Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul
Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der er lidt større end 2: f ( 2,5) = 3, f ( 2,) =, f ( 2,0) = 0. Det ses at funktionsværdierne bliver store, når nærmer sig 2 fra højre. Man kan vise at det er muligt at få funktionsværdierne så store det skal være ved at vælge tilstrækkelig tæt på 2 til højre for 2. Dette skrives sådan: () ( ) for 2 f. Dette symbol læses sådan: f () går mod uendelig for gående mod 2 fra højre. Grafen for f er vist på figur. Et uendelig langt stykke af den del af grafen der svarer til -værdier større end 2, er næsten sammenfaldende med den lodrette linje l der består af alle punkter med førstekoordinat 2. Sådan må det være når () gælder, så når () gælder siger man at linjen med ligningen = 2 er asymptote til grafen for f. På figur 2 er asymptoten l : = 2 tegnet. Figur Figur 2 Asymptoter udg. b Side af 4 26/0-03 Karsten Juul
Man kan vise at der også gælder for 2. Heraf følger at der også er et uendelig langt stykke af grafen til venstre for l som er næsten sammenfaldende med l. Der er altså to grunde til at l er asymptote til grafen for f. Indledning om vandrette asymptoter Lad stadig f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle store -værdier: f ( 2) = 0, f ( 02) = 00, f ( 002) = 000. Det ses at funktionsværdierne kommer tæt på, når bliver stor. Man kan vise at det er muligt at få funktionsværdierne så tæt det skal være på ved at vælge tilstrækkelig stor. Dette skrives sådan: (2) for. Dette symbol læses sådan: f () går mod for gående mod uendelig. Grafen for f er vist på figur. Et uendelig langt stykke af den højre del af grafen er næsten sammenfaldende med den vandrette linje m der består af alle punkter med andenkoordinat. Sådan må det være når (2) gælder, så når (2) gælder, siger man at linjen med ligningen y = er asymptote til grafen for f. På figur 2 er asymptoten m : y = tegnet. Man kan vise at der også gælder for. Heraf følger at der også er et uendelig langt stykke af den venstre del af grafen som er næsten sammenfaldende med m. Der er altså to grunde til at m er asymptote til grafen for f. Asymptoter udg. b Side 2 af 4 26/0-03 Karsten Juul
Definition af lodret- og vandret asymptote På de foregående sider bruges udtrykket at en uendelig lang del af grafen er næsten sammenfaldende med en linje. Da dette udtryk kan betyde meget forskelligt, bruger vi i stedet formuleringer som () og (2) til at forklare hvad der menes når man siger at en linje er lodret eller vandret asymptote til grafen for en funktion. Definition af lodret asymptote En lodret linje l med ligningen l : = k hvor k er en konstant, er asymptote til grafen for en funktion f, netop hvis mindst én af følgende fire påstande gælder: for k for for for k k k Definition af vandret asymptote En vandret linje l med ligningen l : y = k hvor k er en konstant, er asymptote til grafen for en funktion f, netop hvis mindst én af følgende to påstande gælder: k k for for Asymptoter udg. b Side 3 af 4 26/0-03 Karsten Juul
Figur 3 viser grafen for en funktion f som opfylder at for 3 Den lodrette linje med ligningen = 3 er ikke asymptote til grafen for f. Hvis denne linje skulle være asymptote, så skulle én eller flere af følgende fire påstande gælde: for 3 for 3 for 3 for 3 Figur 3: Grafen har ikke en lodret asymptote. Asymptoter for nogle elementære funktioner De næste fire afsnit drejer sig om hver sin type funktioner. For hver af typerne beskrives grafernes asymptotiske forløb. Asymptoter udg. b Side 4 af 4 26/0-03 Karsten Juul
Asymptoter for k a b Sætning Lad f være en funktion af typen k =, hvor k 0 og a 0. a b Der gælder så 0 for ± linjen med ligningen y = 0 er vandret asymptote til grafen for f. Hvis p er nævnerens nulpunkt, gælder så f () går mod eller for gående mod p fra højre og f () går mod eller for gående mod p fra venstre linjen med ligningen = p er lodret asymptote til grafen for f. Figur 4 viser grafen for funktionen 5 =. 8 24 Af første del af sætning fås: For gående mod og for gående mod vil f () gå mod 0. Linjen med ligningen y = 0 er asymptote til grafen for f. Da nævnerens nulpunkt er 3, fås af anden del af sætning : For gående mod 3, vil f () gå mod. Linjen med ligningen = 3 er asymptote til grafen for f. Figur 4 Asymptoter udg. b Side 5 af 4 26/0-03 Karsten Juul
Asymptoter for eksponentialfunktioner Sætning 2 For en voksende eksponentialfunktion k = a = e, a > og k > 0 gælder 0 for For en aftagende eksponentialfunktion k = a = e, 0 < a < og k > 0 gælder 0 for Altså gælder for alle eksponentialfunktioner at linjen med ligningen y = 0 er vandret asymptote til grafen for f. Forskriften for en eksponentialfunktion kan altid omskrives sådan: ln(,25) 0,223 0, ( e ) = ( e ) e 223,25 = =. Enhver af formerne,25 og Figur 5 viser graferne for funktionerne =,25 = e 0,223 0,223 e forekommer ofte. g( ) = 0,8 h( ) = 0,4 = e = e 0,223 0,96 Figur 5 Af sætning 2 fås: Den voksende eksponentialfunktion f () går mod 0 for gående mod, og de aftagende eksponentialfunktioner g () og h () går mod 0 for gående mod. For alle tre funktioner gælder at linjen med ligningen y = 0 er vandret asymptote til grafen. Asymptoter udg. b Side 6 af 4 26/0-03 Karsten Juul
Asymptoter for logaritmefunktioner Sætning 3 Der gælder log for 0 så ln for 0 Linjen med ligningen = 0 er lodret asymptote til grafen for log. Linjen med ligningen = 0 er lodret asymptote til grafen for ln. Figur 6 viser grafen for funktionen ln. Af sætning 3 fås: For gående mod 0 fra højre går ln mod. Linjen med ligningen = 0 er asymptote til grafen. Figur 6 Asymptoter udg. b Side 7 af 4 26/0-03 Karsten Juul
Asymptoter for potensfunktioner Sætning 4 For en potensfunktion med negativ eksponent (3) ( ) = a f =, a > 0 a gælder 0 for så for 0 linjen med ligningen y = 0 er vandret asymptote til grafen for f. linjen med ligningen = 0 er lodret asymptote til grafen for f. Hvis a er et helt tal, er (3) også defineret for negative. Så gælder 0 for for 0 hvis a er lige. for 0 hvis a er ulige. På figur 7 er vist grafen for,6.6 = =. Da eksponenten ikke er et helt tal, er definitionsmængden kun de positive tal. Figur 7 Asymptoter udg. b Side 8 af 4 26/0-03 Karsten Juul
På figur 8 er vist grafen for 3 3 = =. Da eksponenten er ulige, gælder ifølge sætning 4 at for 0. Figur 8 På figur 9 er vist grafen for 2 2 = =. Da eksponenten er lige, gælder ifølge sætning 4 at for 0. Figur 9 Asymptoter udg. b Side 9 af 4 26/0-03 Karsten Juul
Asymptoter for k f() og for f()k Sætning 5 For gående mod eller gælder at hvis f () går mod 0 vil k f () gå mod 0, så hvis linjen med ligningen y = 0 er asymptote til grafen for f, så er den også asymptote til grafen for k f. For gående mod et tal p fra højre eller fra venstre gælder at hvis f () går mod eller vil k f () gå mod eller så hvis linjen med ligningen = p er asymptote til grafen for f, så er den også asymptote til grafen for k f. På figur 0 er vist grafen for en funktion f, hvor og 0 for for 2. Desuden er vist grafen for funktionen 3 f. Af sætning 5 følger at og 3 0 for 3 for 2. Figur 0 Asymptoter udg. b Side 0 af 4 26/0-03 Karsten Juul
Sætning 6 For gående mod eller gælder at hvis f () går mod 0 vil k gå mod k, så hvis linjen med ligningen y = 0 er asymptote til grafen for f, så er linjen med ligningen y = k er asymptote til grafen for k. For gående mod et tal p fra højre eller fra venstre gælder at hvis f () går mod eller vil k gå mod eller så hvis linjen med ligningen = p er asymptote til grafen for f, så er den også asymptote til grafen for k. På figur er vist grafen for en funktion f, hvor og 0 for for 2. Desuden er vist grafen for funktionen f 3. Af sætning 6 følger at og 3 3 for 3 for 2. Figur Asymptoter udg. b Side af 4 26/0-03 Karsten Juul
Eksempler på løsning af opgaver om asymptoter Opgave : Bestem en ligning for den vandrette asymptote til grafen for funktionen f når =,4 2. Besvarelse: Da gælder at så da fås:,4 er på formen a, grafen for,4 har asymptoten y = 0, f () fremkommer ved at trække 2 fra,4, Linjen med ligningen y = 2 er asymptote til grafen for f. Opgave 2: En funktion f er bestemt ved =. 2 Bestem en ligning for hver af asymptoterne til grafen for f. Besvarelse: Da k er på formen og nævnerens nulpunkt er 2, 2 a b gælder at grafen for har asymptoterne y = 0 og = 2. 2 Da det desuden gælder at f () fås ved at lægge til, 2 kan sluttes at linjerne med ligningerne y = og = 2 er asymptoter til grafen for f. Asymptoter udg. b Side 2 af 4 26/0-03 Karsten Juul
Opgave 3: En funktion f er bestemt ved f ( t) = 23 74 e 0,2 t >, t 0. Bestem en ligning for asymptoten til grafen for f, og skitsér grafen for f. Besvarelse: Da vil så e 0,2 t 0 for t f ( t) 23 for t. linjen med ligningen y = 23 er asymptote til grafen for f. Grafen for f er skitseret på figur 3. Figur 3 Opgave 4 (A-niveau): En funktion f er bestemt ved Bestem lim. 2 =. e Besvarelse: 2 Da e 0 for og 2 for z 0 z er lim = 2., Asymptoter udg. b Side 3 af 4 26/0-03 Karsten Juul
Præcisering Lad f være funktionen bestemt ved =. Vi vil nu præcisere hvad man mener når man kommer med en påstand som f (4) 0 for. Med den sprogbrug der blev benyttet i begyndelsen af disse noter, kan man forklare hvad der menes med (4), ved at sige Det er muligt at få funktionsværdierne så tæt det skal være på 0 ved at vælge tilstrækkelig stor. I det følgende vil vi præcisere hvordan dette skal forstås. Vi kan finde et tal hvis funktionsværdi er mindre 0, 007. Vi kan f bruge tallet = 000. Så er funktionsværdien nemlig = 0, 00. 000 Det ses at uanset hvor lille et tal ε vi vælger i stedet for 0, 007, så kan vi altid finde et tal hvis funktionsværdi er mindre end ε. Men dette er ikke nok til at (4) er opfyldt der kræves noget mere. Det er altså ikke nok at vi til ethvert lille positivt tal ε kan finde et positivt tal hvis funktionsværdi er mindre end ε. For at (4) er opfyldt, skal følgende gælde: (5) For ethvert positivt tal ε findes et tal k så der gælder: For alle tal større end k er funktionsværdien mindre end ε. Vi vil nu bevise at (5) gælder: Lad ε være et vilkårligt positivt tal. Vi vil vise at tallet ε kan bruges som k. Vi skal altså vise at hvis >, så er ε >. ε Men dette gælder da den anden ulighed fås når man i første ulighed ganger begge sider med det positive tal ε. Asymptoter udg. b Side 4 af 4 26/0-03 Karsten Juul