StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag af Supplemet til udervisigsvejledige. Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksame og større skriftlig opgave ved studetereksame og hf. Kommetarer på baggrud af cesoreres tilbagemeldiger. Bilag 4: Grafregerkravet på matematik hf tilvalg e sammeskrivig af uddrag af Udervisigsvejledig r. 21 for matematik i HF, Supplemet til udervisigsvejledig for matematik i gymasiet og hf og hæftet med evaluerig af skriftlig eksame i matematik for 2001 og 2002 GENEREL INTRODUKTION Materialer Du skal bruge E lærebog til matematik B (tilvalg). Matematiklærerforeiges opgavesamlig. Matematisk formelsamlig for Matematisk lije Obligatorisk iveau og HF-tilvalg. E lommereger med grafisk display (e grafreger) Lommereger Lommeregere skal være e grafisk lommereger, da de skriftlige prøver udarbejdes uder de forudsætig, at eksamiadere aveder lommeregere med grafisk display. Til eksame er det ikke tilladt at avede lommeregere, der ka udføre abstrakt algebraisk symbolmaipulatio. Forudsætiger Pesum til matematik B forudsætter, at stoffet fra matematik C er kedt.
Nogle lærebøger til matematik B medtager et afsit til opfriskig af reglere for tal og bogstavregig. Slår det ikke til, vil di kotaktperso sikkert gere hevise til supplerede materiale. Adre råd. De fleste har fordel af at fide e læsemakker. Sidder du alligevel fast i stoffet, tilbyder mage skoler et værksted, hvor ma ka få hjælp. EMNELISTEN. Idledig Dee guide er bygget op efter følgede pricip. Til hvert eme er der e beskrivelse af - Hvad skal jeg vide. - Hvad skal jeg kue. Mudtlig eksame vedrører væsetligst Hvad skal jeg vide. Det meste er omtalt i formelsamlige. Vigtigt. Af puktere uder Hvad skal jeg vide skal du kue begrude ogle. Adre ka du øjes med at omtale. Det er op til dig at vælge, hvilke du vil argumetere for. Skriftlig eksame hadler tilsvarede om Hvad jeg skal kue. Det væsetligste er listet i det følgede. Me i de sidste ede er det de opgaver, der har været givet til eksame, der fastlægger pesum. FUNKTIONER: Bekedtgørelse siger: 9.1 1) Fuktioer. Sammesat og omvedt fuktio. Polyomier, heruder deres faktoropløsig. Ekspoetialfuktioer, de aturlige logaritmefuktio og logaritmefuktioe med grudtal 10. Potesfuktioer. Trigoometriske fuktioer. Simple eksempler på fuktioers asymptotiske forhold. Opstillig og løsig af simple ligiger og uligheder, hvori de ævte fuktioer idgår. 9.2 ad 1) Fuktioer: Adegradspolyomiet, dets rødder og graf behadles. Algoritme for polyomiers divisio idføres, og sammehæge mellem et polyomiums grad og højeste atal rødder berøres. Fuktioers asymptotiske forhold belyses ved simple eksempler på polyomiumsbrøker. Uder trigoometriske fuktioer behadles sius, cosius og tages. Sammesat og omvedt fuktio
1. De sammesatte fuktio fg er bestemt ved (fg)(x) = f(g(x)), hvor g kaldes de idre fuktio, og f de ydre fuktio 2. Defiitiosmægde Dm(fg) = {x x Dm(g) og g(x) Dm(f)} 3. E fuktio kaldes ijektiv, år der for ethvert tr gælder, at ligige f(x) = t har højst é løsig. 4. Ehver mooto fuktio er ijektiv. 5. De ijektive fuktioer er præcis dem, der har omvedte fuktioer. 6. De omvedte fuktio beteges f 1. Der gælder, at Dm( f 1 ) = Vm(f) og Vm( f 1 ) = Dm(f). 7. Hvis fuktioe f har e omvedt fuktio f 1 gælder der, at f 1 f(x) = x og f f 1 (y) = y. 8. E puktmægde i koordiatsystemet er graf af e ijektiv fuktio, etop år ige lodret lije og ige vadret lije skærer de i mere ed ét pukt. 9. Grafe for de omvedte fuktio f 1 fremkommer ved at spejle grafe for f i lije y = x. 1. Fide regeforskrifte for fg, år regeforskriftere for f og g er kedte, ved at idsætte regeudtrykket for g på x s plads i regeforskrifte for f. 2. Bestemme defiitiosmægde for e sammesat fuktio. 3. Gøre rede for, at e give fuktio f har e omvedt ved at vise, at fuktioe er ijektiv. 4. Aflæse fuktiosværdier for f 1 ud fra grafe for f. 5. Fide regeforskrifte for de omvedte fuktio f 1, år regeforskrifte for (e simpel) fuktio f er givet, ved at bestemme f 1 (t) som løsig til ligige f(x) = t. Adegradspolyomier 1. E fuktio f, der har e forskrift af forme f(x) = ax 2 + bx + c, hvor a 0, kaldes et adegradspolyomium. 2. Grafe for et adegradspolyomium kaldes e parabel. 3. Parable siges at have ligige y = ax 2 + bx + c. 4. Parables toppukt er parables laveste pukt, hvis a > 0, dvs. parables gree veder opad. Hvis a < 0, er det parables højeste pukt, og parables gree veder edad. d Toppuktet bereges af ( s, t) = ( b, 2 a 4a ), hvor d = b2 4ac kaldes diskrimiate. 5. Grafe for adegradspolyomiet f(x) = ax 2 + bx + c er e parabel, som fås ved e forskydig af y = ax 2. 6. Adegradsligige ax 2 + bx + c = 0 - har ige løsiger (rødder) år d < 0, - har é løsig x = 2b a år d = 0 og b± d - har to løsiger x = 2a år d > 0.
7. E adegradsulighed fremkommer ved, at lighedsteget i e adegradsligig erstattes af et af symbolere <, >,,. 8. Hvis adegradspolyomiet ax 2 + bx + c har røddere r 1 og r 2, har det faktoropløsige ax 2 + bx + c = a (x r 1 ) (x r 2 ). 1. Berege parables toppukt (, d t) ( b ) s, 2 a 4a = og tege grafe for parable f(x) = ax2 + bx + c ud fra dette. 2. Løse e adegradsligig. 3. Løse e adegradsulighed ved først at løse de tilsvarede adegradsligig, tege e skitse af parable ud fra vide om greees beliggehed og atal rødder (v.hj.a. grafregere) og ud fra dee skitse aflæse løsigsmægde. te gradspolyomier 1. Et te-gradspolyomium p(x) har e forskrift, der består af et kostat led, et led med x i første potes, et led med x i ade potes... og et led med x i te potes: p(x) = a x + a -1 x -1 +... +a 2 x 2 + a 1 x + a 0, N og a 0. De tal, ma har gaget de forskellige poteser af x med, kaldes polyomiets koefficieter. 2. Et ultegradspolyomium er e kostat fuktio p(x) = k, hvor k 0 og k R. 3. Nul-polyomiet er fuktioe p(x) = 0 og har ige grad. 4. Når p(x) og d(x) er to polyomier af grad større ed eller lig med 1, vil der ved polyomiumsdivisio af p(x) med d(x) fremkomme to polyomier q(x) og r(x), der opfylder divisiosligige p(x) = q(x) d(x) + r(x), hvor restpolyomiet r(x) har midre grad ed d(x) (eller r(x) = 0). Hvis r(x) = 0 siger vi, at divisioe går op. 5. Et tal siges at være rod i polyomiet p(x), hvis p(a) = 0, hvilket er det samme som, at a er løsig til te-gradsligige p(x) = 0, hvilket etop gælder, år x - k går op i p(x). 6. Et tegradspolyomium har højst rødder. 1. Udføre e polyomiumsdivisio og opskrive divisiosligige. 2. Løse e te-gradsligig ved at fide rødder på grafregere eller ved at gætte e rod og herudfra lave e faktoriserig af polyomiet i første- og adegradspolyomier, der ka løses ved beregig. 3. Løse e te-gradsulighed (ofte tredjegradsulighed) ved at løse de tilsvarede tegradsligig, lave e fortegslije for polyomiet og herudfra aflæse løsigsmægde. Polyomiumsbrøk t 1. E polyomiumsbrøk er e fuktio givet ved polyomier. f =, hvor både t og er
1. Bestemme defiitiosmægde. 2. Reducere e polyomiumsbrøk ved at faktorisere tællerpolyomiet og æverpolyomiet (se uder te gradspolyomier). 3. Fide ligiger for asymptoter til grafe for e polyomiumsbrøk (se æste afsit) 4. Opstille og løse simple ligiger og uligheder med polyomiumsbrøker. 5. Differetiere e polyomiumsbrøk. Asymptoter (Se også afsittet Kotiuitet og græseværdi uder Differetialregig ) 1. E ret lije kaldes e asymptote for grafe for f, hvis de vikelrette afstad mellem puktere på grafe og lije ka gøres vilkårlig lille, år puktere på grafe bevæger sig ùedeligt lagt bort fra (0, 0). 2. E kotiuert fuktio f ka ku have lodret asymptote x = x 0, hvis f ikke er defieret i x 0. t x f x = er e polyomiumsbrøk, og a er rod i ævere (x) og ikke i tællere 3. Hvis ( ) ( ) t(x), er lije med ligige x = a lodret asymptote til grafe for f. t x f x = er e polyomiumsbrøk, hvor grad af t(x) < grad af (x), så er x-akse 4. Hvis ( ) ( ) vadret asymptote. t x f x = er e polyomiumsbrøk, hvor grad af t(x) = grad af (x), så har f 5. Hvis ( ) ( ) vadret asymptote y = a, hvor a er forholdet mellem koefficietere til højestegradsleddee i tæller- og æverpolyomiere. t x f x = er e polyomiumsbrøk, hvor grad af t(x) = grad af (x) + 1, så har f e 6. Hvis ( ) ( ) skrå asymptote, hvis ligig fides ved polyomiers divisio. t x f x = er e polyomiumsbrøk, hvor grad af t(x) > grad af (x) +1, så har f 7. Hvis ( ) ( ) hverke vadret eller skrå asymptote. 1. Udersøge om grafe for e fuktio f har vadret asymptote med ligige y = a, ved at udersøge om f(x) a for x og/eller f(x) a for x -. 2. Udersøge om grafe for e fuktio f har lodret asymptote med ligige x = x 0 ved at udersøge om f(x) for x x 0 (±) og/eller f(x) - for x x 0 (±). 3. Udersøge om grafe for e fuktio f har skrå asymptote med ligige y = ax + b ved at udersøge om f(x) - (ax + b) 0 for x og/eller f(x) - (ax + b) 0 for x -. t 4. Fastlægge defiitiosmægde Dm(f), for e polyomiumsbrøk f =, der består af alle reelle tal bortset fra ulpukter for ævere (x). t x f x =, der består af 5. Fastlægge evt. ulpukter for e polyomiumsbrøk ( ) ( ) ulpuktere for tællere, som fides ved at løse ligige t(x) = 0.
Ekspoetial- og logaritmefuktioer 1. E fuktio med forskrifte f(x) = a x kaldes e ekspoetialfuktio. Tallet a er grudtallet og a 1 og a > 0. Dm(a x ) = R og Vm(a x ) = R +. Ekspoetialfuktioe med grudtal a beteges exp a, dvs. exp a (x) = a x. Hvis a > 1 er f(x) = a x voksede. Hvis 0 < a < 1 er f(x) = a x aftagede. 2. Titalslogaritmefuktioe log er de omvedte fuktio til ekspoetialfuktioe med grudtal 10, exp 10 (x) = 10 x. 3. De ekspoetialfuktio, hvis graf i puktet (0, 1) har e taget med hældige 1, kaldes de aturlige ekspoetialfuktio. Des grudtal beteges e, og fuktioe beteges exp. 4. De aturlige logaritmefuktio l er de omvedte fuktio til de aturlige ekspoetialfuktio. 5. For alle x R gælder log(10 x ) = x og l(e x ) = x samt for alle t R + gælder 10 log(t) = t og e l(t) = t. 6. For alle a, b R + og alle x R gælder: log(a b) = log(a) + log(b) og l(a b) = l(a) + l(b) log(a : b) = log(a) log(b) og l(a : b) = l(a) l(b) log(a x ) = x log(a) og l(a x ) = x l(a) 7. De afledede fuktio (se uder differetialregig) af de aturlige ekspoetialfuktio er exp (x) = exp(x) eller (e x ) = e x og dermed også (e kx ) = ke x. 8. Differetialkvotiete af e vilkårlig ekspoetialfuktio er (a x ) = l(a) a x, x R. l x 1 =, x R +. 9. Differetialkvotiete af de aturlige logaritmefuktio er ( ) x 1. Opstille og løse ligiger med ekspoetial- og logaritmefuktioer af følgede typer e x = b x = l(b), a x log( b) = b x =, l(x) = b x = e b, l(ax + b) = c ax + b = e c log ( a) e b x c =, 10 x = b x = log(b), log(x) = b x = 10 b og log(ax + b) = c ax + b = a 10 c c b x = 10 a osv. og tilsvarede uligheder. 2. Differetiere e vilkårlig ekspoetialfuktio. Potesfuktioer 1. At der til procetvise lige store x-tilvækster svarer procetvise lige store tilvækster (eller fald) i fuktiosværdiere for e potesiel fuktio. 2. De potesielle fuktioer er de fuktioer, hvis regeforskrift ka skrives på forme f(x) = b x a, b > 0 3. Potesfuktioere er de fuktioer, der ka skrives på forme f(x) = x a, hvor a kaldes ekspoete.
4. De fuktioer, hvis graf er e ret lije i et dobbeltlogaritmisk koordiatsystem, er etop de potesielle fuktioer. 5. Potesfuktioere f(x) = x a er differetiable med de afledede f (x) = ax a -1. 1. Fide regeforskrifte ud fra aflæsig på grafe i et dobbeltlogaritmisk koordiatsystem: Grafe går geem (0, b) hvor b = f(1) og a fides som lijes hældigskoefficet i det tilhørede sædvalige koordiatsystem (dvs. aflæst med e lieal). 2. Berege forskrifte ud fra (aflæsig af) to pukter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) på grafe v.hj.a. log( y2 ) log( y1 ) a =, mes b fides ved at idsætte et af puktere i forskrifte. log ( x ) log( x ) 2 1 3. Afgøre om ogle pukter ka beskrives ved e potesiel model ved, at afsætte sammehørede værdier af x og y i et dobbeltlogaritmisk koordiatsystem. Hvis puktere med god tilærmelse ligger på e ret lije, ka puktere tilærmelsesvis beskrives ved e potesiel fuktio, hvis regeforskrift ka fides ved aflæsig på grafe (lije). 4. Opstille og løse simple ligiger og uligheder, hvor potesfuktioer id går fx a b x = k x = a b k og tilsvarede uligheder. 5. Differetiere e vilkårlig potesiel fuktio Trigoometriske fuktioer 1. Ehedscirkle er e cirkel med radius 1 og cetrum i (0, 0). 2. E vikels radiatal x er lægde af de bue på ehedscirkle, som vikle v spæder over. Der gælder x p v = 180 3. Retigspuktet P x for et positivt tal x fides ved at bevæge sig lægde x på ehedscirkle mod uret (positiv omløbsretig) ud fra puktet E(1, 0). Hvis x er egativ foregår bevægelse med uret. 4. For et reelt tal x er cos(x) lig med førstekoordiate til retigspuktet P x, og si(x) er lig adekoordiate til P x. 5. For alle reelle tal x er cos(- x) = cos(x) og si(- x) = - si(x) samt cos = - cos(x) og si = si(x). 6. Grudrelatioe cos 2 (x) + si 2 (x) = 1, x R. 7. Fuktioere f(x) = a si(bx) og g(x) = a cos(bx) har amplitude (bølgehøjde) a og 2 π periode (bølgelægde) b. 8. Fuktioe tages er defieret ved ta = si π cos, x 2 + p π, p Z og er periodisk med periode. 9. ta(v) agiver adekoordiate til det pukt, hvori vestre vikelbe til vikle v skærer tagete i E(1,0) til ehedscirkle.
10. De trigoometriske fuktioer f(x) = si(x), g(x) = cos(x) og h(x) = ta(x) er differetiable med de afledede f (x) = cos(x), g (x) = si(x) og 1 cos 2 h = 1 + ta = 2 1. Omrege mellem radia- og gradtal ud fra, at 2 radia = 360 2. Løse trigoometriske grudligiger af type cos(x) = a, si(x) = a og ta(x) = a, hvor a er et tal, ved brug af ehedscirkle eller ved aflæsig på fuktioeres grafer (på grafregere). 3. Løse trigoometriske gruduligheder, der fremkommer af de trigoometriske grudligiger ved at erstatte lighedsteget med et af symbolere >, <, og ved brug af ehedscirkle eller aflæsig på grafere (på grafregere). 4. Differetiere e vilkårlig trigoometrisk fuktio. GEOMETRI OG TRIGONOMETRI Bekedtgørelse siger: 9.1 2) Geometri og trigoometri. Beregig af sider og vikler i trekater. Ligig for ret lije; skærig mellem rette lijer. Afstad mellem pukter og mellem pukt og lije. Ligig for cirkel; skærig mellem lije og cirkel. 9.2 ad 2) Geometri og trigoometri: Beregig af sider og vikler i trekater behadles ved hjælp af cosius_ og siusrelatioere. På aalytisk grudlag behadles ret lije og cirkel samt afstad mellem pukter og mellem pukt og lije. Det illustreres, hvorledes geometriske problemer ka formuleres og løses aalytisk, heruder sammehæge mellem hældigskoefficieter og ortogoalitet af rette lijer og mellem hældigskoefficiet og vikel med førsteakse. Trigoometri si 1. I e vilkårlig trekat ABC gælder siusrelatioe ( A ) si ( B ) si ( C = = ) a b c 2. I e vilkårlig trekat ABC gælder cosiusrelatioere a 2 = b 2 + c 2-2 b c cos (A) b 2 = c 2 + a 2-2 c a cos (B) c 2 = a 2 + b 2-2 a b cos (C) 3. I e vilkårlig trekat ABC er arealet bestemt ved 1 ( C) = 1 a c si( B) = b c si( A) T = 1 2 a b si 2 2
1. Hvis tre af stykkere (sider eller vikler) i e trekat er kedte, heraf midst é af sidere, skal de øvrige kue fides v.hj.a. cosius- og siusrelatioere og sætige om at vikelsumme i e trekat er 180. Hvis e vikel ka bestemmes v.hj.a. både cosius- og siusrelatioe, bør cosiusrelatioe vælges, da ligige cos(x) = k ku har é løsig mellem 0 og 180, mes si(x) = k har to. I det tilfælde hvor ma keder to sider og e ikke mellemliggede vikel ka der fides både ige, e eller to trekater, der opfylder betigelsere. 2. Fide arealet af e vilkårlig trekat. Aalytisk geometri 1. Lije geem (0, b) med hældigskoeffiete a er bestemt ved ligige y = ax + b. 2. De lodrette lije geem (k, 0) er bestemt ved ligige x = k. 3. ax + by + c = 0 er ligige for e ret lije i et koordiatsystem, hvis a og b ikke begge a c er 0. Hvis b 0 er hældigskoefficiete b og skærige med y akse b. 4. Hvis (x 0, y 0 ) er et pukt på de rette lije med hældigskoefficiete a, er ligige for lije y - y 0 = a (x - x 0 ) 5. Afstade AB mellem puktere A(x 1, y 1 ) og B(x 2, y 2 ) er bestemt ved AB 2 ( x x ) + ( y ) 2 =. 2 1 2 y1 6. Afstade dist(p, l) fra et pukt P(x 1, y 1 ) til lije l med ligige y = ax + b er bestemt ax1 + b y1 ved dist ( P, l) =. 2 a + 1 7. For to lijer l og m med hældigskoefficieter a og c gælder, at l er parallel med m (l m), etop år a = c og l står vikelret på m (l m), etop år a c = -1. 8. For e ret lije med ligige y = ax + b gælder ta(v) = a, hvor v er de vikel, lije daer med x-akse. 9. To ligiger med to ubekedte af første grad a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 og a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 bestemmer to lijer l og m. Ligigssystemet har é løsig, år l og m ikke er parallelle, emlig de to lijers skærigspukt, ige løsiger, år l og m er parallelle og ikke sammefaldede og uedelig mage løsiger, år l og m er sammefaldede. 10. Hvis e cirkel har cetrum i C(a, b) og radius r, er cirkles ligig (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2. 1. Løse to ligiger med to ubekedte af første grad.
2. Fide vikle mellem to rette lijer ved at fide lijeres vikler med x-akse, lægge dem samme eller trække dem fra hiade - hvilket afgøres ved at se på e figur. 3. Afgøre om e adegradsligig i x og y beskriver e cirkel ved at omskrive de til forme (x - a) 2 + (y - b) 2 = k. Hvis k < 0 beskrives de tomme mægde Ø, hvis k = 0 beskrives puktet (a, b) og hvis k > 0 beskrives e cirkel med radius k. 4. Fide cirkeltagete til et givet pukt på cirkle ved at berege hældige a r for radius til rørigspuktet. Hældige a for tagete er 1 a r. Idsæt derefter puktet i lijes ligig. 5. Bestemme evt. skærigspukter mellem lije og cirkel ved at idsætte lijes ligig i cirkles og løse de derved fremkome adegradsligig i x eller y. 6. Bestemme afstad mellem pukt og pukt, pukt og lije, parallelle lijer og cetrum og cirkelperiferi. DIFFERENTIALREGNING 9.1 3) Differetialregig. Differetialkvotiet; taget til graf, det approksimerede førstegradspolyomium. Regeregler for differetiatio. Bestemmelse af differetiable fuktioers mootoiforhold og ekstrema. Tegig af grafer. Eksempler på fortolkig af differetialkvotiet og avedelser af differetialregige. 9.2 ad 3) Differetialregig: Kotiuitets_ og græseværdibegrebet itroduceres, me gives ikke e egetlig behadlig. Der gives eksempler på bestemmelse af differetialkvotiet for simple fuktioer. Regereglere for differetiatio omfatter sum, differes, produkt, kvotiet og sammesat fuktio. I forbidelse med beskrivelse af fuktioers variatio og tegig af grafer drøftes differetialkvotietes betydig for fastlæggelse af fuktioes mootoiforhold og ekstrema samt det kedskab, der herigeem opås til grafes (globale) forløb. Det approksimerede førstegradspolyomium og avedelse heraf til ulpuktsbestemmelse (Newto-Raphsos metode) behadles. Begrebet stamfuktio omtales. Kotiuitet og græseværdi 1. Ma siger, at f(x) går mod a, år x går mod x 0, år det om ehver følge af tal x 1, x 2, x 3,...., der ærmer sig x 0, gælder, at fuktiosværdiere f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),... kommer tættere og tættere på et tal a. Fuktioe f skal være defieret i et iterval I omkrig x 0, evt. x 0 ikke medreget. f(x) går mod a, år x går mod x 0 skrives f(x) a år x x 0 eller f har græseværdie a, år x går mod x 0, der skrives lim f = a 2. E fuktio x x 0
f har e græseværdi fra vestre, hvis f(x) går mod a for x gåede mod x 0 geem værdier midre ed x 0, som skrives f(x) a år x x 0 og f har e græseværdi fra højre, hvis f(x) går mod a for x gåede mod x 0 geem værdier større ed x 0, som skrives f(x) a år x x 0 +. 3. E fuktio f kaldes kotiuert i puktet x 0, hvis græseværdie og fuktiosværdie i lim f x = f x. puktet er de samme: ( ) ( ) x x0 4. E fuktio, der er kotiuert i ethvert tal i defiitiosmægde kaldes e kotiuert fuktio. 5. E fuktio, der har e graf, der overalt er sammehægede, er kotiuert. 0 1. Fide græseværdi - typisk for fuktioer hvis forskrift ideholder e -x eller e x - år x går mod eller mod -. 2. Argumetere for eksistes af asymptoter. 3. Fide differetialkvotiet ud fra differeskvotiet (se æste afsit). Differetialkvotiet 1. Fuktioe f kaldes differetiabel i x 0, hvis det er muligt at fide e græseværdi for f f ( x ) f ( x0 ) differeskvotiete = år x går mod x 0. x x x0 Græseværdie kaldes differetialkvotiete i x 0 og beteges f (x 0 ). Differeskvotiete agiver hældige for sekate geem puktere (x 0, f(x 0 )) og (x, f(x)). Differetialkvotiete agiver tagetes hældig i puktet (x 0, f(x 0 )). 2. E fuktio, der er differetiabel i ethvert tal i defiitiosmægde, siges at være e differetiabel fuktio. 3. De fuktio f, der til ethvert x i Dm(f) kytter differetialkvotiete f (x) kaldes de afledede fuktio af f eller blot differetialkvotiete af f. 4. Hvis fuktioe f er differetiabel i x 0, har tagete til grafe i puktet (x 0, f(x 0 )) ligige y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x - x 0 ). 5. Hvis f er differetiabel i x 0, er f også kotiuert i x 0. 6. Hvis f er differetiabel i x 0, er grafe glat i x 0. 1. Fide differetialkvotiete v.hj.a. tretrisregle: I første tri udrege fuktiostilvækste f = f(x) - f(x 0 ), f f f ( x0 ) i adet tri udrege differeskvotiete = og i tredje tri lade x gå mod x 0 for at fide e græseværdi for differeskvotiete. Dee græseværdi er differetialkvotiete for f i x 0. 2. Fide de afledede af følgede simple fuktioer: x x x0
f(x) k ax + b ax 2 1 x, x > 0 x, x 0 f (x) 0 a 2ax 1 2 x 3. Fide ligige for tagete til e fuktio f i puktet P(x 0, y 0 ), hvis f er differetiabel i x 0. 4. Fide ligige for e taget til grafe for e differetiabel fuktio f, år tagetes hældig a = f (x 0 ) er givet. Rørigspuktets x-koordiat x 0 bestemmes ud fra dee ligig og y-koordiat, y 0 ud fra f(x 0 ) = y 0, hvorefter tagetligige ka opskrives. Regig med differetialkvotieter og stamfuktio 1. Hvis f og g er fuktioer, der er differetiable i x 0, er også summe f + g differetiabel i x 0, og (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). 2. Hvis f og g er fuktioer, der er differetiable i x 0, er også differese f - g differetiabel i x 0, og (f - g) (x 0 ) = f (x 0 ) - g (x 0 ). 3. Hvis f og g er fuktioer, der er differetiable i x 0, er også produktet f g differetiabel i x 0, og (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ). 4. Hvis f og g er fuktioer, der er differetiable i x 0 og g(x 0 ) 0, er også kvotiete g f f f ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g ( x0 ) differetiabel i x 0, og ( x ) = g ( ) 2 0 g x0 5. Hvis f er differetiabel i x 0 og k er et reelt tal, er også fuktioe k f differetiabel i x 0, og (k f) (x 0 ) = k f (x 0 ). 6. Hvis g er differetiabel i x 0 og f er differetiabel i y = g(x 0 ), så er f g differetiabel i x 0, og f g (x 0 ) = f (y) g (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ). 7. Fuktioe F kaldes e stamfuktio til fuktioe f, hvis F (x) = f(x). 1. Avede de uder ævte regler for differetiatio, år f og g er e eller flere af følgede fuktioer (se uder disse): polyomier, ekspoetielle fuktioer, de aturlige logaritmefuktio, logaritmefuktioe med grudtal ti, potesfuktioer og de trigoometriske fuktioer. 2. Differetiere e sammesat fuktio. Fuktiosudersøgelse 1. Hvis f er differetiabel i itervallet I, gælder der, at hvis f (x) > 0 for alle x i I, så er f voksede i I, hvis f (x) < 0 for alle x i I, så er f aftagede i I og hvis f (x) = 0 for alle x i I, så er f kostat i I. 1 2 x.
2. Fuktioe f har lokalt maksimum i x 0, hvis der fides et iterval I omkrig x 0, så f(x 0 ) f(x) for alle x i I og f har lokalt miimum i x 0, hvis der fides et iterval I omkrig x 0, så f(x 0 ) f(x) for alle x i I. x 0 kaldes lokalt maksimumssted/miimumssted, og f(x 0 ) er lokalt maksimum/miimum. Lokale maksimumssteder og lokale miimumssteder kaldes lokale ekstremumssteder og fuktiosværdiere kaldes lokale ekstrema. 3. Hvis f er differetiabel i x 0, og f har lokalt ekstremum i x 0, så er f (x 0 ) = 0. 4. Hvis f er differetiabel i x 0, og f (x 0 ) = 0, gælder der, hvis fortegsvariatioe for f omkrig x 0 er + 0, så har f lokalt maksimum i x 0, hvis fortegsvariatioe for f omkrig x 0 er 0 +, så har f lokalt miimum i x 0, hvis fortegsvariatioe for f omkrig x 0 er + 0 +, så har f vedetaget i x 0 og hvis fortegsvariatioe for f omkrig x 0 er 0, så har f vedetaget i x 0. 1. Foretage e fuktiosaalyse af e give fuktio f og derved: a. Fastlægge defiitiosmægde Dm(f), der består af alle reelle tal bortset fra ulpukter for e evt. æver eller de tal, hvor udtrykket uder e evt. kvadratrod i regeforskrifte bliver egativ o. lig. b. Fide ulpukter og forteg. Løs ligige f(x) = 0 mauelt eller ved hjælp af grafregere og fid herved grafes skærigspukter med x-akse. Disse er ulpukter (rødder). På grafregere ka ma på grafe eller i des tabel aflæse de itervaller, hvori fuktiosværdiere er positive, dvs. hvor grafe ligger over x-akse og hvori fuktiosværdiere er egative, dvs. hvor grafe ligger uder x-akse. Disse teges id på e fortegslije samme med pukter hvor f ikke er defieret. c. Fide lokale ekstrema og vedetageter for f ved først at fide de afledede f (x) og løse ligige f (x) = 0 og deræst lave e fortegslije for f med ulpukter for f og pukter hvor f ikke er defieret. Fid forteget i hvert af itervallere på lije v.hj.a. grafregere (graf eller tabel). d. Opskrive fuktioes mootoiforhold ud fra fortegslije for f : f er voksede i itervaller hvor f (x) > 0, f er aftagede i itervaller, hvor f (x) < 0 og f er kostat i itervaller hvor f (x) = 0. e. Fide evt. asymptoter (se tidligere) f. Tege grafe på grafregere og overføre e velligede skitse til papir. g. Fide værdimægde Vm(f) ved at fide fuktiosværdiere i de lokale ekstremumssteder samt, hvis defiitiosmægde er et iterval, så fide - fuktiosværdiere i edepuktere af dette iterval og derefter betragte grafes udstrækig på y-akse. 2. Løse optimerigsproblemer ved at opstille e matematisk model i form af e fuktio og fide maksimum eller miimum for dee v.hj.a. de afledede fuktio.
Avedelser: Det approksimerede førstegradspolyomium og Newto-Rapsos metode 1. De lieære fuktio p(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x - x 0 ) kaldes det approksimerede førstegradspolyomium for f i x 0, hvor f er e fuktio, der er differetiabel i x 0. f ( x ) 2. Newto-Rapsos iteratiosformel x + 1 = x f ( x ) ka bruges til at bestemme ulpukter for fuktioe f, ved først at skaffe et overblik over grafes forløb og derefter vælge et tal x 0, som ligger tæt ved ulpuktet på x-akse. Der udreges bedre og bedre tilærmelser x 1, x 2, x 3,... til ulpuktet til øjagtighede er tilfredsstillede. 1. Avede det approksimerede førstegradspolyomium til at bestemme tilærmede fuktiosværdier. EKSAMEN Skriftlig eksame Der er itet krav om blæk eller kuglepe. Me bruger du blyat, skal du skrive så tydeligt, at der ikke er tvivl om, hvad du meer. Pas på at trykke hårdt ok. Orde (dvs. opstillig og overskuelighed) spiller e rolle. Ofte letter figurer og skemaer læseres forståelse. Ved bedømmelse af opgavebesvarelsere lægges der vægt på, at di takegag klart fremgår af besvarelse samt på de avedte metoders og beregigers korrekthed. Det vil idgå i bedømmelse, om opgavebesvarelse ideholder e overskuelig og klar opstillig af beregiger, e omhyggelig udførelse af figurer og e forklarede tekst, der tydeliggør problemløsigsprocesse, og som får besvarelse til at udgøre et sammehægede hele. E besvarelse forvetes derfor at ideholde: e redegørelse for bruge af evetuelle figurer og e agivelse af avedte betegelser, fx for ubekedte størrelser e tydeliggørelse af sammehæge i beregiger, fx ved e hesigtsmæssig opstillig, e forbidede tekst og/eller avedelse af logiske symboler e tydeliggørelse af koklusioer, heruder delkoklusioer Di opgavebesvarelse skal dae grudlag for vurderig af de avedte fremgagsmåder og de udførte beregiger. Omskriviger af mellemregiger og mellemresultater må derfor i rimeligt omfag medtages i besvarelse. Avedes grafiske løsigsmetoder, må aflæsiger markeres tydeligt på de avedte figur. Det er vigtigt, at rege-, idtastigs og aflæsigsfejl afslører sig som sådae og ikke som forståelsesfejl. Læs mere om de skriftlige prøve i Uddrag af udervisigsvejledige, som fides aftrykt i Matematiklærerforeiges opgavesamlig.
Mudtlig eksame Repetitio Lav ogle overskrifter du kue forestille dig er eksamesspørgsmål. Boges afsit ka bruges som udgagspukt, me vær opmærksom på at der ka være spørgsmål på tværs af disse. Vurdér hvilket stof du meer, er så væsetligt ide for di overskrift, at det skal med i di fremlæggelse. Brug die ege ord. Overvej hvilke beviser du vil geemføre og fid helst die ege eksempler til illustratio af stoffet. Forbered e fremlæggelse på ca. tyve miutter. Øv dig i fremlæggelse over for di læsemakker, et familiemedlem eller kammerat. Når mauskriptet er rettet og pudset af, er det dette du tager udgagspukt i uder forberedelse til de mudtlige eksamiatio. Som eksempler på formulerig af eksamesspørgsmål ka æves: Polyomier Der øskes e redegørelse for adegradspolyomiets graf og/eller rødder. Differetialregig Regeregler for differetiatio, heruder differetiatio af et produkt.