Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Anlysens fundmentlsætning, del 1 3 3 Anlysens fundmentlsætning, del 2 6 4 Anlysens fundmentlsætning, del 3 8
Resumé I dette dokument beviser vi (en simplificeret version f) nlysens fundmentlsætning. 1 Introduktion Anlysens fundmentlsætning er (som nvnet ntyder) den mest grundlæggende (om ikke den vigtigste) sætning i hele den del f mtemtik som hedder nlyse ltså den del som (blndt ndet) hndler om differentition og integrtion. Sætningen udtrykker en fntstisk smmenhæng mellem netop disse to begreber. Vi vil her kste os ud i t bevise denne smmenhæng. Eller rettere: Nogle pssende versioner f den. Kært brn hr som bekendt mnge nvne. Men nogle gnge kn mn møde en hel msse kære børn det smme nvn. Det vil du hurtigt opdge er tilfældet med Anlysens fundmentlsætning. Der findes nemlig en ordentlig bunke sætninger med dette nvn, og de kn se temmeligt forskellige ud. Hvis mn ser nøje efter, vil mn dog opdge t de lle er præciseringer f følgende (meget upræcise) formulering: Sætning 1 (Anlysens fundmentlsætning på slognform). 1. De fleste funktioner kn integreres. 2. Mn kn finde stmfunktioner ved hjælp f bestemte integrler. 3. Mn kn beregne bestemte integrler ved hjælp f stmfunktioner. Dette dokument er delt i tre dele, hvor vi beviser en (præcis) udgve f hver f disse tre påstnde. side 1
Forudsætninger Du bør helt fgjort læse dokumentet om integrtion 1 før dette. Som minimum hr du brug for t kende definitionen f de såkldt nummererede under og oversummer for en kontinuert funktion og deres smmenhæng med definitionen f det bestemte integrl. Til de to sidste beviser får vi brug for definitionen f og nogle simple fcts om differentition 2. Desuden får vi brug for nogle f de hjælpesætninger som findes i dokumentet om integrtion. For overskuelighedens skyld er de smlet herunder i den rækkefølge vi får brug for dem: Lemm 2. Hvis f er en funktion, og [; b] er et intervl i definitionsmængden, hvorpå f er kontinuert, og de nummererede undersummer, U n og oversummer, O n opfører sig sådn t: så er f integrbel på [;b]. (U n O n ) 0 når n Lemm 3 (Indskudssætningen). Hvis f er en funktion som er integrbel på et lukket intervl [;b] og hvis m [;b] så er: m f (x)d x = f (x)d x + f (x)d x m 1 Det kn du finde her 2 Læs om differentition her side 2
Lemm 4 (Middelværdisætningen). Hvis f er en funktion, og [; b] er et intervl i definitionsmængden, hvorpå f er både kontinuert og integrbel, så findes der (mindst) et element, c [;b] med den egenskb t: f (x)d x = f (c) (b ) 2 Anlysens fundmentlsætning, del 1 Den første del f nlysens fundmentlsætning udtler sig om hvor mnge integrble funktioner der findes. Her er en den mest kendte version: Sætning 5 (Anlysens fundmentlsætning, del 1). Hvis f er en funktion, og [; b] er et intervl i definitionsmængden, hvorpå f er kontinuert, så er f integrbel på [;b]. Sætningen er desværre meget svær t bevise, så vi vil nøjes med t bevise en light udgve. Denne udgve ligner den rigtige gnske meget, idet den også grnterer t en bestemt egenskb vil medføre t en funktion er integrbel. Den er dog nderledes, fordi selve egenskben er noget helt ndet, nemlig monotoni. Sætning 6 ( Light udgven ). Hvis f er en funktion, og [; b] er et intervl i definitionsmængden, hvorpå f er monoton, så er f integrbel på [;b]. Bevis. Vi vil her ntge t f er voksende på intervllet. Hvis den er ftgende, skl rgumentet lves en lille smule om. side 3
Vi vil rgumentere for t f er integrbel ved t vise t forskellen på de nummererede undersummer og oversummer: O n U n går imod nul, når n. Tricket er nemt t komme i tnker om hvis mn tænker på grfen for f. (Se figur 1.) Når mn skl beregne en f de nummererede undersummer, så skl mn i hvert delintervl finde minimumsstedet for f i dette intervl. Men d f er voksende, vil dette minimumssted ltid ligge i venstre intervlendepunkt! Tilsvrende, når mn skl beregne de nummererede oversummer, så ender mn med endepunkterne ude til højre i delintervllerne som mksimumssteder. b Figur 1: Grfen for en funktion, f, som er voksende på et lukket intervl, [;b] med indtegning f hvordn den nummererede undersum, U 4 (med grønt) og oversum, O 4 (med rødt) beregnes. Nu kn rgumentet færdiggøres på to måder. Den første måde er meget intuitiv, fordi den støtter sig til tegningen: Oversummen, O n, svrer til relet f de røde ksser, og undersummen, U n svrer til relet f de grønne ksser. Derfor må differensen: O n U n svre til det smlede rel f de små ksser som hr en grøn streg i bunden og en rød streg i toppen. Eftersom lle disse ksser hr smme side 4
bredde, nemlig x = b n kn vi forestille os t de bliver stillet oven på hinnden. Dermed fremkommer et rektngel med bredde x og smlet højde: f (b) f () Når n går imod uendelig, så bliver x meget lille, mens højden overhovedet ikke ændrer sig. Derfor vil rektnglets rel (også kendt som O n U n ) nærme sig nul. Hvis mn bedre kn lide t regne sig frem til tingene, så kn mn også lve rgumentet på en mere nlytisk måde: Ld os nvngive de delepunkter som definerer den inddeling som U n og O n beregnes ud fr: = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b Dermed er: Mens: U n = f (x 0 ) x + f (x 1 ) x + f (x 2 ) x... f (x n 1 ) x O n = f (x 1 ) x + f (x 2 ) x +... f (x n 1 ) x + f (x n ) x D de fleste f leddene er ens i begge udregninger giver differensen bre: O n U n = f (x n ) x f (x 0 ) x = ( f (b) f () ) x Og når så n går imod uendelig, vil f (b) f () ikke ændre sig, mens x går imod nul. Derfor går differensen imod nul. Hermed hr vi (på to måder) rgumenteret for t O n U n 0, når n og derfor er f integrbel på [;b] ifølge lemm 2. side 5
3 Anlysens fundmentlsætning, del 2 Sætning 7 (Anlysens fundmentlsætning, del 2). Hvis f er en funktion, og [;b] er et intervl i definitionsmængden, hvorpå f er kontinuert (og dermed integrbel), så er funktionen A defineret ved: x A(x) = f (t)d t differentibel i lle x 0 ];b[ og Dvs. A er en stmfunktion til f. A (x 0 ) = f (x 0 ) Bevis. Ld x 0 være et vilkårligt punkt i det åbne intervl ];b[. Vi vil nu vise t A er differentibel i dette punkt. Derfor ser vi på differenskvotienter for A omkring x 0 (idet vi vælger et ekstr punkt, x, tæt på x 0 ): h(x) = A(x) A(x x 0) = f (t)d t x 0 f (t)d t x x 0 x x 0 Men ifølge indskudsreglen (lemm 3) er: x Derfor kn vi omskrive: f (t)d t = x0 h(x) = f (t)d t + x x 0 f (t)d t x x 0 x x 0 f (t)d t Og nu kn vi påklde lemm 4 som siger t der et eller ndet sted imellem x 0 og x ligger et element, c (se figur 2 for t holde styr på bogstverne), sådn t: x x 0 f (t)d t = f (c) (x x 0 ) side 6
Dermed kn vi fortsætte omskrivningen: h(x) = f (c) (x x 0) x x 0 = f (c) Arel: Figur 2: Nvngivning og plcering f de forskellige tl i beviset for sætning 7 Så differenskvotienten for A i punktet x 0 er lig med f s funktionsværdi i et eller ndet punkt som ligger mellem x 0 og det ekstr punkt x der bruges til t udregne differenskvotienten med. Men vi skulle se hvd der skete med differenskvotienten når x x 0 Når det sker, så vil punktet c nødvendigvis også nærme sig x 0, fordi det er klemt inde mellem x 0 og x. Og d f er kontinuert vil f (c) derfor nærme sig f (x 0 ). Vi hr ltså rgumenteret for t h(x) f (x 0 ), når x x 0 Hvilket er det smme som t sige t A er differentibel i x 0 og t: A (x 0 ) = f (x 0 ) side 7
4 Anlysens fundmentlsætning, del 3 Sætning 8 (Anlysens fundmentlsætning, del 3). Hvis f er en funktion og [;b] er et intervl i definitionsmængden, hvorpå f er kontinuert (og dermed integrbel), og hvis F er en funktion som er kontinuert på [;b] og differentibel på det åbne intervl ];b[ med: F (x) = f (x) (ltså løst sgt: hvis F er en stmfunktion til f ), så er: f (x)d x = F (b) F () Bevis. Vi hr llerede hr en nden glimrende stmfunktion til f, nemlig A fr sætning 7. Eftersom to stmfunktioner til den smme funktion på et åbent intervl kun kn fvige med en dditiv konstnt, må der ltså findes en konstnt, k, sådn t: F (x) = A(x) + k for lle x ];b[. D både F og A er kontinuerte, må denne lighed også gælde i x = og x = b. Dermed er: F (b) F () = A(b) + k (A() + k) = A(b) A() = = f (t)d t f (t)d t f (t)d t side 8