Kapitel 5 Øvelse 56 a = b = 3 b a = 1,7 b = 0,8 c a = 3 b =1 d a = b = 8 Øvelse 57 Sammenhængen passer med forskriften for en potensfunktion når a =1 b k = b Sammenhængen passer med forskriften for en potensfunktion når a = 1 b= k c Sammenhængen passer med forskriften for en potensfunktion når a = 0,5 b = 1 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk
Øvelse 58 Sammenhængen passer med forskriften for en potensfunktion når a = b v i km/t 0 40 60 80 100 10 v i m/s 5,556 11,111 16,667, 7,778 33,333 E kin i J 13888,89 55555,56 15000, 347, 500000 1 b= m c d Bevægelsesenergien er fire gange så stor ved 10 km/t som ved 60 km/t, fordi hastigheden er dobbelt så stor e For en bil, der kører 80 km/t, er bevægelsesenergien J når bilen vejer 900 kg 13457 J når bilen vejer 500 kg Bevægelsesenergien er derfor 1,8 gange større for den tunge bil 1,8 er netop forholdet mellem vægten af de to biler Bevægelsesenergien skalerer med det samme forhold, da bevægelsesenergien er proportional med massen af bilen 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk
Øvelse 59 Sammenhængen passer med forskriften for en potensfunktion når b T = 0, 4 = 1,3 9,8 sekunder 1 a = b = g c T,3 L= g = 9,8 = 1,3 meter d I videoen laver pendulet 5 svingninger på c 83 sekunder, hvilket giver en svingningstid på 16,6 T 16,6 sekunder Nu er længden af pendulet L= g = 9,8 = 68, 4 meter (Ifølge Wikipedia er pendulet 67 meter langt, hvilket svarer til en svingningstid på 16,4 sekunder eller 5 svingninger på 8 sekunder) Øvelse 510 Formlen følger af definitionen på ligefrem omvendt proportionalitet Det kan fortolkes som en potensfunktion på flere måder, afhængig af hvilken størrelse man betragter som den uafhængige variabel Hvis vi betragter r som den uafhængige variabel, er det en potenssammenhæng med a = b = G m1 m b Lad os sætte massen af en person til m 1 = 80 kg (du kan selv bruge din egen) Jordens masse er 4 m = 5,97 10 kg Jordens gennemsnitlige radius er 4 11 80 5,97 10 F = 6,6748 10 N = 785,6N 6 (6,371 10 ) 6 r = 6,371 10 meter Dette giver c Lad os sætte massen af en person til m 1 = 80 kg (du kan selv bruge din egen) Månens masse er m = 7,349 10 kg Månens gennemsnitlige radius er 11 80 7,349 10 F = 6,6748 10 N = 130,1N 6 (1,737 10 ) Tyngdekraften er altså c 1/6 på Månen i forhold til Jorden 6 r = 1,737 10 meter Dette giver d F = 9 3,0 10 N 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk
e f F 7 = 3,0 10 N m 1 r Afstand i meter 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 Tiltrækning i 10-11 N 300,34 75,09 33,37 18,77 1,01 8,34 6,13 4,69 3,71 3,00 g 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk
Øvelse 514 b Graferne for f 1 f går opad (stiger), hvilket betyder, at funktionerne er voksende Grafen for f 3 går nedad (falder), hvilket betyder, at funktionen er aftagende Graferne for forskellig vis Grafen for f 1 bliver stejlere stejlere som x vokser (grafen krummer opad, f 1 f stiger på funktionen vokser hurtigere hurtigere, væksten er voksende), mens grafen for flader ud som x vokser (grafen krummer nedad, funktionen vokser langsommere langsommere, væksten er aftagende) f 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk
Øvelse 516 Funktioner grafer passer således sammen: a b 1 c 4 d 3 e 5 En mulig begrundelse af følgende: Funktionen i a) er den eneste, som har en a -værdi mellem 0 1, så det er den eneste funktion, der kan passe til graf Funktionerne i b) d) er begge aftagende, så de passer med graferne 1 3 Da b -tallet viser -værdien når x = 1, kan vi konkludere, at funktion b) hører til graf y 1 funktion d) hører til graf 3 Ligeledes kan vi parre de to sidste funktioner grafer ved at se på b - værdien 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk
Øvelse 518 b Regressionen afbildet nedenfor ser ud til at passe fremragende med datapunkterne 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk
Vi tegner så et residualplot Det er svært at sige net endegyldigt om mønstre i residualplottet ud fra kun 6 datapunkter Residualerne er d under 1,5 km/t, dette er en relativt lille afvigelse sammenlignet med tabelværdierne for den afhængige variabel Modellen må derfor siges at passe ganske godt c a = 0,4995 b = 11,30 d 14 km/t 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk
Øvelse 519 b Regressionen afbildet nedenfor ser ud til at passe rigtig godt med datapunkterne 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk
Vi tegner så et residualplot Punkterne i residualplottet ser ud til at være rimelig tilfældigt fordelt, men det er svært at sige net endegyldigt ud fra kun fem datapunkter Den numerisk største residual er på c 100 kw, hvilket er en relativ afvigelse på c % c a =,1918 b = 0,141 d Vingediameteren skal være 57,1 meter e Hvis vingediameteren er 1,5 gange så stor, så bliver effekten,1918 1,5 =,43 gange så stor (Her har vi brugt resultatet af sætning 4 s 183 Alternativt kan man tage udgangspunkt i to vingediametre på feks 10m 15m beregne forholdet mellem effekten for de to diametre) Øvelse 53 Højden er skaleret op med en faktor 0 Vægten (der skalerer som rumfanget) er dermed skaleret op med 3 en faktor 0 = 8000 Knlernes bæreevne er skaleret op med en faktor 0 = 400, som så er lig /3 8000 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk
Øvelse 54 Vægtfylden på 0,6 g/cm 3 kan så udtrykkes som 0,6 ton/m 3, hvilket er en mere relevant enhed i denne opgave 1 Rumfanget af en kegle kan beregnes med formlen V = A h hvor A er grundfladens areal h 3 er højden Grundfladen i modellen er cirkulær arealet kan derfor beregnes med, hvor r er radius Vi bruger en radius på 4 meter (selvom der strengt taget står i opgaven, at det er radius i meters højde, så egentlig skal radius skaleres op med faktoren 110/108, men det giver en meget lille forskel, det er i forvejen en ret grov model af et træ) Vi får så et grundfladeareal på 50 m dermed et rumfang på 1843 m 3 Vægten findes nu ved at gange med densiteten på 0,6 ton/m 3, som giver 1106 ton b Vi dividerer træets vægt med vægten af en bil får c 737 biler A= r c Den teoretisk maksimale højde for træet opnås når vægten af træet er lig grundfladens bæreevne Når træets grundflade har tværsnitsareal A, er den maksimale vægt, træet kan bære, på A 300ton / m Vi sætter dette lig udtrykket for træets vægt får 1 3 A 300ton / m = A h 0,6ton / m Her kan A forkortes på begge sider Desuden kan vi 3 gange igennem med 3 dividere med 0,6 ton/m 3 Dette giver højden som er den teoretisk maksimale højde for træet 3 300 h = m = 1500m, 0,6 Øvelse 55 Tagrørenes grundflade beskrives som cirkulær med en diameter på cm, mens Eiffeltårnets grundflade beskrives som kvadratisk med en sidelængde på 15 m Vi skal således sammenligne en cirkulær en kvadratisk base Sammenligner vi slet ret de to længder, får vi, at Eiffeltårnets baselængde er 650 gange så stor som tagrørets Skalerer vi højden af tagrøret på 3 meter op med samme faktor, får vi en højde på 18,75 km, lidt højere end naturvejlederen påstod Men umiddelbart er naturvejlederens påstand i fin overensstemmelse med vores beregninger Vi kunne så have valgt at sammenligne diagonalen i Eiffeltårnets grundflade med tagrørets diameter, eller vi kunne have sammenlignet de to grundfladers areal Begge sammenligninger ville have resulteret i en endnu større skalafaktor dermed tilsvarende større bud på højden for et tagrør opskaleret til samme skala som Eiffeltårnet (nemlig 6,5 km 1, km) Øvelse 57 Ifølge sætning 4 gælder 5= a Denne ligning har løsningen a = l(5) / l() =,3 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk
Øvelse 58 r y = + = + = Så den store diamant vejer 74,7% mere end den lille diamant a 3,06 (1 rx) 1 (1 0,) 1 0,747 Øvelse 59 Isoleres a i sætning 5 får man l(1 + rn ) l(1 0,04) a = = = 0, 483 l(1 + r ) l(1 + 0,1) p b r N 8,% = + = + = Så passagertallet vil ifølge modellen falde med a 0,483 (1 rp) 1 (1 0,) 0,08164 Øvelse 530 b c y=,56 x 0,9851 y= 69,494 y= 4,473 x 1,784 x 0,499 Øvelse 531 b y= 5,8034 x x = 776,64 1,39 Øvelse 53 y= 44999,6 0,01 x b y aftager med 1,90% c y aftager med 13,0% 018 L&R Uddannelse A/S Vnmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lrudk