Limitations in Formal Systems and Languages

Limitations in Formal Systems and Languages Abstract This thesis has two major aims. The first is to demonstrate the centrality of Cantor s diagonal argument in the proofs of the classical limitation results concerning formal languages and systems the second is to generalize these results into a framework of more general languages and systems. The point of generalizing the classical limitation results is to prove that these results are in some way essential and not only results bound to languages or systems of a very restricted type. Our concept of formal language is defined such as to allow for instance sentences with direct self-reference and poetical sentences that are neither true nor false. The main result of the thesis is a version of Gödel s Incompleteness Theorem valid for these kind of languages equipped with a suitable notion of proof. Two smaller limitation results concerning formal languages are obtained by a transformation of the classical semantical paradoxes of Grelling and Epimenides into the framework of formal languages. In these transformations the close connection between the semantical paradoxes and the diagonal argument is revealed. 2. udgave, 4. oktober 1999 1

Indhold 1 Generel introduktion 3 2 Matematisk introduktion 6 3 Cantors diagonalargument 9 4 Russells paradoks 14 5 Formelle sprog 19 5.1 Introduktion til sprogbegrebet.................. 19 5.2 Definition af formelle sprog................... 25 5.3 Syntaks, semantik og normalsprog............... 31 6 Begrænsninger i formelle sprog 34 6.1 Introduktion........................... 34 6.2 Grellings paradoks........................ 38 6.3 Epimenides paradoks...................... 45 6.4 Tarskis Teorem.......................... 52 7 Formelle Systemer 63 7.1 Introduktion........................... 63 7.2 Definition af while-sprogene.................. 66 8 Begrænsninger i formelle systemer 75 8.1 Gödels Ufuldstændighedsteorem................. 75 8.2 Generalisering af ufuldstændighedsteoremet.......... 89 A Mathematica-program 101 2

1 Generel introduktion Denne afhandling består af to dele. Den første del omhandler formelle sprog og begrænsningsresultater for disse sprog, den anden del omhandler formelle systemer og begrænsningsresultater for disse systemer. Hovedresultatet i den første del er Tarskis Teorem og hovedresultatet i den anden del er en generalisering af Gödels Ufuldstændighedsteorem. Der er forsøgt at tilføje lidt nyt til emnet, men dette er naturligvis vanskeligt at opnå i forbindelse med resultater som har haft besøg af så mange prominente matematikere i en så lang årrække som disse resultater af Gödel og Tarski. Et centralt og gennemgående tema i afhandlingen er Cantors diagonalargument. Samtlige af de begrænsningsresultater vi beviser, opstår ved en anvendelse af diagonalargumentet. Vi demonstrerer desuden den nære sammenhæng som eksisterer imellem diagonalargumentet og de klassiske paradokser i naturlige sprog, og til slut i afhandlingen beviser vi et resultat som viser at diagonalargumentet under meget generelle forudsætninger kan ses som et universelt værktøj til at bevise begrænsningsresultater. Da Cantors diagonalargumentet således er meget centralt har vi valgt at vie nogle sider i afhandlingens begyndelse til at se på dets historiske rødder. Efter dette gives en generel formulering af diagonalargumentet, og denne formulering benyttes som grundlaget for en diskussion af Russells paradoks. I kølvandet på diskussionen af Russells paradoks følger definitionen af det sprogbegreb som resten af afhandlingen benytter sig af. En del energi er brugt på at angive motivationerne bag den fremkomne definition. Det definerede sprogbegreb er en generalisering og en abstraktion af de formelle sprog man sædvanligvis møder i matematisk logik. Da vi i denne afhandlings sprogbegreb ikke binder sprogenes semantik op til modelbegrebet, får vi åbnet muligheden for blandt andet at konstruere sprog som inkorporerer direkte selvreference, idet vi kan operere med udtryk som denne sætning med en konteksafhængig betydning. Samtidig tillader vi i vores sprogbegreb at et sprog kan indeholde sætninger som hverken er sande eller falske. Dette giver mulighed for i sprogene at håndtere kritiske semantiske begreber som begrebet heterologisk og begrebet sandhed uden at der opstår paradokser, idet vi da blot kan tillade den selvrefererende sætning som producerer paradokset hverken at være sand eller falsk i sproget. Efter indførslen af sprogbegrebet fortsætter afhandlingen med en detaljeret behandling af Grellings og Epimenides paradokser i rammen af det nye sprogbegreb. Første del af afhandlingen afsluttes derefter med en abstraheret udgave af Tarskis Teorem og en anvendelse af dette teorem på formel prædikatlogisk aritmetik, hvilket giver os det klassiske Tarski-teorem. Anden halvdel af afhandlingen starter med at definere begrebet formelt system som et formelt sprog udstyret med et bevisbarhedsbegreb for sproget. Derefter diskuteres hvilke egenskaber et bevisbarhedsbegreb i et formelt system skal have for at kunne stemme overens med vores intuition om hvad 3

beviser er. Vi når frem til at hvis et bevis skal være noget endegyldigt og uomtvisteligt, og ikke blot et overbevis, da må enhver kandidat til et bevis på systematisk, mekanisk måde kunne checkes for fejl. At noget kan udføres på systematisk, mekanisk måde vælger vi at præcisere ved kravet om at det kan udføres på en computer. Dette præciseres dernæst videre ved at indføre programmeringssproget while. I afsnittet Gödels Ufuldstændighedsteorem vises det at sproget for formel prædikatlogisk aritmetik indeholder sande sætninger som ikke kan bevises, dvs. er ufuldstændigt, hvis det er udstyret med et bevisbarhedsbegreb som opfylder ovennævnte krav om mekanisk bevis-checkbarhed. Dette begrænsningsresultat baserer sig blandt andet på Tarskis Teorem. I afhandlingens sidste afsnit generaliseres ufuldstændighedsresultatet og der ses nærmere på hvor og hvordan ufuldstændigheden viser sig i de ufuldstændige formelle systemer. Af den tid der er brugt på at skrive afhandlingen er i nærheden af halvdelen af tiden brugt på at finde de rette definitioner. I denne type matematik, der er rettet mod grundlagsmatematiske og filosofiske problemstillinger, er det ikke altid definitionerne byder sig til på lige så oplagt måde som i visse andre dele af matematikken. Værdien af de opnåede resultater står naturligvis og falder med det intuitivt naturlige i definitionerne, men ofte kan det vise sig at de definitioner som forekommer intuitivt naturlige giver anledning til væsentligt mere kompliceret notation og tekniske beviser end andre tilnærmede definitioner, der er skabt for at få matematikken til at glide så glat som muligt, men hvor det intuitive i definitionerne er sværere at få øje på. Der er således ofte et trade-off imellem det intuitive i en definition og definitionens håndterbarhed, og dette trade-off har vi i denne afhandling med stort besvær forsøgt at balancere så godt som muligt. De i afhandlingen indførte begreber er forsøgt defineret så generelt som muligt for at opnå de mest generelle resultater. Prisen for dette er en lidt mere tung notation og lidt mere tekniske beviser end det man ellers kunne have klaret sig med. Belønningen er så til gengæld at man ser at de viste begrænsningsresultater holder under meget generelle forudsætninger, og ikke kun er resultater bundet til meget specialiserede typer af sprog og systemer (som for eksempel 1. ordens systemer, som er det klassiske tilfælde). I den første del af afhandlingen forekommer der kun meget lidt teknisk matematik. Vægten er her ikke lagt på det tekniske men på diskussionerne og det forståelsesmæssige. Disse dele bør læses med et mere filosofisk end matematisk blik. Senere i afhandlingen begynder den matematiske sværhedsgrad at stige dels fordi de viste resultater vokser i kompleksitet og dels fordi graden af detaljerigdom i beviserne bevidst er gjort aftagende igennem afhandlingen. Efter hvert afsnit i afhandlingen er der en paragraf kaldet Bemærkninger og referencer. I denne paragraf står der blandt andet i hvilken grad afsnittets resultater og overvejelser er lånte eller mine egne. De beviste resultater er i overvejende grad varianter eller generaliseringer af allerede kendte 4

resultater, men ingen er helt identiske med formuleringer i den af forfatteren kendte del af litteraturen. Alle beviser er forfatterens egne, hvor de grundlæggende idéer kan være lånte, men hvor den konkrete gennemførsel af beviserne, detaljerne, er forfatterens. Et enkelt større resultat hen imod slutningen af afhandlingen (Teorem 78) er så vidt vides (af forfatteren og logik-miljøet i Oslo) ikke tidligere kendt. 5

2 Matematisk introduktion Den generelle matematiske ramme vi i det følgende skal arbejde indenfor er ZF, Zermelo-Fraenkels aksiomatiske mængdelære. Vi vil ikke forsøge at gå rent formelt til værks når vi konstruerer beviser dette har vi valgt for at gøre beviserne mere elegante og læsbare, men i princippet burde der kunne gives formelle varianter af alle beviserne. Vi antager altså at alt bliver bygget op fra Zermelo-Fraenkels aksiomer, og alle objekter vi måtte ønske at definere skal være mængder i ZF-forstand. Resten af dette afsnit vil vi benytte til i ZF at introducere de fundamentale begreber, som ligger til grund for denne afhandling. På sædvanlig måde i ZF lader vi mængden af naturlige tal, N, være den mindste grænseordinal. N bliver således mængden N = {0, 1, 2, 3,...} hvor 0 =, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2},... Ønsker vi i en formel at kvantificere over mængden af naturlige tal skriver vi x N eller x N mens x og x betyder at vi kvantificerer over alle mængder. Vi indfører begrebet endelig følge. En endelig følge har et antal elementer n N. Den eneste endelige følge med 0 elementer er den tomme mængde. Vi skriver også () for denne følge. En endelig følge med 1 element (x 1 ) defineres ganske simpelt som elementet x 1 selv. En endelig følge med 2 elementer (x 1, x 2 ) defineres som mængden {{x 1 }, {x 1, x 2 }}. En sådan følge kaldes også et par. En endelig følge med n > 2 elementer (x 1, x 2,..., x n ) defineres som mængden af par {(0, x 1 ), (1, x 2 ),..., (n 1, x n )}. Hvis σ er givet at være en endelig følge, vil vi i resten af afhandlingen lade udtryk af typen x σ betyde x = x i for en i {1,..., n} hvor σ = (x 1,..., x n ). Hvis σ = (x 1,..., x n ) og τ = (y 1,..., y n ) er to endelige følger vil vi tilsvarende tillade os at benytte udtrykket σ τ som en betegnelse for egenskaben {x 1,..., x n } {y 1,..., y n }. Udtrykket στ benytter vi til at betegne den endelige følge (x 1,..., x n, y 1,..., y n ) og for alle i = 1,..., n lader vi σ i betegne det i te element i σ, dvs. σ i = x i. En n-plads relation er er en mængde af endelige følger, alle med n elementer. Bemærk at som vi har defineret begrebet endelig følge med 1 element bliver begrebet 1-plads relation identisk med begrebet mængde. Hvis R er 6

en n-plads relation skriver vi ofte R(x 1,..., x n ) istedet for (x 1,..., x n ) R. Lad M 1,..., M n være mængder. Vi definerer M 1 M n som n-plads relationen M 1 M n = {(x 1,..., x n ) x i M i for alle i {1,..., n}} Hvis M = M 1 = M 2 = = M n skriver vi også M n for denne relation. M 0 er 0-plads relationen {()}. Hvis der for en n-plads relation R gælder R M 1 M n, kalder vi R for en n-plads relation på M 1 M n. Hvis der for en n-plads relation R gælder R M n kalder vi R for en n-plads relation over M. Enhver (n+1)-plads relation har en definitionsmængde og en billedmængde dom(r) = {(x 1,..., x n ) y ((x 1,..., x n, y) R)} ran(r) = {y x 1,..., x n ((x 1..., x n, y) R)} En (n + 1)-plads relation f kaldes en funktion eller en afbildning hvis der gælder (x 1,..., x n ) dom(f)!y ran(f)((x 1,..., x n, y) f). Vi benytter skrivemåden f : A B til at angive at f er en afbildning med dom(f) = A og ran(f) B. Lad f være en afbildning og lad (x 1,..., x n ) dom(f). Vi benytter udtrykket f(x 1,..., x n ) til at betegne den entydige y ran(f) som opfylder (x 1,..., x n, y) f. Der gælder således f(x 1,..., x n ) = y (x 1,..., x n, y) f. Da vi som nævnt ofte vil benytte skrivemåden f(x 1,..., x n, y) fremfor at skrive (x 1,..., x n, y) f må man være forsigtig med ikke at forveksle udtrykkene f(x 1,..., x n ) og f(x 1,..., x n, y). En mængde {(0, x 1 ), (1, x 2 ),..., (n 1, x n )} er per definition både en endelig følge med n elementer og en funktion med definitionsmængde n = {0, 1,..., n 1}. En funktion f med definitionsmængde N kaldes også en uendelig følge og vi benytter skrivemåden f = (x 1, x 2, x 3,... ) til at betegne at f(i) = x i. Lad f : A B være en afbildning og lad C være en mængde. Ved restriktionen af f til C forstår vi afbildningen f C givet ved Vi har altså x y ( (x, y) f C x C (x, y) f ). dom(f C) = dom(f) C. 7

Et n-plads prædikat P er et par P = (A, B) hvor A og B er n-plads relationer med B A. Et n-plads prædikat over M er et n-plads prædikat P = (A, B) hvor A og B begge er n-plads relationer over M. Mængden af n-plads prædikater over en mængde M betegnes M [n]. Givet et n-plads prædikat P = (A, B) definerer vi E(P ) = A og M(P ) = B. E(P ) kaldes prædikatets ekstension og M(P ) kaldes dets meningsområde. Hvis P = (A, B) siger vi også at P er relationen A udstyret med meningsområde B. Eksempel 1. Mængden af primtal udgør en 1-plads relation A. A kan udstyres med meningsområde N hvorved vi får et 1-plads prædikat P = (A, N). P er et 1-plads prædikat over N. Vi ønsker at benytte prædikater til at betegne egenskaber. I dette tilfælde betegner prædikatet P egenskaben at være et primtal. Meningsområdet benyttes til at angive for hvilke mængder egenskaben giver mening. Egenskaben at være et primtal giver i klassisk forstand kun mening for de naturlige tal. Derfor lader vi M(P ) = N. De her nævnte ting udgør den underliggende intuition for brugen af n- plads prædikater i det følgende. Lad A og B være to mængder. Mængdedifferensen imellem A og B betegnes A B. Ved den symmetriske differens af A og B forstås mængden A B givet ved A B = (A B) (B A). A B består altså af de elementer som er indeholdt i netop én af mængderne A, B. En mængde A kaldes endelig hvis der eksisterer en injektion A N men ingen bijektion A N. A kaldes tællelig hvis der eksisterer en bijektion A N. 1 A kaldes overtællelig hvis der eksisterer en injektion N A men ingen bijektion N A. Heraf følger det at en tællelig mængde hverken kan bringes i bijektiv korrespondance med nogen endelig eller nogen overtællelig mængde. En mængde kaldes højst tællelig hvis den enten er endelig eller tællelig. En mængde kaldes uendelig hvis den enten er tællelig eller overtællelig. Bemærkninger og referencer De første definitioner i dette afsnit er taget fra [Kun80]. Jeg har bevidst undgået at benytte kardinalitetsbegrebet til at definere begreberne endelig, tællelig og overtællelig mængde, da jeg således undgår at bringe udvalgsaksiomet på banen. Udvalgsaksiomet er ikke nødvendigt for de mægtigheds -betragtning vi får brug for i det følgende. Begrebet prædikat er mit eget, som senere skal benyttes i forbindelse med mit sprogbegreb til semantisk at håndtere sætninger hvori et begreb benyttes udenfor dets naturlige meningsområde. 1 I en del andre fremstillinger kaldes en mængde A tællelig blot der eksisterer en injektion A N. 8

3 Cantors diagonalargument Alt vi skal beskæftige os med i det følgende tager udgangspunkt i et argument som Georg Cantor (1845-1918) oprindelig benyttede for at bevise eksistensen af overtællelige mængder. Dette argument er i dag kendt under navnet Cantors diagonalargument. Argumentet optræder første gang i Jahresbericht der Deutsch. Math. Vereing. fra 1891 ([Can32]). Allerede i 1874 beviste Cantor eksistensen af en overtællelig mængde ved at bevise overtælleligheden af de reelle tal, men det i den forbindelse benyttede bevis er unødigt kompliceret og angiver ikke umiddelbart en universel metode som diagonalargumentet gør. Diagonalargumentet er hjertet i alle de begrænsningsresultater som vi senere i denne afhandling skal have på banen. I Gödels Ufuldstændighedsteorem fra 1931 er diagonalargumentet fra 1891 en af bevisets største geniale idéer, mens en stor del af beviset blot består af mere eller mindre trivielle, omend dog ganske omstændelige, tekniske pillerier. Vi skal senere gennemføre forskellige beviser for Gödels Ufuldstændighedsteorem, hvor dette vil blive tydeligt. Da diagonalargumentet er centralt for alt i det følgende vil vi bruge en del energi på at fremstille det i detaljer. Vi vil begynde med at angive Cantors oprindelige diagonalargument, som det så ud i Jahresbericht der Deutsch. Math. Vereing., hvorefter vi vil prøve at oversætte beviset til moderne notation og give en variant som er passende for de senere anvendelser i denne afhandling. Sind... m und w irgend zwei einander ausschließende Charaktere, so betrachten wir einen Inbegriff 2 M von Elementen E = (x 1, x 2,..., x v,... ), welche von unendlich vielen Koordinaten x 1, x 2,..., x v,... abhängen, wo jede dieser Koordinaten entweder m oder w ist. M sei die Gesamtheit aller Elemente E. Zu den Elementen von M gehören beispielsweise die folgenden drei: E I = (m, m, m, m,... ), E II = (w, w, w, w,... ), E III = (m, w, m, w,... ). Ich behaupte nun, daß eine solche Mannigfaltigkeit M nicht die Mächtigkeit der Reihe 1, 2,..., ν,... hat. Dies geht aus folgendem Satze hervor: 2 En af Cantors betegnelser for det vi i dag kalder en mængde. 9

Ist E 1, E 2,..., E ν,... irgendeine einfach unendliche Reihe von Elementen der Mannigfaltigkeit 3 M, so gibt es stets ein Element E 0 von M, welches mit keinem E ν übereinstimmt. Zum Beweise sei E 1 = (a 1,1, a 1,2,..., a 1,ν,... ), E 2 = (a 2,1, a 2,2,..., a 2,ν,... )................................. E µ = (a µ,1, a µ,2,..., a µ,ν,... )................................. Hier sind a µ,ν in bestimmter Weise m oder w. Es werde nun eine Reihe b 1, b 2,..., b ν,..., so definiert, daß b ν auch nur gleich m oder w und von a ν,ν verschieden sei. Ist also a ν,ν = m, so ist b ν = w, und ist a ν,ν = w, so ist b v = m. Betrachten wir alsdann das Element E 0 = (b 1, b 2, b 3,... ) von M, so sieht man ohne weiteres, daß die Gleichung E 0 = E µ für keinen positiven ganzzahligen Wert von µ erfüllt sein kann, da sonst für das betreffende µ und für alle ganzzahligen Werte von ν also auch im besondern b ν = a µ,ν, b µ = a µ,µ wäre, was durch die Definition von b ν ausgeschlossen ist. Aus diesem Satze folgt unmittelbar, daß die Gesamtheit aller Elemente von M sich nicht in die Reihenform: E 1, E 2,..., E ν,... bringen läßt, da wir sonst vor dem Widerspruch stehen würden, daß ein Ding E 0 sowohl Element von M, wie auch nicht Element von M wäre. 4 Cantor beviser ovenfor at mængden M af uendelige følger på en mængde {m, w} er overtællelig, dvs. ikke lader sig bringe i bijektiv korrespondance med de naturlige tal. Han beviser dette ved at vise 3 Endnu en af Cantors betegnelser for det vi i dag kalder en mængde. 4 [Can32], s. 278-279. 10

Lemma 2. For enhver uendelig følge (E 1, E 2,..., E ν,... ) af elementer fra M eksisterer der et element E 0 M som ikke er med i den uendelige følge. Deraf følger at M ikke kan være tællelig, for ellers kunne vi putte alle elementerne fra M ind i den uendelige følge (via en bijektiv afbildning N M), og da ville der ikke kunne eksistere en E 0 M som ikke var element i følgen. Lad os bevise lemmaet. Bevis Vi definerer først en inverteringsafbildning : {m, w} {m, w} som afbilder m på w og omvendt, dvs. { m hvis σ = w σ = w hvis σ = m Hvis E betegner en uendelig følge og ν N {0} vil vi på sædvanlig måde lade E ν betegne det ν te element i E. Vi ser da på følgende skema E 1 = ( E1 1, E1 2,..., E1 ν,... ), E 2 = ( E1 2, E2 2,..., E2 ν,... )........ E ν = ( E1 ν, Eν 2,..., Eν ν,... )....... Det er fra dette skema at navnet diagonal-argument opstår, for det vi nu skal se på er diagonalen i skemaet, dvs. følgen (E 1 1, E2 2,..., Eν ν,... ). Hvis vi inverterer alle elementerne i denne følge får vi en følge som vi vil kalde for antidiagonalen og som vi her betegner E 0. E 0 er altså følgen E 0 = (E 1 1, E2 2,..., Eν ν,... ) Antag nu at E 0 er med i følgen (E 1, E 2,..., E ν,... ), dvs. antag E 0 = E µ for en positiv µ N. Da vil specielt gælde E 0 µ = E µ µ med dette er i modstrid med vores definition af E 0 ifølge hvilken E 0 µ = E µ µ E µ µ. Pointen med E 0 ovenfor er at dens ν te element vha. inverteringsafbildningen defineres til at være forskellig fra E ν s ν te element. Dermed kan E 0 ikke være lig nogen af E ν erne, da E 0 for et hvilket som helst givet positivt ν vil afvige fra E ν på de to følgers ν te plads. I resten af afhandlingen vil vi fokusere på mængder fremfor på følger, så vi vil nu konstruere en mængdevariant af ovenstående lemma. Dette ligger lige for, idet vi har følgende oplagte isomorfi o : M P(N {0}) imellem mængden af uendelige følger på {m, w} og delmængderne af N {0}: o(e) = {ν E ν = m} 11

Det er let at se at o således defineret er en bijektion. Via o får vi nu udfra Lemma 2 et bevis for følgende resultat Lemma 3. Lad E være en tællelig delmængde af P(N {0}). Da findes der et element i P(N {0}) som ikke er med i E. Bevis Da E er tællelig eksisterer der en bijektion I : (N {0}) E. Definér nu for alle ν N {0} en uendelig følge E ν ved E ν = o 1 (I(ν)) (E 1, E 2,... ) er en tællelig følge af elementer fra M, og har derfor en antidiagonal ( ) E 0 = E1 1, E2 2,..., Eν ν,... som ikke er med i følgen E, ifølge beviset for Lemma 2. Ser vi nu på antidiagonalens billede under isomorfien o fås, idet vi undervejs benytter at o(e ν ) = {i E ν i = m} og dermed i o(e ν ) E ν i = m, ) o(e 0 ) = o ((E1 1, E2 2,... ) = { ν Eν = m } = {ν Eν ν m} = {ν ν o(e ν )} = {ν ν I(ν)}. o(e 0 ) kalder vi af gode grunde også for en antidiagonal, da det blot er en mængdeparallel til antidiagonalen for følger, som opstår igennem den kanoniske isomorfi o. Men det er let at se at denne antidiagonal ikke er med i E. Antager vi nemlig at o(e 0 ) = I(µ) for en µ N {0} fås µ I(µ) µ o(e 0 ) µ I(µ) hvilket klart er en modstrid. At vi ovenfor ser på delmængder af N {0} fremfor delmængder af N er blot et valg foretaget for at få den simplest mulige isomorfi o imellem følger og mængder. Hvis vi lader p : (N {0}) N betegne bijektionen n + 1 n og i ovenstående bevis overalt erstatter afbildningen o med afbildningen p o får vi istedet et bevis gældende for delmængder af N. Et oplagt korollar af lemmaet er at mængden P(N) ikke er tællelig. At bevise at mængden {ν ν I(ν)} ikke er med i ran(i) ses af ovenstående at være ganske let at gøre, og vi behøver slet ikke at gå via følger for at gennemføre beviset for ovenstående lemma. Men det vi har opnået ved umagen er at få knyttet en historisk kontakt tilbage til Cantors oprindelige diagonalargument vi har set hvordan idéen til at konstruere mængden {ν ν I(ν)} er opstået, og vi har fået forklaret navnet antidiagonalen på denne mængde. Vi får senere i afhandlingen brug for følgende lidt generaliserede version af ovenstående lemma. 12

Lemma 4. Lad der være givet to mængder A B og en afbildning I : A P(B). Da indeholder mængden P(A) I(A) følgende element I = {x A x I(x)}. Bevis Nu kan vi komme med et fint og meget enkelt diagonalargument. Antag I I(A), dvs. antag I = I(e) for en e A. Da fås e I(e) e I e I(e) hvilket er en modstrid. Derfor gælder I I(A), og det er samtidig trivielt at I P(A). Dette generaliserede lemma giver forrige lemma ved at lade A = B = N 0 og som før lade I være en bijektion I : (N {0}) E. Da giver det generaliserede lemma at P(A) I(A) = P(N 0) E er ikke-tom. I det følgende vil vi med udtrykket antidiagonalen mht. I altid forstå mængden I defineret ved I = {x dom(i) x I(x)}. Tilsvarende benytter vi udtrykket diagonalen mht. I for mængden I defineret ved I = {x dom(i) x I(x)}. De to mængder I og I er tydeligvis hinandens komplementære i dom(i), som også valget af symboler antyder. Nu har vi fået vandret rigeligt rundt i diagonalargumentet, og kan gå videre med anvendelserne. Bemærkninger og referencer At uddraget i begyndelsen af afsnittet er litteraturens første diagonalargument bliver hævdet i [Mes67], hvor det i øvrigt også bliver bemærket at dette er det eneste sted i Cantors samlede værker at et diagonalargument optræder. Bortset fra uddraget er alle detaljer i dette afsnit mine egne. Jeg kender ikke til at andre benytter udtrykket antidiagonal, men det giver nogenlunde sig selv hvad dette udtryk dækker over. 13

4 Russells paradoks I dette afsnit vil vi se nærmere på en historisk set central anvendelse af diagonalargumentet. Her, som i de følgende afsnit, vil en anvendelse af diagonalargumentet betyde en anvendelse af Lemma 4, som er vores generelle formulering af hvad der kommer ud af et diagonalargument. Med diagonalargumentet fik Cantor intetanende lagt en bombe under sit eget mængdebegreb, og dermed under hele det arbejde han havde præsteret indenfor sin mængdelære. Bomben fik lov at ligge ubemærket i 12 år, indtil Bertrand Russell (1872-1970) i 1903 bragte den til sprængning med sit berømte paradoks. Vi vil i det følgende se på hvordan Russells paradoks opstår, men først må vi definere et par begreber. I forbindelse med indførslen af ordinaltal i mængdelæren definerer man begrebet transitiv mængde. En mængde M kaldes transitiv hvis ethvert element i M er en delmængde af M, dvs. hvis x (x M x M). For en transitiv mængde gælder altså M P(M). Eksempler på transitive mængder er, { } og {, { }}. Er A en transitiv mængde kan vi som en afbildning af typen A P(A) vælge inklusionsafbildningen A : A P(A) givet ved A (x) = x. Da får vi af Lemma 4, ved at lade I = A, at Da A (A) = A får vi heraf hvor Vi har nu bevist følgende A P(A) A (A). A A A = {x A x A (x)} = {x A x x}. Lemma 5. For enhver transitiv mængde A er delmængden af A givet ved ikke element i A. A = {x A x x} Vi vil nu vise at ovenstående lemma er inkonsistent med Cantors mængdebegreb (naiv mængdelære). Som man kunne se af uddraget i Afsnit 3 s begyndelse benyttede Cantor i sine tidlige skrifter flere forskellige betegnelser for begrebet mængde. Disse betegnelser havde et intuitivt indhold, men var på dette tidspunkt ikke givet nogen definition. Først i 1895 (Math. Annalen Bd. 46, s. 481-512. Se [Can32]) gav Cantor følgende definition på mængdebegrebet: 14

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M gennant werden) zu einem Ganzen. Lad os nu se på Zusammenfassung en af alle mængder. Denne samling udgør i sig selv en mængde A, hvis vi følger det af Cantor intenderede mængdebegreb. 5 Det er klart at A således defineret må være transitiv, og dermed får vi ifølge ovenstående lemma at mængden A = {x x x} ikke er element i A, hvilket er i modstrid med at A består af alle mængder. Mængden A er Russell-mængden: mængden af alle mængder som ikke indeholder sig selv. Denne mængde har vi nu fået udtrykt som antidiagonalen mht. inklusionsafbildningen på mængden af alle mængder og som vi ser leder eksistensen af denne mængde til et paradoks i Cantors mængdelære. Opdagelsen af Russells paradoks var naturligvis et hårdt slag for matematikken noget som pludselig gjorde det klart at matematikken ikke var opbygget på et så solidt og ufejlbarligt grundlag som man måske på det pågældende tidspunkt troede. På grund af paradokset måtte man forsøge at genopbygge mængdelæren på et fastere grundlag end den naive mængdelære var. Dette resulterede i en eksplosiv udvikling af den matematiske logik i forsøget på at formalisere mængdelæren. Pointen var at konstruere en formel teori for mængdelæren som så vidt muligt skulle stemme overens med den naive mængdelære, men som samtidig måtte være konsistent, dvs. ikke give anledning til eksistensen af en Russell-mængde. Der blev konstrueret en del formelle teorier som på forskellig måde klarede at unddrage sig Russells paradoks. En af disse teorier var Russells type-teori, som blev lagt til grund for Russell og Whiteheads mammutværk Principia Mathematica (1910-1913). I Principia Mathematica blev en god del af den allerede kendte matematik overført til den formelle type-teoretiske ramme. Det endegyldige mål var at få hele den kendte matematik overført til den formelle ramme, og at alle fremtidige matematiske resultater skulle formuleres i denne ramme og bevises formelt deri. Dette skulle da give den nødvendige paradoksfrie genopbygning af matematikken. Det kom ikke helt til at gå med Principia Mathematica-projektet som man havde håbet. I 1931 offentliggjorde Kurt Gödel (1906-1978) et resultat som viste at alle formelle systemer som er mindst lige så ambitiøse som Russells typeteori vil være mangelfulde, i den forstand at de enten vil være inkonsistente eller kunne udtrykke sætninger som hverken kan bevises eller modbevises, dvs. er uafgørbare, indenfor teorien. Dette resultat viste at der 5 At Cantor virkeligt med det her givne mængdebegreb ønskede at samlingen af alle mængder i sig selv skulle udgøre en mængde, kan vi blandt andet se af den bekymring Cantor i breve udtrykte overfor Russells paradoks, da det kom frem. 15

ikke eksisterer nogen konsistent formel teori som kan bevise alle sande matematiske teoremer, og dermed konkluderede man at håbet om at kunne genopbygge hele matematikken i en formel teori måtte opgives. Denne forholdsvis vidtgående konklusion på basis af Gödels opdagelse blev draget, da det på det pågældende tidspunkt syntes oplagt at alle sande matematiske udsagn måtte kunne bevises på en eller anden måde, men altså ikke igennem formelle beviser. I dag kan vi måske bedre forestille os at der kan eksistere nogle klasser af problemer som er essentielt uafgørbare, dvs. ikke lader sig afgøre (bevises eller modbevises) i nogen som helst sund ramme, hverken en formel ramme eller rammen af sædvanlig matematisk praksis. I dette tilfælde giver Gödels resultat i sig selv ingen grund til at forlade formelle teorier, da en hvilken som helst sund fremgangsmåde da vil besidde den påviste begrænsning. Resultatet Gödel beviste kaldes for Gödels Ufuldstændighedsteorem eller Gödels Uafgørbarhedsteorem. I beviset for dette teorem var det igen en anvendelse af diagonalargumentet som var på spil. I hjertet af beviset lå konstruktionen af en antidiagonal I og en tilhørende formel ϕ I (x) som blev bevist at have en uafgørbar instans. Vi skal se nærmere på detaljerne for dette bevis i afsnit 8.2. Historien om de første 40 år af diagonalargumentets liv er altså følgende: Diagonalargumentet bliver født i 1891, hvor det af Cantor bliver benyttet til at bevise eksistensen af overtællelige mængder. 12 år senere bliver det benyttet til at skabe Russells paradoks, som viser at der er alvorlige mangler i Cantors mængdebegreb. Russell forsøger at redde mængdelæren ved at flytte hele teorien til en formel ramme, men pludselig dukker diagonalargumentet op igen, og denne gang bliver det af Gödel benyttet til at bevise alvorlige mangler i Russells formelle teori. Moralen synes at være, at den som på et tidspunkt i sin matematiske karriere tillader sig at anvende diagonalargumentet vil til slut selv få nedbrudt sine opbyggede resultater ved en anden anvendelse af samme argument! Diagonalargumentet viser i sine anvendelser altid at der er noget udenfor noget andet ( I ran(i) ), og som sådan giver dets anvendelser altid en eller anden form for begrænsning en begrænsning i universaliteten af mængden ran(i). I denne afhandling vil alle de begrænsninger vi påviser opstå af diagonalargumentet. Diagonalargumentet har vist sig at være et universalværktøj til at bevise den type begrænsningsresultater som opstår indenfor matematisk logik. Tilbage til Russells paradoks. Russell gav selv en simplificeret parallel til sit paradoks i paradokset om barberen. Vi forestiller os at vi befinder os i en lille unavngiven by (eller Sevilla?); i denne by lader vi barbaren, b, være den som barberer alle der ikke barberer sig selv (sammenlign med lad M være mængden af alle mængder som ikke indeholder sig selv ). Det synes at være rationelt at definere en barber således, i hvert fald hvis vi befinder os i en by med udelukkende mænd, og hvis alle disse mænd enten barberer sig selv 16

eller bliver barberet af barberen. Problemet er dog at den givne definition af hvem b barberer også angår b selv. Som b er defineret får vi b barberer b hvis og kun hvis b ikke barberer b hvilket er et paradoks. Dette paradoks bygger som det ovenfor behandlede mængdeteoretiske paradoks på diagonalargumentet. Lad A betegne mængden af indbyggere i byen. Lad I : A P(A) være afbildningen der til enhver indbygger x A knytter mængden af indbyggere I(x) som x barberer. Hvis vi definerer b som ovenfor har vi da I(b) = {x A x barberer ikke sig selv} = {x A x barberer ikke x} = {x A x I(x)} = I. Men ifølge Lemma 4 er er I I(A), og vi får da I(b) I(A), hvilket er i modstrid med at b er en indbygger i byen. Problemet her ses at være definitionen af I(b). I(b) defineres udfra hele afbildningen I, dvs. I(b) defineres rekursivt (i ordets mest generelle betydning), og sådanne rekursive definitioner leder ikke helt generelt til hverken eksistensen eller til entydigheden af de objekter som forsøges defineret. Alle ligninger af typen x = f(x) hvor f er givet, kan ses som sådanne generelle rekursive definitioner, hvor vi forsøger at definere x ved udtrykket f(x). Men vi ved også at hvis f f.eks. er en funktion R R givet ved f(x) = x 2 + 1, da definerer udtrykket x = f(x) x = x 2 + 1 ingen x, mens hvis f(x) = x 2 1 definerer udtrykket x = f(x) to forskellige x R, og hvis f(x) = x 2 definerer udtrykket netop én x R. Dette viser os at vi ikke generelt kan forvente at en rekursiv definant (et rekursivt definerende udtryk) har et tilhørende definandum (et objekt som bliver defineret ved definanten), og vi har derfor ingen umiddelbar grund til at tage det for givet at I(b) defineret rekursivt som ovenfor skulle give os en veldefineret mængde. Dermed opløses paradokset, idet problemet viser sig at være at barberen med det rekursivt definerede job slet ikke eksisterer, fordi hans job således defineret ikke er veldefineret. Problemet der giver anledning barberens paradoks er det samme som går igen i Russells mængdeteoretiske paradoks. Forskellen er blot at i det mængdeteoretiske paradoks bliver afbildningen I defineret som inklusionsafbildningen A, og dermed bliver problemet flyttet fra en rekursiv definition 17

af en værdi I(b) ved I selv, til en rekursiv definition af en mængde M (Russell-mængden) ved mængden af alle mængder selv. M defineres ved at lade x være element i M hvis og kun hvis x ikke er element i mængden x. Dette er en rekursiv definition af en enkelt mængde, M, udfra mængden af alle mængder og heri ligger problemet. Ifølge ovenstående diskussion har vi ingen umiddelbar grund til at mene at der skulle eksistere en mængde M således defineret. Men ifølge Cantors definition af mængdebegrebet (eller i hvert fald sådan som vi fortolker hans lidt vage definition) må M eksistere. Problemet må altså ligge i Cantors definition, og vi bør derfor prøve at se nærmere på denne. Selvom det er godt skjult, går det efterhånden op for én at selve denne definition af mængdebegrebet besidder samme problem som definitionen af I(b) ved I og definitionen af M ved mængden af alle mængder: en mængde kan ifølge denne definition af mængdebegrebet være en hvilken som helst samling af objekter, herunder inkluderet samlingen af alle objekter defineret ved mængdebegrebet selv. Cantors definition er altså også en rekursiv definition af den type som ikke generelt er garanteret eksistensen af et definandum og som paradokset viser har vi netop i dette tilfælde intet definandum, intet mængdebegreb som opfylder Cantors definition. Bemærkninger og referencer Jeg har brugt matematikleksikonet EDM2 ([Itô93]) og Politikens Filosofileksikon ([Lüb83]) til at sikre mig at mine faktuelle oplysninger er korrekte. Bortset fra dette er afsnittet baseret på egne overvejelser. 18

5 Formelle sprog 5.1 Introduktion til sprogbegrebet I det følgende skal vi studere sprog. Vi vil vise at sprog har visse essentielle begrænsninger som skyldes den grundlæggende struktur et sprog har. De sprog vi skal studere er skriftsprog og de begrænsninger vi skal påvise er begrænsninger i mængden af begreber som på fornuftig måde kan udtrykkes i sprogene. Først skal vi have defineret begrebet sprog. Vi definerer et sprog som en matematisk struktur af en bestemt type. Vi forsøger at definere en sådan matematisk struktur så bredt som muligt, så vi får resultaterne til at gælde så generelt som muligt. I definitionen tager vi udgangspunkt i vores intuition om hvad der er fælles for alle (skrift-)sprog, inkluderende både matematiske og naturlige sprog. Vi definerer sprogbegrebet i trin, startende med en definition af begrebet alfabet, for derefter én for én at tilføje definitioner for de forskellige elementer vi mener et sprog som mindstekrav må indeholde. Denne trinvise opbygning af et begrebs definition forekommer at være en mere pædagogisk fremgangsmåde end fra begyndelsen at servere en færdigformuleret definition af sprogbegrebet, som kan forekomme umotiveret. Et sprog bygger først og fremmest på et alfabet, hvis elementer, bogstaverne, udgør atomerne i sprogets syntaks. Vi definerer et alfabet som en endelig følge 6, hvis elementer vi kalder for symboler. Et alfabets symboler vil i almindelighed være symboler i sædvanlig matematisk forstand, dvs. bogstaver eller tegn (men da vi arbejder indenfor ZF vil bogstaver og tegn i sig selv blot være betegnelser for mængder). Det vi i sædvanlige sprog kalder for sætninger er følger af symboler over sprogets alfabet. Lad Σ være et alfabet. Da definerer vi Σ som mængden af endelige følger over Σ, dvs. En følge Σ = {(α 1,..., α n ) n N, α i Σ}. (α 1, α 2,..., α n ) Σ kalder vi også for en streng over Σ, og vi benytter den forkortede skrivemåde α 1 α 2... α n når Σ er af en sådan skabning at dette kan gøres uden at lede til flertydighed. Et sprogs sætninger er en delmængde S af Σ hvor Σ er sprogets alfabet. I naturlige sprog møder vi mange forskellige typer sætninger med vidt forskellige typer funktioner, som f.eks. moralske ytringer 6 På dette punkt i afhandlingen kunne vi lige så godt have defineret et alfabet som en endelig mængde, men senere vil det vise sig praktisk at vi har en rækkefølge på elementerne i alfabetet. 19

udråb Du må ikke slå ihjel. Dø! metaforiske sætninger Du er den sol der varmer mit hjerte. og påstandsfremsættende sætninger Jorden roterer omkring solen. En påstandsfremsættende sætning er en sætning som altid vil være enten sand eller falsk, da det er en sætning som udtrykker en mulig kendsgerning som enten kan foreligge eller ej i den virkelighed sproget tænkes at udtrykke sig om. En påstandsfremsættende sætning er altså sand hvis dens påstand stemmer overens med den givne virkelighed, ellers falsk. Hvad det nærmere vil sige at en sætning udtrykker en mulig kendsgerning og hvad det vil sige at en mulig kendsgerning foreligger vil vi ikke interessere os for i vores sprogbegreb vi er blot interesseret i den konsekvens dette har: at der for ethvert sprog må eksistere en opdeling af sprogets sætninger i påstandsfremsættende og ikke-påstandsfremsættende sætninger, og at der igen må eksistere en opdeling af de påstandsfremsættende sætninger i sande og falske sætninger. Når vi senere snakker om hvad en sætning udtrykker, er det da blot for at holde fast i intuitionen bag det hele, men det definerede sprogbegreb kommer ikke til at indeholde nogen egentlig formalisering af dette. Alle ikke-påstandsfremsættende sætninger placeres i samme kategori, da det i denne afhandling er sprogets evne til at udtrykke mulige kendsgerninger vi er interesseret i, og ingen interesse har i at kunne skelne mellem f.eks. moralske ytringer og udråb, som begge er typer af sætninger der ikke påstår noget. De ikke-påstandsfremsættende sætninger kalder vi i det følgende for poetiske sætninger. I ethvert sprog med en mængde af sætninger S må vi altså have defineret en delmængde P o S af poetiske sætninger, og resten af sætningerne, S P o, må være delt op i en mængde T S P o af sande sætninger og en mængde F S P o af falske sætninger. Vi kræver at T F =, dvs. at ingen sætninger både kan være sande og falske, selvom de altså godt kan være hverken eller, idet de kan være poetiske. Ethvert sprog udtrykker sig i og om en eller anden afgrænset virkelighed eller tænkt virkelighed. Vi antager at enhver sådan virkelighed består af ting (her forstået som det i den pågældende virkelighed værende i bredeste forstand), egenskaber ved ting og relationer 7 mellem ting. En del af disse ting 7 Ordet relation benyttes her i betydningen forbindelse, forhold eller sammenhæng, men ikke i den strikte matematiske betydning. 20