Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke Note tl ko : Td, ukkehed og aktve. Vaan ka. 0 Inteteoale valg Den alene obugeteo, kan net udvde tl ogå at nvolvee obug ove td. Valg a obug ove td kalde o nteteoale valg. V betagte en obuge, de den eogene ndkot eode, og den eogene ndkot eode. Han obug a det aggegeede obuggode de to eode benævne v og. Budgetbetngelen. V antage, at udlånenten e lg ed ndlånenten, og v benævne den. Budgetbetngelen e o ædvanlg. Ved at ætte hhv. og o nueae en onå de to nye budgetbetngele:. ( ) c c ( ). c c Lgnng udtykke budgetbetngelen etdvæd (alt åle c, da denne e valgt o nueae). Lgnng udtykke budgetbetngelen nutdvæd (alt åle c, da denne e valgt o nueae). Budgetlnen e en et lne ed hældnngen ( ) og den kæe. aken etdvæden ( ), da ( ) c c ( ) <> c ( ) ( ) Budgetlnen kæe. aken nutdvæden. Hv de va okellge udlån- og ndlånente, å vlle budgetlnen have et knæk okng endowentunktet (, ). Fobugeen æeence. o Monotone æeence ha den otolknng det nteteoale tlælde, at an ane åvel obug dag o obug ogen o et gode, kke et onde, og ølgelg gene vl have ee a det. o Konveke æeence ha den otolknng det nteteoale tlælde, at an gene vl glatte t obug ud ove td. Se ved at ætte c lg ed nul budgetbetngele. - -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke o Hældnngen å ndeenkuven ve obugeen ubjektve vudeng a obug dag ohold tl obug ogen. Tålodg obuge Flad ndeenkuve MRS llle Utålodg obuge Stejl ndeenkuve MRS to o Fobugeen valg e o ædvanlg dé, hvo MRS e lg det elatve ohold. MRS Tålodge obugee låne enge ud tl de utålodge obugee. Koaatv tatk. V e nu å vknngene a en entetgnng. Det ha den uddelbae konekven a obug ogen blve elatvt bllgee ohold tl obug dag, hv v antage at begge vae e noale gode. Det e klat, at o Oaee kan godt lde entetgnnge. o Nedaee kan kke lde entetgnnge. V e å odelngen a ændngen obuget ved entetgnngen va Slutky lgnngen: V e å den tålodge obuge (oaeen): Subttutoneekten Indkoteekten.. Total eekt...??? V kan altå ge, at ete entetgnngen vl udlåneen otat væe udlåne, en v kan kke udtale o o, hvovdt oangen o oaeen vl tge elle alde ved en entetgnng. Hv v vl e å nedaeen eakton ved en entetgnng, å gælde det at ubttutoneekten entydgt tække etnng a højee og lavee : Subttutoneekten Indkoteekten.. Total eekt...??? Indkoteekten tække od nde obug a begge vae, da nedaeen neto e nedae. V kan deed kun udtale o o, at nedaeen ved en entetgnng vl ænke t obug dag, en v kan kke udtale o o, hvovdt han otat vl væe nedae, elle o han vl kte tl at væe oae. - -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke Lvtdbudgetbegænnngen. T T t t t t t t ( )( )!( ) ( )( )!( ) Fotolknngen e, at uen a det tlbagedkonteede obug alle eode en lv (a t tl T) kal væe lg ed uen a den tlbagedkonteede løn alle eode. Pæeence ove td. A henyn tl lcteten beegnnge antage ote en addtv nytteunkton ove td. En nteteoal nytteunkton antage ote tandadoen: T t (,,, ) u δ 0 < δ U! T t t hvo δ t kalde dkontengaktoen. Alt åle nutdvæd. - 3 -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke Vaan ka. Aktve Katel e et nde eentelt katel, ohandlende aktve uden ukkehed. De e dog ed ølgende onte katlet: Aktve e en åde hvoå den enkelte obuge kan oveøe obug / ndkot elle tdunkte. Patættele a aktve uden ukkehed ke ete No abtage ncet at det alede akat (ete kat) kal væe det ae o alle aktve. Elle vlle de væe en ko abtageulghed at kte tl et andet aktv. No abtage ncet ha den lkaton, at ene å ndtlle g heå. Det betyde ak, at alle aktve uden ko ælge tl dee nutdvæd. - 4 -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke Vaan ka. - Ukkehed Katel ohandle ukkehed. V antage he ølgende: Den ukkehed obugeen tå ove o kan eultee et endelgt antal udald a en hændele; de udald kalde v tltande. Hve tltand ha en å ohånd kendt andynlghed o at ndtæe. Det at de e ukkehed ulggø handel ed ukkeheden: Fokng: Man kan ndke n ntale ko ved at købe en okngkontakt. Inveteng: Man kan gå nd øget ko genne nveteng ( håb o gevnt) V vl bekætge o ed obug / ndkot okellge tltande. En obuge obuglan ahænge a den tltand an havne. V tate ed at e å et ætlælde ed kun to tltande. Man kan tænke tuatonen o en obugeen de oke g od en betet hændele de vl kote ha en gven u L, og o ndtæe ed andynlgheden. Han ndkot uden ukkehed e w 0 (han løn). V antage at en å okng e ootonal ed den okede u, dv. at en. oket enhed e kontant γ, dv. at obugeen æe, hv oknguen e K ålede e γk. Hv obugeen vælge at oke g ed oknguen K, å e den ekta ndkot han å gvet ved: Hv hændelen kke ndtæe: Hv hændelen ndtæe: γk K γk Deed e obugeen ndkot de enkelte tltande gvet ved: Uden okng w 0 Med okng w 0 γk w 0 L w 0 L ( γ)k - 5 -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke Hv obugeen vælge at oke g uldt ud, dv. at oknguen K L, å e obugeen ndkot det ae uanet udaldet a hændelen dea benævnelen uld okng: Fuld okng w 0 γk w 0 γk V vl nu øve at llutee obletllngen ed okng vha. en budgetlne å ædvanlg v. Ud a. aken aætte v ndkoten o obugeen gvet at hændelen kke ndtæe, og ud a. aken aætte v ndkoten o obugeen gvet at hændelen ndtæe. Ved ngen okng, å vl ndkoten o nævnt væe w 0 L, hv hændelen ndtæe, og w 0 hv hændelen kke ndtæe. Deo å unktet (w 0 L, w 0 ) lgge å budgetlnen. V kal nu nde hældnngen å budgetlnen. Dette gøe ved at tage kvotenten elle den ekta ndkot obugeen å, hv hændelen ndtæe og den ekta ndkot obugeen å, hv hændelen kke ndtæe: ndkot gvet hændele K γk hældnng ndkot gvet ej hændele γk γ γ V kende ålede nu et unkt å budgetlnen, nelg (w 0 L, w 0 ) og hældnngen γ γ, og kan deo nu tegne budgetlnen. På guen e deuden ndlagt 45º-lnen, de eæentee en ukkehed å 0, da ndkot ovealt e den ae uanet o hændelen ndtæe elle ej. Hv obugeen vælge at oke g, å bevæge han g o ad budgetlnen a unktet (w 0 L, w 0 ), o an kan kalde han endowent unkt. Hv han bevæge g helt o tl 45º-lnen, å ha han valgt uld okng. Hv han bevæge g endnu højee o, å vælge han at oveoke, dv. at han ndkot e højee hv hændelen ndtæe end hv den kke ndtæe. - 6 -
ndkot gvet at hændelen ndtæe Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke 45º-lnen w 0 L w 0 L budgetlnen ndkot gvet at hændelen kke ndtæe Nytteunktone ed ukkehed So egel antage v at obugeen ha Von Neuann-Mogenten æeence. Målet o obugeen e at akee n oventede nytte 3. Denne e gvet ved a ( ), {,,, } u! a hvo unktonen u e en Benoull vokende nytteunkton, og hvo angve obuget tltand. Det gælde geneelt, at enhve otv onoton tanoaton a en nytteunkton tadg eæentee de ae æeence. Fo at bevae egenkabene o oventet nytte o en vægtet u a nytten de enkelte tltande, å ge v dletd at den enete tlladte tanoaton a en oventet nytte unkton e en otv an tanoaton 4. Den oventede nytte unkton e lneæ andynlghedene. Det ha ølgende lkatone: Magnalnytten ahænge kun a det ntale obug a det ågældende obug, kke a ntalt obug a obug ande tltande. Det agnale ubttutonohold (MRS) elle obug to tltande ahænge kke a ande obug end obuget neto de to tltande. 3 Vaan ve Mcoeconoc Analy 3d ed. 99. 73-76 at gvet nogle eckke akoe, å ektee en ådan nytteunkton, og den e entydgt betet ndtl en an tanoaton. 4 Ande tanoatone kan godt eæentee de ae æeence, en ha da kke otolknngen okng oventet nytte. - 7 -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke Egenkabe o den oventede nytte unkton Rkoaveon De gælde ølgende o Benoull unktonen u: u (tengt) konkav <> Fobuge (tengt) koave u (tengt) konvek <> Fobuge (tengt) koelke u lneæ <> Fobuge koneutal Hv an tænke å det o et lotte, å gælde det a en tengt koave agent oetække altd den oventede gevnt a lotteet e o at lle o gevnten. Ovendt natulgv o en koelke. denton. Rkoneutale agente e ndeente elle a lle o gevnten og å den oventede gevnt a lotteet. Stengt koave agent 5 E ( X )" X ν ( E( X )) > ν ( X ) Stengt koelkende agent E ( X )# X ν ( E( X ) < ν ( X ) Rkoneutal agent E ( X ) ~ X ν ( E( X ) ν ( X ) 6 Skkehedækvvalenten a X. Skkehedækvvalenten e det an vl betale o at væe ed lotteet, hv v blve denne tenolog, og e gvet ved: u ( E( u( X ) E(u) nytte Fo en tengt koave agent o vt guen tl vente vl kkehedækvvalenten altd væe nde end det oventede akat E(X), da agenten vl betale nde o at væe ed lotteet end det oventede akat a lotteet e, E(X) u - (E(u(X))) neto od han e koave. Ovendt vl en tengt koelkende agent kkehedækvvalent altd væe tøe end det oventede akat. Fo en koneutal agent vl kkehedækvvalenten neto væe lg ed det oventede akat. 5 Fo en (kke-tengt) koave unkton gælde det, at E(X) e vagt oetukket o X, dv. ν(e(x)) ν(x). 6 Hvo nytteunktonen ν eæentee agenten æeence. - 8 -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke Mål o koaveon Aow-Patt koaveon e en koecent o abolut koaveon o en agent ed Benoull nytteunktonen u og beløb : () () u u Jo tøe Aow-Patt koecent, jo tøe koaveon. Dv. at hv Aow-Patt koaveonkoecenten u u voke ed, å ha agenten tgende koaveon. Gude tl ogavelønng Udgangunkt: Pengelotte Hve handleulghed nducee et nyt engelotte Hvet lotte gve betet oventet nytte Make dette udtyk ed henyn tl handlngen Ek valg a okngu: Udgangtuaton: w 0 w 0 L Så: Køb K k. okngu tl en γ. kone. w 0 γk u(w 0 γk) Nyt engelotte: I nytte: w 0 L ( γ) K u(w 0 L ( γ) K) Makengobleet betå ålede : K ( ) u( w γk ) u( w L ( γ ) K )) a 0 0 Føteodenbetngelen: ( ) u ( w γk ) ( γ ) u ( w L ( γ ) K ) ( γ ) 0 0 0 V e nu å et ætlælde, hvo v ha åkaldte aktuak a e, dv. at γ. Dv. ( w γk ) u ( w L ( ) K ) u γ 0 0-9 -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke Hv agenten e tengt koave 7, dv. at u e tengt konkav, dv. () < R u 0, å gælde, at ( γ ) K <> K L w γk w L 0 0 Dv. at en tengt koave agent vl vælge at oke g uldt ud, hv han tlbyde en aktuak a okngoltk. Hv γ >, å vl det otale køb K * < L, og deed e koen o obugeen kke helt væk. Ek valg a nveteng: Antagele: Bankente 0, to udald a aktenveteng høj elle lav, og ndkoten e w 0. (w 0 ) θ H (w 0 ) θ L Den u o agenten vælge at nvetee akte e deed, og den oventede nytte blve: ( w θ ) ( ) u( w θ ) u 0 H 0 Med kendkab tl unktonen u, å kal an blot deentee den oventede nytte ht. handlngen, o altå he e nvetenguen, og ætte lg nul. L Geneelt o lønng a ogave: Geneelt kan an ge o lønng a ogave a den tye o de to ekele oveno llutee, at lønngen vl ahænge a: Agenten holdnng tl ko, dv. u Makedbetngele, dv., θ H, θ L og. 7 Noal antagele at gøe. - 0 -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke - - Vaan ka. 3 Aktve ed ukkehed Katel 3 ohandle hvodan handel ed aktve (akte) ungee o handel ed ko. V betagte en olet odel, den åkaldte Mean-Vaance odel, de gø ølgende antagele: De tng nvetoe nteeee g o e: Foventet akat (jo højee, jo bede) Vaan / tandadavgele å akat (jo nde, jo bede) V e nu å en nveto, de tå ed valget elle at nvetee et aktv ed kot akat, elle en akteulje, hv akat, ahænge a hvlken tltand an bende g. De e deo en v ukkehed o nveto. Han kan vælge at nvetee andelen [0;] akteuljen. Det ealeede akat tltand blve ålede: ( ) Det oventede akat blve: det det undevej e benyttet, at det oventede akat a akteuljen neto e det vægtede gennent a akatene ed vægtene (de neto e andynlghedene o hvet a akatene), dv.. Deuden e det benyttet at. Nu e v å vaanen akatet: σ σ og de ed e tandadavgelen å nvetengen σ σ σ V e nu å en gak llutaton, hvo v aætte tandadavgelen ud a. aken og det oventede akat ud a. aken. Måden det ke å e helt analog tl den alene eteøgelteo, blot kal an huke å, at he e tandadavgelen et onde, en oventet akat e et gode.
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke Foventet akat budgetlnen ( ) Standadavgele å akat σ σ σ Oventående gu ve det tadeo o obugeen tå elle. Fobugeen vl gene have å højt oventet akat o ulgt, og atdg å lav tandadavgele o ulgt. Budgetlnen eæentee de ulge kobnatone a de o nvetoen kan vælge. Han vælge elvølgelg den de akee han nytte, dv. dé hvo den ndeenkuven neto tangee budgetlnen. Da budgetlnen neto akee dette tadeo, å kan an ge, at hældnngen å budgetlnen e en å ko. Hældnngen å budgetlnen å dekte ud a guen o: ρ σ 0 σ, o altå e en å ko. Fobugeen akee o ædvanlg ved at ætte MRS lg det elatve ohold: MRS u σ u µ σ Rkoålng I odellen oveno e antaget at ko åle alene ved det tandadavgele, en det e klat at det e den elatve ko de e nteeant vkelgheden. Hvo to e koen å det ågældende aktv elatv tl, hvo to e koen å akedet geneelt et. - -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke Man denee et koål β o en akte o ølge: Hvo kabel akten e β hvo kabelt akteakedet e Rent ateatk denee v det o: cov( ~, ~ ) β va ~ At de e ~ ove vaablene navne, betyde blot at an nu betagte de o tokatke vaable. Lgevægt å akteakedet V kal nu nde ud a hvad akatet å en akte kal væe lgevægt, dv. hvodan den atætte. V tate ed at nde e tl den koæe o nveto kal have o at nvetee den ågældende akte. Den ahænge a en å ko ρ, akedkoen σ og akten elatve ko β : koæe β σ ρ β σ β σ ( ) Det gælde o alle aktve (akte) at akatet juteet ed koæen o det enkelte aktv å væe det ae. Deo gælde det natulgv ogå o det koe aktv: ( ) β ( ) β det β. denton å væe 0. Deo gælde det o ethvet aktv, at akatet å væe gvet o 8 : β ( ) Dette e hovedeultatet den åkaldte CAPM odel 9. 8 det v ookee oventående lgnng 9 Catal Aet Pcng Model - 3 -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke - 4 - Ogave tl td, ukkehed og aktve 000-II-3 Betagt en oblgaton, de hvet å alle å eove gve ejeen en udbetalng å k. Renteaten aundet e (og ovente at væe dette al etd). Angv da oblgatonen nutdvæd og okla udtykket. NV NV NV NV NV <> <> 3 3!! Nutdvæden a en ække a udbetalnge e uen a den tlbagedkonteede væd a hve a udbetalngene. Nutdvæden angve ålede væden a udbetalngtøen angvet nutdkone. 000-II-4 Mchelle leve to eode en økono hvo de e ét obuggode. Hun eje ntalbeholdnngen, R, hvo ndeket eeee tl eoden, henholdv eode og eode. Hun ha ulgheden o at ae o elle at låne eode, tl enteaten. Koenté ølgende åtand: en entetgnng vl altd dæe obuget ( eode ).,. det c c el c c c c <> τ τ τ V e nu å en tuaton, hvo > τ
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke V okve Slutky lgnngen: c h c ( c ) τ τ h Subttutoneekten τ tække entydgt etnng a nde obug dag ved en entetgnng, da det vae tl at en å obug dag elatvt tl en å obug ogen tge. Det e natulgt at antage at ndkot dag 0 c e et noalt gode, dv. 0, og deed ahænge ndkoteekten vknng a, hvovdt obugeen e låntage elle långve, dv. hvovdt c > 0 elle c < 0 Hv obugeen e låntage, dv. c > 0, å e åtanden and, det da ogå ndkoteekten vl tække etnng a nde obug dag ved en entetgnng. Hv obugeen e långve, dv. c > 0, å kan v kke udtale o o åtanden koekthed elle ej, da det ahænge a tøelen a ubttutoneekten veu tøelen a ndkoteekten, hvo ubttutoneekten o tdlgee kevet tække entydgt etnng a nde obug dag ved en entetgnng, en ndkoteekten da vl tække etnng a ee obug dag, da en långve ved en entetgnng vl væe blevet elatvt gee. Ego e åtanden altå alk, da an åtanden glee ndkoteekten! > 00-II-3 Betagt den kotke klan McInvet, hvo hvet aleedle åde ove en oue og ha von Neuann-Mogenten æeence ove engelottee, gvet ved en Benoull-unkton deneet å engebeløb, u : R R, hvo u e vokende. Hve nveto a klanen kan anbnge n oue ved at lacee kke-negatve beløb to okellge aktve. Fo det øte det ke aktv, de gve nettoakatet > 0 kke alle tltande. Fo det andet en nvetengoenng (kald beløbet nveteet he o ), hv nettoakat tltand e θ, det tltand ndtæe ed andynlgheden > 0, og det gælde at og θ >. Det olye at Ian McInvet e koneutal. 0 OG ndkot ogen, en det e kke centalt he. - 5 -
Note tl td, ukkehed og aktve Mko.å.eete Ek Bennke - 6 - Bev da, at det o Ian otale beløb at lacee nvetengoenngen oylde * W, hvo W e han oue. V tate ed at okve han nytte: W u U θ Denne kal nu akee ed henyn tl handlngen, dv. : W t U E.. a Ian e koneutal. Dv. W u W u W u E U θ θ θ Denne oventede nytte kal nu deentee: u E U θ Det e olyt ogavetekten at > θ, dv. otalt e. Bbetngelen blve deed bndende, dv. * W.