Matematik Eksamensprojekt

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik Eksamensprojekt"

Transkript

1 Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende funktioner i algebra. Lærer: Maria Rybaltover Afleveres: 10/ kl. 14:00 Underskrift:

2 Ud fra min fødselsdato har jeg fået opgivet følgende værdier/konstanter af programmet, det er disse min eksamens opgave vil være baseret på. h: 12,8 meter c: 13,2 meter v 1: 40,8 grader v 2: 23,8 grader : 638 Newton Opgave 1 A) Bestem FG og Trekanten er en ligebenet trekant, hvilket jeg kan se da. Jeg kan finde ved at trække den samlede sum af de to kendte vinkler fra 180, da en trekant altid har en vinkelsum på 180. Jeg kan finde frem til ved at benytte denne formel: 180 Figur 1. Udregningen af,, ses på figur 1 ovenfor. Nu kender jeg også. Side 2 af 16

3 Når jeg kender FH,, og. Kan jeg nemmest finde FG ved at benytte sinusrelationen, som ser således ud (se også figur 2): sin sin sin 1,58522, Figur 2. Dermed fik jeg bestemt FG og vil nu gå videre til. For at få bestemt skal jeg enten bruge sinus eller cosinus relationerne alt efter om jeg har fået alle vinklerne eller siderne oplyst. Her har jeg fået alle sidelængerne oplyst, derved kan jeg benytte Cosinusrelationerne til at finde 1,650 0,900 2, ,400 1,650 0,900 21,6500,900 CosC0,96875 Se figur 3. Figur 3. Nu har jeg så taget og regnet følgende opstilling ud, som ses på figur 3. Derefter har jeg taget af den og er kommet frem til 14,3615, se figur 4. 14,3615 Figur 4. Side 3 af 16

4 b) Bestem tværsnitsarealet af masten. For at bestemme tværsnitarealet på masten skal man inddele den i flere stykker der er til at regne på, for at kunne finde den samlede sum. Jeg har inddelt søjlen på figur 5, i 3 stykker. To trekanter og en firkant (kan ses på figur 5). Firkanten har jeg udregnet på følgende måde: h (se også figur 7) Figur 7. h10,24 For at beregne trekanten, har jeg benyttet sinusrelationen. Jeg kender Figur h12,8 Jeg skal bruge denne ligning: som jeg har isoleret til C. Dertil har jeg på figur 6 udregnet HJ til at være 12,8176m (se figur 6). For at finde vinkel trækker jeg de opgivede 87 fra den rette vinkel på 90 og ender ud med en vinkel på 3 Figur 6. Side 4 af 16

5 For at kunne beregne arealet af trekant kan jeg med mine nuværende oplysninger via følgende formel: ½h ½12,812,81763 Dertil har jeg på figur 7, udregnet arealet på trekant ud til at være 4, Dette ganger jeg med 2, da der er en symmetrisk del magen til på højre side af søjlen. Se udregningerne på figur 8. Dvs. at jeg har et samlet areal på 18, 8,8265 Figur 8. For at komme videre med udregningerne af tværsnit arealet. Og beregningerne af den øvre del af el masten ( ADE). Skal jeg først finde vinklen. Det vil jeg gøre på følgende måde: Først og fremmest skal jeg finde vinkel til : Jeg benytter Cosinusrelationen til dette, da jeg kender alle side længderne. Se figur 9. 0,9 2,4 1,65 20,92,4 27,0481 Figur 9. For at finde frem til koordinat skal jeg beregne C1E1 som jeg har tegnet som hjælpe trekant. Samt C1H1. Se figur 10. Da jeg kender kan jeg finde 1 ved at trække summen af og 1 som er retvinklet fra 180. Dertil får man 62,9519. Da jeg kender EH, 1, 1 og kan jeg benytte Figur 10. Sinusrelationen. Se figur 11. sin1 11 sin1 11 0, , 11 Figur 11. Side 5 af 16

6 Nu har jeg fundet C1H1, som er E s y koordinat. Dertil kan jeg indsætte dette i formlen ovenfor og i stedet lave Solve på C1H1 for at finde E s x koordinat. sin1 11 sin1 11, , For at kunne gøre det til E s x koordinat skal jeg have den til at fortsætte fra C1 til x=0. Jeg kender også HI som har centrum i x=0. Dertil kan jeg blot tage det halve Figur 12. af HI og lægge til C1H1 for at finde E s x koordinat. Hvilket kan ses på overstående screen. E s koordinater er altså ifølge udregninger fra figur 12: X= -1,20156 Y=0, Ligeledes skal de resterende koordinater ordinater også regnes ud ligeledes vha. hjælpetrekanter. Dette tager dog utrolig lang tid at formulere, opstille på papir samt at det fylder ekstremt meget. Derfor har jeg valgt ikke at vise beregningerne for disse men blot de koordinater jeg har fundet frem til. H = (-0,4; 0) A = (-2,6; 3,8) D = (-0,986; 0,817) C = (0; 0,446) Arealet af har jeg regnet ud på følgende måde: ½* Grundlinje * højde = T Højden er E s Y koordinat. Se udregninger på figur 13. ½2,40, , Disse koordinater har jeg indsat i programmet Graph som en punktserie. Ud fra den punktserie har jeg lavet en tendenslinje som indrammer koordinaterne til vores figur. Jeg har så sat mit CAS værktøj til at beregne arealet af funktionen / tendenslinjen. Som jeg fået til 1,2539 Se figur 14. Figur 13. Side 6 af 16

7 Figur 14. Nu har jeg faktisk tværsnit arealet af hele elmasten. Blot i små stykker som jeg nu vil lægge sammen. Søjlen har et tværsnit areal på har et areal på: Venstre side af armen har et areal på: 18,8265 0, ,2539 Sammenlagt giver dette: 18, , , ,3165 Figur 15. Det total tværsnit areal må i mit tilfælde være: 22,3165 ifølge figur 15. Side 7 af 16

8 C) bestem og Jeg skal finde F og F, hvilket jeg gør på følgende måde: v findes ved, at differentiere funktionen for parablen og dernæst at sætte x lig nul. Se figur 16. 0, , ,2 0, , , , , I virkeligheden behøvede jeg ikke at differentiere, da jeg sætter x lig nul, så jeg kan bruge koordinaterne direkte fra funktionen. Denne værdi har jeg brugt arcus tangens på, og er kommet frem til følgende vinkel: se figur 17. Figur 16. tan 0, Nu har jeg på denne måde fundet frem til vinklen v som vist på figuren til højre. Denne vinkel bruges til at bestemme længden af og. Hvilket jeg gør med disse formler: Figur sin10 sin12 Denne formel har jeg fundet frem til, da jeg ved, at summen af kraften fra begge sider er lig den kraft som holder hele elmasten oppe (. Se figur 18. Dertil ved jeg også at: Figur 18. sin10 sin12 Da hele elmasten ellers ville stå skævt, da den så ville blive trykket mere i den ene side. Derfor kan jeg opstille følgende formler til at finde frem til vores to ukendte vektorer. Figur 19. Side 8 af 16

9 Dertil benytter jeg substitutions metoden til at køre Solve på. Se figur 19. cos12 cos10, 0, Det kan jeg nu bruge til at køre Solve på 6380, sin10 sin12, 1677,25 Nu hvor jeg har kan jeg også finde 1677,25cos12 cos10, 1665,9 Figur 20. Se udregninger på figur 20. D) Redegør for hvilken indflydelse en ændring i temperaturen har på og. I videoen fremgår det hvordan en stigning i temperatur forlænger kablet som resulterer i en forøget vinkel på og. Dette skyldes at et legeme fylder mere i opvarmet tilstand end i køligere tilstand. Dette resulterer i en mere krum eller glad parabel, derfor vil funktionen stige mere stejlt omkring masterne. Når vinklen stiger grundet temperatur-stigning og dermed udvidelse, vil og påvirke med en større nedadgående kraft, dette påviser ovenstående udregninger. Dog vil og være lige store i forhold til hinanden da de stadig vil udligne hinanden, da temperatur stigningen er global og ikke lokal på enkelte metre af kablet. E) Bestem den mindste afstand mellem punktet N og kablet. Her skal jeg udregne den korteste afstand mellem punktet N og kablet. For at finde frem til dette skal man drage brug af optimering. Jeg skal finde det bedste sted på ledningen til at optimere afstanden til den kortest mulige vej til punktet N. Til dette skal jeg benytte afstandsformlen: Denne har jeg så modificeret så den passer til mit eksempel, jeg kender allerede N s koordinater ( ), dertil kan jeg indsætte dem. Samt jeg kender også i form af denne opgivende funktions forskrift: 0, , ,2 Min afstandsformel ser altså sådan ud, og skal differentieres, hvilket jeg har brugt min lommeregner til, se figur 21: Side 9 af 16

10 14 5 0, , ,2 0, , , , ,6 2,625862, Overstående differential-kvotient sættes lig 0, sådan at x kan køres solve på se figur 22. Figur 21.,,, 0,,,,, 14,8161 Nu har jeg et koordinat for lednings punkt på x-aksen. Dette koordinat skal jeg nu finde ud af hvorvidt det negativt eller positivt. Hvilket jeg gør vha. monotoni regning. Figur 22. Funktionen går fra ;14,8161[ til ]14,8161; Derfor skal jeg finde mig to tal. Det ene under 14,8161og det andet skal være over. Jeg har eksempelvis valgt 10 og 20 som mine værdier. Jeg tager derfor funktionen og sætter 10 ind på x s plads. Hvis mit resultat er negativt er funktionen aftagende indtil 14,8161. Hvis det er positivt er det stigende indtil 14, , , , , ,6 0,421486, se figur , , Da overstående er blevet negativt betyder dette at funktionen er aftagende indtil 14, , , , , ,6 0,445028, se figur , , Da ovenstående er blevet positivt betyder dette at funktionen er tiltagende og kan derfor konkluderer at det er et minimumspunkt. Dette var også det jeg ledte efter, da jeg skulle finde den korteste vej til punktet N, hvilket er ned ad, altså negativt ergo et minimumspunkt jeg havde brug for. Figur 23. Figur 24. Side 10 af 16

11 Jeg kan nu udregne resten af koordinaterne med mine fundne værdier. Jeg har x værdien hvilket jeg kan bruge ved at sætte ind i min funktion for at finde y s koordinater, se figur 25. 0, ,8161 0, , ,2 11,3616 Nu har jeg koordinaterne for både N og ledningens punkt. Figur 25. Kabels punkt: 14,8161;11,3616 N: 14;5 Dette kan jeg indsætte i afstandsformlen, for at finde afstanden. Hvilket kan ses herunder, se figur 26: 14, , ,41373 Figur 26. Jeg har hermed optimeret afstanden mellem ledningen og punktet N, til den korteste. Da det tidligere fremgår af opgave oplæget at alle koordinater er angivet i enheden meter, er den korteste afstand mellem ledningen og punktet N er altså: 6, F) bestem længden af kablet mellem de to master. Jeg kender afstanden mellem m de to master ud fra de opgivede oplysninger fra opgave oplæget, afstanden er 50 meter. Dette kunne være fristende blot at angive som kablets længde, men da kablet ikke hænger i en fuldstændig lige linje fra mast til mast går dette ikke. I stedet vil jeg udregne længden ud, vha. funktionen som også har indgået i de tidligere underopgaver. 0, , ,2 Jeg har også den differentierede version af overstående funktion hvilket jeg også skal benytte. Dertil kan jeg opstille denne integral formel: 1 10, , ,2579 Kablets længde er altså efter matematikkens kraft at dømme 50,2579 meter. Figur 27. Side 11 af 16

12 G) Er dette krav opfyldt? En anden dag er længden af kablet forøget med 0,1 %, men x-koordinaten for parablens toppunkt forbliver uændret. Det officielle mindstekrav for kablets højde over terræn er 83meter. Jeg kan starte med at udregne den nye længde af kablet. Jeg kender længden fra forrige opgaver, samt ved at den forøges med 0,1%. Dertil kan jeg opstille følgende, se figur 28: 50,25791,001 50,3082 Nu har jeg længden af kablet, denne kan jeg bruge til at sætte ind i den differentierede funktion for kablets parabel. Dertil skal jeg bruge Figur 28. toppunktsformlen som også sættes ind i den differentierede funktion. Toppunktsformlen ser sådan ud: 2 ; 4 Denne isolerer jeg til b, med x-koordinatet. For videre brug i den differentierede funktion, se figur , 50 Nu skal jeg definere en funktion for parablen, som senere skal differentieres, derfor ved jeg at når en anden grads ligning bliver differentieret bliver det til 2axb. Jeg har isoleret b i overstående formel, så det er lige til at sætte ind: Figur Dette kan jeg nu benytte til at integrere dette til funktionen.. Og køre solve på den, sådan at jeg får konstanten a, til vores funktion. Her har jeg brugt numerisk solve, for at frasortere alle de negative værdier ,3082, 0, Min a konstant i overstående ligning. Er nu det sidste jeg mangler for at kunne regne min funktion ud vha. funktions forskriften, jeg har indsat 25, da det er midtpunktet mellem de to master, se figur 30: Side 12 af 16

13 250, , ,2 10,7894 Det laveste punkt på parablen (kablet) er 10,7894 meter. Derfor er minimumshøjden på de 8,3 meter ikke noget problem. Ja jeg kan ud fra overstående beregninger konkludere at kravene er opfyldt. Figur 30. Side 13 af 16

14 Opgave 2 Placer mindst 4 elmaster på strækningen, og kom med relevante bud på forskrifter for kablernes parabelbuer. Kontroller at højspændingskablerne er mindst 8,3 meter over terræn. Foretag selv yderligere relevante udregninger. I den forbindelse skal du inddrage flest mulige relevante emner inden for matematikken, f.eks. funktioner, geometri, vektorer mv. I denne opgave ser jeg det mest logiske at placere masterne med samme forhold som opgave oplæget fra tidligere. Altså 50 meter mellem hver mast, i en højde á 15 meter. Jeg har fået opgivet funktionsforskrifter for terrænet. Hvilket ser således ud: (terrænet kan ses på figur 31) Figur 31. De første 100 meter vil komme til at bestå af 3 master. Én ved start, en ved 50 meter og tredje ved 100 meter. Disse vil være 15 meter høje, som også tidligere nævnt. Den fjerde mast, vil stå ved 140 meter. Grunden til at den ikke følger mønsteret fra de andre og står ved 150 meter, er af den simple grund at terrænet er stoppet med dens tiltagen ved 140 meter. Efter 140 meter er terrænet faldende. Derfor vil det være det mest optimale sted at placere dette. Mit højspændingskabel skal hele tiden overholde kravet omkring minimums højde på 8,3 meter. Dette har jeg brugt til beregningerne af kabelparablerne. Jeg har lavet parablerne i Graph. Man skal have sine 3 punkter som parablen skal gå igennem. Derefter tilføjer man en tendenslinje til punktserien. Denne tendenslinje er polynomisk. Helt præcist er det faktisk et 3. grads polynomium jeg har med at gøre. Jeg har brugt mit CAS værktøj til beregning af dette. Se figur 32. Side 14 af 16

15 De første 2 punkter er der hvor kablerne skal gå fra på de to master. Derefter skal polynomiet gå gennem et 3. punkt. Dette punkt har jeg bestemt til at være midt på kablet i en højde af 11 meter. Programmet har dertil beregnet min funktionsforskrift for dette. Figur 32. Det er let nok de første 100 meter. Problematikken kommer når det skal gå op ad bakke, og samtidig overholde minimumshøjden. Jeg har tidligere argumenteret for mit valg af den fjerde elmasts placering på de 140 meter. Dertil har jeg taget koordinatet der ligger mellem 100 og 140. Det er altså 120 metermærket jeg snakker om. Dertil har jeg udregnet højden ved 120 meter ud fra terrænets funktionsforskrift. Dette har jeg gjort så simpelt ved blot at indsætte 120 på x s plads. Da så får det tilsvarende y-koordinat. Altså højden i meter. Se figur 33. 0, , , ,5 0, , , ,5 10,5 Figur 33. Side 15 af 16

16 Derfor bliver jeg nød til at placere parablen mellem 3. og 4. masts 3. koordinat højere end de ellers 11 meter der blev benyttet på de andre parabler. Hvis minimumshøjden er 8,3 meter. Da får jeg så 18,8 meter hvis dette lige akkurat skal opfylde kravet. Dertil er der ikke taget højde for kablet bliver længere ved varme. Derfor syntes jeg at se det logisk at runde tallet op til 20 meter. Da der så ikke er nogle problemer på de varme sommerdage med udvidende kabler. Dertil har jeg sat 3. koordinatet mellem mast 3 og 4, til at være 120;20. Ud fra dette har mit Graph program igen været i stand til at udregne funktionsforskriften for parablen. Disse funktionsforskrifter for de forskellige afstande ser således ud: 0 <50 50<x < 140 0,0064 0,3215 0,0064 0,9647 0,0125 2,5140 Side 16 af 16

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x). Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller-

1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller- 1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller- Vækstmodellerne: Lineær funktion: Forskrift: a er hældningskoefficient

Læs mere

Hjemmeopgavesæt 01.02.10

Hjemmeopgavesæt 01.02.10 Rami Kaoura Matematik A Dato 01.0.010 Hjemmeopgavesæt 01.0.10 Navn: Rami Kaoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Vejleer: Jørn Christian Bentsen Skole: Roskile tekniske gymnasium, Htx Dato: 01.0.010 1 Rami

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Vejledende Matematik B

Vejledende Matematik B Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres.

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres. .01 Trekanter Trekanttypespil En retvinklet trekant med siderne,, og. Kan ikke konstrueres. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En ligesidet trekant med siden. En spidsvinklet trekant hvor den ene

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012 Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens

Læs mere

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik B, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Lektion 8s Geometri Opgaver

Lektion 8s Geometri Opgaver Matematik på Åbent VU Lektion 8s Geometri Indholdsfortegnelse Sammensatte figurer Kunstruktionsopgaver Trigonometri Lavet af Niels Jørgen ndreasen, VU Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVU Lektion 8s Side

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Selvstuderende Lærer Maj-juni 2014 Skoleår 2013/2014

Læs mere

Læg mærke til at de første 14 spørgsmål er dublerede. Den bedste forberedelse er at danne grupper, som gennemgår spørgsmålene og laver en disposition.

Læg mærke til at de første 14 spørgsmål er dublerede. Den bedste forberedelse er at danne grupper, som gennemgår spørgsmålene og laver en disposition. 1 Årsprøvespørgsmål 1x matematika 011. Læg mærke til at de første 14 spørgsmål er dublerede. Den bedste forberedelse er at danne grupper, som gennemgår spørgsmålene og laver en disposition. Hvert spørgsmål

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6

Læs mere

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Hold Sommer 2016 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik, niveau

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2014/15, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Hold Vinter 2016/17 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere