Del 2. Måling og modellering af vand- og stoftransport i en grundvandsstrømning

Transkript

1 Del 2 Måling og modellering af vand- og stoftransport i en grundvandsstrømning

2 Strukturkort - Del 2 file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\strukturkort\strukturkort.htm Page 1 of

3 file://c:\docume~1\kwj\locals~1\temp\5tnm4c83.htm Page 1 of 1 Måling og modellering af vand- og stoftransport i en grundvands-strømning I delprojekt 2 er der arbejdet med måling og modellering af grundvandstrømninger. Der er taget udgangspunkt i et modelforsøg, hvor der gennem en sandfyldt rende er etableret en grundvandsstrømning. I denne fysiske model er der udført målinger til bestemmelse af en række hydrogeologiske parametre, som er styrende for grundvandsstrømningen, både mht. hydrodynamikken og stoftransporten, og dermed også centrale i en matematisk beskrivelse af systemet. Der er opstillet to modeller til beskrivelse af strømning og stoftransport gennem den sandfyldte rende. Der er opsat en model i Modflow (GMS), og der er opstillet en matematisk model i form af de styrende ligninger for den betragtede 2D strømning, og denne er løst numerisk i Delphi. Igennem disse modeller er de samme hydrogeologiske parametre bestemt ved modelkalibrering, og gennem dem er modellernes evne til at beskrive de virkelige forhold vurderet. Udskriv

4 Udtagning af intakt prøver file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\porositet\intaktprover.htm Page 1 of 1

5 Jordkarakteristik file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\karakterisering_af_sand\karakterisering_af_sand.htm Page 1 of 2 Jordkarakteristik Til karakterisering af de tre sandtyper i den sandfyldte rende, er der udført sigteanalyser med efterfølgende optegning af kornkurver. Ud fra kornfordelingen er der beregnet en værdi for konduktiviteten, K. Figur 2 De tre sandtyper, grus, grov sand og fin sand. Sigteanalysen blev udført på tørret jord i et sigtetårn med sigte med maskevidder som vist i nedenstående tabel. I tabellen er kornfordelingen for de tre sandtyper også angivet. Tabel 1 Kornfordeling Grus, totalvægt: 300,23 g Grov sand, totalvægten: 200,04 g. Sigte Sigterest GennemfaldVægtprocent Sigterest Gennemfald Vægtprocent [mm] [g] [g] [%] [g] [g] [%] , , , ,63 197,31 99, ,38 180,85 60,24 14,49 182,82 92, ,44 1,41 0,47 18,49 164,33 83, ,97 0,44 0,15 77,03 87,30 43, ,07 0,37 0,12 25,85 61,45 30, ,08 0,29 0,10 37,93 23,52 11, ,15 0,14 0,05 10,28 13,24 6, ,05 0, ,60 6,64 3,34 Bund 0, , Fin sand, totalvægten: 150,04 g. Sigterest Gennemfald Vægtprocent [g] [g] [%] 0 150, , , , ,07 149,95 99,95 0,07 149,88 99,90 5,05 144,83 96,54 93,54 51,29 34,19 47,79 3,50 2,33 3, Ud fra ovenstående kornfordelinger er der optegnet kornkurver for de tre sandtyper: Figur 3 Kornkurver for de tre sandtyper. Den røde kurve er for fin sand, den grønne er for grov sand og den blå er for grus. Efterfølgende er d 10, d 50, d 60 samt uensformighedstallet, U, og konduktiviteten, K, for hver af de tre sandtyper bestemt. d 10, d 50, og d 60 angiver hhv. 10%-, 50%- og 60%-fraktilen og er bestemt ud fra kornkurverne. Uensformighedstallet, U, er et udtryk for jordens sorteringsgrad [Harremöes et al., 2000].:

6 Jordkarakteristik file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\karakterisering_af_sand\karakterisering_af_sand.htm Page 2 of 2 hvor U d 60 d 10 er uensformighedstallet [-] er 60%-fraktilen [mm] er 10%-fraktilen [mm] Konduktiviteten, K, er bestemt som [Dansk Ingeniørforening, 1984]: hvor K er konduktiviteten [m/s] Det ovenstående udtryk kan dog kun anvendes når d 10 er større end 0,1 og mindre end 3,0. Desuden skal jorden være velsorteret, hvilket kan vurderes ved uensformighedstallet, U. Tabel 4 d 10, d 50, og d 60 samt uensformighedstal, U, og konduktivitet, K, for grus. 10%-fraktil 50%-fraktil 60%-fraktil Uensformighedstal Konduktivitet d 10 d 50 d 60 U K [mm] [mm] [mm] [-] [m/s] Grus 1,2 1,8 2 1,7 1,44E-2 Grov sand 0,20 0,54 0,65 3,25 4,0E-4 Fin sand 0,1 0,15 0,16 1,6 1,0E-4 Gruset ses at være en grov sandfraktion/ fin grusfraktion, og da uensformighedstallet, U, er mindre end 2,5, er det en velsorteret jordart [Harremöes et al., 2000]. Det grove sand har et uensformighedstal større end 2,5, og kan derfor ikke karakteriseres som velsorteret, hvilket også ses af kornkurven, da den strækker sig over hele sandfraktionen samt fin grusfraktionen. Den fundne værdi for konduktiviteten skal derfor, ved sammenligning med værdier bestemt på anden vis, vurderes i forhold til dette kriterium. Kornkurven for fin sand strækker sig over fin sandfraktion og mellem sandfraktion, hvilket stemmer overens med, at uensformighedstallet for fin sand er lille, og dermed er det en velsorteret jordart. Udskriv Rådata

7 Vandtransport file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\stromning_forside\stromning_forside.htm Page 1 of 2 Vandtransport I de hydrologiske modeller, der er opsat i dette projekt, er det forsøgt at tilnærme et aktuelt strømningsproblem. Dette strømningsproblem har mange ukendte parametre, hvilket kræver en nøje undersøgelse af de virkelige forhold. For at skabe et overblik over hvilke parametre det er nødvendigt at have kendskab til, er det nødvendigt at opsætte de styrende ligninger for en grundvandsstrømning for at danne et overblik over strømningsproblemet. Grundvandets strømninger skyldes udelukkende variationer i trykniveau. Den hastighed, hvormed grundvandet bevæger sig i jordlagene, afhænger dels af, hvor store trykniveauforskellene er, og dels af hvor let gennemtrængelige jordlagene er. Trykniveauforskellen kan beskrives som den hydrauliske gradient og jordlagenes gennemtrængelighed som konduktivitet. Konduktiviteten afhænger bl.a. af jordtype, porøsitet og den effektive porøsitet. For at kunne opstille en matematisk model af en strømning i jord er det nødvendig at betragte strømningsområdet på et lidt mere overordnet plan, hvor der kun ses på middelværdier af tryk, hastighed og vandføring over områder, der er store i forhold til kornenes og porernes størrelse, men små i forhold til det samlede strømningsområde. Fordelen ved denne betragtning er, at strømningsområdet i en hydraulisk sammenhæng kan karakteriseres ved fysiske parametre som konduktivitet, porøsitet og massefylde. Det er dermed forudsat, at et porøst medium er makroskopisk homogent, dvs. at materialet er jævnt fordelt. Derudover er det forudsat, at alle porer er vandfyldte, samt at strømningen ikke er lagdelt. [Karlby et al., 2002] Ved modellering af vandtransporten i en grundvandsstrømning er der taget udgangspunkt i to fysiske love, der er styrende for systemet. Det drejer sig om Darcy's lov, der udtrykker proportionaliteten mellem flowet gennem et porøst medie og en trykniveauforskel, og en kontinuitetsligningen for det betragtede system. Den styrende ligning for grundvandsstrømningen fås ved indsættelse af Darcy's lov i kontinuitetsligningen. I dette projekt er der arbejdet med en sandfyldt rende med indløb og udløb over hele rendens bredde, hvilket svarer til en 2D strømning i et frit grundvandsreservoir. Der er set på et lille vandmættet jordlegeme med kantlængderne x og y placeret omkring punktet P i den sandfyldte rende. For dette er Darcy's lov og kontinuitetsligningen opsat til at beskrive grundvandsstrømningen. Figur 4 Vertikalsnit gennem frit grundvandsreservoir. Darcy's lov er en empirisk formel, som blev opsat på baggrund af et simpelt forsøg til måling af konduktivitet. h vx = Kx x h vy = Ky y hvor v h K er Darcy hastigheden [m/s] er trykniveauet [m] er konduktiviteten [m/s] Hvis det lille vandmættede jordlegeme ses ud fra en kontinuitetsbetragtning, giver det: v v x y h + = Ss x y t hvor S s er den specifikke magasinkoefficient [m -1 ] Den specifikke magasinkoefficient kan opfattes som den vandmængde, der frigives pr. m 3 jord ved en trykniveauændring på ±1 m. Ved indsætning af Darcy's lov i kontinuitetsligningen fås:

8 Vandtransport file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\stromning_forside\stromning_forside.htm Page 2 of h h h Kx + K 2 y = S 2 s x y t Grundvandsstrømninger kan være stationære eller ikke-stationære. I den sandfyldte rende er der tilnærmet stationær strømning. Stationær strømning optræder, når størrelsen og retningen af strømningshastigheden ikke varierer i tiden for ethvert punkt i strømningsområdet. Hermed bliver højresiden i den styrende differentialligning for grundvandsstrømningen lig nul. h h Kx + = x y 2 2 K 0 2 y 2 Denne reducerede differentialligning ligger til grund for den videre opsætning af vandtransportdelen i de hydrologiske modeller, hvor den er løst numerisk. Det ses, at det er konduktiviteten, der er den styrende parameter for vandtransporten. Værdier for denne er bestemt dels gennem forsøg udført i den sandfyldte rende, dels ved modelkalibrering. Ved sammenligning af modellerede og observerede data, er modellernes evne til at simulere virkeligheden, og dermed kvaliteten af de estimerede værdier for konduktiviteten, vurderet. Der er arbejdet med to modeller. En model der er programmeret i Delphi samt en model sat op i Modflow (GMS). I de to modeller sker løsning af den styrende differentialligning for grundvandsstrømningen ved finitdifferensmetoden, som er en numerisk løsning. Her er den styrende differentialligning omskrevet til differensligninger. I egen model sker løsningen af differensligningerne gennem en Gauss-Seidel-iteration. Udskriv

9 Iterationsmetode file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\iterationsmetode\iterationsmetode.htm Page 1 of 1 Iterationsmetode Ved Gauss-Seidel, som er den mest benyttet iterationsmetoden til modellering af grundvandsstrømningsproblemer, foregår beregningen af trykniveauet systematisk gennem beregningsnettet, hvor beregningen "sweeper" fra venstre mod højre og op. Gauss-Seidel metoden kan udtrykkes som: (1.1) På denne måde kan der bruges resultater fra det aktuelle beregningstrin i den aktuelle beregning. Dette gør Gauss-Seidel metoden til en mere effektiv iterationsmetode end f.eks. Jacobi iterationsmetoden, der kun benytter resultater fra det foregående beregningstrin. Metoden kan dog være langsom til at konvergere, hvorfor der indføres en relaxationsfaktor. Relaxationsfaktor Forskellen mellem to beregningstrin benævnes residual, som er defineret som: (1.2) Figur 5 Gauss-Seidel iterationsmetoden "sweeper" gennem beregningsnettet fra venstre mod højre linie for linie. Ved at erstatte h m i,j med h m+1 i,j efter hvert beregningstrin stabiliseres residualet ved hver beregningscelle. Ved indførelse af en relaxationsfaktor multipliceres residualet med en relaxationsfaktor, ω, hvor ω 1. (1.3) Indsættes (1.3) i (1.1) fås (1.4) Hvis residualet ω > 1, siges det beregnede trykniveau at være over relaxed. Hvis 0 < ω < 1 siges det beregnede trykniveau at være under relaxed og hvis ω =1 reduceres (1.4) til (1.1). Den bedste metode til fastsættelse af relaxationsfaktoren er manuelt ved "trial and error" metoden, og generelt ligger den mellem 1 og 2. [Wang og Anderson, 1982] Udskriv

10 Strømningsforhold file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\blaekforsog\blaekforsog.htm Page 1 of 3 Strømningsforhold Strømningsforhold samt flow ved trykniveauvariationer gennem den sandfyldte rendes tre lag er fastlagt, og benyttet ved kalibrering af de to modeller. Flowet gennem renden ved forskellige trykniveauer er målt ved forsøg. Strømningsforholdene gennem de tre lag er dels vurderet rent visuelt ved at at sende printerblæk gennem den sandfyldte rende og dels ud fra målinger af stofkoncentrationen, målt som en ledningsevne i udløbskamret. Trykniveau og flow Flowet ud af den sandfyldte rende er ved opsætning af modellerne benyttet som kalibrerings- og valideringsmål. For at fastlægge flowet ved forskellige trykniveauer, er der udført forsøg ved tre forskellige trykniveauer. Her er trykniveauet i udløbskamret indstillet til tre forskellige værdier, hvorefter trykniveauerne inde i den sandfyldte rende samt flowet ud af renden er registreret. Ved hvert trykniveausmåling forløber forsøget sig over minimum tre døgn, for at sikre, at situationen er stationær. I nedenstående tabel er de observerede trykniveauer og flow vist. Tabel 7 Observerede trykniveauer inde i den sandfyldte rende og flowet ud af den ved de tre forskellige trykniveausituationer a, b og c. Enhed Trykniveausituation a Trykniveausituation b Trykniveausituation c Flow [l/s] 0,0042 0,0072 0,012 Indløbskammer [cm] 55,7 55,6 55,6 Udløbskammer [cm] 47,6 42,2 32,3 Stigrør 1 [cm] 55 54,9 54,7 Stigrør 2 [cm] 54, ,3 Stigrør 3 [cm] 54,6 54,1 63,6 Stigrør 4 [cm] 53,4 52,4 50,8 Stigrør 5 [cm] 54,4 53,8 53 Stigrør 6 [cm] 47,5 42,2 33,8 I nedenstående figur er flowet ud af renden optegnet som funktion af trykniveauet i udløbskamret for de tre situationer. Figur 6 Grafisk afbildning af flow ud af den sandfyldte rende som funktion af trykniveauet i udløbskamret. Det ses af figuren, at der er en lineær sammenhæng mellem flow ud af renden og trykniveauet i udløbskamret. Trykniveauerne inde i renden er benyttet ved opsætning af modellerne. Trykniveauet i stigrør 1 og 6 er benyttet som hhv. øvre og nedre randbetingelse, og trykniveauerne i de øvrige stigrør er sammen med flowet ud af den sandfyldte rende benyttet som kalibreringsmål. I nedenstående figurer er trykniveauerne i stigrørene inde i renden optegnet for de tre trykniveausituationer. Figur 7 Grafisk afbildning af trykniveauerne i de seks stigrør ved trykniveausituation a.

11 Strømningsforhold file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\blaekforsog\blaekforsog.htm Page 2 of 3 Figur 8 Grafisk afbildning af trykniveauerne i de seks stigrør ved trykniveausituation b. Figur 9 Grafisk afbildning af trykniveauerne i de seks stigrør ved trykniveausituation c. Af ovenstående figurer ses, at der på langs af det øverste lag, grus laget, er en meget lille gradient i alle tre trykniveausituationer. I det nederste lag, sandlaget, er der på langs af laget en gradient mellem stigrør 4 og 6. Det ses desuden, at trykgradienten fra det øverste til det nederste lag er meget lille ved øvre rand, mens den er størst ved nedre rand. Det forventes derfor, at strømningen i den første halvdel af renden fra øvre rand hovedsageligt er langsgående, mens den i den sidste halvdel af renden mod nedre rand i højere grad foregår på tværs af lagene. Sporstofforsøg med printerblæk Forsøget med printerblæk er udført ved stationært flow med en opløsning af 0,5 l printerblæk og 50 l hanevand. Opløsning er pumpet ind i indløbskamret, hvorfra det kan løbe ind i kassen (Forsøgsopstilling). For at opnå samme koncentration i indløbskammeret, som der er indpumpet, og dermed undgå en fortynding, er der tilsat en opløsning af printerblæk ved forsøgets start. Efter blækopløsningen er pumpet igennem, er der igen tilsat hanevand. Dette giver en usikkerhed, idet der sker en fortynding ved opblanding med vandet i indløbskamret, når der tilsættes hanevand. I udløbskammeret er koncentrationen målt, som en ledningsevne, med logger hvert femte minut. Der er taget et billede af renden hvert 10. minut for visuelt at vurdere strømningsforløbet. Forsøget er startet kl. 9.05, hvor blækopløsningen er tilsat, og kl er der skiftet til hanevand, hvorefter der fortsat er logget udløbskoncentration i to dage. Resultatet af den målte koncentration er ikke fundet brugbar, da ledningsevnen for blækopløsningen ikke var høj nok til at give udsving. Derfor er der kun set på det visuelle resultat af forsøget, som ses nedenfor ved at trykke på Start-Stop. << Forrige Start - Stop Næste >>

12 Strømningsforhold file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\blaekforsog\blaekforsog.htm Page 3 of 3 af Det er ved forsøget set, at strømningen i det øverste lag hovedsageligt foregår på langs af laget, mens den i den sidste tredjedel af renden trænger ned gennem det midterste lag og ned til det nederste og dermed udløbet. Dette stemmer også overens med de observerede trykniveauer, hvor den største gradient fra det øverste til det nederste lag ses ved nedre rand. I det midterste lag ses strømningen at foregå meget langsomt på tværs af laget, mens der igen i det nederste lag hovedsageligt er en langsgående bevægelse. Udskriv Rådata

13 Konduktivitet file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\konduktivitet\konduktivitet.htm Page 1 of 4 Konduktivitet Konduktiviteten, eller den hydrauliske ledningsevne, har en stor variation for forkellige jordtyper, hvor sand og grus generelt har en høj konduktivitet, mens silt og ler har en lav konduktivitet. Konduktiviteten er ikke kun afhængig af det porøse medium, men også af den strømmende væskes egenskaber og kan udtrykkes ved: hvor k ρ g K = µ k ρ g µ er permeabiliteten [m 2 ] er væskens densitet [kg/m 3 ] er tyngdeaccelerationen [m/s 2 ] er væskens dynamiske viskositet [kn s/m 2 ] Tabel 8 Typiske niveauer for konduktiviteten [Karlby et al., 2002]. Jordart Konduktivitet [m/s] Grus Sand Silt Ler Permeabiliteten afhænger udelukkende af jordskelettet, mens densiteten og den dynamiske viskositet er temperaturafhængig. I forbindelse med grundvandsstrømninger er det permeabiliteten, der er afgørende for konduktiviteten, da densiteten og den dynamiske vikositet som regel er konstante. [Karlby et al., 2002] Dog har det i forbindelse med det udførte forsøg været nødvendigt at korrigere for temperaturen, da strømningsforsøget er udført ved en temperatur på ca. 25 C og vandet gennem renden har en temperatur på ca. 10 C. Konduktiviteten for de tre jordtyper i den sandfyldte rende er bestemt ved strømningsforsøg. Formålet med strømningsforsøget er at bestemme størrelsesordenen af konduktiviteten, da en nøjagtig bestemmelse er vanskelig pga. de store usikkerheder, der er forbundet med denne type forsøg. Den bedste metode til bestemmelse af konduktiviteten er ved at udtage intakte prøver til forsøg, da jordskelettet herved bevares. Det har ikke været muligt at udtage intakt prøver til strømningsforsøg, da de tre jordtyper en meget porøse. I stedet er konduktiviteten for de tre jordtyper bestemt ved strømningsforsøg med pakkede prøver med forskellige lejringstætheder og dermed forskellige poretal, e. Der er efterfølgende opsat et udtryk, hvor konduktiviteten, K, kan bestemmes ud fra poretallet. Det er her antaget, at der er en lineær sammenhæng mellem konduktiviteten, K, og (e 3 /(1+e)). Poretallet for de tre sandtyper, som de er pakket i renden, er bestemt ud fra intaktprøver udtaget i den sandfyldte rende, hvorefter konduktiviteten for sandet, som det er pakket i renden, er bestemt. Grov sand og fin sand er pakket ved tre forskellige lejringstætheder og gruset ved én lejringstæthed. Forsøget er udført efter princippet skitseret i nedenstående figur. Figur 10 Forsøgsopstilling. Inden forsøgets start er der sat vakuum til jordprøven for at sikre et lufttomt system, da strømningen gennem prøven kan blive forstyrret, hvis der er luft i prøven, da luften kan spærre for vandets transport. Ved forsøg med grov og fin sand er prøverne vandmættet under vakuum, hvorefter der er fyldt vand 2 m over prøven i et standrør med en diameter på 2 cm. Efterfølgende er det målt, hvor lang tid det tager at lede vandet i standrøret gennem prøven. Standrøret er delt op i to dele, så strømningstiden for de to dele er den samme, hvormed det kan kontrolleres, om der er luft i

14 Konduktivitet file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\konduktivitet\konduktivitet.htm Page 2 of 4 prøven, da dette vil forstyrre strømningen så de to tider, t 1 og t 2, ikke er ens. Strømningstiderne t 1 og t 2 er kontrolleret og efterfølgende benyttet ved beregning af konduktiviteten. Ved forsøget med grus er der benyttet et standrør med en diameter på 4 cm. Herudover er forsøget udført som forsøgene med grov og fin sand. Ud fra tiderne t 1 og t 2 samt geometrien for prøven og standrøret, er den hydrauliske ledningsevne for hver af de pakkede prøver beregnet. hvor K a A L t 1 t 2 h 1 h 2 F S F P er konduktiviteten [m/s] er standrørets nominelle areal [m 2 ] er permeametrets nominelle areal [m 2 ] er prøvens længde [m] er strømtid 1 [s] er strømtid 2 [s] er trykniveau 1 [m] er trykniveau 2 [m] er korrektionsfaktor for standrør [-] er korrektionsfaktor for permeametret [-] Efterfølgende er konduktiviteten korrigeret for temperaturen i laboratoriet, hvor strømningsforsøgene blev udført. hvor k T,lab n T,lab g er permeabiliteten ved temperaturen T i laboratoriet [m 2 ] er den kinematiske viskositet for vand ved temperaturen T målt i laboratoriet [m 2 /s] er tyngdeaccelerationen [m/s 2 ] Der er efterfølgende beregnet en konduktivitet ved temperaturen i den sandfyldte rende, som er sat til 10 o C. hvor K T,rende n T,rende er konduktiviteten korrigeret for temperaturen i den sandfyldte rende [m/s] er den kinematiske viskositet for vand ved temperaturen målt i den sandfyldte rende [m 2 /s] Tabel 9 Konduktiviteter for de tre sandtyper efter korrektion for temperatur i laboratoriet og den sandfyldte rende. Temperaturen i renden er sat til 10 0 C. Grus Grov sand 1 Grov sand 2 Grov sand 3 Fin sand 1 Fin sand 2 Fin sand 3 Konduktivitet, K [m/s] 1,41E-3 1,4E-3 1,22E-3 9,0E-4 1,58E-3 1,06E-3 9,33E-4 Det ses af resultaterne af konduktiviteten i ovenstående tabel, at grus har en højere konduktivitet end grov og fin sand, hvilket også er forventeligt, jf. strømningsforsøg med printerblæk. Det ses også, at konduktiviteten for grov og fin sand ligger meget tæt, og i enkelte tilfælde er konduktiviteten for fin sand større end grov sand, hvilket umiddelbart ikke er forventeligt. Sammenlignet med generelle værdier for konduktiviteten, ligger de fundne værdier inden for intervallet for hhv. grus og sand. Det er dog store intervaller, hvorfor værdierne for de sandtyper, der her arbejdes med, let falder inden for. Poretallet, som angiver porevoluminet i forhold til kornvolumenet, er for hver af de tre sandtyper beregnet ud fra en korndensitet skønnet til 2,65 g/cm 3. hvor e w W d S er poretallet [-] er vandindholdet i prøven før den vandmættes [-] er prøvens vægt [g]

15 Konduktivitet file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\konduktivitet\konduktivitet.htm Page 3 of 4 r w er den relative densitet [-] V korr er vands densitet [g/cm 3 ] er det korrigerede volumen [cm 3 ] Tabel 10 Poretal for de tre sandtyper efter korrektion for temperatur i laboratoriet og den sandfyldte rende. Grus Grov sand 1 Grov sand 2 Grov sand 3 Fin sand 1 Fin sand 2 Fin sand 3 Poretal, e 0,72 0,48 0,46 0, Af ovenstående tabel ses det, at poretallene er størst for grus og fin sand og mindst for grov sand, hvilket indikerer, at grus og fin sand har er et større porevolumen i forhold til kornvoluminet end grov sand. Dette stemmer overens med at grov sand ikke er velsorteret, da de mindre fraktioner kan udfylde volumenet mellem de større fraktioner. Grus og fin sand er mere velsorteret, hvilket betyder, at kornstørrelsesfordelingen ikke strækker sig over et større interval, hvorved der opnås et større poretal. (Jordkarakteristik) Ud fra den beregnede konduktivitet og de beregnede poretal er der opsat et udtryk til bestemmelse af den reelle hydrauliske ledningsevne for grov og fin sand. Der er antaget en lineær sammenhæng mellem konduktiviteten, K, og, samt at linien skærer akserne i 0,0. Figur 11 Konduktiviteten som funktion af for grov sand. Figur 12 Konduktiviteten som funktion af for fin sand. For grus er konduktiviteten kun bestemt for et poretal, hvorfor der ikke kan opsættes en sammenhæng. Det er ved forsøget fundet at gruset har en høj konduktivitet, og den fundne værdi er benyttet for den sandfyldte rende, da det giver en indikation af, i hvilken størrelsesorden værdien ligger. Den ved forsøget fundne værdi for konduktiviteten er korrigeret for temperaturen i laboratoriet samt i den sandfylde rende, på samme måde som grov og fin sand. Ud fra intaktprøver udtaget i den sandfyldte rende, er poretallet for de tre sandtyper bestemt. Der ud fra er konduktiviteten bestemt. Tabel 11 Gennemsnitligt poretal samt konduktivitet for de tre sandtyper. Grus Grov sand Fin sand Poretal [-] 0,78 0,47 0,67 Konduktivitet[m/s] 1,41E-3 4,16E-4 2,65E-4

16 Konduktivitet file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\konduktivitet\konduktivitet.htm Page 4 of 4 Sammenlignet med generelle værdier for konduktiviteten, K, er de fundne værdier inden for det angivne interval. Udskriv Rådata

17 Diskretisering af Darcy's ligning file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\disk_model.htm Page 1 of 1

18 Diskretisering file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\disk.htm Page 1 of 2 Diskretisering af Darcy's ligning Til bestemmelse af grundvandsstrømningen er Darcy's ligning opsat og indsat i kontinuitetsligningen, hvormed den styrende ligning for grundvandsstrømningen er fremkommet. Der er opsat ligninger for celler syv forskellige steder i beregningsnettet. Ved klik på de enkelte situationer på ovenstående figur, fås opstilling af Darcy's ligning i kontinuitetsligningen for den valgte situation. Darcy's ligning: hvor dh q = K A q er flowet [m dx 3 /s] K er konduktiviteten [m/s] A er det gennemstrømmede areal [m 2 ] dh/dx er trykgradienten [-] Kontinuitetsligningen: hvor m er magasineringen [m 3 /s] q ind er flowet ind i den betragtede celle [m 3 /s] q ud er flowet ud af den betragtede celle [m 3 /s] Ligningerne er diskretiseret og efterfølgende løst numerisk. Diskretiseringen er udført efter princippet vist i nedenstående figur. Indekseringen er udført så x og y angiver den flade, der betragtes, og i denne sammenhæng angiver i og u, om der ses på flow hhv. ind eller ud af boksen. Til angivelse af hvilken boks der betragtes, er der anvendt indeksene i og j. i,j angiver den boks, der er taget udgangspunkt i. Boksene hhv. til højre for og over den boks der er taget udgangspunkt i, er indekseret med hhv. i+1,j og i,j+1, og boksene til venstre for og under den boks, der er taget udgangspunkt i, er indekseret med i-1,j og i,j-1. Figur 13 Afbildning af diskretisering af Darcy's lov Der er efterfølgende opsat kontinuitetsligninger ved to situationer, hhv. fyldte og delvis fyldte celler, hvori Darcy's ligning er indsat. Ud fra ovenstående figur er der opstillet følgende diskretiseringer af Darcy's ligning ved fyldte celler: hvor q K dx dy h er flowet [m 3 /s] er konduktiviteten [m/s] er boksstørrelsen i x-retningen [m] er boksstørrelsen i y-retningen [m] er trykniveauet [m] Delfyldte celler Når cellerne ikke er fyldte, sættes dy lig med dy effektiv

19 Diskretisering file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\disk.htm Page 2 of 2 dy dy dx h + h = h 2 h h = h 2 = 0 i 1, j i, j eff, i ½ i, j, bund i, j i+ 1, j eff, i+ ½ i, j, bund eff hvor dx eff er den effektive boksstørrelse i x-retningen [m] dy eff er den effektive boksstørrelse i y-retningen [m] h er trykniveauet ved boksens bund [m] i,j,bund h q = K dy xi i ½, j eff, i ½ h q = K dy xu i+ ½, j eff, i+ ½ h q = K dx yi i, j ½ h q = K dx yu i, j+ ½ eff h h i, j i 1, j i, j i, j 1 dy dx h i+ 1, j i, j dx h i, j+ 1 i, j dy Når cellerne er delfyldte, sættes dy lig med dy effektiv, og for flow ud af cellerne i y-retningen, q y,u, sættes dx lig med dx effektiv. dy effektiv angiver højden af den del af boksen, hvor der er vandfyldt. dyeff, i ½ dyeff, i+ ½ dx dxeff dyeff dyeff dx hi, j Ki ½, j + Ki+ ½, j + Ki, j ½ + Ki, j+ ½ = hi 1, j Ki ½, j + hi+ 1, j Ki+ ½, j + hi, j 1 Ki, j ½ dx dx dy dy dx dx dy hvor Løsningen af differensligningerne sker gennem en Gauss-Seidel-iteration. Udskriv

20 Venstre kant file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\vkant.htm Page 1 of 2 Venstre kant Ligningerne for celler på venstre kant er opsat efter princippet vist i nedenstående figur. Kontinuitetsligningen for celler på venstre kant: Figur 16 Afbildning af diskretisering af Darcy's lov for en celle ved venstre kant. Ligningerne for en fyldt celle på venstre kant er opstillet, og trykniveauet i den celle, hvor der er taget udgangspunkt, h i,j, er isoleret. dx sættes lig med dy: Efterfølgende er ligningerne for en delfyldt celle på venstre kant opstillet, og trykniveauet i celle i,j er isoleret.

21 Venstre kant file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\vkant.htm Page 2 of 2 hvor dy B= Ki+ ½, j dx dx C = Ki, j ½ dy dxeff D= Ki, j+ ½ dy eff, i+ ½ Udskriv

22 Nederste venstre hjørne file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\nvhjorne.htm Page 1 of 2 Nederste venstre hjørne Ligningerne for cellen i nederste venstre hjørne er opsat efter princippet vist i nedenstående figur. Kontinuitetsligningen for cellen i nederste venstre hjørne: Figur 19 Afbildning af diskretisering af Darcy's lov for cellen i nederste venstre hjørne. Ligningerne for en fyldt celle i nederste venstre hjørne er opstillet, og trykniveauet i den celle, hvor der er taget udgangspunkt, h i,j, er isoleret. dx sættes lig med dy: Efterfølgende er ligningerne for en delfyldt celle i nederste venstre hjørne opstillet, og trykniveauet i celle i,j er isoleret.

23 Nederste venstre hjørne file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\nvhjorne.htm Page 2 of 2 hvor dy B= Ki+ ½, j dx dxeff D= Ki, j+ ½ dy eff, i+ ½ Udskriv

24 Øverste kant file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\okant.htm Page 1 of 2 Øverste kant Ligningerne for celler på øverste kant er opsat efter princippet vist i nedenstående figur. Kontinuitetsligningen for celler på den øverste kant: Figur 14 Afbildning af diskretisering af Darcy's lov for en celle på øverste kant. Ligningerne for en fyldt celle på øverste kant er opstillet, og trykniveauet i den celle, hvor der er taget udgangspunkt, h i,j, er isoleret. dx sættes lig med dy: Efterfølgende er ligningerne for en delfyldt celle på øverste kant opstillet, og trykniveauet i celle i,j er isoleret. hvor

25 Øverste kant file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\okant.htm Page 2 of 2 dy A= Ki ½, j dx dyeff i B= Ki+ ½, j dx dx C = Ki, j ½ dy eff, i ½, + ½ Udskriv

26 Midten file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\midt.htm Page 1 of 2 Midten Ligningerne for midterceller er opsat efter princippet vist i nedenstående figur. Figur 17 Afbildning af diskretisering af Darcy's lov for en midtercelle. Kontinuitetsligningen for en midtercelle: Ligningerne for en fyldt midtercelle er opstillet, og trykniveauet i den celle, hvor der er taget udgangspunkt, h i,j, er isoleret. dx sættes lig med dy: Efterfølgende er ligningerne for en delfyldt midtercelle opstillet, og trykniveauet i celle i,j er isoleret.

27 Midten file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\midt.htm Page 2 of 2 hvor Udskriv

28 Nederste kant file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\nkant.htm Page 1 of 2 Nederste kant Ligningerne for celler på nederste kant er opsat efter princippet vist i nedenstående figur. Kontinuitetsligningen for en celle på nederste kant: Figur 20 Afbildning af diskretisering af Darcy's lov for en celle på nederste kant. Ligningerne for en fyldt celle på nederste kant er opstillet, og trykniveauet i den celle, hvor der er taget udgangspunkt, h i,j, er isoleret. dx sættes lig med dy: Efterfølgende er ligningerne for en delfyldt celle på nederste kant opstillet, og trykniveauet i celle i,j er isoleret.

29 Nederste kant file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\nkant.htm Page 2 of 2 hvor dy A= Ki ½, j dx dyeff i B= Ki+ ½, j dx eff, i ½, + ½ dxeff D= Ki, j+ ½ dy Udskriv

30 Øverste højre hjørne file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\ohhjorne.htm Page 1 of 2 Øverste højre hjørne Ligningerne for cellen i øverste højre hjørne er opsat efter princippet vist i nedenstående figur. Kontinuitetsligningen for cellen i øverste højre hjørne: Figur 15 Afbildning af diskretisering af Darcy's lov for cellen i øverste højre hjørne. Ligningerne for en fyldt celle i øverste højre hjørne er opstillet, og trykniveauet i den celle, hvor der er taget udgangspunkt, h i,j, er isoleret. dx sættes lig med dy: Efterfølgende er ligningerne for en delfyldt celle i øverste højre hjørne opstillet, og trykniveauet i celle i,j er isoleret.

31 Øverste højre hjørne file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\ohhjorne.htm Page 2 of 2 hvor dy A= Ki ½, j dx eff, i ½ dxeff D= Ki, j+ ½ dy Udskriv

32 Højre kant file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\hkant.htm Page 1 of 2 Højre kant Ligningerne for celler på højre kant er opsat efter princippet vist i nedenstående figur. Kontinuitetsligningen for en celle på højre kant: Figur 18 Afbildning af diskretisering af Darcy's lov for en celle på højre kant. Ligningerne for en fyldt celle på højre kant er opstillet, og trykniveauet i den celle, hvor der er taget udgangspunkt, h i,j, er isoleret. dx sættes lig med dy: Efterfølgende er ligningerne for en delfyldt celle på højre kant opstillet, og trykniveauet i celle i,j er isoleret.

33 Højre kant file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\disk\hkant.htm Page 2 of 2 hvor dy A= Ki ½, j dx dx C = Ki, j ½ dy dxeff D= Ki, j+ ½ dy eff, i ½ Udskriv

34 Modelopsætning for vandtransport file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\model\model_opsaet.htm Page 1 of 1 Modelopsætning for vandtransport Der er i de to modeller opsat en 2D model, som danner ramme om bestemmelse af vandtransporten gennem den sandfyldte rende. Der er i denne fysiske model fastsat en diskretiseringsgrad og opsat randbetingelser. På baggrund af målte trykniveauer og vandføring er de to modeller kalibreret med konduktiviteterne for de tre jordlag som kalibreringsparametre og efterfølgende valideret. Som udgangspunkt er de to modeller sat ens op, da de skal modellere samme strømningsproblem. Dog giver den valgte diskretisering problemer i GMS-modellen, da stedsskridtene ikke kan sættes små nok, hvilket er løst ved at skalere modellen op. Diskretisering Ved brug af strømningsligningerne kræves det, at beregningsområdet opdeles i beregningsceller eller beregningsbokse, der tilsammen danner et beregningsnet. Dette beregningsnet kan have en større eller mindre stedslig diskretisering, som har betydning for, hvor god beskrivelsen af de virkelige forhold er. Det er valgt at anvende en boksstørrelse på 1 cm, hvilket har givet problemer i GMS-modellen, da der her ikke kan anvendes boksstørrelser i beregningsnettet mindre end 10 cm. Det har derfor været nødvendig at skalere den fysiske model op, dvs. den sandfyldte rende. Dette er gjort med en faktor 20, hvilket bevirker, at 1 cm i den fysiske model svarer til 20 cm i GMS modellen. Skaleringen af andre størrelser, der indgår i modellen, som eksempelvis vandføring og konduktivitet, sker ved anvendelse af Froudes modellov. Dette er dog senere vurderet, at ved strømning gennem jord er det Reynolds' modellov der bør anvendes. I det udførte modelleringsarbejde er der først anvendt Froudes modellov, men det er efterfølgende i diskussionen kontrolleret om valget af modellov har betydning for modelresultatet. Randbetingelser Stigrørene, som er placeret tre steder langs strømningsretningen i det øverste og nederste lag, gør, at det er muligt at aflæse trykniveauer forskellige steder i modellen som følge af de valgte randbetingelser. Trykniveauet, der er aflæst i stigrør nr. 1 og nr. 6, anvendes som hhv. øvre og nedre randbetingelse, da der fra indløbskamret og ind i kassen og fra kassen og ud i udløbskamret sker et trykfald over det indsatte filter. (Forsøgsopstilling) Figur 21 Diskretisering og randbetingelser for de to modeller samt kalibreringspunkter. Udskriv

35 Modelskalering file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\modelteori\modelteori.htm Page 1 of 1 Modelskalering I modelleringsprogrammet modflow (GMS), er den mindst mulige boksstørrelse 10 cm. Det betyder, at den stedlige diskretisering af den sandfyldte rende ikke kan gennemføres med samme boksstørrelse som i egen model. For at løse dette problem, og opnå samme stedlige diskretisering i de to modeller, er den sandfyldte rende skaleret op. Det betyder, at størrelser i den fysiske model og den numeriske model ikke er ens. Ved modelforsøg, ønskes der tre slags ligedannethed mellem model og natur. [Brorsen og Larsen, 2001] Geometrisk ligedannethed Kinematisk ligedannethed Dynamsik ligedannethed Geometrisk ligedannethed Når forholdet mellem alle ensbeliggende længder i natur og model er det samme, opnås geometrisk ligedannethed. Forholdet mellem længderne betegnes længdeskalaen, λ L. Det ønskes at anvende en boksstørrelse i modellen (GMS) på 20 cm, der svarer til 1 cm i naturen (sandrenden). Der fås derfor følgende længdeskala. [Brorsen og Larsen, 2001] Kinematisk ligedannethed Der opnås kinematisk ligedannethed, når forholdet mellem hastighedsvektorene til alle ensbeliggende partikler til enbeliggende tidspunkter i natur og model er det samme. Dette forhold kaldes hastighedsskalaen: [Brorsen og Larsen, 2001] Tidsskalaen fastlægges som: v λ V = v λl λt = λ V N M Dynamisk ligedannethed Der opnås dynamisk ligedannethed, når alle kræfter skaleres ens. Det er dog sjældent muligt at opnå fuld dynamisk ligedannethed. Derimod er det i mange tilfælde muligt at opnå tilnærmet dynamisk ligedannethed. Det kræver, at enten tyngdekraften eller den viskose forskydningskraft er dominerende ved dannelse af trykkræfter på en væskepartikel. [Brorsen og Larsen, 2001] I dette tilfælde er tyngdekraften dominerende, da strømningen forgår med frit vandspejl, dvs. der er atmosfæretryk ved grundvandsspejlet. Det betyder, at Froudes modellov kan anvendes. Denne siger, at dynamisk ligedannethed opnås ved lighed mellem Froudes tal i naturen og modellen. Ifølge Froudes modellov, kan betingelsen for dynamisk ligedannethed udtrykkes som: Dvs. hastighedsskalaen er fastlagt. Benyttes herefter udtrykket for tidsskalaen, findes at På samme måde findes skalaen for vandføring som: Skalaen for konduktivitet findes som: Det ses her, at når tyngdekraften er den dominerende kraft, er alle skalaer fastlagt, når længdeskalaen er valgt. Udskriv

36 Følsomhedsanalyse af vandtransportmodel file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\folsomhedsanalyse_vand\folsomhedsanalyse_vand.htm Page 1 of 2 Følsomhedsanalyse af vandtransportmodel Ved udførelse af følsomhedsanalysen for både GMS-modellen og egen model, har det været muligt at se, hvordan de enkelte parametre, som er styrende for vandtransporten, har betydning for resultatet, og hvor høj en grad af følsomhed der er på de enkelte parametre. Dette er anvendeligt dels gennem kalibreringsprocessen og dels ved en vurdering af værdierne på de estimerede parametre. Et veldefineret kalibreringsproblem forudsætter, at løsningen er følsom for de parametre, der indgår i kalibreringsprocessen. Det er således muligt gennem følsomhedsanalysen at vurdere, hvorvidt modellen er følsom for de parametre, der ønskes medtaget i kalibreringen. Når kalibreringen er gennemført, kan usikkerheden på de bestemte værdier vurderes med udgangspunkt i, hvor følsom modellen er for de enkelte parametre. Er der en meget lille følsomhed på en parameter, kan den tilsvarende være estimeret med en større usikkerhed. Som det er vist ved de styrende ligninger for vandtransporten, er det konduktiviteten, der i dette system er den styrende parameter, som vil indgå i kalibreringen af vandtransportmodellerne. Det er derfor også denne parameter, der indgår i den udførte følsomhedsanalyse. Følsomheden for de simulerede værdier er vurderet ved en dimensionsløs følsomhedsanalyse, der kan benyttes til at vurdere observationsværdier mod en estimeret parameter og de estimerede parametres betydning for beregningsresultatet. Den dimensionsløse følsomhed, ss ij, er beregnet som ss y, i 12 ij = K jω ii K j hvor y ' i er den simulerede værdi knyttet til i observation K j er den estimerede parameter ω ii er en vægtning af observationen og er den reciprokke værdi af standardafvigelsen på i observation ( ) ( ), y yi K yi K + K i = K j K Følsomhedsanalysen er udført for de tre jordlags estimerede konduktiviteter med udgangspunkt i de observerede trykniveauer samt flow ud af renden. Modellens følsomhed overfor de estimerede parametre er vurderet gennem en komposit følsomhedsanalyse, der benytter alle observationer til en samlet vurdering af enkelte parameters betydning for modellen. Den komposite følsomhed, css j, er beregnet som n 2 css j = ( ssij) / n i= 1 K 12 hvor n er antal benyttede observationer På nedenstående figurer ses resultatet af følsomhedsanalysen for de to modeller. Figur 22 Følsomhedsanalyse for konduktiviteten bestemt vha. GMS-modellen.

37 Følsomhedsanalyse af vandtransportmodel file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\folsomhedsanalyse_vand\folsomhedsanalyse_vand.htm Page 2 of 2 Figur 23 Følsomhedsanalyse for konduktiviteten bestemt vha. egen model. Som det ses ud fra figurerne, er følsomhederne for de to modeller næsten ens, hvilket også var forventeligt. Der er dog en mindre forskel på nogle af parametrene. Dette kan skyldes, at modellernes følsomhed er beregnet ud fra to modelopsætninger, der mht. konduktiviteterne ikke har været helt ens. Dette vil give en forskel, hvis sammenhængen mellem konduktivitet og trykniveau ikke er lineær. Af følsomhedsanalysen ses det, at alle tre parametre har indflydelse på resultatet, men at modellerne er mest følsomme overfor K2 og K3. Udskriv Excelberegning

38 Kalibrering file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\kalibrering\kalibrering.htm Page 1 of 2 Kalibrering Med udgangspunkt i de styrende differentialligninger for det betragtede system er det vist, at det er konduktiviteten, der er den centrale styrende parameter for vandtransporten. Denne er bestemt i de to modeller ved kalibrering. Ved at betragte det udførte strømningsforsøg ses det, at strømningen foregår hurtigst i det øverste lag og langsomst i det midterste og det nederst lag. Her er det det midterste lag, hvor strømningen foregår med den mindste hastighed. Dette giver på forhånd en indikation af det interne forhold mellem konduktiviteterne for de tre lag. De øvrige trykniveauer samt det målte flow ud af systemet anvendes ved kalibrering af modellen. Der er derfor fire trykniveauobservationer samt en flowobservation til rådighed for kalibreringsprocessen. For at kalibreringsproblemet er veldefineret, kræves det, at parameterløsningen er identificerbar, unik og stabil. Løsningen er identificerbar, hvis den kan findes ud fra de observerede data, og den er samtidig unik, hvis der kun kan findes én løsning. Dvs. at der kun er et sæt af parametre, der i modellen kan simulere de observerede data. Et krav for at opnå en unik løsning er, at antallet af parametre og variable, der skal estimeres, er mindre end eller lig med antallet af observationer. Dette er tilfældet her, da der er fire trykobservationer samt en flowobservation til rådighed, mens der som kalibreringsparametre er medtaget den horisontale konduktivitet for hver af de tre lag, dvs. der er tre parametre, der er estimeret. Kalibreringsprocessen er i begge modeller startet med en manuel kalibrering efter "trial and error" princippet, hvor der er gennemført en række modelsimuleringer, hvor de enkelte parametre er ændret efter hver simulering. På denne måde tilnærmes systemet en løsning. I GMS er der efterfølgende gennemført invers modellering ved anvendelse af PEST, hvor parameterestimeringen sker ved en systematisk justering af de enkelte parametre for en minimering af objektivfunktionen. Der er opsat et kalibreringskriterium ud fra en vurdering af usikkerhederne på de observerede trykniveauer. Der er her valgt at kalibrere efter den observerede værdi ± 1 mm. GMS-model Egen model Efter kalibreringen simulerer både GMS-modellen og egen model trykniveauer og flow inden for det opsatte kriterium. Ved at se på strømningens udbredelsesretning i det øverste lag ved det udførte sporstofforsøg ses det, at den i størstedelen af laget foregår på langs af laget. Dette bør resultere i lodrette potentialer i det øverste lag, da en strømning altid foregår vinkelret på potentialelinjerne. Desuden bør potentialerne ligge med stor afstand, da det ved at betragte de observerede trykniveauer er set, at der kun er en meget lille gradient på langs af laget i det øverste lag. I det midterst lag udbredes strømningen hovedsagelig i lodret retning, og kun i ringe grad på langs af laget, og der er derfor forventet potentialer, der i højere grad end i det øverste lag er vandrette. I det nederste lag ses der igen en strømning, der er dominerende i længderetningen, hvilket især gør sig gældende i nærheden af udløbet. Derfor bør potentialelinjerne igen være mere lodrette. De bør desuden ligge tættere end i det øverste lag, da der forekommer en større gradient på langs af laget. Dette strømnings- og potentialebillede ses afspejlet i de kalibrerede modeller. GMS-model Egen model Figur 25 Trykvariation i systemet ved den kalibrerede model for hhv. GMS og egen model. De estimerede konduktiviteter er som forudset ved strømningsforsøg, hvor den største værdi er fundet for det øverste lag med

39 Kalibrering file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\kalibrering\kalibrering.htm Page 2 of 2 grus, en noget mindre værdi for det nederste lag med grov sand og den mindste værdi for det midterste lag med fin sand. Tabel 13 Estimerede parameterværdier for den horisontale konduktivitet gennem kalibreringen. Konduktivitet grus (K1) Konduktivitet fin sand (K2) Konduktivitet sand (K3) [m/s] [m/s] [m/s] GMS-model 1,26E-2 7,81E-5 2,77E-4 Egen model 1,29E-2 7,80E-5 2,73E-4 Afvigelse i % 7,0 0,0 2,5 Der ses en forskel i de estimerede konduktiviteter for de to modeller. For det øverste lag med grus er der en forskel på 7 %, i det nederste lag med grov sand er der en forskel på 2,5 %, mens de estimerede konduktiviteter for det midterste lag med finsand er ens. Gennem følsomhedsanalysen blev det vist, at modellerne var mindst følsom overfor konduktiviteten for grus, og det ses således også her, at netop gruslaget er bestemt med den største afvigelse mellem de to modeller. Udskriv

40 Validering file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\validering\validering.htm Page 1 of 1 Validering I valideringen er der benyttet trykniveauer og flow fra det udførte strømningsforsøg i den sandfyldte rende, hvor der blev observeret trykniveauer og flow under påvirkning af tre forskellige randbetingelsessituationer. Trykniveauet i indløbskammeret er holdt konstant, mens trykniveauet i udløbskammeret har været hhv. høj, mellem og lavt. Den første situation med højt trykniveau i udløbskammeret, dvs. den mindste gradient og dermed det mindste flow gennem systemt, blev anvendt ved kalibreringen. Den anden situation med mellem trykniveau i udløbskammeret, og de dertilhørende observerede trykniveauer og flow er anvendt ved valideringen. Her indføres de nye randbetingelser i den kalibrerede model, hvorefter en modelsimulering giver en række nye beregnede trykniveauer, som er sammenlignet med de observerede. GMS-model Egen model Som ved kalibreringen er der opsat et valideringskriterium på ± 1 mm af den observerede værdi. GMS-modellen giver et tilfredsstillende valideringsresultat med en RMSE værdi på 0,050. Dog er der et enkelte beregnet trykniveau, som ligger udenfor kravet på ± 1 mm, men da denne afvigelse, der er på 2 mm, kun svarer til 0,4 % af den observerede værdi, er valideringen accepteret. For egen model giver valideringsresultatet en RMSE værdi på 0,055, hvilket er højere end for kalibreringsresultatet, der havde en RMSE værdi på 0,023. Hvis der ønskes en bedre kalibrering indenfor en overskuelig tidsramme, vil det være oplagt at bruge invers modellering i form at PEST til en efterfølgende justering af parametrene. Udskriv

41 Kalibrering af vandtransport i GMS file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\gms_kali_vali\gms_kali_vali.htm Page 1 of 3 Kalibrering af vandtransport i GMS Kalibreringsprocessen er startet med en manuel kalibrering ved "trial and error" princippet. Her er der gennemført en række modelsimuleringer, hvor der efter hver simulering er ændret på kalibreringsparametrene, så der på denne måde er tilnærmet en løsning. Efterfølgende er der gennemført invers modellering ved brug af PEST, hvor de enkelte parameterværdier ændres systematisk for en minimering af objektivfunktionen. Den færdigkalibrerede model vurderes slutteligt i forhold til det udførte sporstofforsøg og de observerede trykniveauer. Som kalibreringsmål er der anvendt fire trykobservationer samt en flow observation. De observerede trykniveauer, der er anvendt som kalibreringsmål, samt de beregnede værdier med den færdigkalibrerede model ses i nedenstående tabel. Tabel 14 Kalibreringsmål (observerede trykniveauer) og beregnede trykniveauer. Modellen beregner trykniveauerne med en RMSE værdi på 0,025. Observeret trykniveau Beregnet trykniveau Afvigelse [cm] [cm] [cm] Stigrør 2 54,5 54,4-0,1 Stigrør 3 54,6 54,6 0,0 Stigrør 4 53,4 53,5 0,1 Stigrør 5 54,4 54,4 0,0 Resultatet er vist ved en grafisk afbildning af de beregnede trykniveauer med hhv. øvre og nedre grænse for kalibreringsmålet, fastsat ud fra de observerede værdier og den valgte usikkerhed på disse. Figur 26 Grafisk afbildning af kalibreringresultatet. (Exelberegning) Det observerede og beregnede flow ud af systemet er vist i nedenstående tabel. Tabel 15 Kalibreringsmål (observeret flow) og beregnet flow. Observeret flow Beregnet flow Afvigelse [l/s] [l/s] [l/s] Flow 4,167E-3 4,167E-3 0,0 De estimerede værdier for den horisontale konduktivitet i de tre lag ses af nedenstående tabel. Som forventet er der fundet den største værdi for det øverste gruslag (K1), mens den mindste værdi er fundet for det midterste lag med fin sand (K2). Tabel 16 Estimerede parameterværdier for den horisontale konduktivitet gennem kalibreringen med angivelse af 95 % konfidensinterval. Parameter Enhed Estimeret værdi Nedre 95 % konfidensinterval Øvre 95 % konfidensinterval Konduktivitet grus K1 m/s 1,26E-2 0,92E-2 1,72E-2 Konduktivitet fin sand K2 m/s 7,81E-5 6,33E-5 9,65E-5 Konduktivitet sand K3 m/s 2,77E-4 2,25E-4 3,40E-4 De estimerede konduktiviteter er log-normalfordelte, hvilket betyder, at 95 % konfidensintervallerne angivet i tabellen ikke er symmetriske omkring den estimerede værdi. Størrelsen på intervallerne kan anvendes ved en vurdering af, hvor stor usikkerhed der er på estimeringen. Det største interval er fundet for gruslaget, hvor det nedre og øvre interval svarer til hhv. 27 og 37 % af den estimerede værdi. De øvrige intervaller svarer til mellem 19 og 23 % af de estimerede værdier. Det ses derfor, at konduktiviteten for gruslaget som udgangspunkt er bestemt med den største usikkerhed, hvilket også har været forventelig i forhold til følsomhedsanalysen, hvor modellen var mindst følsom for ændringer i konduktiviteten i gruslagt. Den færdigkalibrerede model giver en trykvariation i systemet som vist i nedenstående figur.

42 Kalibrering af vandtransport i GMS file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\gms_kali_vali\gms_kali_vali.htm Page 2 of 3 Figur 27 Trykvariation i systemet ved den kalibrerede model. Skalaen angiver tryk i modellen i m. Ved at betragte det udførte sporstofforsøg ses det, at strømningen foregår hurtigst i det øverste lag og langsomst i det midterste og det nederst lag. Her er det det midterste lag, hvor strømningen foregår med den mindste hastighed. Dette ses også afspejlet i de estimerede konduktiviteter, hvor der er fundet den største værdi for det øverste gruslag, en noget mindre værdi for det nederste lag med grov sand og den mindste værdi for det midterste lag med fin sand. De beregnede trykniveauer ses at ligge indenfor de valgte intervaller på de enkelte kalibreringsmål. Den kalibrerede model betragtes dog ikke som anvendelig, før der er sket en validering med tilfredsstillende resultat. Validering af vandtransport i GMS Ved de udførte strømningsforsøg i den sandfyldte rende, blev der observeret trykniveauer og flow under påvirkning af tre forskellige randbetingelsessituationer. Trykniveauet i indløbskammeret er holdt konstant, mens trykniveauet i udløbskammeret har været hhv. højt, mellem og lavt. Den første situation med højt trykniveau i udløbskammeret, dvs. den mindste gradient og dermed det mindste flow, gennem systemet, blev anvendt ved kalibreringen. Den anden situation med mellem trykniveau i udløbskammeret, og de dertilhørende observerede trykniveauer og flow er anvendt ved valideringen. Her indføres de nye randbetingelser i den kalibrerede model, hvorefter en modelsimulering giver en række nye beregnede trykniveauer. Disse sammenlignes med de observerede trykniveauer, hvorigennem modellen valideres. Af nedenstående tabel fremgår de observerede trykniveauer anvendt ved validering samt de beregnede trykniveauer med den kalibrerede model. Tabel 17 Validering af GMS vandtransport modellen. For trykniveauerne skaleret til den fysiske model er der en RMS værdi på 0,050. Observeret trykniveau Beregnet trykniveau Afvigelse [cm] [cm] [cm] Stigrør 2 54,0 53,9-0,1 Stigrør 3 54,1 54,3 0,2 Stigrør 4 52,4 52,3-0,1 Stigrør 5 53,8 53,9 0,1 Der ses her en tendens til en lidt større afvigelse end ved kalibreringen. Det ses også ved at sammenligne RMS værdierne for trykniveauerne for hhv. kalibrering og validering. Her er der for kalibreringen fundet en værdi på 0,025, mens der for valideringen er fundet en værdi på 0,050. Resultatet er afbilledet i nedenstående figur. Figur 28 Grafisk afbildning af valideringsresultatet. (Exelberegning)

43 Kalibrering af vandtransport i GMS file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\gms_kali_vali\gms_kali_vali.htm Page 3 of 3 I det nederste lag (stigrør 2 og 4) simuleres trykniveauerne lavere end de observerede, mens de i det øverste lag (stigrør 3 og 5) simuleres højere end de observerede. Når de beregnede værdier er fordelt både over og under de observerede, tyder det på en mindre tilfældig fejl i modellen, hvorimod beregnede værdier, der konsekvens er simuleret for højt eller for lavt, indikerer en mere systematisk fejl i modellen [Sonnenborg, 2001]. En enkelt simuleret værdi ligger umiddelbart uden for det opsatte interval på de enkelte observationer på ±1 mm med en afvigelse på 2 mm, hvilket på denne observation svarer til 0,4 % i forhold til den observerede værdi. I nedenstående tabel er det observerede flow til brug i valideringen samt det beregnede flow vist. Tabel 18 Observeret og beregnet flow ved valideringen. Observeret flow Beregnet flow Afvigelse [l/s] [l/s] [l/s] Flow 7,17E-3 6,88E-3-0,29E-3 Det vælges, som følge af den forholdsvis lille afvigelse mellem observeret og beregnet tryk og de beregnede værdiers placering både over og under de observerede, at acceptere valideringen. Udskriv

44 Kalibrering af vandtransport i egen model file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\egenmodel_kali_vali\egenmodel_kali_vali.htm Page 1 of Kalibrering af vandtransport i egen model Kalibreringer af egen model er foretaget som en manuel kalibrering ved "trial and error" princippet. Her er der gennemført en række modelsimuleringer, hvor kalibreringsparametrene er justeret efter hver simulering, så der på denne måde er tilnærmet en løsning. Efter kalibreringen er modellen vurderet i forhold til det udførte sporstofforsøg og de observerede trykniveauer. Der er anvendt fire trykobservationer samt en flow observation som kalibreringsmål. De observerede trykniveauer, der er anvendt som kalibreringsmål, samt de beregnede værdier med den færdigkalibrerede model ses i nedenstående tabel. Tabel 19 Observerede trykniveauer og beregnede trykniveauer ved den færdigkalibrerede model, med en RMSE værdi på 0,023. Observeret trykniveau Beregnet trykniveau Afvigelse [cm] [cm] [cm] Stigrør 2 54,5 54,4 0,1 Stigrør 3 54,6 54,6 0,0 Stigrør 4 53,4 53,5 0,1 Stigrør 5 54,4 54,4 0,0 Resultatet er vist ved en grafisk afbildning af de beregnede trykniveauer med hhv. øvre og nedre grænse for kalibreringsmålet, som er den observerede værdi ± 1 mm. Figur 29 Grafisk afbildning af kalibreringsresultatet. (Exelberegning) Det ses, at de beregnede trykniveauer ligger indenfor det valgte kalibreringskriterium. Det observerede og beregnede flow ud af systemet er vist i nedenstående tabel. Tabel 20 Observeret flow og beregnet flow for den færdigkalibrerede model. Observeret flow Beregnet flow Afvigelse [l/s] [l/s] [l/s] Flow 4,17E-3 4,13E-03-3,23E-5 De estimerede værdier for den horisontale konduktivitet i de tre lag ses af nedenstående tabel. Som forventet er der fundet den største værdi for det øverste gruslag (K1), mens den mindste værdi er fundet for det midterste lag med fin sand (K2). Tabel 21 Estimerede parameterværdier for den horisontale konduktivitet. Konduktivitet grus (K1) Konduktivitet fin sand (K2) Konduktivitet sand (K3) [m/s] [m/s] [m/s] 1,29E-2 7,80E-5 2,73E-4 Den færdigkalibrerede model giver en trykvariation gennem renden som vist i nedenstående figur.

45 Kalibrering af vandtransport i egen model file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\egenmodel_kali_vali\egenmodel_kali_vali.htm Page 2 of Figur 30 Trykvariation i systemet ved den kalibrerede model. Skalaen angiver tryk i modellen i cm. Den kalibrerede model betragtes ikke som anvendelig, før der er sket en validering med tilfredsstillende resultat. Validering af vandtransport i egen model Af nedenstående tabel fremgår de observerede trykniveauer anvendt ved validering samt de beregnede trykniveauer med den kalibrerede model. Tabel 22 Validering af vandtransport i egen model med en RMSE værdi på 0,055. Observeret trykniveau Beregnet trykniveau Afvigelse [cm] [cm] [cm] Stigrør 2 54,0 54,0 0,0 Stigrør 3 54,1 54,3 0,2 Stigrør 4 52,4 52,4 0,0 Stigrør 5 53,8 53,9 0,1 Resultatet af valideringen er grafisk afbilledet i nedenstående figur. Figur 31 Grafisk afbildning af valideringsresultatet. (Exelberegning) Det ses ved at sammenligne RMSE værdierne for trykniveauerne for hhv. kalibrering og validering, at RMSE værdien for valideringsresultatet er højere end RMSE værdien for kalibreringsresultatet. Der er for kalibreringen fundet en RMSE værdi på 0,023, mens der for valideringen er fundet en RMSE værdi på 0,055. Kalibreringen bør altid passe bedre end valideringen, og da dette her er tilfældet, antages det, at modellen er kalibreret tilfredsstillende. Tabel 23 Observeret og beregnet flow med den færdigkalibrerede model. Observeret flow Beregnet flow Afvigelse [l/s] [l/s] [l/s] Flow 7,17E-03 6,91E-03-2,58E-4 Det ses, at modellen underestimerer flowet gennem renden med 0,26 ml/s, hvilket svarer til 3,6 % af den observerede værdi.

46 file://c:\docume~1\bjarne~1\lokale~1\temp\tripfedo.htm Side 1 af Stoftransport I de hydrologiske modeller, der er opsat i dette projekt, er det forsøgt at koble en stoftransport på det aktuelle strømningsproblem. Ved stoftransport i grundvandet er der, som ved vandtransport, mange ukendte parametre. For at skabe et overblik over hvilke parametre der er essentielle for stoftransport gennem grundvandet, er der set på de styrende ligninger for stoftransport ved en grundvandsstrømning. I forbindelse med stoftransport i grundvandet er der følgende transportprocesser: Advektion Dispersion Diffusion Sorption Sorption til jordpartiklerne er i forbindelse med modellering af stofudbredelsen af kaliumklorid ikke relevant, da dette er en konservativ tracer. Advektion er den reelle vandhastighed og beskriver den stoftransport, der sker med porevandshastigheden. v K dh v = a θ = θ dx eff eff hvor v a v K θ eff dh/dx er porevandshastigheden [m/s] er filterhastigheden [m/s] er konduktiviteten [m/s] er den effektive porøsitet [cm 3 /cm 3 ] er den hydrauliske gradient [cm 3 /cm 3 ] Stoffet vil sprede sig fra grundvandets strømningsretning pga. hydrodynamisk dispersion, som vil forårsage fortynding af stoffet. Dispersion kan skyldes både diffusion og mekanisk dispersion. Diffusionsprocessen har kun betydning ved lave transporthastighe og kan derfor negligeres. Mekanisk dispersion kan foregå både på mikroskopisk niveau (poreniveau) og makroskopisk niveau. Dispersionen beskriver stoffets udbredelse og kan matematisk beskrives ved en langsgående og en tværgående. Den langsgåend dispersionskoefficient kan bestemmes som: D = α v L L a hvor v a α L er porevandshastigheden [m/s] er den langsgående dispersivitet [s] Den langsgående dispersivitet afhænger af porevandshastigheden og kan variere med porestørrelsen og friktion gennem porerne [Fetter, 2001] Den tværgående dispersionskoefficient kan bestemmes som D = α v T T a hvor v a α T er porevandshastigheden [m/s] er den tværgående dispersivitet [s]

47 file://c:\docume~1\bjarne~1\lokale~1\temp\tripfedo.htm Side 2 af Den tværgående dispersivitet afhænger af porevandshastigheden og kan som den langsgående varierer med porestørrelsen og friktion gennem porerne [Fetter, 2001]. Til beskrivelse af dispersionsfluxen i en grundvandsstrømning benyttes Ficks 1. lov for en 2D strømning. dc dc F = DL DT dx dy hvor F C er fluxen [m 3 /s] er stofkoncentrationen [g/m 3 ] For at beskrive den totale flux i en grundvandsstrømning kombineres Ficks 1. lov med et advektionsled. dc dc Ftot = va C θ eff DL eff DT eff dx θ dy θ hvor F tot er den totale flux [m 3 /s] Dette kan omskrives til en advektion-dispertion ligning ved at indsætte Ficks lov i kontinuitetsligningen (2D strømning). 2 2 θc C C = DL θ + D ( ) ( ) 2 T θ v 2 a C θ va C θ t x y x y Denne ligning er på en reduceret form, da der er set bort fra reaktions- og kilde/drænled, da disse ikke er vigtige for parameterbestemmelsen. Denne advektion-dispersion ligning bruges af GMS til bestemmelse af stoftransporten. I egen model er stoftransporten beskrevet ved en statistisk partikelspredningsmodel. [Jensen, 2003] x = v t+ r 2 α v t + r 2 α v t x 1 x, x x 2 x, y y y = v t+ r 2 α v t + r 2 α v t y 1 y, x x 2 y, y y hvor r 1, r 2 v, v x y t D x,x, D y,y D x,y, D y,x er tilfældige Gauss enhedsfordelte tal [-] er porevandshastigheden [m/s] er tidsskridtet [s] er den langsgående dispersivitetskoefficient [m] er den tværgående dispersionskoefficient [m] Ved partikelspredningsmodellen er der sendt et antal partikler ind i den sandfyldte rende ved indløbsranden. Deres vandring gennem renden er beskrevet ved en flytning i henholdsvis x og y retningen, som er afhængig af porevandshastigheden, dispersiviteten og tilfældige Gauss enhedsfordelte tal. Gauss enhedsfordelte tal er karakteristiske ved at have en middelværdi på 0 og en spredning på 1. I forbindelse med stoftransport i grundvandet ses det af ovenstående, at dispersiviteten og den effektive porøsitet er vigtige parametre. Disse er forsøgt bestemt gennem en kalibrering, hvor stoftransportsdelen er kalibreret med resultatet fra sporstofforsøg med kaliumklorid som kalibreringsmål. Udskriv

48 Sporstofforsøg file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\stoftransport_kcl\stoftransport_kcl.htm Page 1 of 3 Sporstofforsøg Til bestemmelse af stoftransporten og -spredningen i den sandfyldte rende er der udført transport- og spredningsforsøg, hvor der er optegnet gennembrudskurver ud fra udløbskoncentrationen af Kaliumchlorid (KCl). Ud fra gennembrudskurverne er dispersiviteten, α, bestemt ved kalibrering af modelparametrene. Der er bestemt en effektiv dispersivitet, α effektiv, for hele den sandfyldte rende, og ikke en dispersivitet, for hver af de tre typer sand. Forud for forsøget er der bestemt et interval, hvor ledningsevnemåleren kan anvendes. Dette er gjort ved at lave seks KClopløsninger, hvor ledningsevnemåleren er afprøvet, og det er efterfølgende undersøgt, om der er en lineær sammenhæng mellem koncentration og ledningsevne. Tabel 24 Koncentration og spændingsforskelle ved afprøvning af ledningsevne-måler. Koncentration Ledningsevne [mol/l] 0, (Out of range) 0, (Out of range) 0, , , Figur 32 Lineær sammenhæng mellem koncentration og ledningsevne ved de seks forskellige opløsninger. De to punkter,0.1;15190 og 0.05;15190, er ikke taget med i lineariseringen, da koncentrationen ligger udenfor ledningsevnemålerens anvendelsesområde. Ud fra ovenstående er det valgt at benytte en opløsning med en koncentration på 0,0167 M. Der er lavet 90 l af opløsningen, som er pumpet ind i indløbskammeret, hvorfra det kan løbe ind i den sandfyldte rende. Fra indløbskamret er der ført et overløb ned i karret med opløsningen. Figur 33 Forsøgsopstilling. Opløsningen pumpes fra karet i nederste venstre hjørne til indløbskamret i rendens venstre side. Fra indløbskamret er der et overløb, som fører tilbage til karet. Fra udløbskamret i rendens højre side er der også et udløb, og dette føres til en spand, hvorfra det ledes i afløbet. I udløbskamret er der desuden placeret en ledningsevne måler.

49 Sporstofforsøg file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\stoftransport_kcl\stoftransport_kcl.htm Page 2 of 3 I indløbskamret er der ved forsøgets start tilsat KCl, så koncentrationen af den mængde vand, der er i kamret, også er 0,0167 M (rådata). Efter de 90 l er pumpet ind i indløbskamret, tilsættes igen hanevand. Ved dette skift behæftes forsøget med fejlkilder, idet opløsningen i indløbskamret bliver blandet med hanevand og dermed får en lavere koncentration. I udløbskamret er der nedsænket en ledningsevnemåler, som registrerer spændingsforskellen hvert femte minut. Hermed kan koncentrationen i udløbsvandet beregnes ud fra denne spændingsforskel. Det er imidlertid koncentrationen i det vand, som løber ind i udløbskamret, der ønskes og ikke koncentrationen i vandet i udløbskamret. Der er derfor opsat en kontinuitetsligning for udløbskamret, hvormed den ønskede indløbskoncentration i kamret kan beregnes. hvor V er voluminet af kamret [m 3 ] dc op er koncentrationsforskellen i udløbskamret [g/m 3 ] dt er tidsskridtet [s] C i er indløbskoncentrationen til udløbskamret [g/m 3 ] C op er koncentrationen i udløbskamret [g/m 3 ] Q i er flowet [m 3 /s] Efter udløbskoncentrationerne er fundet, er der optegnet gennembrudskurver, hvorudfra dispersiviteten, α, er bestemt. Forsøget blev stoppet efter tre døgn, da det blev vurderet, at KCl-opløsningen på dette tidspunkt var strømmet igennem renden. I nedenstående figur er resultatet af KCl-forsøget afbildet. Der er optegnet gennembrudskurver for de målte værdier samt for de beregnede værdier for koncentrationen ved indløbet til udløbskamret. Figur 34 Gennembrudskurven for KCl. Der er optegnet gennembrudskurver for de målte værdier for den beregnede koncentration ved indløbet til udløbskamret. Figur 35 Glattet gennembrudskurven for den beregnede koncentration af KCl ved indløbet til udløbskamret. Det ses, at gennembrudskurven for den beregnede koncentrationen ved indløbet til udløbskamret er mere stejl end gennembrudskurven for den målte koncentration i udløbskamret, samt den har en højere maksimal værdi. At gennembrugskurven for den beregnede koncentration er mere stejl end gennembrudskurven for den målte koncentration skyldes, at KCl opløsningen ikke fortyndes ved opblanding i vandvoluminet i udløbskamret, hvormed der til hvert tidsskridt fås en højere værdi. Dette er også

50 Sporstofforsøg file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\stoftransport_kcl\stoftransport_kcl.htm Page 3 of 3 grunden til, at gennembrudskurven for den beregnede koncentration har en højere maksimal værdi. Gennembrudskurven er benyttet ved bestemmelse af dispersiviteten, da denne er bestemt ved kalibrering af stoftransportmodellen opsat i Modflow (GMS) og stoftransportdelen i egen model til gennembrudskurven. Rådata Kalibrering Udskriv

51 Porøsitet file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\porositet\porositet.htm Page 1 of Porøsitet Ved brug af Darcy's ligning, findes en hastighed der er gældende over hele tværsnitsarealet. Dette er dog ikke et udtryk for den reelle hastighed, da der kun foregår strømning i porerne, som udgør en vis andel af det samlede volumen. Det betyder, at den reelle vandhastighed, porevandshastigheden, er større end den fundne Darcy hastighed. Ved beregning af stoftransport i modellen, er det nødvendigt at kende porevandshastigheden, da det er denne hastighed der er styrende for den advektive transport. Det volumen der er til rådighed for strømning, kan angives som porøsiteten, som beskriver porevolumenets relative størrelse og er defineret som porevolumenets andel af det totale volumen. porevolumen φ = totalvolumen Ved at se på jordens fasesystem fås følgende relation mellem poretal og porøsitet e φ = 1 + e hvor e er jordens poretal [-] Figur 36 Definition af jordens trefasesystem mht. poretal og porøsitet [Harremöes et al., 2000]. Sand har normalt en porøsitet på mellem 0,25-0,40 for henholdsvis den tætteste og løseste lejring [Harremöes et al., 2000]. Poretallet har stor betydning ved forsøg med pakkede prøver, hvor det er forsøgt at genskabe naturlige forhold til bestemmelse af f.eks. konduktiviteten. Her er det nødvendigt at udføre flere forsøg ved forskellige poretal. Poretallet for de tre jorde i renden er bestemt ved udtagning af intakt prøver. Poretallet er bestemt ved vejning af et bestemt volumen af prøverne, som er ovntørret ved 105 C i 24 timer. Porøsiteten er bestemt ved udtagning af fire intakt prøver for hver af de tre jordlag. Der er fundet et poretal og en porøsitet, som et middel mellem de fire prøver (rådata). Tabel 25 Porøsitet bestemt for de tre jordtyper i den sandfyldte rende. Grus Grov sand Fin sand Poretal 0,775 0,469 0,668 Porøsitet 0,437 0,318 0,400 Standardafvigelse 0,0398 0,0659 0,0239 Der ses en høj standardafvigelse for især grov sand, som kan skyldes, at det var vanskeligt at udtage intakt prøverne, da de tre jordtyper er meget porøse. De fundne værdier for fin sand og grus ligger indenfor erfaringsværdier for sand, som ligger i intervallet 0,33-0,44. Den fundne værdi for grov sand ligger over erfaringsværdierne, som ligger i intervallet 0,166-0,286. [Harremöes et al., 2000] Udskriv

52 Modelopsætning for stroftransport file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\d007a\del2\model_stof\model_stof.htm Side 1 af Modelopsætning for stoftransport Der er i de to modeller koblet et stoftransportsmodul på vandtransportmodellen. I GMS-modellen tager stoftransportmodulet udgangspunkt i advektion-dispersions ligningen, mens stoftransportmodulet i egen model består af en partikelspredningsmodel. De to modeller er kalibreret med dispersiviteten og den effektive porøsitet som kalibreringsparametre ved anvendelse af data fra det udførte sporstofforsøg med kaliumchlorid (KCL) som kalibreringsmål. Der er anvendt de to modeller sat op til beskrivelse af vandtransporten. Der er som udgangspunkt fastholdt samme stedlige diskretisering, dvs. en boksstørrelse på 1 cm i beregningsnettet. Stoffet er indføret i de to modeller på to forskellige måder, som følge af de to forskellige løsningsmetoder, over en tid på 5 timer og 15 minutter, svarende til den tid der blev tilledt KCL-opløsning i sporstofforsøget. I GMS modellen er stoffet indført med en konstant koncentration som punktkilder i de bokse, der ligger på øvre rand. Figur 37 Markering af bokse hvorfra der frigives stof i hhv. GMS modellen egen model. I egen model frigives et antal partikler fra hver boks på øvre rand til hvert tidsskridt. Partiklerne flyttes dels ved den advektive transport, der sker med porevandet, samt ved en tilfældig spredning, der udtrykker dispersionen. Antallet af partikler, der indføres, skal være tilstrækkeligt stort til, at transporten gennem systemet foregår ens ved udførelse af flere modelsimuleringer med den samme modelopsætning. Problemet kan illustreres ved et ekstremt tilfælde, hvor der kun indføres én partikel. Her kan partiklen transporteres en vej gennem modellen ved den første kørsel, og en anden vej ved den næste kørsel. Der er derfor gennemført en partikelundersøgelse, hvor det er afgjort, hvor mange partikler det er nødvendigt at indføre. Dette sker ved at gennemføre en række simuleringer, hvor antallet forøges, indtil der fås den samme gennembrudskurve ved to simuleringer med to forskellige antal partikler. Det er her fundet, at det er nødvendigt at indføre 20 partikler i hver boks på øvre rand til hvert beregningsskridt, svarende til partikler. Tidsskridtet justeres således, at den enkelte partikel ikke bevæger sig for langt til hvert tidsskridt. Dette gøres ved at indføre det konvektive Courant tal givet ved: hvor C er Courant tallet [-] v er Strømningshastigheden [m/s] t er tidsskridtet [t] x er diskretiseringen [m] Ved at benytte et courant tal på 1 sikres det, at at den konvektive stoftransport flytter hver partikel en bokslængde til hvert tidsskridt. I dette projekt er Courant tallet sat til 0,99 så flytningen bliver mindre. Dette tager dog ikke højde for den stokastike del af stoftransporten, hvilket betyder, at en partikel i nogle tilfælde bevæger sig længere end en bokslængde. Udskriv

53 Partikelundersøgelse file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\partikelundersogelse\partikelundersogelse.htm Page 1 of 1 Partikelundersøgelse I egen model indføres stof i stoftransportmodellen som partikler i de enkelte beregningsbokse på øvre rand. Disse flyttes gennem systemet dels ved en advektiv transport som følge af porevandshastighederne mellem hver boks i hhv. x- og y-aksens retning, og dels ved en tilfældig spredning der beskriver dispersionen. Antallet af partikler, der indføres, skal være så stort, at resultatet, f.eks. i form af gennembrudskurven, er ens ved udførelse af flere simuleringer med samme modelopsætning. Hvis antallet af partikler er for lille, kan partiklerne følge én bane ved en simulering og en anden bane ved den næste simulering. Det er undersøgt, hvor mange partikler der skal anvendes ved at udføre en række simuleringer, hvor antallet af partikler er forøget ved hver simulering. I følgende figur ses gennembrudskurven ved simuleringer med hhv. 6000, 42000, og partikler. Figur 38 Modelsimuleringer med egen model med forskellige antal partikler. Det ses, at 6000 og partikler giver markant forskellige resultater. Derfor er antallet forøget yderligere til partikler, hvilket kun giver en lille forskel i gennembrudskurven. Ved endnu en forøgelse til partikler er det vurderet, at der ikke er forskel på resultatet. Der anvendes derfor i modellen partikler svarende til 20 partikler pr. beregningsboks på øvre rand til hvert tidsskridt over 5 timer og 15 minutter, hvilket svarer til den tid, hvor der blev tilledt kaliumchloridopløsning i sporstofforsøget. Udskriv Excelberegning

54 Kontrol af egen model file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\modelsammenligning_analytisk\modelsammenligning.htm Page 1 of 1 Kontrol af egen model For at kontrollere om en model kan modellere en kompliceret situation, er det en god ide først at teste den på en simpel opsætning, hvortil der haves en analytisk løsning. På denne måde undersøges det, om der er sket fejl i programmeringen af modellen. Der er i forbindelse med et tidligere projekt udført forsøg med stoftransport igennem jord. I forsøget blev en vandmættet jordsøjle med en højde på 25 cm tilført vand med en konstant koncentration af KCl. Ved at måle udløbskoncentrationen blev der optegnet en gennembrudskurve. Ved at fitte en analytisk løsning til den målte gennembrudskurve, kan værdier for dispersiviteten og porøsiteten estimeres. Den analytiske løsning, der er benyttet, ser ud som følger [D021, 2004]: hvor C l C 0 erfc L u t er porevandskoncentrationen [g/m 3 ] er indløbskoncentrationen [g/m 3 ] er komplimentære fejlfunktionen er jordsøjlens længde [m] er porevandshastigheden [m/s] er tiden [s] En forudsætning for denne analytiske løsning er en ensartet homogen jord. Der laves derfor en modelopsætning til brug ved kontrollen, som består af én sandtype i hele renden, med indløb og udløb over hele arealet på de to endeflader. På nedenstående figur ses gennembrudskurverne fundet ved modellering med egen model og ved brug af den analytiske løsning. Figur 39 Sammenligning af egen model med analytisk løsning. Som det ses af figuren, er de to løsninger identiske, når der ses bort fra de svingninger, der opstår som følge af de stokastiske elementer i random walk-fremgangsmåden. Hvis modellen regner med et tilstrækkeligt stort antal partikler, vil disse svingninger blive udglattet. Derfor accepteres modellen som værende tilfredsstillende. Udskriv

55 Følsomhedsanalyse - Stoftransportmodel file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\folsomhedsanalyse_stof\folsomhedsanalyse_stof.htm Page 1 of 4 Følsomhedsanalyse af stoftransportmodel Ved udførelse af følsomhedsanalysen for både GMS-modellen og egen model, har det været muligt at se, hvordan de enkelte parametre, som er styrende for stoftransporten, har betydning for resultatet, og hvor høj en grad af følsomhed der er på de enkelte parametre. Dette er anvendeligt dels gennem kalibreringsprocessen og dels ved en vurdering af værdierne på de estimerede parametre. Et veldefineret kalibreringsproblem forudsætter, at løsningen er følsom for de parametre, der indgår i kalibreringsprocessen. Det er således muligt gennem følsomhedsanalysen at vurdere, hvorvidt modellen er følsom for de parametre, der ønskes medtaget i kalibreringen. Når kalibreringen er gennemført, kan usikkerheden på de bestemte værdier vurderes med udgangspunkt i, hvor følsom modellen er for de enkelte parametre. Er der en meget lille følsomhed på en parameter, kan den tilsvarende være estimeret med en større usikkerhed. Som det er vist ved de styrende ligninger for stoftransporten, er det porøsiteten, φ, og dispersiviteten, α, der i dette system er de styrende parameter, som vil indgå i kalibreringen af stoftransportmodellerne. Det er derfor også disse parametre, der indgår i den udførte følsomhedsanalyse. Følsomheden er vurderet ved at betragte de beregnede koncentrationer som følge af ændringer af porøsiteten, φ, og dispersiviteten, α, i hhv. lag 1, 2 og 3. I følsomhedsanalysen for GMS-stoftransportmodel er det desuden undersøgt, hvilken betydning usikkerheden på de i vandtransportmodellen bestemte konduktiviteter har på resultatet af stoftransportmodellen. Dette er gjort ved at tage udgangspunkt i en modelopsætning for stoftransportmodellen med parametre som vist i nedenstående tabel. Tabel 26 Parametre som er brugt i de tre lag som udgangspunkt i følsomhedsanalysen. Enhed GMS-model Egen model Porøsitet, φ [-] 0,3 0,3 Langsgående dispersivitet, α L [m] 0,005 0,01 Tværgående dispersivitet, α L [m] 0,005 0,1 Der er efterfølgende ændret på en parameter af gangen, hvorved den enkelte parameters indflydelse kan vurderes. Det er også undersøgt, hvilken indflydelse usikkerheden på konduktiviteterne bestemt i vandtransportmodellen har på kalibreringsresultatet for stoftransportmodellen. Porøsitetens betydning er vurderet for hvert lag; lag 1 med grus, lag 2 med fin sand og lag 3 med grov sand. Som udgangspunkt er porøsiteten sat til 0,3 for alle tre lag. Af nedenstående graf ses det, at når porøsiteten i lag 1 reduceres, forskydes kurven mod venstre. Dette skyldes, at når porøsiteten reduceres, bliver hastigheden større, og dermed transporteres stoffet hurtigere gennem modellen. Figur 40 Grafisk afbildning af porøsitetens indflydelse på stofkoncentrationen som funktion af tiden for lag 1 med grus (Excelberegning: GMS-model og Egen model).

56 Følsomhedsanalyse - Stoftransportmodel file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\folsomhedsanalyse_stof\folsomhedsanalyse_stof.htm Page 2 of 4 Reduceres porøsiteten i lag 2, forskydes kurven også mod venstre, om end det ikke er så meget som ved lag 1. Dette indikerer, at porøsiteten ikke har så stor indflydelse på hastigheden i lag 2, som den har i lag 1. Ud over forskydningen bliver kurven smallere og maksimal værdien af koncentrationen øges, hvilket kan skyldes, at porøsiteten har indflydelse på stoffets opholdstid i lag 2. Når porøsiteten reduceres, reduceres opholdstiden også, og stoffet transporteres hurtigere gennem modellen. Figur 41 Grafisk afbildning af porøsitetens indflydelse på stofkoncentrationen som funktion af tiden for lag 2 med fin sand (Excelberegning: GMS-model og Egen model). For lag 3 forskydes kurven mod venstre og maksimalværdierne øges, når porøsiteten reduceres. Det sker dog ikke i samme grad som for lag 1 og 2, hvilket viser, at stoftransporten ikke er så følsom overfor ændringer i porøsiteten i lag 3 som i lag 1 og 2. Figur 42 Grafisk afbildning af porøsitetens indflydelse på stofkoncentrationen som funktion af tiden for lag 3 med grov sand (Excelberegning: GMS-model og Egen model). I modellen er der bestemt en værdi for den langsgående dispersivitet og en værdi for den tværgående dispersivitet, som er

57 Følsomhedsanalyse - Stoftransportmodel file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\folsomhedsanalyse_stof\folsomhedsanalyse_stof.htm Page 3 of 4 gældende for alle tre lag. De to dispersiviteters indflydelse på kalibreringsresultatet er vurderet ved at ændre på deres værdier hver især, mens værdierne for de andre parametre holdes fast. Af nedenstående figur ses det, at når den langsgående dispersiviteten reduceres, bliver kurven for stofkoncentrationen som funktion af tiden smallere, og maksimalværdien bliver højere end ved udgangspunktet. Når den langsgående dispersivitet derimod øges, bliver kurven bredere, og maksimalværdien bliver mindre. Denne følsomhed skyldes, at når dispersiviteten øges, øges spredningen af stoffet også, og mængden af stof bliver dermed fordelt over længere tid. Figur 43 Grafisk afbildning af den langsgående dispersivitets indflydelse på stofkoncentrationen som funktion af tiden (Excelberegning: GMS-model og Egen model). Ved at ændre på værdien for den tværgående dispersivitet sker der kun en lille ændring af kurven. Dette viser, at stoftransporten ikke er så følsom overfor ændringer i den tværgående dispersivitet som i den langsgående dispersivitet. Figur 44 Grafisk afbildning af den tværgående dispersivitets indflydelse på stofkoncentrationen som funktion af tiden (Excelberegning: GMS-model og Egen model).

58 Følsomhedsanalyse - Stoftransportmodel file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\folsomhedsanalyse_stof\folsomhedsanalyse_stof.htm Page 4 of 4 For at vurdere, hvor stor betydning usikkerheden på de bestemte konduktiviteter har for kalibreringsresultatet af stoftransporten, er der også udført følsomhedsanalyse på dette. Der er udført beregninger, hvor konduktiviteten for hvert lag er sat til hhv. konfidensintervallets øvre og nedre grænse. I nedenstående figur er koncentrationen afbildet som funktion af tiden for konduktiviteter i konfidensintervallets øvre og nedre grænse i hvert sandlag. Det ses, at der kun er en lille forskel på de forskellige afbildninger. Når konduktiviteten er sat til minimums værdierne i konfidensintervallt, ligger kurverne under den estimerede kurve, og når konduktiviteten er sat til maksimum værdierne i konfidensintervallet, ligger kurverne over den estimerede kurve. Figur 45 Grafisk afbildning af den tværgående dispersivitets indflydelse på stofkoncentrationen som funktion af tiden (Excelberegning: GMS-model og Egen model). Der er også lavet en afbildning, hvor konduktiviteterne for hver af de tre lag er sat til hhv. minimum og maksimum værdierne i konfidensintervallerne. Her ses det også, at minimumværdierne giver en kurve, som ligger under den kalibrerede, og at maksimumværdierne giver en kurve, som ligger over den kalibrerede. Figur 46 Grafisk afbildning af den tværgående dispersivitets indflydelse på stofkoncentrationen som funktion af tiden (Excelberegning: GMS-model og Egen model). Udskriv

59 Kalibrering af stoftransportmodel file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\stof_kali_forside\stof_kali_forside.htm Page 1 of 2 Kalibrering af stoftransportmodel Ved at betragte de ligninger, der er styrende for beskrivelsen af stoftransporten i de to modeller, der er arbejdet med (advektiondispersionsligningen og random walk partikelspredningsmodel), ses det, at de parametre, der er styrende for systemet, er porøsiteten og dispersiviteten. Dette er parametre, der som udgangspunkt er svære at kvantificere. Porøsiteten kan måles eksperimentelt, som det også er sket i dette projekt, men her fås værdier for totalporøsiteten. Den effektive porøsitet, som reelt skal anvendes i modellen, er generelt mindre end den totale porøsitet, pga. lukkede porer med stagnationsvand og luftlommer, hvor der ikke foregår vandtransport. Denne effektive porøsitet er ikke mulig at bestemme eksperimentelt. Dispersiviteten kan vurderes ved at udføre et sporstofforsøg, hvor der måles en gennembrudskurve for det anvendte stofs transport gennem systemet. En analytisk løsning kan fittes til de målte data ved justering af dispersiviteten, som på denne måde kan bestemmes [Loll og Moldrup, 2000]. Her forudsættes dog en ensartet jordtype med én dispersivitet. I dette tilfælde sker strømningen og dermed stoftransporten gennem et system bestående af tre jordtyper, og dispersivitetens effekt på stoftransporten, og dermed gennembrudskurven, er sammensat af dispersiviteterne for alle tre jorde. Derfor lader de enkelte dispersiviteter sig ikke bestemme eksperimentielt ved sporstofforsøg gennem hele systemet. På baggrund af ovenstående bestemmes værdier for de effektive porøsiteter og dispersiviteten gennem kalibreringen af stoftransportmodellerne. Den målte gennembrudskurve fra sporstofforsøget udført med kaliumchlorid anvendes som kalibreringsmål. Kalibreringsparametrene, der indgår, er den effektive porøsitet for hvert af de tre lag samt en dispersivitet, som er kalibreret som værende ens for de tre lag. Ved den udførte følsomhedsanalyse på hhv. GMS modellen og egen model er det set, at modellen er følsom for porøsiteten i alle tre lag samt dispersiviteten. Det er desuden observeret, hvilken effekt de enkelte parametre har for stoftransporten, hvilket kan lette den videre kalibreringsproces. GMS-model Egen model Resultatet af kalibreringsprocessen ses i nedenstående tabel i form af værdierne for de estimerede parametre. Tabel 28 Estimerede parameterværdier i GMS og egen stoftransportmodel. Parameter Enhed Værdi GMS Værdi egen model Porøsitet lag 1 grus φ 1-0,30 0,33 Porøsitet lag 2 fin sand φ 2-0,44 0,40 Porøsitet lag 3 grov sand φ 3-0,42 0,38 Dispersivitet langsgående α L m 0,025 0,018 Dispersivitet tværgående α T m 0,025 0,0006 Med de færdigkalibrerede modeller fås en modelleret stoftransport som vist i nedenstående figurer. Figur 52 Stoftransportsimulering med færdigkalibreret GMS model.

60 Kalibrering af stoftransportmodel file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\stof_kali_forside\stof_kali_forside.htm Page 2 of 2 Figur 53 Stoftransportsimulering med færdigkalibreret egen model. Det ses, at der mellem de to modeller er god overensstemmelser mellem de estimerede parameterværdier, og de stemmer også godt overens med generelle litteraturværdier for sand. Sand har normalt en porøsitet på mellem 0,25-0,40 for henholdsvis den tætteste og løseste lejring [Harremöes et al., 2000]. Da det er den effektive porøsitet, der er bestemt ved kalibrering, bør de være lavere end værdierne angivet i litteraturen, da disse er totalporøsiteter. Dog er aflejringerne i renden meget homogene, hvilket kan give høje effektive porøsiteter i forhold til totalporøsiteterne. De høje effektive porøsiteter kan også skyldes, at der i modellerne er gjort antagelser om, at der ikke er adsorption af KCl under sporstofforsøget. Yderligere diskussion og sammenligning af de estimerede værdier kan ses under parametersammenligningen, hvor der foretages en sammenligning af parametrene bestemt ved kalibrering af de to modeller og parametrene bestemt eksperimentelt. Udskriv

61 Kalibrering af GMS stoftransport file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\gms_stoftrans_kali\gms_stoftrans_kali.htm Page 1 of 2 Kalibrering af GMS stoftransport Kalibreringen af stoftransportmodellen sker med udgangspunkt i det udførte sporstofforsøg med kaliumchlorid (KCL). I modellen indføres en stofkoncentration som en punktkilde i de celler, hvor der sker indstrømning i modellen ved øvre rand over det samme tidsrum, som der blev tilført KCL i sporstofforsøget. I sporstofforsøget er der målt en ledningsevne i udløbet, og denne er divideret med ledningsevnen i indløbet. På denne måde fås en gennembrudskurve med værdier mellem nul og en. Det samme er gjort med de modellerede koncentrationer i modellen, hvilket betyder, at det målte og modellerede resultatet kan sammenlignes. Ved den udførte følsomhedsanalyse på stoftransporten blev det klarlagt, hvilke parametre der har betydning for stoftransporten, og på hvilke måde de enkelte parametre har indflydelse på transporten. I første del af kalibreringsprocessen kalibreres den advektive hastighed, så modellen transporterer stoffet igennem systemet med samme hastighed som i forsøget. Dette sker ved justering af porøsiteterne for de tre lag, hvilket betyder, at der ved en lav porøsitet opnås en høj hastighed, mens der ved en høj porøsitet fås en lav hastighed. I nedenstående figur ses, hvordan gennembrudskurven flyttes fra højre mod venstre ved at reducere porøsiteten, og derved forøge porevandshastigheden. Figur 54 Kalibrering af stoftransportmodellen ved justering af porøsiteten. Når porøsiteten reduceres, øges porevandshastigheden, og gennembrudskurven flyttes fra højre mod venstre. Efterfølgende er spredningen på gennembrudskurven kalibreret ved at justere dispersiviteten. Her øges spredningen ved en øget dispersivitet. Der er justeret på den langsgående og tværgående dispersivitet. Af nedenstående figur fremgår resultatet af en stoftransportmodellering med den færdigkalibrerede model. Figur 55 Resultat af kalibrering af stoftransportmodellen.(exelberegning) Det ses, at modellen kan modellere de målte data tilfredstillende. Der er desuden foretaget en sammenligning af den modellerede stoftransport og det udførte blækforsøg, hvor stoffanens udbredelse betragtes til udvalgte tidspunkter. Også her er det observeret, at modelleret og målte data stemmer overens. Der er i modellen anvendt følgende paramterværdier estimeret gennem kalibreringen. Tabel 29 Estimerede parameterværdier i stoftransportmodellen. Parameter Enhed Værdi Porøsitet lag 1 grus φ 1-0,30 Porøsitet lag 2 fin sand φ 2-0,44 Porøsitet lag 3 grov sand φ 3-0,42 Dispersivitet langsgående α L m 0,025 Dispersivitet tværgående α T m 0,025

62 Kalibrering af GMS stoftransport file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\gms_stoftrans_kali\gms_stoftrans_kali.htm Page 2 of 2 Sammenlignes de estimerede porøsiteter med typiske værdier, ses det af ovenstående tabel, at de stemmer godt over ens, dog er værdien for grov sand lidt højere end litteraturværdien, og grus har en lav værdi. Sand har normalt en porøsitet på mellem 0,25-0,4 for henholdsvis den tætteste og løseste lejring [Harremöes et al., 2000]. De her fundne værdier er effektive porøsiteter, som generelt er lavere end de totale porøsiteter, men da aflejringerne i renden er forholdsvis homogene, kan de effektive porøsiteter være høje. Yderligere diskussion af værdierne og sammenligning i forhold til egen model kan ses under parametersammenligningen. Udskriv

63 Kalibrering af egen stoftransportmodel file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\egen_stoftrans_kali\egen_stoftrans_kali.htm Page 1 of 2 Kalibrering af egen stoftransportmodel Kalibreringen af stoftransportmodellen sker med udgangspunkt i det udførte sporstofforsøg med kaliumchlorid (KCL). I modellen indføres en stofkoncentration som en punktkilde i de celler, hvor der sker indstrømning i modellen ved øvre rand over det samme tidsrum, som der blev tilført KCL i sporstofforsøget. I sporstofforsøget er der målt en ledningsevne i udløbet, og denne er divideret med ledningsevnen i indløbet. På denne måde fås en gennembrudskurve med værdier mellem nul og en. Det samme er gjort med de modellerede koncentrationer i modellen, hvilket betyder, at det målte og modellerede resultatet kan sammenlignes. Ved den udførte følsomhedsanalyse på stoftransporten blev det klarlagt, hvilke parametre der har betydning for stoftransporten, og på hvilken måde de enkelte parametre har indflydelse på transporten. I første del af kalibreringsprocessen kalibreres den advektive hastighed, så modellen transporterer stoffet igennem systemet med samme hastighed som i forsøget. Dette sker ved justering af porøsiteterne for de tre lag, hvilket betyder, at der ved en lav porøsitet opnås en høj hastighed, mens der ved en høj porøsitet fås en lav hastighed. I nedenstående figur ses, hvordan gennembrudskurven flyttes fra højre mod venstre ved at reducere porøsiteten, og derved forøge porevandshastigheden. Figur 56 På figuren ses tre simuleringer, 1, 2 og 3, hvor porøsiteten gradvist bliver øget i alle tre lag, indtil placeringen af peak-værdien passer med den målte. Efterfølgende kalibreres spredningen på gennembrudskurven ved at justere dispersiviteten. Her øges spredningen ved en øget dispersivitet. Der justeres på den langsgående og tværgående dispersivitet. Den tværgående dispersivitet er den parameter, der har størst indflydelse på grafens "hale". Af nedenstående figur fremgår resultatet af en stoftransportmodellering med den færdigkalibrerede model. Figur 57 Resultat af kalibrering af stoftransportmodellen (Exelberegning). Det ses, at modellen kan modellere de målte data tilfredsstillende. Der er desuden foretaget en sammenligning af den modellerede stoftransport og det udførte blækforsøg, hvor stoffanens udbredelse betragtes til udvalgte tidspunkter. Også her er det observeret, at modelleret og målte data stemmer overens. Der er i modellen anvendt følgende parameterværdier estimeret gennem kalibreringen. Tabel 30 Estimerede parameterværdier i stoftransportmodellen. Parameter Enhed Værdi Porøsitet lag 1 grus φ 1-0,33 Porøsitet lag 2 fin sand φ 2-0,4 Porøsitet lag 3 grov sand φ 3-0,38 Dispersivitet langsgående α L m 0,018 Dispersivitet tværgående α T m 0,0006 Sammenlignes de estimerede porøsiteter med typiske værdier, er de estimerede værdier forholdsvis høje, når det tages i

64 Kalibrering af egen stoftransportmodel file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\egen_stoftrans_kali\egen_stoftrans_kali.htm Page 2 of 2 betragtning at det, der er kalibreret, er effektive porøsiteter, som er lavere end den totale på grund af en imobil fase (vand eller luft). Sand har normalt en porøsitet på mellem 0,25-0,40 for henholdsvis den tætteste og løseste lejring [Harremöes et al., 2000]. Der er dog set på forholdsvis homogene aflejringer, der generelt har en høj porøsitet. Yderligere diskussion af værdierne og sammenligning i forhold til GMS-modellen kan ses under diskussionen. Udskriv

65 Diskussion file://d:\dokumenter\projekt\hjemmeside\del2\diskussion\diskussion.htm Page 1 of 1 Diskussion Formålet med delprojekt 2 har været at kunne estimere nogle af de parametre, der er styrende for grundvandsstrømninger, samt at kunne modellere grundvandsstrømninger i en matematisk model. Parameterestimeringen er sket på en lille skala i forbindelse med eksperimentelle bestemmelser af f.eks. konduktivitet og porøsitet, og på en større skala i form af parameterestimering ved kalibrering af numeriske modeller. I diskussionen er de estimerede parametre gennem forsøg og modelkalibrering sammenholdt indbyrdes og mod generelle litteraturværdier. Der er arbejdet med en egen model opsat ud fra en finitedifferens diskretisering af de styrende ligninger og en efterfølgende iterativ løsning samt en model opsat i GMS. I diskussionen er der foretaget en modelsammenligning, hvor de to modeller sammenlignes ud fra simuleringer med samme parameteropsætning. De enkelte dele af modellerne, dvs. hydrodynamiske- og stoftransportberegningerne, valideres på denne måde ved at antage korrekte beregninger i tilfælde af, at begge modeller giver samme resultat ved anvendelse af samme modelopsætning. Afvigelser modellerne imellem ses dels ved forskelle på de estimerede parametre i de to modeller, og dels ved forskellige resultater ved modelsammenligningen. Der har i forbindelse med skalering af GMS-modellen opstået tvivl om hvilken modellov er gælden for strømning i jord. Der er som udgangspunkt benyttet Froudes modellov, som er gældende hvor tyngdekraften er dominerende. Senere er det vurderet, at det er mere korrekt at benytte Reynolds' modellov, som er gældende, hvor der ikke er tilstedeværelse af fri overflade, hvilket betyder, at tyngdekraften ingen betydning har for de trykforskelle der skabes af strømningen. I diskussionen er der foretaget en test af Froudes modellov mod Reynolds' modellov. Udskriv

66 Parametersammenligning file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\d007a\del2\parametersammenligning\parametersammenligning.htm Side 1 af Parametersammenligning De parametre, som er bestemt ved forsøg og gennem kalibrering, er sammenlignet med hinanden og med litteraturværdier. De parametre, som er medtaget i parametersammenligningen, er konduktivitet, K, porøsitet, φ, effektiv porøsitet, φ effektiv, og dispersiviteten, α. Konduktivitet konduktiviteten, K, er bestemt på flere forskellige måder. Eksperimentelt er den bestemt ud fra optegnede kornkurver samt strømningsforsøg og intaktprøver. Herudover er den fundet ved kalibrering af hhv. GMS-modellen og egen model. Resultatet af forsøg og kalibrering er vist i nedenstående tabel. Tabel 31 Værdier for konduktiviteten, K, bestemt ud fra kornkurver og strømningsforsøg samt ved kalibrering af de to modeller. Der er også angivet generelle værdier fundet i Karlby et al., Grus [m/s] Grov sand [m/s] Fin sand [m/s] Kornkurver 1,44E-2 4E-4 1E-4 Strømningsforsøg 4,13E-3 4,16E-4 2,85E-4 GMS-model 1,26E-2 2,77E-4 7,81E-5 Egen model 1,29E-2 2,73E-4 7,81E-5 Litteraturværdier 1E-3-1E-2 1E-5-1E-2 1E-5-1E-2 Af ovenstående tabel ses det, at værdierne for grus ligger i samme størrelsesorden med undtagelse af værdien bestemt ved strømningsforsøg. Dette kan skyldes, at der ved udførelse af forsøget blev anvendt filtre, som har en ledningsevne nær eller mindre end gruset, hvorfor det kan være ledningsevnen af filtret, som kan være målt. De øvrige værdier for grus ligger umiddelbart uden for intervallet angivet i litteraturen. For grov sand ligger alle værdierne i samme størrelsesorden, dog er værdierne bestemt ved forsøg lidt højere end værdierne fundet ved kalibrering af modellerne. Alle værdierne ligger inden for intervallet angivet i litteraturen. Værdierne for fin sand bestemt ved forsøg ligger i samme størrelsesorden og inden for det interval, der er angivet i litteraturen. Værdierne for fin sand bestemt ved kalibrering af modellerne er mindre end de eksperimentelt bestemte, men de ligger begge indefor intervallet angivet i litteraturen. En af grundene til, at der er en afvigelse mellem de kalibrerede værdier og dem, der er bestemt ved forsøg, kan være, at forsøgene er udført på en anden skala end modellen. Når der ses på stor skala, bliver nogle af de små strukturforskelle, der er i prøven, udjævnet som følge af at det er effektive værdier for hele renden der findes. Porøsitet Porøsiteten er bestemt eksperimentelt ud fra intaktprøver udtaget i den sandfyldte rende. I nedenstående tabel er de fundne værdierne for porøsiteten vist sammen med generelle værdier fundet i Harremöes et al., Tabel 32 Værdier for porøsiteten, φ, bestemt ud fra intaktprøver. Der er også angivet generelle værdier fundet i Harremöes et al., Grus Grov sand Fin sand Intaktprøver 0,44 0,32 0,40 Litteraturværdier 0,333-0,444 0,167-0,286 0,333-0,444 Af ovenstående tabel ses det, at værdierne for porøsiteten fundet ved udtagning af intaktprøver i den sandfyldte rende for grov sand ligger uden for intervallet angivet i litteraturen, mens værdien for grus og for fin sand stemmer godt overens med de værdier, der er fundet i litteraturen. Afvigelsen på grov sand kan dels skyldes usikkerheder ved forsøgets udførelse samt at de udførte forsøg er sket under andre forhold end de litteraturværdier, der er brugt til sammenligningen. Effektiv porøsitet Den effektive porøsitet er bestemt ved kalibrering af hhv. GMS-modellen og egen model. I nedenstående tabel er de fundne værdier for den effektive porøsitet samt litteraturværdier for totalporøsiteten vist. Tabel 33 Værdier for den effektive porøsitet, φ effektiv, bestemt ved kalibrering af de to modeller. Der er også angivet generelle værdier for totalporøsiteten fundet i Harremöes et al., Grus Grov sand Fin sand GMS-model 0,30 0,42 0,44 Egen model 0,33 0,38 0,40 Litteraturværdier for total porøsitet 0,333-0,444 0,167-0,286 0,333-0,444 Det ses af ovenstående tabel, at værdierne bestemt ved kalibrering af GMS-modellen og ved kalibrering af egen model stemmer godt over ens. Værdierne for grov sand fundet ved de to modeller ligger over den øvre grænse i intervallet for litteraturværdierne. Litteraturværdierne er totalporøsiteter, og de effektive porøsiteter bør derfor være mindre. Da der er arbejdet med forholdsvis homogene jordtyper, er det sandsynligt, at værdierne for den effektive porøsitet ligger tæt på værdierne for totalporøsiteten. Desuden er værdierne fundet under forudsætning af, at der ikke sker adsorption af KCl under sporstofforsøget, hvilket kan have indflydelse på de fundne værdier for den effektive porøsitet. Sammenlignes de estimerede effektive porøsiteter med de eksperimentelt bestemte totalporøsiteter, ses at de effektive er større end de totale. Dette viser også, at der i de to bestemmelser ligger en række usikkerheder, bl.a. i form af antagelser ved

67 Parametersammenligning file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\d007a\del2\parametersammenligning\parametersammenligning.htm Side 2 af modelopsætning og usikkerheder ved udførelse af eksperimentelt arbjede. Dispersivitet Dispersiviteten er meget afhængig af den skala, der bliver set på. Der er derfor svært at finde litteraturværdier, der kan sammenlignes med dem, der er fundet i dette projekt. Det er derfor valgt kun at sammenligne værdierne for de to modeller. Disse er vist i nedenstående tabel. Tabel 34 Værdier for den langsgående og tværgående dispersivitet bestemt ved kalibrering af de to modeller. Langsgående dispersivitet [m] Tværgående dispersivitet [m] GMS-model 2,5E-2 2,5E-2 Egen model 1,8E-2 6,0E-4 Som det ses af ovenstående tabel, er der stor forskel på de tværgående dispersiviteter, mens de langsgående ligger tættere sammen. Dette kan skyldes, at modellerne ikke er følsomme overfor de samme parametre. GMS-modellen er følsom overfor den langsgående dispersivitet, mens egen model er følsom overfor den tværgående. En fejlkalibrering på en enkelt parameter kan lettere blive "skjult" i nogle andre parametre, hvis modellen er ufølsom overfor denne parameter. På grund af dette er de to parametre ikke bestemt med den samme nøjagtighed i de to modeller. Det kan desuden have indflydelse på de fundne værdier for dispersiviteten, at der i modellerne er gjort forudsætning om, at der ikke sker adsorption af KCl under sporstofforsøget. Udskriv

68 file://c:\docume~1\kwj\locals~1\temp\arrui5hy.htm Page 1 of Modelsammenligning Der er gennemført en modelsammenligning, hvor modellering af vand- og stoftransport i hhv. GMS og egen model er udført med samme parameteropsætning. Der er desuden benyttet samme stedlige diskretisering med en boksstørrelse på 1 cm. Ved at sammenligne resultaterne fra de to modeller med samme parameteropsætning, er det søgt at validere hhv. den hydrodynamiskeog stoftransportberegningen. I nedenstående tabel ses parameteropsætningen. Tabel 35 Parameterværdier i modelopsætning for både GMS og egen model. Parameter Enhed Værdi Konduktivitet grus K 1 m/s 1,26E-2 Konduktivitet fin sand K 2 m/s 7,81E-5 Konduktivitet grov sand K 3 m/s 2,77E-4 Porøsitet grus φ 1-0,33 Porøsitet fin sand φ 2-0,40 Porøsitet grov sand φ 3-0,38 Dispersivitet langsgående α L m 0,018 Dispersivitet tværgående α T m 0,0006 Som det første er beregnede trykniveauer og flow i de to modeller sammenlignet. Det fremgår af nedenstående tabel, at modellerne når frem til samme resultat både med hensyn til trykniveauer og flow. Dette ses også afspejlet i de estimerede værdier for konduktivitet i de to modeller, som kun afviger meget lidt fra hinanden. På baggrund af de to modellers evne til at opnå samme resultat ved identisk modelopsætning, er det vurderet, at de hydrodynamiske beregninger er korrekte i begge modeller. Tabel 36 Sammenligning af beregnet trykniveau og flow med GMS og egen model med samme modelopsætning. Observation Enhed GMS model Egen model Trykniveau stigrør 2 m 54,42 54,43 Trykniveau stigrør 3 m 54,62 54,62 Trykniveau stigrør 4 m 53,46 53,46 Trykniveau stigrør 5 m 54,39 54,39 Flow l/s 4,17E-3 4,17E-3 Ved modellering af stoftransporten i hhv. GMS modellen og egen model er det set, at begge modeller er i stand til at modellere det målte sporstofforsøg. Nedenstående ses den modelerede stoftransport i modelsammenligningen. Figur 58 Simuleret stoftransport med samme modelopsætning i GMS og egen model. Det ses, at de to modeller tilnærmelsesvis giver samme resultatet, dog med en mindre afvigelse ved simulering af peakværdien. Denne forskel er også afspejlet i den mindre forskel, der er mellem de estimerede parametre i hhv. GMS og egen model. Forskellen mellem de estimerede værdier kan ses fremstillet under parametersammenligning. Med udgangspunkt i de to modellers evne til med samme resultat at simulere stoftransporten, konkluderes som ved de hydrodynamiske beregninger, at beregningerne ved modellering af stoftransporten er korrekt i begge modeller. En validering af modellernes beregningsmetode, er dog ikke nødvendigvis en validering af de estimerede parametre. De estimerede parametre er fremkommet på baggrund af de antagelser, der er gjort ved opsætning af de konceptuelle beskrivelse af virkeligheden. Dette er eksempelvis at Darcy's lov er gældende og at der ingen adsorption er ved det udførte sporstofforsøg. En mulig forskel mellem de to modeller er, at finitedifferensløsningen af advektion-dispersionsligningen i GMS, kan være påvirket af beregningsnettets stedlige diskretisering. Dette er undersøgt ved at gennemføre en modellering med en stedlig diskretisering svarende til hhv. 1 cm og ½ cm. Det er her vist, at en finere diskretisering end den valgte på 1 cm, i dette system ikke påvirker stoftransporten. (exelberegning vandtransport, exelberegning stoftransport)