Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015"

Transkript

1 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Det antages, at der ikke også opstår pengeinstitutter efter 2001, dvs. antallet af pengeinstitutter falder med en fast størrelse 8 om året. Altså er der tale om lineær vækst med hældningen -8. Da der i 2001 var 190 pengeinstitutter, er begyndelsesværdien 190. Når 8t 190 N t N t angiver antal pengeinstitutter til tiden t målt i antal år efter 2001, har man: Opgave 2: En tilstrækkelig argumentation er: Da grafen for en lineær funktion er en ret linje, hører grafen C til funktionen f. Da en potensfunktion kun er defineret for positive x-værdier, hører grafen B til eksponentialfunktionen h. Og dermed hører grafen A til funktionen g. Andre argumenter er: 1) Grafen A svarer til en voksende funktion med aftagende væksthastighed. Ingen eksponentialfunktioner har den egenskab, da alle voksende eksponentialfunktioner også har voksende væksthastighed. 2) Eksponentialfunktioner er defineret for alle reelle tal. 3) Grafer for eksponentialfunktioner går gennem punktet (0,1). 4) Grafer for potensfunktioner går gennem punkter (1,1), og de voksende potensfunktioners grafer vil se ud, som om de begynder i (0,0), selvom dette punkt ikke er en del af grafen. 3 2 Opgave 3: Det undersøges, om en x-værdi er en løsning til en ligningen x 9 x 23 x 15 0 ved at se, om værdien indsat på x's plads i ligningen giver et sandt udsagn: Da dette er et sandt udsagn, er x = 3 en løsning til ligningen. x Opgave 4: f x 5e 4 ; P 0, f 0 For at kunne bestemme ligningen for tangenten til grafen for f i P, skal man kende P's koordinater og hældningskoefficienten for tangenten. Først bestemmes andenkoordinaten for røringspunktet: f 0 5e Så bestemmes tangentens hældning (der differentieres ledvist): x x f ' x 5e 0 5e 0 f ' 0 5e 51 5 Tangentens ligning bestemmes så ved indsættelse i den rette linjes ligning y y0 a x x0 y 9 5x 0 y 5x 9 :

2 Opgave 5: 5 f x 2 x ; x 0 x Opgaven kan løses på 2 forskellige måder. Enten integreres f, hvorefter udtrykket sammenlignes med de tre muligheder for stamfunktioner. Eller også anvendes integrationsprøven, hvor man differentierer de tre funktioner g, h og k og ser, hvilken der differentieret giver f. 1. metode (der integreres ledvist): F x 5 2x 5ln x x k 5ln x x k x Numerisktegnet kan fjernes, da definitionsmængden består af de positive tal. Det ses altså, at h(x) er en stamfunktion til f(x). 2. metode (der differentieres ledvist, og det bemærkes, at k indeholder en sammensat funktion: g ' x 5 x 2 ' 52 x 0 3 x 1 5 h' x 5 2x 2x x x 1 1 k ' x 5 2x 2x 5x x Det ses altså, at h(x) er en stamfunktion til f(x). Opgave 6: Først ses på monotoniforholdene for funktionen g. Disse bestemmes ved at se på fortegnene for den afledede funktion g'. Det er oplyst, at g' er en lineær funktion (dvs. dens graf er en ret linje), 1 der derfor kun kan have ét nulpunkt. Da grafen går gennem punktet P,0, er nulpunktet 2 1 og ud fra grafen ser man altså, at: 2 1 g'(x) er negativ i, 2 og g'(x) er positiv i 1, 2. 1 Dermed er g(x) er aftagende i, 2 og g(x) er voksende i 1, 2. Tangenthældninger svarer til funktionsværdier for de afledede funktioner, så hvis de to grafer et sted skal have ens tangenthældninger, skal deres afledede funktioner have den samme funktionsværdi. Og da f ' x 5er en konstantfunktion, skal denne funktionsværdi altså være 5. En forskrift for g ' x a x 1. g' x bestemmes: Det er en lineær funktion, der går gennem (0,1), så man har: Punktet P's koordinater indsættes: a 1 a 1 a Dvs: g ' x 2 x 1, og da funktionsværdien skal være 5, har man:

3 5 2 x 1 4 2x x 2

4 Opgave 7: 22. maj 2015: Delprøven MED hjælpemidler P 5,4 ; l : x y 2 0 a) Afstanden fra punkt til linje kan bestemmes ved formlen: a x0 b y0 c dist( P, l) 2 2 a b Så man får: dist( P, l) b) x t ; t y 1 1 Skæringspunktet er det punkt (x,y), der ligger på begge linjer. Koordinatfunktionerne indsættes i linjen l's ligning, hvorefter parameteren t isoleres: 13t 1t 2 0 2t 2 0 t 1 Denne værdi indsættes i parameterfremstillingen: x y Dette er koordinaterne for en stedvektor, men den har samme koordinater som punktet, der derfor er 2,0 x Opgave 8: Det er oplyst, at modellen har forskriften f x b a, og da der er mere end to målepunkter, skal der altså laves eksponentiel regression: a) Det bemærkes, at årstallene er antal år EFTER 2006: b) Hvis omsætningen skal nå op på mio. USD, skal f x Da funktionen allerede er gemt i Maple, får man: c) Fremskrivningfaktoren a er 1,46, og da a1 r, er den årlige gennemsnitlige vækstrate altså: r 0, 46 46% Fordoblingstiden bestemmes ud fra formlen for fordoblingskonstanten:

5 a Opgave 9: f x b x ; A3,100 ; B15,50 a) For at bestemme en forskrift for f, skal man finde konstanterne a og b. Dette gøres ved at indsætte koordinatsættene for de to punkter i funktionsforskriften og lade Maple løse disse to ligninger med to ubekendte: b) Først defineres funktionen f: f x x 5x 4 Opgave 10: 6 3 a) Skæringspunkterne med førsteaksen er de steder, hvor funktionsværdien er nul, så Maple sættes til at finde disse steder: b) For at bestemme monotoniforholdene findes først nulpunkterne for den afledede funktion samt fortegnet for den anden afledede funktion de pågældende steder:

6 Opgave 11: Der tegnes en skitse, hvor de oplyste værdier indtegnes: a) Da M er midtpunktet af siden AC, kan man definere følgende størrelser:

7 b) Fodpunktet for højden fra B danner sammen med A og B en retvinklet trekant, hvor højden optræder som den modstående katete i forhold til vinkel A. Desuden er AB hypotenusen i denne trekant, og derfor har man: Opgave 12: a) Først omregnes procentfordelingen i populationen til en forventet tabel for de 300 forbrugere i stikprøven, og derefter udføres et 2 -GOF-test:

8 Da p-værdien er under 0,05 (5%-signifikansniveau) må nulhypotesen forkastes. Der er en signifikant afvigelse fra populationens fordeling.

9 b) Teststørrelsen kan aflæses ovenfor, men da man alligevel skal bruge en beregning i anden del af spørgsmålet, udregnes den her: Dvs. teststørrelsen er 18,36 Og det største bidrag kommer fra de årige, der er klart overrepræsenteret. Opgave 13: Som pyramiden er beskrevet i opgaveteksten, er det ikke en skæv pyramide, og derfor danner alle sider den samme vinkel med underlaget. Toppunktets koordinater er (3,3,6), og underlaget ligger i xy-planen, der har ligningen z 0. Vinklen mellem planer svarer til vinklen mellem deres normalvektorer. Der er både en spids og en stump vinkel, og i dette tilfælde er der vist nok lagt op til, at det er den spidse, man skal finde, selvom begge vinkler kan bruges. For at gøre notationen korrekt og overskuelig angives punkterne i Maple ved deres stedvektorer:

10 b) Pyramiden har fire ens sideflader, hvis areal hver især kan bestemmes som det halve af længden af krydsproduktet mellem to vektorer, der udspænder den trekantede sideflade. Vi har allerede fundet vores vektor n, der er sådan et krydsprodukt, så vi har:

11 x f x a ; g x x 1 ; 1 a 2 Opgave 14: a) Når a = 1,5 har man: Når man kigger på grafen, kan man se, at oplysningen om, at graferne sammen med linjen x =1 afgrænser en punktmængde i første kvadrant, er forkert. Der er to punktmængder. Og det blev senere oplyst, at der var en mangel i opgavebeskrivelsen, hvor der også skulle have stået, at definitionsmængden for funktionerne er Dm( f ) Dm( g) [0,1]. Når man ved dette, kan man bestemme arealet, da man kan se, at grænserne i det bestemte integral skal være 0 og 1 (da det er vist, at de to grafer ikke skærer hinanden før i 0. I dette område ligger den rette linje øverst, så g skal stå først: b) Hvis arealet skal være 0,4, har man:

12 Opgave 15: a) Man lader N være antallet af smittede. Hastigheden, hvormed antallet af smittede vokser, er så dn. Da denne størrelse er proportional med antallet af smittede N, og da dt proportionalitetskonstanten er 0,022, har man differentialligningen: dn t 0,022 Nt dt Da der er 3800 smittede til tidspunktet t 162, er væksthastigheden her: b) For at kunne skelne de to modeller, vælges her at bruge M som antal smittede: dm M13382 M. dt Væksthastigheden bliver: Hvis man skal sammenligne udviklingen af hastigheden, skal man ud og se på den anden afledede det pågældende sted, da den angiver accelerationen. Så differentialligningerne løses først, hvorefter værdierne for den anden afledede bestemmes: Dvs. hastigheden vokser en anelse hurtigere efter 162 døgn i den sidste model.

13 28. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da det er et fast antal slædehunde, der forsvinder hvert år, er der tale om en lineær model. Her vælges N som angivelse for antal slædehunde, og t er tiden målt i antal år efter Da der var slædehunde i 2001, er begyndelsesværdien 21365, og da der forsvinder 1135 slædehunde om året, er hældningskoefficienten Dvs. modellen bliver: N t t t ; 0 10 Opgave 2: 5 t a og b 1 3 Begge vektorer er egentlig vektorer (uanset værdien af t), så man har: 5 t 3 a b ab 0 0 5t t 3 t x Opgave 3: ; ; f x x g x h x x 2 En tilstrækkelig argumentation er: f og h er potensfunktioner med definitionsmængden (positive reelle tal) og g er en eksponentiel udvikling med definitionsmængden (alle reelle tal), så C er grafen for g. f har en negativ eksponent og er derfor en aftagende funktion, så A er grafen for f. h har en positiv eksponent og er derfor en voksende funktion, så B er grafen for h. Man kan også benytte, at B er grafen for en funktion, der er voksende med aftagende hastighed (hvilket ikke er muligt for en eksponentiel udvikling), og grafen ser ud til at begynde i (0,0), hvilket er tilfældet for potensfunktioner med positiv eksponent. Grafen A ser ud til at have y-aksen som lodret asymptote, hvilket gælder for potensfunktioner med negativ eksponent. Opgave 4: f x 2x 1 ln x ; x 0 Det er vigtigt at bemærke, at det er en produktfunktion, der skal differentieres: 1 1 f ' x 2x 1 ' ln x 2x 1 ln x' 2ln x 2x 1 2ln x 2 x x Og nu kan differentialkvotienten i 1 bestemmes: 1 f ' 1 2ln

14 dy dx Da f er løsning til differentialligningen, kan hældningen for tangenten til grafen for f i punktet P findes ved at indsætte koordinaterne i differentialligningen: dy 0 a e dx Da man nu kender både tangentens hældning og et punkt nemlig P på tangenten, bestemmes y y a x x : Opgave 5: e x 2 y ; P0,3 ligningen ved indsættelse i 0 0 y 3 7x 0 y 7x 3 Opgave 6: f x a x 2 b x 21 ; T 5, 4 ; A3,0 Toppunktets førstekoordinat ligger midt mellem de to nulpunkter (når der som i dette tilfælde ER to nulpunkter), så koordinatsættet for B er: B 7,0 Da man nu kender de to nulpunkter (rødder), kan polynomiet faktoriseres ved f x a x r x r. 1 2 Man får: 2 2 f x a x 3 x 7 a x 10x 21 a x 10 a x 21 a Hvis to polynomier skal være ens, skal samtlige koefficienter være ens. Dvs. vi har: a a b 10a 21 21a Heraf ses med det samme, at a 1, og dermed er b 10

15 1 f x 2 x x x 7 2 Opgave 7: maj 2015: Delprøven MED hjælpemidler

16 10,28 Opgave 8: vx, hvor x er alderen af en torsk målt i år, og v(x) er vægten målt i kg. 0,224x 1 3,177 e a) Først defineres funktionen i Maple:

17 Opgave 9: a) Da man skal undersøge, om der er uafhængighed mellem uddannelse og holdning til spørgsmålet, opstilles nulhypotesen: H0: Holdningen til spørgsmålet er uafhængig af uddannelse. Baseret på denne nulhypotese kan man nu bestemme et skema med de forventede værdier. Først bestemmes en masse i alt -værdier: INDSAMLET DATA Ja Nej I alt Erhvervsuddannelse Videregående uddannelse af kort varighed Videregående uddannelse af mellemlang varighed Videregående uddannelse af lang varighed Grundskoleuddannelse I alt Da der er 327 ud af 862, der svarer ja, vil man under forudsætning af at nulhypotesen er sand 327 have en sandsynlighed på p ja for at svare ja, og da der er 234 med 862 erhvervsuddannelse, vil man forvente, at antallet af erhversuddannede, der svarer ja, er: 327 NErhv, ja , På tilsvarende måde findes f.eks. det forventede antal med lang videregående uddannelse, der 535 svarer nej : NLang, nej , Tilsvarende udregninger foretages for at bestemme de resterende forventede værdier: FORVENTEDE VÆRDIER Ja Nej I alt Erhvervsuddannelse 88,77 145, Videregående uddannelse af kort varighed 40,21 65, Videregående uddannelse af mellemlang varighed 89,91 147, Videregående uddannelse af lang varighed 43,25 70, Grundskoleuddannelse 64,87 106, I alt b) Der skal foretages et 2 -uafhængighedstest med 4 frihedsgrader, da antallet af rækker r er 5 f r 1 s 1. og antallet af søjler s er 2, og da antal frihedsgrader f er Teststørrelsen beregnes: Observeret Forventet , , Q... 13,05 Forventet 88, ,13 Med 4 frihedsgrader og et signifikansniveau på 5% er grænseværdien Qgrænse 9,49. Og da Q Q, må nulhypotesen forkastes. grænse Dvs. der er en signifikant sammenhæng mellem uddannelse og holdning til spørgsmålet. Man kan også lade Maple foretage alle beregningerne:

18 Opgave 10: a) Da de tre trekanter ABD, BCD og ACD er kongruente, og da der er 360 hele vejen rundt i en cirkel, er ADB 120 Da radius er 50 cm, kender man nu en vinkel og de to hosliggende sider i trekant ABD, og dermed giver ½-appelsinformlen arealet: TABD AD BD sin ADB 50cm 50cm sin , cm 2 2 Og da de tre små trekanter er kongruente, er: T ABC 3T 31082, cm 3247, cm 3247, 6 cm ABD b) Da trekant ABC er ligesidet, behøver vi bare at finde den ene sidelængde i trekant ABC, hvorefter omkredsen kan findes ved at multiplicere med 3. I trekant ABD kender vi en vinkel og de to hosliggende sider, så den sidste side kan bestemmes med cosinusrelationerne: AB AD BD 2 AD BD cos ADB AB O ABC cos 120 cm 86, cm 3 AB 386, cm 259, cm 259,8 cm

19 f t b a ; t er antal år EFTER 2001 ; f(t) er den relative væksthastighed i år -1 Opgave 11: t a) Da man har fået oplyst mere end to målinger, og da modellen er en eksponentiel udvikling, skal der anvendes eksponentiel regression. Det foretages i Maple: 1 dn c) f t. N dt Da N er antal fisk, og der er 520 i år 2001, er I Maple kan differentialligningen løses: N 0 520

20

21 Opgave 12: a) Punkterne defineres i Maple som stedvektorer, så de er nemmere at regne med. Hvis man skal finde ligningen for en plan, skal man kende en normalvektor og et punkt, som planen går igennem. Man kan frit vælge punktet blandt punkterne A, B og D, mens man som normalvektor kan anvende krydsproduktet af to vektorer, der udspænder planen, eller en vektor parallel med dette krydsprodukt: Arealet af sejlskibets sejl bestemmes ved 1 Asejl TABD AB AD 2

22 b) Vinklen mellem to planer bestemmes som vinklen mellem to normalvektorer for planerne, og man har altså: Opgave 13: a) Faskinens ydre udgøres af 6 rektangulære flader, der parvis er lige store: O 2 A 2 A 2 A ydre top side1 side2 2hb 2hl 2bl 2hb 2h10 2b10 2hb 20 h 20b 20bh b) Da det er oplyst, at V og V 100, har man: 3 20bh b h h h 3 20b b Nu kan det ydre areal udtrykt ved b bestemmes ved: Ob 2b 20b b b b b Vi skal nu bestemme den b-værdi, der gør overfladearealet mindst muligt, og det gøres ved at finde nulpunkter for den afledede funktion og samtidig bestemme værdien af den anden afledede det pågældende sted og ud fra fortegnet tjekke, at det er lokalt minimum:

23 Opgave 14: a) 2 f x x 20 x ; 0 x 20

24 h b) 2 O 2 f x 1 f ' x dx 0 Hvis overfladearealet skal være 1005 (og her må man gå ud fra, at der menes 1005 cm 2 ), skal man løse ligningen: h f x 1 f ' x dx En anden mulighed er at udnytte, at det er oplyst, at 10 < h < 20: c) For at bestemme ligningen for kuglen, skal man kende radius og centrums koordinater. Radius er som allerede vist 10 cm. C 10,0,0 Da centrum ligger 10 enheder henne - og PÅ x-aksen, er Hermed bliver kuglens ligning: x y z x x y z x 20x y z 0

25 13. august 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: y3x 4 Når x 7, har man y Hældningskoefficienten 3 fortæller os, at y-værdien øges med 3, hver gang x-værdien øges med 1. Så når x-værdien øges med 5, øges y-værdien med Den matematiske måde at vise dette er: y 3x y 3 x x x 4 15 y Dette viser, at hvis man lægger 5 til en given x-værdi, så øges y-værdien med 15. Opgave 2: Når noget vokser med en fast procentdel, er det en eksponentiel udvikling, så vi skal kende begyndelsesværdien og fremskrivningsfaktoren for at angive modellen. Desuden skal vi have indført symboler for uafhængig og afhængig variabel. Vi lader t være tiden målt i år efter Vi lader p være prisen for varen målt i kr. Da prisen for varen i 2015 var 213 kr., er begyndelsesværdien 213. Da vækstraten er 4,5% pr. år, har man fremskrivningsfaktoren a 1 0,045 1,045 Dermed bliver modellen: pt 213 1,045 t Opgave 3: Da det er en glad parabel (grenene peger opad), er a 0 b Toppunktets førstekoordinat er givet ved. Da toppunktet ligger til højre for y-aksen, skal 2 a denne brøk altså være positiv, dvs. a og b skal have forskellige fortegn. Altså må b 0. Dette kan også ses ved at kigge på hældningen for den tangent til parablen, der rører parablen på y-aksen. b svarer til denne tangents hældning, og da hældningen ses at være negativ, er b negativ. Da parablen skærer y-aksen på dennes positive del, er c 0. Da parablen ikke skærer x-aksen, er d 0 Opgave 4: l 3h 4 b 2l 1 Ved i den anden ligning at substituere l med udtrykket på højresiden i den første ligning, får man bredden udtrykt ved højden: b 2 3h 4 1 6h 81 6h 9 Da man nu både kender længden og bredden udtrykt ved højden, kan man finde rumfanget udtrykt alene ved højden: V l bh 3h 4 6h 9 h

26 Opgave 5: Det undersøges, om f er en løsning til differentialligningen, ved at indsætte i denne og se, om man får en identitet. For at kunne indsætte skal man først have differentieret f, hvilket sker med produktreglen: f ' x 1e x xe x e x xe x Dette indsættes sammen med funktionsudtrykket i differentialligningen: x x x x x e x xe e x e x x x x x e xe e xe Da vi ender med en identitet, er f en løsning til differentialligningen. Opgave 6: Det bestemte integral bestemmes ved substitutionsmetoden. Man kan se, at kvadratrodens argument differentieret giver brøkens tæller, så det er dette argument, vi skal substituere: 3 t x 2x 4 dt dx 2 3x 2 2 dt 3x 2 dx x 3 0 : t x 2 : t Vi kan nu udregne integralet: x 2 1 dx dt 2 t x 2x4 t 4

27 13. august 2015: Delprøven MED hjælpemidler Opgave 7: Det bemærkes, at uanset t-værdien er ingen af vektorerne nulvektoren. f t at b, så det er en lineær model. a) Det bemærkes, at tiden måles i antal år EFTER 2007, og der laves så lineær regression: Opgave 8: Funktionen er af typen b) a-værdien fortæller os, at for hvert år øges antallet af danske familier med to personbiler med ca

28 Opgave 9: I trekant ABC er oplyst A 62, c 5 og b 7.

29 2 2 4 Opgave 10: Cirkel med ligningen x3 y5 25. Linje m med ligningen y x. 3 a) Der er flere måder at vise, at førsteaksen er tangent til cirklen. Metode 1: Det vises, at førsteaksen og cirklen kun har ét punkt fælles. Førsteaksen er karakteriseret ved y 0, dvs. den består af samtlige punkter, hvor andenkoordinaten er 0. Vi finder samtlige punkter på cirklen med andenkoordinaten 0 ved at indsætte i cirklens ligning: x x x 3 0 x 3 Cirklen og førsteaksen har derfor kun ét punkt fælles - nemlig 3,0 - og dermed er førsteaksen tangent til cirklen. Metode 2: Det vises, at afstanden fra førsteaksen til cirklens centrum er lig cirklens radius. C 3,5 og radius til r Ud fra cirklens ligning aflæses centrum til Førsteaksen er en vandret linje, så afstanden mellem et punkt og førsteaksen er den numeriske værdi af punktets andenkoordinat. Da centrum har andenkoordinaten 5, er afstanden mellem centrum og førsteaksen altså 5, hvilket svarer til radius, dvs. førsteaksen er tangent til cirklen.

30 0,63t G t e cos 1,03 t 1,57 ; 0 t 6 Opgave 11:

31 Opgave 12: Anvendelse af Benfords lov til evt. at afsløre valgfusk. Opgave 13:

32 Vi ved, at dette punkt ligger i planen, men egentlig har vi ikke vist, at det også ligger på sejlet, så der må man henvise til opgaveformuleringen, hvor det er formuleret, som om dette skudhul findes (og ellers skal man bevise, at punktet ligger på sejlet).

33 Opgave 14: Opgave 15:

34 7. december 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 2 x 2x35 0 Da koefficienten a i andengradsleddet er 1, kan man faktorisere polynomiet ved at finde to hele tal, hvis produkt er -35 og sum 2. Disse to tal er 7 og x 2x 35 0 x 7 x 5 0 x 7 x 5 (nulreglen benyttes i sidste trin) Man kan også bruge diskriminantmetoden: 2 2 d b 4ac dvs. 2 løsninger b d x Så man har x 7 x 5 2a Opgave 2: Vi lader t være tiden målt i antal år efter N er antallet af klubmedlemmer. Da man forventer en fast forøgelse med 25 om året, er modellen en lineær vækst med hældningen 25. Da der er år 2010 (svarende til t = 0) er 420 medlemmer, er begyndelsesværdien 420. Dvs. modellen er: N t t t ; 0 2 Opgave 3: f x x 7 ln x ; x 0 Funktionen skal differentieres med produktreglen ( f ' x 2xln x x 7 x Så kan differentialkvotienten i 1 findes: 2 1 f ' 1 21ln g x h x ' g ' x hx g x h' x : Opgave 4: Da de to trekanter er ensvinklede, er forholdet mellem korresponderende sider konstant: AB BC AB BC CE DE CE DE BC Hermed er: BE BC CE

35 Opgave 5: f x 8x 3 6x 1 P2, 6 Først findes ved ledvis integration den form, som samtlige stamfunktioner er på: F x f x dx 2x 3x x k k 4 2 Så findes k-værdien, der får grafen til at gå gennem P: k k 6 22 k k 28 Dvs. den søgte stamfunktion er: F x 2x 3x x Opgave 6: Parablen skal have toppunkt i P 4,3. 1. metode: 2 Parablen givet ved ligningen y x har toppunkt i origo. Den parallelforskydes med 4 langs x-aksen og 3 langs y-aksen ved: y 3 x 4 y x 16 8x 3 y x 8x metode: Man tager udgangspunkt i en parabel med ligningen 2 y 3x bx c. Dette er en 2 parallelforskydning af parablen med ligningen y 3x. Den vil have nulpunkterne x3og x 5, da de ligger lige langt på hver side af toppunktet, og da y-værdien bliver 3 mindre, når man går ændrer x-værdien med 1 til hver side for toppunktet. Ifølge faktoriseringsformlen for polynomier, har man derfor: 2 2 y 3 x 3 x 5 3 x 8x 15 3x 24x metode: b d 2 Toppunktsformlen siger: T ; ; d b 4ac. 2a 4a Vi kan frit vælge a-værdien, og for nemheds skyld sættes den til a 1. Vores førstekoordinat fra toppunktet giver så: b 4 b 8 2 Andenkoordinaten for toppunktsformlen giver: 2 2 b 4ac 8 41c 64 4c c c c 19 4a 41 4 Dvs. at ligningen er 2 y x x 8 19

36 7. december 2015: Delprøven MED hjælpemidler

37

38

39

40

41

42

43

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx131-MAT/A-29052013 Onsdag den 29. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-14.00. 2stx141-MAT/A-27052014

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-14.00. 2stx141-MAT/A-27052014 Matematik A Studentereksamen stx141-mat/a-705014 Tirsdag den 7. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x). Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2013 Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Quizspillene ASHRAM, MIR og SPORTSNØRD Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 013 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Udtrykket reduceres

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t.

Læs mere

Vejledende Matematik B

Vejledende Matematik B Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2011 18. maj 2011: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2011 18. maj 2011: Delprøven UDEN hjælpemidler Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 011 18. maj 011: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: x x1 0 Dette er en andengradsligning, der kan løses enten ved diskriminantmetoden eller ved at finde to

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller-

1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller- 1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller- Vækstmodellerne: Lineær funktion: Forskrift: a er hældningskoefficient

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe11-mat/b-3108011 Onsdag den 31. august 011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83 RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-8 og TI-83 Af Frans Morville. Programmet har menuer i to niveauer organiseret efter de oplysninger, der opgivet (kendte) og som skal bruges i beregninger. Overskrifterne

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. 054966 22/12/05 7:45 Side 1 Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005 05-A-1-U Typeopgave 1 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består

Læs mere

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx131-MATn/A-29052013 Onsdag den 29. maj 2013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Teknologi & Kommunikation

Teknologi & Kommunikation Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 : Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1 Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1, maj 2008 Følgende opgaver i delprøve 1 er løst i hånden, hvorefter det er skrevet ind i Word, så det er lettere at læse og evt. kommentere på udregningerne.

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. onsdag 12. august 2009. Kl. 09.00 13.00. STX092-MABx

STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. onsdag 12. august 2009. Kl. 09.00 13.00. STX092-MABx STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 007 009 MATEMATIK B-NIVEAU onsdag 1. august 009 Kl. 09.00 13.00 STX09-MABx Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 011-01 18. maj 011: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 5x 11 19x 17 1117 19x 5x 8 14x x Opgave : T K T K KT T K T K KT KT T Parentesen er udregnet ved hjælp

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette

Læs mere

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX Anders Jørgensen & Mark Kddafi 2016 matematikhfsvar.page.tl 8. august 2016 15. august 2016 Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2008 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 14. maj 2008. Kl. 09.00 14.00 STX081-MAA

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2008 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 14. maj 2008. Kl. 09.00 14.00 STX081-MAA STUDENTEREKSAMEN MAJ 008 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 14. maj 008 Kl. 09.00 14.00 STX081-MAA Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik B, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014 Matematik A Studentereksamen stx143-mat/a-05122014 Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven 2014-0522 1stx141-MAT-B - eksemplarisk besvarelse Bemærk, at i opgaverne uden hjælpemidler er Maple blot benyttet som tekstbehandling. Til eksamen skal besvarelsen laves med papir og blyant. Opgavetksten

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00 Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/b-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere