GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf 013 Krsten Juul

GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde.... 1 LineÄr väkst. LineÄr funktion... 3. LineÄr väkst... 4. Skriv ligning ud fr beskrivelse f lineär väkst.... 5. Skriv hvd og b i lineär forskrift fortäller.... 3 Eksponentiel väkst 6. Eksponentiel funktion.... 3 7. Eksponentiel väkst.... 3 8. Skriv ligning ud fr beskrivelse f eksponentiel väkst... 4 9. Skriv hvd og b i eksponentiel forskrift fortäller.... 4 PotensvÄkst 10. Potensfunktion.... 4 11. PotensvÄkst.... 5 1. Udregn procentändring for potensfunktion.... 5 13. Udregn procentändring for potensfunktion.... 5 Grfer 14. Grf for lineär funktion.... 6 15. Grf for eksponentiel funktion... 6 16. Grf for potensfunktion... 6 Regression 17. LineÄr regression... 7 18. Regression, Årstl.... 7 19. Eksponentiel regression.... 8 0. Potensregression.... 9 Bestem forskrift for lineär og eksponentiel funktion 1. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter... 10. Bestem og b i y = +b ud fr punkter givet ved tekst... 11 3. Bestem b i f () = +b ud fr og punkt.... 11 4. Bestem i f () = +b ud fr b og punkt.... 11 5. Udregn og b i y=b ud fr to punkter på grfen... 1 6. b og be k... 13 Fordoblings- og hlveringskonstnt 7. Fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt... 13 8. AflÄs fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt på grf.... 8 9. Udregn fordoblings- og hlveringskonstnt ud fr forskrift.... 15 30. Skriv hvd fordoblings- og hlveringskonstnt fortäller... 15 31. Udregn funktionsvärdier (y-värdier) med fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt... 16 Beviser 3. Bevis for hvd og b i y = +b fortäller.... 16 33. Bevis for hvd og b i y = b fortäller.... 17 34. Bevis for reglen om potensväkst.... 17 Proportionle og omvendt proportionle vrible 35. Proportionle vrible... 18 36. Omvendt proportionle vrible.... 19 37. Opgve hvor vrible fr virkeligheden er omvendt proportionle.... 0 Logritmefunktioner 38. Nturlig logritme og titlslogritme.... 38 Polynomier 39. Polynomier og rçdder.... 39 Andengrdspolynomier 40. Andengrdspolynomium... 3 41. Toppunkt... 3 4. Diskriminnt.... 4 43. Betydning f, b, c og d for grfen... 4 44. Nulpunkt.... 5 45. Antl nulpunkter eller lçsninger.... 5 46. LÇs ndengrdsligning.... 6 47. Ligninger f typen = r... 7 48. Bevis for formlen for lçsning f ndengrdsligninger.... 8 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf, Å 013 Krsten Juul. Dette häfte kn downlodes fr www.mt1.dk. Det mç bruges i undervisningen hvis läreren med det smme sender en e-mil til kj@mt1.dk som oplyser t det bruges (skriv fulde titel og Çrstl) og oplyser hold, niveu, lärer og skole. 5/3-013

1. Procenter på en ny måde. Procent T er 34 % f 600 T = 34 % f 600 34 = 600 É 0,34 d 34% = 100 = 04 = 0,34 Du plejer nok t udregne 34 % ved t dividere med 100 og gnge med 34. I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nçdt til t vänne dig til t gnge med 0,34 for t udregne 34 %. S er 34 % stårre end 600 S = 134 % f 600 d 100 % + 34 % = 134 % 134 = 600 É 1,34 d 134 % = = 1,34 100 = 804 NÅr du udregner det der er 34 % stçrre end et tl, så plejer du nok t udregne 34 % f tllet og lägge til tllet I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nçdt til t vänne dig til t gnge med 1,34 for t udregne det der er 34% stçrre. R er 34 % mindre end 600 R = 66 % f 600 d 100 % 34% = 66 % 66 = 600 É 0,66 d 66% = 100 = 396 = 0,66 NÅr du udregner det der er 34 % mindre end et tl, så plejer du nok t udregne 34 % f tllet og träkke fr tllet I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nçdt til t vänne dig til t gnge med 0,66 for t udregne det der er 34% mindre. Eksempel Antl nstte skl stige 10% hvert År. 100 % 10 % 110 % 1, 10 I År er ntl nstte 1000 Om 1 År er ntl nstte 1000 1,10 1100 Om År er ntl nstte 1000 1,10 1,10 110 16 Om 16 År er ntl nstte 1000 1,10 4595 Om År er ntl nstte 1000 1,10 110 100 1,10 1,10 1,10 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 1 013 Krsten Juul

LineÄr väkst. LineÄr funktion. En funktion f er lineär hvis den hr en forskrift f typen b og b kn väre lle tl. Tllet i en lineär forskrift b kldes häldningskoefficienten. 3. LineÄr väkst. 3. Reglen for lineär väkst (reglen for hvd i lineär smmenhäng y b Hver gng vi gçr Ön enhed stçrre, bliver der lgt til värdien f y. fortäller): 3b. Reglen for hvd b i lineär smmenhäng y b NÅr er 0, er y lig b. fortäller: 4. Skriv ligning ud fr beskrivelse f lineär väkst. Opgve Mn skl betle 10 kr. for t strte på et computerspil, og herefter skl mn betle 0,50 kr. pr. minut mn spiller. Skriv en ligning vi kn bruge til t udregne prisen for t spille når vi kender ntl minutter vi spiller. Besvrelse Vi bruger og y til t betegne fçlgende tlstçrrelser: = ntl minutter y = prisen i kr. SÅ kn vi oversätte oplysningerne til fçlgende: NÅr 0 er y 10 Hver gng vi gçr Ön enhed stçrre, bliver der lgt 0,50 til y. Af reglerne for hvd og b i b fortäller, får vi: y 0,50 10 når = ntl minutter og y = prisen i kr. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 013 Krsten Juul

5. Skriv hvd og b i lineär forskrift fortäller. Opgve For en cirkel på et elektronisk billede kn rdius udregnes ved hjälp f formlen y 80 hvor er temperturen i C og y er rdius i mm. Hvd fortäller tllene og 8 om rdius? Besvrelse Af reglerne for hvd og b i y b fortäller, får vi: er det tl der bliver lgt til rdius y hver gng vi gçr temperturen en grd stçrre. NÅr temperturen er 0, er rdius y lig 80. Dvs.: Rdius er 80 mm ved 0 C og bliver mm mindre for hver grd temperturen stiger. 6. Eksponentiel funktion. Eksponentiel väkst En funktion f er eksponentiel hvis den hr en forskrift f typen b hvor og b er positive. Tllet i en eksponentiel forskrift b kldes fremskrivningsfktoren. 7. Eksponentiel väkst. 7. Reglen for eksponentiel väkst (reglen for hvd i eksponentiel smmenhäng y b fortäller): Hver gng vi gçr Ön enhed stçrre, bliver värdien f y gnget med. 7b. Reglen for hvd b i en eksponentiel smmenhäng y b NÅr er 0, er y lig b. fortäller: GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 3 013 Krsten Juul

8. Skriv ligning ud fr beskrivelse f eksponentiel väkst. Opgve Kl. 9 er der 75 celler, og hver time bliver ntl celler 0 % stçrre. Skriv en ligning vi kn bruge til t udregne ntllet f celler når vi kender tidspunktet. Besvrelse NÅr = ntl timer efter kl. 9 y = ntl celler gälder: NÅr ntl timer bliver 1 stçrre, vil ntl celler y blive 0 % stçrre, dvs. ntl celler y bliver gnget med 1,0. (Strt: 100%. Efter stigning: 10%=10:100=1,0). NÅr ntl timer er 0, er ntl celler y lig 75. Af reglerne for hvd og b i y 75 1, 0 y b fortäller, får vi 9. Skriv hvd og b i eksponentiel forskrift fortäller. Opgve Antllet f dyr Ändres sådn t y 70 0, 90 hvor = ntl dge efter 1. juni y = ntl dyr Hvd fortäller tllene 70 og 0,90 om ntllet f dyr. Besvrelse Af reglerne for hvd og b i Dvs. y b fortäller, får vi NÅr ntl dge bliver 1 stçrre, bliver ntl dyr y gnget med 0,90, dvs. ntl dyr y bliver 10 % mindre. (Strt: 100%. 100%0,90=90%. 90% 100%= 10%) NÅr ntl dge er 0, er ntl dyr y lig 70. Den 1. juni er ntllet f dyr 70, og hver dg bliver ntllet f dyr 10 % mindre. 10. Potensfunktion. PotensvÄkst En funktion f er en potensfunktion hvis den hr en forskrift f typen b hvor b er positiv og kun kn väre positive tl. Tllet i potensforskriften b kldes eksponenten. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 4 013 Krsten Juul

11. PotensvÄkst. 10. Reglen for potensväkst: Om en potenssmmenhäng y b gälder for et positivt tl k: NÅr bliver gnget med k, så bliver y gnget med k. 1. Udregn procentändring for potensfunktion. Opgve 1,6 Et dyr vokser sådn t y,7 hvor y er vägten i grm, og er längden i cm. NÅr dyret er blevet 40 % längere, hvor mnge procent tungere er det så blevet? Besvrelse At bliver 40% stçrre, er det smme som t bliver gnget med 1, 40. (Strt: 100%. Efter stigning: 140%=140:100=1,40) NÅr bliver gnget med 1, 40, så bliver y gnget med 1,6 1,40 1,71319 1,71 At y bliver gnget med 1, 71, er det smme som t y bliver 71% stçrre. (Strt: 100%. 100%1,71=171%. 171% 100%=71%) Dyret bliver 71% tungere når det bliver 40% längere. BemÄrk t vi IKKE sätter 1,40 ind i ligningen. Vi bruger eksponenten fr ligningen. 13. Udregn procentändring for potensfunktion. Opgve Der gälder 0,51 40 hvor er rutens längde i km, og f () er ntl deltgere. Hvor mnge procent flder ntl deltgere hvis vi fordobler rutens längde? Besvrelse NÅr rutens längde bliver gnget med, så bliver ntllet f deltgere f () gnget med Dvs.: 0,51 0,70 0,70 Antl deltgere bliver 30% mindre (Strt: 100%. 100%0,70=70%. 70% 100%= 30%) hvis vi fordobler rutens längde. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 5 013 Krsten Juul

Grfer 14. Grf for lineär funktion b Grfen er en ret linje. DefinitionsmÄngde: Alle tl kn indsättes for. VÄrdimÄngde: FunktionsvÄrdien y kn väre lle tl (hvis ikke er 0). Voksende: Aftgende: d : g : positiv negtiv voksende lineär funktion. ftgende lineär funktion. g d 15. Grf for eksponentiel funktion b hvor og b er positive DefinitionsmÄngde: Alle tl kn indsättes for. VÄrdimÄngde: FunktionsvÄrdien y kn väre lle positive tl (hvis ikke er 1). Voksende: stçrre end 1 Aftgende: mellem 0 og 1 h: eksponentielt voksende funktion. k: eksponentielt ftgende funktion. Grfen kommer vilkårlig tät på -ksen, men når den ldrig. BemÄrk t grfen krummer sådn: eller sådn: IKKE sådn:, og IKKE sådn: k h 16. Grf for potensfunktion b hvor b er positiv DefinitionsmÄngde: Alle positive tl kn indsättes for. VÄrdimÄngde: FunktionsvÄrdien y kn väre lle positive tl (hvis ikke er 0). Voksende: Aftgende: positiv negtiv Aftgende potensfunktion: grfen kommer vilkårlig tät på -ksen, men når den ikke. m: voksende potensfunktion n: voksende potensfunktion p: ftgende potensfunktion m n p GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 6 013 Krsten Juul

Regression 17. LineÄr regression. Opgve Vi hr målt längde og bredde for nogle komponenter: Bredden f (), målt i cm, er med god tilnärmelse givet ved b Besvrelse längde i cm 11,5 1,5 13,5 14,5 15,5 bredde i cm 5,1 5,3 5,9 6,1 6,6 hvor er längden målt i cm. Find tllene og b. Vi indtster tllene sådn t längde kommer på den vndrette kse og bredde kommer på den lodrette kse. Nspire lver lineär regression på de indtstede tl og får 0,38 0,67. Dvs. 0,38 og b 0, 67 SÇdn tster vi pç Nspire Vi välger vindue f type Lister og Regnerk og tster tbel sådn Ld ikke mrkçr stå i sidste felt du Ändrer. I menuen välger vi Sttistik/ Sttistiske beregninger.../ LineÄr regression (m+b)... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nedenfor. I X-liste-feltet og Y-liste-feltet, skl du ikke tste nvnet, du skl välge det. NÅr vi i et mtemtikfelt i et notevindue tster f () og trykker på Ä får vi 18. Regression, Årstl. Opgve Tbellen viser ntllet f boliger i et bestemt område. Antllet f boliger kn med god tilnärmelse beskrives ved en ligning f typen hvor y er ntllet f boliger, og er ntl År efter 1998. Find tllene og b. Besvrelse Vi tster fçlgende tbel: Ürstl 1998 000 00 004 006 008 Antl boliger 133 170 186 18 3 47 0 4 6 8 10 y 133 170 186 18 3 47 Nspire lver lineär regression på hele denne tbel og får y 11,571 141, 381 Dvs. 11,3 og b 141 y b Vi tster ikke Årstl d ikke er Årstllet. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 7 013 Krsten Juul

19. Eksponentiel regression. Opgve Besvrelse Tbellen viser ntllet f indbyggere i et område i perioden 000-005. Udviklingen kn med god tilnärmelse beskrives med en funktion f typen b hvor f () er ntllet f indbyggere (målt i tusinder), og er ntl År efter 000. Find og b. Ud fr den givne tbel lver vi tbellen nedenfor hvor Årstllet er erstttet f värdien f. Denne tbel tster vi. Nspire lver eksponentiel regression på hele tbellen og får Dvs. Ür 000 001 00 003 004 005 Antl (i tusinder) 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10, 0 1 3 4 5 y 8,5 8,8 9,1 9,4 9,8 10, 8,47906 1, 03686 1,037 og b 8, 48 BemÄrk Hvis vi ikke bruger hele tbellen, så duer besvrelsen ikke. Grfen for y 8,47906 1, 03686 går ikke gennem tbel-punkterne, men det er den eksponentielle grf der fviger mindst fr punkterne. SÇdn tster vi pç Nspire Vi välger et vindue f typen Lister og Regnerk og tster tbellen som vist til hçjre. I menuen välger vi Sttistik/Sttistiske beregninger.../eksponentiel regression... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til hçjre. Du skl ikke tste det der står i X-liste-feltet og Y-liste-feltet, du skl välge det. NÅr vi i et mtemtikfelt i et notevindue får vi tster f () og trykker på Ä GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 8 013 Krsten Juul

0. Potensregression. Opgve De målte tl i tbellen viser for et bestemt dyr smmenhängen mellem lder og längde. SmmenhÄngen kn med god tilnärmelse beskrives med en funktion f typen hvor f () Besvrelse b Bestem og b. er längde (målt i mm), og er lder (målt i dçgn). Denne tbel tster vi så lder er i -sçjlen og längde er i y-sçjlen. Nspire lver potensregression på hele tbellen og får Dvs. BemÄrk Alder i dçgn 10 15 0 30 40 50 LÄngde i mm 43 60 74 105 13 155 6,7903 0,8007 0,80 og b 6, 79 Hvis vi ikke bruger hele tbellen, så duer besvrelsen ikke. 0,8007 Grfen for 6,7903 går ikke gennem tbel-punkterne, men det er den potensgrf der fviger mindst fr punkterne. SÇdn tster vi pç Nspire Vi välger et vindue f typen Lister og Regnerk og tster tbellen som vist til hçjre. I menuen välger vi Sttistik/Sttistiske beregninger.../potensregression... SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til hçjre. Du skl ikke tste det der står i X-liste-feltet og Y-liste-feltet, du skl välge det. NÅr vi i et mtemtikfelt i et notevindue får vi tster f () og trykker på Ä Hvis potensfunktionen er ftgende, skriver Nspire en brçk: Dette skl du selv skrive om til formen b. Husk t tilfåje et minus forn eksponenten: GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 9 013 Krsten Juul

Bestem forskrift for lineär og eksponentiel funktion 1. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter. Opgve 1: Punkterne (, ( 7, 1) og (, (8, 4) ligger på grfen for smmenhängen y b. Find tllene og b. Metode 1: Vi indsätter i formler for og b : Af ( 1, y1) ( 7, 1) og (, y ) (8, 4) får vi y y1 4 1 3 0, 8 ( 7) 15 1 b y1 1 1 0, ( 7),4 Metode : Nspire lçser ligningssystem: D (, ( 7, 1) og (, (8, 4) ligger på grfen, er 1 ( 7) b 4 8 b Nspire lçser dette ligningssystem mht. og b og får 0, og b, 4 SÇdn tstede vi pç Nspire: Metode 3: Vi lçser ligningssystem uden hjälpemidler: D (, ( 7, 1) og (, (8, 4) ligger på grfen, er (1) 1 ( 7) b () 4 8 b Af (1) får vi (3) 1 7 b Vi indsätter dette i () og får 4 8 (1 7) hvorf 3 15 3 15 15 15 0, Dette indsätter vi i (3) og får 1 7 0, b hvorf,4 b Metode 4: Nspire lver lineär regression: Nspire lver lineär regression på punkterne (, ( 7, 1) og (, (8, 4) og får y 0,, 4 Dette er konklusionen i Opgve 1 unset Konklusion: 0, og b, 4 om vi bruger Metode 1,, 3 eller 4. Opgve : Punkterne (, ( 7, 1) og (, (8, 4) f. Find en forskrift for f. Konklusion: 0,, 4 ligger på grfen for en lineär funktion Metoder er ens for opgve 1 og. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 10 013 Krsten Juul

. Bestem og b i y = +b ud fr punkter givet ved tekst. Opgve Der er en lineär smmenhäng mellem tempertur og overskud. NÅr temperturen er 3 C, er overskuddet 1 mio. kr. NÅr temperturen er 5 C, er overskuddet 8 mio. kr. Skriv en ligning der viser smmenhängen mellem tempertur og overskud. Besvrelse Vi sätter = tempertur (målt i C) y = overskud (målt i mio. kr.) Der er oplyst to -värdier og tilhçrende y-värdier: Til 1 3 svrer y 1 1. Til 5 svrer y 8. D smmenhängen er lineär, er den sçgte ligning på formen b Dvs.: y y 1 1 8 1 5 ( 3) 16 8 y1 1 1 ( 3) Ligningen y 18 18 viser smmenhängen mellem temperturen i C og overskuddet y i mio. kr. Det er nçdvendigt t fortälle läseren dette d det ikke står i opgven. y b, og Alle fire metoder fr rmme 0 kn bruges her. 3. Bestem b i f () = +b ud fr og punkt. Opgve Punktet ( 4, 35) ligger på grfen for funktionen 8 b. Find tllet b. Besvrelse Vi indsätter 4 for og 35 for f () i 8 b og får 35 8 4 b. Vi lçser denne ligning mht. b og får b 3. Dvs. b 3 4. Bestem i f () = +b ud fr b og punkt. Opgve Punktet ( 5, 8) ligger på grfen for smmenhängen 18. Find tllet. Besvrelse Vi indsätter 5 for og 8 for f () i 18 og får 8 5 18. Vi lçser denne ligning mht. og får. Dvs. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 11 013 Krsten Juul

5. Udregn og b i y b ud fr to punkter på grfen. Opgve: Punkterne (, (4, 3) og (, (7, 4) y b. Udregn tllene og b. ligger på grfen for smmenhängen Metode 1: Vi sätter ind i formler for og b Af, y ) (4, 3) og, y ) (7, 4) ( 1 1 b y 1 1 1 y y 1 ( 3 4 får vi 74 4 3 8 3 3 16 Metode : Vi lçser ligningssystem med elektronisk hjälpemiddel Punkterne (, (4, 3) og (, (7, 4) ligger på grfen for y b 4 3 b og 4 b Nspire lçser dette ligningssystem mht. og b og får og b 3 16 7, så Metode 3: Vi lçser ligningssystem uden hjälpemidler Punkterne (, (4, 3) og (, (7, 4) ligger på grfen for y b, så 3 b 4 og 7 4 b Vi dividerer hçjre ligning med venstre: 7 4 b 3 4 b NÅr vi forkorter de to brçker, får vi 3 8 så 3 8 dvs. 7 4 4 74 Vi indsätter denne värdi f i ligningen 3 b og får 3 b 4 3 Ved t dividere begge sider med får vi b 4 3 så b 16 Metode 4: Vi bruger eksponentiel regression Nspire lver eksponentiel regression på punkterne (, (4, 3) og (, (7, 4) og får og b 0, 1875 d 7 4 4 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 1 013 Krsten Juul

6. b og be k. Regel Forskriften b for en eksponentiel funktion kn skrives på formen k hvor e. be k Opgve Skriv Besvrelse 00, 76 e k på formen k be. 0,76 Nspire lçser denne ligning mht. k og får k 0, 74437. 0e 0,74 Opgve Skriv 3,8 e Besvrelse 1,4 1,4 på formen b. e Nspire udregner hçjre side og får 4, 055. 3,8 4, 06 Fordoblings- og hlveringskonstnt 7. Fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt. Tbellen viser hvordn hçjden f en plnte er vokset eksponentielt. I tbellen ser vi: Antl uger efter kçb: 0 1 3 4 5 6 HÇjde i cm: 1 15 19 4 30 38 48 1 uge efter kçbet er hçjden 15 cm. 3 uger senere er hçjden 30 cm, som er det dobbelte f 15 cm. uger efter kçbet er hçjden 19 cm. 3 uger senere er hçjden 38 cm, som er det dobbelte f 19 cm. Unset hvornår vi strter, så vil der gå 3 uger fçr hçjden er fordoblet. Mn siger t hçjdens fordoblingskonstnt er 3 uger. 7 En eksponentielt voksende smmenhäng hr en fordoblingskonstnt T. NÅr -värdien bliver T enheder stçrre, så bliver y-värdien fordoblet. 7b En eksponentielt ftgende smmenhäng hr en hlveringskonstnt T1. NÅr -värdien bliver T1 enheder stçrre, så bliver y-värdien hlveret. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 13 013 Krsten Juul

8. AflÄs fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt på grf. Opgve Figuren viser grfen for en eksponentielt ftgende smmenhäng. Hvd er hlveringskonstnten for denne smmenhäng? Besvrelse Resulttet bliver det smme unset hvilken -värdi vi strter med. Vi kn f strte med 1: Som vist på figuren nedenfor fläser vi t når 1 er y 3, 1. Det hlve f 3,1 er,1 1, 55 Som vist på figuren nedenfor fläser vi t når y 1, 55 er 3, 7. For t hlvere y skl vi ltså Çge med 3,7 1, 7 så hlveringskonstnten er,7. BemÄrkning Hvis funktionen er eksponentielt voksende, kn fordoblingskonstnten fläses på nästen smme måde: Vi finder to grfpunkter hvor y-koordinten til det ene er gng y-koordinten til det ndet. Forskellen på de to punkters -koordinter er fordoblingskonstnten. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 14 013 Krsten Juul

9. Udregn fordoblings- og hlveringskonstnt ud fr forskrift. Regler For funktionen b gälder Hvis f er voksende ( 1 ), er Hvis f er ftgende ( 0 1 ), er For funktionen be k gälder Hvis f er voksende ( k 0 ), er Hvis f er ftgende ( k 0 ), er ln() T ln( ) ln( 1 ) T1 ln( ) T T 1 ln() k ln( 1 ) k Eksempler Hvis Hvis ln() 1,5 1, 063 er T 11,3454 11, 3 ln(1,063) 1,3 ln( 1 30 e er ) T1 0,53319 0, 53 1,3 30. Skriv hvd fordoblings- og hlveringskonstnt fortäller. Opgve Der er en eksponentiel smmenhäng y b = längden (i cm) y = omkredsen (i cm) Vi hr fået t vide t fordoblingskonstnten er 7. Hvd fortäller dette om längde og omkreds. mellem de vrible Besvrelse At fordoblingskonstnten er 7 betyder: Dvs: NÅr -värdien bliver 7 enheder stçrre, så bliver y-värdien fordoblet. NÅr längden bliver 7 cm stçrre, så bliver omkredsen fordoblet. Hvis vi i stedet hvde fået t vide t hlveringskonstnten er 7 ville svret väre NÅr längden bliver 7 cm stçrre, så bliver omkredsen hlveret. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 15 013 Krsten Juul

31. Udregn funktionsvärdier ( y-värdier) med fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt. Opgve Om en eksponentiel funktion f er oplyst t f ( 4) 9 og t fordoblingskonstnten er 3. Udregn f (10). Besvrelse NÅr vi lägger 3 til 4, får vi 7, så f ( 7) 9 18. NÅr vi lägger 3 til 7, får vi 10, så f ( 10) 18 36. f ( 10) 36 Opgve Om en eksponentiel funktion f er oplyst t f ( 0) 1 og t hlveringskonstnten er 1. Udregn f (3). Besvrelse 1 1 1 f (1) 1 6, f () 6 3 og f (3) 3 1, 5. f ( 3) 1,5 Beviser 3. Bevis for hvd og b i y = +b fortäller. SÄtning For en lineär smmenhäng y b gälder: 3. NÅr vi gçr Ön enhed stçrre, bliver der lgt til värdien f y. 3b. NÅr er 0, er y lig b. Bevis Vi udregner värdien f y når er t, og når er t 1 : NÅr t er y t b (Vi hr indst t for i y b ) NÅr t1 er y ( t1) b (Vi hr indst t1 for i y b ) FÇlgende viser t når vi lägger til fçrste värdi f y, så får vi den nden värdi f y : t b t b ( t 1) b (Vi hr st uden for prentes) Dvs. når Ändres fr t til t 1, så lägges til värdien f y. Nu hr vi bevist 3 (reglen om lineär väkst). NÅr 0 er y 0 b b Nu hr vi bevist 3b. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 16 013 Krsten Juul

33. Bevis for hvd og b i y = b fortäller. SÄtning For en eksponentiel smmenhäng y b gälder: 33. NÅr vi gçr Ön enhed stçrre, bliver värdien f y gnget med. 33b. NÅr er 0, er y lig b. Bevis Vi udregner värdien f y når er t, og når er t 1 : NÅr t NÅr t1 er er y t b t1 (Vi hr indst t for i y b (Vi hr indst t1 for i y b ) FÇlgende viser t når vi gnger fçrste värdi f y med, så får vi den nden värdi f y : t b t b 1 t1 b ifçlge potensreglen Dvs. når Ändres fr t til t 1, så bliver värdien f y gnget med. Nu hr vi bevist 33 (reglen om eksponentiel väkst). r s y b ) rs NÅr 0 er y b b 1 b Nu hr vi bevist 33b. 0 34. Bevis for reglen om potensväkst. SÄtning Om en potenssmmenhäng y b gälder for et positivt tl k: NÅr bliver gnget med k, så bliver y gnget med k. Bevis Vi udregner värdien f y når er t, og når er k t : NÅr t er y bt (Vi hr indst t for i y b ) NÅr kt er y b( kt) (Vi hr indst kt for i y b ) FÇlgende viser t når vi gnger fçrste värdi f y med b t k b ( tk) k, så får vi den nden värdi f y : ifçlge potensreglen Dvs. når värdien f bliver gnget med k, så bliver värdien f y gnget med Det vr dette vi ville bevise. r r p q ( p q) k. r GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 17 013 Krsten Juul

Proportionle og omvendt proportionle vrible 35. Proportionle vrible. Definition Om to vrible og y siger vi t hvis Opgve y er proportionl med y k og k er det smme tl for lle värdier f. De to vrible og y er proportionle. Tbellen viser nogle smmenhçrende värdier f og y. Hvd er y når er 10? Hvd er når y er 15? Besvrelse Udregne k : D og y er proportionle, er der et tl k så (1) y k. I tbellen ser vi t når 4 er y 18. Dette indsätter vi i (1): 18 k 4 Denne ligning lçser vi mht. k og får 0,75 k dvs. () y 0, 75 Udregne y : For t finde y når er 10, sätter vi til 10 i (): y 0,7510 Herf får vi y 7, 5 så y er 7,5 når er 10 4 36 9 y 18 7 69 I opgven står ikke t vi skl udregne k. Vi skl selv vide t vi skl udregne k fçrst, så vi kn bruge k til t udregne de tl der er spurgt om. Vi kn lçse ligningen ved t dividere begge sider med 4. Udregne : For t finde når y er 15, sätter vi y til 15 i (): 15 0, 75 Vi lçser denne ligning mht. og får 0 så er 0 når y er 15 Vi kn lçse ligningen ved t dividere begge sider med 0,75. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 18 013 Krsten Juul

36. Omvendt proportionle vrible. Definition Om to vrible og y siger vi t hvis y er omvendt proportionl med k y og k er det smme tl for lle värdier f. Opgve De to vrible og y er omvendt proportionle. Hvd skl der stå på de tomme pldser i tbellen? 1 36 y 9 6 Besvrelse Udregne k : D og y er omvendt proportionle, er der et tl k så k (1) y. I tbellen ser vi t når 1 er y 6. Dette indsätter vi i (1): 6 k 1 Vi lçser denne ligning mht. k og får 7 k Der gälder ltså: () Udregne y : y 7 For t finde y når er 36, sätter vi til 36 i (): 7 y 36 Herf får vi y så y er når er 36 I opgven står ikke t vi skl udregne k. Vi skl selv vide t vi skl udregne k fçrst, så vi kn bruge k til t udregne de tl der er spurgt om. Vi kn lçse ligningen ved t gnge begge sider med 1. Udregne : For t finde når y er 9, sätter vi y til 9 i (): 7 9 Vi lçser denne ligning mht. og får 8 så er 8 når y er 9 Vi kn lçse ligningen ved fçrst t gnge begge sider med og derefter t dividere begge sider med 9. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 19 013 Krsten Juul

37. Opgve hvor vrible fr virkeligheden er omvendt proportionle. Opgve PÅ en skärm er et rektngel som vi kn Ändre ved t träkke med musen. HÇjde og bredde er omvendt proportionle. HÇjden er,5 når bredden er 8 Hvd er hçjden når bredden er 3,? Besvrelse Vi klder hçjden for h og bredden for b. Udregne k : D h er omvendt proportionl med b, findes et tl k så k h b D h, 5 når b 8 må k,5 8 Vi gnger begge sider med 8 og får k 0, dvs. (1) Udregne h : h 0 b Vi sätter b 3, i (1): h 0 3, Herf får vi h 6, 5 så hçjden er 6, 5 når bredden er 3, GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 0 013 Krsten Juul

Logritmefunktioner 38. Nturlig logritme og titlslogritme. Funktionen ln() hedder den nturlige logritmefunktion. Funktionen log() hedder titlslogritmefunktionen. Funktionerne ln() og log() er på Nspire. Logritmereglerne: ln( b) ln( ) ln( b) log( b) log( ) log( b) ln( ) ln( ) ln( b) log( ) log( ) log( b) b b Grfer: ln( ) ln( ) log( ) log( ) ln( 1) 0 log( 1) 0 ln(e) 1 log( 10) 1 ln log DefinitionsmÄngde: Alle positive tl kn indsättes for. VÄrdimÄngde: FunktionsvÄrdien y kn väre lle tl. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 1 013 Krsten Juul

39. Polynomier og rçdder. Polynomier Polynomier Et fçrstegrdspolynomium er en funktion f typen Et ndengrdspolynomium er en funktion f typen Et tredjegrdspolynomium er en funktion f typen Osv. b hvor 0. b c hvor 0. 3 b c d hvor 0. Nulpunkter og rådder Hvis vi i b c sätter 1, b 3 og c 5, får vi 4 ndengrdspolynomiet f f ) 1 3 5 ( 4 Til hçjre hr vi tegnet grfen for dette ndengrdspolynomium. PÅ grfen ser vi t hvis vi sätter 4 ind for i forskriften og regner ud, så får vi y-värdien 3. PÅ grfen ser vi også t hvis vi sätter 10 ind for og regner y-värdien ud, så får vi 0. Et tl kldes et nulpunkt for f hvis vi får 0 når vi indsätter tllet for i forskriften og regner ud. Et nulpunkt kldes også en rod. At finde rçdderne er det smme som t lçse ligningen 0. 1 4 PÅ grfen ser vi t rçdderne er og 10. Hvis vi lçser ligningen 3 5 0, så får vi ltså lçsningerne og 10. Opgve ( 1 4 Vis t 10 er rod i polynomiet f ) 3 5. Besvrelse f (10) 1 10 310 5 1 100 30 5 5 5 4 D f ( 10) 0, er 10 rod. 4 0 Regel om ntl rådder, ntl fällespunkter med -kse og ntl låsninger Et polynomium f grd n kn hçjst hve n rçdder. Eksempel Et tredjegrdspolynomium kn ikke hve mere end 3 rçdder. Grfen for et tredjegrdspolynomium kn hçjst hve 3 punkter fälles med -ksen. En tredjegrdsligning kn hçjst hve 3 lçsninger. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 013 Krsten Juul

40. Andengrdspolynomium. Andengrdspolynomier Et ndengrdspolynomium er er en funktion f typen (1) b c hvor 0 Hvis vi skriver 0 på 's plds, så bliver det ikke et ndengrdspolynomium d forsvinder. Eksempel Hvilke tl er, b og c lig? Vi sätter 1 b c 0 i b c og får 1 ( ) 0 så er et ndengrdspolynomium. I dette og ndre ndengrdspolynomier skl vi kunne se hvd, b og c er for t kunne indsätte i formler med, b og c. 41. Toppunkt. Grfen for et ndengrdspolynomium b c, 0 er en prbel. Grfens toppunkt hr -koordinten b T Eksempel Udregn toppunkt f T Vi ser t 0,4 1, 3,4 b c og 0, 4 b 1, c 3, 4 Toppunktets -koordint er b ( 1,) T 1,5 ( 0,4) Toppunktet ligger på grfen og hr -koordinten 1, 5 så y-koordinten er y T 0,4 ( 1,5) Vi udregner hçjresiden og får y T 4,3 1, ( 1,5) 3,4 Toppunktet er T (1,5, 4,3) f GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 3 013 Krsten Juul

4. Diskriminnt. Diskriminnten for et ndengrdspolynomium er tllet b c, 0 d b 4c Eksempel Udregn diskriminnten Vi ser t 3 5 b c og 3 b 1 c 5 Diskriminnten er d b 4c ( 1) 435 59 43. Betydning f, b, c og d for grfen. b c, 0 d er diskriminnten 0,5 1 : positiv: grene vender op negtiv: grene vender ned prblen er bredere når er tättere på nul b : b er häldningskoefficient for tngent til grf i skäringspunkt med y-kse b 0 l f b positiv: b nul: b negtiv: grf går op mod hçjre i skäring med y-kse grfs toppunkt er på y-kse grf går ned mod hçjre i skäring med y-kse l er tngent til f-grfen i dennes skäringspunkt med y-ksen. b er lig l 's häldningskoefficient. c : Grf skärer y-kse i punktet (0, c) c positiv: grf skärer y-kse over -kse c nul: grf går gennem punktet (0, 0) c negtiv: grf skärer y-kse under -kse c 0 c 0 d : d positiv: grf hr to punkter på -kse d nul: grf hr Öt punkt på -kse d negtiv: grf hr ingen punkter på -kse d 0 d 0 d 0 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 4 013 Krsten Juul

44. Nulpunkt. At et tl er nulpunkt for en funktion betyder t når vi indsätter tllet for i forskriften og regner ud, så får vi nul. Ordet nulpunkt er misvisende. Et nulpunkt er IKKE et punkt. Et nulpunkt er et tl. Eksempel Nulpunkt At 1,5 er nulpunkt for 3 betyder t 1,5 31,5 Dette er det smme som t 0 1,5 er lçsning til ligningen 3 0 og det smme som t grfpunktet med -koordint 1, 5 ligger på -ksen. f 0 og 1,5 er nulpunkter for f 45. Antl nulpunkter eller lçsninger. b c, 0 d er diskriminnten Der gälder t ntllet f nulpunkter for ndengrdspolynomiet b c dvs. ntllet f lçsninger til ndengrdsligningen b c 0 er hvis d 0 1 hvis d 0 0 hvis d 0 Eksempel Antl nulpunkter eller läsninger Vi vil bestemme tllet k så ndengrdsligningen k 3 0 hr netop Ön lçsning. Ligningen er på formen b c 0 med k, b, c 3, så diskriminnten er d b 4c ( ) 4k3 4 1k Vi vil finde ud f hvornår der er Ön lçsning, dvs. vi vil finde ud f hvornår d er 0: 4 1k 0 er ensbetydende med t Ligningen k 3 0 k 1 3 hr netop Ön lçsning når k 1 3 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 5 013 Krsten Juul

46. LÇs ndengrdsligning. En ndengrdsligning b c 0, 0 kn vi lçse sådn: FÇrst udregner vi diskriminnten: d b 4c SÅ bruger vi fçlgende regel: Hvis d 0 Hvis d 0 hr ligningen ingen lçsninger. b hr ligningen lçsningen Hvis d 0 BemÄrkning hr ligningen lçsningerne BÅde når d 0 og d 0 b d er lçsningerne b d og b d Formlen for t lçse ndengrdsligninger. Eksempel LÄs ndengrdsligning Ligningen 3 1 er f typen b c 0 0 med 3, b og c 1 Diskriminnten er d b 4c ( ) 43 ( 1) 16 D d > 0 hr ligningen lçsningerne b d ( ) 3 16 4 6 1 3 b d ( ) 3 16 4 6 1 Konklusion: Ligningen 3 1 0 1 hr lçsningerne 3 og 1 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 6 013 Krsten Juul

47. Ligninger f typen = r. OplÄg Ligninger f typen = r NÅr 3 er 33 9 NÅr 3 er ( 3) ( 3) 9 9 netop når 3 eller 3 47. Regel Ligninger f typen = r NÅr n er negtiv: n er flsk unset hvilket tl der indsättes for NÅr p er positv: 0 netop når 0 p netop når p eller p Eksempel Ligninger f typen ( udtryk ) = r Vi vil lçse ligningen ( ) 9 Af regel 47 får vi 9 eller 9 3 eller 3 dvs. 5 eller 1 Eksempel Andengrdsligning uden -led NÅr en ndengrdsligning ikke hr noget -led, kn vi lçse den ved t omskrive og bruge regel 47: 6 0 6 3 3 eller 3 GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 7 013 Krsten Juul

48. Bevis for formlen for lçsning f ndengrdsligninger. Ved udregning får vi ( b) () b b Vi reducerer hçjre side: (1) ( b) 4 b 4b Vi omskriver ndengrdsligningen: ifçlge formlen ( u v) u v uv I ligningen b c 0, 0 gnger vi begge sider med 4 : 4 b c 4 0 Vi gnger ind i prentesen: 4 4b 4c Vi lägger diskriminnten 0 d b 4c til begge sider: 4 4b 4c b 4c 0 b 4c Vi reducerer: 4 Af (1) får vi ( b) 4b b Vi bruger nu de tre dele f 47: Hvis d 0 : d ( b) d hr ingen lçsninger d Hvis d 0 : ( b) b b 0 0 Hvis d 0 : ( b) b b b d d d d Nu hr vi bevist lle tre dele f reglen i rmme 46. GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Side 8 013 Krsten Juul

A ndengrdsligning...6 ndengrdsligning uden -led...7 ndengrdsligning, bevis...8 ndengrdsligning, lçsninger...6 ndengrdspolynomium...3 ndengrdspolynomium, grf...4 B bevis...16, 17, 8 D diskriminnt...4, 5, 6 E eee...13, 15, 1 eksponentiel funktion...3 eksponentiel grf...6 eksponentiel regression...8 eksponentiel väkst...3, 17 eksponentiel, bestem forskrift/ligning...4, 1 eksponentiel, fortäller...4 F fordoblingskonstnt...13, 16 fordoblingskonstnt, fläs...14 fordoblingskonstnt, fortäller...15 fordoblingskonstnt, udregn...15 G grf...6, 1, 4 H hlveringskonstnt...13, 16 hlveringskonstnt, fläs...14 hlveringskonstnt, fortäller...15 hlveringskonstnt, udregn...15 L lineär funktion... lineär grf...6 lineär regression...7 lineär väkst..., 16 lineär, bestem forskrift/ligning..., 10, 11 lineär, fortäller...3 logritme...1 logritmefunktion, grf...1 logritmeregler...1 lçsning...6 lçsninger, ntl..., 5 N nturlig logritme...1 nulpunkt..., 5 nulpunkter, ntl..., 5 O omvendt proportionl...19, 0 P polynomium... potensfunktion...4 potensfunktion, procentändring...5, 17 potensgrf...6 potensregression...9 potensväkst...5, 17 procent...1, 4, 5 proportionl...18 R regression, eksponentiel...8 regression, lineär...7 regression, potens...9 regression, Årstl...7, 8 rod... rçdder... rçdder, ntl..., 5 T titlslogritme...1 toppunkt...3