4.Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2. Modellerig af idkomste i e økoomi og multiplikatoreffekte... 6 3. Rækker... 8 4. Økoomiske modeller i avedelse... 25 Tema 2: Økoomisk vækst teorier og modeller... 28. Idledig... 28 2. Produktio og produktiosfuktioer... 29 3. Solow modelle... 4 Tema 3: Ulighedsmål i økoomie... 5. Velstadsmål... 5 2. Fattigdomsmål... 5 3. Ulighedsmål: Gii koefficiete... 53 4. Adre mål: Udvikligsideks Fattigdomsideks... 69 4. De store skriftlige opgave SRO... 7 Studieretigskapitlet om fagligt samarbejde mellem matematik og samfudsfag rummer tre samfudsfaglige temaer og et afsit om studieretigsopgave SRO. De tre temaer giver hvert sit bud på et muligt fælles eme for matematik og samfudsfag, der ka beyttes som udgagspukt for det skriftlige projekt, som matematik skal idgå i ifølge læreplae. Tema hadler om multiplikatorer i økoomi og giver forude e idsigt i matematisk modellerig e avedelse af såvel lieære sammehæge i flere dimesioer som uedelige rækker. Tema 2 hadler om økoomisk vækst og giver forude e idsigt i matematisk modellerig e avedelse af såvel potessammehæge i flere dimesioer som differetialregig. Edelig hadler tema 3 om ulighed og fattigdomsmål og giver e idsigt i avedelse af såvel differetialsom itegralregig.
Idledig Samfudsfag sat på formler II Dette kapitel ideholder tre tematiske eksempler på brug af matematik i samfudsfag. I det første tema er multiplikatorvirkige i cetrum. Opridelse er at fide hos de egelske økoomi Joh Mayard Keyes. Keyes bryder med si teori i 936 uder idtryk af krise med de klassiske opfattelse, at økoomie altid søger mod ligevægt. I hovedværket The Geeral Theory o Employmet, Iterest ad Moey påviser Keyes ødvedighede af, at politikere ved hjælp af fiaspolitik skal stimulere de samlede efterspørgsel i samfudet. Virkige af de ekspasive fiaspolitik (eller modsat e kotraktiv) ka bestemmes ved hjælp af de såkaldte multiplikatorer, som bl.a. idarbejdes i de første økoomiske modeller i Damark, SMEC II og ADAM. I de aktuelle økoomiske krise har Keyes fået e reæssace: At state skal spille e fremtrædede rolle i regulerige af økoomie. Teorie bag multiplikatorvirkige får og har fortsat stor betydig. Samtidig muliggør arbejdet med multiplikatorer i matematik at se på kvotietrækker og differetialregig. I det adet tema er fokus på økoomisk vækst. Hvor Keyes teori er efterspørgselsorieteret ser Solows vækstteori fra 956 mere geerelt på, hvad der skaber vækst i samfudet. Modsat Keyes ser Solow på iput side arbejdskraft og kapital som ødvedige betigelser for vækst og heruder især kapitalakkumulatio som de helt cetrale faktor. Solows er teori udbudsorieteret (hvor meget ka økoomie producere?) og bygger på eoklassiske forudsætiger. Teorie er seere videreudviklet, me får allerede ved des fremkomst stor betydig for bl.a. abefaligere til udvikligslade om hvorda vækst iitieres (Rostows faseteori). Solows teori ka skrives på Cobb Douglas form og giver dermed mulighed for at arbejde med differetialligiger. Aktuelt bygger bl.a. DREAM videre på e videreudviklig af mage af atagelsere i Solows vækstteori. Det tredje tema omhadler økoomisk ulighed og ulighedsmål. Ulighed og dermed fattigdom spiller e cetral rolle i de politiske og økoomiske debat. Der ka kostateres e grudlæggede ideologisk ueighed socialister på de ee side vil formidske de økoomiske ulighed ved progressiv beskatig og overførsler fra state til de fattige. Modsat vil liberalister på de ade side overlade fordelige i samfudet til markedskræftere, ligesom der argumeteres for at økoomisk ulighed bidrager til de økoomiske vækst. Temaet belyser især forskellige mål for ulighed, heruder især Gii koefficiete som også hyppigt bruges i forbidelse med reformer. For matematik muliggør arbejdet med Gii koefficiete at avede bl.a. itegralregig, regressio m.v. Til slut diskuteres formålet med studieretigsopgave og der vises ogle eksempler på studieretigsopgaver, hvor matematik og samfudsfag idgår. 2
Tema : Multiplikatorvirkige. Hvad er e multiplikatoreffekt? Vi har økoomisk krise i Damark (som i reste af verde), og i e såda situatio forsøger state ofte at gøre krise midre ved at føre e ekspasiv fiaspolitik. I e såda politik, hvor der pumpes pege ud i økoomie fx geem offetlige ivesteriger eller skatteedsættelser, breder virkige af de udpumpede pege sig i økoomie som rige i vadet det kaldes multiplikatoreffekte. Idkomste Y Det økoomiske kredsløb Skatte fjerer e vis brøkdel, t De resterede Idkomst Y Opsparige fjerer e vis brøkdel, s Importe fjerer e vis brøkdel, m Ma ka betragte økoomie som e tragt med huller i. Hælder ma pege i økoomie løber de igeem de, me udervejs forsvider der pege ud af økoomie ige, ude at geerere vækst i Damark det ka dreje sig om skat, opsparig og varer der købes i udladet. De resterede pege får edu e tur geem økoomie og geererer mere vækst, og såda fortsætter det. Eksempel: Et eksempel tydeliggør det yderligere: De røde regerig vil støtte økoomie i krisetider og vælger derfor at reovere skoletoiletter for mia. kr., som vi for u lader som om, alle går til hådværkere. De hådværkere skal betale skat af deres øgede idkomst, emlig 4 %. Her er altså det første afløb det første hul hvor der forsvider pege. Da det jo er krisetid, bruger hådværkere ikke alle de pege, de har til rådighed, de sparer emlig 5 % op. Her er altså det adet afløb. Af de pege hådværkere bruger til forbrug, køber de e del tyske varer biler, fladskærmsfjersy osv. I alt gå 2 % af deres forbrug til importerede varer. Her er det tredje afløb. De resterede pege bruger de på daske varer, og disse pege geerer e yderligere vækst i de daske økoomi. Hvis vi lader som om, at det eeste de køber er chokolade, som er produceret på Toms Chokolade, så vil medarbejdere her få e øget idkomst. Vi er u i gag med adet geemløb. Medarbejdere skal jo betale skat, de sparer op og af deres rådighedsbeløb, de bruger ogle af dem på at købe importerede varer. De resterede del bruger de på at købe daske varer, og så er vi i gag med tredje geemløb. Såda fortsætter pegee med at geerere vækst i økoomie. 3
Når vi skal se ærmere på effekte af et idgreb har på økoomie, hvor der pumpes mage pege id i økoomie (eller trækkes ud), ser ma på de såkaldte multiplikatoreffekt. Vi ser dog først lige kort på, hvorfra takere omkrig dee type politiske idgreb i økoomie stammer, og hvilke typer af fiaspolitiske værktøjer state råder over. Deræst skal vi have opstillet multiplikatorere ved at se på et system af ligiger vi kommer her til at se på mere og midre komplicerede udgaver. Dermed kommer der her også ogle overvejelser omkrig modellerig id. Vi bruger dog også e ade tilgag til at fide multiplikatore, emlig ved at se på, hvorfor dee sum af e masse geemløb giver e effekt som er et edeligt tal hertil skal vi vide oget om rækketeori og ser derfor på både edelige og uedelige rækker. Sidst kommer vi tilbage til de forskellige typer af idgreb og avedelse af modelle i virkelighede.. Keyes og økoomisk styrig Take om at ma ka styre økoomie geem krisetider på dee måde stammer fra Joh Mayard Keyes (883 946) i The Geeral theory of Employmet, Iterest ad Moey fra 936. Det var 93 eres økoomiske krise, som ædrede de forståelse, der hidtil havde været af atioaløkoomie. Der var høj arbejdsløshed og stagatio (stilstadsperiode med lav eller ige økoomisk vækst), hvilket gjorde takere fra de eoklassiske økoomiske teori, om at økoomie var selvregulerede, og at markedskræftere selv kue sikre beskæftigelse og økoomisk vækst, problematiske. Altså var der ikke teg på at økoomie på lag sigt selv ville løse de økoomiske krise og fide de ligevægt, som de eoklassiske teori ellers mete, ville komme af sig selv. Som kommetar til dette er det berømte citat fra Keyes I the log ru we are all dead oplagt. Det ye i Keyes økoomiske teori var, at ha opstillede e økoomisk model, der så på sammehæge mellem beskæftigelse, fiasierig og produktio. Keyes mete, det var virksomhederes forvetiger til de fremtidige efterspørgsel efter varer, der får dem til at udvide produktioe og derved øger beskæftigelse. Altså mete Keyes, at økoomiske kriser kue udgås eller løses ved politisk at øge efterspørgsle. Keyes take var ikke, at state skulle overtage produktioe. Ha gik id for de markedsbaserede økoomi, me med state der styrer de i de rigtige retig. 4
.2 Hvad er det egetligt der sker? Vi vil først gere se, om vi ka få e helt geerel forståelse af, hvad multiplikatore er, og hvad det er der sker med pegee i de omtalte geemløb i økoomie. Derfor vil vi starte med at se på et eksempel og forsøge at lave e geemregig af eksemplet ved brug af regeark. Regeark er yttigt her, da der jo sker det samme i alle geemløbee, og ma derfor ka spare oget arbejde ved at gebruge ligigere og måske ede med oget mere geerelt gældede Øvelse 4. a) Det følgede er udregiger af det første geemløb, der var i eksemplet i starte af kapitlet. Geemreg ved brug af regeark rude og fortsæt selv med geemregig af rude 2, 3 osv. ved at trække passede i cellere. Lav e samlet opgørelse over hvor meget vækst ivesterige har betydet for samfudet. Forudsætiger i eksemplet: E øget offetlig ivesterig på mia. kr. Skatteprocet 4 % Opsparigskvote 5 % Importkvote 2 %. rude: De øgede idkomst i økoomie, som de offetlige ivesterig giver, kalder vi Y, og de gik til øget lø til hådværkere, som jo skal betale skat. Der betales.4 4 kr. i skat og hådværkeree har altså ku 6 mio. tilbage som de ka råde over. Af de 6 mio. sparer det 5 % op, altså 6.5 9 og de resterede 5 mio. bruger de til forbrug. Af det forbrug kommer de 2 % fra importerede varer, hvilket svarer til 5.2 2. Derfor er det ku de resterede 48 mio. der giver øget forbrug i Damark. De 42 mio. kr. bruges u videre i økoomie, de beteges Y og er udgagspuktet for æste geemregig. Øvelse 4.2 Nu har du et eksempel på e geemregig af multiplikatoreffekte, der jo etop var et udtryk for de samlede effekt et idgreb i økoomie edte med at have. Me det smarte ville jo være at ma ikke behøvede lave e såda geemregig hver gag. Du skal derfor forsøge at gøre dit regeark geerelt. a) Få skrevet forudsætigere id i toppe af regearket, med e titel i e celle og værdie hørede til i e celle hørede hertil. b) Brug derefter hevisiger til cellere med forudsætigere, år du udreger rudere. c) Leg med at ædre på forudsætigere og se hvad heholdsvis ædriger i skatteprocet, opsparigskvote og importkvote betyder for de samlede effekt på økoomie. 5
.3 Fiaspolitiske værktøjer Når vi kigger på fiaspolitiske idgreb i økoomie, bliver vi ødt til også at komme id på de vedvarede diskussio af, hvorda et såda idgreb skal udføres. Som det er blevet beskrevet, hadler det jo bare om, at state skal øge efterspørgsle i økoomie. Der er dog ikke et etydigt svar på, hvorda det skal gøres. Her ka multiplikatore også hjælpe os med at se på effekte af de to grudlæggede typer af idgreb offetlige ivesteriger eller skattelettelser? Diskussioe buder selvfølgelig i høj grad i de forskellige ideologiske fudameter, de forskellige partier har, me det gør bestemt ikke diskussioe midre iteressat. Vi har altså her oget, vi ka rege på og matematisk set fide de oplagte løsig på, me som alligevel til stadighed diskuteres politisk. Dee diskussio kommer vi ærmere id på, år vi har set på multiplikatore matematisk set. 2. Modellerig af idkomste i e økoomi og multiplikatoreffekte I det følgede skal vi bruge e hel stribe symboler svarede til alle de variable, der optræder i modelle. Navee på variablee består typisk ku af et bogstav, så ma skal holde tuge lige i mude, for emt at kue gekede dem. Praxis: Symbolforklarig Lagt de fleste symboler, der bruges i økoomi kommer fra forbogstavet i de egelske betegelser. I ogle tilfælde er der dobbeltgægere og der er det kutyme, at ma bruger adet bogstav (ligesom AT og AP). Y C C = Yield = Idkomst geereret i økoomie = Cosumptio = Husholdigeres forbrug = Det idkomstuafhægige forbrug C = forbrugskvote = adele af dispoibel idkomst, der går til forbrug, c. S = Savigs = Husholdigeres opsparig s = opsparigskvote = adele af dispoibel idkomst, der går til opsparig, s I = Ivestmets = Ivesteriger G = Govermet spedig = Offetlige udgifter/forbrug T = Tax = Skat t = skattekvote = adele af idkomst der går til skat, t X = export = Eksport M = import m = importkvote = adele af husholdigeres dispoible idkomst der går til import, m. M G = multiplikatoreffekte som følge af ædrig i offetlige udgifter M T = multiplikatoreffekte som følge af ædriger i skatte Variable med absolutte mål som fx atal arbejdere eller de samlede idkomst agives med store bogstaver. Variable med relative mål som fx idkomst per arbejder eller opsparigskvote som procet af idkomste agives med små bogstaver. Advarsel: Ved kvotevariable, der typisk måles i proceter, er det specielt vigtigt at være opmærksom på, hvad procete udreges af. Forskellige fremstilliger ka godt bruge forskellige defiitioer og dermed å frem til forskellige formler, selvom modellere er ækvivalete! 6
Multiplikatore som matematisk begreb Ide vi går i gag med at se ærmere på de økoomiske modeller, ka det være godt at mide om multiplikatore som et matematisk begreb løsrevet fra de økoomiske kotekst. Vi kigger da først på e lieær variabelsammehæg. I e y y = a x + b såda model spiller hældigskoefficiete a rolle som multiplikatore: Hvis der sker e ædrig af de uafhægige va Δy=a Δx y 2 riabel x, vil de emlig forårsage e ædrig i de afhægige y Δx variabel y, der er a gage så stor, dvs. skrevet med symboler: Ædrige i xx2 x x b Ædrige i yy2 y y Sammehæge er givet ved: yax Det følger umiddelbart af formle for hældigskoefficiete x y2 y y a x x 2 x x x 2 Hvis sammehæge ikke er lieær, me fx givet ved et tredjegradspolyomium, er de lokale hældig lags grafe ikke lægere kostat, me er i stedet givet ved differetialkvotiete f ( x). Multiplikatore er derfor i dette tilfælde givet ved differetialkvotiete. De oveståede sammehæg mellem ædriger i x og de deraf forårsagede ædriger i y gælder da ku tilærmelsesvis for små ædriger: Lille ædrig i xxx x Lille ædrig i yyy y Sammehæge er givet ved: y f( x ) x y = f(x) x Ædrigere skal være så små, at vi holder os til området, x hvor grafe stort set falder samme med tagete. NB! I de følgede diskussio af multiplikatorvirkige i økoomi vil vi ku arbejde med lieære sammehæge, så stregt taget behøver vi ikke kigge på differetialkvotieter. Me ved komplicerede formler ka det være de emmeste måde at udtrække multiplikatore. Edelig ka de afhægige variabel z afhæge lieært af to uafhægige variable x og y. Variabelsammehæge er da på forme zaxby c med to hældigskoefficieter, emlig é hørede til x og é hørede til y. I e såda model er der derfor to forskellige multiplikatorer, emlig a hørede til ædriger i x og b hørede til ædriger i y: zax, år y, dvs. y holdes kostat. zby, år x, dvs. x holdes kostat. Sådae to faktormodeller optræder hyppigt i samfudsøkoomiske modeller, hvor ma fx ka fokusere på virkige af e skattelettelse, samtidigt med at de offetlige ivesteriger holdes i ro eller omvedt. Skattelettelsere vil da være tilkyttet é multiplikator, de offetlige ivesteriger e ade. Me alt det kommer vi til. y y y Δx Δy f'(x ) Δx x 7
2. De simple idkomstdaelse For at å frem til e brugbar model må vi starte fra bude og bygge på efterhåde. Vi starter derfor med e helt simpel model for idkomstdaelse i e økoomi. Det giver os e elemetær forståelse af de mekaismer, der er i økoomie, og hvad multiplikatore er matematisk set. Modelle er dog for simpel til at bruge i virkelighedes verde. De grudlæggede atagelser i dem simple model hadler om udbudsside og efterspørgselsside. Virksomhedere er udbudsside: De idkomst, Y, der geereres i økoomie, er produktioe. Altså vil hver virksomhed i økoomie, der producerer varer for et bestemt beløb, altid udbetale det hele i lø, profit og rete. Produktioes størrelse afgør virksomhede ud fra hvor meget de forveter at kue afsætte, altså de forvetede efterspørgsel. Grafisk er det illustreret ved e kurve på 45, med skærig i,. Dog skal ma huske, at der i e økoomi er e øvre græse for, hvor meget der ka produceres på kort sigt, emlig de fulde beskæftigelse. C (Efterspørgsel) Y = C Y (Produktio) Forbrugere er efterspørgselsside: Her forudsættes det, at forbrugere ka bruge deres løidkomst til ete forbrug, C, eller opsparig, S. Ma bruger opgørelser over folks forbrug til at udrege forbrugskvote, c, altså adele af løidkomste, der bruges på forbrug og opsparigskvote, s, som omvedt er adele af løidkomste, der bruges på opsparig. Da løidkomste ku bruges til opsparig og forbrug må det gælde at: cs. C C (Efterspørgsel) C = C + c Y Y (Produktio) Hvad bruges opsparige så til? Ifølge atioalregskabsligige vil opsparige i ligevægt, altid være lige så stor som ivesterigere i økoomie, da I Y C G. Ivesterigere er bestemt af faktorer udefra. Altså ved virksomhedere, hvad der ka betale sig at ivestere. Opsparige er e del af idkomste, så stiger idkomste vil opsparige stige. De to tilpasser sig altså hiade ved at idkomste varierer. Keyes mete dog godt at opsparige ka overstige ivesterigere i samfudet, og dermed ikke skabe de øskede vækst. I de keyesiaske teori er forbruget desude delt i to. De idkomstuafhægige del, C, som er det ødvedige forbrug, og e del, som er afhægig af idkomste cy. Altså er C C c Y. Illustreres det grafisk er det e ret lije med skærig af y akse i puktet (, C ) og hældige er etop forbrugskvote, c. Forbrugskvote er altså afgørede for efterspørgsle i økoomie. 8
Sætter ma udbudsside lig efterspørgselsside fider vi produktiosiveauet i ligevægtstilstade: Y C cy Y cy C Y( c) C C Y C c c Ligevægtsproduktioe er altså givet ved Y C. * c C * C C (Efterspørgsel) Y = C C = C + c Y Y (Produktio) Y * Vælger virksomhedere u e produktio Y, der ligger uder ligevægtsproduktioe ligger de blå efterspørgselskurve øverst, dvs. virksomhedere ka afsætte mere og bør sætte produktioe op. Vælger virksomhedere derimod e produktio Y 2, der ligger over ligevægtsproduktioe ligger de blå efterspørgselskurve ederst, dvs. virksomhedere ka ikke afsætte hele deres produktio og bør sætte produktioe ed. I et frit marked vil produktioe derfor regulere sig af sig selv og lade på ligevægtsiveauet Y. * C C (Efterspørgsel) C Y Y Y * Y ligger for lavt: Der er basis for at udvide produktioe. Y 2 Y 2 C 2 Y = C C = C + c Y Y (Produktio) Y 2 ligger for højt: Der er basis for at idskræke produktioe. Multiplikatore ser på ædriger i efterspørgsle og hvilke ædrig det giver i de samlede produktio. Efterspørgsel Y = C Ser vi på det grafisk, så vil e øget efterspørgsel ses som, at forbrugskurve skubbes lodret opad med C = C + c Y stykket C. Det fører til e ædrig af ligevægtsproduktioe på Y. Me som det fremgår af figure ΔC * C C = C + c Y ΔY gælder der * ΔC c ΔY * C Y cy ( c) Y * * * C Multiplikatoreffekte er altså givet ved Y (Produktio) Y * MC C c. Y * Y * ΔY * I stedet for at kigge på forskydiger af efterspørgselskurve ka ma også tage udgagspukt i sammehæge mellem ligevægtsproduktioe Y og basisforbruget C, som vi jo fadt til at være * Y C * c Me det svarer jo helt til e sædvalig opskrivig af e ret lije y k x hvor hældige og dermed multiplikatore etop er k. Ud fra ligevægtsligige er det altså trivielt at aflæse multiplikatore. c 9
Øvelse 4.3 a) Teg e forbrugsfuktio med forskrifte C.5 Y. Fid ligevægtsidkomste. b) Lad deræst forbruget stige med C, teg de ye forbrugsfuktio og fid de ye ligevægts idkomst. Hvor meget er idkomstædrige i forhold til stigige i forbruget (altså multiplikatore)? c) Lav u samme øvelse me med c.4 og c.6. Hvilke betydig har forbrugskvote for multiplikatores størrelse? Bemærkig: Skal ma rege multiplikatore ud, ka ma også bruge differetialkvotiete, som jo etop giver hældigskoefficiete. Differetiatioe ka ete foretages vha. et værktøj eller ved hjælp af regereglere for differetiatio. C Y * c dy * M dc c ( s ) Allerede fra vores simple model ka vi altså se, at det grudlæggede problem for økoomie, er de pege der bliver trukket ud af det økoomiske kredsløb, fx ved opsparig. Det er forbruget (og opsparige), der afgør multiplikatores størrelse og dermed effekte af e idkomstædrig i økoomie. Ligevægte som et resultat af e matematisk iteratiosproces (A iveau) Ide vi forlader eksemplet helt, vil vi lige se på ligevægtsprocesse fra et matematisk syspukt, der kaster lys over udregige af multiplikatore som et resultat af et kredsløb, hvor effekte af e ædrig spreder sig som rige i vadet. Udgagspuktet er efterspørgselskurve C C c Y og produktioskurve Y C. Vi ved, at der er basis for at afsætte efterspørgsle C. Som et første bud på produktioe sætter vi derfor til Y C. Me allerede dee produktio giver luft i økoomie og der efterspørges u C c Y, hvorfor vi sætter produktioe op til Y C c Y. Det giver yderligere luft i økoomie, og der efterspørges u C c Y, hvorfor vi sætter produktioe op til Y2 C c Y. Således fortsætter vi, me som vist på figure svarer det etop til, at vi bevæger os op af e trappe mod ligevægtspuktet i diagrammet. Ydermere ser vi, at de ekelte trappetri er givet ved C, cc, c C,... 2 Ligevægtsproduktioe er derfor de uedelige sum 2 2 Y C cc c C... C( cc...) * På de ade side har vi jo tidligere udreget at der gælder Y C * c. Summe af de uedelige række må derfor være givet ved cc... c Vi veder tilbage til sådae rækker i afsit 3. Me hvis du er blevet ysgerrig ka du læse meget mere om sådae iterative processer i kapitel. 2 C * C C (Efterspørgsel) C C Y Y Y 2 Y 3 Y * Y (Produktio) Y = C C = C + c Y c 3 C c 2 C c C
2.2 E lukket økoomi med e offetlig sektor Nu har vi de helt geerelle forståelse for idkomstdaelse i e økoomi, me vi er ødt til at komplicere det lidt for at gøre det til e mere realistisk og dermed brugbar model. For e økoomi er jo ikke ku forbrugere og virksomheder. Vi tager udgagspukt i atioalregskabsligige for e lukket økoomi, som er et udtryk for sammesætige af idkomste i e økoomi altså ligevægte: Y=C+I+G Altså udbygges vores hidtidige simple model u med private ivesteriger, I, og offetlig efterspørgsel, G. Desude betaler ma jo skat, T, til de offetlige sektor. Tager ma i første omgag dog udgagspukt i, at de tre variable I, G og T har et fast iveau, er det dog stadig det private forbrug, der er afgørede for multi plikatores størrelse. Når regerige fører fiaspolitik gøres det ete ved at ædre de offetlige udgifter, G, eller ædre i beskatiges størrelse, T. Her skal ma være opmærksom på, at e ekspasiv fiaspolitik, hvor der øskes at sætte gag i økoomie, fås ved at hæve de offetlige udgifter, dvs. gøre G større, eller ved at sæke skatte, altså gøre T midre. Læg mærke til at da vi u har idført skat i modelle er de dispoible idkomst givet ved Y T og ligi ge for det private forbrug ædres derfor til C=C +c*(y-t) idet de variable del af forbruget atages at udgøre e fast procetdel af de dispoible idkomst. De to adre variable atager vi der i mod er kostate II, GG Øvelse 4.4 a) Idsæt i atioalregskabsligige de to faste størrelser I I og G G samt ligige for det variable forbrug C C c( Y T). Fid ligevægtsidkomste ved at Isolér Y. Brug evt. e solvekommado til at isolere Y. b) Fid multiplikatorere M G og G og T, dvs. på forme G M T ved at omskrive ligevægtsidkomste til e lieær fuktio af Y kostatm G M T. Du ka evt. få hjælp af dit CAS værktøj ved at iddrage expad kommadoe. Fx vil kommadoe expad(..., G ) udskille koefficiete for G. dvs. skrive udtrykket på forme Y...... G, hvorfor du emt ka aflæse multiplikatore M G og tilsvarede for variable T. c) Fid herefter multiplikatorere M G og T M T ved brug af differetiatio, M G dy dy og MT. dg dt d) Overvej hvorfor der er forskel på multiplikatorere, og hvilke type idgreb, der er mest effektiv. Vi ser altså fra øvelse at de to fiaspolitisk idgreb har forskellige multiplikatorer. Vi ser lidt ærmere på det faktum ved et eksempel.
Hvad er matematik? 2 Eksempel Vi befider os i e usikker økoomisk situatio, og folk sparer derfor meget at deres idkomst op for at være på de sikre side. Opsparigskvote er derfor s =.2. Regerige skal lave et fiaspolitisk idgreb for at sætte gag i økoomie. Me skal de bruge.mia. kr. på skattelettelser eller. mia. kr. på at øge de offetlige udgifter? For at kue svare på det ser vi ærmere på de to multiplikatorer: ( s) (.2) MG 5 MT 4 ( s) (.2) ( s) (.2) Det betyder altså, at hvis der pumpes. mia. kr. ud i økoomie ved at øge de offetlige udgifter geererer det e effekt på idkomste på Y MG G 5 5 mia. kr. De samme effekt af skattelettelser er dog ku Y MT T 4 4 mia. kr. Grude til de midre effekt af skattelettelser er, at her bestemmer regerige jo i første omgag ikke, hvad pegee skal bruges til. Bygger de skoler for.mia. er de sikre på, at der er dee øgede effekt i før ste omgag. Giver de derimod borgere pegee i håde i form af skattelettelser, bliver effekte i første omgag midre, da borgere sparer ogle af dem op. Ma ka godt blive lidt svedt over de mege algebra, der er forbudet med at trække multiplikatore ud af modelle. Me selve grudidee bag multiplikatore er de samme som før! Keyes beskriver fx mul tiplikatore på følgede måde: There is othig faciful or fie-spu about the propositio that the costructio of roads etails a demad for road materials, which etails a demad for labour ad also for other commodities, which, i their tur, etail a demad for labour Geerally speakig, the idirect employmet which schemes of capital expediture would etail is far larger tha the direct employmet But the fact that the idirect employmet would be spread far ad wide does ot mea that it is the least doubtful or illusory. O the cotrary, it is calculable withi fairly precise limits. Fra Keyes ad Hederso i The collected writigs of Joh Meyard Keyes, vol. 9, 972, p. 5. Fudet i The Keyesia multiplier, s., edited by Claude Gos m.fl, Routledge 28. Matematisk bemærkig (A iveau): Ma ka også illustrere multiplikatore gra fisk. Da vi har flere variable i spil kræver det dog at vi går e dimesio op. Natioalreg skabsligige for e simpel lukket økoomi Y C I G, dvs. C Y I G skal da afbildes samme med forbrugsgrafe C C c (Y T ) Der er tre variable ivolveret, emlig Y, C og T. Vi tilføjer derfor edu e akse svarede til skatte T. Som før lader vi første akse Y pege mod højre, ade akse C pege opad og tred je akse T pege udad. De to lieære ligiger fremstiller da plaer i rummet, som skærer hiade i ligevægtskurve (afbildet rød). 2
De viser, hvorda ligevægtsidkomste Y afhæger af skattegrudlaget T. Sættes skatte op, dvs. vi bevæger os ud af T akse, rykker ligevægtspuktet idad på Y akse, dvs. de samlede idkomst falder, år skatte stiger. Reducerer vi omvedt skatte, stiger de samlede idkomst. Øvelse 4.5 Som et kokret eksempel sætter vi atioalregskabsligige til Y C og forbrugsligige til C 2.25 ( Y T). Forbrugskvote er altså c.25 og vi reger i mia. kr. a) Teg de tilhørede plaer i første oktat med x5, y5 og z 5. b) Gør rede for at hvis T fås ligevægtskurve C 2.25 Y og ligevægtsværdie Y 4. Du ka se * ligevægtskurve på de bagerste gule pla hvor T. c) Gør rede for at hvis T 5 fås ligevægtskurve C.75.25 Y og ligevægtsværdie Y 7/3 2.33. Du ka se ligevægtskurve på de forreste usylige pla hvor T 5. * Y d) Gør rede for at multiplikatore hørede til T derfor må være givet ved MT.33 og at T 3 ( s) dette stemmer overes med de formel vi har fudet for multiplikatore MT. ( s) Hvis vi også vil kigge på multiplikatore for G idgår de ku idirekte som e parameter i atioalregskabsligige CYI G. Hvis vi hæver det offetlige forbrug, sæker vi de grøe pla og ligevægtskurve skubbes mod højre. Altså vokser de samlede idkomst i ligevægt. Som i det todimesioale tilfælde ka dette bruges til at fide multiplikatore Y MG G Øvelse 4.6 (i forlægelse af øvelse 4.4) Som et kokret eksempel hæver vi det offetlige forbrug med mia. kr., dvs. vi sætter G. Samtidigt holder vi skatte i ro og vælger fx T 5. a) Gør rede for at de forskudte pla får ligige C 2 Y og tilføj de forskudte pla. b) Hvis T 5 fadt vi ligevægtskurve C.75.25 Y fid de forskudte ligevægtsværdi Y. * Y c) Udreg multiplikatore ud fra defiitio MG og tjek værdie med formle M G G ( s). 3
2.3 De klassiske model for e åbe økoomi De model af økoomie vi har set på er selvfølgelig stadig alt for simpel. Vi udbygger u ige modelle, hvilket gør de mere realistisk, me også sværere at illustrere. Det første, der skal ædres, er fremstillige af skatte. Vi atog at skatte havde e fast størrelse uaset idkomst, me såda er virkelighede jo ikke. Det mest almidelige er, at ma har e idkomstskat, hvor skatte er afhægig af idkomste. Matematisk set ka det fremstilles som T=T +t*y hvor t er skattekvote, dvs. adele af husholdigeres idkomst, der går til skat. Altså er <t<. Det adet der skal ædres er, at det jo u er e åbe økoomi, og vi er derfor ødt til også at se på hadel med adre lade. Ser vi på Damark var eksporte 64,6 mia. kr. i 2 og importe tilsvarede 524,4 mia. kr.(kilde http://www.dst.dk/pukora/epub/nyt/22/nr59.pdf). I de åbe økoomi må udbuddet på varemarkedet altså både bestå af ideladsk produktio og import af varer og tjeester fra omverdee samtidig må efterspørgsle efter varer også ikludere eksporte. Derfor bliver ligevægte også tilpasset. Kalder vi importe for M og eksporte for X er ligevægtsligige u givet ved: Y+M=C+I+G+X Her har vi altså udbuddet på varemarkedet på vestreside og de samlede efterspørgsel på højreside. Skriver vi om på ligige, så vi samler hadelsbalace, altså eksport mius import, får vi: Y CIG( X M) Eksporte er bestemt ude for de økoomi vi ser på. De ka dog ædres ved at ædre på kokurreceeve. Derfor sætter vi X X. Importe vil derimod variere afhægigt af idkomste. E del af importe må dog atages altid at være der det drejer sig om varer vi ikke selv har til rådighed fx råstoffer, som er ødvedige i produktioe. E ade del af importe er afhægig af idkomste, det er fx varer som ikke er mulige at producere i Damark, fx baaer eller biler. Altså fås M M m Y, hvor M er e fast mægde varer, der importeres, og m er importkvote altså adele af idkomste, der bruges på import. Som sædvaligt gælder der <m<. Da e stor del af de idkomstafhægige importvarer er det ma kue betege som luksusvarer, som ka udværes eller erstattes af billigere daske alterativer, vil e god økoomi ofte betyde e stigig i importkvote. For e del af importe og eksporte afhæger importkvote også af kokurreceeve. E god kokurre ceeve giver e lave idkomstuafhægig import og e lavere importkvote og omvedt for e dårlig kokur receeve. Derfor ka politikere også forsøge at forbedre økoomie ved at ædre på kokurreceeve. Dog vil det ige betydig have for varer som eergiprodukter, råstoffer og specialdesigede varer. Vi ser u på de udvidede atioalregskabsligig Y=C+I+G+(X-M) og idsætter de gældede betigelser: 4
C C c( Y T) T T ty I I G G X X MM my får vi følgede sammehæg: Y C cyct ctyi G X M my Vi isolerer ige Y, gere med brug af e solve kommado ( ct C G X I M) solve( T C c Y c T c t Y I G X M my, Y) Y ct cm Me ellers ser omskrivige således ud: YC cy ct cty I G X M my Y cy cty my C ct I G X M Y c( t) mc ct I G X M C ct I G X M C I X MG ct Y c( t) m c( t) m Nu har vi så ligevægtsidkomste udtrykt ved det offetlige forbrug G og skattetrykket T. Vi fider ige multiplikatorere ved at omskrive dee sammehæg på lieær form eller ved differetiatio. Brækkes brøke over fås C I X M c Y G T c( t) m c( t) m c( t) m Heraf aflæses multiplikatorere til Multiplikatore for de offetlige ivesteriger: M G c( t) m ( s) ( t) m Multiplikatore for skat (de idkomstuafhægige del): c ( s) MT c( t) m ( s) ( t) m De ka aturligvis også fides ved differetiatio: d ( ct C G X I M) dg c t c m c t c m d ( ct C G X I M) c dt ct cm ct cm Disse er hvad ma kalder de klassiske keyesiaske multiplikatorer for fiaspolitiske idgreb. Ma ka ligeledes lave e multiplikator for de idkomstafhægige del af skatte. 5
Eksempel Vi ser ige ærmere på multiplikatorere ved at viderebygge på eksemplet fra sidst. Vi er i e usikker økoomisk situatio, hvor opsparigskvote er s =.2, skatteprocete er t =.4 og importkvote er m =.2. Regerige skal ige lave et fiaspolitisk idgreb for at sætte gag i økoomie. Me skal de bruge mia. kr. på skattelettelser eller mia. kr. på at øge de offetlige udgifter? M M G T.388889 ( t) ( s) m (.4) (.2).2 ( s) (.2). ( t) ( s) m (.4) (.2).2 Det betyder altså, at hvis der pumpes. mia. kr. ud i økoomie ved at øge de offetlige udgifter geererer det e effekt på idkomste på Y M G.389.389 mia. kr. De samme effekt af skattelettelsere er dog ku Y M T..mia. kr. T G Effekte af idgrebet er u lagt midre pga. de yderligere afløb i økoomie, der u er medreget. Øvelse 4.7 a) Brug klippet fra Statistisk årbog 22 til at udrege t, s, og c + m (da de gør forbrug op geerelt og ikke på typer af varer). Kilde: http://www.dst.dk/pukora/epub/upload/6252/saa22.pdf s. 92 2.4 Kritik af de klassiske model og de udbyggede udgave De vakse læser vil dog have bemærket, at de klassiske keyesiaske multiplikator for offetligt forbrug ikke svarer til de multiplikator, der blev brugt i det idledede eksempel. I yere forskig omkrig ligevægte på varemarkedet, kritiseres de klassiske keyesiaske model, for de måde de ser på importe. Importe spiller, med de øgede globaliserig, e meget større rolle for økoomie ed de klassiske model medtager. Det får kosekveser for effektere af de fiaspolitiske idgreb. Kritikke går på, at i de 6
opridelige model ses importe som e adel af idkomste og ikke som e adel af det samlede forbrug, hvilket ma burde gøre. Altså vil økoomer, som fx Cherry(2) mee, at importe skal opskrives som Mm CIG m C c Y T ty mi mg Altså vil både virksomhederes forbrug, husholdigeres forbrug og det offetlige forbrug have e adel af deres forbrug der går til importerede varer. Øvelse 4.8 a) De ye opskrivig af M idsættes i atioalregskabsligige Y CIG( XM) Isolerer ige Y og få ved omregig: Y C ( m) I ( m) X ( m) G c( m) T c( t) ( m) b) Bræk brøke eller differetier og fid de to ye multiplikatorer dy m MG dg ( s ) ( t ) ( m ) dy ( s) ( m) MT dt ( s ) ( t ) ( m ) Ser vi til sidst ige på det eksempel, vi startede kapitlet med, er det jo e ædrig i de offetlige udgifter, der kigges på. Hvis du forsøger at udrege multiplikatore ved formle for M G, får du dog ikke helt det øskede resultat. Det hæger samme med, at vi jo siger, at hele de mia. kr. der bruges på at reovere toiletter går til løiger. Dermed har vi jo ikke medtaget at oget af de øgede offetlige udgifter i første omgag går til import af varer og herved bliver tællere i brøke. Det er altså e simplificerig af modelle, me det skal dog oteres, at de reelle importkvote for offetlige udgifter lagt fra er så høj som importkvote for forbrug, da meget af det offetlige forbrug går til lø. Derfor ka ma med fordel gå edu videre og idarbejde at importkvote, m, ikke er de samme for forbrug, ivesteriger, offetligt forbrug og eksport. Ved at modellere med forskellige importkvoter bliver modelle edu mere kompleks og multiplikatorere ædres ige. Øsker ma at arbejde videre med dette ka ma fx se på Palley(29). 2.5 Hvad er så forskelle? Kigger vi ige på eksemplet fra de klassiske model, hvor opsparigskvote er s.2, skatteprocete er t.4 og importkvote er m.2, bliver multiplikatorere u givet ved M G m.2.2987 ( t)( s)( m) (.4)(.2)(.2) Me da e importkvote på.2 for offetlige udgifter ikke er realistisk ka vi også vælge at igorere des bidrag i tællere M G.623377 ( t)( s)( m) (.4)(.2)(.2) Reelt ligger multiplikatore et sted i mellem! 7
Tilsvarede fås M T ( s) ( m) (.2) (.2).3896 ( t) ( s) m (.4) (.2) (.2) Dvs. at effekte for de offetlige udgifter bliver på Y M G.623.623mia. kr. De samme effekt af skattelettelser er dog ku Y M T.39.39 mia. kr. T G Ser ma så på, hvor meget ekstra idflydelse afløbet til import har i de ye model, er det lettest at se på effektere sat i forhold til hiade. For at tydeliggøre de ædrede effekt af importe lader vi det afløb, der i de ye model er sat til import af varer i forbidelse med de øgede offetlige udgifter, være. Ved de klassiske model er forholdet.389.25.. Ved de ye model er forholdet.623.562.39 Altså er der i de to modeller e stor forskel på, hvor stor effekte af de to typer idgreb er i forhold til hiade. De relative effekt af at øge de offetlige udgifter er altså større i de ye model. Det er svært at fide empirisk data til at udersøge de reelle effekter, me ifølge Palley (29) bruger Obamas admiistratio i USA et forhold på,5. 3. Rækker E ade tilgag til at se på multiplikatore er at se de som e sum af e masse led, emlig idkomstforøgelse i de forskellige ruder, og hvilke effekt de giver til samme. Ser vi ige på et eksempel hvor der betales 4 % i skat, 2 % af de dispoible idkomst opspares og af de resterede idkomst bruges 2 % på importerede varer. Vi ser her på effekte af e øget offetlig ivesterig, der øger idkomste i samfudet med Y. Det vil sige, at i første rude er der e øget idkomst, i ade rude er der e øget idkomst frareget afløbee til skat, opsparig og import, i tredjerude er der e øget idkomst frareget to afløb til skat, opsparig og import osv. Laves rudere symbolsk skrives det på følgede måde: Bidrag fra rude : Y Bidrag fra rude 2: Y (.4) (.2) (.2) Bidrag fra rude 3: Y (.4) (.2) (.2) Bidrag fra rude 4 : Y (.4) (.2) (.2)... De samlede effekt af idgrebet er så summe af de ekelte ruder. Me hvorfor giver såda e sum af e hel masse tal e eksakt værdi? For at komme frem til svaret på det har vi brug for oget vide om rækker. 2 3 8
3. Edelige rækker Vi får brug for på e smart måde at kue opskrive og udrege e sum af mage tal, både edeligt mage og uedeligt mage. Vi starter med at idføre de otatio, vi skal bruge. E sum af flere tal kaldes e række. Lad o s sige, vi vil lægge tallee,,,,,,,,, samme. Dee sum ideholder ti tal, og ma ser, at udtrykket 2 3 4 5 6 7 8 9 ka frembrige de ti led ved, at idekset geemløber værdiere,2,3,, op til. Altså for 2 er: 2. E sum, hvor geemløber de hele tal fra til skrives ved brug af det store græske bogstav Sigma, Σ (Stort Græsk S for Sum), på følgede måde: 2 3 4 5 6 7 8 9. Summe lægger altså leddee samme, hvor idekset starter ved (læses edeuder sumteget Σ) og slutter ved (aflæses oveover sumteget Σ). Dee otatio er praktisk, år ma på begræset plads vil skrive summe af mage tal. Bemærk, at det er vigtigt at overveje, hvor summe begyder. Fx ka vi i oveævte eksempel ikke starte summe i (hvorfor egetlig ikke?). Øvelse 4.9 d) Skriv summe 5 2 ud. e) Opskriv summe med sumotatio. 2 3 4 5 f) Omskriv summe 496 8 til sumotatio. Bemærk at ma ka bruge et CAS værktøjs idbyggede sumkommado til at udrege sådae summer. 3.2 De geometriske række Vi skal u se ærmere på e særligt pæ række. Defiitio: Kvotietrække E række på forme K r r r r r 2 K hvor kaldes e kvotietrække eller e geometrisk række. Altså er e kvotietrække/geometrisk række e række, hvor et fast tal opløftes i stigede poteser. Fx er række 5 2 3 4 5 2 2 2 2 2 2 2 63 e geometrisk række. Øvelse 4. a) Skriv summe 6 4 ud. b) Skriv summe K 4 ud. For de geometriske rækker fides e ekel formel til at udrege summe. 9
Sætig Hvis r R og r gælder, at e edelig kvotietrækkes sum ka udreges ved følgede formel K r K r r Bemærk, at sætige altså ku gælder, år r og idekset starter i. Vi skal altså sætte for at frembrige det første led i summe. Hvis summe i stedet starter eksempelvis i, vil ma magle led det r, og altså få e sum, der er midre. Øvelse 4. Bevis Det er lettest at starte med at bevise, at K K r r r a) Overvej hvorfor det er det samme udtryk! Vi ser først på vestreside: b) Skriv summe ud. c) Gag id i paretese (her skal du bruge e potesregeregel!). d) Reducer udtrykket. e) Du skulle u gere have vist at K K r r r. f) Da r, må vi dividere med r på begge sider: K r K r r Hermed er sætige bevist. Eksempel Summe 2 3 3 3 3 3 ka skrives som 3 3. Ved brug af sætig med r 3 er summe er givet ved 88573,4999953 3 3 3 5949. Overvej hvorfor det er rigtigt! Husk at Øvelse 4.2 a) Udreg b) Udreg 5 3 via sætig. 2. 2
c) Bestem K, år K 3 26572. 3.3 Uedelige rækker og koverges Nu, hvor otatioe er på plads, skal vi se, hvorda vi ka rege med summer, som ideholder uedeligt mage led. Disse kalder vi uedelige rækker. Vi vil først se på, hvorda summer af uedeligt mage tal skal forstås, og hvorda de opfører sig. I behadlige idgår græseværdi begrebet, som atages kedt fra tidligere. I eksempel 4 så vi, at afrudet er,4999953. Det er klart, at år tallet bliver stort, bliver 3 () et 3 meget lille tal (Overvej!). Så lagt ude i summe lægges altså ku meget små tal til. Summerer vi op til K 2 i stedet, fås ved brug af sætig, at 2 2 3 3 3.4999999998566 Summe er med alt rimelighed,5. Summerer ma op til fx 5 i stedet ses, at summe ikke bliver større ed,5. Det giver altså meig at sige, at summe har græseværdie.5, fordi hvis går mod uedelig, kommer summe vilkårligt tæt på, me aldrig over.5. Når e uedelig sum har e græseværdi, som er et edeligt tal og ikke (uedeligt), siges de at kovergere. Har summe ikke e græse, siges de at divergere. Vi ka tillade os at skrive med limes otatio kedt fra græseværdibegrebet at K lim.5 K 3 Med dette udtrykkes, at ved at vælge K tilstrækkelig stor, ka summe komme vilkårligt tæt på.5. Der er traditio at skrive dette med et over Σ: K lim K 3 3 Vi forstår ved dette, at vi skal summe fra,,2 osv. ude at stoppe. Defiitio: Uedelige summer Ved e uedelig sum af leddee a, a, a 2, a 3, R forstås græseværdie K a lim a a a a2 a3 K Det er bestemt ikke alle rækker, der kovergerer! F.eks. må der gælde, at (overvej!), så række divergerer. Ligeledes er række diverget på trods af, at leddee lagt ude bliver vilkårligt små. Leddee bliver åbebart ikke små ok hurtigt ok til, at summe kovergerer. Til gegæld ka vi sige, at et krav for, at e uedelig sum kovergerer, er at leddee skal gå mod. Dette beviser vi dog ikke. 2
Sætig 2 Hvis e række, ikke tilfældet., er koverget, går leddee mod, år går mod uedelig, me det omvedte er Fra tidligere lader det til, at.5. Dette er jo e kvotietrække med r 3 3. Det viser sig, at vi ka bevise e sætig om summe af e uedelig kvotietrække. Dog må vi sikre tilstrækkeligt små bidrag til summe, så for at e kvotietrække kovergerer, kræves det, at r. Det sikrer, at r går mod, år går mod uedelig (overvej!). Sætig 3 For r gælder, at kvotietrække r r r er koverget og Bevis K K K lim r r K r lim r lim K K r r r r. Øvelse 4.3 Sæt ord på hvert ekelt lighedsteg i beviset. Med sætige ka vi u bevise vores påstad fra tidligere: Da r 3 får vi: Eksempel Ved brug af sætig 3 ka græseværdie af reges som følger:.5. 3 2 3 3 Altså havde vi ret, da vi allerede efter at have lagt de første led samme gættede, at summe var.5. Dee sum kovergerer altså ret hurtigt mod si græseværdi forstået på de måde, at ku få led skal lægges samme, før summe er tæt på si græse. Øvelse 4.4 a) Bereg 2. b) Bereg 4 6 64 256 c) Bestem r som brøk, år r 2.5. 22
d) Bereg multiplikatore for det første eksempel ved at se på summe af kvotietrække (,4) (,5) (,2). 3.4 Multiplikatoreffekte Hvis vi u går tilbage og ser geerelt på multiplikatorere MG og M T skal vi u bruge vores vide om uedelige rækker og koverges. Vi skal jo lige vise, at de ret faktisk kovergerer og fide et udtryk for multiplikatorere. Vi tager det u i to tri først de simple model. Her har vi e lukket økoomi med skat og ivesteriger som kostater. Dermed er der altså ku et afløb, som ikke geererer vækst i økoomies idkomst, emlig opsparig. Y er idkomste, s er opsparigskvote, forbrugskvote c ka fides som s. Øges de offetlige udgifter med Y sker følgede vækst i idkomste:. rude: Y 2. rude: Y ( s) 3. rude: Y ( s) 4. rude: Y ( s)... De samlede effekt på økoomie bliver altså: 2 3 2 3 Y Y s Y s Y s Vi sætter Y udefor paretes: 2 3 Y s s s og opskriver derefter summe med sumotatio Y s Bruger vi sætig 3 ka vi u fide værdie af summe. Vi ved, at s, da sc. Sætter vi altså srfår vi følgede: Y s Y s De samlede effekt på idkomste i økoomie er altså fudet, som de øgede offetlige udgifter Y gage multiplikatore M G s. 3.5 Multiplikatore for e lille åbe økoomi: Vi gør u modelle væsetlig mere kompleks, me også realistisk og brugbar, ved at se på skat som idkomstafhægig, samt e åbe økoomi, hvor e del af forbruget går til importerede varer som ikke geererer vækst i økoomie. Vi lader t betege skatteprocete og m betege importkvote. Vi ka for at støtte vores forståelse bruge multiplikatore for øgede offetlige udgifter Y fra det første eksempel, og geeralisere det: 23
. rude: Y 2. rude: Y ( t) ( s) ( m) 3. rude: Y ( t) ( s) ( m) 4. rude: Y ( t) ( s) ( m) 2 3... Vi ser altså her, at de samlede effekt er summe af effekte i hver af rudere og altså har vi, hvis vi sætter Y ( ) ( ) ( ). ude for sumteget, følgede sum: t s m Me det er jo e uedelig kvotietrække, så vi keder des sum. Sætter vi r( t)( s)( m), så magler vi ku at udersøge om r. Me da t, s, m alle ligger mellem og, må alle de tre led hver især være midre ed og dermed må deres produkt være midre ed. Vi ka altså bruge sætige om summe for de uedelige kvotietrække for øgede offetlige udgifter: MG ( t) ( s) ( m) t s m r til at fide multiplikatore Vi kigger deræst på multiplikatore for e skattelettelse. Her ser rude lidt aderledes ud.. rude: Y ( t) ( s) ( m). rude: Y ( t) ( s) ( m) 2 2. rude: Y ( t) ( s) ( m) 2 3 3. rude: Y ( t) ( s) ( m) 3 4 4... De samlede effekt bliver som følger: 2 2 2 3 3 3 4 4 Y( s) ( m) Y( t) ( s) ( m) Y( t) ( s) ( m) Y( t) ( s) ( m)... 2 2 2 3 3 3 4 4 Y ( s) ( m) ( t) ( s) ( m) ( t) ( s) ( m) ( t) ( s) ( m)... 2 3 Y ( s) ( m) ( t) ( s) ( m) ( t) ( s) ( m) ( t) ( s) ( m)... Y ( s) ( m) ( t) ( s) ( m) ( s) ( m) Y( s) ( m) Y ( t ) ( s ) ( m ) ( t ) ( s ) ( m ) sm t s m Altså bliver multiplikatore MT. Det egative forteg kommer, da e ædrig i * * skatte med et ekspasivt sigte jo fås ved at sæke skatte. For at få de samlede ædrig i idkomst må ma gage skatteedsættelse med multiplikatore, altså MT T, hvilket år T sækes jo skal give e positiv effekt. Det modsatte gør sig selvfølgelig gældede i kotraktiv fiaspolitik. 24
Øvelse 4.5 Økoomie i Damark løber alt for stærkt. Regerige øsker derfor at dæmpe aktivitete i økoomie. De har to muligheder: ete ka de hæve skattere med 6 mia. kr. eller også ka de sæke de offetlige udgifter, dog ku med 3,5 mia. kr. a) Hvilket af de to idgreb er mest effektive, hvis s., t.4 og m.3? b) Hvad skal de offetlige udgifter sækes med for at det idgreb er præcist så effektivt som e skattelettelse på 6 mia. kr.? 4. Økoomiske modeller i avedelse Der fides flere økoomiske modeller der avedes til udregig af effekter af politiske idgreb i økoomie i Damark. De to største er SMEC (http://www.dors.dk/sw354.asp), som er udarbejdet af De Økoomiske Råd, og ADAM (http://www.dst.dk/tilsalg/adam.aspx), som er udarbejdet af Damarks Statistik. Modellere er meget komplekse og omfatter mage hudrede ligiger. Samtidig har ma her medtaget økoomisk data for Damark geem e årrække for at tilpasse modellere yderligere. Når Fias eller Økoomimiisteriet skal forudsige effekter for politiske idgreb i økoomie kaldet fiaseffekte bruger de også modelforudsigelse af multiplikatoreffekte. http://www.fm.dk/nyheder/rss/~/media/files/nyheder/pressemeddelelser/2/5/oer%2maj%22/begrebe r%2i%2%c3%98r%2og%2bo.ashx Samtidig ser ma i diverse publikatioer tabeller over fiaseffekte over forskellige årrækker. 25
http://www.fm.dk/publikatioer/22/budgetoversigt maj 22/~/media/Publikatioer/Imported/ 22/BO%2maj%22/budgetoversigt%2_maj%222_web.ashx Øvelse 4.6 a) Overvej hvorda sammehæge er mellem fiaseffekte og de økoomiske situatio i Damark i årrække 27 23. b) Har de siddede regeriger ført de forvetede økoomiske politik? 4. Udbetalig af de særlige Pesiosopsparig Ser ma ige på tabel 3.8 ovefor ser ma at der i 29 er særskift ævt SP udbetaligere. Alle lømodtagere, selvstædige og de fleste på overførselsidkomst har i periode 998 23 betalt % af deres idkomst til Særlig Pesiosopsparig. Som e del af de borgerlige V K regerigs skattepakke i 29 blev det besluttet at SP pegee skulle udbetales til borgere. Udbetalige af pegee skulle have e ekspasiv virkig i økoomie, som skulle være med til at afbøde de begydede økoomiske krise. Som det ses af tabelle mete ma at de årige fiaseffekte var,3 % af BNP i 29. Me om udbetalige af pegee så geererede de øskede effekt er ikke så ligetil at måle efterfølgede. Det afhæger helt af hvor stor e del af pegee det vurderes at husholdigere avedte til forbrug. Øvelse 4.7 a) Læs de to artikler om SP udbetaligeres effekt og brug di vide om multiplikatore til at forudsige de reelle effekt. Overvej ligeledes hvilke oplysiger du magler for at kue udrege multiplikatore (sæt evt. dem til de samme værdi i de to modeller). http://borse.dk/yheder/oekoomi/artikel//84924/oekoom_spudbetalig_var_e_fiasko.html http://www.iformatio.dk/27838 26
Øvelse 4.8 a) Brug www.vismadsportale.dk til at se hvorda forskellige politiske idgreb i økoomie virker. Prøv at fide et aktuelt forslag til løsige af de økoomiske situatio i Damark og udersøg effektere heraf. Vismadsportale bygger på de økoomiske model SMEC. b) E ade mulighed er at gå lidt mere i dybde med hvad der sker bag udregigere. Se på multiplikatiostabellere (http://www.vismadsportale.dk/emeside.aspx?meuid=23&omraadeid=54&sideid=9&foldit em=div2). 4.2 Offetlige ivesteriger eller skattelettelser? Multiplikatorer og økoomiske modeller giver et billede af hvorda forskellige fiaspolitiske idgreb påvirker økoomie. Me selvom billedet ser ud til at være klart offetlige udgifter er mere effektive ed skattelettelser er koklusioe, dog ikke så let edda. Modeller består jo af forsimpliger og forudsætiger, og for at tro på resultatet skal ma også tro på forudsætigere. I økoomisk teori hadler forudsætiger og forståelser i høj grad af ideologi. Øvelse 4.9 a) Prøv fx at se daske tæketake CEPOS og Arbejderbevægelses Erhvervsråd meget forskellige sy på spørgsmålet. Overvej hvilke ideologi de hver især bygger på og hvilke forudsætiger og forståelser der har betydig for deres koklusio. http://www.ae.dk/files/ae_ragliste over vaekstiitiativer.pdf http://www.cepos.dk/fileadmi/user_upload/dokumeter/skattelettelser_slaar_offetlige_udgifte r.pdf Øvelse 4.2: S-SF-R regerige og fiaspolitik I august 22 efter et år på poste er S-SF-R regerige blevet kritiseret for, at deres økoomiske politik ikke har været med til at løse de økoomiske krise. a) Tag udgagspukt i selvfude artikler omkrig kritikke af regeriges kickstart af økoomie. Overvej ud fra di vide om økoomiske teori og multiplikator om regeriges strategi har været god. b) Overvej hvorfor det så på dette tidspukt ikke har haft de øskede effekt og om effekte ka komme på lægere sigt. http://ep.dk/okoomi2/dk/article479776.ece Øvelse 4.2: EU og løsiger på de økoomiske krise a) Læs artikle og overvej ved brug af di vide om økoomisk teori og multiplikator om EU s fiaspagt umuliggør løsigere på de økoomiske krise. http://www.busiess.dk/oekoomi/professor europas oekoomi i od cirkel 27
Hvad er matematik? 2 Tema 2: Økoomisk vækst teorier og modeller. Idledig I kapitel 4 i Hvad er matematik? C blev de økoomiske vækst i Kia belyst, heruder e sammeligig af udviklige i BNP og BNP/idbygger i Damark, USA og Kia. De egetlige vækstfaktorer hvorfor opstår der økoomisk vækst? blev ikke berørt. Me hvorfor overhovedet fokusere så meget på økoomisk vækst? Økoomisk vækst er afgørede for velstad og dermed velfærd i samfudet. I Damark har vi i 2 et BNP ca..38 mia. kroer. Dette svarer til et BNP/idbygger ca. 25. kr. og er resultatet af e ge emsitlig årlig vækst side 966 på ca. 2 % om året. I 966 var BNP på ca. 6 mia. kr. Hvis de årlige vækst fx ku havde været på % om året ville BNP i 2 have været 628 mia. kr. svarede til ca. 4. kr. altså e velstad pr. idbygger på uder halvdele af de faktiske! Økoomisk vækst betyder altså oget det er også øgleordet i de politiske debat. Ikke alee er vækste afgørede for et lads velstad vækste har også betydig for arbejdsløshede, da der jo skal flere folk til producere et større BNP. Og omvedt skal der være et udbud af arbejdskraft til at producere BNP derfor så meget politisk fokus på arbejdsudbuddet, fx år der sakkes om fiasierige af fremtides velfærdsstat. Meget abstrakt ka et lads samlede økoomi askues med to forskellige fokuspukter. Klassikere og eo klassikere vil fokusere på udbuddet af varer og tjeester: Hvorda produceres der? Er der tilstrækkelig med produktiosfaktorer (arbejdskraft, kapital)? Keyesiaere (se forrige tema) vil fokusere på efterspørgsle: De producerede varer og tjeester skal efterspørges og sælges. Hvis de ikke sælges vil der opstå lavko juktur og dermed arbejdsløshed i samfudet. Keeysiaere Klassikere Arbejdskraft Forbrug BNP (ouput) Kapital Produktio/Udbudsside Ivesteriger Efterspørgselsside BNP som produktio og efterspørgsel Også tidsperspektivet er forskelligt i de to tilgage. Klassikere og eoklassikere ser på økoomie på det lage sigt og har som forudsætig, at økoomie altid af sig selv vil bevæge sig mod ligevægt (fuld be skæftigelse, stabile priser). Modsat har de keyesiaske skole fokus på det korte sigt altså kojuktur bevægelser. Afsættet for dette tema er de eoklassiske skole der har produktio som forudsætig for vækst i cetrum. 28
2. Produktio og produktiosfuktioer 2. Idledig Ide vi går i gag for alvor, mider vi først om de symboler, vi aveder i det følgede og dertil lidt om de matematiske praksis omkrig potesfuktioer, ikke midst de specielle betegelser. Praxis: Symbolforklarig Som i det foregåede tema samler vi først ogle betegelser, der typisk kommer fra forbogstavet i de egelske betegelse. Der er dog traditio for at betege Kapitel med K, da C allerede er brugt til forbrug Y = Yield = Output/Samlet produktio (BNP). L = Labour = Arbejdskraft. K = Capital = Kapital, bygiger, maskier, software, jord. S = Savigs = Opsparig. C = Cosumptio = Forbrug. I = Ivestmets = Ivesteriger. W = Wages = Løiger. D = Depreciatio = Afskriviger. Variable med absolutte mål, som fx atal arbejdere, agives med store bogstaver. De kaldes også for ekstesive(additive) variable. Slår ma to fabrikker samme, skal arbejdsstyrkere lægges samme. Variable med relative mål, som fx udbytte per arbejder, agives med små bogstaver. De kaldes også for itesive variable. I dette tema vil de itesive variable altid være per arbejder. De små bogstaver ( yksciwd,,,,,, ) svarer altså til det samme, me pr. idbygger, fx y Y / L. Modeller med potesfuktioer i matematisk belysig Ide vi går i gag med et kokret eksempel, ka det være godt at mide om grudlæggede egeskaber ved potesfuktioer med iddragelse af typiske økoomiske termer. a E potesfuktio er givet ved e forskrift på forme yb x. I det følgede atages det, at potese a er positiv, dvs. at potesfuktioe er voksede. De er karakteriseret ved, at e procetvis tilvækst i iputtet x udløser e tilhørede procetvis ædrig i outputtet y. Me som det ses på figure, er der forskellige typer voksede potesfuktioer: I ogle tilfælde, fx a 2 svarede til e kvadratisk fuktio, er grafe opad hul (koveks), dvs. også hældige (græseproduktet) stiger. I sådae tilfælde er de procetvise ædrig i outputtet y større ed de procetvise ædrig i iputtet x. I adre tilfælde, fx a 2 svarede til e kvadratrodsfuktio, er grafe edad hul (kokav), dvs. dee gag falder hældige. Selv om produktioe stiger, så stiger de altså midre og midre, idet græseproduktet falder. I sådae tilfælde er de procetvise ædrig i outputtet y midre ed de procetvise æ y a = a = 2 Potesfuktioer a = a = /2 x 29
drig i iputtet x. I økoomiske modeller med potesfuktioer bruger ma e særlig sprogbrug: Her ser ma på e trasformatio af iput på forme x k x, der kaldes e skalatrasformatio (svarede til e ædrig af ehede på x akse). Uderkastes iputtet x e skalatrasformatio med skalafaktore k, vil y tilsvarede uderkastes e skalatrasformatio med skalafaktore Heraf fremgår a a a a fk ( x) b( kx ) k bx k fx ( ). a k : Output y a = 2 hvis a > vokser outputtet y hurtigere ed iputtet x. Ma taler om et voksede skalaafkast (på egelsk: icreasig returs to scale). hvis a = vokser outputtet y lige så hurtigt som iputtet x. Ma taler om et kostat skalaafkast (på egelsk: costat returs to scale). hvis a < vokser outputtet y lagsommere ed iputtet x. Ma taler om et aftagede skalaafkast (på egelsk: decreasig returs to scale). Iddrager vi differetialregige fås græseproduktet: a a a a y bax bx y x x For de relative tilvækster, vækstratere, gælder derfor dy y a a dy dx dvs. dx eller a y x y x y x Vækstrate i outputtet y er altså etop a gage så stort som vækstrate i iputtet x. Hvis fx a har outputtet y altså e større vækstrate ed iputtet x. Potese a ka altså også tolkes som e multiplikator for vækstratere. I adre sammehæge beteges potese a derfor også med elasticitete. Tekisk bemærkig: (A Niveau) Differetierer vi edu egag fås a2 a( a) a a( a) y ba( a) x bx y 2 2 x x Heraf ser vi altså at år a er y, dvs. grafe er opad hul (koveks), og omvedt for a. Iput x Voksede skalaafkast Output y a = Iput x Kostat skalaafkast Output y a = /2 Iput x Aftagede skalaafkast 3
Eksempel: Lad os se på et kokret eksempel: I pizzeriaet La Boccia er der asat medarbejder og der rådes over ov til at bage pizzaere. Medarbejdere ka lave 5 pizzaer om dage. Produktiosfuktioe er altså: Y (Atal pizzaer) 5 L (Atal medarbejdere) Dette er e lieær sammehæg med kostat skalaafkast, dvs. output Y (atal pizzaer) vokser lieært med øget iput af produktiosfaktore L (arbejdskraft). Fordobles atallet af medarbejdere i tilberedige af pizzaer til 2 arbejdere vokser output til det dobbelte, dvs. pizzaer. Øvelse 4.22 a) Opstil i dit værkstøjsprogram e model for sammehæge mellem iput af arbejdskraft L og output Y (pizzaer) i La Boccia. b) Er modelle realistisk, hvis arbejdskrafte L øges meget? c) Græseproduktet er de øgede produktio ved at asætte e medarbejder mere, altså dy/dl. Hvad er græseproduktet i modelle? E mere realistisk produktiosfuktio vil være e, hvor der gælder aftagede skalafkast, dvs. græseproduktet (dy/dl) vokser aftagede i forhold til idsatse af arbejdskraft (L). E produktiosfuktio kue være potesfuktioe: Y 5 L a, hvor a. Hvis fx a fås e kvadratrodsfuktio. 2 Øvelse 4.23 d) 2 Opstil i dit værktøjsprogram modelle Y 5L og prøv de af med forskellige værdier for L. e) Hvad er græseproduktet i modelle? f) Opstil e model med a /3. Hvorda udvikler Y sig i sammeligig med a /2? g) Ka ma forestille sig e produktiosfuktio Y 5 L a, hvor a >? Prøv at modellere e såda. Hvad er græseproduktet? Hvorfor produktiosfuktioe med aftagede skalaafkast er mere realistisk ka opfattes ret ituitivt: På et tidspukt vil medarbejdere i pizzeriaet La Boccia simpelthe gå i veje for hiade. I eksemplet med pizzabagig ka ma forestille sig, at e øget idsats af arbejdskraft skal modsvares af flere ove, dvs. idsatse af kapital (i form af ove) skal øges i takt med øget idsats af arbejdskraft. I eksemplere idtil u er det ku atal medarbejdere i pizzeriaet, der har varieret. Atallet af ove (= ) har været kostat, så de korrekte produktiosfuktio er ret beset: Y=f(K,L)=f(,L), da der ku er é ov. Ma ka omvedt forestille sig, at pizzaejere køber flere ove ude at asætte flere medarbejdere. I e såda situatio vil de elige medarbejder simpelthe ikke kue følge med. Output vil også her være vok 3
sede, me med aftagede skalafkast, dvs. græseproduktet er aftagede. E produktiosfuktio med ku é medarbejder og et variabelt atal ove har følgede udseede: Y f( K, L) f( K,), da der ku er é medarbejder. Defiitio: Produktiosfuktioer Mere geerelt beskriver e produktiosfuktio sammehæge mellem iput af produktiosfaktorer (arbejdskraft L og kapital K) og output Y i form af varer og tjeester. Der ka opstilles produktiosfuktioer for såvel de ekelte virksomhed og et helt lad. For et lads økoomi (makroøkoomi) vil output (Y) så være det samlede BNP. I eksemplet med pizzeriaet er produktiosfuktioe i pricippet e fuktio af to variable, L og K, me da ku de ee varieres mes de ade holdes kostat er Y i praksis e fuktio af ku é variabel. Både på virksomhedspla og atioalt er det urealistisk ku at kue variere de ee produktiosfaktor. Pizzeriaet vil på lag sigt både asætte flere medarbejdere og købe flere ove, hvis produktioe skal øges og det samme gælder også for et lad: For at både kapitalapparat og arbejdskraft ka udyttes optimalt, skal begge faktorer øges samtidig. Det er derfor ødvedigt at se på produktiosfuktioer med to faktorer. 2.2. Produktiosfuktio med to faktorer E produktiosfuktio med flere produktiosfaktorer kue se således ud for pizzeriaet. Y F K L L K (, ) 5 a a hvor både K og L ka varieres. Øvelse 4.24 a) Kostruér i dit værktøjsprogram e tabel med de samlede produktio (output), hvor du aveder 2 oveståede fuktio med potese a 3. E skabelo er vist edefor. L \ K 2 3 4 2 3 4 b) Hvorda udvikler produktioe sig, hvis ku L øges (se på søjlere)? c) Hvorda udvikler produktioe sig, hvis ku K øges (se på rækkere)? d) Hvorda udvikler produktioe sig, hvis både K og L øges proportioalt? Se på diagoale med K, L puktere (,), (2,2) osv. e) Udbyg modelle så potese a ka varieres. Hvad sker der hvis a ærmer sig? Og hvad sker der, hvis de ærmer sig? 32
I tilfældet i øvelse 4.24 udviser produktiosfuktioe aftagede skalaafkast i såvel K (ove) som L (arbejdskraft), idet e isoleret øgig af idsatse af ete arbejdskrafte eller kapitale vil føre til e stadig midre stigig i produktioe af pizzaer, dvs. udbyttet Y. Dette er vist i figure, hvor idsatse af arbejdskraft L holdes kostat, mes idsatse af kapital K øges. E øget idsats på é kapitelehed giver midre og midre afkast, jo lægere hee af Kapitalakse vi befider os. Øges begge faktorer samtidig vil produktioe derimod øges tilsvarede: Fordobles fx idsatse af både arbejdskraft (L) og kapital (K) fordobles output også. 4 35 3 25 2 5 5 Udbytte Y 2 3 Y = kostat K 3 4 Faldede udbyttetilvækst år kapitale øges (med kostat arbejdskraft). 5 6 7 8 Kapital K 9 Defiitio: Cobb Douglas produktiosfuktioe Produktiosfuktioer af type Y AK L (det er ormalt at bruge det græske bogstav i potese og det vil blive avedt fremover) beæves Cobb Douglas produktiosfuktioer. Øvelse 4.25 a) Bevis at e fordoblig af både K og L etop giver et fordoblet output for e Cobb Douglasproduktiosfuktio af type: Y AK L a a Potesfuktioer i to variable i matematisk belysig E potesfuktio i to variable x og y er givet ved e a b forskrift på forme zcx y. Som før atager vi, at potesere a og b er positive. Vi ka u tege grafe i et 3 dimesioalt koordiatsystem. I første oktat, hvor koordiatere x, y og z alle er positive, med viduesgræsere x5, y5, z5 ser grafe således ud, som vist for 2 2 3 zx y. Holder vi y kostat, y y fås e sædvalig potesfuktio i x: a b b a a zcx y ( cy ) x cy x I det viste eksempel med y 2 får sitgrafe derfor ligige 2 3 2 2 z2 x.5874 x, dvs. der er et aftagede skalaafkast lags x akse. 33
Holder vi x kostat, x x, fås e sædvalig potesfuktio i y: zcx y ( cx ) y c y a b a a b x I det viste eksempel med x 2 får sitgrafe derfor ligige 2 2 2 3 3 z2 y.442 y. Der er altså også et aftagede skalaafkast lags y akse. Hvis begge poteser a og b er midre ed, er der derfor aftagede skalaafkast både som fuktio af x (hvor y holdes kostat) og som fuktio af y (hvor x holdes kostat). Me hvis vi varierer såvel x og y proportioalt, dvs. x k x og yk y så fås: fkxky (, ) c( kx ( ky ) ck x k y ) a b a a b b ab a b ab k cx y k f( x, y) Hvis begge iput x og y har skalafaktore k, får outputtet k a b derfor skalafaktore, dvs. e potesfuktio, med summe af de to poteser. Selv om de to poteser hver for sig er midre ed, behøver dette ikke gælde for summe. De samlede potesfuktio ka derfor godt have kostat skalaafkast. Det er etop udgagspuktet for Cobb Douglas fuktioere! Hvis vi uderkaster både x og y de samme skalatrasformatio bevæger vi os på e ret lije ud fra (,) i x y plae, dvs. e lije på forme y m x. Sitgrafe får derfor ligige zcx ( mx) cm x c x a b b a b ab m Sitgrafe er derfor grafe for e potesfuktio med potese a b. For e Cobb Douglas fuktio er ab, dvs. sitgrafe er e retlijet flade frembragt af rette lijer ud fra (,,). Cobb-Douglas grafe med a 3 er e retlijet flade med aftagede skalaafkast lags x- og y-aksere, me de har kostat skalaafkast lags de radiale lijer i x-y-plae. 34
Hvad er matematik? 2 Eksempel: De symmetriske Cobb Douglas fuktio De simpleste Cobb Douglas produktiosfuktio er de symmetri ske, hvor begge potesere er 2, dvs. α = 2 = α. Ligige for Cobb Douglas produktiosfuktioe ka derfor skrives på forme Y A K 2 L2 A K L Grafe er e halvkegle med toppukt i (,,) og akse lags diagoa le K L i K L plae. Ma ka ete bruge K akse eller L akse som frembriger for kegle ved rotatio omkrig akse. Dee sim ple geometriske tolkig gør det særligt emt at forestille sig opbyg ige af grafe. Sitgrafere parallelt med K akse (dvs. L L ) er halve parabler: Y A L K AL K. Tilsvarede er sitgrafere parallelt med L akse (dvs. K K ) halve parabler: Y A K L AK L. Sitgrafere vikelret på akse K L, Y (dvs. K L kostat ) er halve ellipser (for A 2 er de halvcirkler). Højdekurvere Y Y med kostat output er ligesidede hyperbler Y2 A. Ofte illustreres højdekurvere derfor i et 2 * A2 dimesioalt grafbillede af K L plae. K L Du ka læse mere om keglesit i kapitel! Arbejdskraft L 5... Y=3 Y=2 Y= 5 Kapital K 35
Øvelse 4.26 Som et eksempel på e skæv Cobb Douglas produktiosfuktio ka du se tilfældet α 3, svarede til ligige 2 3 3 3 2 Y AK L A KL a) Hvorda ser grafe for produktiosfuktioe ud i et 3d plot? b) Hvorda ser grafe for produktiosfuktioe ud i et 2d plot for (K,Y), år vi holder arbejdskrafte L kostat, dvs. sætter L L? Idfør gere e skyder for parametere L. c) Hvorda ser grafe for produktiosfuktioe ud i et 2d plot for (L,Y), år vi holder kapitale K kostat, dvs. sætter K K? Idfør gere e skyder for parametere K. d) Hvorda ser iveaukurvere ud i et 2d plot for (K,L), år vi holder produktioe Y kostat, dvs. sætter Y Y? Idfør gere e skyder for parametere Y. e) Samme spørgsmål for tilfældet α 4. Idfør evt. e skyder for potese α. 2.2 Ligevægt ud fra Cobb Douglas produktiosfuktioe Ved hjælp af Cobb Douglas produktiosfuktioe ovefor ka det bereges, hvor stort output bliver ved e idsats af e bestemt mægde arbejdskraft og kapital, me ikke hvorda arbejdskrafte og kapitale fordeler sig i økoomie. Ifølge eoklassisk økoomisk teori gælder det, at hvis der er fuldkomme kokurrece dvs. der er mage udbydere og efterspørgere på markedet og prise bestemmes på markedet så afløes arbejdskrafte (og tilsvarede kapitale) med værdie af græseproduktet. Hvorda skal det u forstås? Lad os tage eksemplet med pizzeriaet ige. Produktiosfuktioe er: 2 3 3 Y AK L Græseproduktet for arbejdskrafte (MPL) er de kotiuerte udgave af det diskrete margialprodukt (dvs. de øgede produktio ved at idsætte é arbejder mere). Græseproduktet er altså givet ved differetialkvotiete 2 3 3 2 3 3 3 3 3 dy A K L Y MPL AK L dl L L Græseproduktet for kapitale (MPK), er tilsvarede et kotiuert mål for de øgede produktio ved at idsætte mere kapital: 2 3 3 2 3 3 2 2 3 3 3 dy A K L Y MPK A K L dk K K Hvis omkostige til ekstra arbejdskraft er w = omkostig per arbejder, ka det derfor betale sig at hyre mere arbejdskraft, så læge de ekstra omkostiger er midre ed det ekstra udbytte, dvs. så læge MPL >w. Vi stopper derfor med at hyre mere arbejdskraft, år vi år ligevægtspuktet mellem de ekstra omkostiger og det ekstra udbytte, dvs. MPL =w, dvs. det pukt, hvor tagete har hældige w. Output Y w Ligevægt MPL= dy dl 2 Y = A K L 3 Y = w L Arbejdskraft L Tilsvarede ka det betale sig at askaffe flere ove idtil MPK =r, hvor r er rete på lå af kapital. 36
Historie bag Cobb Douglas Paul Douglas var økoom og seator i USA. Cobb var matematiker. Kilde: The America Ecoomic Review, Vol. 8, No. (Mar., 928), pp. 39 65 I 927 efterlyste økoome Paul Douglas (og seere seator i USA's seat fra 949 til 966) hos matematikere Charles Cobb e fuktio med bestemte egeskaber. Douglas havde i si forskig observeret, at det amerikaske atioalprodukt (output) blev fordelt i et kostat forhold mellem arbejdskraft og kapital: Ca. 75% gik til arbejdskraft og de resterede 25% til kapital (profit, udbytte). Med adre ord: Selv om BNP steg voldsomt, var forholdet mellem arbejdskraftes afløig og kapitales afløig rimelig kostat. 37
Kaldes adele af de samlede idkomst, der føres tilbage til kapitale for α gælder der Adele af de samlede idkomst til kapital = αy Adele af de samlede idkomst til arbejdskraft = ( α) Y idet de samlede idkomst fordeles mellem kapitale og arbejdskrafte. Douglas ville gere have e produktiosfuktio, hvor adelee til afløige af de to produktiosfaktorer er kostate, hvis de fordeles efter værdie af deres græseprodukt. Resultatet blev etop Cobb Douglas produktiosfuktioe Y AK L Græseproduktet for arbejdskrafte (MPL) fås tilsvarede ved at differetiere produktiosfuktioe Y A K L med hesy til L: α α dy α α AK L Y MPL AK ( α) L (α) (α) dl L L Græseproduktet for kapitale (MPK) fås ved at differetiere produktiosfuktioe Y AK L med hesy til K: α α dy α α AK L Y MPK A αk L α α dk K K MPL ligige MPL ( α) Y ka ved at gage over med L omskrives til: MPLL ( α) Y L MPK ligige MPK α Y ka ved at gages over med K omskrives til: MPK K αy K Me ifølge de eoklassiske økoomiske teori vil der i ligevægt gælde MPL w, dvs. vi ka omskrive ligige for arbejdskraftes græseprodukt til wl ( α) Y. Tilsvarede vil der i ligevægt gælde MPK r, dvs. vi ka omskrive ligige for kapitales græseprodukt til rk α Y. Me det betyder jo etop, at i ligevægt er de samlede udgift til arbejdskrafte givet ved brøkdele ( α) af de samlede idkomst Y. Tilsvarede vil der i ligevægt gælde, at de samlede ivesterig i kapital vil være givet ved brøkdele α af de samlede idkomst Y. Brøkdele α har empirisk vist sig at være forbløffede kostat over tid og varierer således ikke med mægde af kapital eller arbejdskraft (eller for de sags skyld med de tekologiske udviklig), jfr. de oveståede figur. Som vi har set, er α outputelasticitete for kapitale K. Dvs. hvis kapitale K øges med % vil produktioe Y øges med α %. Tilsvarede er α outputelasticitete for arbejdskrafte L. Dvs. hvis arbejdskrafte L øges med % vil produktioe Y øges med ( α) %. Udviklige af Cobb Douglas produktiosfuktioe er et godt historisk eksempel på et cetralt tværfagligt samarbejde mellem økoomi og matematik. Du ka hete Cobb Douglas origialartikel fra 928 på hjemmeside. 38
Hvilke egeskaber har Cobb Douglas produktiosfuktioer så? Matematiske egeskaber ved Cobb Douglas fuktioe: () Græseproduktet for arbejdskrafte L er faldede. Produktiosfuktioe Y differetieres med hesy til L. dy α α K MPL ( α) AK L (α) A dl L Det fremgår, at år L vokser vil stigige i udbyttet, dvs. dy/dl, blive midre, idet græseproduktet MPL er omvedt proportioalt med arbejdskrafte 4.24. α α L. Altså er der aftagede skalafkast. Det så vi også i øvelse (2) Græseproduktet for kapitale K er faldede. Produktiosfuktioe Y differetieres med hesy til K. α α α L αak L αa dy dk K Det fremgår, at år K vokser vil stigige i udbyttet, dvs. dy/dk falde, idet græseproduktet MPK er omvedt proportioalt med kapitale α K. Altså er der aftagede skalaafkast. Det så vi også i øvelse 4.24. (3) Hvis begge produktiosfaktorere kapitale K og arbejdskrafte L fordobles vil også produktioe Y fordobles. α α αα α α Yy f(2 K,2 L) A(2 K) (2 L) A2 K L 2 f( K, L) 2 Y Altså er der kostat skalaafkast, hvis både L og K øges samtidig. De økoomiske karakteristika ved Cobb Douglas fuktioe er følgede: Y er output. For e atioal økoomi fx Damark svarer Y til BNP og dermed også til de samlede idkomst i samfudet. L er idsatse af arbejdskraft og K er idsatse af kapital i form af maskier, bygiger m.v. De to faktorer L og K er således iput i produktiosprocesse. A udtrykker det økoomer beæver totalfaktorproduktivitete, emlig samspillet mellem arbejdskraft og kapital i form af det tekologiske iveau. Ved tekologiske fremskridt øges A. Størrelse α udtrykker som tidligere ævt de del af de samlede idkomst, der går til kapitale. Omvedt er α de del der går til arbejdskrafte de såkaldte fuktioelle idkomstfordelig. I Damark går ca. 2/3 af atioalidkomste (svarede til Y) til afløig af arbejdskrafte L og ca. /3 går til afløig af kapitale K i form af profitter, udbytter m.v. Dee fuktioelle idkomstfordelig har vist sig at være ret kostat over tid. For Damark vil e Coob Douglas produktiosfuktio altså have følgede udseede: 2 3 3 Y AK L 39
2.4 Vækstregskab for et lad Økoomisk vækst ka altså ske ved, at ma ete øger arbejdskrafte L og/eller kapitale K og/eller tekologiparametere A. Ka disse u bestemmes? Et første skridt er at omskrive fuktioe således: l( Y) l( A) αl( K) ( α) l() L hvilket betyder, at logaritme til BNP er e vægtet sum af logaritme til hhv. arbejdskraft, kapital og tekologi. Det ka påvises at differece mellem logaritme til e variabel er et tilærmet mål for vækste, altså: l( Y ) l( Y ) l( A ) l( A ) α l( K ) l( K ) ( α) l( L ) l( L ) t t t t t t t t Y A t t K L t t l l αl ( α) l Yt A t K t L t Y A K L l l αl ( α) l Y A K L Hvilket for små tilvækster svarer til Y A K L ( ) Y A K L Det er således, at potesere i Cobb Douglas fuktioe ka operatioaliseres ved hhv. arbejdskraftes og kapitales afløig (jf. de fuktioelle idkomstfordelig). Altså at α w L, hvor w er lø og L er Y atal arbejdere. I atioalregskabet er wl etop løkvote. Y Eksempel: For Damark er løkvote ca. 66% svarede til e værdi for på 2/3. Lad os atage idkomste (BNP) vokser med 3%, kapitalapparatet med 5% og arbejdskrafte med %, så fås: A.3.33.5.66..6%. A Altså er vækstbidraget fra kapitale,75% (.355%) og fra arbejdskrafte er.65%, dvs. tekologiparametere (eller totalfaktorproduktivitete) bidrager med.6%. Et såda vækstregskab beskriver vækstkompoetere, me kommer ikke med oge forklarig? Det er her de egetlige vækstmodel kommer id i billedet! Øvelse 4.27.5.5 I ladet Uksus har ma følgede symmetriske produktiosfuktio Y AK L. I år 2 observeres K, L og Y. I 2 vokser Y med 2.5 %, K med 3 % og L med %. a) Bereg A (totalfaktorproduktivitete) for ladet Uksus i 2. b) Hvor mage procet vokser tekologiparametere A med i 2? c) Hvad er værdiere for tekologiparametere A, kapitale K, arbejdskrafte L og de samlede idkomst Y i 2 28L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lru.dk 4
3. Solow modelle I e baebrydede artikel fra 956, A Cotributio to the Theory of Ecoomic Growth, stillede de amerikaske økoom Robert Solow spørgsmålet: Hvad er det, der skaber økoomisk vækst? Solow fik i 987 Nobelprise i økoomi for sit arbejde med økoomiske vækstteorier. The Quarterly Joural of Ecoomics, Vol. 7, No.. (Feb., 956), pp. 65 94. Modelle tager afsæt i de sædvalige Cobb Douglas produktiosfuktio Y f( K, L) med kostat skalafkast, altså hvis både kapitale (K) og arbejdskrafte (L) vokser samtidig vil også det samlede output vokse: Y fk (. L ) fakal (, ) afkl (, ) ay y y y Outputtet Y, som også er de samlede idkomst, ka ete avedes til forbrug C eller til opsparig S, dvs. der gælder Y C S. Edvidere gælder der at ivesterigere svarer til opsparige (jfr. diskussioe afsit 2.). I S Med forbrugskvote c og opsparigskvote s må der derfor gælde: C c Y, S s Y og cs Vi fider derfor Is Y eller I s f( K, L) Kapitalapparatet vil vokse med de årlige ivesteriger. Me der skal jo også tages hesy til, at kapitalapparatet (maskier, bygiger) slides ed. Dee edslidig beæves afskriviger (D) og de årlige afskrivigsrate med d. Altså bliver de årlige tilvækst i K givet ved: K IdK eller sf( K, L) dk K sy d K Det er dee differesligig, der driver dyamikke i Solows model! Vi vil u prøve at løse ligige uder forskellige omstædigheder, fra meget simple vækstmodeller til mere realistiske Solow modeller. I det det følgede atages det, at arbejdskrafte L holdes kostat, L L. Her kue vi faktisk sætte L. I kraft af 4
atagelse om kostat skalaafkast, år begge faktorer uderkastes e skalatrasformatio, viser det sig emlig, at resultatere er uafhægige af arbejdskraftes størrelse. Me ide vi kaster os over Solows vækstligig, ser vi på ogle meget foreklede modeller, der efterhåde leder os frem til e forståelse af dyamikke i Solows vækstmodel. Eksempel: Ekspoetiel edslidig Hvis der slet ikke ivesteres oget, dvs. opsparigskvote sættes til ul, forekles vækstligige til K dk K K dk De ka derfor omformes til dvs. K ( d) K Hvert år gages kapitale altså med de kostate faktor ( d), hvorfor kapitale aftager ekspoetielt. Hvis fx afskrivigsrate d sættes til %, forsvider % af kapitale hvert år. I dette tilfælde er det emt at opskrive e færdig løsigsformel for de ekspoetielle edslidig af kapitale K K d ( ) jfr. reteformle fra bog C, side 42. Kapitale forsvider altså stille og roligt, og i græse er de helt forsvudet, dvs. ligevægtskapitale K er i dette tilfælde givet ved * K lim K. * Det er aturligvis ikke øskværdigt! Eksempel: Lieær vækst Hvis der slet ikke sker oge edslidig samtidigt med at vi ivesterer et kostat beløb I hvert år, forekles vækstligige til K I dvs. K K I De ka derfor omformes til K K I Hvert vokser kapitale altså med de kostate ivesterig I, hvorfor kapitale vokser lieært. Også i dette tilfælde er det emt at opskrive e færdig løsigsformel for de lieære vækst af kapitale K K I Kapitale vokser altså stille og roligt ud over alle græser, og i græse bliver de uedeligt stor, dvs. ligevægtskapitale K er i dette tilfælde givet ved * K lim K * Det er aturligvis helt urealistisk, og modelle bygger da også på ogle højst urealistiske atagelser! Me kombierer vi de to eksempler, får vi for første gag e vækst, som er ikke triviel og begyder at udvise e iteressat dyamik. 42
Øvelse 4.28: Kapitalapparatets størrelse, ivesteriger og afskrivig Forskudt ekspoetiel vækst Til at forstå sammehæge mellem forbrug, kapitalapparat, opsparig og ivesterig ser vi på følgede meget foreklede eksempel: E ladmad har tøder kor liggede i si silo. Dette er kapitalapparatet K. Hvert år ædes e del af koret af rotter og oget råder. Dette svarer til afskrivigsrate d, som er på %. Hvert år ivesteres I af årets høst svarede til 2 tøder kor. De årlige ivesterig er altså kostat! De resterede forbruges. Dee gag kombierer vi altså de ekspoetielle edslidig af kapitalapparatet med e lieær vækst grudet de kostate ivesteriger. Vi ka så opsætte e tabel, som de følgede, der viser udviklige i kapitalapparatet, idet vi bruger vækstligige K I d K. Tid K I dk ΔK 2 2 9 2 9 2 9 8 3 27 2 27 73 4 344 2 34 66.. Kapitalapparatet vokser (flere tøder kor), me stigigstakste er aftagede, fordi i takt med at K vokser, vil også afskrivigere (rotter og råd) vokse. a) Udarbejd modelle i dit værktøjsprogram, me såda at de årlige ivesteriger I og afskrivigsrate d ka varieres. Teg også e graf, for hvorda kapitalapparatet udvikler sig. b) Fid ligevægtsværdie K. Eftervis at K ærmer sig ligevægtsværdie K ekspoetielt. * * c) Hvad sker der, hvis afskrivigsrate d vokser fx til 2 %? d) Hvad sker der, hvis de årlige ivesteriger I vokser til fx 4? Øvelse 4.29 Forskudt ekspoetiel vækst u som iteratio (A iveau) Vi ser på det samme eksempel som i øvelse 4.29. Me dee gag vil vi beytte værktøjer fra teorie om iteratio. Du ka se flere detaljer i kapitel. a) Gør rede for, at vækstligige ka skrives på forme K ( d) K I b) Fid ligevægtsværdie K ved at sætte K * K K *. c) Teg returplottet, dvs. grafe for K som fuktio af K, samme med diagoale K K. Gør rede for at skærigspuktet mellem de to grafer etop er ligevægtspuktet. d) Beyt dit værktøjsprogram til at tege såvel e tidsseriegraf (dvs. K som fuktio af ) som spidelvævsgrafe (dvs. ( K, K ) tilføjes til returplottet). Beyt gere de samme værdier, der oplyses i øvelse 4.29. e) Gør rede for at fremskrivigsfuktioe gk ( ) ( d) K I er e lieær fuktio med e positiv hældig midre ed. Ifølge hovedsætige om lieær iteratio er ligevægtspuktet derfor tiltrækkede, dvs. alle startværdier ærmer sig ligevægtspuktet. Så er vi edeligt fremme ved Solows vækstmodel! 43
Øvelse 4.3 Solows vækstmodel Dee gag ser vi u på Solows vækstmodel: α α α α K s f( K, L ) d K med f( K, L) A K L dvs. K s A K L d K Ladmade har ige tøder kor liggede i si silo. Dette er kapitalapparatet K. Hvert år ædes e del af koret af rotter og oget råder. Dette svarer til afskrivigsrate d som er på %. Hvert år ivesteres 2 % af årets høst svarede til 2 tøder kor det første år. Kapitale fører til e y produktio med A 2, L og α.5. 2 Tid K α α sak L dk ΔK 26.5 26.5 26.5 28.2 2.6 25.5 2 52. 29.7 5.2 24.5 3 76.5 3.2 7.7 23.6 4. 32.7. 22.7.. h) Udarbejd modelle i dit værktøjsprogram, me såda at såvel opsparigskvote s som afskrivigsrate d ka varieres. Teg også e graf, for hvorda kapitalapparatet udvikler sig. i) Fid ligevægtsværdie K. * j) Hvad sker der, hvis afskrivigsrate d vokser fx til 2 %? k) Hvad sker der, hvis opsparigskvote s vokser til fx 4 %? Hvad er det så, vi er kommet frem til? I e økoomi afhæger output (Y) af idsatse af kapital (K) og arbejdskraft (L). Kapitalapparatet vokser i takt med at output vokser, fordi ivesterigere vokser med output, me oget af vækste i ivesteriger skal bruges til at dække edslidig i kapitalapparatet. Altså: Ivesteriger giver et større kapitalapparat, me i takt med at kapitale vokser bliver tilvækste midre, fordi afskrivigere vokser. Sammehæge er vist i figure. 44
De øverste blå kurve viser output fk (,L) som fuktio af K. Grafes hældig er aftagede (aftagede skalaafkast). De grøe kurve viser opsparige svarede til ivesterigere, som udgør e kostat adel s af output. Differece mellem de blå kurve og de grøe kurve er, hvad der er tilbage til privat forbrug C. De sorte lije viser afskriviger altså de ødvedige ivesteriger for at opretholde kapitalapparatet. Hvis ivesterigere er større ed afskrivigere (til vestre for K * ), vokser kapitalapparatet og dermed outputtet. Hvis ivesterigere er midre ed afskrivigere (til vestre for K * ), vil kapitalapparatet blive midre og dermed formidskes outputtet. I figure er K * teget som det pukt, som kapitalapparatet uudgåeligt vil bevæge sig imod. Hvorfor det? Hvis K<K * er ivesterigere større ed afskrivigere, og K vil vokse op mod K *. Hvis K>K * er ivesterigere midre ed afskrivigere, og K vil falde ed mod K *. Med adre ord: K * er et ligevægts pukt, som økoomie altid vil bevæge sig imod uder de give forudsætiger. Ligevægtspuktet K ka også fides algebraisk, emlig ved at sætte ivesterigere lige med afskrivigere (her vist med * α 3 ): 2 3 3 IsY sak L d K. * * K isoleres på vestreside * sa K * d 2 3 L Altså: Højere opsparig s (svarede til ivesteriger) og højere produktivitet A fører til højere ligevægtsoutput, mes højere afskrivig formidsker det. Altså: Jo højere ivesterigsrate er (svarede til opsparigskvote s), jo større bliver kapitalapparat i ligevægtspuktet. Øvelse 4.3 a) Gør rede for at ligevægtspuktet i Solow modelle med vilkårlig parameter α er bestemt ved s A K * d α α α L s A Y A L * d I ligevægt er K sf( K, L) dk eller K sy dk svarede til * * K * s Y d * 45
Øvelse 4.32 Er der i figure dokumetatio for sammehæge mellem K/Y og ivesteriger? 5 4 3 2 Capital output ratio, K/Y Ghaa Madagascar Chad Ethiopia Ugada 5 Nigeria Egypt Uruguay Keya Jamaica Veezuela Zambia Zimbabwe Argetia Nicaragua Idia Uited Kigdom Turkey 5 Romaia Chia Mexico Irelad 2 Switzerlad Brazil Uited States Luxembourg Austria Israel Maylasia 25 Norway Hog Kog Thailad Ivestmet rate, s (%), 2 3 Japa South Korea 35 Øvelse 4.33 Solows vækstmodel u som iteratio (A iveau) Vi vil u beytte værktøjer fra teorie om iteratio. Du ka se flere detaljer i kapitel. l) Gør rede for at Solows vækstligig ka skrives på forme α α K ( d) K s A L K m) Fid ligevægtsværdie K ved at sætte K * K K *. ) Teg returplottet, dvs. grafe for K som fuktio af K samme med diagoale K K. Gør rede for at skærigspuktet mellem de to grafer etop er ligevægtspuktet. o) Beyt dit værktøjsprogram til at tege såvel e tidsseriegraf (dvs. K som fuktio af ) som spidelvævsgrafe (dvs. ( K, K ) tilføjes til returplottet). Beyt gere de samme værdier, der oplyses i øvelse 4.29. α α p) Gør rede for at fremskrivigsfuktioe gk ( ) ( d) KsAL K er e ikke lieær voksede fuktio med e positiv hældig, der til sidst er midre ed. Gør rede for at de derfor ødvedigvis må skære diagoale i etop ét pukt, hvor tagethældige må være midre ed. Ifølge hovedsætige om iteratio er der derfor etop ét ligevægtspukt, der ødvedigvis er tiltrækkede, dvs. alle startværdier ærmer sig ligevægtspuktet. 46
Øvelse 4.34 Data for Damark er vist i de følgede tabel. 25 26 27 28 29 2 Kapital (mill.) 4.454.993 4.55.89 4.594.66 4.673.42 4.733.82 4.74.32 Ivesteriger (mill.) 3.62 344.77 346.66 33.793 287.343 276.529 Afskriviger (mill.) 245.538 253.89 26.38 267.336 268.68 262 765 Beskæftigelse 2.767.2 2.824.73 2.92.827 2.95.78 2.855.65 2.792.76 BNP (mill.).545.257.597.74.623..6.288.56.348.535.994 Vækstrelateret statistik for Damark Kilde: Damarks Natioalregskab 2. Damarks Statistik 22. Udersøg tabelle i lyset af Solows vækstmodel. 3.2 De gylde ligevægt I e lukket økoomi med bestemte værdier for de økoomiske parametre, arbejdskrafte L, opsparigskvote s, afskrivigsrate d og tekologiparametere A, vil der ifølge Solows model være et bestemt ligevægtspukt i økoomie α s A Y K L * eller * d. d K s * Me da dette ligevægtspukt afhæger af disse parametre, er det ikke ødvedigvis e øskværdig ligevægt. Ved at justere på parametree ka ma flytte på ligevægtspuktet. Specielt vil vi se på idflydelse fra opsparigskvote s. Hvis vi gør opsparigskvote s midre, forskydes ligevægtspuktet mod vestre, fordi opsparige falder. Hvis vi omvedt gør opsparigskvote s større, forskydes ligevægtspuktet mod højre, fordi opsparige stiger, jfr. figure. Udbytte Y f(k,l) Forvetet udbytte Y * Ligevægt C * C 2 * d K Afskrivig = Nødvedig ivesterig s f(k,l) Opsparig = faktisk ivesterig C * S * = I * Kapital K K * Hvis s sækes falder ligevægtskapitale K * K 2 * Hvis s hæves vokser ligevægtskapitale 47
Det ka udyttes til at maksimere ligevægtsforbruget C * og dermed optimere velstade i samfudet. Me da ligevægtsforbruget er forskelle mellem udbyttet og afskrivige, dvs. fkl (, ) dk, er det største ligevægtsforbrug givet ved d dy dy ( Y dk) dmpkd dvs. MPK d dk dk dk Dee betigelse siger, at græseproduktet for kapitale, dvs. tagethældige MPK, etop skal være de samme som hældige for afskrivigslije, dvs. afskrivigsrate. Et ligevægtspukt, der opfylder dee betigelse, og dermed optimerer velstade, kaldes e gylde ligevægt. Udbytte Y f(k,l) Forvetet udbytte Y * Gylde ligevægt C * MPK d K Afskrivig = Nødvedig ivesterig s f(k,l) Opsparig = faktisk ivesterig d S * = I * K * Gylde ligevægt med MPK = d Kapital K Øvelse 4.35 I de følgede iteraktive figur ka du regulere på opsparigskvote s og dermed forskyde ligevægte for kapitale idtil ligevægte er gylde. q) I første omgag sættes kapitaladele af de samlede idkomst, dvs. parametere α, til 5 %. Hvad skal opsparigskvote s være for at ligevægte er gylde? r) Prøv derefter at sætte kapitaladele α til 4 % heholdsvis 3 %. Hvilke sammehæg syes der at gælde mellem opsparigskvote s og kapitaladele α i e gylde ligevægt. Udbytte Y α =.5 s =.6 Optimal ligevægt Faktisk ligevægt f(k,l) Forvetet udbytte d K Afskrivig = Nødvedig ivesterig s f(k,l) Opsparig = faktisk ivesterig K * Kapital K 48
Øvelse 4.36 (A iveau) a) Gør rede for at græseproduktet for kapitale er givet ved dy α α MPK A(α K ) L Y dk K b) Gør rede for at betigelse for at ligevægte er gylde derfor ka omskrives til d Y * α K * c) Sammehold det med betigelse for ligevægt og eftervis at ligevægte er gylde, etop år opsparigskvote er det samme som kapitaladele af de samlede idkomst, dvs. s α. De oveståede model er selvfølgelig foreklet. Modelle ka fx udbygges, så de også tager hesy til de stigede befolkig, og dermed de stigede arbejdskraft, eller de tekologiske udviklig. Det vil vi imidlertid ikke gå i detaljer med her. 49
Tema 3: Ulighedsmål i økoomie Vi så allerede i Hvad er matematik C på økoomisk vækst emlig i Kia. Her så vi på to mål for vækste, BNP pr. idbygger og Huma Developmet Idex <lik til C boges studieretigskapitel>. Når ma sakker vækst og rigdom, er der dog også e ade side af diskussioe, ed blot hvor mage pege der er til rådighed i samfudet. Det er også iteressat at se på, hvorda pegee er fordelt mellem samfudets borgere. Vi skal altså se på fattigdomsmål og ulighedsmål.. Velstadsmål Det mest ekle mål for et ekelt lads velstad er BNP/idbygger, hvor det samlede BNP divideres med idbyggertallet. I BNP idgår værdie af de samlede produktio, som idgår i atioalregskabet. Dermed medreges ikke de produktio, som ikke registreres (husholdigssektore, sort arbejde). BNP/idbygger avedes i sammeligiger af velstadsiveauet mellem lade. Her omreges BNP ormalt til købekraftsparitet (PPP) og e fælles valuta (USD). PPP forsøger at tage højde for, at de samme idkomst har forskellig købekraft i forskellige lade. Normalt gælder det, at købekrafte for e USD er større i lavidkomstlade ed i højidkomstlade. BNP/idbygger ka kritiseres for alee at være et geemsitsmål og ikke tage højde for spredige. Dee magel ka afhjælpes ved brug af adre mål. Øvelse 4.37 Du ka fide talsæt med udviklige i BNP og befolkig på www.gapmider.org. Hvis befolkige vokser fører det til tilvækst i BNP, me også til at BNP/idbygger falder (Malthus fælde). Illustrér Malthus fælde med eksempler på sådae talsæt. Øvelse 4.38 I ogle sammehæge (fx Pe World Tables) opereres med BNP/beskæftiget som et mere præcist mål for velstade. Argumetér for at dette er korrekt. Fid tal for de beskæftigede i Damark og udreg såvel BNP/idbygger som BNP/beskæftiget. 2. Fattigdomsmål Der er flere forskellige måder at kostruere fattigdomsmål på. Det kommer sig af, at der er fordele og ulemper ved begge typer, samt at det ikke helt er på samme måde ma taler om fattigdom i de rige vestlige verde og det fattige Afrika. Absolut fattigdom er hvis idividet magler ressourcer til at skaffe sig helt fudametale tig som mad, tøj og husly, såda at deres eksistes eller sudhed er truet. I tilkytig hertil taler ma ormalt om de officielle FN fattigdomsgræse på,25 2$ om dage som fattigdomsmål. Dog medtager FN også magel på adgage til 2 af 7 basale meeskelige behov: mad, vad, saitet, husly, sudhed, uddaelse og iformatio, til at bestemme absolut fattigdom, se http://www.u.org/esa/socdev/uyi/documets/ydidavidgordo_poverty.pdf. Me e græse på 2$ eller ca.,5kr. giver ikke meget meig i et lad som Damark. Ma ville jo ikke på oge måde kue opretholde de basale behov for dette beløb. Det betyder dog ikke, at absolutte fattigdomsmål ikke bliver brugt i de vestlige verde. Fx i USA opererer ma med e absolut græse for, hvorår 5
ma er fattig. I 2 var e perso i USA fattig, hvis has/hedes idkomst var uder.484$ pr. år, svarede til ca. 66.kr. Beløbet er dog udreget ud fra husstades størrelse, og der er dermed flere beløb i spil (se http://www.cesus.gov/hhes/www/poverty/about/overview/measure.html ). I Europa ser ma dog på fattigdom på e lidt aderledes måde ed i USA. Her ser ma både fattigdom som oget fysisk, socialt og kulturelt. Ma er altså ikke ude af fattigdom, bare fordi ma har pege til at overleve. Derfor ser ma også e ade type fattigdomsmål. Relativ fattigdom er, at ma magler ressourcer til at leve på de måde, der er ormal i det pågældede samfud. I de sammehæg avedes mediaidkomste. Dvs. de idkomst som opdeler befolkige i to lige store halvdele. Her har fx EU har e fattigdomsgræse på 6 % af mediaidkomste, mes OECD opererer med et mål på 5 % af mediaidkomste. Atal Persoer Geemsit Nedre kvartil Media Øvre kvartil Alle 4.53.9 95.5 7.7 79.6 25.4 Dispoibel idkomst efter skat. Damark 2. Kilde: Statistisk Årbog 2. Tabel 24. I tabelle ovefor er vist fordelige af de dispoible idkomster efter skat. Det ses at mediaidkomste er på 79.6 kr., mes geemsitsidkomste er på 95. kr. Det betyder altså at 5 % af persoere har e dispoibel idkomst på uder 79.6 kr. At geemsittet er større ed mediaidkomste betyder, at der er ogle meget høje idkomster, som trækker de geemsitlige idkomst op. Tabelle ovefor viser fordelige for alle daskere. I de følgede tabel er vist kvartilfordelige på forskellige socioøkoomiske grupper. Atal familier Nedre kvartil Media Øvre kvartil Geemsit Alle 2.776.39 53,7 242,7 44,7 294,4 Selvstædige i alt ikl. medarbejdede ægtefæller 7.264 67,5 329,6 54,9 4,9 Lømodtagere i alt.575.286 29,7 342, 477,5 363,5 Topledere 73.98 49,4 545,6 678,2 587,8 Lømodtagere på højeste iveau 26.74 3,3 456,5 573,9 455,3 Lømodtagere på mellem iveau 333.67 254,6 389,6 54,2 39,5 Lømodtagere på grud iveau 65.526 9, 283, 48,9 33,6 Lømodtagere i øvrigt 28.4 76,5 256, 37,3 278,6 Lømodtagere ude ærmere agivelse 74.47 95,8 35,5 455,4 348,7 Arbejdsløse 25.673 22,7 48,8 222,4 88,9 Uddaelsessøgede 7.978, 35,4 88,3 64,3 Persoidkomst fordelt efter kø og gruppe 29. Note: Tallee summerer ikke, da ogle kategorier er udeladt. Kilde: Damarks Statistik 2. Idkomster 29 og www.statistikbake.dk tabel INDKF4. 5
Øvelse 4.39 s) Hvilke socioøkoomisk gruppe har de største forskel mellem geemsitsidkomst og media? t) Hvilke socioøkoomisk gruppe har de midste afstad mellem geemsitsidkomst og media? u) Lav et boxplot for hhv. lømodtagere i alt og selvstædige i alt. Hvad viser de to plots? v) Hvilke sammehæg er der mellem idkomstes størrelse og afstade mellem media og geemsitsidkomst? Hvorda ka dette møster forklares? Opdelige i idkomstitervaller (fraktiler) ka yderligere forfies. Mes mediaidkomste opdeler befolkige i to lige store halvdele ka ma yderligere opdele i kvartiler (fjerdedele) eller kvitiler (femtedele) eller deciler (tiededele). Ifølge tabelle over de dispoible idkomst efter skat, tjeer de fattigste fjerdedel af befolkige de ederste kvartil 7.7 kr. eller deruder, mes de rigeste fjerdedel tjeer 372.9 kr. eller derover. Øvelse 4.4 a) Hvad er fattigdomsgræse i Damark i 2 ved hhv. 5 % og 6 % af mediaidkomste? Aved data fra tabelle over de dispoible idkomst efter skat. b) Bl.a. CASA (Ceter for Alterativ Samfudsaalyse: http://www.dr.dk/nyheder/htm/magasier/pege/pm62/pm62 casarapport.pdf) opererer med e absolut fattigdomsgræse, hvor der opstilles et stadardbudget. Hvorda forholder dette stadardbudget sig til e fattigdomsgræse på 5 % og 6 %? c) Oppositioe har flere gage stillet forslag i Folketiget om e officiel fattigdomsgræse. Dette afvises af de koservatives socialordfører Vivi Kier der siger For hvis Mærsk flytter til udladet, er disse folk ikke lægere fattige. Ka du forklare de sammehæg? Er argumetet korrekt? Hvilke to statistiske mål blader hu samme? Øvelse 4.4 a) Argumeter for fordele og ulemper ved hhv. et absolut og et relativt fattigdomsmål. Brug fx http://www.dr.dk/p/detektor/udsedelser/2/5/7627.htm som ispiratio. 52
3. Ulighedsmål: Gii koefficiete Fides der ikke et mål, som ka sammefatte grade af ulighed i et eeste tal? Netop Gii koefficiete er et såda tal. Gii koefficiete måler forskelle mellem de aktuelle idkomstfordelig og e idkomstfordelig, hvor dee er fuldstædig lige altså hvor alle i samfudet har lige meget. Gii koefficiete forstås lettest ved at se på et kokret eksempel: () Idkomstgruppe (2) Adel af idkomst (3) Akkumuleret gruppe (4) Akkumuleret idkomst Laveste 2 % =. kvitil 2 % 2 % 2 % Næstlaveste 2 % = 2. kvitil 2 % 4 % 4 % Mellemste 2 % = 3. kvitil 2 % 6 % 6 % Næsthøjeste 2 % = 4. kvitil 2 % 8 % 8 % Højeste 2 % = 5. kvitil 2 % % % E helt lige idkomstfordelig Plottes oplysigere i søjle 3 og 4 id i et diagram vil de ligge på e ret lije med hældige. I de æste tabel har vi aført de faktiske idkomstfordelig af de dispoible idkomster i Damark dvs. idkomste efter skat og overførsler i 25. Som det fremgår af tabelle er der ulighed de fattigste femtedel har ku 9 % af idkomstere, mes de rigeste femtedel har 37 % af idkomstere. I søjle 4 er udreget de akkumulerede idkomster. Plottes oplysigere fra søjle 3 og 4 id i et diagram fås e figur som edefor. () Idkomstgruppe (2) Adel af idkomst (3) Akkumuleret gruppe (4) Akkumuleret idkomst -2 (fattigste 2 %) 9 2 % 9 2-4 3 4 % 22 4-6 2 6 % 42 6-8 2 8 % 63 8- (rigeste 2 %) 37 % Fordelig af dispoible idkomster i Damark 25. Pct. af samlet dispoibel idkomst 8 Diagoal (Maximal lighed) 6 4 A Lorez kurve 2 B Maximal ulighed 2 4 6 8 Pct. af befolkig 53
E kurve af de type kaldes e Lorez kurve efter de amerikaske økoom Max Lorez, der idførte kurve i e idflydelsesrig artikel Methods of measurig the cocetratio of wealth fra 95. Hvis der er fuldstædig lighed vil Lorez kurve være sammefaldede med diagoale, og ma vil ku se diagoale. Hvis der er total ulighed vil Lorez kurve udgøre de røde lije fra (,) til (,) heholdsvis fra (,) til (,) svarede til at é perso tjete hele idkomste i samfudet. Øvelse 4.42 a) Teg selv de to kurver id, som fremkommer af de oveståede tabeller over de ligeligt fordelte idkomster og de faktiske dispoible idkomster i Damark. 54
Øvelse 4.43 a) De følgede tabel stammer fra Lorez artikel, hvor Lorez bruger tabelle til at udersøge om hvad der sker med ulighede i det Prøjsiske samfud over tid. Teg de tilhørede Lorezkurver og kommeter udviklige! b) De følgede figur fra Lorez artikel viser det opridelige hådtegede diagram, hvor Lorezkurve blev idført for første gag. Sammelig med dit eget diagram! 28L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK 48 Købehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lru.dk 55
2.. Gii koefficiete som et polygoareal: Geometrisk betragtig Gii koefficiete udreges som forholdet mellem arealere i Lorez diagrammet, hvor både diagoale og Lorez kurve er idteget. Hvis arealet mellem diagoale og Lorez kurve beæves A og arealet mellem Lorez kurve og x akse beæves B udreges Gii koefficiete som forholdet: Defiitio: Gii koefficiet forskelle mellem de faktiske ulighed og de miimale ulighed Giikoefficiete A G forskelle mellem de maksimale ulighed og de miimale ulighed A B Gii-koefficiete blev idført af de italieske økoom og statistiker Corrado Gii i artikle Variability ad Mutability fra 92. Fra si ugdom var Gii optaget af de politisk-økoomiske diskussioer omkrig samfudets ulighed. Gii var fascist, forfatter til The Scietific Basis of Fascism, og videskabelig rådgiver for Mussolii. Ha fik stor idflydelse, bl.a. som præsidet for Italies statistiske kotor oprettet af Mussolii til brug for de fascistiske statsadmiistratio. Me i 93 ere kom ha på kat med fascisme i Italie og måtte trække sig tilbage fra stillige som præsidet for Italies statistiske kotor. Øvelse 4.44 a) Gør rede for at Gii koefficiete er uafhægig af ehedere på aksere. Vi kue altså i pricippet afsætte de fatiske atal borgere ud af første akse og de faktiske akkumulerede idtægter op af adeakse. b) Gør rede for at år vi vælger at afsætte de akkumulerede proceter, hvor % =, må der gælde G 2A 2B. c) Vis at Gii koefficiete G ligger i itervallet [;] og forklar hvorda det hæger samme med lighede i et samfud. Hvis ma keder idkomstfordelige i et samfud ka Gii koefficiete altså fides ved at udrege eller måle arealet uder Lorez kurve og så fx gøre brug af formle G 2B, hvor B er arealet uder Lorezkurve. Det sidste forudsætter som vist i øvelse at vi reger i akkumulerede proceter omsat til decimaltal! Hvis vi skal fide arealet af e polygo ka vi ete idtege polygoe i et dyamisk geometriprogram og måle arealet eller vi ka udrege arealet ud fra de oplyste data. Det sidste ka gøres ved hjælp af de såkaldte trapez formel for arealet: G ( xk xk) ( yk yk), k hvor xk og yk er observatioere, dvs. de akkumulerede proceter udreget som decimaltal. Hvis vi bruger data fra de følgede tabel, hvor vi har tilføjet startpuktet (, ) vil formle altså være: G ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 5 4 4 5 56
(3) x: Akkumuleret gruppe (4) y: Akkumuleret idkomst...2.9.4.22.6.42.8.63.. Fordelig af dispoible idkomster i Damark 25. Øvelse 4.45 a) Udreg Gii koefficiete for tabelle ved hjælp af trapez formle. b) Start ved G 2B og brug formle for arealet af et trapez ( ) 2 2 til at vise at trapezformle for udregig af Gii koefficiete er korrekt. c) Forklar til sidst hvad trapez arealsumme beskriver ret geometrisk. 2.2. Gii koefficiete som et itegral: Aalytisk betragtig Ma ka også udrege arealet uder Lorez kurve, som det bestemte itegral i itervallet til. Altså: G2B2 L( x) dx, hvor Lx () er forskrifte for Lorez kurve. Hvorda bestemmes u de? Dette gøres emmest ved at idtaste data i det værktøjsprogram, ma bruger, og lave e polyomial regressio her vælger ma oftest at tilpasse med et fjerdegradspolyomium...8.6 Pct. af samlet dispoibel idkomst y =.5625 x 4 2.639 x 3 +.958 x 2 +.57 x+.2 R 2 =.9963 Itegral =.36479 Gii = 2 Itegral =.274 Lorez kurve.4.2...2.4.6.8. Pct. af befolkig 57
Ligige ka u bruges til at fide stamfuktioe og dermed arealet uder Lorez kurve ud fra e symbolsk itegratio. Me ma ka også tege grafe for det approksimerede polyomium og beytte grafe som udgagspukt for e umerisk/grafisk arealbestemmelse. Øvelse 4.46 a) Tag udgagspukt i tabelle over de dispoible idkomst i Damark og udfør regressioe med et fjerdegradspolyomium. b) Frembrig et diagram med såvel idkomstfordelige som det tilhørede fjerdegradspolyomium. c) Beyt dette til at fide Gii koefficiete (som vist på de oveståede figur). Øvelse 4.47 2 a) Lad Lorez kurve være grafe for fuktioe fx () x. Teg grafe for f samme med diagoale, der forbider (,) med (,). b) Bestem de procetvise adel af idkomstmasse for de del af befolkige, der tilhører de 35 % af befolkige, som tjeer midst. Bestem de procetdel af befolkige, som hører til gruppe fra 45% til 6%. c) Bestem Gii koefficiete. Øvelse 4.48 3 a) Lad Lorez kurve være grafe for fuktioe fx () x. Teg grafe for f samme med diagoale, der forbider (,) med (,). b) Bestem de procetvise adel af idkomstmasse for de del af befolkige, der tilhører de 35 % af befolkige, som tjeer midst. Bestem de procetdel af befolkige, som hører til gruppe fra 45% til 6%. c) Bestem Gii koefficiete. Øvelse 4.49 a) Lad Lorez kurve være grafe for fuktioe fx () x. Teg grafe for f samme med diagoale, der forbider (,) med (,), idet du idfører e skyder for ekspoete. b) Bestem Gii koefficiete. Hvad skal ekspoete være, hvis Gii koefficiete er.25?.5? Øvelse 4.5 a) Lad Lorez kurve være e parabel, der forbider hjørepuktere (,) og (,). Gør rede for at forskrifte for idkomstfordelige L(x) ka skrives på forme Lx () xax( x). b) Teg grafe med e skydervariabel for parametere a. Bestem Gii koefficiete. c) Hvilket iterval bør parametere a ligge i, hvis det skal være e realistisk Lorezkurve? Hvilke værdi skal parametere a have, hvis Gii koefficiete skal være.25? Bemærkig: Når ma modellerer idkomstfordelige L(x) med et polyomium ka ma emt risikere forskellige uhesigtsmæssigheder ved modelle. Avedes polyomial regressio er der for eksempel ige sikkerhed for at grafe for det approksimerede polyomium ret faktisk går geem hjørepuktere (,) og (,). Tilsvarede behøver grafe ikke at forløbe idefor ehedskvadratet. Fx ka polyomiet sag 58
tes være egativ på det første stykke. Disse fejl har dog sjældet større idflydelse på Gii koefficiete og forudsat e grafisk kotrol af tilærmelse med et polyomium i øvrigt virker rimelig, ka ma derfor godt tillade sig at se bort fra dem. Me har ma mod på det, er det faktisk ikke uoverkommeligt at bestemme et polyomium af tilstrækkelig høj grad, der går eksakt geem alle datapuktere. Og vælger ma at støtte sig til e regressiosmodel med et fjerdegradspolyomium ka ma med lidt silde godt tvige regressiosmodelle til at gå geem hjørepuktere (,) og (,). Øvelse 4.5 a) Tag udgagspukt i tabelle for de dispoible idkomst i Damark. Gør rede for at med seks datapukter {( x, y),( x2, y2),...,( x6, y 6)} fides der etop ét femtegradspolyomium 5 4 3 2 px () ax bx cx dx ex f, hvor grafe går geem alle datapuktere. px ( ) y px ( 2) y2 b) Opstil og løs ligigssystemet for de seks koefficieter {a,b,c,d,e,f}.... px ( 6) y6 c) Teg grafe for polyomiet i samme diagram som puktplottet for idkomstfordelige og beyt dette til at udrege Gii koefficiete. d) Sammelig med resultatet af øvelse 4.48. Øvelse 4.52 (udfordrig til A iveau elever) a) Tag ige udgagspukt i tabelle for de dispoible idkomst i Damark. Gør rede for at hvis det approksimerede polyomium p(x) tviges til at gå geem hjørepuktere i ehedskvadratet (,) og (,), så må forskelle mellem diagoale og Lorezkurve, dvs. polyomiet qx ( ) xpx ( ) have ulpukter i x og x. Som kosekves heraf må det have e forskrift på forme qx x x a x b x c 2 () ( )( ) b) Gør rede for hvorda ma ud fra de give data ka bestemme koefficietere { abc,, } ved e kvadratisk regressio. Bestem ud fra dette forskrifte for det approksimerede fjerdegradspolyomium p(x). c) Teg grafe for polyomiet p(x) i samme diagram som puktplottet for idkomstfordelige og beyt dette til at udrege Gii koefficiete. d) Sammelig med resultatere af øvelse 4.48 og 4.53. 59
2.3. Udregig i regeark ud fra de rå observatioer I det foregåede har vi set på udregige af Gii koefficiete for e større populatio, fx Damarks befolkig. I så fald er vi i sages atur tvuget til at tage udgagspukt i e oversigtstabel for Damarks befolkig, hvor de rå data er bearbejdet til e tabel med et beskedet atal rækker. Me ma ka også komme ud for at skulle udrege Gii koefficiete for e stikprøve med et begræset atal elemeter, hvor ma keder de faktiske idkomst for hver af de ivolverede persoer. Stikprøve ka så ete være repræsetativ for e større populatio eller de ka være iteressat i sig selv, e miipopulatio, fx idkomstfordelige i et firma. Med direkte kedskab til de rå data er det i så fald ikke ødvedigt at kostruere Lorez kurver og fide arealer for at fastlægge Gii koefficiete, selv om det selvfølgelig stadigvæk ka lade sig gøre. I stedet ka ma gå frem på følgede måde: Først skal det datasæt ma har for de dispoible idkomster ordes i stigede rækkefølge: x(), x(2),..., x( ) Deræst ka Gii koefficiete udreges som et vejet geemsit efter de følgede formel: G k (2k) x k x ( k) ( k), hvor er atal observatioer, x k er de ekelte observatioer og k er observatioes ummer efter datasættet er ordet i stigede rækkefølge. Læg mærke til at ævere er de samlede idkomstmasse gaget med atallet af observatioer. Her er et ekelt eksempel til at tydeliggøre fremgagsmåde. Vi har fem idkomster på 2, 4,, 25 og 7 kr. som vist i de følgede tabel. Observatioer/ Idkomster Idkomster Ragordet: x k Nummer i rækkefølge: k Vægt: 2k Bidrag: (2k) x k 2 2 5 = 4 4 4 2 2 22 5 = 2 4 25 3 23 5 = 25 4 4 24 5 = 2 8 7 75 5 25 5 = 4 3 Sum 7 3 Et simpelt ekel med 5 idkomster ( ) k Næver x k 57 85 I eksemplet bliver Gii koefficiete altså 3/85 =.353. Udregige af dette gøres dog emmest i et regeark. I de følgede figur er vist eksemplet ovefor idtastet i et passede regeark. 6
Udregig af Gii-koefficiet i regeark I søjle A idtastes ummeret på observatioe. I søjle B idtastes idkomstere sorteret efter størrelse. I celle C2 idtastes formle = 2*A2 $A$6 som kopieres til cellere C3..C6. Husk at låse celle A6 med $ teg. I søjle D gages idkomste på. I række 7 udreges de relevate summer. I celle B7 udreges ævere efter formle = A6*B7. I celle B9 udreges Gii koefficiete efter formle = D7/B8. Øvelse 4.53 a) Udersøg idkomstfordelige i klasse bladt forældree (aoymt) efter skat og idkomstoverførsler og bereg Gii koefficiete. Øvelse 4.54 I de følgede tabel har vi opført årsidkomstere for fodboldspillere i FCK som de så ud i 999. Spiller Lø Christia Poulse 4 Thomas Røll 4 Peter Hase 35 Heie Feradez 5 Thomas Thoriger 45 Morte Bisgaard 8 Christia Løstrup 45 Jacob Laurse 7 Diego Tur 4 Sibussio Zuma 75 Thomas Rytter 4 a) Bereg Gii koefficiete ved hjælp af de oveståede formel. Kommetér resultatet. Bemærkig: Regearksmetode ka også bruges på oversigtstabeller. Vi veder tilbage til tabelle over de dispoible idkomst i Damark. Hver kvitil opfattes da som e fiktiv perso. Ma forestille sig, at kr. fordeles på 5 fiktive persoer, som hver især tjeer hhv. 9, 3, 2, 2 og 37 kr., som vist i figure. Hefter følges opstillige som vist ovefor. Kvitilopdelt idkomst ka tolkes som absolutte idkomster 6
Hvor kommer u e såda formel fra? E egetlig symbolsk udledig er ikke helt em, me hvis vi reger på et datasæt med 5 idkomster ordet efter rækkefølge { x (), x (2),..., x (5 ) } er det faktisk overkommeligt at se møstret. Øvelse 4.55 Udfordrig til A iveau Udgagspuktet er defiitioe på Gii koefficiete forskelle mellem de faktiske ulighed og de miimale ulighed Giikoefficiete A G forskelle mellem de maksimale ulighed og de miimale ulighed A B, hvor A er arealet mellem diagoale og Lorez kurve, mes B er arealet mellem Lorez kurve og x akse. Vi starter med at opstille tabelle over de akkumulerede grupper og idkomster: () atal persoer i hver gruppe (2) idkomst (3) Akkumuleret gruppe (4) Akkumuleret idkomst x() x() (2) (3) (4) (5) x 2 x() x(2) x 3 x() x(2) x(3) x 4 x() x(2) x(3) x(4) x 5 x() x(2) x(3) x(4) x(5) a) Skitser Lorez diagrammet med akkumuleret gruppe ud af førsteakse og akkumuleret idkomst op af adeakse. k b) Gør rede for at ævere x( k) etop er arealet af det rektagel, der omslutter Lorezdiagrammet, dvs. 2( AB) x( k) 5x() 5x(2) 5x(3) 5x(4) 5x(5) k c) Gør rede for at arealet B udreget ved trapez formle etop er givet ved 2B9x 7x 5x 3x x () (2) (3) (4) (5) d) Gør rede for at arealet A, så må være givet ved formle 4x() 2x(2) x(3) 2x(3) 4x(5) e) Udled u de tidligere aførte formel for Gii koefficiete G k (2k) x k x ( k) ( k). 2.4 Kritik af Gii koefficiet For det første ka de samme Gii koefficiete fremkomme ved meget forskellige idkomstfordeliger. For det adet udsiger Gii koefficiete ikke oget om idkomstiveauet i samfudet. Altså ka et meget fattigst samfud godt have e meget lav Gii koefficiet, hvis blot det er alle idbyggere, der er meget fattige. Oplysigere om Gii koefficiete bør derfor kombieres med supplerede oplysiger om iveauet (BNP/idbygger eller et adet geemsitstal.). 2.5 Robi Hood idekset Maksimal udjævigsgrad 62
Forude at Lorez kurve giver mulighed for at tolke idkomstfordelige i et samfud og edvidere udrege Gii koefficiete, ka ma også udrege, hvor stor e adel af idkomste, der skal flyttes fra de rigeste til de fattigste for at opå fuldstædig lighed. Gruppe Idkomstadel Akkumuleret Omfordelig = 2 Idkomstadel 2 (fattigste 2 %) 9 9 2 4 3 22 7 4 6 2 42 6 8 2 63 8 (rigeste 2 %) 37 7 Fordelig af dispoible idkomster i Damark 25. Som det fremgår tjeer de to højeste kvitiler hhv. og 7 % mere ed de 2 %, de skulle tjee ved fuldstædig lighed. Modsat magler de to laveste kvitiler og 7 %. Dvs. der skal flyttes 8 % fra de rigeste til de fattigste. Dette tal beæves de maksimale udjævigsgrad eller Robi Hood idekset. De maksimale udjævigsgrad ligger mellem pct. (de helt lige idkomstfordelig, hvor alle har samme idkomst) og op mod pct. (hvor é perso har hele idkomste) I Lorez diagrammet ka de maksimale udjævigsgrad aflæses som de maksimale afstad mellem Lorez kurve og 45 gradersliie. De fides på det sted på Lorezkurve, hvor hældige på Lorezkurve etop er é, se figurere. På figure til vestre bruger vi e diskret polygo model, så her ligger de maksimale forskel faktisk på hele stykket fra 4 til 6. På Figure til højre bruger vi e kotiuert polyomiumsmodel, så her ligger de maksimale forskel etop i puktet med tagethældige. Pct. af samlet dispoibel idkomst. Pct. af samlet dispoibel idkomst y =.5625 x 4 2.639 x 3 +.958 x 2 +.57 x+.2 8.8 R 2 =.9963 Solve(L '(x)=,x) x =.6272 6.6 x L(x) x =.6272.9 4 Maksimal udjævigsgrad Lorez kurve.4 Lorez kurve 2.2 2 4 6 8 Pct. af befolkig...2.4.6.8. Pct. af befolkig De maksimale udjævigsgrad Robi Hood ideks (til vestre fra polygo, til højre fra polyomium) 63
Det er klart at de maksimale udjævigsgrad, udreget som de maksimale forskel mellem de faktiske akkumulerede idtægter og de ligefordelte akkumulerede idtægter, fugerer som et mål for de økoomiske ulighed i samfudet på samme måde som Gii koefficiete gør det. Me hvorfor svarer det etop til Robi Hood idekset, dvs. til de ødvedige omfordelig mellem fattige og de rige, hvis der skal opås e ligefordelig af idkomste? Ige er det emmest at vise med et kokret atal idkomstgrupper, så vi ser på fem idkomstgrupper svarede til eksemplet med de dispoible idkomst i Damark. De tre akkumulerede fordeligers søjler aflæses alle på Lorez diagrammet: De akkumulerede ligefordelig er højde op til diagoale, de akkumulerede faktiske fordelig er højde op til Lorez kurve og de akkumulerede omfordelig er de lodrette forskel mellem diagoale og Lorez kurve. Ligefordelig Faktisk fordelig Omfordelig Akkumuleret Ligefordelig Akkumuleret Faktisk fordelig Akkumuleret Omfordelig x 2 x 9 o xx x 2 x 9 o x 2 x2 3 o2 xx2 7 2x 4 x x2 22 o o2 8 x 2 x3 2 o3 xx3 3x 6 x... x3 42 o... o3 8 x 2 x4 2 o4 xx4 4x 8 x... x4 63 o... o4 7 x 2 x5 37 o5 xx5 7 5x x... x5 o... o5 Rå data Aflæses på Lorez diagram Så læge omfordeligstallet i søjle 3 er positivt stiger forskelle i søjle 6. Me så sart det bliver egativt falder forskelle ige og slutter med at være. I vores tilfælde fås de maksimale forskel derfor til 8, svarede til summe af de positive omfordeligstal. De maksimale forskel er etop de maksimale udjævigsgrad og summe af de positive omfordeligstal er etop Robi Hood idekset. De er altså idetiske mål for de økoomiske ulighed i samfudet. Da summe af akkumulerede omfordeligstal er ul, ka vi også fide Robi Hood idekset som de halve sum af de umeriske omfordeligstal (hvor vi dropper fortegee). Hvis vi ydermere tillader os at rege på faktiske idkomsttal i stedet for proceter, skal vi huske at ormere idkomsttallee med de samlede idkomst. De maksimale udjævigsgrad ka derfor også udreges efter følgede formel: xk x k De maksimale udjævigsgrad =, 2x hvor x er middeltallet, x k de ekelte observatio og er atal observatioer. Øvelse 4.56 a) Hvis klasse har lavet øvelse 4.55 ka du u fide Robi Hood idekset for klasse. b) Hvis du har lavet øvelse 4.56 ka du u fide Robi Hood idekset for FCK i 999. 64
Bemærkig: Når vi skal fide de maksimale udjævigsgrad i e kotiuert model for idkomstfordelige skal vi fide maksimumspuktet for differesfuktioe d(x)=x-l(x). Det gøres ved at fide de statioære pukter ved differetialregig symbolsk eller umerisk/grafisk. Vi skal altså løse ligige =d'(x)=-l'(x) De maksimale udjævigsgrad ligger altså i et pukt, hvor tagethældige til Lorez grafe er. Yderligere bemærkig (A iveau): Da vi må forvete d()=d()= vil der ku være ét statioært pukt, hvis grafe for differesfuktioe er edad hul, dvs. d''(x)<. Me da d''(x)=-l''(x) svarer det etop til at grafe for Lorez fuktioe er opad hul. Hvis vi har fudet Lorez fuktioe ved e polyomial regressi o er det dog lagt fra altid tilfældet. Det approksimerede fjerdegradspolyomium ka derfor i pricippet godt have flere pukter med tagethældige. Så derfor er det ekstra vigtigt at ma kotrollerer de fude løsiger grafisk, år ma løser ligige L'(x)= 2.6 Omfordelig og udviklig Gii koefficiete og Lorez kurve giver et sapshot af de aktuelle fordelig til et givet tidspukt. Mere iteressat er det dels at se på udviklige i idkomstfordelige, dels at se på fordelige før og efter hhv. offetlige overførsler og skat. Dette fremgår af tabelle edefor. Markedsidkomste er idkomste opået ved arbejde, mes bruttoidkomste er idkomste efter offetlige overførsler og de dispoible idkomst er idkomste efter skat. 999 2 23 26 Markedsidkomst 44,2 43,8 44,35 44,4 Bruttoidkomst 28,34 29, 28,72 29,9 Dispoibel idkomst 23,42 24,4 23,9 26,2 Ulighed for årsidkomst målt ved Gii koefficiete: 2 26. Kilde: Det økoomiske Råd, Dask Økoomi efterår 28, side 69. I takt med at progressioe i skattesystemet (skattestop, skatteloft, sækig af margialskatter) er blevet midre, og offetlige overførsler i stigede grad målrettes de laveste idkomster, vil det være såda at især overførsler vil påvirke Gii koefficiete i edadgåede retig. Som det fremgår, skal ma være ret opmærksom på, hvilket idkomstbegreb der ligger til grud for beregigere af Gii koefficietere. Er det markedsidkomste, bruttoidkomste eller de dispoible idkomste? Ulighede formidskes yderligere, hvis ma betragter fordelige over et helt livsforløb, dvs. ser på fordelige af livsidkomster efter skat. Ifølge De Økoomiske Råd vil Gii koefficiete da være på,24 (http://www.dors.dk/graphics/sykro Library/Publikatioer/Rapporter/Efter%E5r_2/kap2.pdf ), hvilket bl.a. hæger samme med, at gruppe af studerede øger ulighede, da de har lave idkomster, me i et samlet livsforløb vil de få kompesatio med højere idkomster. I de følgede tabel er vist e række mål for ulighed fordelt på socioøkoomiske kategorier. 65
Atal familier Giikoefficiet Maksimal udjævig 8/2 rate ROP 6 pct. Familier i alt 2.776.39,29 9,4 4,7 2,8 Selvstædige i alt 7.264,63 39,8 8,3 25,4 Lømodtagere i alt.575.286,22 5, 3,2,4 Topleder 73.98,25 7, 3,5 6, Lømodtagere på højeste iveau 26.74,9 3,3 2,7 7,3 Lømodtagere på mellemiveau 333.67,8 2,6 2,6 7, Lømodtagere på grudiveau 65.526,9 3,3 2,8,6 Adre lømodtagere 28.4,8 2,8 2,6 9,2 Lømodtagere, stillig uoplyst 74.47,28 8,6 4,5 2, Arbejdsløs midst halvdele af året 34.87,9 2,7 2,6 5, Uddaelsessøgede 7.32,29 9,6 8, 9,8 Forskellige ulighedsmål. Daske familier. Dispoibel idkomst 29. Note: ROP er Risk of Poverty, altså sadsylighede for at ma har uder 6 % af mediaidkomste for alle. Hos selvstædige er 8/2 rate egativ, fordi de laveste 2% (kvitil) har egative idkomster (virksomhede giver uderskud). Kilde: Damarks Statistik 2. Idkomster 29. I tabelle har vi også iddraget de såkaldte 8/2 rate. De er defieret som forholdet mellem idkomstadele for de rigeste 2% og de fattigste 2%. Hvis vi kigger tilbage på tabelle for de dispoible idkomst i Damark i 25 er 8/2 rate derfor givet ved 37/9 = 4.. 2.7 Mobilitet Ma ka udrege et såkaldt mobilitetsideks, som udsiger oget om idkomstere hos bør i forhold til forældrees idkomster. Mobilitetsidekset måler afstade mellem e fuldstædig tilfældig fordelig af børees idkomster uafhægig af forældrees idkomster og de faktiske fordelig. Ved fuldstædig mobilitet vil idekset få e værdi på og ved total fravær af mobilitet fås e værdi på. Det påstås ormalt at ulighed fremmer motivatioe og dermed mobilitete altså jo højere Gii koefficiet, jo højere mobilitetsideks. Mobilitetsideks. Kilde: De Økoomiske Råd, Efterår 2, side 64. (www.dors.dk) Øvelse 4.57 a) Hvilke sammehæg er der i tabelle mellem mobilitet og lighed? Overvej hvad der er afhægig og uafhægig variabel. b) Ka der kostateres e sammehæg mellem velfærdsmodel og ulighed/mobilitet? 66
Datasæt Datasæt til at sammelige Gii koefficieter mellem lade ka hetes på dee adresse: http://www.lisproject.org/key-figures/kf-workbook.xls som omfatter e række vestlige lade. 2.8 Lighed og vækst I de politiske debat fremføres hyppigt e egativ sammehæg mellem grade af lighed og de økoomiske vækst: Jo større lighed, jo midre vækst. Argumetet støtter sig på effektivitetsbetragtiger: At e høj grad af lighed, fremkommet ved omfordelig via et progressivt skattesystem, giver færre icitameter til at yde e ekstras idsats/tage e videregåede uddaelse og dermed lavere økoomisk vækst ed ved høj ulighed. Altså: Lighed maglede icitameter lavere økoomisk vækst. Og modsat ka det aføres, at hvis ulighede er meget høj mister folk fuldstædig motivatioe til at gøre oget overhovedet. Sammehæge er skitseret i de følgede figur. Vækstrate Høj motivatiosfælder frirytteri arbejdsuddragelse højre statislige omkostiger Optimal Gii koefficiet, der maksimerer vækstrate motivatiosfælder lav social sammehægkraft social uro usikre ejedomsrettigheder Lav Gii koefficiet Lille Optimal Stor Vækst og lighed e skitse Kilde: http://workforall.et/assets/gii-curve.gif 67
E såda figur giver aledig til e række metodiske overvejelser: Hvilke variabel er afhægig og hvilke variabel er uafhægig? Og hvorda ka sammehæge i figure verificeres/falsificeres? Øvelse 4.58 Brug di vide fra både matematik og samfudsfag til at argumetere hhv. for og imod påstadee i de oveståede figur. 2.9 Avedelse af Lorez kurve Bl.a. Skattekommissioe aveder Gii koefficiete i deres beregiger af forskellige reformforslag, me også til at sammelige lighede i Damark med adre lade. Et udpluk af relevate figurer og tabeller er vist i bilag A. Også Arbejderbevægelses Erhvervsråd aveder hyppigt Gii koefficiete i deres årlige rapporter. Her ka især fremhæves de årlige rapport Fordelig og Levevilkår, der ideholder opdaterede data på udviklige i idkomst og formuefordelig. Rapportere ka hetes på www.aeraadet.dk. De økoomiske Råds formadskab har i deres rapport for efteråret 28 e række beregiger, der viser virkige af forskellige skattepolitiske istrumeter på Gii koefficiete. Også på globalt pla opereres der med e Gii koefficiet. Hvorda har de globale ulighed udviklet sig? (I boge Davis Held ad Aysa Kaya (eds.), Global Iequality, Polity 28 er der e fremragede geemgag af de metodiske overvejelser ma må gøre sig ved beregig af et globalt ulighedsmål.) Det fremgår af de følgede figur. Global Lorez-kurve 68