Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige eksponentilfunktion e som omvendte funktioner... 3 Tllet e... 3 Den nturlige logritmefunktion... 4 3. Logritmeregneregler... 5 4. Smmenhængen mellem og e k... 8 Mnge funktioner er igennem historien første gng opstået som tbellgte funktioner. Sådnne tbeller kender vi helt tilbge fr den old-ægyptiske og den old-bbylonske mtemtik for c. 4000 år siden. Disse tbeller, der repræsenterer en gnske vnceret mtemtik, kn du møde som projekter forskellige steder i lærebogssystemet, f I det foregående kpitel 7 om Tl og Ligninger. Vi bogens website er der yderligere dgng til en enestående portl med scnnede eller digitliserede versioner f lskens tbeller fr mtemtikhistorien. Logritmefunktionerne opstår som et omfttende tbelværk i første del f 600-tllet. De konstrueres som regnetekniske funktioner, der er i stnd til t oversætte multipliktion og division til plus og minus-stykker. Og logritmernes vidunderlige egenskber rkte endnu videre ved hjælp f dem kunne mn meget enkelt uddrge kvdrtrødder og løse eksponentielle ligninger. Hovedæren for opfindelsen f logritmerne og konstruktionen f tbellerne tilflder den skotske godsejer John Npier, der brugte de 20 sidste år f sit liv på dette. Formuleringen om de vidunderlige egenskber stmmer fr hns første tbelsmling. Hn dør midt i rbejdet, men en engelsk ven, Henry Briggs overtger rbejdet og forenkler Npiers system, så det bliver de logritmer, vi i dg kender som titls logritmerne, og som blev nvendt i skoler og til prktiske beregninger indtil regnestokke og lommeregnere overtog rbejdet med tbelopslg. Vi bogens website er der dgng til et lille projekt om regnestokke (projekt 8.8, Npiers stve), og til større projekter om logritmernes historie (projekt 8.7 Den frnske revolutions logritmefbrik), om de helt specielle beregningsmetoder, mn nvendte før logritmerne, metoder der byggede på de trigonometriske funktioners egenskber (projekt 8.3 Prostpheresis-Logritmiske beregninger med sin og cos), smt om linerisering og nvendelse f logritmiske koordintsystemer (projekt 8.5 Linerisering og nvendelsen f logritmiske koordintsystemer) I moderne mtemtik bliver Logritmefunktionerne indført på en helt nden måde, hvilket vi vender tilbge til på B- og A-niveu. 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: 43503030 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne. log( ) og 0 som omvendte funktioner I kpitel 3 udvidede vi potensbegrebet, så udtryk som Øvelse Det udvidede potensbegreb 5, men hvordn definerede vi tl som: ) 0 5 7 2) 3) 5 7 2 2.76 4) 5) 6) Slå evt tilbge til kpitel 3 og repeter reglerne. hiver mening for lle tl, når er et positivt tl. Når vi hr defineret potenser f lle brøker, hr vi også defineret potenser f lle endelige decimltl som 3.45 og potenser f lle periodiske decimltl som 3.4285743. 42857. Disse kn nemlig skrives som brøker. F er 3.42857 22. Vi hr ikke dermed fået defineret for lle reelle tl, men lle de decimltl, der svrer til brøker, 7 ligger meget tæt på tllinjen. Så det sidste skridt med t få lle tl med tger vi ved t kræve, t grfen for skl være kontinuert (smmenhængende). Det betyder specielt, t 0 er defineret for lle tl. Hvd er f D 0 0 2 0 00.39 0 og, så må.39 0 24.547, med 3 decimlers nøjgtighed..39 0 være et tl mellem og 00. Værktøjsprogrmmet giver: Men vi kn også gøre det omvendte, og spørge: Hvilken potens skl 0 opløftes til for t få 40? Igen kn værktøjsprogrmmet løse det: 0 40 hr løsningen.602, med 3 decimlers nøjgtighed Dette tl klder vi for logritmen til 40, og det betegnes log(40) Generelt er ltså logritmen til et positivt tl y løsningen til ligningen 0 y Definition: Titls logritmen log Givet et positivt tl y. Logritmen til y, som skrives log(y), er løsningen til ligningen 0 0 y log( y) (*) Ved t udnytte (*) to gnge får vi følgende: log( y) 0 y og log(0 ). (**) Funktionen log er således den omvendte funktion til funktionen 0. Vi udtrykker (**) kort ved t sige, t log og 0 ophæver hinnden. Bemærkning: Eksponentilfunktioner som 0 giver kun positive værdier. Derfor er logritmen kun defineret for positive tl. Eksempel: Titlspotenser 3 0 ) log(000) 3, fordi 0 000 2) log() 0, fordi 0 6 3) log(000000) 6, fordi 0 000000 4) log( 0) 2, fordi 2 0 0 Eksempel: Grferne for de omvendte funktioner log( ) og 0? y : Log er den omvendte funktion til 0. Dvs. hvis vi strter på 2. ksen med et y, så finder vi log( y ) på. ksen ved t gå vndret ud fr punktet y til vi rmmer grfen, og derfr lodret ned til. ksen, hvor vi flæser log( y ). Det 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: 43503030 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne betyder, t vi for logritmefunktionerne hr byttet om på, hvor den ufhængige og den fhængige vribel flæses. Ønsker vi grfen for log præsenteret på sædvnlig vis med den ufhængige vribel ud f. ksen, kn vi blot spejle grfen for 0 i linjen y, så. og 2. ksen bytter plds. 2. Den nturlige logritmefunktion, og den nturlige eksponentilfunktion e som omvendte funktioner Under emnet differentilregning vil vi studere grfers forløb ved t se på tngenterne til grfen, og undersøge hvordn deres hældning vrierer. Hældningen f en tngent måler, hvor hurtigt eller hvor lngsomt den fhængige vribel vokser eller ftger, og det er en vigtig metode, t kunne bestemme sådnne hældninger. Det viser sig, t blndt eksponentilfunktionerne er der én, der udmærker sig som særlig betydningsfuld, og som ofte indgår i modeller over nturlige fænomener. ln( ) Den hr fået sit eget nvn, Den nturlige eksponentilfunktion, og sit eget symbol e. Af og til nvendes nottionen: ep( ) e, men vi vil hovedsgeligt bruge e. Definition: Den nturlige eksponentilfunktion Den nturlige eksponentilfunktion e, er den funktion blndt lle eksponentilfunktioner, hr hældningen, hvor grfen skærer y-ksen Tllet e, hvis grf Øvelse 2 På jgt efter tllet e Anvend dit værktøjsprogrm til t gennemføre en eksperimentel undersøgelse f, hvilket tl e, der opfylder definitionen: Tegn grfen for funktionen f ( ) smmen med tngenten til grfen i punktet (0,). Prmeteren defineres med en skyder i dit værktøjsprogrm. Tegn i smme koordintsystem grfen for +, der er den rette linje gennem (0,) med hældning. (Vi bogens website kn du finde en vejledning i, hvordn mn tegner tngenter til grfer i de gængse værktøjsprogrmmer). Forsøg nu t bestemme tllet så tngenten flder smmen med grfen for l ( ). Det tl, du bestemmer er en tilnærmelse til tllet e. Bestem tllet e med 0 cifre ved hjælp f dit værktøjsprogrm. Eksempel: Tllet e Tllet e spiller en lige så fundmentl rolle i mtemtik som tllet π. Det hedder Eulers tl, fordi Leonrd Euler () vr den første der nvendte symbolet e. Det sker i et f hns mest berømte værker fr 748 (Introductio), som er en introduktion til infinitesimlregningen (differentil og integrlregning). Der er så uftteligt meget i mtemtikkens verden, der er knyttet til Eulers nvn, så mn skl psse lidt på: Eulers konstnt er f et helt ndet tl. Euler vr ikke den første, der hvde opdget, t der vr et helt særligt tl inden for logritmernes og eksponentilfunktionernes verden, som det vr værd t få styr på. 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: 43503030 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Første gng, vi ser et forsøg på t bestemme tllet e, er hos John Npier, opfinderen f logritmerne, der omtler det i et tillæg til sine første logritmetbeller fr 68. Den første der opstiller en korrekt formel for tllet e er fktisk slet ikke på jgt efter tllet, men efter formler til beregning f renters rente. Det vr en f de berømte Bernouilli brødre, Jkob Bernouilli (), der i 683 stiller sig den opgve t beregne tllet: lim n n Det er ikke indlysende, t dette er et tl, men hn viser t grænseværdien giver god mening, og t tllet ligger mellem 2 og 3! I det omtlte værk f Euler viser hn, t tllet e kn defineres på en række forskellige måde, og specielt t det kn opskrives som en sum og som en grænseværdi:! 2! 3! 4! n! i! i0 n n e......, hvor f 4! 432 e lim Euler beregnede tllet e med 8 decimler: e 2.7828828459045235 Tllet e er ligesom tllet π både irrtionl, dvs decimlerne gentges ikke efter en vis periode, og trnscendent, dvs tllet er ikke rod i noget polynomium med hele tl som koefficienter. Mn tler inden for mtemtik om de 5 fundmentle konstnter: 0,, π, e og den imginære enhed i (= ). Disse er forbundet i den fntstiske formel, der hr fået nvnet Eulers identitet: iπ e 0 Den nturlige logritmefunktion Funktionen e er en monotont voksende funktion. Værdimængden er lle positive tl. Hvis vi spørger: Hvilken potens skl tllet e opløftes til for t få 5, så kn værktøjsprogrmmet løse det: e 5 hr løsningen 2.708 med tre decimlers nøjgtighed. Dette tl kldes for den nturlige logritme til 5, og det betegnes ln(5). Generelt er ln( ) løsningen til ligningen: e. Løsningen findes ltså ved t fjerne eksponentilfunktionen med den omvendte opertion ln. Definition: Den nturlige logritme ln Givet et positivt tl y. Den nturlige logritme til y, der skrives ln(y), er løsningen til ligningen e e y ln( y) (*) Ved t udnytte (*) to gnge får vi følgende: ln( ) e y y og ln(e ). (**) Funktionen ln er således den omvendte funktion til funktionen e. Vi udtrykker (**) kort ved t sige, t ln og e ophæver hinnden. Bemærkning: Eksponentilfunktioner som e giver kun positive værdier. Derfor er logritmen kun defineret for positive tl. y : 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: 43503030 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Øvelse 3 Ligningsløsning uden brug f solve, men med brug f ln og e ) 2ln(3 5) 8 0.08 b) 5.7e 256 Eksempel: Grferne for de omvendte funktioner ln( ) og e Ln er den omvendte funktion til e. Dvs. hvis vi strter på 2. ksen m ed et y, så finder vi ln( ) på. ksen ved t gå vndret ud fr punktet y til vi rmmer grfen, og derfr lodret ned til. ksen, hvor vi flæser. Det betyder, t vi for logritmefunktionerne hr byttet om på, hvor den ufhængige og den fhængige vribel flæses. Ønsker vi grfen for log præsenteret på sædvnlig vis med den ufhængige vribel ud f. ksen, kn vi blot spejle grfen for 0 i linjen, så. og 2. ksen bytter plds ln( y) y y 3. Logritmeregneregler Sætning Logritmeregnereglerne Ld og være positive tl, og et vilkårligt tl. Der gælder, d ) ) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) Bevis for logritmeregel : Ifølge punkt i definitionen gælder der, t log( ) log( b) 0 og b 0. Vi indsætter dette i udtrykket på venstre side og omskriver: log( ) log( b) log( b) log 0 0 log( ) log( b) log 0 (potensregel) log( ) log( b) (log og 0 ophæver hinnden) 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: 43503030 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Bevis for logritmeregel 2: Ifølge punkt i definitionen gælder der, t 0 log( ) log( b) og. Vi indsætter dette i udtrykket på venstre side og omskriver b 0 log( ) 0 log( ) log b 0 log( b) log( ) log( b) log 0 (potensregel) log( ) log( b) (log og 0 ophæver hinnden) Alterntivt bevis for logritmeregel 2: Læg mærke til, t: b b Tg logritmen på begge sider: log b log( ) b Udnyt nu produktreglen fr ) på venstre side: log log( b) log( ) b log log( ) log( b) b ltså indholdet i formel 2. Bevis for logritmeregel 3: Ld være et positivt tl, og et vilkårligt tl. log( ) Igen indsætter vi 0 i udtrykket på venstre side og omskriver: log( ) log log0 log( ) log 0 (potensregel) log( ) (log og 0 ophæver hinnden) log( ) 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: 43503030 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Bevis for logritmeregel 4: log( ) log( ) Ld være et positivt tl, og et vilkårligt tl. 0 log( ) Igen indsætter vi i udtrykket på venstre side og omskriver: log log (potensregel) log( ) log 0 (indsæt ) log( ) log 0 (potensregel) log( ) (log og 0 ophæver hinnden) log( ) Bevis for logritmeregel 5: Dette er fktisk en del f definitionen og kræver ikke som sådn et bevis. I definitionen indgår nemlig: log(0 ) Sæt heri = : log(0 ) log(0) Det er klrt t reglerne for ln går præcis på smme måde. Eksempel: Uendeligt mnge logritmefunkttioner De to definitioner f logritmefunktionerne log( ) ogln( ) er skrevet på en sådn måde, t det er let t se, t der er en logritmefunktion log ( ) til enhver eksponentilfunktion. Prøv selv t opskrive en definition på f logritmefunktionen log 2( ), der hører smmen med 2. Udregningerne i beviserne ovenfor byggede på potensregler og på definitionen f logritmefunktionen. Beviserne kunne derfor gennemføres for lle logritmefunktioner. Derfor: Regnereglerne gælder for lle logritmefunktioner, specielt også for den nturlige logritmefunktion, ln. I gymnsiet koncentrerer vi os om de to funktioner log og ln. Af og til skriver vi log 0( ) for log( ). log( ) er voksende, men væksten er meget lngsom: Når vi bevæger os ud til 00 er log-funktionen nået op på 2. Når vi bevæger os ud til million er log-funktionen nået op på 6. Øvelse 4 Log() går mod uendelig, når går mod uendelig ) Hvor lngt skl vi ud f. ksen, før logritmeværdien bliver 00? b) Selv om log( ) vokser lngsomt, kn logritmeværdierne lligevel blive så stor, det skl være. Hvis vi hr givet et stort tl K, hvor lngt skl vi så bevæge os ud f. ksen, før der gælder log( ) K? 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: 43503030 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Øvelse 5 Log() går mod minus uendelig, når går mod 0 vi generlisering Dm(log) er de positive tl. Vi hr ovenfor set på situtionen med meget store tl, dvs hvor. Hvd sker der, når vi vælger meget små positive tl, dvs når ) Bestem tllet log(0,) uden brug f værktøj. (Hint:, og udnyt regnereglerne) b) Bestem tllet log(0,00000) uden brug f værktøj. (Hint: Skriv 0.00000 som en titlspotens) c) Hvordn vil du generlisere ) og b) 0? 0,0 Øvelse 6 Log() går mod minus uendelig, når går mod 0 vi teoretisk bevis ) Hvor tæt på 0 skl -værdierne ligge, før logritmefunktionen kommer under -0? b) Givet et stort negtivt tl: K. Hvor tæt på 0 skl -værdierne ligge, før logritmefunktionen kommer under K? Resultterne f de foregående øvelser smmenfttes i Sætning 2 Log-funktionens symptotiske egenskber Når nærmer sig 0 vil bevæge sig mod. 2. ksen er en lodret symptote til grfen for log. Bemærkning: Overvej, t vi i sætningen kn udskifte log med ln. 4. Smmenhængen mellem og e k I kpitel 4 blev eksponentilfunktionerne introduceret med regneforskriften y b. I mnge ndre fg og i videregående mtemtik foretrækker mn ofte t skrive regneforskriften således: yb. Men hvd er smmenhængen mellem og e k? Der gælder følgende: e k Sætning 3 Omskrivning mellem og ) kn omskrives til formen, ved t sætte. 2) kn omskrives til formen ved t sætte. Bevis for ) Regneforskriften er givet på formen y b e k. Vi ønsker t omskrive til formen y b k k e e vi udnytter en f potensreglerne e k e k Vi klder e k for Med denne værdi f hr vi således fået omskrevet til formen y b 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: 43503030 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Bevis for 2) Regneforskriften er givet på formen y b Vi ønsker t omskrive til formen e k k yb e k Ligningen opstilles inspireret f det foregående ln(e ) ln( ) Vi nvender ln for t ophæve eksponentilfunktionen kln( ) Med denne værdi f k er e k ln( ) og e ophæver hinnden k k, og derfor er y b b(e ) b e, hvd vi ønskede. e k Eksempel: Omskrivning fr y til y En funktion hr forskriften y e 0,35. Omskriv til formen: 0,35 = e,49 Udnyt sætning 5 Konklusion: Vi kn omskrive forskriften til y,49. y. Eksempel: Omskrivning fr En funktion hr forskriften e k 0,892 y til y 0,892 y e k. Omskriv til formen: Udnyt sætning 5 y e k ln(e k ) ln(0,892) Vi nvender ln for t ophæve eksponentilfunktionen k ln(0,892) 0,4 ln( ) og e ophæver hinnden 0,4 Konklusion: Vi kn omskrive forskriften til y e.. Øvelse 7 Omskriv:. y 4,,29 til formen: y 4, e k 0,82t 2. y 0,69 e til formen: y0,69 t 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: 43503030 Emil: info@lru.dk