CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord nr) Der er i alt 30 spørgsmål fordelt på 30 opgaver, benævnt opgave 1,2,..., 30 i teksten. De enkelte spørgsmål er ligeledes nummereret og angivet som spørgsmål 1,2,...,30 i teksten. Bevarelserne af de 30 spørgsmål føres ind i nedenstående skema. Spørgsmål 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Svar Spørgsmål 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Svar Svarmulighederne for hvert spørgsmål er nummereret fra 1 til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kun forsiden skal afleveres. Afleveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal forsiden alligevel afleveres. Kladde, mellemregninger og bemærkninger tillægges ingen betydning, kun tallene indført ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Husk at forsyne opgaveteksten med navn, underskrift og bordnummer. Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sættets sidste side er nr 16; blad lige om og se, at den er der. I teksten benyttes betegnelsen log( ) for naturlige logaritmer, dvs. logaritmer med grundtal e, medens Φ betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel. 1
Opgave 1 Ved en større produktion af elektroniske kredsløb, regner man med, at 20% vil være defekte. Spørgsmål 1 Bestem, eventuelt approksimativt, sandsynligheden for, at mindst 350 ud af 500 producerede vil fungere. ( ) 1 1 Φ 349,5 400 80 ( ) 2 1 Φ 350,5 500 80 ( ) 3 Φ 350,5 500 80 4 500 i=349 5 350 i=0 ( 500 ) i 0, 2 i 0, 8 500 i ) 0, 8 i 0, 2 500 i ( 500 i Opgave 2 I en havvindmøllepark er sandsynligheden for, at der produceres tilstrækkelig strøm hvis vinden kommer fra øst 1 7, medens sandsynligheden for, at vinden kommer fra øst, er 1 5. Spørgsmål 2 Sandsynligheden for, at vinden kommer fra øst, og, at der samtidigt produceres tilstrækkeligt strøm findes til 1 1 7 2 4 35 3 12 35 4 1 35 5 2 35 2
Opgave 3 Et punkt(x, Y ) vælges tilfældigt i området afgrænset af linierne y = 2, y = x, og y = x. Spørgsmål 3 Man finder P (Y > 1) til 1 1 4 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 7 8 Opgave 4 Forespørgsler til en hjemmeside kommer tilfældigt med en gennemsnitlig tidsafstand på 50ms. Spørgsmål 4 Sandsynligheden for, at ventetiden indtil den anden forespørgsler er højst 100ms, beregnes til 1 1 3e 2 2 1 2 3 Φ (1) 4 1 5e 2 5 Φ(2) 3
Opgave 5 Et større firma har et stort antal ansatte i 20 kategorier, hvor man kan regne med, at der er lige mange ansatte i hver kategori. Til et six-sigma projekt nedsætter man en arbejdsgruppe på fem personer, der udtages tilfældigt blandt firmaets ansatte. Spørgsmål 5 Sandsynligheden for, at de fem udtagne personer repræsenterer 5 forskellige kategorier, er 1 2907 5000 2 1 4 3 104329 160000 4 79781 160000 5 3 4 Opgave 6 Som led i produktionen af nogle industrielle produkter kalibreres noget udstyr, hver gang man har konstateret fem fejlbehæftede enheder i alt siden sidste kalibrering. Man antager, at fejlraten er konstant for alle producerede enheder. Spørgsmål 6 Antallet af enheder, der produceres mellem hver kalibrering, beskrives bedst ved en 1 Normalfordeling 2 Gammafordeling 3 Poissonfordeling 4 Negativ binomialfordeling 5 Geometrisk fordeling 4
Opgave 7 Parret (X, Y ) af stokastiske variable har den simultane tæthedsfunktion f(x, y) = 5!x(y x)(1 y) for 0 < x < y < 1. Spørgsmål 7 Tætheden f Z (z) for den stokastiske variable Z = Y X findes til 1 0 x 2 (xz x)(1 xz)dx 2 1 0 x2 (xz x)(1 xz)dx ( ) 6 3 z 1 1 3 z 4 4 z 3 5 3 (1+z) 4 Opgave 8 En ikke negativ stokastisk variabel X har tætheden xe 1 2 x2. Man danner Z = X. Spørgsmål 8 Tætheden f Z (z) findes til 1 1 2 z2 e 1 2 z4 2 2 z π e z 3 z 2 128 e z 4 4 2 2 π ze 1 2 z4 5 2z 3 e 1 2 z4 5
Opgave 9 Forekomsten af to forskellige typer af mikroorganismer i tarmfloraen på slagtesvin kan med rimelighed beskrives ved en bivariat normalfordeling med korrelationskoefficient ρ = 12 13. I et slagtesvin har man konstateret, at forekomsten af den ene type er 2 standardafvigelser mindre end den gennemsnitlige forekomst. Spørgsmål 9 Sandsynligheden for, at forekomsten af den anden type er større end den gennemsnitlige forekomst, er 1 1 Φ ( 2 ) 13 2 Φ ( 24 ) 13 3 Φ ( ) 24 13 4 Φ ( 24 5 5 1 2 ) Opgave 10 Fem mødedeltagere forventes at ankomme til et møde indenfor et tidsinterval på 10 minutter. Ankomsttidspunkterne for de 5 kan antages at være ligefordelte i intervallet. Deltagernes ankomsttidspunkter antages tillige at være uafhængige. Spørgsmål 10 Med passende valgt tidsenhed kan tidspunktet for, hvornår der er ankommet netop 3 mødedeltagere, beskrives ved en 1 Binomial ( 5, 1 2) fordeling 2 Normal ( 1 2, 1 25) fordeling 3 Ligefordeling 4 Beta(3,2) fordeling 5 Beta(3,3) fordeling 6
Opgave 11 DSB s S-tog registrerer kørselsvægten på hver afgang og registreringen sendes til en central EDB-maskine. I vinterhalvåret kan der være problemer med tilisning af underdelen af vognene, hvilket sker på 5% af vinterafgangene. Hvis der er problemer med tilisning på en bestemt vinterafgang er sandsynligheden for, at kørselsvægten registreres til at være over 20 ton 95%, medens en registrering på over 20 ton sker med 5% på denne afgang, hvis der ikke er problemer med tilisning. Spørgsmål 11 Hvis der på afgangen registreres en vægt på over 20 ton, hvad er da sandsynligheden for, at der er problemer med tilisning 1 1 4 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 9 10 Opgave 12 Det oplyses, at de stokastiske variable X > 0 og < Y < har simultan tæthed f(x, y) = 1 πσ/λ e λx (y/σ)2 Spørgsmål 12 1 Parret (X, Y ) følger en bivariat normalfordeling 2 Parret (X, Y ) er marginalt eksponentialfordelte 3 Parret (X, Y ) er uafhængige 4 Parret (X, Y ) har positiv korrelation 5 Ingen af ovenstående påstande er korrekte 7
Opgave 13 Et hospital har 18 afdelinger, 13 af disse har et acceptabelt kvalitetsniveau. Der udtages tilfældigt 2 af hospitalets afdelinger. Spørgsmål 13 Sandsynligheden for, at begge de udtagne afdelinger har et acceptabelt kvalitetsniveau, findes til 1 ( ) ( 2 13 2 18 ) 2 2 ( 1 ( 5 18 3 (13 2 ) ( 18 2 ) 4 (13 2 )( 5 1) ( 18 2 ) 5 143 272 ) 2 ) Opgave 14 Spredningen på den årlige maksimale vandstand over middelniveau er 2m på en given lokalitet. Spørgsmål 14 En bedste øvre grænse for, at den maksimale årlige vandstand overstiger 5m, findes til 1 40% 2 16% 3 4% 4 1% 5 Der er ikke givet tilstrækkelige oplysninger til, at en sådan grænse kan bestemmes 8
Opgave 15 Fordelingsfunktionen F (x) = 1 (1 + x) 3 beskriver i en passende måleenhed rimeligt godt varigheden af filoverførslen for filer, der overføres på et lokalnetværk. Man har observeret en filtransmission, der har varet 1 tidsenhed. Spørgsmål 15 Bestem - eventuelt approksimativt beregnet - sandsynligheden for, at filtransmissioner ophører inden for den næste 1 100 tidsenhed. 1 7 8 2 3 200 3 1 100 4 7 300 5 3 1+x dx Opgave 16 En diskret stokastisk variabel X med værdimængde {1, 2, 3, 4, 5, 6} har fordelingsfunktionen F (x) = x2 36 i værdimængden. Spørgsmål 16 Man finder forventningsværdien E(X) til 1 6 x=1 x3 36 2 6 x=1 2x2 x 36 3 2x2 36 4 7 2 5 9 2 9
Opgave 17 Man har den ligefordelte ([0;1]) stokastiske X og den stokastiske variabel Y, der givet X = x følger en normal ( x 3 x, x ) fordeling. Spørgsmål 17 Middelværdien E(Y ) af Y findes til 1-1 2 2-1 4 3 0 4 1 4 5 1 2 Opgave 18 En højdespringer har tre forsøg til at passere en given højde. Højden af de enkelte spring kan beskrives ved uafhængige stokastiske variable med fordelingsfunktion ( ( F (x) = 1 1 + 4 x 3 )) e 4(x 3 2) for x 3 2 2 Spørgsmål 18 Sandsynligheden for, at højdespringeren klarer en højde på 2, findes med 2 betydende cifre til 1 0,069 2 0,41 3 0,57 4 0,79 5 0,81 10
Opgave 19 Man har den stokastiske variabel Z = 4X 3Y, hvor E(X) = 1, E ( X 2) = 5, E(Y ) = 0, E ( Y 2) = 4, og E(XY ) = 3. Spørgsmål 19 Variansen V ar(z) findes til 1 4 2 13 3 28 4 100 5 172 Opgave 20 En helikopter skal lande i stærk tåge på taget af et hospital. Det er vigtigt, at helikopteren lander ret præcist på det indrettede landingssted. Man kan beskrive landingsstedet ved parret (X, Y ) som koordinaterne til dette. På en passende normeret skala kan man opfatte X og Y som uafhængige standard normalfordelte variable. Spørgsmål 20 Sandsynligheden for, at afstanden fra det faktiske til det indrettede landingssted er højst 1,5 på den normerede skala, findes med 2 betydende cifre til 1 0,68 2 0,75 3 0,78 4 0,83 5 0,87 11
Opgave 21 Man har parret (X, Y ) af stokastiske variable med den simultane tæthedsfunktion f(x, y) = 5!x(y x)(1 y), 0 < x < y < 1 (f(x, y) = 0 ellers). Spørgsmål 21 Den betingede tæthed af Y for X = 1 3 findes i værdimængden til at være 1 27 4 (4y 3y2 1) 2 3 2 3 5! 3 (y 1 3 )(1 y) 4 5! 1 3(y 1 3)(1 y) y 0 5!x(y x)(1 y)dx 5 Den betingede tæthed er ikke defineret for x = 1 3. Opgave 22 Den stokastiske variabel X følger en Poisson(λ) fordeling, medens den stokastiske variabel Y for givet X = x følger en binomial(x, p) fordeling. Spørgsmål 22 Den simultane fordeling P (X = x, Y = y) af (X, Y ) er givet ved 1 1 λ x x x! e λ 2 (λ(1+p))x+y (x+y)! e λ(1+p) 3 ( ) y p λ x 1 p y!x! e λ(1+p) 4 ( ) y p λ x 1 p y!x! e λ(1 p) 5 ( ) y p (λ(1 p)) x 1 p y!(x y)! e λ 12
Opgave 23 Lad X betegne antallet af øjne første gang en sædvanlig seks-sidet terning kastes og lad Y betegne antallet af øjne på terningnen anden gang den kastes. Man indfører den stokastiske variabel Z = XY. Spørgsmål 23 Sandsynligheden P (Z = 6) findes til 1 1 x f ( x, 6 x) dx 2 6 x=1 1 x P ( X = x, Y = 6 x 3 1 9 4 1 12 5 1 6 ) Opgave 24 En beta(3,2) fordelt stokastisk variabel X har tætheden 12x 2 (1 x). Spørgsmål 24 Man finder P ( X 1 2) til 1 5 8 2 1 2 3 5 16 4 12 ( 1 2 5 7 16 ) 2 ( ) 1 1 2 13
Opgave 25 En investor har aktier i 5 selsḱaber. I et meget volatilt marked kan man med god tilnærmelse gå ud fra, at kurserne på de enkelte selskaber udvikler sig uafhængigt af hinanden. Investoren kan regne med, at der er 3 5 sandsynlighed for, at kursen på de enkelte selskaber er steget i værdi efter en uge. Spørgsmål 25 Sandsynligheden for, at mindst 3 selskaber er steget i værdi efter en uge, findes til 1 1 2 2 2133 3125 3 513 3125 4 9 125 5 419 625 Opgave 26 Erstatningsbeløbene, der skal udbetales fra et forsikringsselskab til to forskellige geografiske lokaliteter, kan beskrives ved en bivariat normalfordeling med middelværdiparametre: 2, 3 10 7 kr., og 2, 6 10 7 kr., variansparametre 9 10 12 kr. 2, og 25 10 12 kr. 2, samt korrelationskoefficient 0,5. Spørgsmål 26 Sandsynligheden for, at det samlede erstatningsbeløb fra de to lokaliteter overstiger 7 10 7 kr., findes til 1 1 Φ(7) 2 Φ(7) 3 1 Φ(5) 4 Φ(5) 5 1-Φ(3) 14
Opgave 27 Man antager, at solpletter på et tidspunkt med lav aktivitet forekommer uafhængigt af hinanden med en intensitet af en per 10 12 km 2. Man kan antage, at solen er en perfekt kugleform med radius 7 10 5 km., således at den synlige del af solskiven har et areal på 2π ( 7 10 5) 2 = 9, 8 10 11. Spørgsmål 27 Sandsynligheden for ikke at observere nogle solpletter på solskiven findes med to betydende cifre til 1 0,02 2 0,24 3 0,38 4 0,62 5 0,98 Opgave 28 Ved bygningen af en opera skal der benyttes to betonelementer. Da de to elementer delvis konstrueres i den samme process, er der afhængighed i præcisionen på de to elementer. Denne afhængighed kan beskrives ved en bivariat normalfordeling med korrelationskoefficient 2 2. Det er kritisk for konstruktionen, hvis det ene element er større end middelstørrelsen medens det andet samtidigt er mindre end sin middelstørrelse. Spørgsmål 28 Sandsynligheden for ikke at være i en kritisk situation beregnes til 1 3 4 2 1 2 + Arctan( 3 2) π 3 Arctan( 3 2) π 4 2 3 5 Opgaven indeholder ikke tilstrækkeligt med oplysninger til at kunne løses. 15
Opgave 29 På et mindre sygehus kan lægerne være nødt til at dække mere end et speciale. Af lægerne kan 30% dække et medicinsk speciale, 25% kan dække et kirurgisk speciale, medens 10% af lægerne kan dække både et medicinsk og kirurgisk speciale. Spørgsmål 29 Andelen af læger, der hverken kan dække et medicinsk eller kirurgisk speciale, er 1 0,075% 2 35% 3 45% 4 55% 5 0,925% Opgave 30 Man har erfaret, at fyldte containere i gennemsnit vejer 9 ton med en standardafvigelse på 12 ton. Et mindre skib fyldes med 100 af disse containere. Spørgsmål 30 Sandsynligheden for, at vægten af containerne overskrider 10% af containernes samlede middelvægt, kan, eventuelt approksimativt, bestemmes til 1 1 10 2 9 100 3 1 Φ(1) 4 1 Φ ( ) 5 4 5 1 Φ ( 3 4 ) Slut på opgavesættet. 16