Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 -
Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det samme som i ande læebøge, men tilgangsvinklen e temmeligt foskellig, idet de e bugt meget mee enkle definitione end den taditionelle, hvo en vekto definees som en ækvivalensklasse af pile modulo tanslatione. Notene indeholde kun det tøe stof, dvs. definitione, sætninge og enkelte eksemple. Alle eksemple på paktiske anvendelse af vektoegning, heunde pikpodukt, kydspodukt og skæinge mellem plane og linje, e fotsat at finde andetsteds. Denne sidste halvdel af notene indeholde teoien om punkte og vektoe i det tedimensionelle koodinatsystem, også kendt som ummet. Teksten indeholde to figue de høfligt e lånt fa nogle undevisningsnotate, begået af Maie Dehnfeld, Mads Hansen og Daniel Schäfe fa Mat A-holdet 2005-2006. - 2 -
Indhold Indhold 3 1. Tedimensionale punkte 4 2. Tedimensionale vektoe 7 3. Indtegning af vektoe 9 4. Længde af en vekto 10 5. Sælige vektoe, stedvektoe 11 6. Regning med vektoe 1 13 7. Geometisk tolkning 1 15 8. Regning med vektoe 2 16 9. Geometisk tolkning 2 18 10. Regning med vektoe 3 23 11. Rette linje i ummet 29 13. Plane i ummet 31-3 -
1. Tedimensionale punkte Vi benytte notationen: R 3 = {(x, y,z) x,y,z " R} til at betegne det tedimensionale koodinatsystem. - Altså mængden af alle punkte (x,y,z), hvo x, y og z e eelle tal. De te tal kaldes punktets koodinate. Bemæk det lille 3-tal fooven i R 3. Man læse det som R-te, og ikke som R i tedje. Nå vi tænke på det tedimensionale koodinatsystem, state vi med at tænkte på det specielle punkt (0,0,0), også kaldet oigo. Deefte tænke vi på de te akse, x-aksen (de punkte hvo y- koodinaten og z-koodinaten e nul), y-aksen og z-aksen. Vi foestille os disse te akse tegnet vinkelet på hinanden i det tedimensionale um. Det se ud som vist nedenfo, nå man tegne det: (Man foestille sig venligst at x-aksen stitte udad, vinkelet på både y- og z-aksen.) Bemæk at man altid tegne de te akse efte højehåndseglen, altså sådan at man kan lægge tommel-, pege- og langefinge på høje hånd langs med henholdsvis x-, y- og z-aksen. Desuden e det tadition at tegne z-aksen opad. Nu tænke vi på et geneelt punkt (x,y,z) som det punkt i ummet, de ligge x ude af x-aksen, y ude af y-aksen og z oppe af z-aksen. Nå man tegne et punkt i det tedimentionelle koodinatsystem, e det en god ide at tegne nogle hjælpelinje, som e paallelle med enten x-, y- elle z-aksen. Dette e antydet på tegningen nedenfo, hvo punktet (5,-1,8) e aftegnet. (Dehnfeld, Hansen, Schäfe 2005). - 4 -
Punkte i det tedimensionale koodinatsystem kaldes ofte P, Q, R elle ande stoe bogstave. Man skive fo eksempel: P=(3,-1,8). Bemæk at nogle læee af ukendte åsage undlade at skive lighedstegnet. I det tedimensionelle um e de ydeligee te inteessante delmængde, nemlig de punkte, hvo x-koodinaten e nul, også kendt som yz-planen, de punkte, hvo y-koodinaten e nul, også kendt som xz-planen og de punkte, hvo z-koodinaten e nul, også kendt som xy-planen. Ligesom de to akse dele planen ind i fie kvadante, således dele de te koodinatplane ummet ind i otte såkaldte oktante. De e vedtaget en måde at nummeee disse oktante på, men da ingen alligevel kan huske dette, vil vi ikke snakke mee om det. :) Sætning 1 (afstandsfomlen i ummet) Hvis P = (x 1,y 1,z 1 ) og Q = (x 2,y 2,z 2 ) e to punkte i ummet, så e afstanden mellem dem (altså længden af det ette linjestykke mellem dem) givet ved: PQ = (x 2 " x 1 ) 2 + (y 2 " y 1 ) 2 + (z 2 " z 1 ) 2 Bevis Betagt tegningen (Dehnfeld, Hansen, Schäfe 2005): - 5 -
På denne tegning, ha punktene E og F begge z-koodinat nul, og samme x- og y-koodinate som henholdsvis P og Q. Defo e afstanden mellem dem givet ved afstandsfomlen i xy-planen: EF = (x 2 " x 1 ) 2 + (y 2 " y 1 ) 2 Dette e lig den ene katede, A, i den etvinklede tekant på figuen. Den anden katede, B e lig foskellen i z-koodinate på de to punkte: B = z 2 " z 1 Pythagoas anvendt på den etvinklede tekant give da: PQ = A 2 + B 2 = (x 2 " x 1 ) 2 + (y 2 " y 1 ) 2 + (z 2 " z 1 ) 2 q.e.d. - 6 -
2. Tedimensionale vektoe Nu indføe vi en ny notation: )" x% - + V 3 = y x,y,z ( R + *. +,# z + & / Altså: V 3 (læses: V-3 ) betegne mængden af alle talsæt (nu skevet oven på hinanden i en aflang paentes), hvo alle te indgående tal e eelle. Elementene i V 3 kaldes tedimensionelle vektoe, og de te tal kaldes vektoens koodinate. Vektoe kaldes ofte u, v, w elle ande små bogstave. Mange læee foetække desuden at sætte en pil ove bogstavene fo at # 3 & % ( undestege at det e en vekto. Man skive f.eks. v = "1 % (. $ 5 ' Nu tænke den kvikke elev: E vektoe ikke pæcis det samme som punkte? Og svaet e: Jo Det eneste vi ha gjot e at skive koodinatene oven på hinanden i stedet fo ved siden af hinanden med komma imellem sig. Lad os defo alleede nu slå fast at: V 3 " R 3 -Idet, man til enhve tid kan ovesætte mellem vektoe og punkte: Hvis man ha en vekto, kan man skive dens koodinate ved siden af hinanden med kommae imellem, og vupti, ha man et punkt. Og omvendt. Den stoe foskel komme nu, nemlig i måden som vi tænke på V 3 " 3% på: En tedimensionel vekto, som fo eksempel 1, skal vi nemlig # 5& ikke tænke på som en pik i en plan. En vekto tænke vi deimod på som en etningsangivelse. Således vil vi tænke på ovennævnte vekto - 7 -
som 3 langs x-aksen (udad), 1 langs y-aksen (til høje) og 5 langs z- aksen (op). En vekto angive en etning og en afstand, men ikke et statpunkt. Defo at det stadig meget svæt at se en vekto fo sig. Det blive nemmee lige om lidt... - 8 -
3. Indtegning af vektoe Man kan indtegne en vekto ud fa et punkt, pæcis lige som i planen (se eventuelt del 1 af disse note). Eksempel " 1,5% Vi ha he indtegnet vektoen 3 ud fa punktet # 1,5& således med at pege på punktet (3,3,3). " 3 2,0, 3 %. Den ende # 2& Øvelse 1 Indtegn vektoen " 0% 0 # 4& ud fa punktet P=(-1,0,0). (Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) - 9 -
4. Længde af en vekto Definition " a% Lad b væe en vekto. Vi definee længden af # c& v = a 2 + b 2 + c 2 v til at væe: Bemæk at de to lodette stege, som betyde længde af en vekto, ligne nummeisk-tegnet til foveksling. De e dog ingen fae fo foveksling, idet man bae kan holde øje med hvad de stå i midten: Nummeisk-tegn ha et eelt tal i midten, og længde-tegnet ha en vekto. :) Øvelse 2 Beegn længden af følgende vektoe: " 0% n = 0, # 0& " 1% i = 0, # 0& " 0% k = 0 og # 1& # "3& % ( v = 2 % ( $ 3' (Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) Vi skal lige sike os at begebet længde af en vekto passe med voes geometiske billede af vektoe. Det gø vi med følgende sætning: Sætning 2 Nå man indtegne en vekto man en pil med længde v. " a% v = b # c& ud fa et punkt P=(x,y,z), så få Bevis: Pilen man tegne gå mellem punktet P=(x,y,z) og punktet Q = (x+a,y+b,z+c). Ifølge afstandsfomlen e længden af linjestykket mellem disse to punkte: PQ = ((x + a) " x) 2 + ((y + b) " y) 2 + ((z + c) " z) 2 = a 2 + b 2 + c 2 = v q.e.d. - 10 -
5. Sælige vektoe, stedvektoe Vi skal nu se på nogle sælige vektoe, de optæde så ofte at de ha dees egne navne: " 0% Alleføst e de nulvektoen, 0 = 0. # 0& En vekto som ikke e nulvekto kaldes en egentlig vekto. En vekto med længde 1 kaldes en enhedsvekto. " 1% " 0% " 0% De te sælige enhedsvektoe 0, 1 og 0 kaldes føste # 0& # 0& # 1& basisvekto, anden basisvekto og (guess what...) tedie basisvekto. De omtales sædvanligvis unde navnene: i, j og k. Hvis man ha to punkte P og Q i koodinatsystemet, så findes de pæcis én vekto, som pege på Q, hvis man indtegne den fa P. Denne vekto kaldes den fobindende vekto og skives som PQ. Det sidste punkt uddybe vi lige i en sætning: Sætning 3 (fobindende vekto) Hvis P = (x 1,y 1,z 1 ) og Q = (x 2,y 2,z 2 ) e to punkte i koodinatsystemet, så findes de netop en vekto, PQ som opfylde, at nå den indtegnes fa P, så pege den på Q. Denne vekto e givet ved: # x 2 " x 1 & % ( PQ = y 2 " y 1 % ( $ z 2 " z 1 ' Bevis: Beviset føes pæcis lige som i det todimensionelle tilfælde. q.e.d. - 11 -
Øvelse 3 Givet punktene P=(1,1,0) og Q=(0,-2,2). Beegn vektoen PQ. Indtegn deefte P og Q i et koodinatsystem. Tegn til sidst vektoen PQ ud fa P. (Gæt engang... Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) Hvis man kun ha et enkelt punkt, P=(x,y,z), kan man altid lave en fobindende vekto som pege fa oigo, O=(0,0,0), til P. Ifølge ovenstående sætning få denne vekto koodinatene: # x " 0& # x& % ( OP = y " 0 % ( = % ( y % ( $ z " 0' $ z' Denne vekto kaldes P s stedvekto. Vi se altså nu, at den sammenhæng mellem punkte og vektoe, som vi opdagede tidligee: V 3 " R 3, bestå i at et punkt ovesættes til sin stedvekto. - 12 -
6. Regning med vektoe 1 Addition og skaleing af tedimensionelle vektoe foegå pæcis lige som med todimensionelle: To vektoe lægges sammen ved at man lægge hve af dees koodinate sammen. En vekto skalees med et eelt tal ved at gange det eelle tal på hve af koodinatene. Øvelse 4 Beegn følgende vekto: # 5 & # 1 & % ( 2 % ( + 7) % ( "1 % (. $ "1' $ 3 ' De nye egneopeatione opføe sig igen helt som vi e vant til: Sætning 4 (egneegle fo basale vektoopeatione) Vektoaddition og skaleing opfylde følgende egneegle: Den kommutative lov: Hvis Den associative lov: Hvis u, v og w e vektoe, så e v + w = w + v v og w e vektoe, så e ( u + v ) + w = u + ( v + w ) De distibutive love: Hvis v og w e vektoe, og og s e skalae, så e " ( v + w ) = " v + " w ( + s) " v = " v + s" v En homogenitetslov: Hvis v e en vekto, og ( " s) " v = " (s" v ) = s" ( " v ) og s e skalae, så e Indskudseglen fo fobindende vektoe: Hvis A, B og C e punkte i koodinatsystemet, så e AB + BC = AC. - 13 -
Længde af skaleing: Hvis Tekantsuligheden: Hvis v e en vekto og v og " v = " v w e vektoe, så e v + w " v + w e en skala, så e Lidt snik-snak, som godt kan spinges ove: Lidt odfoklaing. Odene kommutativitet, distibutivitet, associativitet og homogenitet kan vike lidt voldsomme føste gang man se dem. Men de give god mening, nå man få dem foklaet: Kommutativ: Tænk på engelsk: to commute, altså noget med at bevæge sig. Det e jo det de to vektoe gø, nå de bytte plads. Distibutiv: Tænk på at distibuee = at binge ud. Det e jo det man gø med skalaen, nå man sætte den ind på alle leddene i en paentes. Homogen: (Tænk på mælk) Homogen betyde ensfomig elle jævn. I voes tilfælde e det de foskellige podukte, som e så ensfomige at man kan blande dem sammen. Associativ: Ha noget med at associee = at tilknytte at gøe. Man vælge jo hvilke vektoe de skal lægges sammen føst (hvilket man jo godt kan kalde at knytte dem til hinanden), idet man vælge en måde at sætte paentese på. Den associative lov sige at man kan associee som man vil. - 14 -
7. Geometisk tolkning 1 Den geometiske tolking af vektoaddition og skaleing e pæcis den samme af vektoe i ummet, som i planen. Summen af to vektoe opfylde, at hvis man tegne de to vektoe i folængelse af hinanden, så pege de tilsammen på det samme punkt som summen af dem. (Man lægge vektoe sammen ved at tegne dem i folængelse af hinanden.) Skaleing fungee igen ved at man stække pilen. Hvis man skalee med en n egativ skala, vendes etningen af vektoen. Vi definee igen: Definition To vektoe, v og w, kaldes paallelle hvis den ene kan skives som en skaleing af den anden. Altså hvis de findes et eelt tal, " R, sådan at enten v = " w elle w = " v. Bemæk at nulvektoen p. definition e paallel med alle ande vektoe. Øvelse 5 Definitionen på paallelle vektoe se ved føste øjekast mee besvælig ud end nødvendigt. Hvofo give det ikke den samme definition, hvis man bae sige at og w e paallelle såfemt de findes et eelt tal " R sådan at v = " w? (Hjælp: Tænk på nulvektoen) (Denne øvelse e lidt undelig. Hvis ikke du fostå den, så gå bae videe uden at lave den.) v - 15 -
8. Regning med vektoe 2 I dette afsnit definee vi et podukt af tedimensionelle vektoe. Altså et podukt, hvo det e to vektoe de ganges sammen. Definition (pikpodukt) Givet to vektoe, vektoe som: " $ v = $ # a 1 b 1 c 1 % ' ' og & " $ w = $ # a 2 b 2 c 2 % ', definee vi pikpoduktet af de to ' & v w = a 1 " a 2 + b 1 " b 2 + c 1 " c 2 Man pikke altså to vektoe med hinanden ved at gange dees føstekoodinate med hinanden, gange dees andenkoodinate med hinanden og lægge de to esultate sammen. Bemæk () at pikpoduktet af to vektoe ikke give en ny vekto, men en skala. Af denne gund kaldes pikpoduktet også nogle gange skalapoduktet, men vi vil undlade det he, da det i nogle øe kan lyde som om det e et podukt af skalae. Obsevationen e dog så vigtig at vi lige amme den ind: Pikpoduktet af to vektoe give en skala. Øvelse 6 Beegn følgende pikpodukte. (Tegn de indgående vektoe føst) a) " 2% "(1% 3 0 # 1& # 1 & b) c) # 3 & #"2& % ( "1 % ( % ( 8 % ( $ 7 ' $ 2 ' i k - 16 -
(Hey - Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) Natuligvis skal vi også se på egneegle fo pikpoduktet. Det vise sig heldigvis igen, at det nye podukt opføe sig pæcis som vi e vant til at et podukt opføe sig. Sætning 5 (egneegle fo pikpoduktet) Pikpoduktet opfylde følgende egneegle: Den kommutative lov: Hvis Den distibutive lov: Hvis u, v og En homogenitetslov: Hvis v og w e vektoe, så e v w = w v v og w e vektoe, så e u ( v + w ) = u v + u w w e vektoe, og " ( v w ) = ( " v ) w = v ( " w ) e en skala, så e - 17 -
9. Geometisk tolkning 2 Vi state med at indse at pikpoduktet ha noget med længden af en vekto at gøe. De gælde nemlig helt pæcist følgende: Sætning 6 (pikpodukt og længde) Hvis v e en vekto, så e: v 2 = v v. -Altså: kvadatet på vektoens længde e lig vektoens pikpodukt med sig selv. Bevis Sætningen bevis lige som i det todimensionale tilfælde. Fo at fostå den geometiske betydning af pikpoduktet dybee, indføe vi et pa nye begebe: Definition (vinkel mellem egentlige vektoe) Hvis v og w e to egentlige vektoe, definee vi vinklen mellem dem til at væe vinklen mellem de to pile, som opstå hvis v og w tegnes ud fa samme punkt. Man vælge p. definition altid den vinkel som e mellem 0 og 180. Læg mæke til at man ikke definee vinklen mellem nulvekto og en anden vekto. Definition (otogonale vektoe) To egentlige vektoe v og w kaldes otogonale (elle: vinkelette) hvis " vinklen mellem dem e 90 (elle om man vil.) Nulvektoen siges af 2 paktiske åsage at væe vinkelet på alle vektoe. Bemæk at vi igen (med vilje) ha defineet at nulvektoen både e paallel og vinkelet på alle vektoe. Lige som i det todimensionale tilfælde ha vi en sammenhæng mellem pikpoduktet og vinklen mellem vektoe: - 18 -
Sætning 7 (vinkel mellem egentlige vektoe) Hvis v og w e to egentlige vektoe, og " e vinklen mellem dem, så gælde de at: v " w " cos(#) = v w Da " p. definition e mellem 0 og 180 bestemme denne ligning ": % v w ( " = cos #1 ' & v $ w * ) Bevis Beviset e sjovt nok pæcis det samme som i det todimensionale tilfælde. Da det e en passende lejlighed til at epetee dette halvsvæe bevis, gø vi det lige: Betagt den tekant som dannes (i ummet), hvis samme punkt, og dees endepunkte fobindes: v og w tegnes ud fa Cosinuselationen fo denne tekant sige: v 2 + w 2 = w " v 2 + 2# v # w # cos($) Fa sætning 6 ha vi at: w " v 2 = ( w " v ) ( w " v ). Dette pikpodukt udegne vi ved at buge den distibutive lov to gange: ( w " v ) ( w " v ) = (( w " v ) w ) " (( w " v ) v ) = w w " v w " w v + v v - 19 -
Dvs. at ( w " v ) ( w " v ) = w 2 + v 2 " 2 # v w. (Hvis nogen synes at det minde om en af kvadatsætningene, så gø det ikke noget - Vi ha jo bae et andet podukt på spil.) Benyttes dette i cosinuselationen ovenove, få man: v 2 + w 2 = w 2 + v 2 " 2# ( v w ) + 2 # v # w # cos($) Hvilket hutigt kan omskives til: v " w " cos(#) = v w q.e.d. Øvelse 7 #"1& " 0% % ( Tegn vektoene v = 0 % ( og w = 2 ud fa samme punkt (f.eks. oigo). $ 3 ' # 2& Beegn deefte vinklen mellem dem, og få det til at passe med din umlige intuition. (Hov Skulle du lige til at læse videe uden at egne øvelsen føst?) En nyttig konsekvens af sætning 7 e, at man meget let kan se om to vektoe e vinkelette elle ej: Coolla 8 (vinkelette vektoe) To vektoe v og w e vinkelette hvis og kun hvis v w = 0. Bevis Vektoene v og w e vinkelette pæcis hvis en af dem e nul (p. definition) elle hvis cos(") = 0. Demed følge påstanden af sætning 7. (Odet coolla betyde gave på gæsk, og benyttes om sætninge, de følge af ande sætninge som en diekte, men meget nyttig, konsekvens.) - 20 -
Bemæk at dette coolla e den tekniske gund til at man sige at nulvektoen e vinkelet på alle vektoe. På den måde blive påstanden nemlig også igtig hvis en elle begge vektoene e nulvekto. Øvelse 8 E følgende to vektoe vinkelette? " 1% v = 1 og # 1& #"1& % ( w = "1 % (. $ 1 ' Til sidst i dette afsnit skal vi se på et meget vigtigt begeb i fysik, nemlig pojektion af vektoe på hinanden. Definition (pojektion af vekto på vekto) Hvis v og w e vektoe som tegnes ud fa samme punkt P, så definees pojektionen af v på w som den vekto v w som, nå den tegnes ud fa P, give den vinkelette pojektion af pilen fo v på den linje som pilen fo w ligge på. Situationen se ud som på tegningen: - 21 -
Sætning 9 (pojektion af vekto på vekto) Hvis v og w e vektoe, kan pojektionen af v på w beegnes som: " v w = v w % $ # w 2 ' ( w & Bevis Beviset foegå lige som i det todimensionale tilfælde. Man se bae de to vektoe ovenfa, og dele igen ind i de to tilfælde, hvo v pege w henholdsvis samme vej og modsatte vej som w. Øvelse 9 Beegn pojektionen af oigo. " 2% v = 1 på # 0& " 1 % w = 0. Indtegn alle te vektoe fa # 0& - 22 -
10. Regning med vektoe 3 Dette e føste gang vi skal lave noget, som ikke ligne det todimensionale tilfælde på en pik. I det todimensionale tilfælde defineede vi begebene tvævekto til en vekto og deteminant af to vektoe. Den dålige nyhed e, at ingen af disse to begebe findes fo tedimensionelle vektoe. Lidt snik-snak, som kan spinges ove: Tedimensionel tvævekto? I planen ha man pæcis to oplagte mulighede, hvis man til en given vekto vil lave en vinkelet vekto, hvis man (meget natuligt) bestemme at den vinkelette vekto skal have samme længde som den opindelige. Så det e blot et spøgsmål om at vælge en omløbsetning fo at definee pæcist hvilken at de to mulighede de skal væe den igtige. I ummet ha man mange flee mulighede. F.eks. e enhedsvektoene i, j og " i allesamen gode valg af tvævekto til k. Faktisk e enhve enhedsvekto med z-koodinat nul lige oplagt. Som vi skal se kæves de mee infomation fo at educee antallet af oplagte mulighede, således at man kan vælge en bestemt af dem. Lidt andeledes foholde det sig med deteminanten. De findes en deteminant i ummet. Men det vise sig at den igtige måde at genealisee dette begeb på e, at man tage deteminanten af te vektoe. På samme måde som deteminanten af to todimensionelle vektoe vise som de to vektoe ligge på samme linje elle ej, vise deteminanten af te tedimensionelle vektoe, om de ligge i samme plan elle ej. Det se vi på i en anden af disse kasse senee. Til gengæld ha man i ummet en slags estatning af begge dele, som på samme tid e et slags tvævektobegeb og samtidigt måle om to vektoe e paallelle elle ej. Det deje sig om et helt nyt og spændende podukt af vektoe. - 23 -
Definition (kydspodukt) " x 1 % " x 2 % Hvis v = y 1 og w = y 2 e to vektoe i ummet, definee vi # z 1 & # z 2 & kydspoduktet af de to vektoe som: v " w # % = % $ x 1 y 1 z 1 & # ( ( " % % ' $ x 2 y 2 z 2 # y 1 y 2 & % ( & % z 1 z 2 ( # y ( ( = z 1 z 1 z 2 ) y 2 z 1 & % 2 ( % ( % x 1 x ( = z 1 x 2 ) z 2 x 1 2 ' % ( % ( % x 1 x $ x 1 y 2 ) x 2 y 1 ' 2 ( % $ y 1 y ( 2 ' Denne definition læe man aldig, hvis man bae sætte sig ned og stie på bogstavene. I stedet skal man se lidt hen ove bogstavene og mæke hvad de foegå i stedet. Vi tage det skidt fo skidt, uden at nævne bogstavene: Bemæk føst at kydspoduktet af to vektoe e en vekto. Det amme vi lige ind fo en god odens skyld: Kydspoduktet af to vektoe give en ny vekto (Af denne gund kaldes kydspoduktet også nogle gange fo vektopoduktet.) Bemæk deefte at hve af koodinatene i den nye vekto e defineet ved hjælp af en deteminant af to todimensionelle vektoe. (Husk defo på, hvodan deteminanten blev defineet, og se, at dette stemme oveens med hvad de ske i det sidste lighedstegn.) Find til sidst en egel fo hvodan indholdet af de te deteminante findes ud fa de opindelige vektoe. Jeg pleje at huske det som følge: Hvis man vil have en bestemt koodinat i vektopoduktet, finde man de tilsvaende koodinate i de to indgående vektoe. Man tage så de koodinate de stå unde disse i begge vektoe. Med den egel at hvis man yge ned igennem bunden, så state man fofa i toppen. ( Woppawound -eglen). Pøv selv - 24 -
Øvelse 10 Udegn følgende kydspodukte: Beegn også: i " j, j " i og k " k " 1% " 4% 2 ( 5, # 3& # 6& Hvad give v " v (uanset hvad v e)? (Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) " 1% " 2% 2 ( 4 og # 3& # 6& #"1& # 2 & % ( 3 % ( ) % ( "3 % (. $ "2' $ "1' Kydspoduktet e et mækeligt podukt. Det opfylde ikke et mange af de egneegle vi e vant til. Kydspoduktet e ikke kommutativt: F. eks. e i " j = k, men j " i = # k. Faktisk e v " w = # w " v fo alle vektoe v og w. Man kalde denne egenskab at kydspoduktet e antikommutativt. Kydspoduktet e ikke associativt: F.eks. e i " ( j " j ) = i " 0 = 0. ( i " j ) " j = k " j = # i, men Lidt snik-snik, som kan spinges ove: Fiefavepoblemet. De e en meget inteessant sammenhæng mellem kydspoduktets manglende associativitet og et stot matematisk esultat, kendt unde navnet fiefavepoblemet. Fiefavepoblemet handle om den beømte påstand, femføt af den engelske katogaf Fancis Guthie i 1850, at man med blot 4 fave kan favelægge ethvet landkot sådan at nabolande aldig få samme fave. (To lande kaldes nabolande, hvis de støde op til hinanden langs en gænselinje, de e længee end bae et punkt.) Det vise sig at fiefavepoblemet e ækvivalent med følgende mækvædige påstand: Hve eneste gang man vælge to foskellige måde at sætte paentese i udtykket x 1 " x 2 "L" x n på, sådan at det kan udegnes på en entydig måde, da findes de en måde at indsætte basisvektoe, i, j elle k på pladsene x i sådan at de to udegninge give det samme esultat, foskelligt fa nul. - 25 -
Kydspoduktet opfylde følgende egneegle: Sætning 10 (egneegle fo kydspoduktet) Homegenitet med skaleing: Hvis skala, så e: Den distibutive lov: Hvis u, v og v og w e vektoe, og " ( v # w ) = ( " v ) # w = v # ( # w ) w e vektoe, så e: u " ( v + w ) = u " v + u " w ( v + w ) " u = v " u + w " u " R e en Bemæk at den distibutive lov blive lidt faligee at buge, fodi den kommutative lov ikke gælde. Man skal defo passe meget på med om man gange ind i paentesen fa enten venste elle høje. De to egenskabe bevises ved at navngive koodinatene i alle vektoene, og så udegne de givne udtyk og se at det give samme esultat. Det vil vi ikke gøe he. I stedet vil vi se på en sidste egneegel, som e lidt spøjs: Sætning 11 (egneegle fo kydspoduktet - fotsat) En slags homogenitet med pikpoduktet: Hvis så e: u ( v " w ) = ( u " v ) w u, v og w e vektoe, Denne lov ligne en slags homogenitetslov. Dog e de byttet om på de to gangetegn, idet paentesen e flyttet. Bemæk at denne ombytning e nødvendig (se næste øvelse). Øvelse 11 Hvofo give følgende udtyk slet ikke mening? ( u v ) " w - 26 -
Fo nu ikke at spinge alle bevise ove, tage vi lige: Bevis fo sætning 11 Vi kalde koodinatene i de te vektoe: Venstesiden give så: " $ u = $ # x 1 y 1 z 1 % ' ', & " $ v = $ # x 2 y 2 z 2 % ' ' og & " $ w = $ # x 3 y 3 z 3 % ' '. & u ( v " w # % ) = % $ x 1 y 1 z 1 & # y 2 z 3 ) y 3 z 2 & ( ( % ( z 2 x 3 ) z 3 x 2 % ( = x 1(y 2 z 3 ) y 3 z 2 ) + y 1 (z 2 x 3 ) z 3 x 2 ) + z 1 (x 2 y 3 ) x 3 y 2 ) = ' $ x 2 y 3 ) x 3 y 2 ' x 1 y 2 z 3 + y 1 z 2 x 3 + z 1 x 2 y 3 ) x 1 y 3 z 2 ) y 1 z 3 x 2 ) z 1 x 3 y 2 Højesiden give: ( u " v ) w $ y 1 z 2 # y 2 z 1 ' $ & ) = z 1 x 2 # z 2 x 1 & ) & & % x 1 y 2 # x 2 y 1 ( % x 3 y 3 z 3 ' ) ) = (y z # y z )x + (z x # z x )y + (x y # x y )z = 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 ( y 1 z 2 x 3 + z 1 x 2 y 3 + x 1 y 2 z 3 # z 2 x 1 y 3 # x 2 y 1 z 3 # y 2 z 1 x 3 -Og det e jo det samme q.e.d. Den sidste egneegel kan buges til at vise en meget nyttig egenskab ved kydspoduktet. Dette e gunden til at kydspoduktet kan ses som en slags tedimensionel estatning af tvævekto -begebet: Coolla 12 (etning af kydspodukt) Hvis v og v og w. w e vektoe, så e kydspoduktet v " w vinkelet på både Bevis Vi teste fo otogonalitet ved hjælp af coolla 8: (Bemæk at vi vælge at pikke fa den smate side ): -Altså e v " w vinkelet på ( v " w ) w = v ( w " w ) = v 0 = 0. w. - 27 -
-Altså e v " w vinkelet på v ( v " w ) = ( v " v ) w = 0 w = 0. w. q.e.d. Øvelse 12 Beegn en vekto som e vinkelet på både " 1% 4 og # 1& #"1& % ( "3 % (. $ 2 ' Coolla 12 sagde noget om den geometiske betydning af kydspoduktets etning. Man kan også spøge hvad kydspoduktets længde betyde. Dette vise sig denne opføe sig omtent lige som deteminanten gjode i planen: Sætning 13 (længde af kydspodukt) Hvis v og w e egentlige vektoe, og " e vinklen mellem dem, så e længden af kydspoduktet v " w givet ved: v " w = v # w # sin($) Vi bevise ikke denne sætning, men jeg henvise de inteesseede til beviset på s. 220 i den gå bog. I stedet vil vi slutte dette afsnit med et nyttigt coolla til sætning 13: Coolla 14 (paallelle vektoe) To vektoe v og e lig nulvekto. w e paallelle hvis og kun hvis kydspoduktet Bevis Da nulvekto e paallel med alle vektoe, e sætningen igtig hvis en af de to vektoe e nulvekto. - 28 - v " w Hvis begge vektoe e egentlige, e de paallelle pæcis hvis sin(") = 0, hvilket ifølge sætning 13 gælde pæcis hvis v " w = 0. Da nulvekto e den eneste vekto med længde nul, e det det samme som at v " w = 0. q.e.d.
11. Rette linje i ummet I planen ha vi flee foskellige måde at beskive en et linje på. Det vise sig desvæe at det ikke kan lade sig gøe at beskive en et linje i ummet ved hjælp af en ligning. Lidt snik-snak som godt kan spinges ove: (Hvofo det?) Poblemet e, at vi ha fo mange koodinate til at en enkelt ligning kan begænse antallet af punkte nok. Geneelt vil en ligning om x, y og z kunne løses uanset hvilken vædi x og y måtte have. Demed vil ligningen væe opfyldt fo mindst 1 punkt ove hvet eneste punkt i xy-planen. Det lyde ikke som en linje Hvad det i stedet lyde som skal vi se på i næste afsnit. Det e helle ikke muligt at definee et bugbat hældningsbegeb fo linje i ummet. (Hvad skulle man måle hældning i fohold til? Og hvodan skulle det beskive linjen?) Til gengæld e den igtige måde at beskive linje i ummet paametefomen. Vi gentage lige definitionene fa føste del af notene: Definition (etningsvekto fo linje) En egentlig vekto v siges at væe etningsvekto fo en linje, hvis den, nå den indtegnes fa et punkt på linjen, pege på et andet punkt på linjen. (Altså hvis den indtegnede pil e paallel med linjen.) Og de gælde så: Sætning 14 (konstuktion af en etningsvekto) Hvis P = (x 1,y 1,z 1 ) og Q = (x 2,y 2,z 2 ) e punkte på linjen L, så e den fobindende vekto # x 2 " x 1 & % ( PQ = y 2 " y 1 % ( $ z 2 " z 1 ' etningsvekto fo linjen. - 29 -
Og defo: Sætning 15 (linje på paametefom) " a% Hvis L e en linje, P = (x 0,y 0,z 0 ) e et punkt på L, og v = b e en # c& etningsvekto fo L, så e alle punkte (x,y,z) på linjen givet ved: " x% " x 0 % " a% y = y 0 + t ( b, t " R # z& # & # c& z 0 Da de ikke e så mange måde at beskive linje i ummet på, e ovesigten ove de vigtige omskivninge også ganske kompakt: Øvelse 13 Giv en paametefemstilling af den linje som indeholde punktene: (1,5,"2) og (2,"1,4) Øvelse 14 Find 3 punkte på linjen med paametefemstillingen: " x% " 1 % " (2 % y = 5 + t ) 12 # z& #(2& #(12&, t " R -Og tegn den. - 30 -
(Øvelsene føst :) 13. Plane i ummet Vi slutte af med at anvende vektoegning til at beskive nogle ande, spændende delmængde af ummet, nemlig plane. Definition En delmængde A af ummet, som hveken e et punkt, en linje elle hele ummet kaldes en plan hvis den opfylde følgende kav: Hve gang man ha to punkte i A, så e linjen mellem de to punkte indeholdt i A. Hvo man ved linje tale om at punkte ligge på linjen, tale man ved plane om, at punkte ligge i planen. Lidt snik-snik som godt kan spinges ove: Odkløvei. Det hedde EN plan. Basta Mange iiteende eleve ha gennem tiden hævdet at det bude hedde et plan, fodi man jo i daglig tale buge odet et skåplan, mens en plan e sådan noget som Egon fa Olsen-banden ha. Detil kan jeg bae sige: Nej Odet skåplan e en spoglig misfoståelse, som desvæe ha bedt sig voldsomt i befolkningen, takket væe odblinde jounaliste, som to at navneod lyde klogee hvis de e intetkøn. En plan e både en fom fo stategi, ofte i nedskevet fom, samt et fladt (plant) omåde i ummet. De to od komme nemlig af pæcis det samme: Således betyde planlægning jo at man lægge noget plant, altså nedfælde det på papi, de jo som egel e... plant En plan e, som navnet antyde, et helt fladt, uendeligt stot omåde i ummet. Vi ha alleede set te plane, nemlig koodinatplanene Hvis man ha 3 punkte i ummet, som ikke ligge på samme linje (man sige at de te punkte e uafhængige), så e de pæcis en plan som indeholde dem alle te. Vi vil nu finde en måde at beskive denne plan. Detil skal vi buge et nyt begeb: - 31 -
Definition (etningsvekto fo en plan) En egentlig vekto v siges at væe etningsvekto fo en plan, hvis den, nå den indtegnes fa et punkt i planen, pege på et andet punkt på planen. Det se ud som på tegningen: (Planen e tegnet som et endeligt omåde, da det e svæt at indamme et uendeligt stot omåde. Man skal foestille sig at planen fotsætte uendeligt langt til alle side.) Det e et nemt at finde en etningsvekto, hvis man ha to punkte i planen: Sætning 15 (konstuktion af etningsvektoe) Hvis P = (x 1,y 1,z 1 ) og Q = (x 2,y 2,z 2 ) e punkte i en plan A, så e den fobindende vekto # x 2 " x 1 & % ( PQ = y 2 " y 1 % ( $ z 2 " z 1 ' etningsvekto fo planen. - 32 -
Øvelse 15 Find 3 foskellige etningsvektoe fo yz-planen. (Gå ikke videe fø du ha lavet øvelsen) Bemæk at hvis man ha 3 punkte i en plan, kan man hutigt lave 2 etningsvektoe. Hvis de te punkte e uafhængige (d.v.s. de ligge ikke på den samme linje), kan man endda søge fo at lave to etningsvektoe som ikke e paallelle. Hvis man ha to sådanne etningsvektoe og et punkt i en plan, så kan man beskive alle de øvige punktene i planen: Sætning 16 (plan på paametefom) " a 1 % " a 2 % Hvis A e en plan, P = (x 0,y 0,z 0 ) e et punkt i A, og v = b 1 og w = b 2 e # c 1 & # c 2 & to ikke-paallelle etningsvektoe fo A, så e alle punkte (x,y,z) i planen givet ved: " x% " y = $ $ # z& # x 0 y 0 z 0 % " ' ' + s( $ $ & # a 1 b 1 c 1 % " ' ' + t ( $ $ & # % ', ' & De ubestemte tal, s og t, kaldes de fie paamete i beskivelsen af planen. De kan, som skevet, antage enhve vædi i de eelle tal, hve fo sig. Fo hve eneste vædi af paametene, kan man udegne et punkt i planen. (Elle ettee: En stedvekto til et punkt på planen.) a 2 b 2 c 2 s,t " R Det e et svæt at tegne, men man bø have noget i etning af følgende tegning i hovedet: - 33 -