Ekstremumsbestemmelse

Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x) > f (a) for alle x i et interval omkring a og med x 6= a. Punktet a kaldes et egentligt lokalt maksimumspunkt for f, hvis f (x) < f (a) for alle x i et interval omkring a og med x 6= a. Fællesbetegnelse for disse to er ekstremumspunkt. Punktet a kaldes et globalt minimumspunkt for f, hvis f (x) f (a) for alle x. Punktet a kaldes et globalt maksimumspunkt for f, hvis f (x) f (a) for alle x. Mindsteværdien for f er værdien af f i et globalt minimumspunkt. Størsteværdien for f er værdien af f i et globalt maksimumspunkt. 1.2 Ekstremum for funktion af én variabel: Sætninger I Ekstremum for funktion af én variabel: Sætninger I En kontinuert funktion antager på et lukket og begrænset interval en største- og en mindsteværdi. Hvis f er differentiabel i det indre punkt c og hvis f har lokalt ekstremum i c, så gælder, at f 0 (c) = 0. Definition: Hvis f 0 (c) = 0 vil c blive kaldt et stationært punkt for f. Ekstremumspunkterne for f på intervallet I = [a, b] findes blandt 1. Stationære punkter for f. 2. Punkter hvor f ikke er differentiabel. 3. Endepunkterne for intervallet I. 1

1.3 Ekstremum for funktion af én variabel: Sætninger II Ekstremum for funktion af én variabel: Sætninger II Lad x 0 være et stationært punkt for f. Antag, at f 00 (x 0 ) eksisterer. Så gælder: 1. Hvis f 00 (x 0 ) < 0 så er x 0 et egentligt lokalt maksimumspunkt for f. 2. Hvis f 00 (x 0 ) > 0 så er x 0 et egentligt lokalt minimumspunkt for f. Bevis: f 00 f (x 0 ) = 0 (x 0 + h) f 0 (x 0 ) f lim = 0 (x 0 + h) lim h!0 h h!0 h Så f 00 (x 0 ) < 0 betyder, at for jhj lille nok gælder f 0 (x 0 + h) h < 1 2 f 00 (x 0 ) < 0 For h > 0 betyder dette, at f 0 (x 0 + h) < 0 og for h < 0 betyder det, at f 0 (x 0 + h) > 0. Men så må x 0 være et maksimumspunkt. 1.4 Ekstremum for funktion af to variable: Definitioner Ekstremum for funktion af to variable: Definitioner Punktet (a, b) kaldes et egentligt lokalt minimumspunkt for f, hvis f (x, y) > f (a, b) for alle (x, y) i en omegn omkring (a, b) og med (x, y) 6= (a, b). Analogt defineres egentligt lokalt maksimumspunkt. Fællesbetegnelse for disse to er ekstremumspunkt. Punktet (a, b) kaldes et globalt minimumspunkt for f, hvis f (x, y) f (a, b) for alle (x, y). Analogt defineres globalt maksimumspunkt. Mindsteværdien for f er værdien af f i et globalt minimumspunkt. Størsteværdien er værdien af f i et globalt maksimumspunkt. 1.5 Ekstremum for funktion af to variable: Sætninger Ekstremum for funktion af to variable: Sætninger En kontinuert funktion antager på en lukket og begrænset mængde en største- og en mindsteværdi. Hvis f er differentiabel i det indre punkt c og hvis f har lokalt ekstremum i (a, b), så gælder, at f 0 x (a, b) = 0 og f 0 y (a, b) = 0. 2

Definition: Hvis r f (a, b) = (0, 0) vil (a, b) blive kaldt et stationært punkt for f. Ekstremumspunkterne for f på mængden A findes blandt 1. Stationære punkter for f. 2. Punkter hvor f ikke har partielle afledede. 3. Randpunkterne for A. 1.6 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable f vil her blive kaldt et egentligt saddelpunkt, hvis der eksisterer en ret linie gennem punktet langs hvilken f har egentligt maksimum og også en ret linie gennem punktet langs hvilken f har egentligt minimum. Lad f være en funktion af n variable. Antag, at f har partielle afledede af anden orden i punktet a = (a 1, a 2,..., a n ). Hessematricen for f i punktet a er den matrix H (a), hvis element (i, j) er f 00 x i x j (a) = 2 f x i x j (a) Er f en funktion af 2 variable er Hessematricen i punktet a = (a 1, a 2 ) altså givet ved f 00 x H (a 1, a 2 ) = 1 x 1 (a 1, a 2 ) (a 1, a 2 ) (a 1, a 2 ) 2 x 2 (a 1, a 2 ) 1.7 Hessematricen II Hessematricen II Er f en funktion af 3 variable er Hessematricen i punktet a = (a 1, a 2, a 3 ) givet ved 2 1 x 1 (a) f 00 3 x 1 x 3 (a) H (a) = 4 2 x 2 2 x 3 (a) 5 1 x 3 2 x 3 3 x 3 (a) Eksempel. Funktionen f givet ved f (x, y) = x 2 x 2 y + 2y 2 har partielle afledede fx 0 (x, y) = 2x 2xy og fy 0 (x, y) = x 2 + 4y Hessematricen i punktet (x, y) er 2 2y 2x 2x 4 3

1.8 Hessematricen III Hessematricen III Lad f være en funktion af n variable med kontinuerte partielle afledede op til og med 2. orden i en omegn om punktet a = (a 1, a 2,..., a n ). Antag, at a er et stationært punkt for f. Lad H (a) være Hessematricen for f i a. Så gælder 1. Hvis egenværdierne for H (a) alle er positive, så er a et egentligt minimumspunkt. 2. Hvis egenværdierne alle er negative, er a et egentligt maksimumspunkt. 3. Hvis to af egenværdierne for H (a) har forskellige fortegn, så er a et egentligt saddelpunkt. 4. Hvis mindst én af egenværdierne er lig med nul og resten har samme fortegn, så må en nærmere undersøgelse foretages. 1.9 Hessematricen IV Hessematricen IV Beviset bygger på Taylors formel for funktion af flere variable (her 2): f (a + h) = f (a) + r f (a) h + 1 2 D2 h ( f ) (α + ξh) = f (a) + f x1 (a) h 1 + f x2 (a) h 2 + 1 2 1 x 1 (a + ξh) h 2 1 + 2 f x 00 (a + ξh) h 1 h 2 + 2 x 2 (a + ξh) h 2 2 = f (a) + f x1 (a) h 1 + f x2 (a) h 2 + 1 2 ht H (a + ξh) h I et stationært punkt a fås dermed f (a + h) f (a) = 1 2 ht H (a + ξh) h Det afgørende er dermed fortegnet for 1 2 ht H (a + ξh) h for små h. Hvis H (a) har udelukkende positive egenværdier, så er h T H (a) h > 0 for alle h. Vi har dog ikke H (a), men H (a + ξh). 1.10 Hessematricen V Hessematricen V 4

Med e = h khk er kek = 1 og vi finder af f (a + h) f (a) = 1 2 ht H (a + ξh) h, at 2 khk 2 ( f (a + h) f (a)) = et H (a + ξh) e = e T H (a) e + e T (H (a + ξh) H (a)) e Ved at vælge khk lille nok kan sidste led gøres mindre end et vilkårligt givet ε > 0. Vælg Q ortogonal og så Q T H (a) Q = Λ er diagonal. Så fås med e = Qw at e T H (a) e = w T Q T H (a) Qw = w T Λw = λ 1 w 2 1 + λ 2 w 2 2. Hvis nu λ 2 λ 1 > 0 fås dermed e T H (a) e λ 1 w 2 1 + w2 2 = λ1 kwk 2 = λ 1 Q T e 2 = λ 1 kek 2 = λ 1. Derfor gælder for små h, at h T H (a + ξh) h > 0. Så a er et egentligt minimumspunkt. 1.11 Hessematricen VI Hessematricen VI Så fås med e = Qw at e T H (a) e = w T Q T H (a) Qw = w T Λw = λ 1 w 2 1 + λ 2 w 2 2. Hvis i stedet λ 1 λ 2 < 0 fås tilsvarende e T H (a) e λ 2 w 2 1 + w2 2 = λ 2 kwk 2 = λ 2. Derfor gælder for små h, at h T H (a + ξh) h < 0. Så a er et egentligt maksimumspunkt. Hvis λ 1 < 0 < λ 2 lader vi e være en egenvektor med længde 1 hørende til egenværdien λ 1. Så fås e T H (a) e = λ 1. Langs linien x = a + se er f (a + h) f (a) dermed negativ for små værdier af s. Altså antager f et egentligt maksimum i a langs denne linie. Vælges e i stedet som en egenvektor med længde 1 hørende til egenværdien λ 2, så ses at f langs linien x = a + se antager et egentligt minimum. Konklusionen er, at a er et (egentligt) saddelpunkt. 1.12 Eksempel Eksempel f (x, y) = x 2 (2, 1). x 2 y + 2y 2 fra tidligere. Stationære punkter er (0, 0) og 5

2 2y 2x Vi fandt tidligere H (x, y) = 2x 4. Heraf fås H (0, 0) = 2 0, H (2, 1) = 4 4 4 4 H ( 2, 1) = Egenværdierne for H (0, 0) er åbenbart 2 og 4, altså positive, så (0, 0) er et egentligt lokalt minimumspunkt. H (2, 1) og H ( 2, 1) har de samme egenværdier, nemlig 2 2 p 5.Den ene er dermed positiv,den anden er negativ. Punkterne (2, 1) er egentlige saddelpunkter. 1.13 Spor og determinant Spor og determinant Lad n n-matricen A have egenværdierne λ 1, λ 2,..., λ n. Så gælder, at Let bevist for n = 2: det (A) = λ 1 λ 2... λ n Spor (A) = λ 1 + λ 2 +... + λ n det (A λi) = (λ 1 λ) (λ 2 λ) = λ 2 (λ 1 + λ 2 ) λ + λ 1 λ 2 Men også det (A λi) = a 11 λ a 12 a 21 a 22 λ Resultatet følger ved sammenligning. 1.14 Spor og determinant II Spor og determinant II = λ 2 (a 11 + a 22 ) λ + a 11 a 22 a 12 a 21 = λ 2 Spor (A) λ + det A Lad f være en funktion af to variable med kontinuerte partielle afledede op til og med 2. orden i en omegn om punktet (a, b). Antag, at (a, b) er et stationært punkt for f. Lad H (a, b) være Hessematricen for f i (a, b). Så gælder 1. Hvis det H (a, b) > 0, så er (a, b) et egentligt ekstremumspunkt. (a) Hvis Spor (H (a, b)) > 0, så er (a, b) et egentligt minimumspunkt. 6

(b) Hvis Spor (H (a, b)) < 0, så er (a, b) et egentligt maksimumspunkt. 2. Hvis det H (a, b) < 0, så er (a, b) et egentligt saddelpunkt. 3. Hvis det H (a, b) = 0 må en nærmere undersøgelse foretages. Eksempel: H (2, 1) = fra tidligere. 4 4 7