Del 3. Måling og modellering af turbulent strømning

Transkript

1 Del 3 Måling og modellering af turbulent strømning

2 file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\d007a\del3\strukturkort\struktur3.gif Side 1 af 1

3 Intorduktion del 3 file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\introduktion\intro_turbulens.htm Side 1 af 1 Måling og modellering af turbulent strømning I del 3 er der arbejdet med måling og modellering af turbulente strømninger, og der er i den forbindelse to overordnede formål. Det første delmål er måling og beregning af strømningsmæssige parametre, der er af betydning ved turbulent strømning. Det andet delmål er numerisk modellering af turbulent strømning. Der er arbejdet med to forskellige forsøgsopstillinger i strømrenden. Den første opstilling tager udgangspunkt i en opstilling der er udlagt et lag skærver i bunden af strømrenden. Der fokuseres i denne del på måling og efterfølgende beregning af centrale parametre i turbulensteorien. Det drejer sig bla. om den bundforskydningsspænding, som de ilagte skærver forårsager. Denne beregnes bl.a. gennem indirekte målinger af Reynolds' spændingerne, som er de turbulente forskydningsspændinger. Derudover beregnes turbulent- og total kinetisk energi samt dissipation som en del af en energibalance for den betragtede strømning. I den anden opstilling er en del af strømningen afspærret, og der opstår på den måde turbulens ved indløbet til renden. Der er i denne del fokuseret på modellering af turbulent strømning på baggrund af en række hastighedsmålinger, som anvendes ved kalibrering og validering af modellen. Turbulens kan beskrives med flere forskellige modeller, men til de numeriske beregninger benyttes i dette projekt computerprogrammet MIKE 3. Der er benyttet to forskellige turbulensmodeller; kε modellen og Smagorinsky-modellen. Formålet er her at undersøge turbulensmodellernes evne til beskrive de fysiske forhold, ved at undersøge godt de kan beskrive strømningssituationerne målt i strømrenden. Der er desuden gennemført en kvalitetskontrol på de anvendte måledata. Dette er sket gennem en tidsserieanalyse, udvalgte måleserier er undersøgt mht. sandsynlighedsfordeling og spring i datasættet. Det er desuden beregnet, stor en vedvarenhed der er i målingerne vha. autokorrelationsfunktionen, og der er udført en spektralanalyse, variansspektret er opstillet for at undersøge for harmoniske svingninger i målingerne.

4 Forsøgsopstilling file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\forsogsopstilling\forsogsopstilling.htm Side 1 af 1 Forsøgsopstillinger Der er benyttet to forsøgsopstillinger i en 14 m lang rende til måling af hastigheder i turbulente strømninger. Hastighederne er målt med et Laser Doppler anemometer. Til bestemmelse af de parametre, der indgår i modellering af turbulente strømninger, er der etableret en ru bund i renden i form af skærver. Ved modellering af turbulente strømninger er der benyttet en forsøgsopstilling, der er etableret et 10x10 cm indløb. Parameterbestemmelse Ved de udførte forsøg til brug ved bestemmelse af parametre, som indgår i turbulensteorien, er der benyttet en forsøgsopstilling, der er lagt et lag skærver i bunden af renden over en strækning på 4,5 m. Der foregår strømning over hele rendens tværsnit. Der er foretaget målinger af hastigheden over et tværsnit, der er målt i et profil med et 1 cm interval mellem målingerne 14 cm ude i renden. Hastigheden er målt i hvert punkt i x- og z-retningen samt ±45 (xz-planen). På baggrund af de målte hastigheder er hastighedsprofiler for de tre hastighedskomposanter optegnet. Figur 1 Strømrende med skærver på bunden. Ved den stiplede røde linie er der foretaget måling af hastigheden. Modellering af turbulent strømning Ved de udførte forsøg til brug ved modellering af turbulent strømning, er der anvendt en forsøgsopstilling, en plade placeret i renden blokere for strømningen, med undtagelse af et 10 x 10 cm stor åbning placeret i hjørnet af renden. Der er foretaget målinger af hastigheden i fem tværsnit fordelt ned gennem renden. I hvert tværsnit er der målt i fire til fem profiler, som er opløst i fire til seks målinger. Antallet af målinger er aftagende med strømningsretningen, da det er strømningen omkring udløbet, der er mest interessant. Hastigheden er målt i hvert punkt i x- og z-retningen. På baggrund af de målte hastigheder er der optegnet hastighedsprofiler for de to hastighedskomposanter. Figur 2 Tværsnit af strømrenden, placeringen af punkterne, der er målt hastigheder, er vist. Figur 3 Det rektangulære indløb i renden placeret i pladen der afspærrer rendens tværsnit. Figur 4 Ved at klikke på billedet til venstre fremkommer en interaktiv 3Dmodel af forsøgsopstillingen. Dette kræver et program ved navn Cortona. Hvis du ikke allerede har installeret dette program, kan det hentes ved at klikke her.

5 Turbulent strømning file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\turbulent_stromning\turbulent_stromning.htm Side 1 af 2 Turbulent strømning I dette projekt er der arbejdet med bestemmelse af strømningsmæssige parametre, som har betydning for turbulente strømninger, samt modellering af turbulente strømninger. Turbulente strømninger kan betragtes som en middelstrømning overlejret med en masse hvirvler, hvilket giver uregelmæssige turbulente fluktuationer i hastigheden. De turbulente strømninger opstår, når den karakteristiske hastighed eller den karakteristiske længde i Reynolds' tal bliver tilstrækkelig stor. Ved forsøg er det vist, at strømningen går fra laminær til turbulent strømning, når Reynolds' tal bliver større end ca [Brorsen, 2003] Re V L n er Reynolds' tal [-] er den karakteristiske hastighed [m/s] er den karakteristiske længde [m] er væskens kinematiske viskositet [m/s 2 ] Figur 5 Figuren viser tilledning af farvestof til væsken gennem et tyndt rør i hhv. en laminær og turbulent strømning. Figuren til venstre illustrerer laminær strømning, som er en roligt flydende strømning, og figuren til højre illustrerer turbulent strømning, som er en uroligt udseende strømning fyldt med hvirvler. (Efter Brorsen og Larsen, 2001) De turbulente strømninger kan beskrives vha. Navier-Stokes' ligning for turbulent strømning [Brorsen, 2003]: ρ U i u i t p + µ er densiteten [g/m 3 ] er hastighedsfeltet i middelstrømningen [m/s] er de turbulente fluktuationer [m/s] er tiden [s] er den del af trykket, der afviger fra det hydrostatiske tryk [Pa] er den dynamiske viskositet [Pa s] De hvirvler, der giver fluktuationerne i en turbulent strømning, vil altid bevirke en udveksling af bevægelsesmængde mellem to lag i strømningen. Hvis disse hvirvler ikke ønskes medtaget i beregning af hastighedsfeltet, medtages deres virkning ved at påføre middelstrømningen en forskydningsspænding. I en turbulent strømning haves generelt to bidrag til forskydningsspændingerne; et der skyldes viskositeten og et forårsaget af turbulens: [Brorsen, 2003]

6 Turbulent strømning file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\turbulent_stromning\turbulent_stromning.htm Side 2 af 2 og Figur 6 Ækvivalente beskrivelser af turbulent strømning [Efter Brorsen, 2003]. Det ses her, at sidste led på højresiden i Navier-Stokes' ligning udtrykker de turbulente forskydningsspændinger, mens næstsidste led udtrykker de viskose forskydningsspændinger. Forskydningsspændingerne forårsaget af turbulens, τ turb, kan tolkes som tillægsspændinger, der normalt betegnes som Reynolds' spændinger. Den overførsel af bevægelsesmængde, der sker i en turbulent strømning, sker på samme måde som molekylernes overførsel af bevægelsesmængde som følge af deres bevægelser, der er proportionale med temperaturen af væsken. Da det ikke er muligt at beskrive fluktuationerne som indgår i de turbulente forskydningsspændinger, indføres i den tekniske turbulensteori en ligning til beskrivelse af de ækvivalente forskydningsspændinger. Ved beskrivelse af turbulens benyttes derfor nedenstående ligninger. ν T er hvirvelviskositeten [m 2 /s] Ofte er ν T >>ν, for der kan ses bort fra τ viskos. Det er dog vigtigt at være opmærksom på, at antagelsen ikke gældender generelt, f.eks. tæt på en glat væg, da det herved findes, at τ væg er 0, selvom det er her, de største forskydningsspændinger findes. [Brorsen, 2003] Fra at skulle beskrive fluktuationerne i den turbulente strømning, er det nu muligt at medtage disse fluktuationer, og dermed en udveksling af bevægelsesmængde, ved at beskrive effekterne af fluktuationerne i form af forskydningsspændinger. Ved brug af ovenstående udtryk er det hvirvelviskositeten, der skal bestemmes for at give sammenhængen mellem middelstrømningen og de turbulente forskydningsspændinger. Modeller, der kan bestemme hvirvelviskositeten, betegnes turbulensmodeller, og disse benyttes hermed gennem hvirvelviskositeten, ν T, til at beskrive de turbulente strømninger.

7 Bundforskydningsspænding file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\bundforskydningsspending\bundforskydningsspending.htm Side 1 af 1 Bundforskydningsspænding Som et element i en turbulent strømning, er der arbejdet med bestemmelse af bundforskydningsspændingen. Der er taget udgangspunkt i en forsøgsopstilling, der er et lag skærver i bunden af strømrenden, efter der er etableret en strømning i renden. Der er målt hastighedsprofiler ved to forskellige hastigheder, hhv. lav (måling 1) og høj (måling 2), med Laser Dobbler anemometer og med propel, og på baggrund af disse, er bundforskydningsspændingen, som er forårsaget af de ilagte skærver bestemt. Der er benyttet tre metoder til bestemmelse af bundforskydningsspændingen. Der er opstillet en kraftligevægt for et væskelegeme, og energiliniegradienten er herved benyttet til bestemmelse af bundforskydningsspændingen. De målte hastigheder er benyttet sammen med et empirisk udtryk for det logaritmiske hastighedsprofil, dels til bestemmelse af bundens forskydning i forhold til de ilagte skærver, og dels til beregning af friktionshastigheden, som benyttes ved bestemmelse af bundforskydningsspændingen. Reynolds' spændingerne er målt indirekte i hele profilet, og en lineær sammenhæng er forlænget til bunden, hvilket gør det muligt at bestemme forskydningsspændingen.

8 Bundforskydningsspænding file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\bundforskydningsspending\maalt_hast\start_hast.htm Side 1 af 1 Målte hastighedsprofiler Til bestemmelse af bundforskydningsspænding er middelhastigheden bestemt i et profil. Der er foretaget to målinger hhv. ved en lav og høj vandføring. Til bestemmelse af Reynolds' spændinger er middelhastigheden af fluktationerne bestemt i strømningsretningen (x-aksen) og i en vinkel på ± 45 omkring x-aksen i x-z-planen. Disse tre stillinger er betegnet som stilling 0, 1 og 2. Hastighedsprofilet for middelhastigheden kan ses for hver måling ved de tre stillinger ved at trykke på ovenstående tegning. Rådata

9 Bundforskydningsspænding bestemt ved kraftligevægt Side 1 af 2 file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\bundforskydningsspending\energiliniegradient\energiliniegradient... Bundforskydningsspænding ved kraftligevægt Til bestemmelse af bundforskydningsspændingen ved brug af energiliniegradienten er der med udgangspunkt i en kraftligevægt for et væskelegeme benyttet at: [Brorsen og Larsen, 2001] τ 0 ρ g R I er bundforskydningsspændingen [N/m 2 ] er densiteten [kg/m 3 ] er tyngdeaccelerationen [m/s 2 ] er hydraulisk radius [m] er energiliniegradienten [m/m] Det er her antaget, at vandspejlet er sammenfaldende med energilinien, for en måling af faldet på vandspejlet hen over de ilagte skærver giver energiliniegradienten. Det har i den forbindelse vist sig, at der er en stigning på vandspejlet hen over skærvebunden. Benyttes antagelsen om, at energilinien er sammenfaldende med vandspejlet, vil energilinien også stige hen over skærvebunden i strømningens retning, hvilket ikke er korrekt, da energilinien vil falde i strømningens retning. Forklaringen på det observerede må være, at der er en større hastighedshøjde i starten af skærvebunden end ved slutningen. Den reducerede hastighedshøjde hen over skærverne er omsat til en stigning i trykhøjden, dvs. en stigning i vandspejlet. Nedenstående principskitse viser situationen. Figur 13 Principskitse af stigende vandspejl og faldende energiliniegradienten. På trods af den forøgede trykhøjde, vil energilinien på grund af faldet i hastighedshøjden falde. For at finde gradienten på energilinien, benyttes, frem for vandspejlshældningen, energiligningen. [Brorsen og Larsen, 2001] z er referenceniveau [m] p er er trykket [m] γ er specifik tyngde [N/m 3 ] α er hastighedsfordelingskoefficienten [-] V er middelhastigheden [m/s] H er tryktabet [m] Da renden er sat med vandret bund sættes z lig nul, og ligningen udtrykker nu, at trykniveauet plus hastighedshøjden i snit A er lig trykniveau plus hastighedshøjde i snit B plus det tryktab, der er sket undervejs mellem de to snit. Isoleres tryktabet mellem to snit, og divideres denne med længden mellem de to snit, findes energiliniegradienten. y er vanddybden i de to snit [m] Her beregnes hastighedsfordelingskoefficienten på baggrund af:

10 Bundforskydningsspænding bestemt ved kraftligevægt Side 2 af 2 file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\bundforskydningsspending\energiliniegradient\energiliniegradient... v a A er hastigheden i de enkelte punkter [m/s] er arealet tilknyttet de enkelte hastigheder [m 2 ] er tværsnitsarealet af renden [m 2 ] Hastighederne i renden er målt i seks punkter i de to tværsnit vha. propel. Nedenstående figur viser tværsnit A, som blev målt 1,5 m inde i renden, hvilket svarer til 0,5 m efter skærvebundens start. Vanddybden i tværsnit A er 24,8 cm. Figur 14 Tværsnit af strømrenden. Krydserne viser propelmålingerne er foretaget, og de stiplede linier afgrænser det areal, som hører til hastighederne målt med propellen. Vanddybden i tværsnit A er 24.8 cm. Det andet tværsnit er målt 5 m inde i renden, hvilket svarer til 3,5 m efter skærvebundens start. Vanddybden i tværsnit B er 25,01 cm. Hastighederne i de to tværsnit er vist i nedenstående tabel: Tabel 1 Målte hastigheder i tværsnit A og B. Afstand fra kant Højde over bunden Hastighed tværsnit A Hastighed tværsnit B [cm] [cm] [m/s] [m/s] Hermed er hastighedsfordelingskoefficienten og dermed hastighedshøjden beregnet for tværsnit A og B. Resultatet ses i nedenstående tabel. Tabel 2 Beregnet hast. fordelingskoefficient og hastighedshøjde for tværsnit A og B. Enhed Tværsnit A Tværsnit B Vanddybde y cm 24,80 25,01 Hast. fordelingskoefficient α - 1,01 1,08 Hastighedshøjde αv 2 /2g cm 0,470 0,468 Ud fra ovenstående er energiliniegradienten beregnet til -0,7, hvilket svarer til, at energilinien stiger (excelberegning). Dette er ikke korrekt, da energilinien hen over stykket med skærvebund vil falde pga. den øgede modstand fra skærverne på bunden. Det negative fald på energilinien kan skyldes, at hastighedshøjderne er så små, at usikkerhederne ved måling af højden af vandspejlet overskygger hastighedshøjdens effekt på energiliniens fald. Dvs. at hastighedshøjderne er så små, at deres betydning forsvinder i de øvrige usikkerheder, der bl.a. er på måling af vanddybden. Det er på baggrund af ovenstående valgt ikke at benytte den her beskrevne metode til bestemmelse af bundforskydningsspændingen.

11 Bundforskydningsspændinger bestemt ved friktionshastighed file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\bundforskydningsspending\friktionshastighed\friktionshastighed.h... Side 1 af 2 Bundforskydning ved friktionshastighed En metode til bestemmelse af bundforskydningsspændingen er ved at betragte hastighedsprofilet for middelhastigheden i den turbulente strømning. I denne forbindelse indføres sammenhængen mellem den såkaldte friktionshastighed og bundforskydningsspændingen. [Brorsen, 2003] U F er friktionshastigheden [m/s] τ 0 er bundforskydningsspændingen [N/m 2 ] ρ er densitet [kg/m 3 ] Hastighedsprofilet i den turbulente strømning med ru bund antager et logaritmisk profil. Med udgangspunkt i Nikuradse's forsøg med strømning i rør med ruhedselementer af forskellig størrelse, benyttes følgende løsning til det logaritmiske hastighedsprofil. [Brorsen, 2003] U 1 er middelhastigheden [m/s] z er afstanden over bunden [m] k er den ækvivalente sandruhed [m] I denne ligning er de ubekendte som udgangspunkt U F og k. Vælges to målinger af middelhastigheden i to forskellige afstande over bunden, kan der opstilles to ligninger med to ubekendte. Dog er det først nødvendigt at fastlægge afstanden fra bunden til de udførte målinger. Ved målingerne, er afstanden målt fra bunden af renden, men pga. skærverne bliver bunden forskudt op i renden. Dette problem løses ved at plotte de målte hastighedsprofiler i et enkelt logaritmisk plot. Her skal målingerne under antagelse om et logaritmisk profil ligge på en ret linje. Afviger målingerne fra en ret linje, kan det være fordi bunden enten ligger for lavt eller for højt. Bundkoten forskydes derfor, indtil de målte data ligger på en ret linje. I nedenstående figur ses det målte hastighedsprofil hhv. før og efter forskydning af bunden for måling 1, udført ved lav strømhastighed. (Excelberegning). Figur 15 Målte hastighedsprofiler før og efter forskydning af bunden, til brug for bestemmelse af bundens placering. For de to målinger ved hhv. lav og høj hastighed er bunden fundet som værende beliggende i hhv. 2,5 og 2,75 cm over den reelle bund i renden. Når afstanden fra bunden, z, er kendt for de enkelte målinger, er det nu muligt at opstille to ligninger med to ubekendte ved at indsætte værdier for hastigheden og de tilhørende vanddybder. Ved løsning af ligningerne bestemmes hhv. k og U F. Der er benyttet følgende værdier: Tabel 3 Værdier på det logaritmiske hastighedsprofil anvendt ved bestemmelse af k og U F. Måling 1 Måling 2 Punkt Hastighed Dybde Hastighed Dybde 1 0,06 0,031 0,15 0, ,08 0,060 0,20 0,070 Indsættes dette i ligningen for det logaritmiske hastighedsprofil fås to ligninger med to ubekendte, her vist for måling 1:

12 Bundforskydningsspændinger bestemt ved friktionshastighed file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\bundforskydningsspending\friktionshastighed\friktionshastighed.h... Side 2 af 2 Ved løsning findes k = 0,14 m og U F = 0,012 m/s. På denne måde findes den ækvivalente sandruhed, k, og friktionshastigheden U F. På baggrund af U F er det som beskrevet muligt, at bestemme bundforskydningsspændingen. Resultaterne for de to målinger ved hhv. lav og høj hastighed ses i nedenstående tabel. Tabel 4 Resultat af bestemmelse af bundforskydningsspænding ved friktionshastigheden. Enhed Måling 1 lav hastighed Måling 2 høj hastighed Ækvivalent sandruhed k m ,13 Friktionshastighed U F m/s Bundforskydningsspænding τ o N/m 2 0,15 0,80 Der er fundet en ækvivalent sandruhed, der ikke afviger meget mellem de to målinger, hvilket også er forventeligt, da de to målinger er udført med samme skærvebund. Friktionshastigheden er størst for målingen med høj hastighed, hvilket betyder, at også bundforskydningsspændingen bliver størst ved den høje hastighed. Dette er ligeledes som forventet, da vanddybden er større ved målingen med høj hastighed, og derved opnås en større bundforskydningsspænding. De fundne løsninger er kun gældende for den del af hastighedsprofilet, der er logaritmisk. Derfor er nogle af punkterne i måleserien ikke medtaget. I nedenstående figur ses det logaritmiske hastighedsprofil fundet for de to målinger ved brug af de bestemte værdier for ækvivalent sandruhed og friktionshastighed. De målte hastighedsprofiler er desuden optegnet sammen med de beregnede. (Excelberegning). Figur 16 Målte og beregnede hastighedsprofiler for måling 1 og 2 med hhv. lav og høj strømhastighed.

13 Bundforskydningsspænding bestemt ved Reynolds' spændinger file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\bundforskydningsspending\fluktationer\fluktationer.htm Side 1 af 2 Bundforskydningsspænding ved Reynolds' spændinger En måde at bestemme bundforskydningsspændingen er vha. Reynolds' spændinger, da der ved en konstant vanddybde kan antages en lineær sammenhæng mellem forskydningsspændingen og dybden. Reynolds' spændingerne, også benævnt de turbulente forskydningsspændinger, τ turb, kan bestemmes af middelværdien af fluktationer i den turbulente strømning. ρ er densiteten u x er flukturationerne i x-retningen u z er flukturationerne i z-retningen Middelværdien af fluktationerne i x- og z-retningen er bestemt ved: [MB notat, 1978] σ + = σ + σ + 2uu z x x z x z 2 2 σ + σ σz+ x σ z x uu x z= z x z x (( Ux Uz) ( U i x Uz) ) 2 ( ) i z x= RMSz x= = ux + uz σ N 2 Figur 17 Måling af hastigheder i tre stillinger til bestemmelse af Reynolds' spændingerne. (( ) ( )) Ux Uz Ux U i i z 2 σ z x= RMSz x= = ( ux uz) N Middelværdien af fluktationerne er bestemt på baggrund spredningen på måling af hastighed. Hastighederne er målt 14 cm inde i renden i et profil med et interval mellem hver måling på 1 cm. Der er foretaget to målinger; en ved lav og en ved høj strømhastighed. Reynolds' spændingerne er bestemt for hvert målepunkt i de to målinger. I nedenstående figur ses de beregnede Reynolds' spændinger ved måling 1 og 2 ved hhv. lav og høj strømhastighed. 2 Figur 18 Beregnet forskydningsspændinger som funktion af vanddybden. Der er indlagt en ret linje til de to målinger, som er forlænget til en vanddybde på nul cm, af bundforskydningsspændingen er fundet (Excelberegning). Tabel 5 Bundforskydningsspænding fundet ved beregning af Reynolds' spændinger. Enhed Værdi Bundforskydningsspænding måling 1 τ 1 N/m 2 0,14

14 Bundforskydningsspænding bestemt ved Reynolds' spændinger file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\bundforskydningsspending\fluktationer\fluktationer.htm Side 2 af 2 Bundforskydningsspænding måling 2 τ 2 N/m 2 0,22 Korrelationskoefficienten måling 1 R 2-0,64 Korrelationskoefficienten måling 2 R 1-0,84 Der ses en højere bundforskydningsspænding ved højere vandføring, hvilket skyldes, at der ved etablering af større vandføring i renden sker en forøgelse af vanddybden. Bundforskydningsspændingen er proportional med vanddybden, hvilket ses ved opstilling af en kraftbalance for et væskelegeme, i dette tilfælde i form af hydraulisk radius. Ved forøget hastighed og dermed vanddybde, er det således forventeligt at se en større bundforskydningsspænding.

15 Energibalance file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\energibalance\energibalance.htm Side 1 af 1 Energibalance Turbulensen i en ensformig turbulent strømning vil blive opretholdt, hvilket ses ved, at fluktuationerne i et punkt bevarer deres størrelse og fordeling uafhængigt af tiden. Dette er muligt, idet der sker en stadig overførsel af energi fra middelstrømningen til turbulensen. Der sker således en produktion af turbulent energi i strømningen i form af forskydningsspændingernes arbejde. Den turbulente energi omsættes herefter ikke direkte til varme i de store hvirvler, men overføres i stedet til mindre og mindre hvirvler. I de mindste hvirvler omsættes den turbulente energi til varme, hvilket betegnes dissipation. [Brorsen, 2003] Der er således en energibalance i en turbulent strømning, forskydningsspændingernes arbejde skaber en turbulent kinetisk energi, og denne energi omsættes gennem mindre hvirvler til varme ved dissipation. Ved modellering af turbulens gennem turbulensmodeller, indgår beskrivelser af både den kinetisk energi og dissipationen. Det er f.eks. tilfældet i kε-modellen, der indeholder transportligninger for både kinetisk energi og dissipationen. Der er arbejdet med bestemmelse af hhv. kinetisk energi og dissipation som elementer i energibalancen for en turbulent strømning. Der er taget udgangspunkt i forsøgsopstillingen, der er lagt skærver i bunden af renden for på den måde at skabe en større ruhed og turbulens ved bunden. Der er målt hastighedsprofiler og fluktuationer i form af spredningen på målingen af de enkelte middelhastigheder, som er benyttet i beregningen af kinetisk energi og dissipation.

16 Kinetisk energi file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\energibalance\kinetisk_energi\kinetisk_energi.htm Side 1 af 2 Kinetisk energi Som en del af energibalancen beregnes den kinetiske energi i den betragtede strømningen med de ilagte skærver i bunden. Der er gennemført målinger af hastighed ved hhv. høj og lav hastighed, og beregningerne er gennemført for begge situationer. Den turbulente kinetiske energi pr. masseenhed er defineret som [Brorsen, 2003]: k u v w er turbulent kinetisk energi [m 2 /s 2 ] er fluktuationen i x-aksens retning [m/s] er fluktuationen i z-aksens retning [m/s] er fluktuationen i y-aksens retning [m/s] Herved findes k som den kinetiske energi, der skyldes fluktuationerne. Der er udført målinger af hastighederne og fluktuationerne i hhv. x- og z-aksens retning. Den tredje komposant i y-aksens retning har ikke været mulig at måle, men fastsættes ved at antage, at størrelsen af fluktuationerne ligger mellem fluktuationerne i hhv. x- og z-aksens retning [Hughes and Brighton]. Den samlede kinetiske energi i strømningen findes ved at beregne den kinetiske energi som følge af middelstrømningen, og herefter addere den turbulente kinetiske energi hertil [Brorsen, 2003]: k tot U i er total turbulent kinetisk energi [m 2 /s 2 ] er middelhastigheden [m/s] I nedenstående figur ses den turbulente kinetiske energi og den totale kinetiske energi for de to forsøg (måling 1 og måling 2) med hhv. høj og lav hastighed (exelberegning). Figur 19 Beregnet turbulent- og total kinetisk energi for de to situationer med hhv. høj og lav hastighed. Det ses, dan den turbulente kinetiske energi er mindst i den øverste del af profilet, mens den er stigende ned mod bunden. Det blev ved beregning af Reynolds' spændingerne vist, at disse er stigende ned mod bunden, dvs. de turbulente forskydningsspændinger er størst tæt ved bunden. Med baggrund i, at produktionen af energi netop sker ved forskydningsspændingernes arbejde [Brorsen, 2003], er det også forventeligt, at den turbulente kinetiske energi er størst tæt ved bunden. Det ses desuden, dan den største turbulente kinetiske energi findes ved den største strømningshastighed, hvilket også gør sig gældende ved Reynolds' spændingerne. Den totale kinetiske energi er derimod i høj grad domineret af bidraget fra middelstrømningen, for den totale kinetiske energi har form efter det logaritmiske hastighedsprofil med lave værdier ved bunden og store værdier ved toppen. Også her ses, som følge af større middelhastighed, og dermed større kinetisk energi, de største værdier ved høj strømningshastighed.

17 Dissipation file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\energibalance\dissipation\dissipation.htm Side 1 af 2 Dissipation Dissipation beskriver omdannelsen af de makroskopiske væskepartiklers kinetiske energi, organiserede bevægelser, til kinetisk energi på molekylært niveau, uorganiserede bevægelser. Ved denne omdannelse af energi, øges væskens temperatur. Omdannelsen af energien kan også betragtes som et tab af mekanisk energi, da de uorganiserede bevægelser ikke direkte kan omsættes til organiserede bevægelser. [Brorsen, 2003] Dissipationen kan bestemmes, ved at betragte det arbejde kræfterne yder på et væskepartikel, samt tilvæksten i partiklens kinetiske energi [Brorsen, 2003]. Dissipationen kan også bestemmes ved et udtryk, der er udledt på baggrund af forsøg, hvilket der er benyttet i det efterfølgende. Her er det brugt, at: ε A k l d er dissipationen [m 2 /s 3 ] er en dimensionsløs faktor lig med 0,09 [-] er den tidsligt glattede turbulente kinetiske energi [m 2 /s 2 ] er længdeskalaen for de turbulente hvirvler [m] Her er den turbulente kinetiske energi bestemt ved forsøg. Længdeskalaen for de turbulente hvirvler er af samme størrelsesorden som blandingslængden, l b. Blandingslængden kan i nogle strømningssituationer bestemmes. Dette er ved strømning i grænselaget ved en væg, ved fuldt udviklet turbulens i rør og kanaler og ved fri turbulens. Grænselagets tykkelse er defineret som afstanden fra væggen ud til det sted i hastighedsprofilet, U 1 er 0.99 U 0, når U 0 er hastigheden uden for grænselaget [Brorsen, 2003]. I nedenstående figurer ses de målte hastighedsprofiler, med en markering af den omtrentlige placering af grænselaget. Figur 20 Hastighedsprofiler for måling 1 og måling 2 med hhv. lav og høj strømhastighed. Grænselagets placering er markeret med en rød linie. Det er i det efterfølgende antaget, at strømningen foregår i grænselaget. Her kan blandingslængden bestemmes af: [Brorsen, 2003] For x 2 < 0,25δ κ x 2 δ For 0,25δ < x 2 > δ er Kármáns universalkonstant [-] er afstanden fra væggen [m] er tykkelsen af grænselaget [m] Når blandingslængden er fundet, kan længdeskalaen for de turbulente hvirvler bestemmes:

18 Dissipation file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\energibalance\dissipation\dissipation.htm Side 2 af 2 Dissipationen er efterfølgende bestemt. I nedenstående figur er den beregnede dissipation vist som funktion af vanddybden i renden (Excelberegning). Figur 21 Grafisk afbildning af dissipationen som funktion af vanddybden i strømrenden. Det ses, at dissipationen er mindst i den øverste del af profilet og voksende ned mod bunden. Dette stemmer over ens med, at den turbulente kinetiske energi også er mindst i toppen og voksende mod bunden, da dissipationen udtrykker omdannelse af den turbulente kinetiske energi til varme. Dissipationen er desuden større ved måling 2 med den store strømhastighed, hvilket også er tilfældet ved den turbulente kinetiske energi.

19 Modellering af turbulens file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\turbulensmodeller\turbulensmodeller.htm Side 1 af 3 Modellering af turbulens Beskrivelsen af de turbulente strømninger sker gennem turbulensmodeller, hvirvelviskositeten, ν T, er bestemt. Hvirvelviskositeten benyttes efterfølgende til at beregne de turbulente forskydningsspændinger, som beskriver effekten af fluktuationerne, og dermed udvekslingen af bevægelsesmængde på tværs af strømningsretningen, som forårsages af turbulensen. Ved brug af turbulensmodeller, som således beskriver en relation mellem middelstrømning og Reynolds-spændingerne, er det kun nødvendigt at beskrive middelstrømningen for at bestemme hvirvelviskositeten. I turbulensmodellerne bestemmes hvirvelviskositeten på forskellige måder. De opstillede turbulensmodeller bør overholde kravet ν T >0, da tilstedeværelsen af hvirvler altid vil give en opblanding på tværs af strømningsretningen. [Brorsen, 2003] I nedenstående afsnit er k-modellen, kε-modellen, Smagorinsky-modellen og kombineret 1D kε og 2D Smagorinsky-modellen beskrevet. k-modellen I k-modellen er hvirvelviskositeten bestemt med udgangspunkt i den turbulente kinetiske energi. ν T l d k er hvirvelviskositeten [m 2 /s] er længdeskalaen for de turbulente hvirvler [m] er den tidsligt glattede turbulente kinetiske energi [m 2 /s 2 ] For at bestemme hvirvelviskositeten er der i k-modellen opstillet en transportligning for den turbulente kinetiske energi, k, og i MIKE 3, som i dette projekt er benyttet til modellering af turbulens, er denne transportligningen løst som: [DHI, 2003] t u x σ k σ T β g φ c D er tiden [s] er hastigheden [m/s] er stedet [m] er en empirisk konstant [-] er en empirisk konstant [-] er den volumetriske udvidelseskoefficient [-] er tyngdeacclerationen [m/s 2 ] er buoyancy scalar quantity [-] er en empirisk konstant [-] Når k er fundet, kan hvirvelviskositeten bestemmes ud fra en kendt længdeskala for de turbulente hvirvler, l d. Et problem ved brug af k-modellen er imidlertid, at der i generelle strømningstilfælde kun er ringe kendskab til l d. Dette bevirker, at k- modellen ofte ikke giver væsentligt bedre resultater end blandingslængde-modellen, som ikke benytter den turbulente hastighedsskala, med modellen kan forudsige hvirvelviskositeter lig med 0, hvilket ikke er muligt ved turbulente strømninger. [Brorsen, 2003] På grund af dette, er denne model ikke benyttet ved beskrivelsen af strømningsproblemet i dette projekt. kε-modellen I modsætning til k-modellen, er der i kε-modellen udover en transportligning for den turbulente kinetiske energi, også opsat en transportligning, så længdeskalaen for de turbulente hvirvler, l d, kan bestemmes. Denne transportligning er opskrevet for dissipationen, ε, udfra længdeskalaen for de turbulente hvirvler kan findes, når den turbulente kinetiske energi er bestemt [Brorsen, 2003]: ε A er dissipationen [m 2 /s 3 ] er en konstant lig med 0,09 [-] I MIKE 3 er transportligningen for den turbulente kinetiske energi opstillet som: [DHI, 2003]

20 Modellering af turbulens file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\turbulensmodeller\turbulensmodeller.htm Side 2 af 3 Og transportligningen for dissipation er opstillet som: [DHI, 2003] t σ ε c 1e c 2e c 3e er tiden [s] er en empirisk konstant [-] er en empirisk konstant [-] er en empirisk konstant [-] er en empirisk konstant [-] Når disse to transportligninger er løst, kan hvirvelviskositeten, ν Τ, bestemmes: c µ er en empirisk konstant [-] Denne model er benyttet ved modelleringen af de turbulente strømninger i strømrenden. Det ses dog, at modellen indeholder en række empiriske konstanter, hvis størrelse bygger på en lang række forsøg. Dette vanskeliggør en egentlig kalibrering af modellen, for resultaterne, der fremkommer med en standardopsætning, som udgangspunkt, må accepteres. Smagorinsky-modellen Smagorinsky-modellen er den mest anvendte turbulensmodel. I denne model er hvirvelviskositeten, ν T, beregnet af ændringer i hastighedsfeltet. Hvirvelviskositeten beregnes som: ν T C s S ij er hvirvelviskositeten [m 2 /s] er Smagorinsky's konstant [-] er boksstørrelsen [m] er deformationshastighedstensoren [s -1 ] Deformationshastighedstensoren beskriver ændringerne i hastighedsfeltet og er bestemt af: U x er hastighedskomposanten [m/s] er retningen I Smagorinsky-modellen er der i beregningen af hvirvelviskositeten også taget hensyn til, hvilke hvirvelstørrelser der medtages i beregning af Reynoldsspændingerne. Dette er gjort ved at inkludere boksstørrelsen,, i formlen for hvirvelviskositeten, med små hvirvler mindre end boksstørrelsen beregnes som Reynoldsspændinger, mens større hvirvler indgår i Navier-Stokes ligning som en del af middelstrømningen. Smagorinsky-modellen er benyttet ved modelleringen af de turbulente strømninger i strømrenden. Her er det muligt at kalibrere modellen ved justering af Smagorinsky konstanten C s. Kombineret 1D kε og 2D Smagorinsky modellen I den kombinerede 1D kε- og 2D Smagorinsky model, beregnes hvirvelviskositeten i den horisontale udstrækning vha. Smagorinskymodellen, og i den vertikale udstrækning ved kε-modellen. Kombineret 1D kε- og 2D Smagorinsky modellen er specielt anvendelig når den horisontale gridudbredelse er meget større end den vertikale gridudbredelse. Dette gør modellen velegnet ved modellering af eksempelvis fjorde og større havområder, da der her netop

21 Modellering af turbulens file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\turbulensmodeller\turbulensmodeller.htm Side 3 af 3 er en meget stor horisontal udbredelse i forhold til den vertikale udbredelse. I MIKE 3 er der benyttet en transportmodel for k som vist nedenfor: [DHI, 2003] P G er bidrag fra hastighedsforskydning [m/s] er bidrag fra opdrift [-] P og G er beregnet som: u er hastigheden i den horisontale retning [m/s] g ρ σ T er tyngdeaccelerationen [m/s 2 ] er densiteten [g/m 2 ] er Prandtl's tal [-] Og transportmodellen for ε er: I strømrenden er den horisontale gridudbredelse ikke meget større end den vertikale gridudbredelse, for den kombinerede 1D kεog 2D Smagorinsky model ikke er anvendt til løsning af strømningsproblemet i dette projekt. Med udgangspunkt i ovenstående er det valgt at benytte kε modellen og Smagorinsky-modellen til beskrivelsen af de turbulente strømninger i strømrenden, da disse passer bedst med dette strømningsproblem.

22 Målte hastighedsprofiler file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\maalt_hastighedsprofil\maalt_hastighed... Side 1 af 1 Målte hastighedsprofiler Til brug ved kalibrering og validering af MIKE 3 modellen med hhv. Smagorinsky- og kε-modellen til beskrivelse af turbulens i strømningen, er der udført en række målinger af hastigheder i strømrenden. Målingerne er udført med laser doppler anemometer, og der er målt hastigheder i hhv. x-aksens og z-aksens retning. De målte hastigheder er middelhastigheder fundet over 60 sekunder. De enkelte profiler er angivet med et stationsnummer, der angiver afstanden fra indløbet i mm, et bogstav fra A til E der angiver placeringen fra venstre kant, når et tværsnit betragtes mod strømmen, samt bogstavet X eller Z, der angiver, om det er hastigheden i hhv. x- eller z-aksens retning. St. 100BX angiver således et hastighedsprofil målt i tværsnittet beliggende 100 mm fra indløbet i x- aksens retning og profil B i y-aksens retning med hastigheder i x-aksens retning. I ovenstående figur vælges i rendens længderetning, i den øverste del af figuren hvilket tværsnit der ønskes profiler fra ved at klikke på de enkelte tværsnit. De enkelte profiler fra A til E vælges herefter i den nederste del af figuren, som viser det valgte tværsnit. Der fremkommer herefter en grafisk afbildning af de målte hastigheder i hhv. x- og z-aksens retning i hele det valgte profil.

23 Modelopsætning file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\modelopsatning\modelopsatning.htm Side 1 af 1 Modelopsætning I MIKE 3 er der sat en model op til at beregne flow i forsøgsopstillingen. Dette er gjort ved at beskrive modellens bathymetri ved oplysninger om dimensionerne på det grid, der bliver benyttet ved beregningerne. Der er benyttet et 2D-grid, hvilket vil sige, at modellen kun er en enkelt celle høj. Derefter er modellen inddelt vertikalt i en række lag for at kompensere for dette. Gridstørrelsen er sat til 2 cm i alle retninger, og antallet af celler i modelområdet er 201x17x10. De reelle mål på forsøgsopstillingen er 400x30,6x18,8 cm. Grunden til, at modellens bathymetri er større end de reelle mål er, at de yderste celler skal defineres som "land", som er kanterne af modellen, der ikke er vand. På nedenstående figur ses en skitse af forsøgsopstillingen. Det Indlagte net illustrerer den diskretisering, der er benyttet i modellen. Figur 22 Skitse af forsøgsopstilling, med den benyttede diskretisering vist som et net. Øvre rand er markeret med rød, og nedre rand med grøn. Som det ses på figuren, dækker beregningsnettet ikke hele forsøgsopstillingen. Dette er gjort for at undgå at modellere forholdene omkring overløbet, og desuden nedsættes beregningstiden betydeligt ved at mindske beregningsområdet. I stedet er vandspejlshøjden målt, og det er antaget, at denne svarer til trykhøjden. Dette trykniveau, målt til 18,8 cm, er benyttet som randbetingelse på nedre rand (markeret med grøn). Det 10x10 cm store indløb er simuleret ved at indsætte et såkaldt source/sink i 25 celler på øvre rand (markeret med rød). Disse celler udgør den anden randbetingelse, som er et konstant flow på 3,73 l/s. Der er i modellen anvendt både en flowrand og en trykrand (også kaldet hhv. en Neumann-randbetingelse og en Direchletrandbetingelse), hvilket gør den mere stabil, end hvis der eksempelvis var to trykrande. Hvis der er to flowrande, er modellen ikke entydig, da den kan konvergere med flere forskellige trykniveauer. Bundruheden er angivet ved en slip-faktor, som sættes til en værdi mellem nul og en. Den beregnede hastighed i den første række af celler over bunden ganges med slip-faktoren, og denne hastighed anvendes herefter på bunden. Dvs. at en slip-faktor på 1 giver samme hastighed på bunden som i cellen over, mens en slip-faktor på 0 giver en hastighed på 0 på bunden. Det er et krav, at løsningen er uafhøngig af gridstørrelsen, for dette er undersøgt, ved at gennemføre en modellering med en stedlig diskretisering på hhv. 1 og 2 cm i alle retninger. Modellernes beregnede hastighed er sammenlignet i et profil 5 cm (x-retning) fra indløbet og 1,6 cm (z-retning) fra siden af renden i en dybde på 1, 3 og 10 cm. I nedenstående figur er resultatet af sammenligningen vist. Figur 23 Simuleret hastighed for en diskretisering på henholdsvis 1 og 2 cm. Da der kun er en meget lille forskel på de to simuleringer, er der anvendt en gridstørrelse på 2 cm.

24 ke-modellen file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\ke_modellen\ke_modellen.htm Side 1 af 4 kε turbulens-modellen Det er undersøgt, godt kε-modellen er i stand til at beskrive de turbulente strømninger i strømrenden. kε-modellen beregner hvirvelviskositeten ud fra en transportligning for den turbulente kinetiske energi og en transportligning for længdeskalaen for de turbulente hvirvler. Der er ikke foretaget nogen egentlig kalibrering og validering af modellen, da den indeholder en stor mængde af empiriske konstanter og diffusionsparametre, som er bestemt ved forsøg, og derfor ikke bør ændres under en eventuel kalibrering. Vurderingen af, god kε-modellen er til at efterligne den turbulente strømning i strømrenden, er udført ved at opstille en model i MIKE 3, som benytter kε-modellen med de parametre, der er fastsat som udgangspunkt. Efterfølgende er resultatet af modellen sammenlignet med de målte hastigheder i otte udvalgte punkter. De punkter, der er valgt at benytte ved sammenligningen, er vist i nedenstående skitse af strømrenden. Figur 24 Placering af hastighedsprofiler benyttet til sammenligning med modellen. Det er på figuren vist hvilke punkter der i Smagorinsky-modellen er benyttet til hhv. kalibrering og validering. Hastighederne er sammenlignet ved at optegne hastighedsprofiler, og efterfølgende beregne korrelationen mellem målt og modelleret, udtrykt ved korrelationskoefficienten, r, som kan antage værdier mellem -1 og 1. Når r ligger tæt på -1 og 1, er der en god korrelation, og dermed god overensstemmelse mellem målt og modelleret, og når r ligger tæt på 0, er der en dårlig korrelation mellem målt og modelleret. I det efterfølgende er den numeriske værdi af korrelationskoefficienten angivet. Nedenstående figurer viser resultatet af kε-modellen og de målte data i de otte punkter (Excelberegning). De otte punkter, der er valgt, er de samme, som er benyttet ved hhv. kalibrering og validering af Smagorinsky-modellen, hvilket giver mulighed for sammenligning af de to modeller. De fire første stationer, som er valgt, er de samme som dem, der er benyttet ved kalibrering af Smagorinsky-modellen. De to første profiler er valgt 10 cm fra øvre rand, og hhv. 2 og 14 cm fra rendens venstre kant når tværsnittet betragtes mod strømretningen. Der er optegnet profiler for både x-aksens og z-aksens retning. Figur 25 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100BX med en Figur 26 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100BZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,96. korrelationskoefficient, r, på 0,51.

25 ke-modellen file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\ke_modellen\ke_modellen.htm Side 2 af 4 Figur 27 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100EX med en Figur 28 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100EZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,088. korrelationskoefficient, r, på 0,015. Det ses af ovenstående, at de simulerede hastighedsprofiler i x-aksens retning har tilnærmelsesvis samme form som de målte profiler, men at de modellerede ikke rammer de samme værdier som de målte. I indløbsstrålen, to cm fra kanten, er de simulerede værdier for lave, mens modellen 14 cm fra kanten ikke kan efterligne de negative værdier. I z-aksens retning ligger de simulerede og de målte værdier i samme størrelsesorden, men formen på kurverne stemmer derimod ikke så godt overens, hvilket også er udtrykt i de lave korrelationskoefficienter, r især er lav ved profilet 100EZ. Det næste profil, som er optegnet for både x-aksens og z-aksens retning, er placeret 300 cm fra øvre rand og 6 cm fra kanten. Figur 29 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 300CX med en korrelationskoefficient, r, på 0,94. Figur 30 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 300CZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,24. Det ses, som ved de ovenstående profiler, at de målte og de simulerede hastighedsprofiler har tilnærmelsesvis samme form, men ikke samme størrelsesorden. Det ses, at korrelationskoefficienten for profilerne i z-aksens retning er lille, på trods af at profilerne ligger tæt sammen. Dette kan skyldes, at de enkelte hastigheder er meget små, og dermed kan spredningen få en stor betydning ved beregning af korrelationskoefficienten. Det næste profil er placeret 100 cm fra øvre rand og 10 cm fra kanten. Også her er der optegnet profiler for både x-aksens og z- aksens retning. Figur 31 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 1000DX med en korrelationskoefficient, r, på 0,89. Figur 32 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 1000DZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,073. Tendensen ved ovenstående profiler ses at være den samme som for de øvrige profiler, profilet i z-aksens retning har en lille korrelationskoefficient, mens der for profilet i x-aksens retning er en forholdsvis høj korrelation på trods af den store afvigelse mellem kurverne. Der er beregnet en gennemsnitlig korrelationskoefficient for hastighedsprofilerne i de første fire stationer på 0,46. De næste fire stationer er de samme som dem, der er benyttet ved validering af Smagorinsky-modellen. Stationerne er valgt i samme afstand fra øvre rand som de ovenstående, men ved andre afstande fra kanten.

26 ke-modellen file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\ke_modellen\ke_modellen.htm Side 3 af 4 Figur 33 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100CX med en korrelationskoefficient, r, på 0,92. Figur 34 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100DCZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,58. Figur 35 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100DX med en korrelationskoefficient, r, på 0,93. Figur 36 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100DZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,14. Figur 37 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 300DX med en korrelationskoefficient, r, på 0,77. Figur 38 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 300DZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,86. Figur 39 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 1000CX med en korrelationskoefficient, r, på 0,79. Figur 40 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 1000CZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,084. Det ses, at profilerne i de sidste fire stationer har samme tendens som i de fire første stationer. Der er beregnet en gennemsnitlig korrelationskoefficient for hastighedsprofilerne i de sidste fire stationer på 0,63. Det ses af ovenstående figurer og korrelationskoefficienter, at hastighedsprofilerne ikke nødvendigvis ligger tæt på hinanden, selvom der er en god korrelationskoefficient, for det er vigtigt, at betragte både figurerne og korrelationskoefficienterne ved vurdering af, god MIKE 3 modellen er til at beskrive de turbulente strømninger i strømrenden. Generelt er der bedst overensstemmelse mellem hastighedsprofilerne i x-aksens retning, mens der ofte er ringe overensstemmelse i z-aksens retning.

27 ke-modellen file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\ke_modellen\ke_modellen.htm Side 4 af 4 Der er lavet en animation af resultatet, der illustrerer, dan strømningen foregår ned gennem renden. Der er vist resultatet set i xyplanet i en afstand på 5 cm fra bunden. Se animation her. På nedenstående figur ses et billede af hastighederne ved indløbsstrålen. Det ses, at der opstår høje hastigheder i indløbsstrålen og negative hastigheder ved siden af indløbsstrålen, vandet "suges" tilbage. Fra 100 cm nede i renden bliver hastighederne meget små. Figur 41 Hastigheder ved indløbsstrålen vist i en afstand af 5 cm fra bunden. Se animation her.

28 Smagorinsky modellen file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\smag_model\smag_model.htm Side 1 af 4 Smagorinsky turbulens-modellen Ved anvendelse af Smagorinsky-modellen til modellering af turbulens, beregnes hvirvelviskositeten ud fra ændringer i hastighedsfeltet. Ved anvendelse af modellen er de såkaldte Smagorinsky konstanter til rådighed som kalibreringsparametre i hhv. horisontal og vertikal retning. Der er benyttet den beskrevne modelopsætning, og kalibrering og validering af modellen tager udgangspunkt i de udførte målinger af hastigheder med Laser Doppler anemometer. Som kalibrering og validering er der udvalgt otte hastighedsprofiler, som er beliggende hhv. 10 cm, 30 cm og 100 cm fra indløbet. På nedenstående figur ses området omkring indløbet i renden i xz-planen med placeringen af de valgte hastighedsprofiler. Figur 42 Placering af hastighedsprofiler udvalgt til hhv. kalibrering og validering. Kalibrering Kalibreringen gennemføres ved at justere de to Smagorinsky konstanter C sm for hhv. horisontal og vertikal retning. Oftest skal den vertikale værdi være større end den horisontale, for at sikre en større afhængighed i den vertikale retning end i den horisontale. [DHI, 2003]. Begge konstanter er justeret i intervallet 0,02 til 0,5. Der er desuden kalibreret på slip-faktoren på bunden, som sættes til en værdi mellem nul og en. I hvert af de fire kalibreringsprofiler er middelhastighederne i både x- og z-retningen medtaget i vurderingen af resultatet. I den kalibrerede model, er der anvendt værdier for C sm på 0,2 og 0,5 i hhv. horisontal og vertikal retning, samt en slip-faktor på bunden på 0,5. Gennem kalibreringen er RMSE værdien, som er et udtryk for fejlen mellem målt og simuleret, søgt minimeret for hver enkelt profil. For den færdigkalibrerede model, er der angivet korrelationskoefficienter, r, som udtrykker kvaliteten af sammenhængen mellem de målte og simulerede data. Denne kan antage værdier mellem -1 og 1. Hvis den numeriske værdi ligger tæt på 1, er der en god overensstemmelse (korrelation) og ligger den numeriske værdi tæt på 0, er der en dårlig sammenhæng. I nedenstående figurer, er de udvalgte hastighedsprofiler vist med målte og simulerede værdier med den færdigkalibrerede model. Det første kalibreringsprofil er beliggende 10 cm fra indløbet og 2 cm fra væggen inde i strålen. Figur 43 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100BX med en korrelationskoefficient, r, på 0,96. Exelberegning. Figur 44 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100BZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,74. Exelberegning. Her ses, dan de målte data i x-aksens retning ved bunden har tendens til at tage form efter det logaritmiske hastighedsprofil, mens hastighederne falder længere oppe i renden. Dette kan dels skyldes påvirkning fra væggene, og dels at indløbet er placeret fra nul til 10 cm fra bunden, hvilket betyder at hastigheden, som følge af strålen, er større nederst i profilet. De simulerede hastigheder er ligeledes lave i toppen af profilet og stigende mod bunden, men det er ikke muligt, at beskrive den logaritmiske form i den nederste del af profilet. Hastighederne i z-aksens retning er meget lave, hvilket også er tilfældet ved de simulerede værdier. Det andet kalibreringsmål er også placeret 10 cm fra indløbet, men er i z-aksens retning valgt umiddelbart ved siden af indløbsstrålen, dvs. 14 cm fra kanten af renden.

29 Smagorinsky modellen file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\smag_model\smag_model.htm Side 2 af 4 Figur 45 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100EX med en Figur 46 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100EZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,50. Exelberegning. korrelationskoefficient, r, på 0,47. Exelberegning. Her ses der i x-aksens retning negative hastigheder i de målte data i hele profilet. Dvs. der sker strømning mod strømretningen. Dette sker, da der er så stor hastighed i indløbsstrålen i forhold til den øvrige del af tværsnittet, at der "suges" vand ind i strålen, og dermed mod strømretningen. Dette er også i overensstemmelse med det, der blev observeret ved det udførte sporstofforsøg, der blev doseret en mængde rohdamin i indløbsstrålen. Se video af forsøget. Det er i modellen ikke muligt at opnå negative hastigheder i hele profilet. De målte hastigheder i z-aksens retning er også her lave, hvilket i modellen ikke opnås i hele profilet. Det tredje kalibreringsmål er valgt 30 cm fra indløbet. Figur 47 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 300CX med en Figur 48 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 300CZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,93. Exelberegning. korrelationskoefficient, r, på 0,81. Exelberegning. Her ses igen samme tendens i de målte data, som det var tilfældet ved det første kalibreringsprofil. Også her ses den samme tendens ved de simulerede værdier, med lave værdier i toppen af profilet, og manglende evne til at beskrive det logaritmiske hastighedsprofil ved bunden. I z-aksens retning, ses samme variation i dybden, men hastighederne simuleres generelt for lave. Det sidste profil er valgt 100 cm fra indløbet, der igen ses samme tendens som i det første og det tredje profil med hensyn til hastighederne i x-aksens retning. Dog er hastighederne mindre som følge af den større afstand til indløbet. Det er muligt at simulere de observerede værdier, igen med undtagelse af den nederste del af profilet, det logaritmiske profil ikke kan beskrives i modellen. I z-aksens retning er der i modsætning til det forrige profil tendens til at overestimere hastighederne. Figur 49 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 1000DX med en korrelationskoefficient, r, på 0,93. Exelberegning. Figur 50 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 1000DZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,27. Exelberegning. Der er en generel tendens til, at der er en bedre sammenhæng mellem målte og simulerede hastigheder i x-aksens retning end i z- aksens retning, udtrykt ved de beregnede korrelationskoefficienter. Med henblik på en senere sammenligning med valideringsresultatet, er middelkorrelationskoefficienten beregnet til 0,70. Der er lavet en animation af kalibreringsresultatet, der illustrerer, dan strømningen foregår ned gennem renden. Der er vist resultatet i en afstand på 5 cm fra bunden. Se animation her. På nedenstående figur ses et billede af hastighederne ved indløbsstrålen. Her ses, dan der opstår negative hastigheder ved siden af indløbsstrålen, og der er et stagnationspunkt omkring 1,2 m fra

30 Smagorinsky modellen file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\smag_model\smag_model.htm Side 3 af 4 indløbet. Figur 51 Hastigheder ved indløbsstrålen vist i en afstand af 5 cm fra bunden. Se animation her. Validering Valideringen af modellen er sket ved at vælge fire målte hastighedsprofiler, som sammenlignes med simulerede profiler beregnet med den kalibrerede model. Der er valgt profiler beliggende i samme afstand fra indløbet som ved kalibreringen, dvs. i 10 cm, 30 cm og 100 cm. Profilerne er derimod placeret i en anden afstand fra væggen end de fire anvendt ved kalibreringen, det er således fire profiler, der er uafhængige af kalibreringsmålene. I nedenstående figurere ses resultatet af valideringen. Figur 52 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100CX med en Figur 53 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100DCZ med korrelationskoefficient, r, på 0,95. Exelberegning. en korrelationskoefficient, r, på 0,80. Exelberegning. Figur 54 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100DX med en korrelationskoefficient, r, på 0,97. Exelberegning. Figur 55 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 100DZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,28. Exelberegning.

31 Smagorinsky modellen file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\modellering_af_turbulens\smag_model\smag_model.htm Side 4 af 4 Figur 56 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 300DX med en Figur 57 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 300DZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,87. Exelberegning. korrelationskoefficient, r, på 0,63. Exelberegning. Figur 58 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 1000CX med en korrelationskoefficient, r, på 0,79. Exelberegning. Figur 59 Målt og modelleret hastighedsprofil i st. 1000CZ med en korrelationskoefficient, r, på 0,29. Exelberegning. Betragtes de viste figurer og de beregnede korrelationskoefficienter ses, at der i validering er samme tendenser, og generelt samme evne til at simulere de målte hastigheder. Der er beregnet en middel korrelationskoefficient for valideringen på 0,69, der til sammenligning blev beregnet en værdi for kalibreringen på 0,70. En mindre korrelation for valideringen end for kalibreringen kan accepteres, og må, afhængig af god en kalibrering der er gennemført, også forventes. Hvis valideringen derimod havde givet bedre resultater end kalibreringen antyder det, at kalibreringsprocessen endnu ikke er færdig, og at modellen kan kalibreres til et bedre resultat. Som en del af vurderingen af kalibrerings- og valideringsresultatet skal det også nævnes, at der har været flere målte hastighedsprofiler til rådighed, end der har været anvendt i hhv. kalibrering og validering. Af hensyn til tiden, der har været til rådighed, er der derfor udvalgt en række målinger til at indgå i vurderingen af kalibreringen og valideringen. Det er muligt, at der ved anvendelse af andre eller flere hastighedsprofiler end de her udvalgte, kan opnås et andet kalibrerings- og valideringsresultat. Det er dog vurderet, at modelleringsresultatet fremkommet med modellen kalibreret med de her udvalgte hastighedsprofiler, ikke vil variere betydeligt fra en model kalibreret med andre eller flere af de målte hastighedsprofiler, pga. fordelingen af de anvendte hastighedsprofiler over hele området omkring indløbsstrålen. Der ses desuden, at mange af de målte hastighedsprofiler i større eller mindre grad er sammenlignelige i de enkelte tværsnit, hvilket også vil bevirke, at anvendelsen af andre hastighedsprofiler vil få mindre betydning. En anden faktor, der kan have betydning for, god en kalibrering og validering der kan gennemføres, er muligheden for, at der i de målte data ligger svingninger eller spring i datasættet, som ikke umiddelbart medtages i modellen. Dette kan eksempelvis være fra egen-svingninger i renden eller ustabilitet i pumpen. Dette er undersøgt gennem en kvalitetskontrol i form af en tidsserieanalyse af enkelte af de målte datasæt, der bl.a. er undersøgt for spring i datasættet, som kan få betydning for den målte middelhastighed. Der er desuden gennemført en spektralanalyse, variansspektret er opstillet for de udvalgte tidsserier. Undersøgelserne har ikke vist nogen anormaliteter i de anvendte data, og der er umiddelbart ikke fundet svingninger, der kan få betydning for kalibreringen og valideringen af modellen. Det er vurderet, at det vil være muligt at finjustere kalibreringen evt. med et bedre kalibrerings- og valideringsresultat til følge, såfremt der vil være mere tid til rådighed til kalibreringsprocessen, dog accepteres valideringen af modellen på baggrund af ovenstående, med udgangspunkt i den tid der har været til rådighed for kalibreringsprocessen.

32 Kvalitetskontrol af målinger file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\kvalitetskontrol\kvalitetskontrol.htm Side 1 af 1 Kvalitetskontrol af målinger Når der er benyttet måledata til at beskrive fysiske forhold, bør der så vidt muligt foretages en kvalitetskontrol af de udførte målinger. I dette projekt er der udført mere end 200 målinger af hastigheder. På grund den tid, der er til rådighed for projektet, er der kun foretaget kvalitetskontrol på en lille del af målingerne. Det er valgt at betragte strømningshastigheden i x-retningen i tre forskellige punkter. Disse punkter er: 25CCX, 1000CCX og 1000EEX (Oversigt over målinger). Målingerne er foretaget som en tidsserie, og resultatet af målingen er således en middelværdi. Nedenfor ses tidsserierne optegnet (Rådata). Figur 60 Rådata for de tre tidsserier. Som det ses af figurerne, er de to målinger, som er taget ved 1 m (1000CCX og 1000EEX), målt over en periode på 180 sekunder, mens målingen, der er taget ved 25 mm, kun er målt over et minut. De fleste af målingerne er målt over et minut, men fordi det bl.a. er ønsket at foretage en spektralanalyse af data, er der også udført målinger af længere varighed.

33 Sandsynlighedsfordeling file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\kvalitetskontrol\normalfordeling\normalfordeling.htm Side 1 af 2 Sandsynlighedsfordeling Erfaringsvist er hastigheden i en turbulent strømning tilnærmelsesvis normalfordelt. Som en kontrol af de målte data, er det derfor relevant at kontrollere, vidt dette er tilfældet. Hvis data ikke er normalfordelt, tyder det på, at der enten er fejl i målingerne, eller at der ikke er målt over en tilstrækkelig lang periode. Nedenfor ses sandsynlighedsfordelingerne for de tre målepunkter. Sandsynlighedsfordelingen er beregnet ved at opstille intervaller med en bredde på 0,02 m/s og bestemme, stor en del af tidsseriens målepunkter, der ligger indenfor hvert interval. Dette er gjort med et Pascal program. Figur 61 Sandsynlighedsfordeling for de tre tidsserier. Det ses af figurerne, at måledata ikke er fuldstændig normalfordelt, men det vurderes dog, at middelværdien er tilstrækkelig godt

34 Sandsynlighedsfordeling file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\kvalitetskontrol\normalfordeling\normalfordeling.htm Side 2 af 2 bestemt til, at data kan benyttes. Dette gælder også for punkt 25CCX, selvom der her kun er målt i 60 sekunder ligesom i de øvrige tidsserier, som ikke er benyttet i kvalitetskontrollen.

35 Dataspring file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\kvalitetskontrol\spring\spring.htm Side 1 af 1 Dataspring Der er flere usikkerheder ved at benytte Doppler anemometer-målinger, bl.a. fejl i optikken eller for få partikler i det medium, der måles på. Det program, der tolker data fra måleproben, kan frasortere fejlmålinger. Det er dog alligevel relevant at kontrollere, om der er måleværdier, der ser urealistiske ud. Dette gøres i praksis ved at se på, store spring der er imellem hver måling. Hvis springene er for store, må målingerne betragtes som forkerte. På nedenstående figurer ses disse spring optegnet for de tre tidsserier (Excelberegning): Figur 62 Kontrol for spring i de tre dataserier. Det ses, at der er en enkelt værdi i punkt 1000EEX, der er signifikant højere end de andre, og som følge deraf, er det næste spring også større i negativ retning. Denne værdi bør fjernes fra tidsserien, men da det kun er en enkelt værdi ud af ca målinger, har den kun ringe indflydelse på middelværdien og spredningen. Det vurderes, at den forprogrammerede frasortering af data er tilstrækkelig god til at fjerne de urealistiske værdier.

36 Autokorrelation file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\kvalitetskontrol\autokorrelation\autokorrelation.htm Side 1 af 2 Autokorrelation Det er ofte relevant at undersøge en tidsserie for vedvarenhed, dvs. om værdierne i en tidsserie er afhængige af de foregående værdier. Til dette formål benyttes autokorrelationsfunktionen: r n k x er korrelationen [-] er antallet af målinger [-] er forskydningen mellem to tidsserier [-] er datapunkter Formlen er udledt fra udtrykket for korrelationen, der fortæller god sammenhæng, der er mellem to forskellige tidsserier. Ved autokorrelation er den anden tidsserie fremkommet ved at forskyde den første tidsserie k tidsskridt. Ved at optegne værdierne i et autokorrelogram kan det ses, påvirket en værdi er af de foregående. Som et mål for vedvarenheden benyttes begrebet "tidsskalaen". Tidsskalaen er arealet under korrelationskurven og giver et groft mål for, lang tid en værdi i tidsserien vil have indflydelse på de efterfølgende. Det Dobbler anemometer, der er blevet brugt til at måle hastigheder, giver ikke værdier med fast tidsinterval. Derfor er MIKE 3 benyttet til at interpolere værdierne liniært til hvert sekund. Autokorrelogrammerne for de tre tidsserier kan se på nedenstående figurer (Excelberegning):

37 Autokorrelation file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\kvalitetskontrol\autokorrelation\autokorrelation.htm Side 2 af 2 Figur 63 Autokorrelation for de tre tidsserier. Det ses, at der er størst vedvarenhed for punktet 1000EEX, som ligger ca. midt i renden med en afstand fra udløbet på 1 m. Dette skyldes muligvis, at der i midten er mindre turbulens og dermed en mere ensartet og "forudsigelig" strømning. Der ses dog ingen steder en kraftig vedvarenhed, da tidsskalaen i alle tre tilfælde er under et sekund. Dette betyder, at målingerne sandsynligvis ikke har været påvirkede af de forstyrrelser, der er opstået i vandet som følge af ændring i forsøgsopstillingen mellem hver måling.

38 Variansspektre file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\kvalitetskontrol\variansspektre\variansspektre.htm Side 1 af 2 Variansspektre I et system som det betragtede kan der være flere harmoniske svingninger, som kan påvirke målingerne. F.eks. kan der være en bølge, der løber frem og tilbage mellem rendens ender. Der kan også være en svingning i den vandføring, pumpen yder, hvilket blev observeret ved meget høje vandføringer. En model, der opstilles for at modellere forholdene, kan tilpasses bedre til de målte værdier, hvis disse svingninger kendes og medtages i modellen. For at undersøge om der er harmoniske svingninger i tidsserien, optegnes et variansspektrum. Princippet i variansspektret er, at tidsserien omskrives til en Fourierrække. En Fourierrække kan betragtes som en summation af et uendeligt antal harmoniske svingninger med forskellig frekvens. Derfor kan denne fourier-analyse benyttes til at finde ud af, om der er nogle svingninger, der er mere fremtrædende end andre i tidsserien. På nedenstående figurer ses variansspektrene for de tre tidsserier (Excelberegning). Figur 64 Variansspektra for de tre tidsserier. For punkt 25CCX er tidsserien reelt for kort til, at der kan uddrages noget af den, men for de to øvrige ses det, at der ikke er nogen svingning, der dominerer dataserien. Der er nogle små ansamlinger ved perioderne 40 s og 3 s for punkt 1000CCX og perioden 20 s for punkt 1000EEX, hvilket kan indikere, at der muligvis er mindre harmoniske svingninger i forsøgsopstillingen. Da der ikke er observeret nogen svingning, som gentages i begge tidsserier, og da svingningerne desuden er forholdsvis små, er det vurderet, at det ikke er nødvendigt at medtage dem i modellen.

39 Diskussion file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\diskussion\diskussion.htm Side 1 af 1 Diskussion I del 3 er der arbejdet med to delmål, hvis resultater er sammenfattet og kommenteret i dette afsnit. Der er som den ene del arbejdet med måling og beregning af strømningsmæssige parametre, som indgår i beskrivelsen af turbulente strømninger. Det drejer sig om bundforskydningsspænding og derigennem Reynolds' spændinger og ækvivalent sandruhed, turbulent kinetisk energi, total kinetisk energi samt dissipation. Derudover har friktionshastighed og bestemmelse af grænselag også indgået som en del af bestemmelsen af ovenstående parametre. Der er taget udgangspunkt i en forsøgsopstilling, der er udlagt et lag skærver i bunden af strømrenden. Alle de behandlede parametre er sammenfattet i parameterbestemmelsen. Som den anden del er der arbejdet med numerisk modellering af turbulent strømning, til der er benyttet programmet MIKE 3. Der er her taget udgangspunkt i en anden forsøgsopstilling end ved arbejdet med bestemmelse af forskellige parametre. Der er fokuseret på beskrivelsen af turbulens gennem turbulensmodeller, hvirvelviskositeten beregnes for at kunne bestemme Reynolds' spændingerne, som medtages som effekten af den turbulens i strømningen, som forårsager en udveksling af bevægelsesmængde. De benyttede turbulensmodeller og resultatet af de numeriske modelleringer er sammenfattet i numerisk modellering.

40 Parameterbestemmelse file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\diskussion\parameterbestemmelse.htm Side 1 af 3 Parameterbestemmelse Der er arbejdet med måling og beregning af forskellige strømningsmæssige parametre. I det følgende præsenteres og kommenteres de enkelte resultater. Alle parametre er bestemt med udgangspunkt i forsøgsopstillingen, der er udlagt skærver i bunden af strømrenden. Bundforskydningsspænding Der er arbejdet med bestemmelse af bundforskydningsspændingen gennem tre forskellige metoder. Den første metode tager udgangspunkt i en kraftligevægt, energiliniegradienten benyttes. Dette har dog vist sig ikke at være muligt ved den anvendte forsøgsopstilling. Den anden metode benytter friktionshastigheden, som beregnes ud fra de målte hastighedsprofiler og det empiriske udtryk for det logaritmiske hastighedsprofil. Den sidste metode tager udgangspunkt i indirekte målinger af Reynolds' spændingerne, som forlænges til bunden for en bestemmelse af bundforskydningsspændingen. Der er benyttet to strømhastigheder, hhv. lav og høj hastighed. I nedenstående tabel ses resultaterne af de to bestemmelser. Tabel 6 Resultat af bestemmelse af bundforskydningsspænding ved friktionshastigheden og Reynolds' spændinger. Bundforskydningsspænding v. friktionshastighed Bundforskydningsspænding v. Reynolds' spændinger Enhed Måling 1 lav hastighed Måling 2 høj hastighed τ 0,1 N/m 2 0,15 0,80 τ 0,2 N/m 2 0,14 0,22 Ved den høje strømhastighed er der i renden også en større vanddybde end ved den lave strømhastighed. Derfor er der, som forventet, også fundet de største bundforskydningsspændinger ved høj strømhastighed. Der ses desuden god overensstemmelse mellem de to metoder ved lav strømhastighed, mens der er en større afvigelse ved den høje strømhastighed. Det er svært at fastlægge grunden til denne afvigelse på baggrund af kun to udførte målinger. En mulighed er en fejlmåling ved bestemmelse af Reynolds' spændingerne. Her er en enkelt fejlmåling nok til, at den indlagte rette linje drejes, så der eksempelvis findes en for lav værdi for bundforskydningsspændingen. En gentagelse af forsøget, med udførelse af et større antal målinger, vil evt. kunne afgøre om dette er tilfældet. Ækvivalent sandruhed Som en del af bestemmelsen af bundforskydningsspænding ved friktionshastighed, er der fundet værdier for den ækvivalente sandruhed. Der er også her benyttet de to strømhastigheder i forsøgsopstillingen med skærvebund, og der er bestemt en værdi for ruheden ved begge målinger uafhængigt af hinanden. Tabel 7 Resultat af bestemmelse af ækvivalent sandruhed ved hhv. lav og høj strømhastighed. Enhed Måling 1 lav hastighed Måling 2 høj hastighed Ækvivalent sandruhed k m 0,14 0,13 Det ses, at to uafhængige målinger tilnærmelsesvis giver samme resultat, for resultatet vurderes som korrekt. Sammenlignes med litteraturværdier, findes værdier for kanal i jord at ligge i intervallet 0,01-0,2 m [Brorsen og Larsen, 2001], indenfor de fundne værdier ligger. Begrebet sandruhed stammer fra de oprindelige forsøg med hydraulisk ru rør, som blev udført af Nikuradse ved at påføre et hydraulisk glat rør et enkelt tætsiddende lag sandkorn med veldefineret korndiameter. Med udgangspunkt i disse forsøg fremkom det empiriske udtryk for det logaritmiske hastighedsprofil, som i dette projekt er benyttet ved bestemmelse af sandruheden. Det betyder, at den her fundne sandruhed svarer til den korndiameter, der i Nikuradse's forsøg ville give samme strømningsmodstand som den faktiske overflade med skærvebund benyttet i dette forsøg. Den fundne ækvivalente sandruhed er derfor ikke en afstand, der umiddelbart kan sammenlignes med størrelsen af de ilagte skærver. Reynolds' spændinger De turbulente forskydningsspændinger, også kaldet Reynolds spændingerne, er målt indirekte ned gennem profilet, for herigennem at bestemme bundforskydningsspændingerne. I nedenstående figur ses resultatet, Reynolds spændingerne er vist for de to strømhastigheder.

41 Parameterbestemmelse file://\\studserver\projekts\d00704e\hjemmeside\del3\diskussion\parameterbestemmelse.htm Side 2 af 3 Figur 65 Beregnet forskydningsspændinger som funktion af vanddybden. Reynolds' spændingerne udtrykker den forskydningsspænding, der forårsages af den udveksling af bevægelsesmængde, der sker som følge af fluktuationerne på tværs af middelstrømningen. Det ses som følge heraf, at en forøget middelhastighed også giver en forøgelse i størrelsen på fluktuationerne, og dermed større Reynolds spændinger. Dette er gældende i den nederste del af profilet, strømning er mest påvirket af skærvebunden. Kinetisk energi Som den ene del af energibalancen for den betragtede strømning er den kinetiske energi betragtet ved hhv. lav og høj hastighed, og beregnet med udgangspunkt i fluktuationerne i hhv. x-, y-, og z-aksens retning og middelhastigheden. Der er skelnet mellem den turbulente kinetiske energi, som alene findes på baggrund af fluktuationerne og den totale kinetiske energi, der findes som summen af energien som følge af middelstrømningen og den turbulente kinetiske energi. I nedenstående figur ses resultatet vist som både turbulent- og total kinetisk energi for hhv. lav (måling 1) og høj (måling 2) strømhastighed. Figur 66 Beregnet turbulent- og total kinetisk energi for de to situationer med hhv. høj og lav hastighed. Den kinetiske energi dannes som følge af forskydningsspændingernes arbejde. Betragtes de beregnede Reynolds spændinger, er det derfor forventeligt, at den turbulente kinetiske energi er størst tæt ved bunden, samt at en forøget strømhastighed giver en forøgelse i den turbulente kinetiske energi. Ved den totale kinetiske energi er middelstrømhastigheden dog så dominerende, at fordelingen ned gennem profilet har form efter det målte hastighedsprofil. Dissipation Som den anden del af energibalance er der arbejdet med bestemmelsen af dissipationen. Mens der ved forskydningsspændingernes arbejde dannes kinetisk energi, sker der en overførsel af energi til stadig mindre og mindre hvirvler, der til sidst i de mindste hvirvler sker en dissipation, energien omdannes til varme. Resultatet ses i nedenstående figur.