Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0
Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6. Afstnd fr punkt til linie... 7. Cirklens ligning...4
Anltisk Geometri. koordintsstemet En tllinie er en orienteret linie den hr en positiv gennemløsretning, som er forsnet med et nulpunkt og en enhed. Til ethvert reelt tl, hører der netop et punkt på linien og omvendt. Tllet kldes for punktets koordint. Et koordintsstem i plnen estår f to ortogonle tllinier med smme enhed og fælles nulpunkt. De etegnes. kse og. kse, -kse og -kse eller sissekse og ordintkse. De tl, der svrer til punkter på. ksen og. ksen kldes henholdsvis. koordint og. koordint eller sisse og ordint. I lmindelighed vælger mn orienteringen, således t drejningen fr. kse til. kse er mod uret. Ved projektionen f et punkt på en linie, forstår mn det, t nedfælde den vinkelrette på linien. Forstået på den måde, t mn tegner en linie gennem punktet, som er vinkelret på tllinien. De to liniers skæring er projektionen. I prksis tegner mn ikke den vinkelrette linie, men nvender en linel Nedenfor er vist et koordintsstem. De to kser deler plnen op i 4 områder, som kldes for kvdrnter. De nummereres I IV mod uret. Koordinterne til et punkt P fås som projektionen f P på. og. kse. Koordinterne til et punkt skrives,. F.eks -,, som er eliggende i. kvdrnt. Ved nvendelse f koordinter, kn mn lidt mere formelt definere kserne og de fire kvdrnter, som punktmængder i plnen. - ksen = {, = 0 } - ksen = {, = 0 }
Anltisk Geometri. kvdrnt = {, > 0 > 0 }. kvdrnt = {, < 0 > 0 }. kvdrnt = {, < 0 < 0 } 4. kvdrnt = {, > 0 < 0 } Punktmængden: {, = } vil være en linie, der ligger i. og. kvdrnt, og som dnner en vinkel på 45 0 med såvel.ksen som. ksen. Punktmængderne: {, = -5 } vil være en linie prllel med -ksen, som går gennem = -5. Punktmængden {, = 4 }, vil være en linie prllel med -ksen, som går gennem = 4. Hvis to punkter ligger smmetrisk omkring linien =, så hr de omttede koordinter. Dette kn ses på figuren nedenfor.. Afstndsformlen For to forskellige punkter P og Q med sisserne og, hvor <, kn mn estemme fstnden mellem P og Q som -. PQ = -. Dette gælder ufhængigt f fortegnene for og, når lot - >0 Eksempel: Afstnden mellem 5 og er 5 =. Afstnden mellem -5 og er -5 =.
Anltisk Geometri Afstnden mellem - og -5 er -5 - = Hvis >, så - < 0 er formlen for fstnden nturligvis. Vi minder om definitionen på numerisk værdi: for 0 for 0 Af dette, kn vi se, t fstnden mellem to punkter på en koordintkse i lle tilfælde kn udregnes som: eller Eksempel Afstnden mellem -5 og - er 5 5 Vi vil nu søge en formel for fstnden mellem to punkter A og, B i et koordintsstem, hvor liniestkket AB i første omgng ikke er prllelt med nogen f kserne. Som det fremgår f figuren er liniestkkerne AC og BC kseprllelle og fstndene AC og BC kn derfor udregnes som de tilsvrende fstnde på kserne: AC = og BC = Treknt ABC er imidlertid retvinklet, så AB =AC + BC Herf følger:
Anltisk Geometri 4 AB - - AB - - Denne vigtige formel kldes for fstndsformlen Hvis AB er kseprllelt er udledningen ved hjælp f den retvinklede treknt ikke gldig, men det viser sig, t fstndsformlen lligevel kn nvendes. Er AB f.eks. prllel med -ksen er = så formlen liver: - - - - AB, hvilket er korrekt for en kseprllel linie. Afstndsformlen gælder tilsvrende, hvis linien er prllel med -ksen.. Liniens ligning - P, o 0 0 0 P, - o I det viste koordintsstemet er tegnet en linie. Punktet Po= o,o er et fst punkt på linien og punktet P =, er et vilkårligt løende punkt på linien. Vi ntger, først t P Po og t linien ikke er prllel med nogen f koordintkserne. Endvidere er der tegnet en lille treknt med en ktete prllel med -ksen, som hr længden. Den nden ktete i den lille treknt er. På figuren er positiv, idet linien peger opd, men det er ikke fgørende for det efterfølgende. Vi kn nu indse: Punktet P=, ligger på linien, hvis og kun hvis de to viste treknter er ensvinklede. D ensvinklede treknter er ligednnede, etder dette, t forholdet mellem ensliggende sider er konstnt. 0 0 0 0 Den sidste ligning gælder åenrt for lle, eliggende til højre for 0. Den kldes for liniens ligning og kldes for liniens hældningskoeffiient. - 0 = 0 er derfor ligningen for den linie, som går gennem 0, 0, og som hr hældningskoeffiienten.
Anltisk Geometri 5 Bemærk, t også 0, 0 tilfredsstiller ligningen. Indsætter mn nemlig 0, 0, finder mn t 0=0. Det emærkes, t mn får den smme ligning, hvis < 0. Længderne f kteterne i den store treknt liver i dette tilfælde 0 - og 0 -, men, d de står i tæller og nævner i smme røk ovenfor, er røken uforndret og ligningen liver den smme. Mn får også den smme ligning, hvis er negtiv, så linien peger nedd. Længden f den lille ktete er d -, mens længderne f de store kteter for > 0 liver 0 og - - 0. Igen vil de to fortegnsskifte ophæve hinnden, så også i dette tilfælde får det smme udtrk for liniens ligning som ovenfor. Dette vil også gælde hvis < 0. Hvis linien gennem 0, 0, er prllel med -ksen, hr ligningen = 0, idet lle punkter på denne linie og ingen ndre hr. koordint ordint 0. Smmenligner mn med liniens ligning, etder dette, t hældningskoeffiienten er 0 for en linie prllel med -ksen. Hvis linien gennem 0, 0 er prllel med -ksen, hr den ligningen = 0, idet lle punkter på denne linie og ingen ndre hr. koordint sisse 0. I dette tilfælde defineres ingen hældningskoeffiient. Eksempel Find ligningen for den linie, som går gennem punktet P o =,- og som hr hældningen = -½. Ved indsætning i formlen finder mn: - - = - - = - I det sidste udtrk hr vi isoleret. Af dette udtrk ses lndt ndet, t linien fskærer stkket - f -ksen. Dette fås ved t sætte =0 i ligningen. Skæring med -ksen findes ved t sætte =0 i ligningen og løse for. Vi finder herf: 0= -, som løses til t give = -4. Linien skærer -ksen i -4. I lmindelighed kn mn finde det stkke, som en linie fskærer f -ksen ved t sætte = 0 og løse for. Nedenfor isolerer vi først : - o = -o = +o o = + Det ses umiddelrt, t = 0-0 er det stkke, som linien fskærer f -ksen, idet = for =0 Kender vi således liniens hældning og stkket, som linien fskærer f -ksen kn liniens ligning umiddelrt opskrives som = +. Dette nvendes mindst lige så ofte som det første udtrk for liniens ligning. Ofte er en linie estemt ved to punkter P, og P,. Vi vil nu opstille en formel til eregning f hældningskoeffiienten for linien. I det oprindelige udtrk for liniens ligning vr P 0 0, 0 et fst, men vilkårligt punkt på linien, mens P, vr et vrielt punkt.
Anltisk Geometri 6 Hvis mn i liniens ligning: - 0 = 0, ersttter 0, 0 med, og, med,, hvilket er lovligt d, og, ligger på linien, finder mn et udtrk for hældningskoeffiienten udtrkt ved koordinterne til to punkter på linien: 0 0 for Udregnes hældningskoeffiienten med denne formel, kn liniens ligning ud fr to punkter nemt opskrives, idet mn som det fste punkt P 0 lot vælger et f de to punkter P og P. Eksempel Opskriv ligningen for linien gennem punkterne P -, og P 4,. 4 Linien hr således hældningskoeffiient -/ og fskærer stkket / f -ksen. Et udtrk f formen + + = 0 hvor, og er reelle tl og ikke åde og er 0 kldes for en førstegrdsligning i og. En sådn førstegrdsligning fremstiller en ret linie i et koordintsstem. Er nemlig 0, kn ligningen omskrives: 0 Hvorf ses, t førstegrdsligningen fremstiller en ret linie med hældningskoeffiient og som fskærer stkket f -ksen. Hvis = 0, så er ligningen f formen: + = 0 =. Dette fremstiller en ret linie prllel med -ksen. Hvis = = 0, fremstiller ligningen ikke noget Vi ser ltså, t en førstegrdsligning i lle tilfælde fremstiller en ret linie i et koordintsstem. På den nden side kn enhver linie fremstilles ved en førstegrdsligning i og. Ligningerne = + hældning, fskærer f -ksen, = linien prllel med -ksen og = o linien prllel med -ksen, kn lle omskrives til en førstegrdsligning i og ved t smle leddene på venstre side. = + +-+ = 0 = 0 + + - = 0 = +0 +- = 0
Anltisk Geometri 7 4. Ortogonle linier Figuren viser to ortogonle linier l og m, dvs. to linier der står vinkelret på hinnden. Vi ntger, t ingen f linierne er kseprllelle. Hældningskoeffiienterne for linierne etegnes og. På figuren er > 0 mens < 0. Vi minder om, t hældningskoeffiienten kn estemmes som tilvæksten på -ksen, svrende til en tilvækst på på -ksen. er den lodrette ktete i en treknt, hvis vndrette ktete er, og hvor hpotenusen ligger på linien l. - fordi er negtiv er den lodrette ktete i en treknt, hvis vndrette ktete også er, og hvor hpotenusen ligger på linien m. Treknt OPQ er retvinklet og højden fr O er h =. Fr geometrien ved vi t h =, hvor og er de stkker, hvori højden deler hpotenusen. I dette tilfælde er = og = -. Herf følger h = => = - = - For ortogonle linier, der ikke er kseprllelle gælder, t produktet f deres hældningskoeffiienter er -. Denne sætning kn f.eks. nvendes, når mn vil finde ligningen for en tngent til en irkel i et punkt. Tngenten er nemlig ortogonl på linien gennem irklens entrum og punktet. Eksempel Bestem ligningen for den linie, som går gennem -5, og som står vinkelret på linien = -4. Hældningskoeffiienten estemmes f: 5 Ligningen estemmes d f: 0 = 0 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte. Vi vil i dette fsnit søge t løse og opstille løsningsformel for to ligninger med to uekendte. Ligningerne opskrives trditionelt som vist nedenfor. + =, 0,0 + =, 0,0
Anltisk Geometri,, og,, er reelle tl, som etegnes ligningssstemets koeffiienter, og, er de uekendte, som mn ønsker t estemme. Et tlsæt, siges t være løsning til ligningssstemet - eller tilfredsstille ligningssstemet - hvis ligningerne er opfldt, når tlsættet indsættes. At løse ligningerne vil sige, t undersøge om der findes løsninger, og i givet fld finde dem lle smmen. Geometrisk set fremstiller de to førstegrdsligninger to linier i et koordintsstem. Et tlsæt,, som tilfredsstiller egge ligninger, ligger åenrt på egge linier og svrer derfor til liniernes skæringspunkt. At løse ligningerne svrer derfor til den geometriske opgve, t estemme koordinterne til liniernes skæringspunkt. Fr et geometrisk snspunkt, er det umiddelrt klrt, t ligningssstemet kn hve én, ingen eller uendelig mnge løsninger - svrende til t linierne skærer hinnden, er prllelle eller smmenfldende. Dette vil vi nu godtgøre ved regning. For t løse ligningerne multiplierer vi den øverste ligning med den nederste med, og sutrherer den nederste fr den øverste. Metoden kldes for lige store koeffiienters metode. + = + = Ved sutrktionen går leddene med ud mod hinnden, og vi finder: = = Af den sidste ligning kn estemmes ved t dividere med. For t gøre dette er det imidlertid nødvendigt t forudsætte, t det ikke er nul. Størrelsen D = kldes for ligningssstemets determinnt. For determinnter nvendes følgende prktiske skrivemåde, hvor koeffiienterne skrives under hinnden: D Ved nvendelse f determinntsmol, kn den sidste ligning skrives: For t estemme, må vi forudsætte t D 0. Hvis D 0 finder mn:
Anltisk Geometri 9 På fuldstændig tilsvrende måde finder mn ved t multipliere den øverste ligning med og den nederste ligning med og sutrhere den øverste fr den nederste: = - Mn emærker, t koeffiienten til igen er ligningssstemets determinnt. Er D 0, finder mn udtrkket for. Vi kn således konkludere vores undersøgelse: Hvis ligningssstemets determinnt D 0, hr ligningssstemet netop løsning, givet ved udtrkkene: + = + = Vi skl d etrgte tilfældet D = 0, hvor løsningsformlen ikke kn nvendes. D = 0 0 og er ikke egge 0, så vi ntger t 0. Vi kn d estemme et tl k, således t = k. Indsættes dette i udtrkket for D fås: 0 k 0 k 0 k Ved t indsætte udtrkkene = k og k i de oprindelige ligninger finder mn.
Anltisk Geometri 0 + = + = + = + = k +k = + = /k Af dette fremgår, t hvis og kun hvis = k er ligningernes koeffiienter proportionle. Ligningerne er d identiske og ligningssstemet hr uendelig mnge løsninger. Hvis derimod k findes der intet tlsæt, som tilfredsstiller egge ligninger. Venstresiderne er jo identiske, mens højresiderne er forskellige. Ligningssstemet hr ingen løsninger, og ligningerne siges t være i strid med hinnden. De to tilfælde D 0 og D = 0, svrer netop til t de tilsvrende linier, som ligningerne fremstiller i et koordintsstem, hr netop et skæringspunkt eller er smmenfldende/prllelle. D = 0 skulle derfor svre til t linierne hr smme hældningskoeffiient hvis den er defineret. Finder mn hældningskoeffiienterne for de to linier ud fr de oprindelige ligninger finder mn og Betingelsen D = 0 giver imidlertid t, hvilket netop udtrkker t de to linier hr smme hældning. Det skl understreges, t mn godt kn nvende lige store koeffiienters metode, selv om mn ikke nvender determinnterne. En nden metode kldes for sustitutionsmetoden. Ved denne metode, isolerer mn eller f den ene ligning og indsætter i den nden, som derefter er en førstegrdsligning. Vi viser de tre metoder ved ét og smme eksempel: Eksempel Løs ligningerne 5
Anltisk Geometri. Sustitutionsmetoden: 5 65 5 5 50 5 4 5 50. Lige store koeffiienters metode 5 Vi vælger t eliminere. Vi kn så gnge den første ligning med 5 og den nden med og trække den ene ligning fr den nden. Hvis mn vil undgå t lve fejl ved sutrktionen, så er det mere sikkert t gnge den første ligning med +5 og den nden med - og lægge ligningerne smmen. 5 5 65 40 5 64 40 6 50 = -50 er fundet ved t indsætte = i en f de oprindelige ligninger.. Determinntmetoden 5 Ligningssstemets determinnt er D 5 Ligningssstemet hr derfor netop løsning, som opskrives: 5 5 50 Hvilke f de metoder, mn vælger fhænger f flere ting. Hvis eller står lene i en f ligningerne er det nok lettes t nvende sustitutionsmetoden. I lmindelighed er det hurtigst og lettest t nvende lige store koeffiienters metode og hvis mn vil undgå røkregning og det vil mn, er det lettes t gnge ligningerne igennem med et tl, så der kun optræder hele tl, og så nvende determinntmetoden. Når denne metode lligevel sjældent nvendes, er det fordi det ikke ltid er lige let t huske formlerne for determinntmetoden.
Anltisk Geometri 6. Afstnd fr punkt til linie Vi vil søge, t estemme en formel for fstnden fr et punkt P, til linien l med ligningen + + =0. Det mest oplgte, ville være t estemme ligningen for den linie, der er vinkelret på l og som går gennem punktet P. l hr hældningen, så ligningen for den ortogonle linie er =. Hvis mn estemmer skæringspunktet mellem de to linier, kn mn til slut finde fstnden mellem skæringspunktet og, med fstndsformlen. Dette vil også fungere udmærket om end lidt esværligt med et tleksempel, men det fører til uoverskuelige udregninger i det generelle tilfælde. Vi vælger derfor en nden metode, hvor vi etrgter to ensvinklede treknter For t simplifiere regningerne, vil vi skrive liniens ligning, + + =0 som mn gjorde tidligere, hvis linien ikke er prllel med -ksen, så 0. + + =0 = α + q Her etegner α liniens hældningskoeffiient og q er stkket linien fskærer f -ksen. d =distp,l = PQ, er det stkke vi ønsker t estemme. Som det fremgår f figuren er den lille treknt ensvinklet med treknt PQR. Begge treknter er retvinklede og de hr egge en lodret linie, der skærer l under smme vinkel. Den lille treknt hr kteterne og α ifølge definition f hældningskoeffiient og dermed hpotenusen kn nu se:. Vi
Anltisk Geometri PR d Det kseprllelle stkke PR =, men d ligger på linien, svrende til er = α q. Vi får således: PR = α q, som indst ovenfor giver den ønskede formel:, q l P dist d Denne formel, kn nvendes, som den er, men den liver mere enkel, hvis vi indsætter α som og α + q som., q l P dist d Efter omtning f leddenes rækkefølge får mn: Formlen for fstnden mellem punktet P, og linien med ligningen + + = 0, l P dist d Eksempel Bestem fstnden fr -5,7 til linien med ligningen 4 + 5 = 0. Det er lot, t indsætte punktets koordinter i liniens ligning. 5 4 5 7 4 5, l P dist Eksempel Vi vil estemme relet f en treknt givet ved vinkelspidserne A,, B, og C,. Arelet udregnes som T = ½hg en hlv højde gnge grundlinie. Vi vælger højden fr C. Grundlinien er d AB, som eregnes med fstndsformlen: AB. Højden h estemmes som fstnden fr C til linien gennem A og B. Denne linie hr ligningen: 0 h Herefter kn vi opskrive en formel for trekntens rel AB h T
Anltisk Geometri 4 T Formlen er mere overskuelig, hvis den opskrives som en determinnt. T Vi skl senere vise denne formel på en mere enkel måde ved vektorregning. Eksempel Bestem relet f treknten med vinkelspidserne: A-,-4, B4, og C-,. Mn kn selvfølgelig gennemfør de smme regninger som ovenfor, men det er lettere t indsætte i formlen: T 4 7 7 6 6 4 4 6 7. Cirklens ligning Hvis mn opskriver en ligning, der indeholder og, så svrer det til en punktmængde i en pln, der er forsnet med et koordintsstem. Vi nfører de to sidste uden evis {, - 5=0} er en ret linie med hældning som fskærer stkket - 5 på -ksen. {, + = 9} er en irkel med entrum i 0, 0 og rdius {, 0 } er en prelgren. Udtrkkene - 5=0, + = 9 og 0 kldes for ligningerne for de pågældende punktmængder. Foreløig hr vi kun udledt et udtrk for liniens ligning, og vi fortsætter med t udlede et udtrk for irklens ligning. Ld irklen hve entrum C, og rdius r. Vi kn nu indse, t P ligger på irklen, hvis og kun hvis CP= r CP eregnes med fstndsformlen. CP r Det sidste udtrk etegnes som ligningen for irklen med entrum i, og rdius r.
Anltisk Geometri 5 Eksempler. Bestem ligningen for irklen med entrum i -, og rdius 4. Løsning: + + - = 6. Det sker, t der er forelgt et ndengrdsudtrk i og, som fremstiller en irkel, og mn så skl estemme entrum og rdius for irklen. F.eks. - + +6 + = 0 Vi omskriver d leddene med og til kvdrtet på en toleddet størrelse. D kvdrtet på. led som regel ikke findes i udtrkket, må vi trække det fr gefter. Regningerne udføres edst uden fejl som vist nedenfor: - 6 0-9 0-9 Cirklen hr derfor entrum i,- og rdius.. Undersøg om linien l med ligningen = + skærer irklen med entrum C=, og rdius 4. Find i givet fld skæringspunkterne. Betingelsen for t linien skærer irklen er, t fstnden fr linien til entrum er mindre end rdius. Linien kn skrives: + = 0 d dist C, l 4 Linien skærer irklen. Cirklen hr ligningen - + - = 6. For t finde skæringspunkterne indsætter vi = + i irklens ligning, hvorefter vi får en ndengrdsligning i. - + +- = 6 - + - = 6 6 = 0 d = 6-4 = 4 6 4 4 4,, 4 4 4 6, 0,76 Linien skærer ltså irklen i punkterne 4,; 6, og -,; 0,76. 4. Bestem ligningerne for de tngenter til irklen + + - = 9, som er prllelle med linien + 5 = 0. Alle linierne + = 0 hr smme hældningskoeffiient. Det gælder så lot om t estemme, således t fstnden til irklens entrum er lig med rdius. d dist P, l De to ligninger er derfor
Anltisk Geometri 6 0 0 5. Ligningen for tngenten til en irkel gennem et givet punkt Ld irklen hve entrum C, og rdius r, og ld P 0 = 0, 0 være et punkt på irklen.. Linien fr C to P 0 hr hældningen: 0, og derfor vil tngenten i P 0 hve hældningen 0 fordi produktet f hældningskoeffiienterne for ortogonle linier er - Ligningen for tngenten gennem 0, 0 liver derfor. 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0