Kompendium til Lineær Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Indholdsfortegnelse : Elementær vektorregning... Matricer... 5 Lineære ligningssystemer... 8 Operationsmatricer... Basis og dimension... Lineære afbildninger... Lineære afbildningers matrixligninger... eterminanter... Spektralteori... Kvadratiske former... Oversigtsopgave... 8 Stikordsregister... 5 Forord: ette kompendium er ment som en hjæ lp til at hurtigt at finde de relevante formler til brug ved opgaveregning i lineæ r algebra. Kompendiet er udarbejdet primæ rt på baggrund af Lineæ r Algebra af Mogens Nørgaard Olesen og Frank Hansen og kompendiet bør benyttes sammen med denne læ rebog. Man kan evt. også søge hjæ lp i Jens Carstensens Lineæ r Algebra der også er benyttet ved udarbejdelsen af dette kompendium. er er ved de enkelte sæ tninger og definitioner givet en henvisning til læ rebogen som man som studerende kan benytte som reference. Jeg håber at mange vil finde fordele i anvendelsen af dette væ rk. PS: Hvis du finder en fejl så send mig en mail på: erik_bennike@hotmail.com. Erik Bennike februar - -
Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve (OHPHQ UYHNRUUHJQLQJ/NS ef.: QGUHSURGXN Et indre produkt er en afbildning ( \) ( \) 5 hvor ( \) 5 5 som opfylder betingelserne ( \) (\ ) ( \ ]) ( ]) (\ ]) ( λ \) λ( \) (LA def...) ( ) & ( ) hvor \ ] er vektorer tilhørende 5 og er en skalar. ef.: NOUSURGXNH Et specielt indre produkt er skalarproduktet der defineres ved \ \ ef.: RUPHQIHQYHNRU Normen af en vektor x defineres som \ \ KYRU RJ \ (LA def...) \ ( ) 5 (LA s. 9) Specielt er normen af en vektor med skalarproduktet som indre produkt givet ved 5 (LA s. 8) - -
Sæ tn.: 5HJQHUHJOHUIRUQRUPHUIYHNRUHU Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve <> λ \ \ λ & \ \ \ \ 5 og 5. (LA Sæ tn...) ef.: 9LQNHOPHOOHPYHNRUHU Vinklen mellem to vektorer og \ defineres ud fra ( \) ( \) cosθ > θ cos \ (LA s. ) \ ef.: \SHUSOQ En mæ ngde kaldes en hyperplan hvis {\ 5 (\ ) } (LA s. 5) kaldes en normalvektor for hyperplanen og er et fast punkt i hyperplanen. ef.: 8QGHUUXP Lad 8 væ re en ikke-tom delmæ ngde af vektorrummet 5. 8 kaldes et underrum hvis \ 8 \ 8 8 5 8 (LA def...) e to betingelser kan samles til \ 8 5 \ 8 (LA sæ tn...) ef.: 8GVS QGLQJHQIHQP QJGH Lad væ re en ikke-tom delmæ ngde af 5. Ved udspæ ndingen af forstås mæ ngden VSQ λ λ 5 S (LA def...7) af linearkombinationer af vektorer fra. - -
Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Hvis er en endelig mæ ngde af vektorer dvs. { «} så kaldes span M for udspæ ndingen af vektorerne «. Sæ tn.: 8GVS QGLQJHQIHQP QJGHHUHXQGHUUXP Udspæ ndingen af en ikke-tom mæ ngde der er en delmæ ngde af 5 er et underrum af 5. Hvis 8 er et underrum af 5 og er en delmæ ngde af 8 så er span en delmæ ngde af 8. Udspæ ndingen af en mæ ngde er det mindste underrum der indeholder mæ ngden. (LA sæ tn...8 & s. ø) Sæ tn.: ) OOHVP QJGHQPHOOHPXQGHUUXP Fæ llesmæ ngden mellem vilkårlig mange underrum af 5 er selv et underrum af 5. (LA sæ tn...) Sæ tn.: XPIYHNRUHUIUIRUVNHOOLJHXQGHUUXP Lad der væ re givet endelig mange underrum 8 8 «8 af 5. Mæ ngden 8 { 8 8... 8 } (LA sæ tn...) er et underrum af 5. Sæ tn.: 'LUHNHVXPIXQGHUUXP Summen af Q underrum er direkte hvis og kun hvis den eneste fremstilling af nulvektoren fremkommer som den trivielle fremstilling hvor alle led selv er nulvektoren. For at en sum mellem Q underrum ikke skal væ re direkte skal der altså gæ lde at nulvektoren kan fremstilles som summen af to eller flere egentlige vektorer fra forskellige underrum. Summen mellem to underrum 8 og 8 er direkte hvis og kun hvis fæ llesmæ ngden 8 8 kun indeholder nulvektoren. (LA s. mv.) At en sum mellem underrum er direkte skrives som 8 8 8... 8 - -
Politstudiet matematik. årsprøve - 5 - ULFHU/NS VIGTIGT: Husk at når der skrives at en matrix 5 så menes der en matrix med P ræ kker og Q søjler. Benæ vnes også tit som en P Q matrix og udtales P kryds Q matrix. Sæ tn.: 5HJQHUHJOHUIRUPULFHU ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). & % RJ Q PULFHU P OOH IRU KYLONHQ IRU PUL EHVHP HQ HQ\GLJ ILQGHV 'HU VVRFLLY ORY & % & % NRPPXLY ORY % % (LA s. 7) esuden gæ lder der følgende regneregler for skalarer og matricer ( ) ( ) ( ) % % ) ( µ λ λµ µ λ µ λ λ λ λ (LA s. 7) for alle P Q matricer og % og skalarer 5. Addition og subtraktion af matricer foregår ved koordinatvis addition/subtraktion. Tilsvarende foregår multiplikation med skalarer ved koordinatvis multiplikation. ef.: ULPXOLSOLNLRQ Først slår vi fast at matrixmultiplikation ikke er kommutativ (dvs. Â% %Â). For at kunne definere matrixproduktet er det nødvendigt at indføre lidt yderligere notation Vi kalder den L te ræ kke i matrix for vektoren og den M te søjle i matrix % for vektoren E. Matrixproduktet defineres ved E E E E E E E E E % % Vi bemæ rker at søljeantallet i den første matrix skal væ re lig ræ kkeantallet i den anden matrix. Således kan den omvendte multiplikation altså kun lade sig gøre hvis S P.
Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Ved multiplikationen er ræ kke- og søjleantallet i den fremkomne matrix altså bestemt af: en første matrix bestemmer ræ kkeantallet og den anden matrix bestemmer søjleantallet. Sæ tn.: 5HJQHUHJOHUIRUPULPXOLSOLNLRQ (% &) % & ( %)& & %& ( λ )% ( λ% ) λ( % ) ( % )& (%&) 5 % 5 λ 5 5 %& 5 & 5 5 RJ % 5 & 5 % 5 (LA sæ tn.../5) ef.: 5HJXOULHLQYHULELOLHINYGULVNHPULFHU En kvadratisk matrix kaldes regulæ r (invertibel) hvis der findes en kvadratisk Q Q matrix % således at Â% %Â ( (LA def...7) hvor ( er enhedsmatricen. Matricen % kaldes s inverse matrix (og omvendt) og den benæ vnes. Sæ tn.: 5HJXOULHILQYHUVHPULFHU Lad væ re en regulæ r matrix. Så er den inverse matrix også regulæ r og er dennes inverse matrix dvs. ( ) (LA sæ tn...9) Sæ tn.: QYHUVPULSURGXN Lad og % væ re regulæ re matricer. Så er også matrixproduktet % regulæ rt og den inverse matrix til matrixproduktet er matricen (%) % Â (LA sæ tn...) Bemæ rk ræ kkefølgen! ef.: 7UQVSRQHUHPUL en transponerede matrix til benæ vnes og fremkommer ved at ombytte ræ kker og søjler i. er gæ lder endvidere følgende ( %) % ( λ ) λ ( ) (LA def...) - -
Politstudiet matematik. årsprøve ef.: 7UQVSRQHULQJIPULSURGXN Lad væ re en P Q matrix og % væ re en S P matrix. er gæ lder (BA) A B (LA sæ tn...) Bemæ rk ræ kkefølgen! Sæ tn.: 5HJXOULHIUQVSRQHUHPUL En kvadratisk matrix er regulæ r hvis og kun hvis den transponerede matrix er regulæ r. Endvidere gæ lder det at ( ) (A ) for enhver regulæ r matrix A (LA sæ tn...5) - 7 -
Politstudiet matematik. årsprøve /LQH UHOLJQLQJVV\VHPHU/NS ef.: NYLYOHQVIROLJQLQJVV\VHPHU To ligningssystemer kaldes æ kvivalente hvis de har samme løsningsmæ ngde. (LA def...) ef.: PIRUPQLQJHUIOLQH UHOLJQLQJVV\VHPHU Omformningerne (F) (F) og n af et lineæ rt ligningssystem bestående af P ligninger med Q ubekendte defineres ved: (F)For L M multipliceres den M te ligning med konstanten F og resultatet læ gges til den L te ligning. (F) en L te ligning multipliceres med konstanten F n en L te ligning ombyttes med den M te. (LA def...) isse svarer til ræ kkeoperationerne i matricer der leder til at echelonmatricen og det oprindelige ligningssystem (matrix) er æ kvivalente. (LA sæ tn...5) ef.: QLLOHORJHFKHORQPUL Et initialettal i en matrix indføres således: Hvis det første fra forskellige element i en ræ kke er så kaldes dette ettal for et initialettal. (LA s. 8) En P Q matrix ) kaldes en echelonmatrix hvis følgende er opfyldt: Enhver ræ kke bortset fra evt. nulræ kker har et initialettal. Over og under alle initialettaller står der lutter nuller. Hvis to ræ kker ikke er nulræ kker står initialettallet i den øvre ræ kke i en søjle læ ngere til venstre end initialettallet i den nedre. Evt. nulræ kker står nederst i matricen. (LA def...) Sæ tn.: (FKHORQV QLQJHQ En P Q matrix kan ved ræ kkeomformninger omformes til en echelonmatrix (LA sæ tn...) - 8 -
Sæ tn.: QLLOHORJNRQVLVHQV Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Hvis der i den udvidede koefficientmatrix til en givent lineæ rt ligningssystem står et initialettal i søjlen læ ngst til højre da er ligningssystemet inkonsistent. Hvis dette ikke er tilfæ ldet da er ligningssystemet konsistent. (LA sæ tn...5) - 9 -
# Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve SHULRQVPULFHU/NS Sæ tn.: 5 NNHRSHULRQHURJRSHULRQVPULFHU Lad ( ) væ re en P Q matrix. Resultatet af ræ kkeoperationen (F) udført på matricen er lig med matrixproduktet af P P operationsmatricen (F) og. Resultatet af ræ kkeoperationen (F) udført på matricen er lig med matrixproduktet af P Poperationsmatricen (F) og. Resultatet af ræ kkeoperationen n udført på matricen er lig med matrixproduktet af P P operationsmatricen c og. (LA sæ tn...) Sæ tn.: QYHUVLRQIRSHULRQVPULFHU Samtlige operationsmatricer er regulæ re. c ( F) ( F) IRU L c M ( F) ( F) IRU F ( F) ( ) IRU L M P. 'HQ LQYHUVH PUL HU c L M P. L P. 'HQ LQYHUVH PUL HU 'HQ LQYHUVH PUL HU (LA kor...) Sæ tn.: SHULRQVPULFHURJ(FKHORQPUL Lad væ re en P Q matrix. er findes en P Q echelonmatrix )og en regulæ r P P matrix 5 således at 5Â). Matricen 5 kan skrives som et produkt 5 5 Â5 ÂÂÂ5! af operationsmatricer. (LA sæ tn...) Sæ tn.: QYHUHULQJIPULFHU En Q Q matrix er regulæ r hvis og kun hvis der findes Q Q operationsmatricer 5 5 «5" for hvilke 55 5 ( ( ) ((# %) (LA sæ tn...) I givet fald er %. - -
Sæ tn.: QYHUHULQJIGLJRQOPUL Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Invertering af en regulæ r diagonalmatrix foregår ved på hver plads i diagonalen at tage den reciprokke væ rdi til det pågæ ldende diagonalelement. Sæ tn.: QYHUHULQJI PUL Invertering af en matrix foregår således: E F G G det E F G G EF E F - -
Politstudiet matematik. årsprøve %VLVRJGLPHQVLRQ/NS ef.: /LQH UIK QJLJKHGRJOLQH UUHOLRQ Lad ( «" ) væ re et sæ t af vektorer fra 5!. En fremstilling af nulvektoren som en linearkombination ÂÂÂ " " & af «" kaldes en lineæ r relation mellem sæ ttets vektorer. Hvis alle koefficienterne «" er nul kaldes fremstillingen triviel eller uegentlig. Hvis dette ikke er tilfæ ldet kaldes fremstillingen ikke-triviel eller egentlig. Et sådant sæ t af vektorer kaldes lineæ rt afhæ ngigt hvis der findes en egentlig lineæ r relation mellem sæ ttets vektorer. Ellers kaldes sæ ttet for lineæ rt uafhæ ngigt. (LA 5.(.)) Bemæ rk specielt at et sæ t af vektorer aldrig kan væ re lineæ rt uafhæ ngigt hvis to eller flere af vektorerne i sæ ttet er proportionale. (LA s. 9) Et vektorsæ t hvor mindst en af vektorerne er nulvektoren er altid lineæ r afhæ ngigt. (LA s. 95ø) Sæ tn.: /LQHUIK QJLJKHGRJOLQHUNRPELQLRQ Lad ( «"! ) væ re et sæ t af vektorer i 5. Sæ ttet er lineæ rt afhæ ngigt hvis og kun hvis (mindst) en af vektorerne kan skrives som en linearkombination af de øvrige. Eller: Et sæ t af vektorer er lineæ rt afhæ ngigt hvis og kun hvis (mindst) (LA sæ tn. 5..) en af vektorerne tilhører udspæ ndingen af de øvrige. Sæ tn.: XSSOHULQJVV RJGHOV OLQH UXIK QJLJKHG Lad «"! væ re vektorer i 5. Hvis sæ ttet ( «" ) er lineæ rt afhæ ngigt så er ethvert sæ t af vektorer som fremkommer ved at supplere det givne sæ t også lineæ rt afhæ ngigt. Hvis sæ ttet ( «" ) er lineæ rt uafhæ ngigt så er ethvert delsæ t også lineæ rt uafhæ ngigt. (LA sæ tn. 5..7) - -
ef.: %VLVIRUHXQGHUUXP Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Lad 8 væ re et underrum af5! og lad ( «" ) væ re et sæ t af vektorer i 8. Vi kalder sæ ttet ( «" ) en basis for 8 hvis det er lineæ rt uafhæ ngigt og udspæ nder 8. (LA def. 5..) Sæ tn.: *UVVPQQVXGVNLIQLQJVV QLQJ Lad ( «"! ) væ re et lineæ rt uafhæ ngigt sæ t af vektorer i 5 og lad U span { «" } væ re underrummet frembragt af vektorerne i sæ ttet. Hvis (E E «E% ) er et lineæ rt uafhæ ngigt sæ t af vektorer fra 8 så gæ lder der at T S. Endvidere kan man udskifte T af vektorerne i sæ ttet ( «" ) med vektorerne E E «E% så det på denne måde fremkomne sæ t er lineæ rt uafhæ ngigt og frembringer underrummet 8. (LA sæ tn. 5..) Sæ tn.: %VHUIRUXQGHUUXPRJQOIYHNRUHU! Lad 8 væ re et underrum af 5. Hvis ( «" ) og (E E «E% ) begge er baser for 8 gæ lder det at S T. (LA kor. 5..5) Endvidere: Hvis ( «"! ) er et lineæ rt uafhæ ngigt sæ t af vektorer i 5 gæ lder der at S Q. (LA kor. 5..) Sæ tn.: (NVLVHQVIEVLVLOXQGHUUXP Ethvert underrum af 5! har en basis. (LA sæ tn. 5..7) ef.: 'LPHQVLRQIHXQGHUUXP Lad 8 væ re et underrum af 5!. Ved dimensionen af 8 forstås antallet af vektorer i en basis for 8. imensionen af 8 betegnes med dim 8. (LA def. 5..8) Sæ tn.: XSSOHULQJVV QLQJHQ! Lad 8 væ re et underrum af 5 af dimension S. Hvis TS og ( «% ) er et lineæ rt uafhæ ngigt sæ t af vektorer i 8 så findes der supplerende vektorer X%'& «X" i 8 for hvilke det supplerende sæ t ( «" X%'& «X" ) er en basis for 8. (LA sæ tn. 5..) - -
( ( ( ( ( ) ( ( ) ( Sæ tn.: 'LPHQVLRQRJGLUHNHVXPIXQGHUUXP Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Hvis 8 8 «8" er underrum af5! som danner direkte sum 8 8 8 8" så gæ lder der at dim 8 dim 8 dim 8 dim 8" Q (LA sæ tn. 5..) ef.: URQRUPOLHIYHNRUV Et sæ t af vektorer ( «" ) kaldes ortonormalt (et ortonormalt sæ t) hvis vektorerne i sæ ttet er enhedsvektorer og indbyrdes ortogonale. (LA s. ) Sæ tn.: URQRUPHULQJIYHNRUV! *UPFKLPGVRURQRUPOLVHULQJVPHRGH Lad 5 væ re udstyret! med et indre produkt ( ). Hvis ( «" ) er et lineæ rt uafhæ ngigt sæ t af vektorer i 5 så findes der et ortonormalt sæ t (E E «E" ) for hvilket span {E «E } span { «} for L S (LA s. 5) Måden hvorpå man finder disse ortonormale vektorer er som følger: Først dannes vektorerne (F F «F" ) og derefter normeres de til sæ ttet (E E «E" ): F F F ( F ) ( F F ) ( F ) ( F F ) ( F ) ( F F ) F F ( F ) ( F F ) ( F ) ( F F ) ( F ) ( F F ) F( F F F F E F E F E) F (LA s. 5-) F F F Sæ tn.: (NVLVHQVIRURQRUPOEVLVIRUXQGHUUXP Ethvert underrum af et euklidisk vektorrum som er forskelligt fra det trivielle underrum kun bestående af nulvektoren har en ortonormalbasis. (LA kor. 5..) - -
/ Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Sæ tn.: XSSOHULQJLORURQRUPOV LHXNOLGLVNYHNRUUXP Lad 8 væ re et underrum af dimension T i et euklidisk vektorrum (5 * ( )) og lad ( «) væ re et ortonormalt sæ t af vektorer i 8. Hvis S<T så findes der supplerende vektorer X- «X. således at sæ ttet ( «X. «X ) udgør en ortonormalbasis for 8. (LA sæ tn. 5..) Sæ tn.: 9HNRUHURJRURQRUPOEVLV * Lad (5 ( )) væ re et euklidisk vektorrum udstyret med en ortonormalbasis ( «). er gæ lder ( ) for enhver vektor 5 *. (LA sæ tn. 5..5) Sæ tn.: 'HRURJRQOHNRPSOHPHQ Lad væ re en ikke-tom delmæ ngde af et euklidisk vektorrum (5 * ( )). Mæ ngden af vektorer { 5 * ( \) \ } (LA s. 8m) som er ortogonale på samtlige vektorer er et underrum af 5 *. Lad 8 væ re et underrum af et euklidisk vektorrum (5 * ( )). Underrummet dimension Q±dim 8 og kaldes det ortogonale komplement til 8. er gæ lder at ( 8 ) 8 8 8 har. Underrummene 8 og 8 danner direkte sum med summen 5 *. (LA sæ tn. 5..) - 5 -
Politstudiet matematik. årsprøve /LQH UHIELOGQLQJHU/NS ef.: /LQH UIELOGQLQJ En afbildning 7 : 5 * 5 hvor Q og P er to naturlige tal kaldes lineæ r hvis 7( \) 7 7\ 5 \ 5 * (LA def...) En vilkårlig lineæ r afbildning 7 : 5 * 5 afbilder nulvektoren i 5 * på nulvektoren i 5. Endvidere gæ lder det at 7 7. Billedet ved en lineæ r afbildning 7 af en linearkombination af vektorerne «er en linearkombination af vektorerne 7 7 «7 med de samme koefficienter 7 (span ) span 7() Sæ tn.: /LQH UIK QJLJKHGIELOOHGHUQHIYHNRUV Lad 7 : 5 * 5 væ re en lineæ r afbildning og lad «5 *. er gæ lder følgende: Hvis vektorsæ ttet ( «) er lineæ rt afhæ ngigt medfører det at også sæ ttet (7 7 «7 ) er lineæ rt afhæ ngigt. Hvis vektorsæ ttet (7 7 «7 ) er lineæ rt uafhæ ngigt medfører det at også sæ ttet ( «) er lineæ rt uafhæ ngigt og at 7 er en injektiv afbildning. dim 7(8) GLP8 for ethvert underrum 8 af 5 *. (LA sæ tn...) ef.: %LOOHGUXPRJQXOUXP Lad 7 : 5 * 5 væ re en lineæ r afbildning. Billedmæ ngden 5(7) {7 5 * } kaldes billedrummet for 7 og mæ ngden (7) { 5 * 7 & } kaldes nulrummet (kernen) for 7. (e vektorer der når de afbildes via 7 bliver nulvektoren) En afbildning φ : kaldes surjektiv hvis φ ( ). (LA def...) En afbildning er surjektiv hvis og kun hvis dim 5(7) P og dermed skal P Q for at en afbildning skal have mulighed for at væ re surjektiv. En nødvendig men ikke tilstræ kkelig betingelse. - -
Politstudiet matematik. årsprøve Sæ tn.: XUMHNLYLHRJELOOHGUXP Lad ( «* ) væ re en basis for 5 * og lad 7 : 5 * Billedrummet 5(7) frembringes af sæ ttet (7 7 «7* ). 5 væ re en lineæ r afbildning. 7 er surjektiv hvis og kun hvis sæ ttet (7 7 «7* ) frembringer hele 5. dim 5(7) Q (LA sæ tn...) Sæ tn.: XOUXPRJXQGHUUXP Nulrummet (7) for en lineæ r afbildning 7 : 5 * 5 er et underrum af vektorrummet 5 *. (LA sæ tn...5) En afbildning mellem to mæ ngder kaldes injektiv hvis forskellige punkter fra startmæ ngden ikke kan afbildes i samme punkt i destinationsmæ ngden. Sæ tn.: QMHNLYLHRJQXOUXP En lineæ r afbildning 7 : 5 * 5 er injektiv hvis og kun hvis (7) { & }. dim (7) (LA sæ tn...) Sæ tn.: /LQH UXIK QJLJKHGRJLQMHNLYLH Lad ( «* ) væ re en basis for5 * og lad 7 : 5 * 5 væ re en lineæ r afbildning. er gæ lder at 7 er injektiv hvis og kun hvis sæ ttet (7 7 «7* ) er lineæ rt uafhæ ngigt. (LA sæ tn...7) Sæ tn.: %LOOHGUXPRJVXUMHNLYLHVPLQMHNLYLH Lad 7 : 5 * 5 væ re en lineæ r afbildning. er gæ lder følgende: 7 er surjektiv hvis og kun hvis dim 5(7) P. 7 er injektiv hvis og kun hvis dim 5(7) Q. (LA kor...8) En afbildning kaldes bijektiv hvis den både er injektiv og surjektiv. For at en lineæ r afbildning skal væ re bijektiv skal således Q P altså en afbildning: 7 : 5 * 5 *. En sådan afbildning kaldes en endomorfi. - 7 -
Politstudiet matematik. årsprøve Sæ tn.: (QGRPRUILRJLQMHNLYLHVXUMHNLYLHELMHNLYLH Lad 7 : 5 * 5 * væ re en endomorfi. Så gæ lder det at hvis: 7 er surjektiv <> 7 er injektiv <> 7 er bijektiv (LA kor...9) Ikke forstået sådan at alle endomorfier har de ovenstående egenskabet blot forstået sådan at hvis den har én af egenskaberne så har den automatisk dem alle tre. Sæ tn.: *UVVPQQVGLPHQVLRQVV QLQJ Lad 7 : 5 * 5 væ re en lineæ r afbildning. er gæ lder at dim 5(7) dim (7) Q (LA sæ tn...) Sæ tn.: 5HJQLQJPHGOLQH UHIELOGQLQJHU Først definerer * vi summen af to lineæ re afbildninger. Lad 7 : 5 5 væ re to lineæ re afbildninger. * Vi definerer: (7 )() 7 \ 5 enne er også en lineæ r afbildning (sæ tn.) (LA s. 5) Vi definerer også produktet af 7 med en skalar : ( 7)() 7 5 * enne afbildning er også en lineæ r afbildning (sæ tn.) (LA s. 5) Ved differensen 7 mellem to lineæ re afbildninger forstås 7± 7( ) enne afbildning er også en lineæ r afbildning. (LA s. 5) Sæ tn.: PPHQVRJLQYHUVOLQH UIELOGQLQJ Lad : 5 * 5 og 7 : 5 5 væ re lineæ re afbildninger. en sammensatte afbildning * 7 : 5 * 5 * er også lineæ r. (LA sæ tn...) Lad 7 : 5 5 væ re en bijektiv lineæ r afbildning. en inverse afbildning 7 : 5 * 5 * er også lineæ r. (LA sæ tn...) Sæ tn.: GMXQJHUHIELOGQLQJ * Lad 7 : 5 5 væ re en lineæ r afbildning mellem * euklidiske vektorrum. er findes en entydigt bestemt lineæ r afbildning 7 : 5 5 for hvilken - 8 -
Politstudiet matematik. årsprøve (7_\) ( 7 \) 5 * \ 5 (LA sæ tn...) Afbildningen 7 kaldes den til 7 adjungerede afbildning. Sæ tn.: XOUXPELOOHGUXPRJGMXQJHUHIELOGQLQJ Lad 7 : 5 * 5 væ re en lineæ r afbildning mellem euklidiske vektorrum. er gæ lder * ( 7 ) 5( 7 ) (LA sæ tn...) idet 7 er den til 7 adjungerede afbildning. Sæ tn.: XPSURGXNRJVNOUPXOLSOLNLRQIGMXQJHUHIELOGQLQJ * Lad 7 : 5 5 væ re lineæ re afbildninger mellem euklidiske vektorrum. et gæ lder at (7) * 7 ( 7) * 7 5 (LA øv...5) Lad nu 7 : 5 * 5 og : 5 5 væ re lineæ re afbildninger mellem euklidiske vektorrum. et gæ lder at (7) * 7 (LA øv...5) Bemæ rk ræ kkefølgen! ef.: \PPHULVNVHOYGMXQJHUHHQGRPRUIL En endomorfi af et euklidisk vektorrum kaldes symmetrisk eller selvadjungeret hvis 7 7 (LA def...) Sæ tn.: Lad 7 væ re endomorfier af et euklidisk vektorrum (5 * ( )) for hvilke (7 ) ( ) 5 * (LA sæ tn...8) Hvis 7 og er selvadjungerede så gæ lder det at 7. Sæ tn.: 5HJQHUHJOHUIRUQRUPHQIOLQH * UHIELOGQLQJHU Lad 7 : 5 5 væ re lineæ re afbildninger * mellem euklidiske vektorrum. er gæ lder at 7 7 5 7 7 7 7 5 (LA sæ tn...) - 9 -
Politstudiet matematik. årsprøve Lad 7 : 5 * 5 og : 5 5 væ re lineæ re afbildninger mellem euklidiske vektorrum. 7 7 (LA øv...) Sæ tn.: RUPHQIGMXQJHUHIELOGQLQJ Lad 7 : 5 * 5 væ re en lineæ r afbildning mellem euklidiske vektorrum. er gæ lder at 7 5 7 og 7 7 og 7 7 7 (LA sæ tn...) ef.: VRPHUL En lineæ r afbildning7 : 5 * 5 kaldes en isometri hvis 7 5 * (LA def...5) - -
8 ; 9 8 Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve /LQH UHIELOGQLQJHUVPULOLJQLQJHU/NS Sæ tn.: /LQH UHIELOGQLQJHURJPULFHU Til enhver lineæ r afbildning 7 : 5 * 5 er der knyttet en P Q matrix således at det gæ lder: 7 \ <> < ; 5 * \ 5 (LA s. 55) Her betegner ; og < koordinatsøjlerne for hhv. og \ alt dette naturligvis for et givent valg af baser i de to vektorrum5 * og 5. Koordinatsøjlerne i er billederne af basisvektorerne i 5 *. Sæ tn.: 5HJQLQJPHGOLQH UHIELOGQLQJHUVPULFHU For lineæ re afbildninger 7 : 5 * 5 gæ lder der at 7 7 5 (LA sæ tn. 7..) Lad 7 : 5 * 5 og : 5 5 væ re lineæ re afbildninger. er gæ lder at 9 : (LA sæ tn. 7..) Sæ tn.: ULK UHQGHLOELMHNLYIELOGQLQJ * Lad 7 : 5 5 væ re en bijektiv lineæ r afbildning. Matricen er regulæ r og den inverse ; matrix: ( ) (LA sæ tn. 7..) Sæ tn.: GMXQJHUHIELOGQLQJRJUQVSRQHUHPUL Lad 7 : 5 * 5 væ re en lineæ r afbildning mellem euklidiske vektorrum udstyret med ortonormale baser (J J «J* ) og (I I «I ) og lad væ re matricen hørende til 7 med hensyn til de valgte baser. en transponerede matrix < er den til den adjungerede afbildning 7 hørende matrix med hensyn til det samme valg af baser. (LA sæ tn. 7..5) ef.: 5QJHQIHQPUL Ved rangen af en matrix forstås det største mulige antal søjler i noget lineæ rt uafhæ ngigt delsæ t udtaget blandt søjlerne i matricen. (LA def. 7..) Rangen af matrix A skrives som rg. - -
Politstudiet matematik. årsprøve Med hensyn til den kanoniske basis så er søjlerne i matricen koordinatsæ t for vektorerne 7H 7H> «7H? og frembringer derfor billedrummet 5(7). vs. rg dim 5(7) Undertiden benyttes betegnelsen 5() som 5(7) og tilsvarende for nulrummet () (7). ef.: *UVVPQQVGLPHQVLRQVV QLQJIRUPULFHU Lad væ re en P Q matrix. er gæ lder rg dim () Q (LA sæ tn. 7..) Antallet af exogene variable er lig med dim (). Således er antallet af endogene variable lig med rg altså lig antallet af søjler i den til hørende echelonmatrix der indeholder et initialettal. Q er antallet af søjler i. Sæ tn.: MOHUQJRJU NNHUQJ Lad væ re en P Q matrix. er gæ lder at ræ kkerang søjlerang (LA sæ tn. 7..5) Sæ tn.:.rqvlvhqviolqh UHOLJQLQJVV\VHPHURJUQJIPUL Et lineæ rt ligningssystem er konsistent hvis og kun hvis rangen af ligningssystemets koefficientmatrix er lig med rangen af den udvidede koefficientmatrix. (LA sæ tn. 7..) ef.: RPRJHQHOLJQLQJVV\VHPHU Et lineæ rt ligningssystem kaldes homogent hvis konstantsøjlen E E % (LA def. 7..) E@ Ellers kaldes ligningssystemet for inhomogent. Sæ tn.: (Q\GLJO VQLQJLOOLQH UOLJQLQJVV\VHPRJUQJIPUL Antag af et lineæ rt ligningssystem er konsistent. Løsningen til er entydig hvis og kun hvis rg Q (LA sæ tn. 7..) - -
Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Sæ tn.: / VQLQJVP QJGHLOKRPRJHQRJLQKRPRJHQOLJQLQJVV\VHP ~ Lad væ re et konsistent inhomogent ligningssystem med løsningsmæ ngde / og lad ; / væ re en vilkårlig løsning til. er gæ lder at {; ; ; ; / } / (LA sæ tn. 7..5) ~ hvor /A betegner løsningsmæ ngden til det tilhørende homogene ligningssystem A..RRUGLQUQVIRUPLRQ Lad ( «? ) og (E E «E? ) væ re to baser i 5?. En vilkårlig vektor 5? har en entydig fremstilling af formen????. Vi kan derfor konstruere en lineæ r afbildning : 5 5 ved at sæ tte ( «?? ) E E «? E? Afbildningen transformerer en vektor med et givet koefficientsæ t med hensyn til basen ( «? ) over i den vektor der med hensyn til basen (E E «E? ) har samme koefficientsæ t. Specielt gæ lder det at B EB L Q Afbildningen kaldes for koordinattransformationsafbildningen hørende til skiftet fra basen ( «? ) til basen (E E «E? ). er entydigt bestemt. (LA s. 7) Sæ tn.:.rruglquqviruplrqvielogqlqjvolqhulh en ovennæ vnte koordinattransformationsafbildning er lineæ r og bijektiv. (LA? sæ? tn. 7..) Omvendt gæ lder det også at en hver bijektiv og lineæ r afbildning : 5 5 er en koordinattransformationsafbildning. (LA s. 7ø) Sæ tn.: 9HNRUHUVRPOLQHUNRPELQLRQIEVLVYHNRUHU Lad ( «? ) og (E E «E?? ) væ re to baser i 5 og lad væ re koordinattransformationsafbildningen bestemt ved B EB L n Enhver af vektorerne EC kan på entydig måde skrives som linearkombination af vektorerne i basen ( «? ). er findes således koefficienter T C T C T? C for hvilke EC T C T C ÂÂÂT? C? M n Matricen ( TEF ) 5 er regulæ r og hører til med hensyn til begge baser ( «? ) og (E E «E? ). (LA sæ tn. 7..) - -
I Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Matricen kaldes koordinattransformationsmatricen hørende til skiftet fra basen ( «? ) til basen (E E «E? ). Koordinattransformationsmatricen hørende til skiftet fra basen (E E «E? ) til basen ( «? ) er den inverse matrix. (LA s. 7) Sæ tn.: 9HNRUHUXQGHUIRUVNHOOLJHEVHURJNRRUGLQUQVIRUPLRQVPULFHQ Lad ( «? ) og E (E E «E? ) væ re baser for vektorrummet 5? og lad 5? væ re en vilkårlig vektor der med hensyn til baserne og E har koordinatsøjlerne ;G og ;H. Hvis Q Q matricen (TBC ) er koordinattransformationsmatricen hørende til skiftet fra til E gæ lder der at ;G ;H (LA sæ tn. 7..) Sæ tn.:.rruglquqviruplrqvpul Vi tæ nker os en valgt basis ( «? ) i 5?. Lad 7 :5? 5I 5? væ re en lineæ r afbildning og lad ( BC ) væ re den til 7 hørende matrix med hensyn til den valgte basis. Lad også (E E «E?? ) væ re en basis i 5. Matricen % (LA sæ tn. 7..) er den til 7 hørende matrix med hensyn til basen (E E «E? ) idet er koordinattransformationsmatricen hørende til skiftet fra ( «? ) til (E E «E? ). Hvis der findes en regulæ r matrix for hvilken ovenstående ligning gæ lder så kaldes de to kvadratiske matricer og % regulæ ræ kvivalente. (LA s. 75) Sæ tn.: URJRQOPULRJNRRUGLQUQVIRUPLRQVPUL? Lad (5 ( ) ) væ re et euklidisk vektorrum udstyret med ortonormalbaser ( «? ) og (E E «E? ). Hvis betegner koordinattransformationsmatricen hørende til skiftet fra ( «? J ) til (E E «E? ) gæ lder der at (LA sæ tn. 7..8) En regulæ r matrix for hvilken det ovenstående gæ lder kaldes en ortogonal matrix. Navnet er lidt misvisende egentlig ville en ortonormal matrix have væ ret mere rammende da der kræ ves for at en matrix skal væ re ortogonal at sæ ttet bestående af matricens søjlevektorer skal væ re et ortonormalt sæ t. - -
Politstudiet matematik. årsprøve Hvis en sådan matrix eksisterer og altså er ortogonal så kaldes matricerne og % ikke bare regulæ ræ kvivalente men også ortogonalæ kvivalente. (LA s. 7n) - 5 -
M N N N Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve 'HHUPLQQHU/NSRJ Vi indfører en lidt speciel notation: Lad væ re en vilkårlig P Q matrix og lad ; betegne en Q matrix. Hvis den U te ræ kke i erstattes med ; opfattet som ræ kke fremkommer en ny matrix som betegnes med K ( ;). (LA s. 8) Sæ tn.: :HLHUVUVV GHHUPLQQV QLQJ eterminantafbildningen det er den eneste n-linearform defineret på mæ ngden af Q Q matricer som tilfredsstiller: det ( For enhver matrix (BC ) L L 5 og ethvert Q > gæ lder der det N ( ) det( ' ( ) (LA sæ tn. 8..) Sæ tn.: 'HHUPLQQIHQKHGVPULFHQPY Lad Q og F 5 og væ lg et U n. er gæ lder at det (O det P ( ;< ) det P ( ; ) det P ( < ) det ( P (F) ) F det (LA sæ tn. 9..) O Sæ tn.: 'LYHUVHUHJQHUHJOHUIRUGHHUPLQQHU For enhver Q Q matrix gæ lder der: det ( ) Âdet 5 det hvis indeholder en nulræ kke (LA kor. 9..) det hvis to af ræ kkerne i er ens det ( QR (F) ) det for L M og F 5 det ( cqr ) det for L M idet L M Q (LA sæ tn. 9..) Altså hvis to ræ kker ombyttes så skifter determinanten fortegn. - -
T U Sæ tn.: 'HHUPLQQHUIRSHULRQVPULFHU Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve For ethvert Q og L M Q gæ lder der det ( QR (F)) for L M og F 5 det Q (F) F F 5 det cqr L M (LA kor. 9..) Lad og væ re Q Q matricer. Hvis er en operationsmatrix gæ lder der det () det det (LA kor. 9..5) Sæ tn.: 'HHUPLQQHQVEH\GQLQJIRUUHJXOULHHQIHQPUL En Q Q matrix er regulæ r hvis og kun hvis det (LA teor. 9..) Sæ tn.: )OHUHUHJQHUHJOHUIRUGHHUPLQQHU For Q Q matricer og % gæ lder der det ( Â% ) det det % (LA teor. 9..8) det ( det ) hvor er regulæ r Regulæ S ræ kvivalente matricer har samme determinant (LA kor. 9..9) det det (LA sæ tn. 9..) Sæ tn.: 'HHUPLQQIGLJRQORJUHNQVPUL eterminanten af en trekantsmatrix er lig med produktet af diagonalelementerne følgelig er determinanten af en diagonalmatrix også lig med produktet af diagonalelementerne: det hvor er en Q Q diagonal- eller trekantsmatrix. UU (LA sæ tn. 9..) Sæ tn.: MOHRSHULRQHURJGHHUPLQQ Lad væ re en Q Q matrix. er gæ lder det hvis indeholder en nulsøjle det hvis to af søjlerne i er ens Ombyttes to forskellige søjler i så skifter determinanten fortegn - 7 -
Z Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Hvis man til en søjle i adderer en linearkombination af de øvrige søjler så forandres determinanten ikke. (LA kor. 9..) Sæ tn.: /SOFHVXGYLNOLQJVV QLQJ Først indfører vi komplementet af en Q Q matrix : QR ( ) Q VR det 'QX R () idet L M Q (LA s. ) For en Q Q matrix (QR ) gæ lder der det P P P P P O P O U Q det Y Y Y Y O Y O Y V Q (LA sæ tn. 9..) et øverste kalder vi for at udvikle efter U te ræ kke. et nederste kalder vi for at udvikle efter V te søjle. Sæ tn.: QYHUHULQJIUHJXO UHPULFHU Først indfører vi matricen ( QR ) hvis element i den L te ræ kke og den M te søjle er komplementet hvor er given Q Q matrix: QR ( ) Q VR det 'QX R () idet L M Q (LA s. m) For enhver Q Q matrix gæ lder der S ( det ) (O (LA sæ tn. 9..) hvor (O er Q Q enhedsmatricen. Lad væ re en regulæ r Q Q matrix. en inverse matrix er givet ved ~ det (LA sæ tn. 9..) Sæ tn.: &UPHUVIRUPOHU Lad ; % væ re et Cramersk ligningssystem. At et ligningssystem er Cramersk vil sige et ligningssystem bestående af Q ligninger med Q ubekendte hvis dog koefficientmatricen er regulæ r dvs. har determinant forskellig fra nul. (LA s. ) e ubekendte O er givet ved formlen: - 8 -
\ \ \ \ \ \ \ Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve ( ) E ( ) ( ) E ( ) ( det ) (LA sæ tn. 9.5.) for L Q ( ) E ( ) Husk dog d herrer M. Nørgaard Olesen og Frank Hansens kommentar til Cramers formler: &UPHUVIRUPOHU«XGJ UHQHNVURUGLQ UX NRQRPLVNPHRGHLOO VHOLQH UH OLJQLQJVV\VHPHU«EHQ\HVGHUIRUQ VHQXGHOXNNHQGHLIRUELQGHOVHPHGHRUHLVNH RYHUYHMHOVHU - 9 -
Politstudiet matematik. årsprøve SHNUOHRUL±/NS ef.: (JHQY UGL O O Lad 7 O : 5 5 væ re en lineæ r afbildning og lad 5. Hvis der findes en egentlig vektor 5 for hvilken 7 så siges at væ re en egenvektor for 7 og kaldes den tilhørende egenvæ rdi. (LA def...) ef.: (JHQUXP O O Til en given lineæ r afbildning 7 : 5 5 og et givet 5 indføres mæ ngden 9] ( ) { 5 O 7 } (LA def...) enne kaldes egenrummet for 7 hørende til skalaren. enne er et underrum af 5 O idet 9] ( ) (7 ) imensionen af 9] ( ) kaldes egenvæ rdimultipliciteten for og betegnes med HP] ( ). er en egenvæ rdi for 7 hvis og kun hvis egenvæ rdimultipliciteten HP] ( ) >. er gæ lder specielt at 9] () (7). erfor er nul en egenvæ rdi for 7 hvis og kun hvis 7 ikke er injektiv. Mæ ngden af egenvæ rdier for en endomorfi 7 kaldes spektret for 7 og betegnes med (7). (LA s. ø) Sæ tn.: XPIHJHQUXPRJHJHQY O O UGLPXOLSOLFLHHU Lad 7 : 5 5 væ re en lineæ r afbildning med indbyrdes forskellige egenvæ rdier ^. Egenrummene 9] ( ) 9] ( ) 9] ( ^ ) danner direkte sum og summen af egenvæ rdimultipliciteterne: HP] ( ) HP] ( ) HP] ( ^ ) Q (LA sæ tn...) ef.: 'HNUNHULVLVNHSRO\QRPLXP Lad 7 væ re en endomorfi af 5 O og lad væ re den til afbildningen 7 hørende matrix med hensyn til en valgt basis. Polynomiet S] ( ) det ( ( ) (LA def...) kaldes det karakteristiske polynomium for 7. - -
Politstudiet matematik. årsprøve Sæ tn.: (JHQY UGLRJGHNUNHULVLVNHSRO\QRPLXP En skalar er egenvæ rdi for en lineæ r afbildning 7 : 5 O 5 O hvis og kun hvis er rod i det karakteristiske polynomium S]. (LA sæ tn...) a et polynomium af Q te grad højst har Q reelle rødder ser vi umiddelbart at en endomorfi af 5 O højst har Q egenvæ rdier. (LA s. n) ef.: 5RGPXOLSOLFLH Rodmultipliciteten for en rod i et polynomium S( ) er det naturlige tal UP ( ) for hvilket S( ) kan skrives på formen S _ ` ( ) ( ) ( λ λ ) ( ) hvor () er et polynomium som ikke har som rod. (LA s. 5) Rodmultipliciteten angiver det antal gange er rod i det karakteristiske polynomium. Sæ tn.: (JHQY UGLPXOLSOLFLHRJURGPXOLSOLFLH O O Lad 7 : 5 5 væ re en lineæ r afbildning. er gæ lder HP] ( ) UP] ( ) HP] ( ) Q dim 5(7 ) for ethvert 5. (LA sæ tn...) \PPHULVNIELOGQLQJRJLQYULQXQGHUUXP ef.: Lad ( ) væ re et indre produkt i 5 O. Husk at en lineæ r afbildning 7 : 5 O 5 O kaldes O symmetrisk hvis (7 \) (_7\) \ 5. (LA s. 8n) Sæ tn.: er gæ lder at 7 er symmetrisk hvis og kun hvis den tilhørende matrix med hensyn til en given ortonormalbasis er symmetrisk. (LA s. 9ø) ef.: Et underrum 8 af 5 O kaldes invariant under en endomorfi 7 af 5 O hvis 78 8. Egenrummet 9] ( ) hørende til en egenvæ rdi 5 er et simpelt eksempel på et invariant underrum. (LA s. 9ø) Sæ tn.: QYULQXQGHUUXPV\PPHULVNHQGRPRUILRJRURJRQONRPSOHPHQ O Lad 7 væ re en symmetrisk endomorfi af et euklidisk vektorrum (5 ( )). Hvis 8 er et invariant underrum så er også det ortogonale komplement 8 invariant under 7. - -
Politstudiet matematik. årsprøve - - Hvis og er forskellige egenvæ rdier for 7 så er egenrummene 9] ( ) og 9] ( ) ortogonale. Sæ tn.: \PPHULVNHQGRPRUILRJGHNUNHULVLVNHSRO\QRPLXP Lad 7 væ re en symmetrisk endomorfi af et euklidisk vektorrum (5 O ( )). et karakteristiske polynomium har en reel rod. (LA sæ tn...) Sæ tn.: SHNUOV QLQJHQ Lad 7 : 5 O 5 O væ re en symmetrisk lineæ r afbildning og lad ^ væ re de indbyrdes forskellige egenvæ rdier for 7. er gæ lder: HP] ( Q ) UP] ( Q ) for L S HP] ( ) HP] ( ) HP] ( ^ ) Q Egenrummene danner direkte sum og 9] ( ) 9] ( ) 9] ( ^ ) 5 O er findes en ortonormalbasis for 5 O bestående af egenvektorer for 7. Med hensyn til denne basis er den tilhørende matrix af formen a a ' λ λ λ λ λ λ iagonalelementerne er egenvæ rdierne for 7 hver medtaget så mange gange som egenvæ rdimultipliciteten angiver. (La sæ tn...) Sæ tn.: \PPHULVNPULGLJRQOPULRJRURJRQO NYLYOHQV En symmetrisk matrix b b 5 er ortogonalæ kvivalent med en diagonalmatrix. er findes altså en matrix b b 5 for hvilken c d og så matricen
' Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve er en diagonalmatrix. e Q diagonalelementer i ' er rødderne i det karakteristiske polynomium Se ( ) det ( (f ) 5 hver medtaget så mange gange som rodmultipliciteten angiver. Søjlerne i ortogonalmatricen er koordinatsøjler for vektorerne i en ortonormalbasis af egenvektorerne for med hensyn til den kanoniske basis. (LA kor...) ef.: 'HILQLKHGVIRUKROG En symmetrisk Q Q f matrix kaldes positiv definit hvis ( ) > 5 & Tilsvarende kaldes negativ definit hvis er positiv definit. Matricen kaldes positiv f semidefinit hvis 5 ( ) og kaldes negativ semidefinit hvis ± er positiv semidefinit. Matricen kaldes indefinit hvis der findes vektorer \ 5 f for hvilke ( ) > RJ ( \ \) < (LA def...5) Sæ tn.: 'HILQLKHGVIRUKROGRJHJHQY UGLHU Lad væ re en symmetrisk Q Q matrix. er gæ lder er positiv definit hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er positive er positiv semidefinit hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er ikke-negative er negativ definit hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er negative er negativ semidefinit hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er ikke-positive er indefinit hvis og kun hvis har både positive og negative egenvæ rdier (LA sæ tn...) - -
g i h ih i h Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve.ygulvnhiruphu/ns ef.:.ygulvnirup Ved en kvadratisk form. : 5 f 5 defineret på det Q dimensionale vektorrum 5 f forstås en reel funktion med en forskrift af formen. g F (LA def...) ().( ) hvor ( f ) 5 f. Tallene Fjk kaldes koefficienterne for kvadratiske form.. Sæ tn.: ULRJNYGULVNIRUP f En kvadratisk form c. : 5 5 kan skrives på formen. () ; & ; hvor & (Fjk ) er en Q Q matrix og ; (LA sæ tn...) l f er koordinatsøjlen for vektoren med hensyn til den kanoniske basis for 5. Sæ tn.:.ygulvniruprjhq\gljehvhpv\pphulvnpul Lad. : 5 f 5 væ re en kvadratisk form. er findes en entydigt bestemt symmetrisk Q Q matrix for hvilken. () ; c ; 5 f idet ; betegner koordinatsøjlen for vektoren. (LA sæ tn...5) Sæ tn.:.ygulvniruphq\gljehvhpv\pphulvnpulrjvnousurgxnh f Lad. væ re en kvadratisk form på 5 og lad væ re den ovennæ vnte tilhørende entydigt bestemte symmetriske Q Q matrix. er f gæ lder. () 5 (LA sæ tn...7) - -
ef.:.ygulvniruprjlvrursyhnru Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Lad. : 5 f 5 væ re en kvadratisk form og lad væ re den til. hørende symmetriske Q Q matrix. En vektor Y 5 f siges at væ re selvadjungeret eller isotrop med hensyn til. hvis. (Y) (LA def...8) ef.: 'HILQLKHGVIRUKROGIRUNYGULVNHIRUPHU f Lad. : 5 5 væ re en kvadratisk form. Vi siger at. er positiv definit hvis. () > negativ definit hvis.() < positiv semidefinit hvis. () negativ semidefinit hvis. () for alle vektorer &. f (LA def...) indefinit hvis der findes vektorer \ og ] i 5 for hvilke. (\) > og. (]) <. Sæ tn.: 'HILQLKHGVIRUKROGIRUNYGULVNIRUPRJV\PPHULVNPUL En kvadratisk form har samme definithed som den tilhørende symmetriske matrix. (LA sæ tn...) Sæ tn.: 'HILQLKHGVIRUKROGIRUNYGULVNIRUPRJHJHQY f UGLHU Lad. : 5 5 væ re en kvadratisk form og lad væ re den til. hørende symmetriske matrix. Egenvæ rdierne for regnet med multiplicitet betegnes f. er gæ lder. er nulformen hvis og kun hvis f. er positiv definit hvis og kun hvis > f >. er negativ definit hvis og kun hvis < f <. er positiv semidefinit hvis og kun hvis «f. er negativ semidefinit hvis og kun hvis «f. er indefinit hvis og kun hvis har mindst én positiv og mindst én negativ egenvæ rdi. (LA sæ tn...5) ef.: RYHGXQGHUGHHUPLQQOHGHQGHKRYHGXQGHUGHHUPLQQ En hovedunderdeterminant kaldes også en principal underdeterminant og denne fremkommer ved at vi stryger et vist antal søjler og tilhørende ræ kker. vs. at hvis man vil - 5 -
m q o r p m q m m o o o q o o Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve stryge. søjle skal også. ræ kke stryges. eterminanten af den nu fremkomne matrix kaldes en hovedunderdeterminant eller en principal underdeterminant. Antallet af hovedunderdeterminanter til en Q Q matrix er givet ved f. En ledende hovedunderdeterminant også kaldet en ledende principal underdeterminant til en kvadratisk matrix fremkommer således: ' m N Q (MA s. 5-55) mnm Sæ tn.: RVLLYGHILQLRJOHGHQGHKRYHGXQGHUGHHUPLQQHU En symmetrisk Q Q matrix er positiv definit hvis og kun hvis de ledende hovedunderdeterminanter alle er positive. (LA teor...) Sæ tn.: RVLLYVHPLGHILQLRJKRYHGXQGHUGHHUPLQQHU En symmetrisk Q Q matrix er positiv semidefinit hvis og kun hvis samtlige hovedunderdeterminanter er ikke-negative. (LA teor...5) Sæ tn.: HJLYGHILQLRJVHPLGHILQLRJOHGHQGHKRYHGXQGHUGHHUPLQQHU Lad væ re en symmetrisk Q Q matrix. er gæ lder Matricen er negativ definit hvis og kun hvis de ledende hovedunderdeterminanter opfylder ( ) ' ( S) ( ) > for S Q Matricen er negative semidefinit hvis og kun hvis samtlige hovedunderdeterminanter opfylder ( ) ' ( L L L ) L < < L Q for S Q (LA kor...) oo - -
Politstudiet matematik. årsprøve Hvis man fx skal afgøre om en 5 5 matrix er negativ definit tager de tilhørende ledende hovedunderdeterminanter. Så skal de ledende underdeterminanter have følgende fortegn: 5 5 ( ) dvs. ± ( ) dvs. ( ) dvs. ± ( ) dvs. ( ) 5 dvs. ± Sæ tn.: 'HHUPLQQHQIHQV\PPHULVNPUL eterminanten af en symmetrisk matrix er lig med produktet af egenvæ rdierne. - 7 -
Politstudiet matematik. årsprøve - 8 - Oversigtsopgave til Lineæ r Algebra v/ Arne Frøsig Rasmussen 9LVUHUPHGGHILQHUHHQPUL %HUHJQGHHUPLQQHQI 9L/SOFHXGYLNOHUHIHUV MOH ( ) 7 det %HVHPUQJHQIPUL 'GH HUUHJXO U(UJRKYHVUJ (UPULUHJXO U"QJLYLEHNU IHQGHIOGs t -HUUHJXO UMIVS UJVPnO9LXGUHJQHUu v ( ) * * * (w nohghvvhvghljhqkuhqlqyhuvpulu v GHUHUJLYHYHG 9LNRQUROOHUHUÂu v (x NRQUROHU.u v HUNRUUHNXGUHJQH
Politstudiet matematik. årsprøve - 9 - %HVHPGLPHQVLRQHQIELOOHGUXPPHIRUPUL 'HYLGHVJHQHUHOGHOLQH UXIK QJLJHV MOHYHNRUHULXGVS QGHU ELOOHGUXPPHIRU'UJ MIVS UJVPnOInVGHUIRUGLP5 OHUQLY ( ) * * * HUIVHVUJ OVnQOOHIV MOHUL)GHULQGHKROGHUHLQLLOHORJLJHQ InV GLP5 %HVHPELOOHGUXPPH5 RJEHVNULYGHVQXU 'GLP5 VnHUELOOHGUXPPHIRUOLJKHOHR y ) OJHOLJHUVXUMHNLY 'HLOLQLLOHOOHQHLVS UJVPnOK UHQGHHUYLVOLQH UXIK QJLJHV MOHYHNRUHU LGHQRSULQGHOLJHPULXGVS QGHUELOOHGUXPPH5 ( ) VSQ 5 R y %HVHPHQEVLVIRUELOOHGUXPPHIRU5 'HOLQH UXIK QJLJHV MOHYHNRUV XGJ UHQEVLVIRU5 %HVHPQXOUXPPHIRURJGHVGLPHQVLRQ 9LKULIOJ*UVVPQQVGLPHQVLRQVV QLQJGLP Q±UJ ± 'HUIRUHUQXOUXPPHNXQOLJQXOYHNRUHQOVn ( ) { } & nohghvhulqmhnly %HVHP±RPPXOLJ±HQEVLVIRUQXOUXPPHIRU
Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve 'GLP MIVS UJVPnOILQGHVGHULQJHQEVLVIRU /LJJHUKKYLQXOUXPPHIRU" OLJJHULMIVS UJVPnORJHUL YULJGHHQHVHSXQNGHUOLJJHUL QXOUXPPH OLJJHULNNHLMIRYHQIRU %HJUXQGNRUOLJQLQJHQ E KUO VQLQJIRUHKYHUYOJIE 'UJ UJz KU EOLGHQO VQLQJMINRPSHQGLHV OHUQLY 'HQ LO K UHQGH OLQH UH IELOGQLQJ 7 HU VXUMHNLY MI VS UJVPnO RJ GHUIRU Pn GHUY UHPLQGVpQO VQLQJ (UGHQLVS UJVPnORPOHO VQLQJHQ\GLJEHVHP" -GIELOGQLQJHQVRPLYLUNHOLJKHGHQHUHQHQGRPRUILVRPQ YQLKKYVS UJVPnO RJEnGHVXUMHNLYRJELMHNLYRJHUGHUIRURJVnELMHNLYMINRPSHQGLHV HQVnI OJHUGHE R y Vn7 E OHUQLY 'GH VnI OJHUHQ\GLJKHGHQVUNV E %HUJOLJQLQJVV\VHPH E E E YLONnUOLJ%HVHPQOOHIHRJHQHYULEOHRJ E QJLY±RPPXOLJ±KYLONHIYULEOHQHv { y GHUNQY OJHVVRPHRJHQHYULEOH 'GLP Q±UJMRJHQHUHOQJLYHUQOOHIHRJHQHYULEOHRJG GLP MIVS UJVPnOVnNQLQJHQIYULEOHQHv { y Y OJHVVRPHRJHQH YULEOH %HVHPVPOLJHHJHQY UGLHUIRUPULFHQRJGHUHVURGPXOLSOLFLH - -
Politstudiet matematik. årsprøve - - HUHQHJHQY UGLIRU!S! <> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) <> ± <> <> <> <> 'YV ^±` PHGUP ± RJUP %HVHPHJHQUXPPHK UHQGHLOVPOLJHHJHQY UGLHU G ± HUV JHVVn ±9LO VHUGHUIRU ( ) ( ) * * 8 8 ( (UJRKYHV V HVGHUIRUy InV GYV. R HUIVHV ( ) VSQ 9} G HUV JHVVn 9LO VHUGHUIRU ( ) * ( (UJRKYHV
Politstudiet matematik. årsprøve - - V HVGHUIRU~ RJ ~ InV R HUIVHV ( ) VSQ 9 %HVHPVPOLJHHJHQY UGLHUVHJHQY UGLPXOLSOLFLH -IVS UJVPnOVHVVUNVHP ± RJHP OHUQLY 'HUV\PPHULVNHUHP UP RJGLVVHHUIXQGHLVS UJVPnOLOY UHGH RYHQVnHQGHMIL YULJNRPSHQGLHV %HVHPIRUVPOLJHHJHQY UGLHUHQEVLVIRUGHLOK UHQGHHJHQUXP (QEVLVIRU9 ±HUnEHQEUV H (QEVLVIRU9 HUnEHQEUV H %HVHPGLPHQVLRQHQIGHLVS UJVPnOIXQGQHXQGHUUXPRJXQGHUV J L 8QGHUV JRP9 ±A9 LL 8QGHUV JRP9 ±9 R LLL 8QGHUV JRP9 ± 9 R ' ( ) ( ) VSQ RJ 9 VSQ 9 ƒ ƒ VHVVUNV
Politstudiet matematik. årsprøve - - GLP9 ± RJGLP9 GL 9LVNOEORYLVHOOHNRPELQLRQHUIEVLVYHNRUHUIRUGHRHJHQUXPHULQGE\UGHV RURJRQOH'HHJ UHVEORYHGYLVHVNOUSURGXNHUQHJLYHU GYVVYUHHUM OHUQLY nvqghqi OJHUIHUV\PPHULVNMINRPSHQGLHV GLL 9LVNOEORYLVHYHNRUV HEHVnHQGHIGHUHEVLVYHNRUHUIUGHHJHQUXPHU OLQH UXIK QJLJIRUGHUPHGYLOGHUHEVLVYHNRUHUMRGQQHHQEVLVIRUR LGH GLPR JGHHHULOI OGHKL (UJRHUVYUHM OHUQLY nvqghqi OJHUVUNVIHUV\PPHULVNMINRPSHQGLHV SHNUOV QLQJHQ GLLL 'GHXQGHULLHUYLVHJHQUXPPHQHVXPPHULOR PQJOHUYLEUHYLVH ( ) ( ) {} & 9 9 %HYLV 9 ± 9! 9 ±š 9! : & <> <> λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 5
Politstudiet matematik. årsprøve - - 'V H HUOLQH UXIK QJLJVnKURYHQVnHQGHOLJQLQJNXQpQ O VQLQJQHPOLJ ~ RJGHUPHGInV & YUHHUGHUIRUM OHUQLY nvqghqi OJHUGLUHNHIVSHNUOV QLQJHQMILL * UUHGHIRUPULFHQHUGLJRQOLVHUEU ULHUGLJRQOLVHUEUMIVSHNUOV QLQJHQNRPSHQGLHV %HVHPHQRURJRQOPULVn HUHQGLJRQOPULRJQJLYRJ %HUJHJHQYHNRUEVHQ %HP UNYHNRUHUQHLGHQQHRSJYH LOI OGLJYLVHULQGE\UGHVRURJRQOHIUVUI9UGHHLNNHLOI OGHNQPQ EUXJH*UPFKPLGRURQRUPOLVHULQJMINRPSHQGLHV9LVNOVnOHGHVL GHQQHRSJYHNXQQRUPHUHYHNRUHUQHRJInU VnLGHV MOHUQHL VRPEHNHQGHUGHRURQRUPOLVHUHGHHJHQYHNRUHUInV 'HUYHGInV LI OJHVSHNUOV QLQJHQ 'HURURJRQOKYHV %HVHPuPULFHQ
Politstudiet matematik. årsprøve - 5 - ' HUHQGLJRQOPULMIVS UJVPnOVnInVOH ( ) MINRPSHQGLHV %HVHPOOHQHGH RJGH 9LVUHUPHGEHVHPPHGH ( ) 7 MINRPSHQGLHV ' HUHQNYGULVNPULHUGH GH MINRPSHQGLHV GYV ( ) ( ) ( ) 7 det det 9LGHILQHUHUQXHQQ\uPUL%YHG 5 % %HVHPPULFHQÂ% 8 8 8 5 % %HUJGHRI UVHV MOHYHNRUHULPULFHQÂ%VRPYLNOGHUF RJFˆ * UUHGHIRU V HF Fˆ HUOLQH UXIK QJLJ 9HNRUHUQH 8 RJ HURSOJLNNHSURSRULRQOHHUJRHUGHOLQH UXIK QJLJH * UUHGHIRU8 VSQ^F Fˆ `HUHXQGHUUXPIR L %HVHPP QJGHQIOSUEVnE 8
Š Š Š Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve 8 VSQ HUHXQGHUUXPIR MINRPSHQGLHV 8 GL α β 'HUIRUEHUJHV 8 E 8 E 7 5 5 8 5 E 7 5 * * 55 5 5 8 8 8 5 ( ) 98 5 5 7 8 9 7 8 8E 5 HUIInVE 8!! 98 8 8E 5 <> E E 7 9 {( E) } E 8 8 5 8 7 9 8 * 8 9 (UJRInV %HVHPHQRURQRUPOEVLVIRU9Œ IUVS UJVPnO 'EVLVYHNRUHUQHL9Œ HU I G RURJRQOHEHK YHUYLLNNHEUXJH*UP FKPLGVRURJRQOLVHULQJVPHRGH9LVNOEORQRUPHUHRJInUI OJHQGHEVLV %HVHPGHRURJRQOHNRPSOHPHQLO9Œ RJLO9Œ ±IUVS UJVPnO G9Œ - -
Politstudiet matematik. årsprøve - 7-9Œ! <> 9LEHUJHUGHUIRU HVGHUIRUŽ InV ( ) VSQ 5 9 Vn G9Œ ± 9Œ ±! <> HVGHUIRU RJŽ VInV ( ) VSQ 5 V 9 Vn V V 8) 9LVXQGHUUXPPH8 VSQ 9Œ IUVS UJVPnO '9Œ HUHXQGHUUXPHUGHQRNYLVH ( ) 9 RJGHHHUNOULGH ( ) /GPULY UHGHQLOHQNYGULVNIRUPK UHQGHPUL%HVHP VGHILQLKHGVIRUKROG I OJHVS UJVPnOHU VHJHQY UGLHURJ±'HUIRUHUHOOHULQGHILQLMI NRPSHQGLHV
Politstudiet matematik. årsprøve /GEHHJQHHVVHPULFHQ IRUHQIXQNLRQIR Ž or.qiy UHHQNRQYHNVHOOHUNRQNY IXQNLRQ" 'HVVHPULFHQHULQGHILQLHUGHQVnOHGHVKYHUNHQSRVLLYVHPLGHILQLHOOHUQHJLY VHPLGHILQLRJNQGHUIRUKYHUNHQY UHNRQYHNVHOOHUNRQNY-IVRJ V %HUJHQOLQH UIELOGQLQJR Ž orirukylonhqghj OGHU H H HŽ H H HŽ H HŽ KYRUH H HŽ EHHJQHUGHQNQRQLVNH Ž EVLVIRUR L %HJUXQGNRUH LNNHHUHQHJHQYHNRUIRU LL %HVHPGHQLOK UHQGHPULPKH H HŽ LLL %HJUXQGHUVXUMHNLY GL 'HHHUNOUKLH H HŽ NÂH N R(UJRHUH LNNHHQHJHQYHNRUIRU GLL 'V MOHYHNRUHUQHLGHQLOK UHQGHPULHUELOOHGHUQHIGHNQRQLVNH EVLVYHNRUHUInVOH GLLL %LOOHGUXPPHIRUXGVS QGHVIGHOLQH UXIK QJLJHV MOHYHNRUHUL'UJ LIOJVS UJVPnOVnKYHV5 R Ž (UJRHUVXUMHNLY %HUJHQOLQH UIELOGQLQJ7R Ž or Ž IRUKYLONHQGHJ OGHU 8 7 7 7 Se MA s. 95 for en definition af Hessematricen. - 8 -
Politstudiet matematik. årsprøve - 9 - L %HJUXQGNRU HUHQHJHQYHNRUIRU7 LL %HVHP7H 7H RJ7HŽ KYRUH H HŽ EHHJQHUGHQNQRQLVNHEVLVIRUR Ž LLL %HVHPGHQLO7K UHQGHPULPKH H HŽ LY %HJUXQG7HULQMHNLY Y 8QGHUV JRP7 R Ž or Ž HUHQOLQH UIELOGQLQJRJRSVNULYLEHNU IHQGHIOG PULFHQK UHQGHLO7 PKH H HŽ GL 'HHUNOUKL 7 RJGHQLOK UHQGHHJHQY UGLHU GLL LLL 9LKUOVn 8 'LVVHRSO\VQLQJHUVPOHVLO HQPULOLJQLQJ 8 7UQVSRQHUHVGHQQHOLJQLQJInV 8 9LEHUJHUGHUIRU ( ) ( * * 8 8
Politstudiet matematik. årsprøve - 5 - n KYRUIYLNQIO VH ( ) ( ) ( ) H 7 H 7 H 7 GLY 'GLP7 Q±UJ ± MIVS UJVPnOKYHV ( ) { } & 7 (UJRHU7 LQMHNLY -INRPSHQGLHV GY '7R or HULQMHNLYHU7XRPLVNRJVnELMHNLYG7HUHQHQGRPRUILMI NRPSHQGLHVHQGHU7š RJVnOLQH UMINRPSHQGLHVPHG MIVS UJVPnOVRPGHQLOK UHQGHIELOGQLQJVPUL MINRPSHQGLHV %HUJHQOLQH UIELOGQLQJ8R or IRUKYLONHQGHJ OGHU ( ) ( ) ( ) 8 H H 8 H H 8 H H 8 KYRUH Hœ H EHHJQHUGHQNQRQLVNH EVLVIRUR L %HVHPGHQLO8K UHQGHPULPKH Hœ H LL * UUHGHIRU8HUHQV\PPHULVNIELOGQLQJ LLL %HJUXQGNRUHJHQUXPPH9 ±HULQYULQXQGHU8 GL
Politstudiet matematik. årsprøve - 5 - ' H H RJ H H H H NQPQYHGVPPHQOLJQHPHG RSO\VQLQJHUQHLVS UJVPnOGLUHNHVH7RJ8LYLUNHOLJKHGHQHUEHVNULYHUGHQ VPPHOLQH UHIELOGQLQJIOJVS UJVPnOLLLInVGVUNV GLL nvqghqhunouuljljlghghqlok UHQGHPULIXQGHXQGHULNOUHU V\PPHULVNMIL YULJ/V Q GLLL HVLGH ( ) VSQ 9ž -IVS UJVPnOnKYLV 9 ±InV ( ) ( ) Ÿ 9 N 8 KYLONHMRYLVHU89 ±Ž9 ± (UJRHU9 ±LQYULQXQGHU8 (ULN%HQQLNHIHEUXU
Adjungeret afbildning... 8 9 Basis for underrum... Bijektivitet... 8 Billedet af et vektorsæ t... Billedrum... 7 9 Cramers formler... 8 efinithed... 5 eterminant... 7 7 iagonalmatrix... 7 imension af underrum... irekte sum... Echelonmatrix... 8 Egenrum... Egenvæ rdi... Egenvæ rdimultiplicitet... Gram-Schmidt ortonorm... Grassmanns dimensionssæ tn.... 8 Grassmanns udskiftningssæ tn... Homogent ligningssystem... Hovedunderdeterminant... 5 Hyperplan... Indre produkt... Initialettal... 8 9 Injektiv afbildning... 7 8 Invariant underrum... Invers matrix... Isometri... Isotrop vektor... 5 Karakteristisk polynomium... Konsistens af ligningssystemer... Koordinattransformation... Kvadratisk form... 5 Kompendium til Lineæ r Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Stikordsregister: Laplaces udviklingssæ tning...8 Lineæ r afbildning... 8 Lineæ r (u)afhæ ngighed... 7 Lineæ r relation... Matrixmultiplikation...5 7 Norm af vektor... Norm af lineæ r afbildning...9 Nulrum... 7 9 Operationsmatricer... 7 Ortogonal matrix... Ortogonalt komplement...5 Ortonormalt vektorsæ t... 5 Ortogonalæ kvivalens... Principal underdeterminant...5 Rangen af en matrix... Regneregler for matricer...5 Regularitet af matricer... 7 7 Rodmultiplicitet... Ræ kkeoperationer...8 Skalarprodukt... Selvadjungeret endomorfi...9 Suppleringssæ t... Surjektivitet...7 8 Symmetrisk afbildning...9 Symmetrisk matrix... 7 Søjleoperationer...7 Transponeret matrix... 7 Udspæ nding af mæ ngde... Underrum... 7 Vinkel mellem vektorer... eierstrass determinansæ tn.... Ækvivalens af ligningssystemer...8-5 -