Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Ubestemt integrtion 2 2.1 At finde en stmfunktion............... 2 2.2 At finde stmfunktioner i prksis.......... 5 2.3 Det ubestemte integrltegn............. 6 3 Bestemt integrtion 8 3.1 Udregning f bestemte integrler i prksis..... 11 3.2 Teoretisk forståelse.................. 11 4 Anlysens fundmentlsætning 14 4.1 Bestemte integrler ved hjælp f stmfunktioner.. 14
Resumé I dette dokument løber vi igennem de vigtigste begreber og resultter i forbindelse med integrtion f funktioner. Det kn bruges som en førstehjælpsksse hvis du lynhurtigt skl dnne dig et overblik over hvd integrtion går ud på. Alle uddybende forklringer og beviser er som sædvnlig gemt til ndre dokumenter. 1 Introduktion At integrere betyder noget i retning f t smle eller t gøre til en helhed ltså det modstte f t differentiere som betyder t skille d. På en måde er det mtemtiske begreb integrtion også det modstte f differentition. Ligesom differentition er integrtion noget som mn kn gøre med en funktion. Tg derfor llerede nu ft i din yndlingsfunktion og gør dig klr til t integrere den. Af historiske årsger 1 findes der hele to processer som hr fået nvnet integrtion, nemlig ubestemt og bestemt integrtion. Vi vil nedenfor gennemgå begge disse begreber, og til sidst se hvd de hr med hinnden t gøre. Forudsætninger Det er nødvendigt t du hr godt styr på funktionsbegrebet 2 og på hvordn mn differentierer funktioner 3 inden du læser dette dokument. Bemærk: Det er ikke tilstrækkeligt t kunne få sin lommeregner (eller en nden mskine) til t differentiere. Hvis ikke mn hr prøvet t bruge differentitionsreglerne til t differentiere i hånden, 1 Du kn læse en lille historie om disse årsger her 2 Læs om pointen med funktioner her 3 Læs om pointen med differentition her side 1
så hr mn ikke en chnce for t forstå hvd der foregår når mn finder stmfunktioner. 2 Ubestemt integrtion Ubestemt integrtion hndler om t differentiere bglæns. Vi strter derfor med t studere begrebet en stmfunktion : 2.1 At finde en stmfunktion Definition 1. En funktion F siges t være en stmfunktion til en nden funktion, f, hvis F er differentibel og: F = f Med ndre ord: En stmfunktion til f er en funktion som differentieret giver f. At finde en stmfunktion til en given funktion går ltså ud på t lve differentition bglæns. Altså t gætte en funktion som giver det rigtige når den differentieres. Eksempel 2. Hvis mn læser oversigten over differentition f de bsle funktionstyper bglæns, så kn mn bruge den som en oversigt over stmfunktioner. F.eks. kn mn sige t: og t: Sinus en stmfunktion til cosinus Den nturlige logritme er en stmfunktion til reciprokfunktionen. side 2
I næste fsnit hr vi smlet de vigtigste f den slgs bglæns informtioner. Øvelse 3. Betrgt funktionerne f og g givet ved: og f(x) = x 2 g(x) = 2x Hvilken f disse funktioner er en stmfunktion til den nden? Fcts om stmfunktioner Følgende fcts er gode t lære udend: At finde en stmfunktion svrer til t differentiere bglæns. Mn bør tænke på det som en gætteleg, hvor mn i første omgng gætter (mere eller mindre velovervejet) på en funktion og bgefter undersøger om denne funktion giver det rigtige når mn differentierer den. Hvis en funktion er nvngivet med et bogstv, f.eks. f, så plejer mn t nvngive en eventuel stmfunktion med det smme bogstv i stor udgve, ltså f.eks. F. Ovenstående trdition er dog ikke en regel! Mn kn klde sin stmfunktion lige hvd mn hr lyst til (dette kn f.eks. blive nødvendigt hvis mn llerede hr fundet en stmfunktion F til f, og bgefter finder en stmfunktion til F. Derfor er det ltså ikke underforstået t en funktion ved nvn F ltid er stmfunktion til en funktion ved nvn f. En sådn reltion mellem de to funktioner er mn nødt til t sige eller skrive med ord. En given funktion kn godt hve mere end én stmfunktion! Derfor skl mn psse meget på med t tle om f s stmfunktion side 3
eller stmfunktionen til f. I stedet bruger mn vendingen en stmfunktion til f meget ofte. Hvis F er en stmfunktion til f, så kn mn lve en nden stmfunktion ved t lægge en konstnt til F. F.eks. er funktionen g givet ved: g(x) = sin(x) + 14 en fin stmfunktion til cosinus. Fktisk kn lle ndre stmfunktioner til en funktion, f lves på ovennævnte måde, fordi to forskellige stmfunktioner til en given funktion ltid vil fvige med en konstnt. Der findes ikke nogen computerprogrmmer eller lommeregnere som er gode til t finde stmfunktioner. Det skyldes t nogle funktioner hr stmfunktioner som slet ikke kn opskrives med vores lmindelige regnesymboler. Det kn være meget svært t finde en stmfunktion til en given funktion. F.eks. vil de fleste gymnsieelever bruge meget lng tid 4 på t gætte en stmfunktion til funktionen f, givet ved: f(x) = x cos(x) Ikke desto mindre hr næsten lle funktioner underligt nok en stmfunktion. Det viser følgende vigtige sætning: Sætning 4 (Anlysens Fundmentlsætning, del 1). Hvis f er en funktion som er defineret på et åbent intervl: ]; b[ og som er kontinuert, så hr f en stmfunktion. 4 Hvis du prøver, så læg mærke til hvorfor det er svært! Prøv t få en fornemmelse f hvor sindssygt mnge funktioner mn hr t gætte på. side 4
2.2 At finde stmfunktioner i prksis I modsætning til t differentiere er det ofte meget svært t finde en stmfunktion til en given funktion. Det skyldes t regnereglerne for differentition ikke bre kn vendes om, og derfor vil du ofte sidde med en fornemmelse f t der mngler regler for hvordn mn finder stmfunktioner. Nogle f de få regneregler som findes er smlet herunder. Det er en god ide t lære dem udend. Bsle funktionstyper Funktionen, f, givet ved: hr en stmfunktion, F, givet ved: f(x) = k (k R) F (x) = k x f(x) = x ( R \ { 1}) F (x) = 1 +1 x+1 f(x) = cos(x) F (x) = sin(x) f(x) = sin(x) F (x) = cos(x) f(x) = e x F (x) = e x f(x) = x 1 (x > 0) F (x) = ln(x) Regneregler Funktionstype Stmfunktion Forudsætning f + g F + G F er en stmfunktion til f og G er en stmfunktion til g f g F G F er en stmfunktion til f og G er en stmfunktion til g k f k F k er en konstnt og F er en stmfunktion til f side 5
2.3 Det ubestemte integrltegn Det ubestemte integrltegn er simpelt hen en måde t skrive en stmfunktion til på. Hvis f er en funktion, så betyder udtrykket: f(x)dx en stmfunktion til f. På den måde kn mn f.eks. ngive t: cos(x)dx = sin(x) Reglerne for hvordn mn nvender det ubestemte integrltegn er ret indviklede: Mn skriver funktionens værdi i et (ikke nærmere bestemt) tl, x, inde i integrltegnet, efterfulgt f symbolet dx som mrkerer t x er den vribel mn integrerer med hensyn til. Mn ngiver resulttet f integrtionen (som egentlig er en funktion) ved t ngive denne funktions værdi i det smme x. Integrltegnet betyder en stmfunktion. Således kunne det være lige så korrekt t ngive t: cos(x)dx = sin(x) + 117 Mnge vælger t ngive smtlige mulige stmfunktioner på én gng ved t skrive f.eks. cos(x)dx = sin(x) + k, (k R) men det er ikke en generel regel t mn skl gøre sådn. Det ubestemte integrltegn er temmeligt besværligt t hve med t gøre, fordi det er så nemt t komme til t bruge det forkert. Fktisk kn mn vælge ldrig t bruge tegnet, fordi det er mindst lige så præcist og omtrent lige så hurtigt t skrive: side 6
*** er en stmfunktion til som t skrive:... dx = (Læg mærke til ombytningen f hvilken rækkefølge oplysningerne kommer i!) Mn er bre nødt til t vide hvd det ubestemte integrltegn betyder, i fld mn møder ndre mennesker som bruger det. Hvis du lligevel vælger t bruge det, så er her en liste over fcts som mn bør huske. Fcts om det ubestemte integrl Det ubestemte integrl består t to dele: og d, og de optræder ltid smmen. Den første hlvdel læses som integrlet f og den nden hlvdel læses som med hensyn til. Den sidste hlvdel kn også være dy, d eller ligefrem dd hvis mn er i et fjollet humør. I så fld skl mn bre ngive både den funktion som integreres og resulttet ved t ngive deres værdi i den vlgte integrtionsvribel. Det ubestemte integrl er noget som mn tger på en funktion, og det giver en funktion. (Nemlig en stmfunktion til den første funktion.) Mn bør tænke på ubestemt integrtion som den omvendte proces f differentition. Tegningen på figur 1 kn være en hjælp til t huske hvordn ordene skl bruges. Nogle moderne lommeregnere prler med t kunne beregne ubestemte integrler. Men som nævnt i fsnittet om stmfunktioner kn mn ikke lære en mskine t finde stmfunktioner, fordi nogle stmfunktioner simpelt hen ikke kn opskrives ved hjælp f lmindelige regneopertioner. Det betyder t mn ofte vil opleve t lommeregneren bre omskriver lidt på det ubestemte integrl uden t ngive et resultt. side 7
Figur 1: Differentition og (ubestemt) integrtion 3 Bestemt integrtion Bestemt integrtion er den rigtige form for integrtion. Det er den proces som psser bedst til nvnet, idet mn her får en fornemmelse f t noget bliver smlet eller gjort til en helhed. Til gengæld er det lidt svært t se hvd den hr med differentition t gøre. Lige som ubestemt integrtion, strter mn med en funktion, men i modsætning til ubestemt integrtion producerer mn et tl. Den præcise definition er meget kompliceret, så derfor vil vi her nøjes med en snydedefinition 5. Definition 5 (Snydedefinition). Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket intervl [; b], så defineres det bestemte integrl f f fr til b: b f(x)dx til t betyde relet, målt med fortegn f det område som ligger mellem grfen for f og x-ksen, i intervllet [; b] på x-ksen. (Se figur 2) At relet måles med fortegn betyder t reler som ligger under x-ksen tæller som negtive reler. 5 Problemet med denne definition er t ordet rel fktisk ikke er så veldefineret som mn kn gå og tro. Når funktionen bliver tilps kompliceret giver den intuitive opfttelse f relet ikke længere mening. Men så længe den omtlte funktion er tilps pæn så er definitionen god nok. side 8
y=f(x) b Figur 2: Det bestemte integrl f en funktion, f, fr et punkt, til et punkt b. Eksempel 6. Betrgt funktionen f, givet ved: Om denne funktion gælder t: Kn du se hvorfor? f(x) = sin(x) π π f(x)dx = 0 Som sgt giver denne definition ikke mening for meget komplicerede funktioner. De funktioner hvor mn fktisk kn give en præcis mening til ovennævnte definition, og hvor relet kn ngives med et reelt tl, kldes integrble. Heldigvis er lngt de fleste funktioner integrble: Sætning 7 (Anlysens Fundmentlsætning, del 2). Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket intervl, [; b] og som er kontinuert, så er f integrbel på [; b]. side 9
Fcts om bestemt integrtion Ved bestemt integrtion strter mn med en funktion f (den kldes integrnten) og to tl, og b (de kldes nedre grænse og øvre grænse for integrtionen), og mn producerer et tl. Mn siger t f integreres fr den nedre grænse til den øvre grænse. Det tl som kommer ud f integrtionen omtles som integrlet f f fr til b. Det er nemt t vurdere cirk hvd det bestemte integrl f en funktion giver ved t kigge på grfen. De fleste grfprogrmmer og lommeregnere kn udregne bestemte integrler. I modsætning til ubestemte integrler er de endd meget gode til det, og de kn ngive det bestemte integrl (som jo er et tl) med meget stor nøjgtighed. Mn bør dog ltid huske t det er en pproksimeret værdi som kommer ud. Når mn får en mskine til t udregne et bestemt integrl, siger mn t integrlet uderegnes nummerisk, eller t mn foretger nummerisk integrtion. Det er slet ikke klrt hvordn mn beregner det bestemte integrl f en funktion ekskt. Det kommer vi tilbge til i næste fsnit. Øvelse 8. Find den nøjgtige værdi f følgende integrl: 1 1 1 x 2 dx (Det hjælper meget hvis du tegner grfen for den funktion som skl integreres.) side 10
3.1 Udregning f bestemte integrler i prksis I modsætning til ubestemte integrler, så er bestemte integrler guf for en lommeregner eller ndre mskiner, fordi resulttet er et tl. Bestemte integrler f typen: b f(x)dx kn udregnes på de fleste elektriske pprter (undtgen måske tostere og kffemskiner), hvis bre mn kender den syntks som mskinen kræver t mn indtster integrlet i. Mn skl på en eller nden måde indtste funktionen der skl integreres smt de to grænser, og b. I et grfprogrm vil mn som regel strte med t tegne grfen for den funktion der skl integreres. Derefter kn mn som regel vælge integrere ( integrte på engelsk) eller beregn rel, hvorefter den nedre og øvre grænse skl indtstes på en eller nden måde. Du gør klogt i t lære hvordn det gøres i lige præcis dit grfprogrm eller på din lommeregner. For selvom der findes en metode til t regne bestemte integrler ud i hånden (se fsnit 4.1), så er det kun meget få integrler der kn udregnes i ved denne metode i prksis. 3.2 Teoretisk forståelse Mn kn sgtens beregne bestemte integrler uden t forstå noget som helst om dem (se næste fsnit). Men hvis mn hr en lille smule teoretisk viden om hvordn den rigtige version f definition 5 ser ud, så er der utroligt mnge nvendelser f bestemte integrler som pludselig bliver totlt logiske. Desværre er den rigtige version f definition 5 meget kompliceret. Derfor vælger vi en mellemting her, som på den ene side ikke er præcis nok til t give mening, men på den nden side er tæt nok på den rigtige definition til t forståelsen kommer med. side 11
Bemærkning. Hvis f er en funktion, og [; b] er et lukket intervl i dens definitionsmængde, så skl mn forstå det bestemte integrl b f(x)dx som en beregning der foregår cirk på følgende måde: 1. Inddel intervllet [; b] i (fsindigt mnge) små dele som lle hr den smme (meget lille) bredde. Kld denne bredde for x, og kld ntllet f delintervller for n. 2. Vælg et tl i hvert f delintervllerne. Kld disse tl for x 1, x 2, x 3, x n 3. Udregn for hvert f delintervllerne produktet: f(x i ) x (vi bruger x i til t betegne det element som er vlg i det delintervl nummer i.) 4. Læg lle disse tl smmen. Med ndre ord: Udregn summen: n f(x i ) x i 1 Bemærk t de produkter som udregnes under punkt 3 er cirk det smme som relet (målt med fortegn) under grfen for f i det pågældende intervl, fordi det er relet f en ksse med bredde x og højde f(x i ) (hvor højden er negtiv hvis grfen for f ligger under x-ksen.) Mn bør hve billedet på figur 3 i hovedet. Hvis mn tænker på integrlet som en sum f ovenstående type, så er der rigtigt mnge nvendelser f integrler som er meget intuitive. Her er et pr eksempler: Længden f bnekurven for en vektorfunktion, f, defineret på et side 12
(n=8) y=f(x) b Figur 3: Det bestemte integrl f en funktion, f, fr et punkt, til et punkt b, forstået som en sum. lukket intervl [; b]: b f (t) dt Rumfnget f det omdrejningslegeme som fremkommer hvis grfen for en funktion f, defineret på intervllet [; b] drejes rundt om x- ksen: b π f(x) 2 dx Rumfnget f det omdrejningslegeme som fremkommer hvis grfen for en positiv funktion f, defineret på intevllet [; b] (hvor > 0): b 2π x f(x)dx side 13
4 Anlysens fundmentlsætning Anlysens fundmentlsætning giver en smmenhæng mellem ubestemt og bestemt integrtion. Denne smmenhæng giver umiddelbrt en konkret måde t udregne bestemte integrler på. Sætning 9 (Anlysens Fundmentlsætning, del 3). Hvis f er en funktion som er defineret og kontinuert på et åbent intervl, ]A; B[, og F er en stmfunktion til f på dette intervl, så gælder der for lle tl, og b i intervllet t: b f(x)dx = F (b) F () 4.1 Bestemte integrler ved hjælp f stmfunktioner Mn kn ltså udregne et bestemt integrl t typen b f(x)dx ved først t finde en stmfunktion F til f, derefter tge denne stmfunktion i øvre grænse og i nedre grænse, og til sidst trække disse to funktionsværdier fr hinnden. For t gøre det nemmere t skrive hvd der foregår, hr mn indført en skrivemåde der betyder funktionen f tget i b minus funktionen f tget i. Det ser sådn her ud: [f(x)] b = f(b) f() Bemærkninger Bemærk t mn ligesom med integrltegnet ngiver funktionen f ved t skrive dens værdi i et (ikke nærmere bestemt) tl, x. side 14
Bemærk også i hvilken rækkefølge de to funktionsværdier trækkes fr hinnden. Mn tger funktionsværdien i det tl som står øverst minus funktionsværdien i det tl som står nederst. Med denne nottion kn mn skrive konklusionen i nlysens fundmentlsætning som: b [ f(x)dx = ] b f(x)dx Mn bruger dog mest nottionen til t lve mellemregninger i udregning f bestemte integrler, som det næste eksempel viser: Eksempel 10. Ld os integrere funktionen f, givet ved: f(x) = x 2 fr 0 til 2. Et hurtigt kig på grfen (se figur 4) viser t dette integrl er mindre end 4 (fordi det skrverede rel er mindre end hlvdelen f en ksse med rel 8) og større end 2. Det er nemt t finde en stmfunktion til f. Vi kn bruge funktionen F givet ved: Dermed giver integrlet: 2 0 F (x) = 1 3 x3 f(x)dx = F (2) F (0) = 1 3 23 1 3 03 = 8 3 2,67 Med nottionen ovenfr ville mn kunne skrive denne udregning som: 2 [ ] 1 2 x 2 dx = 0 3 x3 = 8 0 3 side 15
4 3 2 1-3 -2-1 1 2 3 Figur 4: Det bestemte integrl fr eksempel 10. side 16