1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er

Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn og prædikater. I disse noter vil vi blot præcisere dagligdags logik. 2.1 Udsagn og prædikater Definition 34 eller falsk. Eksempel 35 Et (matematisk) udsagn er en udtalelse som er enten sand 1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er Z 1 2 og matematik er smukt (2.2) ikke udsagn. Notation 36 Vi betegner normalt udsagn med små bogstaver: p, q,... Eksempel 37 Betragt udtalelsen: x<2. Det er ikke et udsagn, for når vi ikke har fastlagt værdien af x, er det hverken sandt eller falsk. Derimod bliver det et udsagn, når vi tillægger x en bestemt reel værdi. Vi siger da at x er en fri variabel og kalder x<2 for et prædikat i denne variabel. Definition 38 En udtalelse, der indeholder en fri variabel, kaldes et prædikat (eller et åbent udsagn) om elementerne i en given mængde. Det bliver et udsagn, når den frie variabel erstattes med et bestemt element i den givne mængde. Bemærkning 39 Man kan på helt analog måde definere prædikater med flere frie variable. For eksempel er x 2 >yet prædikat i to reelle variable. Notation 40 Vi betegner normalt et prædikat i den variable x med p(x), q(x),... Prædikater i to variable x, ogy betegnes med p(x, y), q(x, y), og så videre. 9

10 KAPITEL 2. LOGIK 2.2 Sammensatte udsagn Man kan lave sammensatte udsagn ud fra simple udsagn ved at bruge de logiske konnektiver ^, _,, ),,. Sandheden af de sammensatte udsagn afhænger alene af sandheden af de indgående simple udsagn. Definition 41 Lad p og q være udsagn. udsagn: Da defineres følgende sammensatte Konjunktion: p ^ q (læses p og q ) er sandt når både p og q er sande og ellers falsk. Disjunktion: p _ q (læses p eller q ) er sandt når enten p eller q eller de begge er sande og falsk når både p og q er falske. Negation: p (læses non p ) er sand når p er falsk og falsk når p er sand. I nogle bøger skrives p i stedet for p. Implikation: p ) q (læses p medfører q eller hvis p så q eller p kun hvis q ) er falsk når p er sand og q er falsk; ellers er det sandt. Med andre ord siger implikationen p ) q at når p er sand så er q også sand, og den siger ikke mere end det. Man kan også skrive q ( p i stedet for p ) q. Man kalder p for hypotesen og q for konklusionen. Biimplikation (ækvivalens): p, q (læses p er ensbetydende med q eller p hvis og kun hvis q ) er sand hvis p og q har samme sandhedsværdi. Sandhedstabeller. Man kan illustrere og præcisere disse definitioner i en tabel, hvori man anfører alle kombinationer af p s og q s sandhedsværdi (s for sand og f for falsk) og de tilhørende sandhedsværdier af de sammensatte udsagn: p q p ^ q p _ q p p ) q p, q s s s s f s s s f f s f f f f s f s s s f f f f f s s s (2.3) Mere komplekse sammensatte udsagn. Man kan danne mere komplekse sammensatte udsagn ved at bruge tegnene ^, _,, ) og, efter hinanden. For eksempel kan man fra de tre simple udsagn p, q og r danne udsagnet: ( (p _ q)) ) r. En sandhedstabel for dette udsagn kan fås ved at kombinere informationerne i den ovenstående sandhedstabel:

2.2. SAMMENSATTE UDSAGN 11 p q r p _ q (p _ q) ( (p _ q)) ) r s s s s f s s s f s f s s f s s f s s f f s f s f s s s f s f s f s f s f f s f s s f f f f s f (2.4) Definition 42 Et sammensat udsagn, som er falsk for alle sandhedsværdier af de indgående simple udsagn kaldes en modstrid. Eksempel 43 Det sammensatte udsagn p ^ ( p) er en modstrid. Det ses let af sandhedstabellen: p p p ^ ( p) s f f f s f (2.5) Definition 44 Et sammensat udsagn, som er sandt for alle sandhedsværdier af de indgående simple udsagn kaldes en tautologi. Eksempel 45 Det sammensatte udsagn ((p ) q) ^ (q ) p)), (p, q) er en tautologi. Det ses af nedenstående sandhedstabel: p q p ) q q ) p (p ) q) ((p ) q) ^ (q ) p)) (p, q) ^(q ) p), (p, q) s s s s s s s s f f s f f s f s s f f f s f f s s s s s (2.6) Det her betragtede udsagn ((p ) q) ^ (q ) p)), (p, q) er en tautologi, fordi ((p ) q) ^ (q ) p)) og (p, q) er sande for de samme kombinationer af sandhedsværdier af p og q. Man kan da opfatte dem som det samme udsagn, og vi siger at de er logisk ækvivalente. Man kan m.a.o. opfatte (p, q) som en forkortelse af (p ) q) ^ (q ) p) eller kort skrevet:, er en forkortelse for )^(. Notation 46 Ligesom i almindelig algebra er der konventioner for i hvilken rækkefølge, man skal læse de logiske konnektiver. I et udtryk af formen xy + z skal man foretage multiplikationen før additionen. På samme måde skal p ^ q

12 KAPITEL 2. LOGIK læses som ( p) ^ q og ikke som (p ^ q). Vi siger at er mindst dominerende (skal bruges først) og ^ er mere dominerende (skal bruges bagefter). I følgende tabel er angivet hvilke af konnektiverne, der dominerer over hvilke: mindst dominerende, negation brug først ^, konjunktion; _, disjunktion ), implikation mest dominerende,, biimplikation brug sidst (2.7) Bemærk, at der ikke er nogen vedtagen rækkefølge for ^ og _. Etudtrykafformen p^q_r har altså ingen mening, før man sætter parenteser: enten (p ^ q)_r eller p ^ (q _ r). Selv i tilfælde, hvor der er en konvention om rækkefølgen af konnektiverne, kan det lette læsningen at sætte parenteser i udtryk for sammensatte udsagn. Øvelse 47 Sæt parenteser i følgende sammensatte udsagn: p _ q (2.8) p ) q _ r (2.9) p ) q, r (2.10) p ^ q, r ) q (2.11) Definition 48 To sammensatte udsagn p og q kaldes logisk ækvivalente, og vi skriver p q, hvis p, q er en tautologi. Sætning 49 Logisk huskeseddel. Det er praktisk at huske følgende logiske ækvivalenser udenad p p, (2.12) p ^ q q ^ p, p _ q q _ p, (2.13) (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r), (p _ q) _ r p _ (q _ r), (2.14) (p ^ q) _ r (p _ r) ^ (q _ r), (p _ q) ^ r (p ^ r) _ (q ^ r), (2.15) (p ^ q) p _ q, (p _ q) p ^ q, (2.16) p ) q p _ q, (2.17) p ) q q ) p (2.18) Bevis. Disse logiske ækvivalenser kan eftervises ved at betragte sandhedstabellerne for udsagnene. Definition 50 Når p ) q er en implikation kaldes implikationen q ) p den kontraponerede implikation. Ifølge (2.18) er en implikation og dens kontraponerede logisk ækvivalente.

2.3. SAMMENSÆTNING AF PRÆDIKATER 13 Definition 51 Når p ) q er en implikation kaldes q ) p den omvendte implikation. Øvelse 52 Vis ved et eksempel, at en implikation og dens omvendte ikke er logisk ækvivalente. Bemærkning 53 For at fremme forståelsen omformer man helst sammensatte udsagn og prædikater så de så vidt muligt ikke indeholder negationer. For eksempel vil man om et naturligt tal hellere sige at x er et lige primtal end at sige: x er hverken sammensat eller ulige. Øvelse 54 Vis ved hjælp af reglerne på huskesedlen, at de to prædikater i Bemærkning 53 ovenfor er logisk ækvivalente. Øvelse 55 Vis, at ((p ) q) ^ (q ) r)) ) (p ) r) er en tautologi. Notation 56 På grund af ovenstående resultat kan man tillade sig at forkorte udsagnet (p ) q) ^ (q ) r) til p ) q ) r. 2.3 Sammensætning af prædikater Man kan naturligvis sammensætte prædikater på samme måde som udsagn. Hvis p(x) og q(x) er prædikater om elementerne i mængden M, kan man for eksempel danne prædikatet p(x) ^ q(x). Når x erstattes af et bestemt element i M, bliverp(x) og q(x) til udsagn, og dermed bliver også p(x) ^ q(x) tilet udsagn. Konvention. På tilsvarende vis kan man ud fra prædikaterne p(x) og q(x) danne prædikaterne p(x) ) q(x) og p(x), q(x). Men her er der en konvention om at læse p(x) ) q(x) og p(x), q(x) ikke som prædikater i den frie variabel x, men som udsagnene: p(x) ) q(x) for alle x i M og p(x), q(x) for alle x i M. Med denne gængse fortolkning betyder p(x) ) q(x) altså: q(x) er sand for alle de værdier af x, som gør p(x) sand eller Hvis p(x) er sand for en værdi af x, såerq(x) sand for den samme værdi af x. På samme vis læses p(x), q(x) altså som udsagnet: p(x) og q(x) er sande for de samme værdier af x. Bemærkning 57 Det kan virke underligt, at man definerer at p ) q er sand når både p og q er falske. Betragt for eksempel følgende implikationer: 2 < 1 ) sin 2 = 10 5. (2.19) Hvis Anders Fogh Rasmussen er præsident i USA, (2.20) så er månen lavet af grøn ost (2.21)

14 KAPITEL 2. LOGIK I vores almindelige omgang med sproget vil vi nok karakterisere disse udsagn som noget vrøvl, dels fordi hypotesen ikke har noget at gøre med konklusionen, og dels fordi de fire elementære udsagn, implikationerne er sammensat af, alle er falske. Men i matematisk logik er udsagnene sande. For at forstå hvorfor man har valgt at noget falsk kan medføre både noget falsk og noget sandt, kan vi se på implikationer p(x) ) q(x) mellem prædikater, for her svarer konventionen meget bedre til vores umiddelbare dagligdags omgang med sproget. Betragt for eksempel følgende implikation om reelle tal: x>2 ) x 2 > 4 (2.22) Hvis vi skal vise at denne implikation er sand er vores umiddelbare strategi at undersøge x er som er større end 2 og vise at de har x 2 > 4. Da dette er korrekt, slutter vi at implikationen er sand. Vi undersøger slet ikke hvad der sker når x er mindre end eller lig med 2, fordi vi opfatter disse værdier af x som irrelevante for implikationens sandhedsværdi. Denne strategi er korrekt, netop fordi vi har defineret, at p ) q er sand, hvis p er falsk (uanset sandhedsværdien af q). Konventionen ovenfor betyder jo, at implikationen x>2 ) x 2 > 4 skal læses x >2 ) x 2 > 4 for alle x 2 R. Vi burde altså egentligt undersøge alle reelle x, men netop fordi vi har defineret at x>2 ) x 2 > 4 er sand for de x, der ikke opfylder x>2, er der ingen grund til at undersøge sådanne x er. Altså er det nok at undersøge de værdier af x, som gør hypotesen sand. 2.4 Kvantorer Definition 58 Ud fra et prædikat p(x) om elementerne i en mængde M kan vi danne to udsagn: Udsagnet 8x 2 M : p(x) (2.23) er sandt, netop når p(x) er sand for alle elementerne x i M. Man siger (og skriver): for alle (eller for ethvert, eller for et vilkårligt) x i M (gælder) p(x). Udsagnet 9x 2 M : p(x) (2.24) er sandt, netop når der eksisterer (mindst) et element x i M, som gør p(x) sand. Man siger (og skriver): Der eksisterer et x i M, såp(x). Tegnene 8 og 9 kaldes kvantorer. 8 kaldes al-kvantoren og 9 kaldes eksistens-kvantoren. Eksempel 59 Betragt prædikatet p(x): x 2 0. Dette prædikat bliver et sandt udsagn, uanset hvilket reelt tal vi sætter ind på x s plads. Altså er udsagnet 8x 2 R : x 2 0 sandt. Vi siger at for alle reelle x gælder x 2 0. Eksempel 60 Udsagnet 9x 2 R : x 2 < 1 er sandt, da der findes et x (for eksempel x =0), som gør prædikatet x 2 < 1 sandt. Derimod er 8x 2 R : x 2 < 1 et falsk udsagn, da prædikatet x 2 < 1 ikke er sandt for alle x 2 R. Det er jo for eksempel falsk for x =5.

2.5. FLERE KVANTORER 15 Bemærkning 61 Når man sætter en kvantor foran den frie variabel i et prædikat i én variabel, får man et udsagn og ikke et prædikat. Variablen er ikke længere fri og kan ikke tillægges forskellige værdier. Man siger da at den variable er bunden. Eksempel 62 Betragt tegnstrengen: 8x 2 R : x 2 0. Det er ikke et prædikat men et udsagn (som er sandt), og da der står en alkvantor foran x, er dette en bunden variabel. Konvention. Den ovennævnte konvention kan nu formuleres som følger: p(x) ) q(x) skal normalt fortolkes som udsagnet: 8x : p(x) ) q(x); og p(x), q(x) skal normalt fortolkes som 8x : p(x), q(x). Bemærkning 63 Hvis det er helt klart hvilken mængde variablen x varierer over, kan man udelade at angive denne når man kvantificerer over x. Hvis det for eksempel er klart at vi arbejder med de reelle tal, kan man skrive 8x : x 2 0 2.5 Flere kvantorer Hvis p(x, y) er et prædikat i de to variable x og y, og vi kvantificerer over den ene variabel (f.eks x), så vil resultatet være et prædikat i den anden variabel. Eksempel 64 Prædikatet 8x 2 R : x 2 > y er et prædikat i den fri reelle variabel y. Derimod er x en bunden variabel. Prædikatet er sandt for negative værdier af y og falsk for positive værdier af y. Bemærkning om flere kvantorer. Da 8x 2 R : x 2 >yer et prædikat i den reelle variabel y, kan vi kvantificere over y. Dermed opnås et udsagn, hvori begge de to variable er bundne. For eksempel kan vi danne udsagnet: 9y 2 R(8x 2 R : x 2 >y). Dette er et sandt udsagn, thi der eksisterer jo et y (for eksempel y = 1), som gør prædikatet 8x 2 R : x 2 >ysandt. Derimod er udsagnet 8y 2 R(8x 2 R : x 2 >y) falsk. Man udelader normalt parentesen og skriver for eksempel 9y 2 R8x 2 R : x 2 >y. Bemærkning om kvantorernes rækkefølge. Det er vigtigt at bemærke at kvantorernes rækkefølge ikke er ligegyldig. For eksempel er udsagnet 8y 2 R9x 2 R : x 2 >y (2.25) sandt, da man altid kan vælge x så stor, at x 2 bliver større end et givet y, uanset hvilken værdi y tillægges. Derimod er udsagnet 9x 2 R8y 2 R : x 2 >y (2.26) falsk. Det er jo ikke muligt at finde et x, såx 2 bliver større end alle reelle tal y. Der er dog nogle tilfælde, hvor man gerne må bytte om på kvantorerne:

16 KAPITEL 2. LOGIK Sætning 65 Lad p(x, y) være et prædikat i de frie variabel x og y. Der gælder følgende implikationer: samt (9x 9y : p(x, y)), (9y 9x : p(x, y)), (2.27) (8x 8y : p(x, y)), (8y 8x : p(x, y)), (2.28) (9x 8y : p(x, y)) ) (8y 9x : p(x, y)). (2.29) Formuleres de to første i ord, er de intuitivt klare. Det gælder også den tredie regel: Antag, at der findes x (kald et sådant x 0 ), således at der for alle y gælder p(x 0,y). Da vil der for ethvert y findes x, (for eksempel det førnævnte x 0 ), så p(x 0,y). Bemærkning 66 Udsagnet (8y 9x : p(x, y)) ) (9x 8y : p(x, y)) er derimod ikke i almindelighed sandt: Eksemplet i ovenstående bemærkning giver et modeksempel. Som et andet simpelt modeksempel kunne man eksempelvis lade p(x, y) være prædikatet x 2 = y hvor de frie variable x og y tillades at løbe over de positive reelle tal R +. I så fald er udsagnet 8y 9x : x 2 = y sandt: Det siger blot, at ethvert positivt reelt tal har en positiv kvadratrod. Men udsagnet 9x 8y : x 2 = y er jo klart falsk: Der findes naturligvis intet positivt reelt tal x, hvis kvadrat er lig ethvert positivt reelt tal y. Eksempel 67 Punktvis og uniform kontinuitet: De ovennævnte eksempler på at kvantorer ikke kan ombyttes er legetøjseksempler. Her skal nævnes et tilfælde, hvor problemet bliver akut i en vigtig matematisk sammenhæng. Lad den reelle funktion f være defineret på en delmængde M af R. Som bekendt siges f da at være kontinuert i punktet x 0 2 M, hvis 8 2 R + 9 2 R + 8x 2 M : x x 0 < ) f(x) f(x 0 ) < (2.30) Endvidere siges f at være (punktvis) kontinuert i M, hvis den er kontinuert i alle punkter x 0 2 M, dvs.hvis 8x 0 2 M8 2 R + 9 2 R + 8x 2 M : x x 0 < ) f(x) f(x 0 ) < (2.31) I følge ovenstående regler har vi lov til at bytte om på de to første alkvantorer i denne definition. Men hvad hvis vi flytter 8x 0 2 M helt hen efter 9 2 R +? Så fås følgende betingelse på f: 8 2 R + 9 2 R + 8x 0 2 M8x 2 M : x x 0 < ) f(x) f(x 0 ) < (2.32) Hvis f opfylder dette kaldes den pr. definition uniformt kontinuert på mængden M. Det følger af (2.29) at hvis en funktion er uniform kontinuert på en mængde M, så er den også punktvis kontinuert. Derimod er f(x) =1/x defineret på intervallet ]0, 1] et eksempel på en funktion, som er punktvis kontinuert men ikke uniform kontinuert. En hovedsætning siger dog, at på en lukket og begrænset mængde er uniform kontinuitet det samme som punktvis kontinuitet.

2.6. BEMÆRKNING OM BRUG AF UDSAGN OG PRÆDIKATER 17 Øvelse 68 Argumenter for at f(x) =1/x defineret på intervallet ]0, 1] ikke er uniformt kontinuert. Sætning 69 Logisk huskeseddel fortsat. Man har følgende regler: (8x : p(x)) 9x : p(x), (9x : p(x)) 8x : p(x). (2.33) Disse tillader negation af længere strenge med al og/eller eksistenskvantorer. Eksempelvis: (8x 9y 8z : p(x, y, z)) 9x 8y 9z : p(x, y, z). (2.34) Endelig gælder følgende regel, hvis p(x) er et prædikat og q et udsagn: (8x : p(x)) ^ q 8x : p(x) ^ q, (2.35) samt de tilsvarende, der fås hvis ^ og/eller 8 udskiftes med _ hhv. 9. 2.6 Bemærkning om brug af udsagn og prædikater Når der i en matematisk tekst står et udsagn, betyder det da dette udsagn er sandt eller betyder det her står et udsagn, som kan være sandt eller falsk? Det korte svar på spørgsmålet er, at det afhænger af sammenhængen. I en tekst om logik vil der ofte stå udsagn, som kan være sande eller falske. For eksempel har vi ovenfor skrevet forskellige udsagn uden at implicere at de var sande. Når man derimod formulerer en sætning i matematik, er meningen at udsagnet i sætningen er sand. Nedenfor formuleres for eksempel De Morgan s love og meningen er naturligvis, at disse er sande. Man kan sige noget lignende om prædikater. Når man skriver x>2, kan man mene: Her står et prædikat i den reelle variable x. Men oftere mener man x er et reelt tal, som gør prædikatet x>2 sandt. Denne usystematiske brug af udsagn i matematik giver sjældent anledning til forvirring. Men jeg vil dog fremhæve en argumentationsform, hvor der ofte opstår forvirring: Hvis der midt i et matematisk bevis står en implikation f.eks. p ) q, så betyder det at følgende udsagn er sandt: Hvis p er sand da er q sand. Det betyder ikke Da p er sand er også q sand. Hvis man vil sige at p er sand, må man skrive det eksplicit. Lad os se på et eksempel: Sætning: Hvis et kvadrat har en side, der er større end 2 så er dets areal større end 4. En udbredt fejlagtig præsentation af beviset går på følgende vis: Hvis siden i kvadratet kaldes x, erx>2. Da x>2 gælder at x>2 ) x 2 > 4, (2.36) hvorfor arealet x 2 > 4. Forfatteren af argumentet mente nok følgende slutning (det, der står i parenteserne behøver man ikke skrive. Det kan underforstås): Da x>2 (er sand)

18 KAPITEL 2. LOGIK er x 2 > 4 (sand). Men når forfatteren skriver at x>2 ) x 2 > 4 gælder så betyder det bare, at hvis x>2 (er sand) så er x 2 > 4 (sand). Men dette udsagn er sandt uanset værdien af x 2 R. Der er derfor ikke nogen grund til at skrive, at da x>2 så gælder x>2 ) x 2 > 4. Og argumentet er slet ikke færdigt når vi har udledt at x>2 ) x 2 > 4 for det betyder jo ikke at x 2 > 4 er sandt, sådan som vi skulle konkludere i beviset. Vi kan dog fra x>2 og x>2 ) x 2 > 4 slutte at x 2 > 4 (modus ponens, se senere). Men det bliver meget tungt at bruge pile i sådanne tilfælde. Det er derfor ofte sikrest og mest elegant at undgå brug af pile. Hovedreglen synes at være at når der står et længere sammensat udsagn i en matematisk tekst, så mener vi, at dette udsagn er sandt, men vi mener ikke at de simplere udsagn, som indgår i det sammensatte udsagn er sande. Når vi skriver p ) q så mener vi (ofte) at det er sandt, at hvis p er sand, så er q også sand. Men det betyder ikke at vi mener at p er sand (og derfor også q er sand). Tilsvarende, når vi om en funktion der er kontinuert i a skriver at 8 > 09 > 0: x a < ) f(x) f(a) < (2.37) så mener vi naturligvis at hele dette sammensatte udsagn er sandt, men vi mener ikke at udsagnet x a < er sandt. Hvis vi derfor vil antage dette i et bevis, må vi eksplicit sige det: Lad x a <. 2.7 Definitioner Definitioner er sætninger som fortæller, hvad ord eller tegn betyder. I modsætning til aksiomerne indeholder definitionerne ikke egentlig ny information om den matematiske teori, og i modsætning til sætningerne kræver de ikke noget bevis. I det foregående kapitel så vi eksempler på definitioner inden for teorien for hele tal. Her følger et par andre definitioner vi får brug for i det følgende: Definition 70 Et helt tal x kaldes lige, hvis der findes et helt tal n så x =2n. Definition 71 Et helt tal kaldes ulige, hvis det ikke er lige. Bemærkninger om definitioner. I formuleringen af definitionerne indgår der ordet hvis. Der burde egentlig stå hvis og kun hvis. Den første definition skal for eksempel ikke blot betyde at tal af formen 2n er lige, men også at tal, der ikke er af denne form, ikke er lige. Der er dog tradition for kun at skrive hvis i definitioner. Selv om man i matematikken ofte benytter ord, som også har en dagligdags betydning betyder de i matematik kun det, som er specificeret i definitionen. For eksempel har ordene grænse og kontinuitet i matematikken en betydning, som kun til en vis grad stemmer overens med den dagligdags betydning af ordene. Det er naturligvis vigtigt at danne sig intuitive billeder af hvad de matematiske ord og begreber dækker, men i sidste ende er det kun definitionerne, der bestemmer betydningen af begreberne og ordene. Man kan for

2.8. OPGAVER 19 eksempel have en intuitiv fornemmelse af, at kontinuitet af en funktion betyder, at dens graf hænger sammen, og det er også en nyttig intuition. Men man kan blive snydt af den. For eksempel kan den vildlede en til at tro, at funktionen f defineret ved sin 1 f(x) = x for x 6= 0 (2.38) 0 for x =0 er kontinuert i 0. Men definitionen af kontinuitet afgør, at funktionen er diskontinuert i 0. Bemærk også at definition af et matematisk begreb ikke sikrer, at der i teorien eksisterer et objekt af den slags som defineres. Eksistens må etableres ud fra aksiomerne i teorien. For eksempel kan man godt definere, at et lige primtal større end 2 kaldes et stor-lige primtal. Der er dog ingen naturlige tal som er stor-lige primtal. Ligeså kan man godt i euklidisk geometri definere en retvinklet femkant som en femkant med fem rette vinkler. Det viser sig bare at sådanne femkanter ikke findes. Omvendt, når man har defineret et kvadrat som en firkant med fire rette vinkler og fire lige store sider, så må man først bruge sådanne firkanter i sin teori, når man har vist deres eksistens, uanset hvor intuitivt det kan synes, at der findes kvadrater. Når et lighedstegn bruges til at definere et matematisk objekt skrives ofte :=. For eksempel kan man skrive at intervallet [a, 1[ defineres som [a, 1[:= {x 2 R a apple x}. (2.39) Når en biimplikationspil bruges til at definere et udsagn eller et prædikat, skriver man ofte def,. For eksempel vil vi senere definere relationen < som følger: 2.8 Opgaver x<y def, (x apple y) ^ x 6= y (2.40) 1. Opskriv sandhedstabeller for følgende sammensatte udsagn: (p _ q) ^ ( p _ q) og (p _ q) ^ ( p _ q) (2.41) 2. Hvilke af følgende sammensatte udsagn er logisk ækvivalente? p ) q, q ) p, (p ) q), (2.42) p ) q, p ) q, p ) q. (2.43) 3. Vis at følgende sammensatte udsagn er en tautologi: 4. Skriv følgende udsagn ved brug af kvantorer: (a) Ligningen x 3 = 7 har mindst en rod. (p ) q) _ ( p ) q) (2.44)

20 KAPITEL 2. LOGIK (b) Ligningen x 2 2x 5 = 0 har ingen rational rod. (c) Enhver ligning af formen x 3 = a har en rod. (d) Der findes ingen ligninger af formen x n = a, der ikke har rødder. (e) Der findes intet helt tal, som er større end alle andre hele tal. 5. Lad p(x) og q(x) være prædikater om elementerne i en mængde M. Er følgende udsagn logisk ækvivalente? (a) 8x 2 M : p(x) ^ q(x) og (8x 2 M : p(x)) ^ (8x 2 M : q(x)) (b) 8x 2 M : p(x) _ q(x) og (8x 2 M : p(x)) _ (8x 2 M : q(x)) (c) 9x 2 M : p(x) _ q(x) og (9x 2 M : p(x)) _ (9x 2 M : q(x)) (d) 9x 2 M : p(x) ^ q(x) og (9x 2 M : p(x)) ^ (9x 2 M : q(x)) 6. Lad det være givet, at Kurt kun spiser is, når solen skinner. Lad p(t) og q(t) være følgende prædikater: p(t) : Solen skinner til tidspunktet t. q(t) :Kurtspiserenistiltidspunktett. Hvilken implikation gælder mellem p(t) og q(t). 7. Bestem de kontraponerede til følgende udsagn. Brug positiv udtryksmåde hvis det er muligt. (a) Hvis x<0, så er x 2 > 0. (b) Hvis x 6= 0, så eksisterer der et y så xy = 1. (c) Hvis x er et lige helt tal, så er x 2 et lige helt tal. (d) Hvis x + y er ulige og y + z er ulige, så er x + z lige (e) Hvis f er et polynomium af ulige grad, så har f mindst én reel rod. 8. Bevis nogle af de logiske ækvivalenser i Sætning 49, ved at opskrive sandhedstabeller. 9. Giv et eksempel på en sand implikation, hvis omvendte implikation er sand, og én hvor den omvendte implikation er falsk. 10. Neger følgende udsagn: (a) x>0 og x er rational. (b) l er enten parallel med m, eller også er l lig med m. (l, m er linjer) 11. Opskriv med kvantorer hvad det betyder at en reel funktion ikke er kontinuert i punktet a. (neger (2.37))

Kapitel 3 Beviser En matematisk teori består af en række udsagn (spilleregler) kaldet aksiomerne, som man regner for sande i teorien, og hvorfra man beviser sætninger, det vil sige andre udsagn, som er sande i teorien. Vi skal i dette afsnit se på, hvordan man beviser sætninger. Lad os først formalisere bevisbegrebet lidt mere: 3.1 Gyldige slutninger (deduktioner). Hvis p 1,p 2,...,p n og q er udsagn, siger vi, at q kan sluttes af p 1,p 2,...,p n,eller at vi har en gyldig slutning (en deduktion) af q fra udsagnene p 1,p 2,...,p n, såfremt: (p 1 ^...^ p n ) ) q er en tautologi (3.1) Her er nogle vigtige eksempler på gyldige slutninger: Af (p ) q og p) kan q sluttes (Modus ponens). (3.2) Af (p ) q og q) kan p sluttes (Modus tollens). (3.3) Af (p _ q og p) kan q sluttes (Disjunktiv syllogisme). (3.4) Af (p ) q og q ) r) kan p ) r sluttes (Hypotetisk syllogisme). (3.5) Af (p _ q og p ) r og q ) r) kan r sluttes (Dilemma). (3.6) Øvelse: Vis ved brug af sandhedstabeller at disse slutninger er gyldige. 3.2 Beviser Et bevis for et udsagn q består af en kæde af udsagn p 1,p 2,...,p n, således at: p n = q 21

22 KAPITEL 3. BEVISER For hvert i =1,...,n er udsagnet p i enten et aksiom i vores teori, eller et tidligere bevist udsagn, eller fremgår ved en gyldig slutning af udsagnene p 1,...,p i 1. Når et udsagn er blevet bevist, er det blevet en såkaldt sætning (teorem, proposition) i teorien. 3.3 Direkte beviser De fleste matematiske sætninger er af formen: Hvis... så..., altså af formen p ) q eller p(x) ) q(x). Som understreget ovenfor er der i sådan en sætning en gemt alkvantor, så sætningen er af formen 8x 2 M : p(x) ) q(x). Som vi også gjorde opmærksom på i forrige kapitel bevises en sådan sætning ved at vise, at q(x) er sand for alle de x som gør p(x) sand. Vi behøver altså ikke kære os om de x som gør p(x) falsk, men selv da kan der jo være uendeligt mange x er at checke. Lad os for eksempel se på sætningen: Sætning 72 Kvadratet på et lige tal er lige. Bemærkning. For at se at denne sætning er af formen p(x) ) q(x), kan vi skrive den på den mindre elegante form: Hvis x er et lige tal, så er x 2 et lige tal. For at bevise sætningen skal vi altså checke, alle lige tal og kontrollere, at deres kvadrat er lige. Vi kunne så begynde forfra: 2 2 = 4 er lige, 4 2 = 16 er lige,..., men vi ville aldrig blive færdige. I stedet bruger vi fleksibiliteten i bogstavregningen, som tillader os at behandle alle lige tal på én gang. Vi antager blot, at x er et lige tal, og viser ud fra definitionen af lige tal og de kendte regneregler for hele tal, at x 2 er lige. Vi opererer altså med x, som om det var et bestemt tal, men er omhyggelige med kun at bruge de egenskaber, som alle lige tal har. Beviset kan forløbe således: Bevis for Sætning 72 Lad x være et lige tal. Bestem et helt tal n så x = 2n. Dette er muligt ifølge definitionen af et lige tal. Ifølge regnereglerne for hele tal gælder da, at x 2 =(2n) 2 =2 2 n 2 = 2(2n 2 ). Da 2n 2 er et helt tal, er x 2 altså af formen 2m for et helt tal m og er derfor lige. QED. Bemærkninger. Bemærk at beviset begynder med ordene Lad x være et lige tal. Sådan begynder et typisk direkte bevis med at lade hypotesen være sand. Det er bedre end at starte med ordene for alle, fordi vi efter ordet lad kan operere med x, som om det er et bestemt helt tal. Ligeså er det også bedre at skrive bestem et helt tal n så x =2n end at skrive da eksisterer et helt tal n så x =2n, fordi vi efter at have bestemt n, kan operere med det som med en kendt størrelse. Beviset slutter med bogstaverne QED. Det er en forkortelse for det latinske quod erat demonstrandum, som betyder: hvad der skulle bevises. Det er dog også blevet almindeligt at slutte beviser med en firkant. Bemærk også at beviset ikke bruger pile. Man kunne måske fristes til at skrive beviset på følgende vis: Da x er et lige tal, kan vi bestemme et helt tal n

3.4. MODEKSEMPLER. 23 så x =2n. Derfor gælder at x 2 =(2n) 2 (3.7) ) x 2 =2 2 n 2 (3.8) ) x 2 = 2(2n 2 ). (3.9) Men som bemærket ovenfor ville det være forkert. Implikationerne gælder jo altid og ikke fordi x =2n. Og når man som her kun regner på den ene side af lighedstegnet, er det meget mere elegant at skrive udregningen med en række lighedstegn, som vi gjorde i beviset: x 2 =(2n) 2 =2 2 n 2 = 2(2n 2 ). Bemærkning: Ifølge den ovenstående forklaring af hvad et bevis er, skulle ovenstående bevis bestå af gyldige slutninger ud fra aksiomerne og de allerede beviste sætninger i teorien. Faktisk består beviset i gyldige slutninger ud fra 1. definitionen af et lige tal og 2. aksiomer og sætninger i teorien for aritmetikken for de hele tal. De regneregler vi formulerede i starten af kapitel 1 kan nemlig opfattes som aksiomer for de hele tals aritmetik. Det er i øvrigt karakteristisk for megen matematik, at den tager sit udgangspunkt i en ikke helt formaliseret teori. 3.4 Modeksempler. Vi har ovenfor set hvordan man kan vise at et hvis...så... udsagn er sandt, altså er en sætning i en bestemt matematisk teori. Hvordan kan man da indse at et sådant udsagn er falsk? Jo, et udsagn af formen (8x :)p(x) ) q(x) erjo kun sandt, hvis alle x der gør hypotesen p(x) sand også gør konklusionen q(x) sand. Vi viser altså at udsagnet er falsk, hvis vi bare finder et eneste x, som gør p(x) sand, men som gør q(x) falsk. Et sådant x kaldes et modeksempel. Eksempel 73 For at modbevise udsagnet For alle naturlige tal n er n 2 >n er det nok at bemærke at 1 er et naturligt tal, medens udsagnet 1 2 > 1 er falsk. Tallet 1 er altså et modeksempel. 3.5 Formodninger og deres behandling. I lærebøger som denne er opgaverne ofte formuleret som: Bevis... eller Find et modeksempel mod... For den kreative matematiske forsker er situationen mere kompliceret. Han eller hun vil ofte have en intuitiv formodning om, at et bestemt udsagn p(x) ) q(x) er en sætning i den teori han eller hun arbejder med. For at afgøre sagen vil matematikeren først prøve at finde et bevis for udsagnets sandhed. Hvis det mislykkes, vil bevisforsøgene måske have afdækket nogle mulige modeksempler. Disse vil så blive prøvet af. Hvis de viser sig at være modeksempler, er sagen klar: udsagnet er ikke en sand sætning. Hvis det derimod viser sig, at eksemplerne alligevel ikke er modeksempler, så vil matematikeren nok endnu en gang prøve at finde et bevis osv. Hvis denne dialektiske proces ender med et bevis, er udsagnet blevet en sætning i teorien.

24 KAPITEL 3. BEVISER Hvis processen ender med et modeksempel er udsagnet falsk. Hvis det er falsk, kan matematikeren vælge at vende sig mod andre ting eller prøve at modificere udsagnet, så eksemplet ikke længere er et modeksempel. Hvis det sidste lykkes fortsætter den dialektiske afprøvningsproces med det nye udsagn. Hvis afprøvningsprocessen ender uden at der er fundet modeksempler eller beviser, må udsagnet forblive en formodning. Hvis udsagnet er særligt interessant og genstridigt kan det blive en berømt formodning som for eksempel Goldbachs formodning: Ethvert lige tal større end to er sum af to primtal. 3.6 Bevis ved kontraposition. Hvis man skal vise p ) q, er det nogle gange simplere at vise det kontraponerede udsagn q ) p. I så fald er man færdig, for af q ) p kan man slutte p ) q, da disse udsagn er logisk ækvivalente (se den logiske huskeseddel). 3.6.1 Eksempler på bevis ved kontraposition. Sætning 74 Hvis x 2 er ulige, så er x ulige. Bevis. Beviset føres ved kontraposition: Lad x være lige. Vi skal da vise at x 2 er lige. Det følger af Sætning 72. Sætning 75 Kvadratet på et ulige tal er ulige. Eller sagt anderledes: Hvis x er ulige, så er x 2 ulige. Bevisskitse. Da et ulige tal er defineret som et tal, der ikke er lige, er det nærliggende at forsøge at lave et bevis ved kontraposition, altså at bevise det kontraponerede udsagn:. Sætning 76 Hvis x 2 er lige, er x lige. Bevis. Antag at x 2 er lige. Da går 2 op i x 2 = xx. Da 2 er et primtal følger det af sætning 26 at 2 går op i x hvorfor x er lige. Alternativ bevisskitse. Man kunne fristes til at bevise Sætning 75 direkte ved at bruge, at ulige tal er tal af formen 2n + 1 for et naturligt tal n. Menda vi har defineret et ulige tal til at være et tal der ikke er lige, kan vi ikke bruge denne anden karakterisering af ulige tal, før vi har bevist, at den er ækvivalent med definitionen. Det vil vi gøre nedenfor (sætning 80) Øvelse 77 Gennemfør beviset for Sætning 75 på grundlag af den alternative karakterisering af et ulige tal. Vi vil nu give et mere interessant eksempel på et bevis ved kontraposition: Sætning 78 For ethvert n 2 N gælder: Hvis 2 n primtal. 1 er et primtal, da er n et

3.7. BEVIS VED MODSTRID. 25 Bevis. Antag, at n 2 N ikke er et primtal. Vi vil vise, at 2 n er et primtal. Såfremt n = 1, er dette klart, idet i så fald 2 n er et primtal. 1 da heller ikke 1 = 1, som ikke Vi kan altså gerne antage n>1. Da n ikke er et primtal, findes en ikke-triviel faktorisering: n = a b (3.10) hvor a, b 2 N med 1 <a,b<n. Men nu verificerer man let, at vi i så fald har: 2 n 1=2 ab 1 = (2 a 1) (2 a(b 1) +...+2 a + 1). (3.11) Idet a>1, er 2 a 1 > 1. Idet b 1 1 og a>1, er 2 a(b 1) +...+2 a +1 > 1. Altså har vi i (3.11) en ikke-triviel faktorisering af 2 n 1. Følgelig er 2 n 1 ikke et primtal. Bemærkning. Sætningen siger altså, at for, at 2 n 1 er et primtal, er det en nødvendig betingelse, at n er et primtal. Med andre ord: Ønsker vi at finde primtal af form 2 n 1, behøver vi kun at se på primtalseksponenter n. Der findes faktisk primtal af form 2 p 1 (hvor altså p så selv må være et primtal): p = 2, 2 p 1 = 3 er et eksempel. Dog er ikke alle tal af form 2 p 1, hvor p er et primtal, selv et primtal: p = 11 giver et modeksempel, idet 2 11 1 = 2047 = 23 89. Primtal af form 2 p 1 kaldes Mersenne-primtal efter den franske matematiker Marin Mersenne (1588 1648). Det i skrivende stund (29/6. 2008) største, kendte primtal er et Mersenneprimtal, nemlig 2 32,582,657 1 et tal på 9,808,358 cifre. For mere information angående Mersenne-primtal, se: http://www.mersenne.org/ 3.7 Bevis ved modstrid. Hvis man vil vise at et udsagn q er sandt, kan man gøre det ved at antage, at udsagnet er falsk (altså at q sand) og så vise at det fører til modstrid. Intuitivt er det jo klart, at hvis vi opnår en modstrid må vi have antaget noget falsk. q er altså falsk, hvorfor q er sand. Mere formelt kan bevismetoden beskrives således: Man ønsker at bevise et udsagn q. Kan man bevise: q ) (p ^ p), (3.12) for et eller andet udsagn p, er man færdig: For det checkes let, at: hvorfor q kan sluttes af q ) (p ^ p). q ( q ) (p ^ p)), (3.13)

26 KAPITEL 3. BEVISER 3.7.1 Eksempler på beviser ved modstrid: Sætning 79 p 2 er irrational. Bevis. Vi viser sætningen ved et modstridsargument. Antag altså at p 2 ikke er irrational, dvs. at p 2 er rational. Bestem da hele tal m, n så p 2= m n. Ifølge Sætning 33 kan vi antage at m og n er positive og indbyrdes primiske, Det følger da af definitionen af p 2 at hvorfra vi slutter at 2=( p 2) 2 =( m n )2 = m2 n 2 (3.14) m 2 =2n 2 (3.15) I følge definitionen på lige tal betyder dette, at m 2 er lige, hvorfor m ifølge Sætning 76 selv er lige. Altså findes et naturligt tal p så m =2p. Men så får vi fra (3.15), at 2 2 p 2 =(2p) 2 = m 2 =2n 2, (3.16) hvoraf 2p 2 = n 2. (3.17) Heraf ses, at n 2 er lige og derfor iflg. Sætning 76, at n er lige og altså af formen 2q for et naturligt tal q. Men det betyder at 2 går op i både m og n, i modstrid med at vi havde antaget, at de var indbyrdes primiske. Altså har antagelsen om at p 2 var rational ført til en modstrid, og vi slutter at p 2 er irrational. Sætning 80 Et helt tal x er ulige, hvis og kun hvis der findes et helt tal n så x =2n +1. Bevis. Vi skal vise x er ulige,9n 2 Z : x =2n + 1 (3.18) Vi viser først ): Dette gør vi ved et direkte bevis. Antag altså at x er ulige, dvs at det ikke er lige. Vi skal vise at x kan skrives på formen 2n + 1 for et n i Z. Bestem det største hele tal m så 2m<x. 1 Da er 2m <xapple 2(m + 1). (3.19) Men da x er ulige, er x pr. definition ikke lige, og altså ikke lig med 2(m + 1). Altså er 2m <x<2(m + 1) = 2m +2, (3.20) og da 2m + 1 er det eneste hele tal mellem 2m og 2m + 2, har vi at x =2m + 1. Dernæst viser vi (: Igen begynder vi beviset som et direkte bevis: Vi antager altså at x =2n + 1 og n 2 Z og skal vise at x er ulige. Vi skal altså vise 1 På dette sted vil vi uden bevis bruge at et sådant største tal findes.

3.7. BEVIS VED MODSTRID. 27 at x ikke er lige. Det gør vi ved modstrid. Antag altså at x er lige, dvs. kan skrives x =2m for m 2 Z. Men så får vi hvoraf 2n +1=x =2m, (3.21) 1 = 2(m n). (3.22) Heraf ses at 2 går op i 1; men vi ved at 2 ikke går op i 1. Altså har vi sluttet os til en modstrid og kan derfor konkludere, at x ikke er lige, altså at x er ulige. Nu beviser vi sætning 29 Sætning 81 Der findes uendeligt mange primtal. I beviset skal vi bruge begrebet (ikke tom) endelig mængde, hvis betydning vi vil komme tilbage til (se afsnit 9.1). Her kan vi nøjes med at forstå dette begreb intuitivt som betydende, at mængdens elementer kan skrives op i en liste a 1,...,a k nummereret ved de første k naturlige tal (for et eller andet k 2 N). Bevis. Beviset føres som et modstridsbevis, så vi starter med at antage, at konklusionen er falsk, dvs. vi antager at mængden af primtal er endelig. Mængden af primtal er dog ikke tom: eksempelvis er 2 klart et primtal. På grund af vores antagelse kan vi nu stille samtlige primtal op i en endelig liste p 1,p 2,...,p k. Med andre ord har vi nu - på grund af vores antagelse - følgende implikation: p primtal ) p 2 {p 1,p 2,...,p k } (3.23) Nu, givet de endeligt mange tal p 1,p 2,...,p k kan vi betragte deres produkt p 1 p 2... p k, som er et naturligt tal. Vi har dermed også følgende naturlige tal: N = p 1 p 2... p k + 1 (3.24) Da klart N>1, ved vi fra Sætning 28, at der findes et primtal p, som går op i N. Dvs. vi kan skrive: N = p m (3.25) med et naturligt tal m. På den anden side: Idet p er et primtal, følger af (3.23), at p er et af tallene p 1,p 2,...,p k ;dvs.p = p i for et i 2 {1, 2,...,k}. Men i så fald har vi: p 1 p 2... p k = p n (3.26) for et vist n 2 N, nemlig produktet af alle tallene p 1 p 2... p k på nær p i. Men sammenligner vi nu (3.24), (3.25) og (3.26), finder vi: p n +1=p 1 p 2... p k +1=N = p m (3.27) hvorfor 1 = p(m n). Således går p op i 1, og p er derfor ikke et primtal. På grundlag af vores antagelse om at sætningen er falsk, har vi nu sluttet os til eksistensen af et naturligt tal p, således at (p er primtal) ^ (p er ikke primtal). (3.28) Da dette er en modstrid, er sætningen dermed bevist.

28 KAPITEL 3. BEVISER Notation 82 Beviser ved kontraposition og ved modstrid kaldes ofte indirekte beviser. 3.8 Beviser delt op i tilfælde. I nogle beviser kan det være nødvendigt eller bekvemt at dele op i forskellige tilfælde. Sætning 83 Udsagnet (p _ q) ) r er ækvivalent med udsagnet (p ) r) ^ (q ) r). Bevis. Lav en sandhedstabel. Det betyder at man kan bevise p _ q ) r ved at bevise p ) r og q ) r. Eksempel 84 Hvis n er et naturligt tal, er n 2 + n et lige tal. Bevis. Ifølge Definition 71 er ethvert naturligt tal enten lige eller ulige. Derfor kan sætningen omformes til: Det kan vi altså vise ved at bevise ((n lige) _ (n ulige)) ) (n 2 + n) lige. (3.29) ((n lige) ) (n 2 + n) lige) ^ ((n ulige) ) (n 2 + n) lige). (3.30) Først beviser vi at (n lige) ) (n 2 + n) lige. Antag altså at n er lige. Ifølge Definition 70 betyder det at vi kan finde et m 2 N så n =2m (overvej). Men så er n 2 + n =(2m) 2 +2m = 2(2m 2 + m), (3.31) og da 2m 2 + m 2 N, ern 2 + n altså et lige tal i dette tilfælde. Dernæst beviser vi at (n ulige) ) (n 2 + n) lige. Antag altså at n er ulige. Så findes der ifølge Sætning 80 et m 2 N [ {0} så n =2m + 1. Men så er n 2 + n =(2m + 1) 2 +(2m + 1) = 2(2m 2 ) + 2(2m)+1+2m + 1 (3.32) = 2(2m 2 +3m + 1), (3.33) og da 2m 2 +3m +12 N er n 2 + n altså også lige i dette tilfælde. Vi har altså bevist (3.30) og dermed sætningen. Øvelse 85 Brug den samme teknik til at bevise følgende sætning: Sætning 86 Hvis n er et naturligt tal, så går 4 op i enten n 2 eller n 2 1.