Statistik og Sandsynlighedsregning 2
|
|
- Line Laugesen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Transformation af kontinuerte fordelinger på R, flerdimensionale kontinuerte fordelinger, mere om normalfordelingen Helle Sørensen Uge 7, onsdag SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 1 / 30
2 Program I formiddag: Opfølgning på transformationssætningen for fordelinger på R Bevis for sætning 5.2.3: middelværdi af t(x ). Fordeling af X 2 Transformation med fordelingsfunktion og invers fordelingsfunktion Flerdimensionale kontinuerte fordelinger Integration i R n Definition af tæthed, sandsynlighedsmål Marginalfordelinger I eftermiddag: Den lidt lettere genre til gengæld står tingene ikke så eksplicit i noterne. Fraktiler mm., også i R De 1.96 i konfidensinterval for binomialsandsynlighed: hvorfra? Dataeksempel: danske mænds indtag af A-vitamin SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 2 / 30
3 Transformationssætningen Antagelser: 1. X koncentreret på interval I fra a til b, dvs. P(X I ) = X kontinuert med tæthed p der er kontinuert på (a,b). 3. t : I R kontinuert. Så er J = t(i ) et interval fra v = inf J til h = supj og Y = t(x ) er koncentreret på (v,h). 4. t kontinuert differentiabel med t (x) 0 for alle x (a,b). Så er t strengt monoton og desuden eksisterer den inverse t 1 : J I. Sætning Y = t(x ) er kontinuert med tæthed q givet ved { p(t q(y) = 1 (y))/ t (t 1 (y)) y (v,h) 0 ellers NB. d dy t 1 (y) = 1/t (t 1 (y)), så q(y) = p(t 1 (y)) d dy t 1 (y) på (v,h) SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 3 / 30
4 Middelværdi af Y = t(x ) Sætning Y = t(x ) har middelværdi hvis og kun hvis t(x) p(x)dx < og middelværdien er så I E(Y ) = E(t(X )) = t(x)p(x) dx I Kan bevise sætningen i tilfælde hvor t opfylder antagelserne fra sætning 5.4.1: Tætheden for Y givet fra transformationssætningen Hvornår eksisterer middelværdien for Y? Omskriv betingelsen til betingelse om X SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 4 / 30
5 Fordeling af X 2 X kontinuert SV med værdier i hele R og kontinuert tæthed p. Hvad er tætheden for Z = X 2 (og hvorfor er Z en kontinuert SV?) Kan ikke umiddelbart bruge transformationssætningen med t(x) = x 2. Hvorfor? Bruger i stedet samme fremgangsmåde som sidst: Regn på fordelingsfunktionen for Z Argumentér for at F Z er kontinuert differentiabel på (0, ) Brug sætning og slut at Z er kontinuert med tæthed F Z Regn på F Z. Specielt: Hvis X N(0,1) så er Z = X 2 χ 2 -fordelt med en frihedsgrad: q(z) = 1 2πz e z/2, z > 0 SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 5 / 30
6 Transformation med fordelingsfunktion X kontinuert SV koncentreret på interval fra a til b med strengt voksende fordelingsfunktion F på (a, b). Se på Y = F (X ). Hvilke værdier kan Y antage? Hvad er fordelingsfunktionen for Y Hvad er fordelingen af Y? Anvendelse: Data x 1,...,x n fra formodet fordeling med fordelingsfunkt. F : Beregn y i = F (x i ) Lav histogram for y 1,...,y n og se om det ligner histogrammet for en ligefordeling. Eksempel: A-vitamindata (i eftermiddag) SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 6 / 30
7 Transformation med invers fordelingsfunktion Omvendt: Hvis R er ligefordelt, så har Z = F 1 (R) fordelingsfunktion F. F skal stadig være strengt voksende sådan at F 1 eksisterer. Anvendelse: simulation af tal fra med givet fordelingsfunktion. Eksempel: Prøv evt. i R: r = runif(10000) hist(r) x=qnorm(r) hist(x) Φ 1 (R) N(0,1) SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 7 / 30
8 Repetition: tæthed og sandsynlighedsmål på R Interval I R. En funktion p : I R kaldes en tæthed på I hvis p(x) 0 for alle x I og I p(x)dx = 1 Sandsynlighedsmål på I: For pæne delmængder A af I sættes P(A) = 1 A (x)p(x)dx = p(x) dx I A P er en kontinuert fordeling, og P har (sandsynligheds)tæthed p. Fortolkning af p(x) som sandsynlighed per længdeenhed omkring x: x0 +h P([x 0,x 0 + h]) = p(x)dx p(x 0 )h x 0 Kan udvide til R ved at sætte p til 0 udenfor I. Stokastisk variabel med fordeling P: P(X A) = 1 A(x)p(x)dx, SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 8 / 30
9 Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål på R n Skal gentage historien på R n. Bemærk: Hvorfor? Skal kunne beskrive fordelingen af flere variable samtidig Skal kunne integrere funktioner af flere variable Nyt spørgsmål: hvis vi ved hvordan (X,Y ) er fordelt, hvordan er så X fordelt? Og Y? Marginalfordelinger. Nyt spørgsmål: Er der nogen sammenhæng mellem X og Y? Eksempel: ligefordelingen på [0, 1] [0, 1] SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 9 / 30
10 Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål på R 2 Delmængde B R 2. Funktionen p : B [0, ) er en tæthed eller sandsynlighedstæthed på B hvis p(x,y)dx dy = 1 B Sandsynlighedsmål på B: For pæne delmængder A af B sættes P(A) = 1 A (x,y)p(x,y)dx dy B P kaldes en kontinuert fordeling, og P har tæthed p. Kan udvides til fordeling på hele R 2 ved at definere p til nul udenfor B. Stok. var. med fordeling P: P((X,Y ) A) = R 2 1 A(x,y)p(x,y)dx dy... men hvad betyder integralerne? SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 10 / 30
11 Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål på R n Delmængde B R n. Funktionen p : B [0, ) er en tæthed eller sandsynlighedstæthed på B hvis p(x 1,...,x n )dx 1 dx n = 1 B Sandsynlighedsmål på B: For pæne delmængder A af B sættes P(A) = 1 A (x 1,...,x n )p(x 1,...,x n )dx 1 dx n = B P kaldes en kontinuert fordeling, og P har tæthed p. Kan udvides til fordeling på hele R n ved at definere p til nul udenfor B. Stokastisk variabel med fordeling P: P((X 1,...,X n ) A) = R n 1 A(x 1,...,x n )p(x 1,...,x n )dx 1 dx n... men hvad betyder integralerne? SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 11 / 30
12 Integration i R 2 og R n 1. f : A R hvor f er kontinuert og A = [a 1,a 2 ] [b 1,b 2 ] er begrænset. Integralet af f over A defineres som grænsen af I n = n n i=1 j=1 f (x i,x j ) (a 2 a 1 )(b 2 b 1 ) n svarende til inddelinger af [a 1,a 2 ] og [b 1,b 2 ] i n dele. Integralet kan beregnes som dobbeltintegral: a2 ( b2 ) f (x,y)dx dy = f (x,y)dy dx = A a 1 b 1 Hvorfor giver dette mening? b2 b 1 ( a2 a 1 ) f (x,y)dx dy SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 12 / 30
13 Integration i R 2 og R n 2. f : R 2 [0, ) kontinuert hvor f altså er defineret på en ubegrænset mængde. Vi ser på de begrænsede mængder A n = [ n,n] [ n,n] og de tilhørende integraler n n I n = f (x,y)dx dy = f (x,y)dx dy A n n n Hvis I n konvergerer siger vi at f er integrabel og definerer f (x,y)dx dy = lim I n R 2 n SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 13 / 30
14 Integration i R 2 og R n 3. f : R 2 R hvor f altså er defineret på en ubegrænset mængde og kan have negative værdier. f kaldes integrabel hvis f er integrabel, og i så fald er R 2 f (x,y)dx dy = 4. f : R n R hvor f altså er defineret på R n. f (x,y)dy dx = f (x,y)dx dy f kaldes integrabel hvis f er integrabel, og i så fald er R n f (x 1,...,x n )dx 1 dx n =... eller i en anden integrationsrækkefølge. f (x 1,...,x n )dx n dx 1 SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 14 / 30
15 Tæthed og sandsynlighedsmål på R 2 og R n Nu skulle definitionerne på tæthed og sandsynlighedsmål gerne give mening... Eksempel (inspireret af eksempel D.2.1): B = [0,1] [0,1] og p(x,y) = 3min(x,y), (x,y) B Er p en tæthed på B? Sæt A = {(x,y) B y x}?. Hvad er P(A) SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 15 / 30
16 Tæthed som sandsynlighed per areal-/volumenenhed p tæthed på B R 2. Se på (x 0,y 0 ) B og antag at p er kontinuert i (x 0,y 0 ). Betragt et lille δ og mængden A = [x 0 + δ,y 0 + δ]. Så er P(A) = 1 A (x,y)p(x,y)dx dy p(x 0,y 0 )δ 2 = p(x 0,y 0 ) A B således at p(x 0,y 0 ) kan fortolkes som sandsynlighed per arealenhed nær (x 0,y 0 ). Tilsvarende i R n : p(x 1,...,x n ) er sandsynlighed per volumenenhed nær punktet (x 1,...,x n ). SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 16 / 30
17 Marginalfordelinger Antag at den todimensionale stokastiske variabel (X,Y ) har tæthed p på R 2. For à R2 er altså P ( (X,Y ) Ã) = 1Ã(x,y)p(x,y)dx dy = 1Ã(x,y)dy dx R 2 R R Hvad kan vi sige om marginalfordelingerne, dvs. fordelingen af X og fordelingen af Y? SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 17 / 30
18 Marginalfordelinger X er en kontinuert stokastisk variabel med tæthed q(x) = p(x,y)dy Finder altså tætheden for X ved at integerere y ud i tætheden. R Tilsvarende i R n : Hvis (X 1,...,X n ) har tæthed p, så er (X 1,...,X k ) også kontinuert med tæthed der fås ved at integrere de øvrige koordinater væk: q(x 1,...,x k ) = p(x 1,...,x n )dx k+1 dx n R n k Eksempel (fortsat): Hvis (X,Y ) har tæthed p(x,y) = 3min(x,y), (x,y) på B = [0,1] [0,1], hvad er så fordelingen af X? SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 18 / 30
19 Mere om normalfordelingen Diverse om normalfordelingen: Tætheden for forskelligt valg af µ og σ 2. Fraktiler i normalfordelingen. Fordelingsfunktion og fraktiler i R. X binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedspar. p. Estimator for p er ˆp = X n. (Approksimativt) 95%-konfidensinterval for p: ˆp(1 ˆp) ˆp ± 1.96 n Hvor kommer de 1.96 fra? Eksempel hvor normalfordelingen er nyttig selvom data overhovedet ikke er normalfordelt SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 19 / 30
20 Normalfordelingen med middelværdi µ og varians σ 2 Density f(y) N( 2,0.25) N(0,1) N(2,1) N(0,4) y SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 20 / 30
21 Eksempel: indtag af A-vitamin A-vitaminindtaget for 1079 danske mænd. Indlæst i R som variabel avit (tænk ikke på hvordan lige nu...) Histogram for avit Histogram for logavit defineret som logaritmen til avit logavit ser ud til at være normalfordelt! Empirisk middelværdi (gennemsnit), varians og spredning for logavit: Modelkontrol: ȳ = 7.485, s 2 = 0.192, s = Normeret histogram sammen med tæthed for N(7.485, 0.192). Er det en rimelig approksimation? Prøv også at transformation med fordelingsfunktion for N(7.485, 0.192). Ligefordelt? SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 21 / 30
22 Eksempel: indtag af A-vitamin Histogram of avit Histogram of logavit Density 0e+00 2e 04 4e avit Density logavit SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 22 / 30
23 Eksempel: indtag af A-vitamin Histogram of trans Frequency trans SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 23 / 30
24 Diverse R-kommandoer ### Normeret så samlet areal er 1, cirka 15 intervaller hist(logavit, nclass=15, prob=t) ### Middelværdi og spredning for logavit ey = mean(logavit) sdy = sd(logavit) ### Normalfordelingstæthed oveni: z = seq(5,9,0.1) ## x-værdier dens = dnorm(z,ey,sdy) ## tætheden points(z,dens, type="l") ## tegn oveni ### Transformation til formodet ligefordeling: trans = pnorm((logavit-ey)/sdy) hist(trans) SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 24 / 30
25 Fraktiler i standardnormalfordelingen Density (φ) z Cdf (Φ) z P( X 1.645) = 0.90 eller P(X 1.645) = er 95%-fraktilen i N(0,1). Opgave 5.18, uge 8 SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 25 / 30
26 Fraktiler i standardnormalfordelingen > pnorm(1.645) [1] > qnorm(0.95) [1] > qnorm(0.975) [1] > pnorm(1.96) [1] > qnorm(0.995) [1] > pnorm(2.576) [1] P(X 1.645) = 0.95 P( X 1.645) = 0.90 P(X 1.96) = P( 1.96 X 1.96) = 0.95 P(X 2.576) = P( X 2.576) = 0.99 SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 26 / 30
27 Sandsynligheder i normalfordelingen Density Hvis Y N(µ,σ 2 ): 99.7% 95% 68% σ P(µ 1 σ Y µ + 1 σ) = 0.68 P(µ 2 σ Y µ + 2 σ) = 0.95 P(µ 3 σ Y µ + 3 σ) = Density f(y) N( 2,0.25) N(0,1) N(2,1) N(0,4) y SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 27 / 30
28 Opgave Density Density Density Hvad er middelværdi og varians mon for ovenstående data? SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 28 / 30
29 Konfidensinterval for p i binomialfordelingen ˆp = X /n er approksimativt normalf. med middelv. p og varians p(1 p)/n. Derfor er ( ) p(1 p) p(1 p) P p 1.96 ˆp p n n Isolér p og indsæt estimatet ˆp i stedet for p i grænserne: ( p(1 p) 0.95 P ˆp 1.96 n p p ( ˆp(1 ˆp) P ˆp 1.96 n p ˆp Husk at dette er et udsagn om ˆp! p(1 p) n ˆp(1 ˆp) n ) ) SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 29 / 30
30 Resume Vigtige ting fra i dag: Flerdimensionale fordelinger: tæthed, marginalfordelinger Større tryghed med normalfordelingen Næste uge: Mere om flerdimensionale fordelinger uafhængighed transformation middelværdi, varians, kovarians, korrelation SaSt2 (Uge 7, onsdag) Transf., normalf., flerdim. 30 / 30
Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereProgram. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Den flerdimensionale normalfordeling, fordeling af ( X,SSD) Helle Sørensen Uge 9, mandag SaSt2 (Uge 9, mandag) Flerdim. N, ford. af ( X,SSD) 1 / 16 Program Resultaterne
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereModul 3: Kontinuerte stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable 3.1 Kontinuerte stokastiske variable........................... 1 3.1.1 Tæthedsfunktion...............................
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereNanostatistik: Middelværdi og varians
Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereModul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereProgram. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2. R opgaver
Institut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2 Københavns Universitet Susanne Ditlevsen og Helle Sørensen R opgaver Det er en god ide at vænne sig til at skrive kommandoerne i en editor
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereUge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereSølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer
Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.1
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.1 April 2013 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereMiddelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0
Middelværdi og varians Middelværdien af en diskret skalarfunktion f(x), for x = 0, N er: µ = N f(x) N x=0 For vektorfuktioner er middelværdivektoren tilsvarende: µ = N f(x) N x=0 Middelværdien er en af
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereBasal statistik. 30. januar 2007
Basal statistik 30. januar 2007 Deskriptiv statistik Typer af data Tabeller Grafik Summary statistics Lene Theil Skovgaard, Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab, Københavns Universitet
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereda er X 1 + X 2 N(µ 1 + µ 2,σ1 2 + σ2) Hvis X 1,...,X n er uafhængige og X r N(µ,σ 2 ), da er X = 1 n (X 1 +... + X n ) N(µ, σ2
Statistik og Sandsynlighedsregning IH kapitel Overheads til forelæsninger, onsdag 5. uge Resultater om normalfordeling X N(µ,σ ). N har tæthed ϕ µ,σ (x) = exp (x µ) πσ σ EX = µ, Var(X) = σ X µ N(0,) σ
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereKapitel 3 Centraltendens og spredning
Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Centraltendens 3 Spredning 4 Praktisk beregning 5 Fraktiler 6 Opsamling 1 Indledning
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol
Læs mereKursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition
Kursusgang 5 Repetition - froberg@math.aau.k http://people.math.aau.k/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 30. september 2008 1/15 Differenskvotient og Differentialkvotient
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereEnsidet variansanalyse
Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk StatBK (Uge 47, mandag) Ensidet ANOVA 1 / 18 Program I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger
Læs mere