen, viser dette at de risikokorrigerede afkast på de underliggende aktier i S&P 500 ikke vokser med øget risiko og altså at 24 (Jensen, The Performance of Mutual Funds in the Period , 1967), (Blitz & van Vliet, The Volatility Effect: Lower Risk Without Lower Return, 2007) med flere 25 (Jensen, The Performance of Mutual Funds in the Period , 1967) Side 22 af 79

26 lav volatilitets uregelmæssigheden findes i S&P , når der korrigeres for markedsrisiko. Ligning (3.13) omskrives til nedenstående ligning, så det bliver muligt at isolere størrelsen af, da denne ellers falder sammen med den risikofrie rente, ved estimation. Nedenstående ligning tilføjes desuden nummerering i forhold til identifikation af aktivet, i. ( ) (3.14) Ligning (3.14) estimeres ved hjælp af OLS regression for hver af de 5 kvintiler, hvor svarer til skæringen i regressionen. De forskellige er fortolkes og præsenteres i afsnit 4.3. Bemærk at der ved opstillingen af modellen også vil indgå et fejlled Fama-French Three-Factor model Fama-French Three-Factor modellen (FF modellen) er en udbygning af CAPM modellen og blev præsenteret af Eugene Fama og Kenneth French i Da modellen minder om CAPM modellen fra forrige afsnit, gives der ikke en ligeså uddybende introduktion til denne. FF modellen er valgt som supplement til CAPM, da denne forventeligt giver en større forklaringsgrad og også gør det muligt at korrigere afkastene for to yderligere effekter, udover effekten fra den generelle markedsudvikling. FF modellen indeholder udover CAPMs også et for henholdsvis størrelse, og om aktien er en vækst aktie eller ej. Fama og French finder, at der er en generel tendens til, at mindre aktier (målt på markedskapitalisering) giver et større afkast end større aktier. Ydermere finder de, at vækstaktier (høj værdi af book to market ratio) generelt giver højere afkast end aktier med mindre book to market forhold. Book to market er givet ved, 26 (van Vliet, Blitz, & van der Grient, 2011) 27 (Fama & French, Common Risk Factors in the Returns on Stock and Bonds, 1993) Side 23 af 79

27 (3.15) Denne svarer også til den inverse af det mere kendte price to book forhold. FF Modellen er som følger 28, (3.16) er afkastet for det enkelte aktiv. er den risikofrie rente, er det, vi kender fra CAPM, som angiver vægten af, hvor markant markedsudviklingen, påvirker afkastet på det pågældende aktiv. er afkastet for markedsporteføljen, er betavægtningen, som tager højde for størrelsesforskelle mellem de underliggende virksomheders markedsværdier. SMB står for small minus big og er et mål, for hvordan virksomheders størrelse påvirker afkastet. er et mål for påvirkningen af aktiernes book to market ratio i forhold til markedet. HML står for High minus Low. Ligesom for den udvidede CAPM, er der her tilføjet et. Ideen med dette er den samme som tidligere. Det bemærkes dog, at der nu korrigeres for flere effekter i modellen, og at nu fortolkes som, hvor meget afkast et givent aktiv giver, efter der er korrigeret for dennes afkasts korrelation med markedet, størrelsen og vækstpotentialet. Ligesom tidligere omskrives modellen, så Jensen s skæring med y-aksen, kan isoleres, som modellens (3.17) Ligesom med CAPM estimeres denne model ved hjælp af OLS regression for hver af de 5 volatilitetsgrupper, og resultaterne vises i afsnit 4.3. Bemærk at der ved regression af modellen også vil indgå et fejlled. 28 (Fama & French, Common Risk Factors in the Returns on Stock and Bonds, 1993) Side 24 af 79

28 Brugen af både CAPM og FF modellen, til vurdering af Jensen s er blandt andet også brugt af (van Vliet, Blitz, & van der Grient, 2011) i deres undersøgelse af en anden aktie-sammensætning. Som det tidligere er nævnt præsenteres nu den idiosynkratiske volatilitet Idiosynkratisk volatilitet De foregående afsnit har alle været bygget på en almindelig betragtning af den observerede volatilitet. Som et alternativ til denne undersøges også den idiosynkratiske volatilitet. Idiosynkratisk volatilitet er volatilitet, der ikke kan forklares af den risiko, der generelt observeres i markedet. I denne opgave defineres denne ligesom på side 25 i (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, The Cross-Section of Volatility and Expected Returns, 2006), hvor FF modellen bruges til at estimere et aktivs forventede merafkast. (3.18) Bemærk tilføjelsen af fejlledet. Denne model estimeres for hver aktie for hele den beskrevne periode. Hver af disse modeller bruges herefter til at estimere, hvad de daglige afkast, for den givne aktie, burde have været ifølge modellen. Disse afkast bruges herefter til at finde hvert afkasts residual. Disse residualer opfattes, som værende den del af afkastet for de pågældende aktier, som ikke kan forklares altså den idiosynkratiske del. Bemærk at en aktie godt kan have en relativt lav almindelig volatilitet, men en relativt høj idiosynkratisk volatilitet. Den idiosynkratiske volatilitet for hver enkelt aktie til et givet tidspunkt er lig med følgende, (3.19) På baggrund af de idiosynkratiske dele af aktiernes volatiliteter, laves igen en inddeling i kvintiler, og der beregnes igen udvikling i de rå afkast og der estimeres er. Side 25 af 79

29 Intuitivt vil der være en forventning om, at en stigende idiosynkratisk volatilitet, ligesom ved en almindelig volatilitet, vil give et højere forventet afkast 29. Dette skyldes, at desto mere af en akties kursudvikling der ikke kan forklares, desto større en risiko tager en given investor ved at købe den (uvished om hvad der driver prisen), hvorfor kompensationen for købet også må forventes at være større. Tilgangen med også at undersøge udviklingen i den idiosynkratiske volatilitet bruges blandt andet i (van Vliet, Blitz, & van der Grient, 2011) og (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, High Idiosyncratic Volatility and Low Returns: International and Further U.S. Evidence, 2008). 3.2 Kritik af CAPM, Fama French Three-Factor Model og Sharpe Ratio I dette afsnit præsenteres kritik af hovedsageligt CAPM. Da denne har store ligheder med Fama & French 3-Factor modellen, er kritikpunkterne, der henvender sig til CAPM, også indirekte henvendt til minimum en del af FF modellen. På grund af dette er kritikken af de to modeller samlet i et afsnit. Det er vigtigt at understrege, at både CAPM og FF modellen begge er modeller, som giver en general forklaring på effekter, der spiller ind på forskellige aktivers pris udvikling, relativt til markedet. Begge modeller fortæller dog ikke den fulde sandhed, og det er vigtigt, at man altid fortolker disses resultater, som estimater og ikke den endegyldige sandhed Roll s Kritik fra Denne kritik retter sig udelukkende imod CAPM men kan dog føres videre til, i hvert fald, dele af FF modellen, da denne også indeholder CAPMs. Rolls kritik er yderst fundamental og bygger på, at det praktisk talt er umuligt, at empirisk teste, om CAPM holder. Dette skyldes, at det er muligt at opstille en reel markedsportefølje, som indeholder hvert eneste værdipapir i verden, som den sande markedsportefølje ifølge teorien udgør. En test af CAPM vil ofte bygge på forskellige proxy for markedsporteføljen, som for eksempel FTSE 500, S&P 500 eller 29 Se eventuelt (Merton, 1987) 30 (Roll, 1977) Side 26 af 79

30 et tredje større indeks. Alle disse indeks har dog det tilfælles, at de enten har en bias imod et givet geografisk område, en enkelt (eller flere) typer af værdipapirer osv. En fuldstændig test af CAPM er altså umulig, da den sande markedsportefølje er uobserverbar. I dette speciale antages det, at CAPM og FF modellen holder. Dette baseres på, at det er almen praksis at bruge modellen til at estimere -værdier for diverse aktiver. Disse kan blandt andet findes hos store finanshjemmesider som for eksempel Bloomberg eller YAHOO Finance. Ved estimation af er (og er) skal man dog være opmærksom på, at disse estimater forklarer, hvorledes det enkelte aktivs afkast afhænger af afvigelser i det indeks, som anvendes som proxy for markedsporteføljen - og altså ikke afvigelser i markedsporteføljen selv. Der findes et utal af empiriske tests af CAPM, blandt andet, (Jensen, Black, & Scholes, The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests, 1972) og (Fama & MacBeth, Risk, Return, and Equilibrium: Empirecal Tests, 1973). Disse studier stiller spørgsmål ved, om der er større afkast for aktier med højere end aktier med mindre er. Nyere litteratur med analyser af længere tidsserier, stiller ligeledes spørgsmålstegn ved om sammenhængen er positiv. CAPMs rigtighed er derfor stadig til debat. Indirekte tester dette speciale også rigtigheden af CAPM. Der testes dog ikke på om aktier med højere giver et højere forventet afkast, men om en højere volatilitet / idiosynkratisk volatilitet giver et større forventet afkast Sharpe Ratio og generelt finansiel modellering Sharpe Ratioen lider af samme problem som hovedparten af generel modellering med finansielt data. Finansielt data lider ofte af uregelmæssigheder, der gør, at disse ikke er normalfordelte. Dette ses blandt andet ved, at der observeres skævheder i afkast, da disse ikke er lige fordelt omkring et gennemsnit. Et andet eksempel er fede haler i afkast-fordelinger, da der ofte ses øgede sandsynligheder for ekstreme observationer sammenlignet med normalfordelingen. Dette betyder, at størrelsen på standardafvigelserne kan blive forkerte og svære at tolke på. Dette er dog kun tilfældet, hvis disse bliver meget store. Disse svagheder minimeres ved brugen af log returns, men kan aldrig fuldstændig fjernes. Svaghederne vedrører også Side 27 af 79

31 estimationen af CAPM og FF modellen. Det skal dog bemærkes, at dette studies hovedformål ikke er at udrede denne problemstilling, men at undersøge forekomsten af lav volatilitets uregelmæssigheden i S&P 500 ved hjælp af de metoder, der anvendes i den nyere litteratur. Tabel 3-5 og Figur 3-2 viser fordelingen af logafkast og sammenligner denne med normalfordelingen. Tabel 3-5 Overblik over momenter i S&P 500s logafkast fra primo 1990 ultimo 2013 Navn Fordeling i S&P 500 Normalfordelingen N Gennemsnit 0, Varians 0, Standard Afvigelse 0, Skævhed -0, ,00 Kurtosis 8, ,00 Side 28 af 79

32 Figur 3-2 Plot af fordelingen af logafkast vs normalfordelingen, som er tilpasset S&P 500s gennemsnit og standardafvigelse. Kilde: YAHOO Finance. og SAS EG 6.1 (64 Bit) I de to figurer ses det, at fordelingen af afkastene i S&P 500 for den beskrevne periode er svagt venstreskæv (negativ-værdi) og har en relativt høj kurtosis (fordelingen er meget høj indover midten). Generelt er der dog en relativt fin fordeling. Det skal understreges, at værdierne for indekset ikke repræsenterer hver enkelte underliggende aktie men giver en værdivægtning af, hvordan disse samlet ser ud, se eventuelt afsnit Alternativer til den valgte metode Der findes mange alternativer til den valgte metode. Særligt ved modelvalget i afsnit og 3.1.6, men også ved valget af tidshorisonter for beregningen af volatiliteterne. Forfatteren havde gerne set, at en længere tidshorisont, til udregningen af de forskellige aktivers periodemæssige volatilitet, havde været brugt. Forfatteren mente dog ikke, at den analyserede periodes længde indbød til at gå Side 29 af 79

33 længere end et år tilbage, da der ellers ville forsvinde for mange datapunkter for denne del af analysen. I litteraturen findes der blandt andet tidshorisonter på 5 og 10 år. 31 Disse studier har dog det tilfældes, at de har mere historisk data, end tilfældet er for dette studie, hvorfor disse ikke på samme måde mister et stort procentmæssigt antal observationer. Som alternativer til modelleringen i og kunne forfatteren havde forsøgt at udvide modellerne med eventuelt flere parametre. Dette kunne blandt andet have været ved at tilføje en variabel, som skulle repræsentere den enkelte akties sektor (medicin, bank, IT osv.). Herefter ville eventuel signifikans af denne kunne testes. Forfatteren har dog valgt at se bort fra dette, da omfanget af testen af en sådan model er yderst omfangsrig og udbyttet ikke nødvendigvis brugbart. En anden tilgang til problemstillingen er at estimere det forventede afkast for aktierne afhængigt af tidligere tiders afkast og eventuelt flere variable. Med metoden beskrevet i af de tidligere afsnit testes der på om de faktuelle afkast er afhængige af tidligere volatilitet, hvilket ikke er i perfekt overensstemmelse med CAPM. En estimation af aktiers fremtidige volatilitet / afkast kan laves ved hjælp af en (G)ARCHmodel. 32 En sådan estimation er dog vanskellig, da denne vil være for upræcis, hvis denne kun bygger på tidligere tiders afkast. En model, der tilnærmelsesvis skal kunne repræsentere investorers forventning, til den fremtidige prisudvikling for et givent aktiv, skal udover kendskab til tidligere udvikling i prisniveau, også have kendskab til (de for investorerne kendte) fremtidige eksogene stød, som kan påvirke prisen på aktien, som annoncerede politiske indgreb, ny teknologi etc. Endvidere er det svært at definere hvor længe en tidshorisont, der bør medtages i modellen. Der er i dette speciale valgt ikke at bruge denne tilgang, da det menes, at der allerede er tilstrækkeligt med materiale inkluderet i specialet. Ydermere er opstillingen af en god model, som tidligere beskrevet, yderst vanskelig. 4 Data I dette afsnit præsenteres det indhentede data, og der gives en beskrivelse af, hvordan og hvorfra det er hentet. Alle beregninger og figurer er produceret ved hjælp 31 5 år i blandt andet, (Baker, Bradley, & Wurgler, 2011) og 10 år i (Martellini, 2008). 32 (Brooks, 2008), kapitel 8, (Carter Hill, Griffiths, & Lim, 2012), kapitel 14. Side 30 af 79