Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Varmeligningen og cosinuspolynomier."

Transkript

1 Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen i FY50. Som hovedregel drejer det sig om hold M1 (matematik økonomi), S7 (datalogi) og S1 (lægemiddelvidenskab). Projektet kan hentes på kursushjemmesiden fra fredag d. 13. marts, kl. 13:00. Besvarelsen afleveres, klart mærket med navn, eksaminatoriehold og første seks cifre af CPRnummer, på IMADAs kontor senest kl. 13:00, fredag d. 0. marts. Hvis man ønsker en kvittering for afleveringen, skal man selv udfylde og medbringe den formular, der findes på sidste side af projektbeskrivelsen. Projektet omfatter ialt 8 delopgaver, som af praktiske grunde er nummereret med (f), (g), (h),, (m). I besvarelsen må man ikke citere teksten fra de enkelte delopgaver, men man skal lave en klar opdeling af besvarelsen i otte afsnit, med overskrifterne (f), (g), (h),, (m). Alle fire eksaminatorietimer i uge 1 er reserveret til at arbejde med projektet. Instruktorerne er til rådighed i eksaminatorietimerne, og caféværterne i caféens åbningstid, men de har bestemt ikke pligt til at hjælpe derudover. Instruktorernes og caféværternes hjælp må ikke omfatte de fakto besvarelse af konkrete delopgaver fra projektet. I stedet opfordres de til at hjælpe ved at vise, hvordan en beslægtet problemstilling kan løses. Jeg indrømmer dog, at det er vanskeligt at trække en meget præcis grænse for såvel hjælpens omfang som dens art. Den ideelle besvarelse er kort og præcis. Tre til fem sider (evt. plus bilag med figurer) bør være nok, i hvert fald hvis der er tale om printede sider. Aflevering i pæn, læselig og ordentlig håndskrift accepteres, men her er det naturligvis svært at give et normalt antal sider. Udover matematisk korrekthed lægges der ved bedømmelsen vægt på en overbevisende skriftlig fremstilling. Maple og/eller lommeregner må gerne anvendes, fx til at differentiere, til at bestemme integraler og til at fremstille figurer. 1

2 1. Fourier cosinuspolynomier for lige funktioner Der forudsættes fortrolighed med begreberne lige og ulige funktioner f : ( a, a) R og periodiske funktioner h : R R, i et omfang svarende til Calculus I projektet fra efteråret 008. Det er formålet med afsnittet at illustrere, at en pæn lige funktion g : ( L, L) R kan approksimeres med såkaldte cosinuspolynomier, dvs kombinationer af formen C n (x) = b 0 + b 1 cos(kx) + b cos(kx) + b 3 cos(3kx) + + b n cos(nkx). (1) Her er k = π L og koefficienterne b j er givet ved formlen b j = 1 L L L g(x) cos(jkx)dx. () I eksaminatorierne bør I undersøge mindst forskellige lige funktioner defineret på intervallet [ 1, 1], fx taget fra en (eller begge) af følgende familier af funktioner h 1, h, h 3,, p 1, p, p 3,, hvor h m (x) = 0 1 x 1 m m m x 1 < x < 1 (3) m m 1 0 x 1 m p m (x) = m π e m x / 1 x 1. (4) Grafer for h (x) og p 5 (x) er inkluderet som bilag 1 i denne projektbeskrivelse. For hver af de to funktioner bør I udregne det tilhørende cosinuspolynomium for mindst 3 forskellige værdier af n 1, og I bør tegne funktionens graf og graferne for de tre cosinuspolynomier, gerne med alle fire grafer i samme figur. Forhåbentlig vil det fremgå, at når n vokser, så bliver approksimationen bedre. (f) I projektrapporten afleveres (kun) behandlingen af 1 af de to funktioner sammen med 3 af dens cosinuspolynomier, inklusive grafer.

3 . Varmeligningen med randbetingelse Et randværdiproblem er specificeret af en partiel differentialligning som gælder i et domæne, (fx. intervallet [ L, L]), samt af nogle matematiske relationer som løsningen skal opfylde ved domænets rand. Disse relationer kaldes randbetingelser. Her betragtes følgende randværdiproblem T t (x, t) = T (x, t), (5) x T (±L, t) = 0. (6) x For at løse dette problem søges der i første omgang efter løsninger af formen hvor τ og ξ er funktioner af en variabel. T (x, t) = τ(t) ξ(x) (7) (g) Vis (idet I ignorerer den kendsgerning, at τ og/eller ξ kunne ske at blive nul en gang imellem) at ligning (7) giver en løsning til ligning (5) såfremt der findes en konstant λ, så at τ (t) τ(t) = ξ (x) ξ(x) = λ og ξ (±L) = 0. (8) Dette giver en første ordens differentialligning for τ(t) og en anden ordens differentialligning (med randbetingelser) for ξ(x). (h) Find, for vilkårligt λ, de generelle løsninger for τ(t) og ξ(x), idet der i første omgang ses væk fra randbetingelserne. (i) Vis, at randbetingelserne, ligning (6), for λ > 0 kun kan opfyldes med ξ(x) = 0 for alle x. En kedelig løsning som ignoreres i det videre. For λ 0, sættes λ = Ω hvor Ω 0. (j) Vis, at randbetingelserne i dette tilfælde tillader to typer løsninger på problemet, nemlig Ω = p π L, τ(t) = Ce Ωt, ξ(x) = A cos(ωx), (9) Ω = (p + 1 ) π L, τ(t) = Ce Ωt, ξ(x) = B sin(ωx). (10) I begge tilfælde er p et vilkårligt heltal 0, mens A, B, C er vilkårlige reelle tal. I det videre skal I kun bruge løsninger svarende til (9). Her sætter man ligesom i afsnit 1, k = π. Med A = C = 1 bliver de endelige løsninger L T p (x, t) = e p k t cos(pkx), p = 0, 1,, 3,... (11) Bemærk dog, at disse løsninger er udledt under den (urealistiske) antagelse, at ξ(x) 0 overalt. Af den grund bør besvarelsen af dette afsnit sluttes med (k) Vis, at funktionerne T p (x, t) faktisk er løsninger til randværdiproblemet givet ved (5) og (6). 3

4 3. Løsning til randværdiproblemet med given begyndelsesbetingelse Ofte betragtes der udover en randbetingelse også en begyndelsesbetingelse, dvs en betingelse af formen T (x, 0) = g(x), L x L, (1) hvor g(x) er en given funktion. Den samlede problemstilling omfatter altså nu de tre ligninger (5), (6) og (1). En udvidelse af overvejelserne i afsnit 1 til cosinuspolynomier af uendelig høj grad 1 tillader opskrivning af den præcise løsning til problemstillingen, når g er en lige funktion. Her vil vi dog nøjes med at vise, hvordan man kan løse problemet, når funktionen g(x) er et cosinuspolynomium. (l) Lad stadig k = π, og lad g(x) være givet ved L Vis, at g(x) = b 0 + b 1 cos(kx) + b cos(kx) + b 3 cos(3kx) + + b n cos(nkx). (13) T (x, t) = b 0 + b 1 T 1 (x, t) + b T (x, t) + + b n T n (x, t) (14) er en løsning til rand- og begyndelsesværdiproblemet givet ved ligningerne (5), (6) og (1). (m) Beskriv, hvad der sker med denne løsning for t. 1 Mere præcist: Uendelige rækker af formen b0 + Σ p=1b p cos(pkx). Sådanne uendelige rækker, som i det generelle tilfælde også kan inkludere uendelig mange led med sinus-funktioner, kaldes Fourier-rækker. De er opkaldt efter den franske matematiker Joseph Fourier ( ), som udviklede deres teori i et studium af netop varmediffusion, og som også var den, der først opstillede ligningen (5). 4

5 Figure 1: Grafer for funktionerne h (x) og p 5 (x) 5

6 Kvitteringsformular Vil du have en kvittering for din aflevering skal du medbringe denne formular til IMADAs kontor i udfyldt stand. Navn: CPRnr. (første 6 cifre): Eksaminatoriehold: Afleveringsdato: har ovennævnte dato afleveret en projektrapport for kurset MM50 til IMADA. For IMADA: Lone Seidler Petterson eller Hans J. Munkholm Underskrift: 6

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007. Matematik Niveau A

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007. Matematik Niveau A Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007 07-0-1 Matematik Niveau A Dette opgavesæt består af 8 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende omtrentlige

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504) For et givent positivt heltal n og en given mængde af familier, antages at sandsynligheden for at familien har i børn, for 1 i n, er p i, således at n i=1 p i = 1. Endvidere er de 2 i mulige måder at få

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J. Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015 Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Den ideelle operationsforstærker.

Den ideelle operationsforstærker. ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx103-mat/a-01010 Mandag den 0. december 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Til censorer ved skriftlig prøve i kemi A htx 2014 2. juni 2014

Til censorer ved skriftlig prøve i kemi A htx 2014 2. juni 2014 Til censorer ved skriftlig prøve i kemi A htx 2014 2. juni 2014 Kære censor På Undervisningsministeriets hjemmeside vil en række praktiske oplysninger og materialer i forbindelse den skriftlige censur

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012

Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012 Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Udfyldende regler på matematik

Udfyldende regler på matematik Studienævnet for matematik 4. september 2008 Udfyldende regler på matematik Studienævnet udarbejder en række udfyldende regler der uddyber og supplerer studieordningens bestemmelser. De udfyldende regler

Læs mere

Skriftlig eksamen BioMatI (MM503)

Skriftlig eksamen BioMatI (MM503) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen BioMatI (MM503) 14. januar 2009 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, inklusive brug af lommeregner/computer. OPGAVESÆTTET

Læs mere

Folkeskolens skriftlige Matematik Eksamen

Folkeskolens skriftlige Matematik Eksamen Folkeskolens skriftlige Matematik Eksamen (Do & Don ts) Indeholder: Den skriftligprøve generelt Færdighedsprøven Problemregningsprøven http://madsmatik.dk/ d.03-02-2016 1/8 Matematik Skriftlig eksamen:

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Note til styrkefunktionen

Note til styrkefunktionen Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Hans J. Munkholm: En besvarelse af

Hans J. Munkholm: En besvarelse af Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og

Læs mere

EKSAMENSBESTEMMELSER FOR VALGFRIE MODULER. Kommunomuddannelsen på akademiniveau. Gældende fra august 2016

EKSAMENSBESTEMMELSER FOR VALGFRIE MODULER. Kommunomuddannelsen på akademiniveau. Gældende fra august 2016 EKSAMENSBESTEMMELSER FOR VALGFRIE MODULER Kommunomuddannelsen på akademiniveau Gældende fra august 2016 Kommunomuddannelsen www.cok.dk 01-08-2016 INDHOLDSFORTEGNELSE 1. Eksamen... 3 1.1 Eksamensformer...

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2.

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2. Opgave 6 Se Bilag 3! Funktionen f er givet ved f (x) = x 2 + k ln (x), x > 0. Det oplyses at funktionen har netop ét ekstremum, når k > 0, så x-værdien til dette ekstremum må kunne findes ved at løse ligningen

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx13-mat/b-1408013 Onsdag den 14. august 013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A Delprøven uden hjælpemidler

Matematik A Delprøven uden hjælpemidler Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 009 HHX091-MAA Matematik A Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 008 HHX08-MAB Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse

Læs mere

Bjælkeoptimering. Opgave #1. Afleveret: 2005.10.03 Version: 2 Revideret: 2005.11.07. 11968 Optimering, ressourcer og miljø. Anders Løvschal, s022365

Bjælkeoptimering. Opgave #1. Afleveret: 2005.10.03 Version: 2 Revideret: 2005.11.07. 11968 Optimering, ressourcer og miljø. Anders Løvschal, s022365 Bjælkeoptimering Opgave # Titel: Bjælkeoptimering Afleveret: 005.0.0 Version: Revideret: 005..07 DTU-kursus: Underviser: Studerende: 968 Optimering, ressourcer og miljø Niels-Jørgen Aagaard Teddy Olsen,

Læs mere

Obligatorisk Projekt MM512 Kurver og Flader 4. kvartal 2007

Obligatorisk Projekt MM512 Kurver og Flader 4. kvartal 2007 Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Indhold Obligatorisk Projekt MM512 Kurver og Flader 4. kvartal 2007 1 Vejledning 1 2 Indledning 2 3 Plankurver og deres evolut 2 4 Gaußforskydningen

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Introduktion til Datalogi

Introduktion til Datalogi Introduktion til Datalogi DM534/DM558 Rolf Fagerberg Mål og midler Mål og midler Mål for kurset: 1. Hurtig indsigt i mange dele af datalogi. Dette giver perspektiv på faget og studiet og dermed øget motivation.

Læs mere

Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang

Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2015 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Fredrik

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK A-NIVEAU. Fredag den 12. december 2008. Kl. 09.00 14.00 STX083-MAA

STUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK A-NIVEAU. Fredag den 12. december 2008. Kl. 09.00 14.00 STX083-MAA STUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK A-NIVEAU Fredag den 12. december 2008 Kl. 09.00 14.00 STX083-MAA Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Det perfekte blødkogte æg

Det perfekte blødkogte æg Det perfekte blødkogte æg Opgaveformulering: Ifølge undersøgelser på University of Exeter 1 kan det vises, at den optimale kogetid for et blødkogt æg kan skrives som Giv en kort redegørelse for den engelske

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Claus Simonsen 15MABA61

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 HTX

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Adgangsgivende eksamen (udeladt kategori: Matematisk student med matematik på niveau A)

Adgangsgivende eksamen (udeladt kategori: Matematisk student med matematik på niveau A) Økonometri 1 Forår 2003 Ugeseddel 13 Program for øvelserne: Gruppearbejde Opsamling af gruppearbejdet og introduktion af SAS SAS-øvelser i computerkælderen Øvelsesopgave 6: Hvem består første årsprøve

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Til 2hf ang. den større skriftlig opgave

Til 2hf ang. den større skriftlig opgave Til 2hf ang. den større skriftlig opgave Nakskov Gymnasium og HF september 2015 Den større skriftlige opgave skal skrives i perioden: tirsdag d. 15. december kl. 10. til tirsdag d. 22. december kl. 10.

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

K-opgave i faget multimedietekologi, foråret 2004 Fremstilling af multimediebaseret præsentation

K-opgave i faget multimedietekologi, foråret 2004 Fremstilling af multimediebaseret præsentation K-opgave i faget multimedietekologi, foråret 2004 Fremstilling af multimediebaseret præsentation 1. Tidsfrister og generelle krav Dette er den karaktergivende eksamensopgave (K-opgave) på kurset multimedieteknologi,

Læs mere

Bedømmelsesplan for den afsluttende eksamen for receptionistuddannelsen.

Bedømmelsesplan for den afsluttende eksamen for receptionistuddannelsen. Bedømmelsesplan for den afsluttende eksamen for receptionistuddannelsen. 1 Indholdsfortegnelse Side 3 Den afsluttende eksamen (Svendeprøven) Projektopgaven Skriftlig prøve Mundtlig prøve Side 4 Bedømmelsesplan

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Information til prøvedeltagere om Prøve i Dansk 2014/Brev om skriftlig prøve

Information til prøvedeltagere om Prøve i Dansk 2014/Brev om skriftlig prøve Information til prøvedeltagere om Prøve i Dansk 2014/Brev om skriftlig prøve Generelle oplysninger Alle prøver består af en mundtlig og en skriftlig del og omfatter fire områder: læseforståelse, skriftlig

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere