Teknologi & Kommunikation

Transkript

1 Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige af hinanden på en nærmere bestemt måde. I din hverdag findes der talrige eksempler på sådanne funktionssammenhænge, eksempelvis: Den samlede udgift til en (fastnet)telefon afhænger af både en fast afgift (abonnement) samt af det aktuelle forbrug (samtaletiden samt enhedsprisen/minutprisen), denne sammenhæng kan sagtens udtrykkes som en lineær funktion: Den samlede udgift kan kaldes for y Samtaletiden (i minutter) kan kaldes for x Enhedsprisen (typisk pr. minut) kan kaldes for a Den faste afgift kan kaldes for b Det lineære udtryk (eller ligning) bliver således: samlet udgift = samtaletiden enhedsprisen + fast udgift eller mere matematisk : y = ax + b Eksempel: Hvis man tænker sig, at den lokale enhedspris er 0,25 kr. pr. minut og den faste afgift er 250 kr. i kvartalet, kan det beregnes, hvad kvartalsregningen vil beløbe sig til, hvis abonnentens taletid det pågældende kvartal er 300 minutter. y = ax + b = 0,25x = (0,25 300) = 325 ( kr) Abonnentens kvartalsregning til telefon vil altså beløbe sig til 325 kr. i det pågældende eksempel. Indtegnet i et koordinatsystem vil grafen for telefonabonnementet se således ud: pvm redigeret

2 Side 2 af 6 Koordinatsystemet Det retvinklede koordinatsystem er opbygget af en vandret akse og en lodret akse. Den vandrette akse kaldes i matematikken sædvanligvis for x-aksen eller 1.aksen. Til denne akse knytter sig de uafhængige x-værdier, der danner definitionsmængden D. Den lodrette akse kaldes i matematikken sædvanligvis for y-aksen eller 2.aksen. Til denne akse knytter sig de (funktions)afhængige y-værdier, der danner værdimængden V. De to akser inddeles med en passende skala, der starter i koordinatsystemets nulpunkt (0,0). Med akserne således inddelt får man et koordinatsystem, der er opdelt i fire områder, der benævnes første (1.), anden (2.), tredje (3.) og fjerde (4.) kvadrant. I disse fire kvadranter varierer fortegnene, som det er angivet i nedenstående koordinatsystemet. Et vilkårligt punkt i koordinatsystemet kan beskrives ved hjælp af to tal, hvoraf det første tal angiver punktets værdi på x-aksen mens det andet tal angiver værdien på y-aksen. De to tal angives i parentes og adskilles af et komma, - for eksempel: A(3,5). Dette angiver at punktet A ligger 3 enheder ud af x-aksen og 5 enheder op af y-aksen, se herunder: Hvis punktet er angivet som en decimalbrøk ( komma-tal ), adskilles x- og y-værdierne med et semikolon, for eksempel: Q(-3,5 ; 4,5). pvm redigeret

3 Side 3 af 6 Den rette linie i koordinatsystemet Kendes koordinaterne til to punkter på en ret linie, kan man indtegne punkterne og dermed den rette linie i koordinatsystemet, idet der kun kan tegnes en ret linie gennem to punkter. Hvis de to punkter A(2,4) og B(12, 9) ligger på en ret linie, vil linien ligge som vist herunder: Som det fremgår af ovenstående kan man bestemme den rette linies placering i koordinatsystemet, hvis to punkter på linien er kendt. Ved at kigge nærmere på den rette linie vil det fremgå, at den rette linie også kan bestemmes af liniens hældning i forhold til x-aksen og af det stykke, som linien afskærer på y-aksen (på figuren herunder benævnt b). pvm redigeret

4 Side 4 af 6 Stigningstal (hældningskoefficient) Liniens hældning i forhold til x-aksen kaldes for hældningskoefficienten eller i daglig tale for liniens stigningstal a. Stigningstallet a beregnes som den lodrette afstand mellem et punkt på linien og et andet punkt på linien divideret med den vandrette afstand mellem de to samme punkter. På figuren herunder ses, at den lodrette afstand mellem punkterne A og B er benævnt y og den tilsvarende vandrette afstand mellem punkterne A og B er benævnt x. Stigningstallet a kan altså beregnes således: y a = = x y x 2 2 y1 x 1 Stigningstallet a for linien herover kan beregnes som: y y a = = x x 2 y x 1 y x y x = = B A = = B A Liniens stigningstal a (hældningskoefficient) er altså 0,5 (Dette betyder, at hvis værdien for x øges med 1, vil værdien for y vokse med 0,5) 0,5 pvm redigeret

5 Side 5 af 6 Liniens afskæring på y-aksen En lineær funktion kan generelt beskrives ved formlen: y = ax + b, hvor b er det stykke, som den rette linie afskærer på y-aksen (se figuren herunder). Hvis b var lig med 0 (nul) ville den rette linie gå gennem koordinatsystemets nulpunkt (0,0). For den rette linie (vist herover i koordinatsystemet) er liniens afskæring på y-aksen lig med b. Denne værdi kan bestemmes ud af formlen for den rette linies ligning ( y = ax + b ), hvis stigningstallet a samt et punkt på linien kendes. På forrige side blev stigningstallet a beregnet til 0,5 og som det kendte punkt kan A(2,4) anvendes, med udgangspunkt i disse data kan ligningen for linien defineres: Ved liniens skæring med y-aksen har x værdien 0, - derfor vil b kunne beregnes ved, at indsætte de kendte værdier i formlen for den rette linie: y = ax + b 4 = 0,5 2 + b 4 = 1+ b 4 1 = b b = 3 Linien afskærer altså y-aksen i det punkt, der har værdierne (, y) = ( 0,3) måde, linien skærer y-aksen i værdien +3. Den rette linies ligning x eller sagt på en anden I det gennemgående eksempel med en ret linie mangler nu kun, at den endelige ligning for linien opstilles efter formlen y = ax + b. De kendte værdier (stigningstallet og skæringspunktet med y-aksen) indsættes i formlen: y = ax + b y = 0,5x + 3 (hvilket giver den rette linies ligning.) pvm redigeret

6 Side 6 af 6 Konklusion Det lineære funktionsudtryk f ( x) = y = ax + b kan altså (hvis man ønsker det) indtegnes i et såkaldt koordinatsystem, hvilket resulterer i en grafisk fremstilling af den funktionsbestemte sammenhæng mellem x (den uafhængige variabel) og y (den funktionsafhængige variabel). Med udtrykket f ( x) = y = ax + b menes: f(x) er funktionsmængden (funktionen af x) y er den afhængige variabel (y s værdi afhænger af x samt funktionsudtrykket) a er grafens stigningstal (hældningskoefficient) x er den uafhængige variabel b er grafens skæringspunkt med y-aksen Eksempel: y = 0,5x + 3 pvm redigeret