Inspirationsforløb i faget matematik i klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Transkript

1 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

2 Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen 5 Elevforudsætninger 5 Fra Fælles Mål til læringsmål for forløbet 5 Undervisningsdifferentiering 10 Evaluering 12 Gennemførelsesfase 13 Lektionsplan 15 Evalueringsfase 26 Bilag 28 2 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

3 Indledning Inspirationsforløbet beskriver planlægning, gennemførelse og evaluering af et undervisningsforløb ud fra læringsmålstyret undervisning. Undervisningsforløbet er opbygget efter den didaktiske ramme for læringsmålstyret undervisning. Du kan læse mere i vejledningen om læringsmålstyret undervisning i folkeskolen på Undervisningsforløbet er udarbejdet af et konsortium bestående af UCC, VIAUC, UC Sjælland og Institut for Pædagogik og Læring (DPU), Aarhus Universitet, i samarbejde med Undervisningsministeriet. Inspirationsforløbet er udgivet af Undervisningsministeriet, Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 3

4 Undervisningsforløbet Undervisningsforløbet beskriver læringsmålstyret undervisning i faget matematik i to 8. klasser, hvor der arbejdes med stofområdet geometri og de matematiske kompetencer ræsonnement og tankegang samt kommunikation. Undervisningsforløbet tager udgangspunkt i 12 lektioner fordelt på tre dobbeltlektioner. Mål for forløbet Forløbet tager udgangspunkt i følgende Fælles Mål for klasse inden for stofområdet geometri og måling og de matematiske kompetencer ræsonnement og tankegang samt kommunikation: Eleven kan skelne mellem enkelttilfælde og generaliseringer. Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer, herunder med inddragelse af digitale værktøjer. Eleven kan kommunikere skriftligt og mundtligt med og om matematik med faglig præcision. Eleven kan undersøge egenskaber ved linjer knyttet til polygoner og cirkler. Eleven kan forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i retvinklede trekanter. Undervisningsforløbet udfoldes kronologisk. Målstyret undervisning planlægges og gennemføres ud fra relationsmodellen. Stofområder Geometri og måling Matematiske kompetencer Ræsonnement og tankegang Kommunikation Eleven kan skelne mellem enkelttilfælde og generaliseringer. Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer, herunder med inddragelse af digitale værktøjer. Eleven kan kommunikere skriftligt og mundtligt med og om matematik med faglig præcision. Eleven kan undersøge egenskaber ved linjer knyttet til polygoner og cirkler. Eleven kan forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i retvinklede trekanter. 4 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

5 Relationsmodellen Nedenfor ses et uddrag af de fire faktorer i læringsmålstyret undervisning i undervisningsforløbet. Læringsmål Evaluering Undervisningsaktiviteter Tegn på læring Læringsmål for undervisningsforløbet Undervisningsaktiviteter Tegn på læring Evaluering Eleverne kan gennemføre en undersøgelse af, hvordan en trekant kan deles i to lige store dele. Hvordan kan I inddele en trekantet mark i to lige store dele? Eleven konstruerer en trekant i et dynamisk geometriprogram og udnytter programmets funktioner til systematisk at afprøve linjer ved trekanter, foretage arealberegninger og manipulere med trekanten. Læreren formulerer tre forskellige niveauer af tegn på læring, som er knyttet til det aktuelle læringsmål og den aktuelle undervisningsaktivitet. Umiddelbart efter undervisningen vurderer læreren hver elev i forhold de tre niveauer. Vurderingen bruger læreren til at overveje, hvordan han/ hun kan udfordre hver enkelt elev i forhold til læringsmålet.

6 Planlægningsfasen Elevforudsætninger Forløbet er planlagt med udgangspunkt i, at eleverne allerede: Kan kategorisere trekanter på grundlag af vinkler (retvinklet, stumpvinklet, spidsvinklet) og sider (ligebenet, ligesidet). Kan udpege kateter og hypotenuse på en retvinklet trekant. Kan beregne arealet af rektangler, parallelogrammer og trekanter (med formler, de selv har udviklet). Kan afgøre, om to givne trekanter er kongruente, ligedannede eller ingen af delene. Ved, at topvinkler er lige store, og at to nabovinkler tilsammen udgør 180 grader. Ved, at vinkelsummen i en trekant er 180 grader. Kan kommunikere om matematik i et uformelt sprog. Kan anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde med matematik. Kan udvikle og vurdere hypoteser (på baggrund af ræsonnementer). Fra Fælles Mål til læringsmål for forløbet De udvalgte Fælles Mål er omsat til læringsmål for forløbet. Målet for undervisningsforløbet er, at eleverne kan: Gennemføre en undersøgelse af, hvordan en trekant kan deles i to lige store dele. Gennemføre en undersøgelse af, hvordan en trekant kan deles i tre lige store dele. Forklare, hvorfor en median deler en trekant i to lige store dele. Forklare, hvorfor en vilkårlig trekant ikke kan inddeles i to lige store dele ved hjælp af vinkelhalveringslinjer eller midtnormaler. Bruge fagbegreber vedrørende trekanter og linjer ved trekanter korrekt i mundtlig kommunikation. Gennemføre en undersøgelse af sammenhængen mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Beskrive sammenhængen mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Kan anvende Pythagoras sætning til at beregne længder, der ikke kan måles. Kan bevise Pythagoras sætning. For løbende at kunne vurdere elevernes læring i forhold til læringsmålene for forløbet har læreren for hvert læringsmål formuleret tegn på forskellige niveauer af målopfyldelse. Tegnene er knyttet til de konkrete aktiviteter, der er i forløbet: 6 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

7 Læringsmål for undervisningsforløbet Eleverne kan gennemføre en undersøgelse af, hvordan en trekant kan deles i to/tre lige store dele. Tegn på læring Eleven prøver sig usystematisk frem med retvinklede og spidsvinklede trekanter, som læreren har foreslået. Eleven konstruerer en trekant i et dynamisk geometriprogram og udnytter programmets funktioner til systematisk at afprøve linjer ved trekanter, foretage arealberegninger og manipulere med trekanten. Eleven forklarer, hvordan han/hun har udviklet og afprøvet hypoteser om løsningen af problemstillingen, og argumenterer for en eller flere holdbare løsninger. Eleverne kan forklare, hvorfor en median deler en trekant i to lige store dele. Eleven viser med beregninger (evt. i et geometriprogram), at udvalgte retvinklede og spidsvinklede trekanter ligedeles af en median. Eleven forklarer, at en median inddeler grundlinjen i en trekant i to lige store dele, og hvordan det deraf følger af deres formel for arealet af en trekant, at medianen deler trekanten i to lige store dele. Eleven giver et egentligt bevis for påstanden. Eleverne kan forklare, hvorfor en vilkårlig trekant ikke kan inddeles i to lige store dele ved hjælp af vinkelhalveringslinjer og midtnormaler. Eleven finder modeksempler, der viser, at trekanter, der er udvalgt af læreren, ikke kan inddeles i to lige store dele ved hjælp af vinkelhalveringslinjer og midtnormaler. Eleven konstruerer en trekant i et dynamisk geometriprogram og udnytter programmets funktioner til at tegne henholdsvis vinkelhalveringslinjer og midtnormaler samt måleareal og viser ved at trække i trekanten, at en vilkårlig trekant ikke kan inddeles i to lige store dele ved hjælp af vinkelhalveringslinjer og midtnormaler. Eleven giver en matematisk argumentation for, at en vilkårlig trekant ikke kan inddeles i to lige store dele ved hjælp af vinkelhalveringslinjer og midtnormaler. Eleverne bruger fagbegreber vedrørende trekanter og linjer ved trekanter korrekt i mundtlig kommunikation. Eleven kan vise kateter, hypotenuse, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median på konkrete trekanter. Eleven kan mundtligt forklare, hvad der menes med kateter, hypotenuse, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median.»» Eleven kan anvende begreberne kateter, hypotenuse, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median i kommunikation med og om matematik. Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 7

8 Læringsmål for undervisningsforløbet Eleverne gennemfører en undersøgelse af sammenhængen mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Tegn på læring Eleven undersøger i udvalgte trekanter sammenhængen mellem arealerne af kvadraterne på de to kateter og arealet af kvadratet på hypotenusen ved at måle trekantens sidelængder og beregne kvadraternes arealer. Eleven tegner selv (evt. i et geometriprogram) vilkårlige, retvinklede trekanter og undersøger sammenhængen mellem arealerne af kvadraterne på de to kateter og arealet af kvadratet på hypotenusen ved at måle trekantens sidelængder og beregne kvadraternes arealer. Eleven tegner (evt. i et geometriprogram) vilkårlige, retvinklede trekanter og undersøger sammenhængen mellem arealerne af kvadraterne på de to kateter og arealet af kvadratet på hypotenusen ved at måle trekantens sidelængder og beregne kvadraternes arealer, og eleven sammenligner med kvadrater på vilkårlige ikke-retvinklede trekanters sider. Eleverne kan beskrive sammenhængen mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Eleven beskriver sammenhængen mellem sidelængderne i udvalgte retvinklede trekanter med udgangspunkt i konkrete tegninger. Eleven beskriver med egne ord sammenhængen mellem sidelængderne i vilkårlige retvinklede trekanter. Eleven beskriver med egne ord og med variable sammenhængen mellem sidelængderne i vilkårlige retvinklede trekanter. Eleverne kan anvende Pythagoras sætning til at beregne længder, der ikke kan måles. Eleven anvender Pythagoras sætning til at beregne længden af hypotenusen, c, i en retvinklet trekant, ABC, når længden af de to kateter er kendt. Eleven anvender Pythagoras sætning til at beregne længden af hypotenusen, c, eller af en katete (a eller b) i en retvinklet trekant, ABC, når længderne af trekantens to andre sider er kendt. Eleven anvender Pythagoras sætning i komplekse sammenhænge, og når trekantens sider har andre betegnelser end a, b og c. Eleverne kan bevise Pythagoras sætning. Eleven viser, at fire kongruente, retvinklede trekanter med katetelængderne 3 og 4 og et kvadrat med sidelængden 4-3 = 1 kan placeres, så de til sammen danner et kvadrat med trekanternes hypotenuser som kvadratets sidelængde. Eleverne beregner ud fra trekanternes og det lille kvadrats areal det store kvadrats areal og sidelængde. Eleven viser forskellige konkrete eksempler på, at fire kongruente retvinklede trekanter og et kvadrat med en sidelængde svarende til forskellen mellem de to kateters sidelængde kan placeres, så de til sammen danner et kvadrat med trekanternes hypotenuser som kvadratets sidelængde. Eleverne beregner ud fra trekanternes og det lille kvadrats areal det store kvadrats areal og sidelængde.»» Eleven giver et egentlig bevis for, at Pythagoras sætning gælder i en vilkårlig retvinklet trekant ved at bruge geometriske tegninger og variable og ved at argumentere ud fra vinkler og arealer. 8 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

9 Valg af undervisningsaktiviteter I forløbet er stofområdet geometri tænkt sammen med de matematiske kompetencer ræsonnement og tankegang samt kommunikation. Valget af netop denne sammensætning skyldes, at ræsonnementer vedrørende geometri i vidt omfang kan underbygges af illustrationer, mens ræsonnementer vedrørende andre stofområder oftere involverer omskrivninger af udtryk med variable, som i sig selv kan være udfordrende for mange elever. Dermed giver geometri frem for andre stofområder nogle elever bedre muligheder for at udvikle ræsonnementer. Gennem undersøgelser af egenskaber ved linjer knyttet til polygoner og cirkler kan eleverne gøre opdagelser og udvikle hypoteser, der i nogle tilfælde kalder på matematisk argumentation. Klassens udforskning og diskussion af de hypoteser, der opstår, kan give et meningsfuldt grundlag for udvikling og vurdering af ræsonnementer og egentlige beviser. Karakteristiske spørgsmål i udforskningen og diskussionen kan være: Mon eleverne har ret i deres opdagelse? Gælder den altid (er det et enkelttilfælde eller noget, der gælder generelt)? Hvordan kan vi være sikre? Hvorfor? I denne diskussion får eleverne gode muligheder for at lære kommunikation med og om matematik med faglig præcision. Undervisningen i forløbet er planlagt som en vekslen mellem iscenesættelse, aktivitet og fællesgørelse. Iscenesættelserne har til formål at motivere og igangsætte elevernes aktiviteter. En vigtig del af denne motivering og igangsættelse er, at eleverne bliver involveret i undervisningens læringsmål og får målet forbundet med den aktivitet, de skal i gang med. Hvad skal de lære, og hvad forventes der af deres arbejde? Iscenesættelserne skal gøre undervisningen meningsfuld for eleverne og give dem mulighed for at arbejde målrettet. I en af afprøvningsklasserne lægger læreren ud med at fortælle om et problem, hendes nabo har bedt hende hjælpe med at løse. Naboen har sammen med sin bror arvet en grund fra sin far. Broren har planer om at bruge sin del af grunden til at producere juletræer, men naboen har mest lyst til at sælge sin del af grunden. Problemet er, at de ikke kan finde ud af, hvordan de kan dele grunden i to lige store dele. Læreren har medbragt store papmodeller af grunden, der har form som en stumpvinklet trekant. Eleverne bliver bedt om at hjælpe hende med at løse problemet. Hun vil gerne kunne præsentere flere forskellige løsninger for sin nabo, og hun vil gerne kunne overbevise ham om, at der virkelig er tale om holdbare løsninger. Hun siger: Det første mål for jeres arbejde er, at I kan undersøge, hvordan trekanten kan deles i to lige store dele, og at I kan argumentere for, at jeres løsning er rigtig. I de fleste af aktiviteterne er det hensigten, at eleverne i grupper skal få hul på problemstillinger, diskutere mulige løsningsstrategier, udvikle og afprøve hypoteser om løsninger samt argumentere for og vurdere hinandens udsagn. Undervejs støtter og udfordrer læreren grupperne og de enkelte elever i arbejdet. Andre af aktiviteterne i forløbet har mere karakter af øvelser, hvor eleverne anvender metoder og resultater, de allerede har lært. I en af afprøvningsklasserne lægger læreren inspirationsstop ind i elevernes gruppeaktiviteter. To af eleverne fra hver firemandsgruppe bytter plads med to andre elever fra en anden gruppe. De nye grupper bruger fem minutter til at fortælle om de strategier, de har valgt i deres undersøgelser, og om, hvad strategierne har ført med sig. Derefter rykker eleverne tilbage i deres oprindelige grupper, der fortsætter arbejdet evt. med ny inspiration. I undervisningens fællesgørelse fortæller eleverne hele klassen om deres arbejde og om de faglige resultater, de er nået frem til. Læreren kommenterer løbende elevernes fortællinger og forklaringer for at guide eleverne i retning af de holdbare matematiske resultater, arbejdsmåder, forklaringer og formuleringer, der er forbundet med læringsmålene for deres arbejde. I fællesgørelsen opsummerer læreren også pointer af elevernes arbejde og sætter dem i forhold til læringsmålene og det, elevernes tidligere har lært. I en af afprøvningsklasserne beder læreren elevgrupperne om at afslutte deres aktivitet og stille sig omkring et gruppebord midt i klassen. Grupperne præsenterer på skift deres arbejde og de produkter, de har fremstillet (deres forslag til ligedeling af den trekantede papmodel), ved bordet i midten af klassen. Læreren kommenterer løbende elevernes fortællinger og reformulerer deres udsagn, så de kan høre den korrekte brug af fagbegreber og faglige vendinger. Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 9

10 En af grupperne fortæller, de har opdaget, at man altid kan dele en trekant i to lige store dele ved at tegne en median i trekanten. De viser på papmodellen, hvordan de har tegnet, målt og beregnet de to dele af trekanten har tilsyneladende lige stort areal. Læreren opsummerer med ordene: Ok, vi kan se, at det rent faktisk kan lade sig gøre at dele den trekant, I har arbejdet med, i to lige store dele ved hjælp af en median. Det er en vigtig opdagelse, I er nået frem til den opdagelse opfylder jo faktisk det mål, I har arbejdet mod: I har fundet en måde, som brødrene kan bruge til at dele deres grund i to lige store dele. Efterfølgende fokuserer læreren på gruppens påstand om, at metoden gælder altid. Hun gentager påstanden og spørger klassen, om det nu virkelig også kan passe gælder det altid eller kun nogle gange? Hun retter efterfølgende klassens dialog mod timens andet mål: Argumentationen for at en median inddeler en vilkårlig trekant i to lige store dele. Undervisningsdifferentiering En stor del af aktiviteterne i forløbet er planlagt, så eleverne kan arbejde med dem på forskellige måder: og beregner. I formelsamlingen får de også øje på forskellige linjer ved trekanten. En af eleverne foreslår, at de skal prøve, om en vinkelhalveringslinje kan bruges til at inddele en trekant i to lige store dele. Der opstår diskussion om denne hypotese umiddelbart ser det ud til, at en vinkelhalveringslinje vil kunne inddele deres papmodel i to lige store dele. Men en af eleverne overbeviser de andre om, at det ikke gælder altid. Hun tegner skitsen af en trekant, hvor det er helt oplagt, at vinkelhalveringslinjen ikke inddeler den i to lige store dele. Modeksemplet overbeviser de andre elever i gruppen. De forkaster hypotesen og forsøger i stedet med en median. En anden elevgruppe vælger at konstruere en trekant i et dynamisk geometriprogram. De knytter et punkt til en af trekantens sider og forbinder dette punkt med den modstående vinkelspids ved hjælp af et linjestykke, så trekanten inddeles i to dele (der ikke umiddelbart ser ud til at være lige store). Derefter rykker de gradvist på punktet og benytter programmet til at få angivet arealet af hver af de to dele af trekanten. Da de placerer punktet, der er knyttet til en side, omkring midt på siden, er de to arealer ca. lige store. Der opstår den hypotese i gruppen, at det er muligt at ligedele en trekant ved hjælp af et linjestykke, der går fra midten af en af trekantens sider til den modstående vinkelspids. De bruger programmet til at efterprøve hypotesen. En stor del af aktiviteterne er også tilrettelagt, så de kan afsluttes på forskellige niveauer: En elev har sammen med sin gruppe arbejdet med opgaven: Hvordan kan du dele en vilkårlig trekant i to lige store dele? Hvorfor? Han præsenterer sit arbejde sådan: Vi fik sådan en paptrekant (en ligesidet trekant). For at dele den i to lige store dele prøvede vi at folde den. Vi opdagede, at hvis man folder sådan her (viser), kommer der fire trekanter, som ser ud til at være sådan cirka lige store. Og så skal man jo bare tage to af dem, så har man halvdelen af trekanten. I en af afprøvningsklasserne arbejder alle eleverne med opgaven: Hvordan kan du dele en vilkårlig trekant i to lige store dele? Hvorfor? En elevgruppe begynder deres arbejde med at beregne arealet af en trekantet papmodel, de har fået udleveret af læreren. De finder formlen for trekantens areal i deres formelsamling, måler 10 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

11 Lærer: Kan du fortælle, hvordan du har foldet trekanten? Elev: Altså, folderne er jo sådan midt på siderne sådan at spidserne rammer den anden side. Lærer: Kan vi egentlig være sikre på, om de fire små trekanter, der er kommet frem, virkelig er lige store? Elev: Jo, for når jeg folder dem, kan jeg jo se, at de passer lige oven i hinanden Lærer: Aha Kan du mon egentlig gøre sådan med alle trekanter? Elev: Det tror jeg ikke Nogle trekanter kan jo godt være lidt skæve Men den her kunne jeg med. En anden elev har sammen med sin gruppe arbejdet med samme opgave. Han fortæller, at de i gruppen har opdaget, at en median inddeler alle trekanter i to lige store dele, og han kan også forklare hvorfor. Han tegner en trekant med en median på tavlen. Han forklarer, at de to trekanter, som opstår ved hjælp af medianen har samme areal, fordi de har samme grundlinje og samme højde. Lærer: Men hvordan kan du vide, at de to trekanters grundlinjer er den samme altså, at de er lige lange? Elev: Fordi medianen går fra midten af siden sådan er definitionen af en median jo. Lærer: Men kan du være sikker på, at det gælder for alle trekanter? Elev: Ja, en median vil jo altid dele siden på midten, og højden vil altid være den samme også selvom den nogle gange er inde i trekanten. Anden elev: Jeg forstår ikke, hvorfor de har samme højde Aktiviteterne er tilrettelagt, så læreren undervejs kan støtte og udfordre på en måde, som er tilpasset de enkelte elever. I en af afprøvningsklasserne arbejder eleverne med opgaven: Hvordan kan du dele en vilkårlig trekant i to lige store dele? Hvorfor? En gruppe vil begynde med at måle arealet af en paptrekant, de har fået udleveret. Vi kan ikke huske, hvordan vi finder arealet af en trekant, siger de. Læreren giver dem endnu en paptrekant, magen til den de har i forvejen. Kan I se, hvilken figur I får, hvis I lægger de to trekanter sådan? Elev: Ja, det er et parallelogram. Lærer: Kan I finde arealet af det? Elever: Øh Lærer: Hvad hvis I forestiller jer, at I skærer et hjørne af parallelogrammet og flytter det sådan her (viser med en skitse)? Elev: Nårh, så er det den side gange den side. Lærer: Ja Kan I bruge det til noget? En anden gruppe, der arbejder med samme opgave, meddeler læreren, at de er færdige. Læreren udfordrer ved at spørge, om de kan finde flere løsninger. Senere udfordrer hun gruppen yderligere ved at spørge, om de så også kan dele en trekant i tre lige store dele? I fire? I fem? Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 11

12 Evaluering I en af afprøvningsklasserne fortæller læreren, at hun på baggrund af et nyligt afsluttet forløb på forhånd har begrundede forventninger om, hvordan de fleste af eleverne befinder sig i forhold til de fleste af forløbets læringsmål. Hun beslutter sig for at foretage en systematisk indsamling af information om elevernes kunnen i forhold til de to førstnævnte læringsmål, der er i fokus i det første undervisningsmodul. Til formålet fremstillinger hun et skema med de tegn, der er knyttet til læringsmålene: Undervejs i modulet er hun i kontakt med hver elevgruppe, mens de arbejder med aktiviteter. Efterfølgende hører hun flere elever fortælle om deres arbejde. Umiddelbart efter modulet udfylder hun skemaet. Ud for nogle elever sætter hun krydser ved det tegn, der bedst beskriver elevens arbejde i forhold til målene. Ved nogle af eleverne supplerer hun krydset med små noter om det, de har sagt eller gjort i timen. Ved nogle få elever føler hun sig for usikker til at sætte et kryds. Hun bruger skemaet til at overveje, om aktiviteter eller læringsmål bør justeres i resten af forløbet og til at overveje, hvordan hun skal støtte og udfordre eleverne i den kommende undervisning og hvilke elever hun vil være særligt opmærksom på. Det overrasker hende bl.a., at nogle elever er usikre på arealberegning i trekanter, når højden falder uden for trekanten. Hun beslutter sig for at tage problemstillingen op i det kommende modul. Læringsmål Tegn Elev 1 Elev 2 Elev 3 Elev 4 1 Eleven prøver sig usystematisk frem med retvinklede og spidsvinklede trekanter, som læreren har foreslået. Eleven konstruerer en trekant i et dynamisk geometriprogram og udnytter programmets funktioner til systematisk at afprøve linjer ved trekanter, foretage arealberegninger og manipulere med trekanten. Eleven forklarer, hvordan han/hun har udviklet og afprøvet hypoteser om løsningen af problemstillingen, og argumenterer for en eller flere holdbare løsninger. 2 Eleven viser med beregninger (evt. i et geometriprogram), at udvalgte retvinklede og spidsvinklede trekanter ligedeles af en median. Eleven forklarer, at en median inddeler grundlinjen i en trekant i to lige store dele, og hvordan det deraf følger af deres formel for arealet af en trekant, at medianen deler trekanten i to lige store dele. Eleven giver et egentligt bevis for påstanden. 12 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

13 Gennemførelsesfase Forløbet er tiltænkt 12 lektioner og er opdelt i tre dele: Første del varer to dobbeltlektioner. I denne fase arbejder eleverne med to hovedspørgsmål: Hvornår kan vi være sikre på, at en påstand om matematik gælder? Hvad vil det sige at bevise noget i matematik? I denne del af forløbet foretager læreren formativ evaluering som en integreret del af undervisningen. På baggrund af de informationer, evalueringen giver om elevernes formåen i forhold til læringsmålene, tilpasser læreren forløbets læringsmål og giver eleverne feedback om, hvordan de kan arbejde for at udvikle de kompetencer, der er tilsigtet. Anden del varer tre dobbeltlektioner. I denne fase arbejder eleverne med tre hovedspørgsmål: Hvilken sammenhæng er der mellem sidelængderne i en retvinklet trekant? Hvordan kan vi bevise denne sammenhæng? Hvad kan vi bruge vores viden til? Tredje del varer en dobbeltlektion. I denne fase arbejder eleverne med at udvikle ræsonnementer i tilknytning til en tilpasset udgave af det mundtlige prøveoplæg, der kaldes Tages kvadrat, og med at sammenfatte forløbets pointer. Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 13

14 Lektionsplan for lektion Læringsmål for undervisningsforløbet Målet er, at I kan: Gennemføre en undersøgelse af, hvordan en trekant kan deles i to lige store dele. Forklare, hvorfor en median deler en trekant i to lige store dele. (Dette mål fortælles ikke til eleverne fra starten). Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Iscenesættelse Fælles oplæg: To brødre har sammen arvet en grund (et stykke jord/en mark) fra deres far. Den ene bror vil sælge sin halvdel, mens den anden bror vil bruge sin halvdel til at plante juletræer på. De to brødre har derfor brug for at opdele grunden, der er trekantet, i to lige store stykker. Hvordan kan de gøre det? Eleverne stiller opklarende spørgsmål til lærerens oplæg og til målet for deres arbejde. Læreren medbringer papmodeller af grunden (en til hver elevgruppe). Aktivitet I tilknytning til iscenesættelsen præsenterer læreren dagens første læringsmål. Eleverne arbejder i mindre grupper med opgaven. Hver gruppe får udleveret en papmodel af grunden. Læreren støtter gruppernes arbejde, fx ved at foreslå at de tegner grunden på kvadratnet, så de lettere kan beregne arealet af den. Læreren kan også udfordre, bl.a. ved at spørge om eleverne kan opdele grunden i to lige store stykker på flere forskellige måder. Eleverne opfordres til at beskrive, hvordan problemet kan løses. Fællesgørelse Læreren styrer en fælles opsamling med fokus på løsninger. Hvilke løsninger har I? Er der flere forskellige løsninger? Er I sikre på, at løsningerne er holdbare? Hvorfor? Eleverne fortæller om deres proces med undersøgelsen, herunder om deres hypoteser, resultater og argumenter. I tilknytning til opsamlingen formulerer læreren de pointer, som er kommet frem igennem gruppernes arbejde. 14 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

15 Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Iscenesættelse Det næste oplæg introduceres fælles: Eleverne stiller opklarende spørgsmål til lærerens oplæg og til målet med aktiviteten. Findes der en måde, man kan bruge til at opdele enhver trekant i to lige store dele? Hvis ja: Kan vi være sikre på, at måden altid virker? Hvordan? Hvis nej: Hvorfor ikke? I forbindelse med oplægget skal læreren gøre sine forventninger tydelige ved fx at sige: Jeg forventer, at I prøver jer frem og undersøger, om I kan finde en måde, der altid virker. I skal være så sikre i jeres sag, som I kan blive, og forberede jer på at overbevise andre om at I har ret. Aktivitet Undervejs kan nogle elever udfordres med spørgsmål som: Kan I finde flere forskellige måder? Er I sikre? Hvordan kan I være det? Fællesgørelse Dobbeltlektionen afsluttes med fælles opsamling, diskussion og præsentation af målene for det kommende arbejde. Eleverne vælger selv, om de vil arbejde ud fra bilag 1, som giver konkrete figurer (og på den måde bidrager til at støtte de elever, der har svært ved at komme i gang med opgaven), eller om de vil arbejde på egen hånd. Eleverne vælger selv hjælpemidler. For mange vil det være oplagt at arbejde i et dynamisk geometriprogram. Eleverne præsenterer deres arbejde med aktiviteten. I opsamlingen er lærerens fokus den faglige pointe: En median deler en vilkårlig trekant i to lige store dele. Det kan bevises ved hjælp af en formel for trekantens areal. Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 15

16 Lektionsplan for lektion Læringsmål for undervisningsforløbet Målet er, at I kan: Forklare, hvorfor en vilkårlig trekant ikke kan inddeles i to lige store dele ved hjælp af vinkelhalveringslinjer og midtnormaler. (Dette mål fortælles ikke til eleverne fra starten). Gennemføre en undersøgelse af, hvordan en trekant kan deles i tre lige store dele. Bruge fagbegreber vedrørende trekanter og linjer ved trekanter korrekt i mundtlig kommunikation. Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Iscenesættelse Læreren opsummerer pointen fra sidst om inddeling af en vilkårlig trekant i to lige store dele. I den forbindelse præsenteres også de to hovedspørgsmål, som forløbet kredser om: Eleverne bidrager med deres opdagelser fra forrige lektion. Hvornår kan vi være sikre på, at en påstand om matematik gælder? Hvad vil det sige at bevise noget i matematik? Eleverne spørger opklarende til lærerens oplæg og til målet for deres arbejde. Herefter er der et fælles oplæg: Den ene af de to brødre påstår, at han kender mange måder, der kan bruges til at inddele en trekant i to lige store dele. En trekant kan både ligedeles med en vinkelhalveringslinje, en midtnormal og en median. Har han ret? Er I sikre? Kan I overbevise os andre om det, I finder ud af? Aktivitet Undervejs i elevernes arbejde kan læreren støtte dem ved fx at give konkrete forslag til trekanter, som eleverne kan undersøge ved at tegne vinkelhalveringslinjer, midtnormaler og medianer. De kan også udfordres til at afklare, hvilke typer trekanter der kan ligedeles med alle tre typer linjer. Hvilke kan med to typer linjer? Og hvilke med én af linjetyperne? Eleverne arbejder i mindre grupper med opgaven. De anvender et dynamisk geometriprogram. Eleverne skal forberede deres forklaring af/ argumentation for løsningen. 16 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

17 Lektionsplan for lektion Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever 3.4. lektion Fællesgørelse I forbindelse med opsamlingen støtter læreren præcisionen i elevernes faglige sprogbrug, når de formidler deres resultater og deres tænkning. Desuden søger læreren at gøre det tydeligt, at: Der er fælles opsamling, hvor eleverne fortæller om deres arbejde, opdagelser og ræsonnementer. En fejlagtig påstand kan modbevises ved hjælp af et eksempel. Der findes udsagn, som kun gælder for enkelttilfælde og udsagn, der gælder generelt. Iscenesættelse Nyt fælles oplæg: En ukendt tredje bror kommer hjem fra Asien og gør krav på sin tredjedel af arven. Nu skal de tre brødre altså dele grunden i tre lige store stykker. Hvordan kan de gøre det og hvilke metoder kan generelt bruges til at tredele en trekant? Eleverne spørger opklarende til lærerens oplæg og til målet for deres arbejde. Aktivitet I forbindelse med oplægget inddrager læreren eleverne i de to sidstnævnte læringsmål. Undervejs i elevernes arbejde kan de støttes, fx ved at læreren giver konkrete forslag til trekanter, som eleverne kan undersøge. De kan også udfordres til at udsøge, om de kan tredele trekanter på flere forskellige måder. Eleverne arbejder i mindre grupper med opgaven. De anvender et dynamisk geometriprogram. Eleverne skal forberede deres forklaring af/ argumentation for løsningen. Fællesgørelse I forbindelse med opsamlingen samler læreren op på de pointer, der er kommet frem i forbindelse med elevernes arbejde og på sammenhængen mellem pointerne. Der er fælles opsamling, hvor eleverne fortæller om deres arbejde, opdagelser og ræsonnementer. Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 17

18 Lektionsplan for lektion Læringsmål for undervisningsforløbet Målet er, at I kan: Gennemføre en undersøgelse af sammenhængen mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Beskrive sammenhængen mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Iscenesættelse Læreren indleder undervisningen og styrer en fælles samtale i klassen om retvinklede trekanter. I samtalen kan eleverne fx komme omkring centrale begreber som katete, hypotenuse, en ret vinkel, og at hypotenusen er den længste side og ligger over for den rette vinkel. Desuden fortæller læreren om målene for anden del af forløbet. Herefter er der et oplæg: Der gælder noget særligt for sidelængderne i en retvinklet trekant. I skal undersøge, om I kan opdage en sammenhæng mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Eleverne fortæller, hvad de på forhånd ved om retvinklede trekanter. Eleverne stiller opklarende spørgsmål til lærerens oplæg og til målet med aktiviteten. Aktiviteter Undervejs i elevernes arbejde kan de støttes, fx ved at læreren udleverer bilag 2 med konkrete forslag til trekanter, som eleverne kan undersøge. Læreren kan også støtte eleverne til at undersøge trekanter i et dynamisk geometriprogram. Eleverne arbejder i mindre grupper med at undersøge forskellige retvinklede trekanter og deres tilhørende kvadrater. Det er hensigten, at eleverne opdager, at arealet af kvadratet på hypotenusen svarer til summen af arealerne af kvadratet på hver af de to kateter. Eleverne kan selv tegne forskellige retvinklede trekanter, som de undersøger, eller støttes i deres undersøgelse ved at bruge opgaverne på bilag 2. Eleverne kan også tegne retvinklede trekanter og de tilhørende kvadrater i et dynamisk geometriprogram. Eleverne skal forberede sig på at forklare sammenhængen. 18 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

19 Lektionsplan for lektion Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Fællesgørelse Herefter er der en fælles opsamling. Læreren kan støtte eleverne fx ved at bede dem forklare sammenhængen ud fra konkrete trekanter med kendte sidelængder, som er tegnet sammen med de tilhørende kvadrater. Eleverne kan også udfordres ved at skulle forklare sammenhængen ved hjælp af variable. Læreren støtter elevernes i at præcisere deres faglige sprog, når de formidler deres resultater og deres tænkning. Desuden søger læreren at guide samtalen i retning af, at eleverne når frem til: Pythagoras sætning på symbolsprog: a^2+b^2=c^2, hvor a og b er kateternes længder og c længden af hypotenusen. Det skal være tydeligt for eleverne, at de har opdaget en sætning, som Pythagoras også opdagede, og som mange har bevist. Eleverne skal arbejde med beviset næste gang. Eleverne spørger opklarende til lærerens oplæg og til målet for deres arbejde. Eleverne arbejder i mindre grupper med opgaven. De anvender et dynamisk geometriprogram. Eleverne skal forberede deres forklaring af/ argumentation for løsningen. Der er fælles opsamling, hvor eleverne fortæller om deres arbejde, opdagelser og ræsonnementer. Iscenesættelse Nu har I fundet en sammenhæng mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Gad vide, om den samme sammenhæng også gælder for trekanter, der ikke er retvinklede? I skal tegne forskellige trekanter, der ikke er retvinklede, og undersøge, om Pythagoras sætning gælder. Eleverne fortæller om deres arbejde og forklarer den sammenhæng, de har fundet. Aktiviteter Undervejs i elevernes arbejde kan de støttes, fx ved at læreren giver konkrete forslag til trekanter, som eleverne kan undersøge. Eleverne arbejder i mindre grupper med opgaverne. Eleverne anvender et dynamisk geometriprogram til undersøgelsen. Fællesgørelse Læreren støtter eleverne i at præcisere deres faglige sprog, når de formidler deres resultater og deres tænkning. Eleverne fortæller om deres arbejde, opdagelser og ræsonnementer. Desuden søger læreren at gøre det tydeligt, at Pythagoras sætning kun gælder i retvinklede trekanter. Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 19

20 Lektionsplan for lektion Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Iscenesættelse Læreren tegner en skitse af en retvinklet trekant på tavlen med mål på de to kateter. Læreren spørger eleverne, hvordan de ved hjælp af Pythagoras sætning kan beregne længden af hypotenusen. Læreren fortæller, at eleverne skal arbejde med små øvelser, hvor de skal beregne hypotenusen i en retvinklet trekant, hvis de kender længderne på de to kateter. En eller flere elever forklarer for resten af klassen, hvordan længden af hypotenusen kan beregnes. Eleverne stiller opklarende spørgsmål. Aktiviteter Læreren støtter eleverne i deres arbejde med øvelserne. Eleverne arbejder i mindre grupper med øvelserne. Fællesgørelse Læreren styrer en fælles opsamling på arbejdet med retvinklede trekanter med det faglige fokus: Eleverne fortæller om deres arbejde med Pythagoras sætning. I retvinklede trekanter gælder en særlig sammenhæng mellem sidelængderne, nemlig at a^2+b^2=c^2, når kateterne kaldes a og b, og hypotenusen kaldes c. Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder kun i retvinklede trekanter. Når vi kender to af trekantens sider, kan vi bruger v sætning til at beregne den tredje side. 20 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

21 Lektionsplan for lektion Læringsmål for undervisningsforløbet Målet er, at I kan: Anvende Pythagoras sætning til at beregne længder, der ikke kan måles. Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Iscenesættelse Undervisningen begynder med en opsamling på pointerne fra sidst om Pythagoras sætning, som kun gælder i retvinklede trekanter. Læreren tegner en skitse af en retvinklet trekant med mål på de to kateter, fx 5 og 12, og sammen beregner eleverne længden af hypotenusen. Læreren tegner en skitse af en retvinklet trekant med mål på den ene katete, fx 6, og hypotenusen, fx 10, og sammen beregner eleverne længden af den anden katete. Mange elever vil kunne omskrive ligningen og på den måde finde længden af den anden katete. Læreren kan støtte eleverne ved at vise dem, hvordan de kan tegne kvadratet på hypotenusen og kvadratet på kateten og beregne, at kvadratet på den anden katete må have arealet 64, (100-36), og at sidelængden derfor er 8. Eleverne beregner hypotenusen af den retvinklede trekant, læreren har tegnet en skitse af. Eleverne beregner den manglende katete i den retvinklede trekant, læreren har tegnet en skitse af. I skal nu øve jer på at bruge Pythagoras sætning til at beregne en sidelængde i en retvinklet trekant, hvis I kender længden på de to andre sider i trekanten. Aktiviteter Læreren støtter eleverne i deres arbejde med øvelserne. Fællesgørelse Læreren støtter eleverne i at præcisere deres faglige sprog, når de formidler deres resultater og deres tænkning. Eleverne arbejder i mindre grupper med øvelserne. De kan både beregne den sidste side ved at omskrive ligningen, og de kan beregne den sidste side med støtte i en tegning af sidernes kvadrater. Eleverne præsenterer nogle eksempler på, hvordan de har beregnet sidelængder i retvinklede trekanter. Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 21

22 Lektionsplan for lektion Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Iscenesættelse En maler skal male trælisterne omkring et vindue på et hus. Vinduet er 3,5 m over jorden. Han stiller sin stige med en afstand på 1,5 m til husets mur. Hvor lang er malerens stige? Eleverne arbejder i mindre grupper med at beregne, hvor lang malerens stige er og forklarer, hvordan de har fundet frem til længden af malerens stige. Læreren fortæller, at eksemplet med malerens stige viser, at vi også kan bruge Pythagoras sætning til at beregne længder, selv om der ikke er tegnet en retvinklet trekant. Nogle gange må vi forestille os den retvinklede trekant. I skal undersøge, hvor mange forskellige skrå længder I kan finde på et sømbræt. I skal tegne længderne på sømbrætpapir, forestille jer retvinklede trekanter og beregne længderne. Eleverne stiller opklarende spørgsmål til den opgave, de skal i gang med. Aktiviteter Læreren kan støtte eleverne ved at opfordre dem til at tegne retvinklede trekanter med udgangspunkt i den skrå længde som trekantens hypotenuse og evt. også tegne kateternes kvadrater. Andre elever kan udfordres ved at skulle systematisere deres undersøgelse. Har I fundet alle de skrå længder på sømbrættet? Er der nogen længder, I kan beregne på forskellige måder? Eleverne arbejder i mindre grupper med at undersøge, hvor mange forskellige skrå længder de kan lave på sømbrættet og med, hvordan de kan beregne længderne. Eleverne kan lade deres resultater stå som eksakte værdier frem for afrundede decimaltal. Fællesgørelse Læreren støtter eleverne i at præcisere deres faglige sprog, når de formidler deres resultater og deres tænkning. Eleverne fortæller om deres arbejde, opdagelser og ræsonnementer. 22 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

23 Lektionsplan for lektion Læringsmål for undervisningsforløbet Målet er, at I kan: Bevise Pythagoras sætning. Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Iscenesættelse Vi har brugt Pythagoras sætning til at beregne sidelængder i trekanter, og I har vist eksempler på, at Pythagoras sætning ikke gælder, hvis trekanten ikke er retvinklet. Målene for anden del af forløbet genopfriskes. Kan vi være sikre på, at Pythagoras sætning gælder i alle retvinklede trekanter? I skal først bevise, at Pythagoras sætning gælder, hvis de to kateter har længderne 3 og 4. Aktiviteter Læreren støtter eleverne i deres arbejde med opgaverne på bilag 3. Det er vigtigt, at eleverne ikke bruger Pythagoras sætning til at beregne sidelængden i kvadratet, da de netop skal bevise, at Pythagoras sætning gælder. Fællesgørelse Læreren støtter eleverne i at præcisere deres faglige sprog, når de formidler deres resultater og deres tænkning. Iscenesættelse Vi skal bruge samme idé til at bevise, at Pythagoras sætning gælder i trekanten. Vi skal også vise, at Pythagoras sætning gælder i alle retvinklede trekanter. Derfor kan vi ikke sætte bestemte tal på kateterne, men vi kan bruge variable. Vi kalder siderne a, b og c. Eleverne stiller opklarende spørgsmål til lærerens oplæg og til målet med aktiviteten. Eleverne arbejder i mindre grupper med opgaverne på bilag 3, side 1. Her guides de til at bevise, at Pythagoras sætning gælder i en trekant. Eleverne fortæller, hvordan de har beregnet arealet af det farvede kvadrat og kvadratets sidelængde, og hvorfor de har bevist, at Pythagoras sætning gælder trekanten. Eleverne stiller opklarende spørgsmål til opgaven, de skal i gang med. Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 23

24 Lektionsplan for lektion Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Aktiviteter Læreren støtter eleverne i deres arbejde med bevisførelsen. Nogle elever kan have brug for hovedsagligt at arbejde med side 2 og argumentere for, at Pythagoras sætning gælder i endnu et konkret eksempel, mens andre elever hurtigere kan udfordres med side 3. For de fleste elever vil det være en udfordring at omskrive (a+b)^2-4 1/2 a b=c^2 til Pythagoras sætning, især hvis de ikke har arbejdet med kvadratet på en toleddet størrelse. Lad dem evt. bruge en formelsamling til støtte i omskrivningen. Eleverne arbejder med bilag 3, side 2-3. Fællesgørelse Læreren styrer en fælles opsamling på beviset for, at Pythagoras sætning gælder i alle retvinklede trekanter. Eleverne fortæller om deres arbejde og ræsonnementer. 24 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

25 Lektionsplan for lektion Læringsmål for undervisningsforløbet Lektionerne giver eleverne mulighed for at anvende centrale dele af de færdigheder og den viden, forløbet har fokuseret på. Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Iscenesættelse Den danske matematiker, Tage Werner, fandt på en figur, som vi kalder Tages kvadrat (bilag 4). Han tegnede et kvadrat, fandt midtpunktet på hver side af kvadratet og tegnede linjestykker mellem midtpunkter og hjørner. Læreren viser eleverne Tages kvadrat. Tage havde tre påstande, som I skal undersøge. I skal starte med påstand 1. Aktiviteter Læreren kan støtte eleverne med spørgsmål som fx: Hvilke linjestykker kender vi længden af, hvis vi kender kvadratets sidelængde? Hvor i figuren er der retvinklede trekanter, som har de længste linjestykker som en af sidelængderne? Eleverne stiller opklarende spørgsmål til lærerens oplæg. Eleverne arbejder ud fra bilag 4. De tegner Tages kvadrat på papir og undersøger i mindre grupper påstand 1: De otte længste linjestykker i kvadratet er lige lange. Eleverne undersøger påstanden uden at måle på figuren, men med udgangspunkt i at de kender kvadratets sidelængde. Eleverne kan fx argumentere for påstanden med udgangspunkt i, hvordan Tages kvadrat er konstrueret eller med udgangspunkt i Pythagoras. Eleverne skal forberede deres forklaring af/ argumentation for påstanden. Fællessgørelse Læreren støtter eleverne i at præcisere deres faglige sprog, når de formidler deres resultater og deres tænkning. Eleverne fortæller om deres arbejde og ræsonnementer. Læreren spørger ind til, om der er forskellige måder at argumentere for påstanden på. Iscenesættelse Tage påstod også, at han kunne finde størrelsen af vinklerne i figuren uden at måle dem. I skal arbejde med påstand 2 og beregne så mange af vinklerne som muligt, når I kun kender størrelsen af den ene vinkel, som er vist på figuren. Eleverne stiller opklarende spørgsmål til lærerens oplæg. Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 25

26 Lektionsplan for lektion Lektion Lærer Undervisningsaktiviteter Elever lektion Aktiviteter Læreren kan fx støtte eleverne med spørgsmål som: Hvor kan I finde rette vinkler i figuren? Hvor kan I finde den firkant/trekant andre steder i figuren? Eleverne undersøger påstanden. De kan fx ræsonnere sig frem til vinklernes størrelser med udgangspunkt i viden om vinkelsummen i en trekant, vinkelsummen i en firkant, størrelsen af en lige vinkel, topvinkler, nabovinkler, kongruente og ligedannede figurer. Læreren kan også opfordre eleverne til at tjekke deres resultater ved at tegne Tages kvadrat i et dynamisk geometriprogram og måle vinklerne. Fællesgørelse Læreren støtter eleverne i at præcisere deres faglige sprog, når de formidler deres resultater og deres tænkning. Eleverne fortæller om deres arbejde og ræsonnementer. Iscenesættelse Tages sidste påstand var, at arealet af figurerne inde i kvadratet kan beregnes. I skal beregne arealet af alle de figurer inde i kvadratet, som I kan. I kan starte med hjælpetegningerne og bagefter fortsætte med så mange af de andre figurer i Tages kvadrat, som I kan. Eleverne stiller opklarende spørgsmål til lærerens oplæg. Aktiviteter Læreren kan støtte eleverne ved at opfordre dem til at starte med hjælpetegningerne. Det kan være en god idé at bruge flere farver og markere ens figurer med samme farve i kvadratet og evt. også bruge flere kopier af Tages kvadrat. Eleverne kan udfordres til at lede efter ligedannede figurer og bruge størrelsesforholdet mellem ensliggende sider til at beregne arealet. Eleverne undersøger påstanden og beregner arealet af forskellige figurer i Tages kvadrat uden at måle længder. Fællesgørelse Læreren støtter eleverne i at præcisere deres faglige sprog, når de formidler deres resultater og deres tænkning. Eleverne fortæller om deres arbejde og ræsonnementer. Forløbet afrundes med, at målene for de tre dele af forløbet genopfriskes. De to hovedspørgsmål fra første del af forløbet: Hvornår kan vi være sikre på, at en påstand om matematik gælder? og Hvad vil det sige at bevise noget i matematik? inddrages i en opsamling og fremhæves som en rød tråd gennem forløbet. 26 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

27 Evalueringsfase Forløbet afsluttes med en opgave, som giver eleverne gode muligheder for at udvikle ræsonnementer og for at anvende de færdigheder og den viden, der har været fokus på sammen med færdigheder og viden, de tidligere har arbejdet med. Opgaven består af en tilpasset version af et mundtligt prøveoplæg til 9. klasse: Tages kvadrat. Det findes på bilag 4. En lærer i en af afprøvningsklasserne iscenesætter aktiviteten dels ved at fortælle om konstruktionen af Tages kvadrat, dels ved at fortælle, at hun, mens eleverne arbejder, vil spørge dem om nogle af de ting, de har lært i forløbet. Hun vil desuden lægge mærke til, om eleverne kommer med nogle gode matematiske argumenter undervejs i arbejdet, og om de er begyndt at bruge nogle af de fagbegreber, de har arbejdet med i forløbet. Opgaven indgår i undervisningen, men er på samme tid en evalueringsopgave. Undervejs i elevernes arbejde indhenter læreren informationer om deres kompetencer dels gennem elevernes mundtlige dialoger i arbejdet, dels igennem elevprodukterne, som hun indsamler efter timen. Eksempel på et elevprodukt: Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 27

28 Bilag 1 Trekanterne kan evt. tegnes i længdeforholdet 10:1 på pap og klippes ud. 28 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse

29 Bilag 2: Undersøg retvinklede trekanter Her er tegnet forskellige retvinklede trekanter og kvadrater på trekanternes sider. Areal Hvor stort er arealet af kvadraterne ved hver trekant? Skriv resultaterne i skemaet. Trekant Areal af mindste kvadrat Areal af næstmindste kvadrat Areal af største kvadrat Hvilken sammenhæng er der mellem kvadraternes arealer ved hver trekant? Inspirationsforløb i faget matematik i klasse 29

30 Bilag 3: Bevis Pythagoras sætning Tegningen herunder viser en figur med fire ens retvinklede trekanter. 5. Brug jeres erfaringer fra trekanten til at bevise, at hypotenusen har længden 13, hvis kateternes længder er 5 og 12. I skal bruge jeres erfaringer fra arbejdet med trekanten og trekanten til at bevise, at Pythagoras sætning gælder for alle retvinklede trekanter. I kan kalde sidelængderne for a, b og c. 1. I hver trekant har de to kateter længderne 3 og 4.Undersøg, hvordan I kan beregne arealet af hele den farvede firkant. 2. Hvordan kan I argumentere for, at den farvede firkant er et kvadrat? 3. Hvordan kan I beregne sidelængden af dette kvadrat, når I kender arealet af kvadratet? 4. Forklar, hvordan I nu kan bevise, at hvis kateterne i en retvinklet trekant har længderne 3 og 4, så har hypotenusen en længde på 5. Tegningen herunder viser en figur med fire ens retvinklede trekanter. Kateternes længde i hver trekant er 5 og Forklar, hvordan I kan være sikre på, at hele den farvede firkant er et kvadrat. 7. Forklar, hvorfor I kan beskrive arealet af det farvede kvadrat på to måder: A = (a+b) a b A = c 2 8. Undersøg, hvordan I kan omskrive (a+b) a b=c 2 til Pythagoras sætning. 30 Inspirationsforløb i faget matematik i klasse