Harmoniske Svingninger
|
|
- Søren Overgaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Harmoniske Svingninger Frank Nasser 14. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Harmoniske svingninger De fire parametre Grafen for en harmonisk svinging Rart at vide om dem Hvordan grafen ikke ser ud! Periode, frekvens og vinkelfrekvens Cosinus og faseforskydningen Hvad skal vi med dem? Ligninger med harmoniske svingninger Modellering af svingningsfænomener Hvorfor er de overalt? Summer af harmoniske svingninger Samme vinkelfrekvens og faseforskydning Forskellige faser Interferens Næsten samme vinkelfrekvens Oversvingninger Forskellige vinkelfrekvenser Fourierteori
3 Resumé I dette lille dokument ser nærmere vi på den funktionsfamilie som kaldes harmoniske svingninger. 1 Introduktion Harmoniske svingninger optræder overalt i naturen. Ikke kun i forbindelse med bevægelser (hvor en genstands position svinger frem og tilbage som funktion af tiden, men også i så (tilsyneladende) forskellige områder som lys, lyd, elektricitet, magnetisme og kvantemekanik. Forudsætninger For at læse dette dokument, skal du kende funktionerne cosinus og sinus, samt radianbegrebet. Du skal også være fortrolig med selve det abstrakte funktionsbegreb og hvordan man tegner grafer for funktioner. Det sidste afsnit er mere avanceret end resten af dokumentet, og her får du brug for at kende til de såkaldte additionsformler for cosinus og sinus. 2 Harmoniske svingninger Lad os bare starte med at smide definitionen på bordet: Definition 1 En harmonisk svingning er en funktion, f defineret ved en forskrift af typen: f(x) = A sin(ω x + φ) + k hvor ω, φ og k er reelle tal, og A er et positivt reelt tal. side 1
4 Hver gang man vælger en værdi til de fire parametre har man altså en harmonisk svingning. I det næste afsnit tager vi et nærmere kig på betydningen af hver af parametrene. 2.1 De fire parametre De fire parametre har hver sin betydning for funktionen. Derfor har man ligefrem fundet på navne til hver af dem, for at afspejle denne betydning: k kaldes offsetværdien eller nogle gange middelværdien A kaldes Amplituden ω kaldes vinkelfrekvensen φ kaldes faseforskydningen Bemærk i øvrigt at bogstavbetegnelserne k, A, ω og φ (lige som de fleste andre bogstavbetegnelser) er helt frivillige. Man kan sagtens definere fire konstanter p, d, F og M og så tale om den harmoniske svingning f, givet ved: f(x) = p sin(f x + d) + M Den vil så have amplitude p, vinkelfrekvens F o.s.v. Det kan dog varmt anbefales at bruge standard -betegnelserne medmindre man har en alvorlig grund til ikke at gøre det. Når man skal forklare betydningerne (og dermed også hvorfor ovennævnte navne er fornuftige) er det som regel nyttigt at tænke på to af de mest velkendte harmoniske svingninger: Vekselspænding: En spændingsforskel som svinger op og ned som funktion af tiden. Lyd: Små, meget hurtige udsving i lufttrykket som funktion af tiden. side 2
5 2.1.1 Offsetværdien Offsetværdien er den nemmeste at forklare. Det er simpelt hen den funktionsværdi som den harmoniske svingning svinger omkring. I tilfældet med vekselspændingen i stikkontakten er dette som regel en spænding på præcis nul volt. Men i andre situationer med elektronik kan man have en god grund til at lægge et såkaldt DC offset 1 oven i den svingende vekselspænding. Det betyder at man tilføjer en jævnspænding over sit kredsløb, og i så fald bliver offsetværdien lig med denne jævnspænding. I forbindelse med lyd betår offsetværdien af det konstante lufttryk på cirka 1 atmosfære Amplituden Ordet amplitude betyder noget i retning af tykkelse. Og det er nogenlunde præcist hvad amplituden er. Den angiver nemlig størrelsen af det udsving som vores svingende funktioner laver til begge sider af offsetværdien. I tilfældet med vekselspændingen i vores stikkontakter, så er amplituden de ca. 230 volt, fordi spændingen varierer mellem 230V og 230V. I tilfældet med lyd, vil de fleste normale lyde bestå af svingninger med bittesmå amplituder i størrelsesordenen 0, 001 atmosfære Vinkelfrekvensen Ordet frekvens betyder hyppighed eller som regel når det skal være lidt mere præcist i fysik: gentagelser pr. tid Ordet vinkelfrekvens er valg for at antyde at det næsten er det samme som frekvens, men at der er en vigtig forskel. Helt præcist angiver vinkelfrekvensen hvor mange radianer pr. tid at svingningen 1 Det er faktisk herfra at navnet offsetværdi er taget. side 3
6 gennemløber, med den regel at 2π radianer svarer til en hel gennemført svingning. Derfor vil vinkelfrekvensen af vores vekselspænding i Danmark være ω = 50 2π (forudsat tiden måles i sekunder) fordi der bliver gennemført 50 hele svingninger (svarende til 50 2π radianer) pr. sekund. Vinkelfrekvensen bliver noget lettere at forstå når vi senere indfører begreberne periode og frekvens lidt mere grundigt. Lige nu er det kun vigtigt at du forstå at når ω er et stort tal, så går svingningerne hurtigt. Lyde som kan høres af det menneskelige øre har typisk vinkelfrekvenser mellem 200 og (Igen forudsat at tiden måles i sekunder) Faseforskydningen Faseforskydningen, φ, er den sværeste parameter at forstå betydningen af, fordi den sjældent er nogen man har kontrol over. Når man ændrer faseforskydningen vil funktionens forløb være næsten det samme: Den vil svinge lige hurtigt omkring med lige store udsving omkring den samme middelværdi. Det eneste som ændrer sig er Hvornår svingingen rammer offsetværdien. Altså en slags mål for hvornår svingningen starter. Både i eksemplet med vekselspænding og eksemplet med lyd, kan man ikke på nogen måde mærke vinkelfrekvensen af en enkelt svingning. Det er kun et spørgsmål om hvornår vores indre ur er startet. Men hvis man derimod lægger flere harmoniske svinginger (f.eks. lyde eller vekselspændinger) oven i hinanden, så får forskelle i vinkelfrekvenser lige pludselig en meget vigtig betydning. Det skal vi se mere på i afsnit 5 Den helt præcise betydning af faseforskydningen kan vi først fastlægge når vi ser på grafen for en harmonisk svingning i næste afsnit. side 4
7 2.2 Grafen for en harmonisk svinging Når man tegner grafen for en harmonisk svingning, så bliver betydningen af de fire parametre meget mere klar. Uanset hvilken harmonisk svingning man tegner graf for, så vil den altid komme til at ligne grafen for sinus, blot forskudt og/eller strakt langs med akserne 2. Betydningen af de fire parametre for udseenet af grafen er som følger: Offsetkonstanten, k, angiver den y-koordinat som grafen varierer omkring. Amplituden, A, angiver hvor meget grafen svinger til begge sider af ovennævnte y-koordinat. Hvis amplituden f.eks. er 5, og offsetkonstanten er 7, så vil grafen svinge mellem y-koordinaterne 7 5 = 2 og = 12. Vinkelfrekvensen, ω, angiver hvor mange hele svingninger der bliver gennemført hver gang man bevæger sig 2π ud af x-aksen. Faseforskydningen, φ, angiver hvor meget grafen er forskudt i retning af x-aksen. Det er dog ret besværligt at sige helt præcist hvor stor forskydning en bestemt værdi af φ forårsager, fordi dette også afhænger af vinkelfrekvensen. Helt præcist bliver grafen forskudt med φ ω mod venstre! Sådan at grafen rammer offsetværdien i x- koordinaten: x = φ ω At dette er illustreret på figur 1 nedenfor. 2 Hvis du vil se præcis hvorfor det er sådan, så skal du læse om grafmanipulation her. side 5
8 Figur 1: Grafen for en typisk harmonisk svingningsfunktion 3 Rart at vide om dem 3.1 Hvordan grafen ikke ser ud! Det sker desværre igen og igen at folk som egentlig burde have forstand på harmoniske svingninger tegner deres grafer som noget i retning af figur Figur 2: Nogle dumme halvcirkler som intet har med sagen at gøre. Den altoverskyggende misforståelse i at gøre sådan består i at tro at kurverne på grafen for en harmonisk svingning er cirkelbuer. Det er de ikke! Den vigtigste forskel ligger i den hældning hvormed grafen skærer x-aksen. Den er aldrig lodret, sådan som cirkelbuernes side 6
9 hældninger er. Tværtimod, hvis akserne er skaleret sådan at perioden er cirka 6 gange større end amplituden, så vil hældningen hvormed grafen skærer x-aksen (eller rettere: Den vandrette linje gennem y = k altid være cirka Periode, frekvens og vinkelfrekvens 3.3 Cosinus og faseforskydningen Et meget naturligt spørgsmål at stille når man ser definitionen af harmoniske svinginger er: Hvor skal man kun bruge sinus? Hvorfor ikke også cosinus? Svaret på dette spørgsmål er ganske enkelt: Fordi cosinus bare er en faseforskydning af sinus. Det skyldes en af de såkaldte overgangsformler: ( cos(x) = sin x + π ) 2 4 Hvad skal vi med dem? I dette afsnit ser vi på nogle af de typiske problemer som kan opstå i forbindelse med harmoniske svingninger. 4.1 Ligninger med harmoniske svingninger Lad os se på et eksempel, hvor f er den harmoniske svingning givet ved: f(x) = 4.2 Modellering af svingningsfænomener 4.3 Hvorfor er de overalt? Dete afsnit er lidt mere teknisk end resten af dokumentet og kan sagtens springes over. For at forstå det er du nødt til at vide en side 7
10 lille smule om differentiation. Til gengæld får du en meget naturlig indgangsvinkel til emnet differentialligninger, som ellers kan være meget svært at komme i gang med. Hvis man differentierer en harmonisk svingning, f, givet ved: så får man: f(x) = A sin(ω x + φ) + k f (x) = A cos(ω x + φ) ω og differentierer man en gang mere, får man: f (x) = A sin(ω x + φ) ω 2 Kigger man nøje efter, så ligner dette den oprindelige funktion rigtig meget. Der er et fortegn til forskel, og så er k forsvundet og vi har fået ganget ω 2 på i stedet for. Men denne ændring er simpel nok til at kunne skrives ned: eller lettere omskrevet: f (x) = ω 2 (f(x) k) f (x) = ω 2 f(x) + ω 2 k Her står at den dobbelt afledede af f er det samme som f, ganget med en negativ konstant ( ω 2 ) plus yderligere en konstant (ω 2 k). En sådan sammenhæng mellem en funktion og dens afledede kaldes en differentialligning. Fysik og andre naturvidenskaber er propfyldt med differentialligninger, hvor differentialligningen er det første vi opdager, og så er hele problemet at finde nogle funktioner som opfylder denne differentialligning. Og lige netop ovenstående differentialligning er så simpel (den siger bare at der er en lineær sammenhæng imellem f og f ) at den dukker op overalt. Newton s anden lov er det mest velkendte eksempel. Den siger nemlig at accelerationen (den dobbelt afledede side 8
11 af positionen) er lig en konstant ( 1 ) gange den resulterende kraft. m I mange tilfælde (f.eks. ved bevægelse af en fjeder, jævnfør Hooke s lov) er den resulterende kraft givet ved en negativ konstant gange positionen. Og så har vi lige præcis differentialligningen. 5 Summer af harmoniske svingninger Lad os nu se på nogle fænomener som forekommer næsten hver eneste gang man harmoniske svingninger optræder i naturen. Nemlig hvor flere harmoniske svingninger bliver lagt sammen. 5.1 Samme vinkelfrekvens og faseforskydning Lad os først prøve at lægge to harmoniske svingninger sammen, hvor de har samme fase og samme vinkelfrekvens Det viser sig heldigvis er være meget nemt. Lad os starte med to harmoniske svingninger, f 1 og f 2 : f 1 (t) = A 1 sin(φ + ω t) + k 1 Så er: f 2 (t) = A 2 sin(φ + ω t) + k 2 f 1 (t) + f 2 (t) = A 1 sin(φ + ω t) + A 2 sin(φ + ω t) + k 1 + k 2 = (A 1 + A 2 ) sin(φ + ω t) + (k 1 + k 2 ) Altså: De to harmoniske svingninger lagt sammen giver bare en ny harmonisk svingning med samme (fælles) vinkelfrekvens og faseforskydning, og med offsetværdi og amplitude givet som summen af de to indgående svingningers offsetværdier henholdsvis amplituder. Dette fænomen kan være lidt svært at observere i naturen, fordi man sjældent har kontrol over faseforskydningen af harmoniske svingninger. Derfor er det meget mere relevant med det næste hvad vi skal se på i næste afsnit. side 9
12 5.2 Forskellige faser Interferens Ok, lad os nu tage en harmonisk svingning: f 1 (t) = A 1 sin(φ 1 + ω t) + k 1 og en mere, som har samme vinkelfrekvens, men forskellig faseforskydning: f 2 (t) = A 2 sin(φ 2 + ω t) + k 2 Additionsformlen for sinus kan bruges til at omskrive: f 1 (t) = A 1 (sin(φ 1 ) cos(ωt) + cos(φ 1 ) sin(ωt)) + k 1 og tilsvarende med f 2 ; f 2 (t) = A 2 (sin(φ 2 ) cos(ωt) + cos(φ 2 ) sin(ωt)) + k 2 Dermed kan de let lægges sammen: f 1 (t) + f 2 (t) =A 1 (sin(φ 1 ) cos(ωt) + cos(φ 1 ) sin(ωt)) + k 1 + A 2 (sin(φ 2 ) cos(ωt) + cos(φ 2 ) sin(ωt)) + k 2 = (A 1 sin(φ 1 ) + A 2 sin(φ 2 )) cos(ωt) + (A 1 cos(φ 1 ) + A 2 cos(φ 2 )) sin(ωt) + (k 1 + k 2 ) Hvis man lige tager en dyb indånding og ser nærmere på dette, så kan man se at de to lange parenteser er konstanter (de afhænger ikke af t). Desuden kan cos(ωt) nemt omskrives til at være en faseforskudt sinus: cos(ωt) = sin( π 2 + ωt) Derfor kan dette tolkes som en sum af to nye harmoniske svingninger, som har amplituder gives ved henholdsvist: (A 1 sin(φ 1 ) + A 2 sin(φ 2 )) side 10
13 og (A 1 cos(φ 1 ) + A 2 cos(φ 2 )) og som er faseforskudt præcis π (altså en kvart svinging) i forhold til 2 hinanden. Det sjove ved dette er, at begge disse amplituder f.eks. kan give nul, uden at nogen af de oprindelige amplituder A 1 og A 2 er nul. Hvis f.eks. A 1 = A 2 og vi samtidigt har: så er: og φ 1 = φ 2 + π cos(φ 1 ) = cos(φ 2 ) sin(φ 1 ) = sin(φ 2 ) Og dermed bliver begge amplituderne nul. Dette er en forklaring på hvorfor to svingninger med samme vinkelfrekvens og samme amplitude, men omvendt faseforskydning kan annihilere hinanden. 5.3 Næsten samme vinkelfrekvens Oversvingninger Til sidst en lille illustration af hvad der sker når man anslår to næsten ens toner samtidigt. (Det som man benytter sig af når man f.eks. stemmer en guitar). Vi tager to harmoniske svingninger. Denne gang med samme amplitude og uden faseforskydinger. Og vi dropper også offsetkonstanten, fordi den ikke er interessant. og f 1 (t) = A sin(ω 1 t) f 2 (t) = A sin(ω 2 t) side 11
14 Lægger vi disse to sammen, får vi ikke umiddelbart noget som vi kan omskrive på: f 1 (t) + f 2 (t) = A sin(ω 1 t) + A sin(ω 2 t) Men hvis vi lige får den fremragende ide at indføre middelfrekvensen: ω m = ω 1 + ω 2 2 og differensfrekvensen: så er tricket at: ω d = ω 1 ω 2 2 ω 1 = ω m + ω d mens: (Regn selv efter). Derfor kan vi omskrive: ω 2 = ω m ω d f 1 (t) = A sin(ω m t + ω d t) og f 2 (t) = A sin(ω m t ω d t) Bruger vi additionsformlerne for sinus på disse, får vi noget der er lækkert at lægge sammen: f 1 (t) = A (sin(ω m t) cos(ω d t) + sin(ω d t) cos(ω m t)) f 2 (t) = A (sin(ω m t) cos(ω d t) sin(ω d t) cos(ω m t)) Dermed kan vi omskrive: f 1 (t) + f 2 (t) =A (sin(ω m t) cos(ω d t) + sin(ω d t) cos(ω m t)) + A (sin(ω m t) cos(ω d t) sin(ω d t) cos(ω m t)) =2A sin(ω m t) cos(ω d t) side 12
15 Hvis man nu tager sine allermest skarpe briller på, og samtidigt forestiller sig at de to oprindelige frekvenser var næsten lige store, så er dette faktisk ret smukt. Eftersom de to frekvenser er næsten lige store, så bliver middelfrekvensen omtrent det samme som de to oprindelige frekvenser, mens differensfrekvensen ω d bliver meget lille. Dermed kan vi se udtrykket for f 1 (t)+f 2 (t) som en ren harmonisk svingning: 2A sin(ω m t) (med middelfrekvensen af de to anslåede frekvenser, og den dobbelte amplitude) Men alt sammen ganget med et andet tal: cos(ω d t) som svinger meget langsomt (fordi ω d er lille) mellem 1 og 1. Hvis man forestiller sig at dette tal er ganget på amplituden, altså: f 1 (t) + f 2 (t) = (2A cos(ω d t)) sin(ω m t) så kan det tolkes som at der bliver skruet op og ned for amplituden, ganske langsomt. Og det er præcis sådan man hører det hvis to guitarstrenge anslås med næsten samme frekvens. Det lyder som om de to toner ligger oven på hinanden, men at lydstyrken svinger ganske langsomt. (Og jo langsommere svingningen i lydstyrken bliver, desto mere præcist er de to strenge stemt.) Musikere kalder dette fænomen for oversvingninger. 5.4 Forskellige vinkelfrekvenser Fourierteori Hvis man lægger to hamoniske svingninger sammen som har vidt forskellige frekvenser, så finder man hurtigt ud af at dette ikke lader sig omskrive på en måde så man klart kan se hvad resultatet bliver. Faktisk finder man ret hurtigt ud af at summer ar harmoniske svingninger med forskellige vinkelfrekvenser bliver noget frygteligt side 13
16 rod. Så længe amplituderne er meget forskellige, så kan man godt forstå det som en stor svingning (den med størst amplitude) hvor man laver små udsving i forhold til den store svinging undervejs. (Se figur??). Men hvis amplituderne er cirka lige store, kan det virkelig se uoverskueligt ud (se figur??). Og hvis man lægger mere end 2 harmoniske svingninger sammen alle med forskellige vinkelfrekvenser og forskellige amplituder så får man næsten indtryk af at resultatet kan blive hvadsomhelst. Og det er faktisk i en vis forstand rigtigt! Fourierteori er en meget lang historie som i bund og grund handler om at enhver funktion kan opfattes tilnærmelsesvist som en sum af passende mange harmoniske svingninger. side 14
Harmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereInverse funktioner og Sektioner
Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereInverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Læs mereTeknologi & Kommunikation
Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige
Læs mereTIPS & TRICKS TIL EN GOD TUR
TIPS & TRICKS TIL EN GOD TUR Sådan sikrer du dig, at eleverne både får en sjov dag og noget fagligt med hjem. FØR TUREN Fortæl klassen om den tematur, de skal på. Lad eleverne drøfte de spørgsmål, som
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 2. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereDobbeltspalte-eksperimentet. Lad os først se lidt nærmere på elektroner, som skydes imod en skærm med en smal spalte:
Dobbeltspalte-eksperimentet Nogle af kvantemekanikkens særheder kan illustreres med det såkaldte dobbeltspalte-eksperiment, som er omtalt side 73 i Atomernes vilde verden. Rent historisk fandt man elektronen
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereNedenfor er tegnet svingningsmønsteret for to sinus-toner med frekvensen 440 og 443 Hz:
Appendiks 1: Om svævning: Hvis to toner ligger meget tæt på hinanden opstår et interessant akustisk og matematisk fænomen, der kaldes svævning. Det er dette fænomen, der ligger bag alle de steder, hvor
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereDen ideelle operationsforstærker.
ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v
Læs mereDen harmoniske svingning
Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereArbejdsmiljøgruppens problemløsning
Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase
Læs mereFrank Villa. 15. juni 2012
2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte
Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og
Læs mereSæt ord pa sproget. Indhold. Mål. November 2012
Sæt ord pa sproget November 2012 Indhold Mål... 1 Baggrund... 1 Projektets mål... 1 Sammenhæng... 2 1 Beskrivelse af elevernes potentialer og barrierer... 2 2 Beskrivelse af basisviden og hverdagssprog...
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereGo On! 7. til 9. klasse
Go On! 7. til 9. klasse Fra skoleåret 2013 / 2014 Introduktion til linjer Alle er genier. Men hvis du dømmer en fisk på dens evne til at klatre i træer, vil den leve hele sit liv i den tro, at den er dum.
Læs mereFunktionsfamilier. Frank Nasser. 12. april 2011
Funktionsfamilier Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereBogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45
Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereStatistik med GeoGebra
Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra
Læs mereOpgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).
Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereLektion 9 Statistik enkeltobservationer
Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1 Når man skal holde styr på mange oplysninger,
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereDifferentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012
Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede
Læs mereMatematik Eksamensprojekt
Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereGode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen
Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereLæsevejledning til resultater på regionsplan
Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...
Læs mereMatematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven
Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereNår mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet
Når mor eller far er ulykkesskadet når mor eller far er ulykkesskadet 2 Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder, der er ulykkesskadet. Kan dit barn læse, kan det
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMatematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX
Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6
Læs mereProgrammering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C
Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs mereDu, Herre Krist, min frelser est til dig jeg håber ene.
PRÆDIKEN SØNDAG DEN 10. JULI 2016 7. SETRIN VESTER AABY KL. 9 AASTRUP KL. 10.15 KRARUP KL. 14 Tekster: Præd. 3,1-11; Rom. 8,1-4; Matth. 10,24-31 Salmer: 751,337,41,655,518 Salmer Krarup: 2,41,655,518 Du,
Læs mereBilag 4: Transskription af interview med Ida
Bilag 4: Transskription af interview med Ida Interviewet indledes med, at der oplyses om, hvad projektet i grove træk handler om, anonymitet, og at Ida til enhver tid kan sige, hvis der er spørgsmål hun
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereFysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger
Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDjøf Offentlig Formandens vedtægtstale
Djøf Offentlig Formandens vedtægtstale Så er vi kommet til dagens højdepunkt, som jeg ved, alle har glædet sig til. Ja, jeg joker, og faktisk også lidt med urette. For jeg ser de vedtægtsændringer, som
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs mereDet er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden
DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage
Læs mere1. Vibrationer og bølger
V 1. Vibrationer og bølger Vi ser overalt bevægelser, der gentager sig: Sætter vi en gynge i gang, vil den fortsætte med at svinge på (næsten) samme måde, sætter vi en karrusel i gang vil den fortsætte
Læs mereBehandling og træning, når knæskallen er gået af led
Behandling og træning, når knæskallen er gået af led Din knæskal er gået af led. Når knæskallen går af led, hopper den oftest ud på ydersiden af knæet. Ledkapslen, som knæskallen ligger i, revner, og knæet
Læs mereVictor, Sofia og alle de andre
Victor, Sofia og alle de andre Victor betyder vinder, og Sofia betyder vis dom. Begge er egenskaber, som vi alle sammen gerne vil eje. I denne bog er det navnene på to af de børn, vi møder i mange af bogens
Læs mereKonfirmand- og forældreaften 27. februar 2014, Hurup kirke Mattæus 14, 22 33
Konfirmand- og forældreaften 27. februar 2014, Hurup kirke Mattæus 14, 22 33 Genezaret sø er ikke større, end at man i klart dagslys kan se til land, ligegyldigt hvor man er på søen. Rundt om søen er der
Læs mereÅrsafslutning i SummaSummarum 4
Årsafslutning i SummaSummarum 4 Som noget helt nyt kan du i SummaSummarum 4 oprette et nyt regnskabsår uden, at det gamle (eksisterende) først skal afsluttes. Dette betyder, at det nu er muligt at bogføre
Læs mereProjekt Guidet egenbeslutning og epilepsi. Refleksionsark. Tilpasset fra: Vibeke Zoffmann: Guidet Egen-Beslutning, 2004.
Projekt Guidet egenbeslutning og epilepsi Refleksionsark Tilpasset fra: Vibeke Zoffmann: Guidet Egen-Beslutning, 2004. Label: Refleksionsark, der er udfyldt og drøftet 1. Samarbejdsaftale Markér 1a. Invitation
Læs mereSome like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS
Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger
Læs merePersonlig Erfarings LOG (PE Log)
Personlig Erfarings LOG (PE Log) PE Log en er dit personlige redskab, som kan hjælpe dig med at udvikle dig som instruktør. PE loggen består af to dele: En planlægningsdel, som er et skema med 6 spørgsmål.
Læs mereLUP læsevejledning til regionsrapporter
Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne... 6 Øvrigt materiale Baggrund og metode for
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5
Læs mereFaktaark: Iværksætteri i en krisetid
Juni 2014 Faktaark: Iværksætteri i en krisetid Faktaarket bygger på data fra Danmarks Statistik, bearbejdet af Arbejderbevægelsens Erhvervsråd og Djøf. I dette faktaark undersøges krisens effekt på iværksætterlysten
Læs mereKonfirmationsprædiken: Store bededag
Konfirmationsprædiken: Store bededag Kære konfirmander, familier og venner I midten af september mødtes vi; konfirmanderne og jeg til den første undervisningstime her i Jægersborg Kirke, og nu er der gået
Læs merePotens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereDe fire Grundelementer og Verdensrummet
De fire Grundelementer og Verdensrummet Indledning Denne teori går fra Universets fundament som nogle enkelte små frø til det mangfoldige Univers vi kender og beskriver også hvordan det tomme rum og derefter
Læs mereAarhus byråd onsdag den 8. juni 2016. Sag 14: Sundhed og Omsorgs Boligplan 2016
Sag 14: Sundhed og Omsorgs Boligplan 2016 Og vi fortsætter på dagsordenen og går videre til sag nummer 14, som kommer fra Sundhed og Omsorg, Sundhed og Omsorgs Boligplan 2016. Og jeg skal høre, om der
Læs mereFlemming Jensen. Parforhold
Flemming Jensen Parforhold Papyrus Publishing Art direction: Louise Bech Illustatorer: Lea Maria Lucas Wierød Louise Bech Forskningsleder: Flemming Jensen Faglige konsulenter: Gitte S. Nielsen Lene V.
Læs mereSvingninger. Erik Vestergaard
Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard
Læs mereJeg være vil, O Jesus mild, Hvor du mig helst vil have; Jeg lukker ind I sjæl og sind Dig, Herre min, Med al din nådegave
PRÆDIKEN SØNDAG DEN 11.AUGUST 2013 11.SETRIN AASTRUP KL. 9 VESTER AABY KL. 10.15 BRAHETROLLEBORG KL. 14 Tekster: Job.5,8-16; 1.Kor.15,1-10a; Luk.18,9-14 Salmer: 14,356,444,655,518 Jeg være vil, O Jesus
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mereFunktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012
Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereTrivsel og fravær i folkeskolen
Trivsel og fravær i folkeskolen Sammenfatning De årlige trivselsmålinger i folkeskolen måler elevernes trivsel på fire forskellige områder: faglig trivsel, social trivsel, støtte og inspiration og ro og
Læs merestarten på rådgivningen
p l a n f o r 2.1 starten på rådgivningen Ved det første møde bør der som minimum afsættes 40 minutter. Denne vejledning retter sig mod den første indledende del af dette møde. Her er målet at skabe en
Læs mereKontinuerte systemer.
Kontinuerte systemer. Vi har hidtil beskæftiget os med diskrete systemer, dvs. systemer, hvis tilstand er beskrevet ved et endeligt antal frihedsgrader (normalt få). Ved studiet af transportprocesser i
Læs mere