gudmandsen.net Geometri C & B

gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5 3.1.1 Bevis for Pythgors...6 3.1.2 Afstnden mellem to punkter i xy-plnet...7 4 Trigonometriske funktioner...8 4.1 Enhedscirklen...8 4.1.1 Den rette linjes hældningskoefficient...9 4.1.2 Grundreltionen...10 4.2 Inverse trigonometriske funktioner...10 4.3 Retvinklet treknt med vilkårlig hypotenuse...12 4.3.1 Vilkårlig rdius...14 4.4 Smlet for retvinklede treknter...15 5 Vilkårlige treknter...16 5.1 Sinusreltioner...16 5.1.1 Alterntiv udledning...17 5.1.2 Opsummering...17 5.2 Cosinusreltioner...18 5.2.1 Opsummering...20 5.3 'Det dobbelttydige tilfælde' en vrint f cosinusreltionerne...20 5.4 Kombintion f sinus- & cosinusreltioner...22 6 Anlytisk plngeometri...23 7 Appendiks...25 7.1 Smmenhænge mellem trigonometriske funktioner...25 7.2 Definitioner og forhold for treknter...26 7.2.1 Yderligere forhold for vilkårlige treknter...27 2000-2012 Jkob SvH Gudmndsen Kopiering fr dette skrift må kun finde sted i overensstemmelse ftle mellem Copy-Dn og Undervisningsministeriet. geometri.odt Side 1 / 28 2012-10-24

1 Geometri & trigonometri Geometri er læren om opmåling f jorden (Oldgræsk: Geo=jord, metri=opmåling). I det ntikke Ægypten vr der problemer med Nilens årlige oversvømmelser f god lndbrugsjord og lndkendingsmærker, der ngiveligt skulle hve givet nledning til mnge diskussioner om hvor den enkelte lodsejers grænser gik. Derfor vr myndighederne tvungne til t indføre nogle teknikker til t genetblere grænserne, hvorved de første spæde tiltg til geometrien opstod. Der vr grækerne som formåede t sætte reglerne i system, ved Euklid 1, som smtidig grundlgde metoderne til moderne deduktiv videnskb. Hn skrev værket Elementer c. 330-320 f.kr., som ngiveligt vr grundbog i mtemtik på lverdens universiteter i næsten 2000 år. Euklid opstte en lng stribe definitioner 2 og postulter, inden for geometrien (her lettere omformulerede): I. En ret linje går den korteste vej mellem to punkter II. En fgrænset ret linje er en del f en uendelig ret linje III. En cirkel er en punktmængde med ens fstnd (rdius) til ét bestemt punkt (centrum) IV. Alle rette vinkler er ens V. Hvis en ret linje skærer to ndre rette linjer, hvor de spidse vinkler er ens, vil de to sidstnævnte linjer være prllelle Sidstnævnte postult, Prllelpostultet, hr givet nledning til mnge diskussioner blndt mtemtikere lige siden, og hr blndt ndet fstedført flere nye grene f geometrien, herunder projektiv geometri og differentilgeometrien, som begge ignorerer Prllelpostultet, og i prksis omhndler hhv. perspektiv og kugleflder. Læren om treknter kldes for Trigonometri. 1.1 Område Dette skrift gennemgår kerneområder for de gymnsile B- og C-niveuer, hvor bevisførelsen og 'Det dobbelttydige tilfælde' en vrint f cosinusreltionerne side 20 ikke indgår på C-niveu. På C- og B-niveu omhndler geometrien hovedsgeligt forhold vedrørende treknter, og derf fledede forhold, hvorf sidstnævnte først optræder på A- niveu, herunder den Anlytisk plngeometri side 23. Nærværende skrift vil udelukkende forholde sig til geometri i Det fysiske rum (Euklids rum), hvor koordintkserne er rette linjer som står vinkelret på hinnden, i det såkldte 'krtesiske koordintsystem' 3 og kun i 2 dimensioner (plnen). 1 De oprindelige oldgræske tekster er væk i dg, men perserne hvde fskrevet (og overst) dem til persisk, hvorfr de senere er kopieret til ltin og derved er indholdet bevret. 2 Se http://leph0.clrku.edu/~djoyce/jv/elements/toc.html 3 Angiveligt opkldt efter den frnske filosof og mtemtiker René Descrtes, 1596-1650. geometri.odt Side 2 / 28 2012-10-24

2 Ensvinklede treknter I to ensvinklede treknter, gælder det t de korresponderende vinkler hr smme størrelse (grdtl), men t sidelængderne kn være forskellige. De to treknter er ltså ens i form, men forskellige i størrelse! A= A', B=B ' = C=C ' Illustrtion 1: To ensvinklede treknter Det gælder her, t forholdene mellem sidelængderne er proportionl med en fktor, Skleringsfktoren k (også kldet sklfktoren eller forstørrelsesfktoren). ' = b b ' = c c' = k Det vil sige, t hvis forskellen mellem eksempelvis linjestykker og ' er ' = k...må forholdene mellem de øvrige sider kunne udtrykkes ved b' = k b c' = k c geometri.odt Side 3 / 28 2012-10-24

2.1.1 Skleringsfktoren Hvornår der skl gnges eller divideres med skleringfktoren, er et spørgsmål om skleringsfktoren er udregnet med den største eller mindste trekns sidelængder i tælleren og om skl rbejdes fr en mindre til større treknt, eller omvendt. Nedenstående er bseret på treknten med nottionerne ', b' og c' i tælleren. her kn der regnes fr eksempelvis til ' ved t gnge med skleringfktoren: ' = b' b = c' c =k '= k, b'=b k, c'=c k Forholdet mellem og ' udtrykker hvilken treknt der størst. Hvis er større end ' i oven stående reltion, vil skleringsfktoren være mindre end en, 0 < k < 1 (bemærk t 0 < k, d det ikke giver mening t gnge eller dividere med et negtivt tl, d længder pr. definition er positive). Nedenstående tbel forsøger t give et overblik over størrelsen f skleringsfktoiren i forhold til hvorvidt der regnes fr en mindre til en større treknt eller omvendt, og forholder sig til reltionerne herover: Gnge med k Dividerer med k 0<k<1 Fr stor til lille Fr lille til stor 1<k Fr lille til stor Fr stor til lille geometri.odt Side 4 / 28 2012-10-24

3 Retvinklede treknter En retvinklet treknt hr den ene vinkel lig 90 o (π/2 4 ). De to øvrige vinkler, må i sgens ntur være spidse. Illustrtion 2: En retvinklet treknt med nottioner for sider og vinkler. I en retvinklet treknt kldes de to sider, som står vinkelret på hinnden for kteder og den skrå side for hypotenusen. Treknten på Illustrtion 2 bliver til tider benævnt 'stndrdtreknt' med smme bogstv for vinkel og modstående side, eksempelvis A og. 3.1 Pythgors lærersætning I den retvinklede treknt gælder Pythgors' lærersætning 5 : Eller 2 b 2 = c 2 BC 2 AC 2 = AB 2 c = 2 +b 2 6...hvor sidelængderne også er et udtryk for fstnden mellem enderne på sidelængderne, mellem punkterne A og B jævnførende Illustrtion 2. Udregningerne ved løsninger til den ene ktete vil løses med normle omformningsregler for ligninger: 2 +b 2 = c 2 2 = c 2 b 2 = c 2 b 2 4 At måle vinkler i rdiner, hvor 360 svrer til 2π, optræder først på Mtemtik A eller i fysikken. 5 Pythgors fr Smos (582 f.kr. 507 f.kr.) 6 Længder er pr. definition positive, hvorfor dobbeltløsninger med +/- kn udeldes her. geometri.odt Side 5 / 28 2012-10-24

3.1.1 Bevis for Pythgors Ved t tge 4 ens retvinklede treknter (grønne) som den på Illustrtion 2 fbildede treknt og lægge dem ind i et kvdrt, kn nedenstående konstruktion opnås: Illustrtion 3: 4 ens retvinklede treknter i kvdrt Det ydre (røde) kvdrt får herved sidelængden +b og dermed relet (+b) 2. Det indre (blå) kvdrt hr sidelængden c og dermed relet c 2. Arelerne f hver f de 4 (grønne) retvinklede treknter er giver ved ½*højde*Grundlinje, som her vil være ½b. Arelerne f de 4 retvinklede treknter plus relet f det indre kvdrt må være lig relet f det ydre kvdrt, hvorved følgende beregning kn foretges: A 4 treknter A indre kvdrt = A ydre kvdrt 4 1 2 b c2 = b 2 Ved t udregne begge sider og her benytte 1. kvdrtsætning på venstres side f lighedstegnet, og efterfølgende trække det dobbelte produkt fr på begge sider, fås: 2b c 2 = 2 b 2 2b c 2 = 2 b 2 herved er Pythgors' lærersætning bevist. Der findes flere ndre måder t bevise Pythgors' lærersætning. geometri.odt Side 6 / 28 2012-10-24

3.1.2 Afstnden mellem to punkter i xy-plnet Med Pythgors' lærersætning for øje og med fokus på punkterne A & B i Illustrtion 2, kn der også formuleres t: AB = c AB = 2 b 2 Lægges den retvinklede treknt ind i et Krthesisk koordintsystem (retvinklet koordintsystem), vil længderne f ktederne være lig forskellene 7 f henholdsvis x- og y-værdier for punkterne A(x ;y ) og B(x b;y b), som er lig længderne for kteterne og b. = y = BC = y b y og b = x = AC = x b x Illustrtion 4: Retvinklet treknt lgt ind i et koordintsystem Herf følger t: AB = x 2 y 2 = y b y 2 x b x 2 7 Det græske bogstv Delt (Δ) benyttes i vid udstrækning som nottion for forskel eller ændring. geometri.odt Side 7 / 28 2012-10-24

4 Trigonometriske funktioner For t regne på sider og vinkler i treknter er der tre funktioner, som i dg mest er udtrykt ved knpper på lommeregneren: Cosinus, Sinus og Tngens 8. Disse funktioner er defineret ud fr opmålinger på cirklen, og giver regneregler for beregninger på både retvinklede og vilkårlige treknter. 4.1 Enhedscirklen Enhedscirklen er defineret som en cirklen med centrum i koordintsystemets Origo (x,y) = (0,0) og med rdius r = 1. Vinklen er målt ud fr 1.ksens positive del og positiv omløbsretning er mod uret. Illustrtion 5: Enhedscirklen, r = 1. Her er sinus lig OY, cosinus lig OX og tngens lig EQ Cos(v) flæses på 1.ksen, Sin(v) flæses på 2.ksen og Tn(v) flæses på den lodrette linje x=1. 8 Se ekskte værdier for trigonometriske funktioner ved nogle vinkelværdier på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/trigo_verdier.pdf. geometri.odt Side 8 / 28 2012-10-24

Det vil sige t punkterne P og Q hr koordinterne: P = cos v ;sin v Q = 1 ; tn v Igttges en retvinklet treknt OPX på Illustrtion 5 fgrænset f 1.ksen, rdius og højden i punktet P, kn følgende smmenhænge findes: Længde fr Origo til X-værdien for P x = Cos(v) Længde fr Origo til y-værdien for P y = Sin(v) Nvngives denne treknts sider og vinkler som på Illustrtion 2 vil forholdene hedde: b = AC = cos v = BC = sin v c = AB = 1 Dette er definitionerne på Cosinus og Sinus! For Tngens gælder desuden: sin x tn v = cos v v {90 o, 270 o,osv.} At Tngens ikke kn udledes for vinklerne 90, 270 osv., skyldes t den forlængede rdius herved vil være prllel med linjen x = 1. Ses der på brøken gælder det t Cos(90 ) = 0, og der kn ikke divideres med 0. 4.1.1 Den rette linjes hældningskoefficient Hældningen f en ret linje gennem to punkter med koordinterne (x 1;y 1) og (x 2;y 2) er givet ved: = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 Betrgtes enhedscirklens rdius, som en del f en ret linje, vil denne hældning kunne udtrykkes ved linjen gennem punkterne O(0;0) og P(Cos(v);Sin(v)), som er den smme for linjen gennem O(0;0) og Q(1;tn(v)) geometri.odt Side 9 / 28 2012-10-24

α OP = Δ y Δ x = sin(v) 0 cos(v ) 0 = sin(v) cos(v ) og α OQ = tn(v) 0 1 0 = tn(v) Det vil sige t vi kn omregne mellem en ret linjes hældningskoefficient og hældningsvinkel i forhold til 1. ksen ved hjælp f tngens: tn v = tn 1 = v Herved kn reltionen mellem tngens, cosinus og sinus forklres ved, t hældningskoefficienten for linjen OP på Illustrtion 5 må være lige hældningen for linjen OQ : α OP = sin(v) cos(v) og α OQ = tn(v) 1 = tn( v) 4.1.2 Grundreltionen Når sidelængderne i treknten med hypotenusen lig 1, kendes ud fr de trigonometriske funktioner, Cosinus og Sinus, kn disse relteres til Pythgors' lærersætning: 2 b 2 = c 2 sin 2 v cos 2 v =1 2 Bemærk nottionen sin 2 (v) som betyder kvdrtet f værdien for sin(v) og er det smme som (sin(v)) 2. Smme for cos 2 (v). 4.2 Inverse trigonometriske funktioner Der gælder følgende reltioner for de trigonometriske funktioner: Cosinus Sinus cos v = x v = cos 1 v sin v = x v = sin 1 v Tngens Dm(f)=R\{90, 270,..} tn v = x v = tn 1 v sin v tn v = tn 1 v = cos v cos v sin v Bemærk t tngens bliver til tider betegnet ved tg(v), ligesom de inverse trigonometriske funktioner kn kldes cos, sin, tn/tg. geometri.odt Side 10 / 28 2012-10-24

Ved de inverse funktioner skl opmærksomheden henledes på definitionsmængde og reltioner der medfører flere løsninger: Invers Cosinus, Dm(f)=[-1;1] Invers Sinus, Dm(f)=[-1;1] Invers Tngens, Dm(f)= R {± } cos v = cos v sin(v) = sin(180 v) tn (v) = tn(v+180 ) Løsningerne for invers sinus, sin -1 (v), kn konstteres ved igttgelse på Illustrtion 6, hvor der skl findes løsning til sin -1 (0,5) i punktet D. Denne kn findes ved t møde cirkelperiferien i både 1. og 2. kvdrnt, hvorved løsningerne bliver henholdsvis v = 30,29 og v = 149,71. Illustrtion 6: Invers sinus Det er især relevnt ved løsning f sin -1 (v) og tn -1 (v) t undersøge om den lterntive løsning også kn være rigtig, hvilket typisk sker ved stumpvinklede treknter. geometri.odt Side 11 / 28 2012-10-24

4.3 Retvinklet treknt med vilkårlig hypotenuse For tilsvrende cirkel med centrum i Origo, men med vilkårlig rdius = r, gælder t sidelængderne skleres med en fktor k = r, jfr. reglerne for ensvinklede treknter (se kpitel 2). På Illustrtion 7 er vist to ensvinklede treknter, hvorf den ene er indlgt i enhedscirklen, og derved med hypotenusen lig 1, og den nden med vilkårlig hypotenuse. D treknterne hr smme vinkler, gælder reglerne for ensvinklede treknter her med værdierne for den ukendte treknt i tællerne: ' = b ' b = c ' c = k På Illustrtion 7 er nottionerne givet ved B ' C ' CB = C ' A CA = AB' AB = k I den lille treknt er ktedernes længder kendte, jfr. Enhedscirklen kpitel 4.1, hvorfor der kn sættes visse værdier ind i forholdsberegningen f skleringsfktoren: ' sin A = b' cos A = c ' 1 = k Herf kn det ses, t skleringsfktoren er lig med hypotenusen på den nye treknt c', d: c ' 1 = k c ' = k geometri.odt Side 12 / 28 2012-10-24

Illustrtion 7: Enhedscirkel med indlgt treknt ABC med r = 1 og ensvinklet treknt AB'C' med vilkårlig rdius, indlgt i smme koordintsystem Ses der på udtrykkene for de enkelte kteder, kn der udledes t: ' sin A = c' og b' = c' cos A ' = c ' sin og b' = c' cos A Herved er smmenhængene mellem ktederne og hypotenusen i retvinklede treknter med vilkårlig hypotenuse, som på Illustrtion 4 fundet. = c sin ( A) c = b = c cos( A) c = sin( A) sin (A) = c b cos( A) cos( A) = b c geometri.odt Side 13 / 28 2012-10-24

Skl vinklen findes ved hjælp f ovenstående, skl der nvendes de inverse trigonometriske funktioner: sin( A) = c A = sin 1( c ) og cos( A) = b c A = cos 1( b c) Tilsvrende for den nden spidse vinkel: sin(b) = b c B = sin 1( b c ) og cos(b) = c B = cos 1( c ) 4.3.1 Vilkårlig rdius Overføres viden om enhedscirklen, retvinklede treknter og ensvinklede treknter til en cirkel med vilkårlig rdius, kn det ses t for to treknter med smme vinkel i Origo, men den ene med rdius r = 1 og den nden med vilkårlig rdius r = r kn følgende smmenligning konstteres: P = x p ; y p = r cos v ;r sin v og Q = x q ; x q = r ; r tn v...præcis som enhedscirklen, men skleret med fktoren r. Når tngens udregnes på bggrund f tn v = r sin v r cos v = sin v cos v..vil den ltid være ufhængig f rdius, men som skitseret til højre er den her flæst på den lodrette linje x=r i stedet for x=1, hvorfor flæsningen giver r tn(v). Illustrtion 8: cirkel med rdius r Herved et forholdene gældende for enhedscirklen udvidet til t gælde lle cirkler med centrum i Origo. geometri.odt Side 14 / 28 2012-10-24

4.4 Smlet for retvinklede treknter Forholdene for enhedscirklen og cirkel med vilkårlig rdius gælder også hvis cirklen ikke ligge i Origo, hvorfor der kn generliseres til lle retvinklede treknter: Reltioner jfr.illustrtion 7 side 13. =c sin A c= sin A b=c cos A c= b cos A =c cos B c= cos B b=c sin B c= b sin B 1 A=sin 1 c A=cos b 1 c B=cos c B=sin 1 b c = b tn A b = b = tn B = tn A b tn B A = tn 1 b B = tn 1 b Hældning for c, jævnførende 'Den rette linjes hældningskoefficient', side 9. = y x = c sin A c cos A = sin A cos A = tn A Det trigonometriske funktioner summeret op med pros: Cosinus til en vinkel er lig med den hosliggende ktete divideret med hypotenusen Sinus til en vinkel er lig med den modstående ktete divideret med hypotenusen Tngens til en vinkel er lig med den modstående ktete divideret med hosliggende ktete Det vil sige t når der rbejdes med; en vinkel, hypotenusen og vinklens hosliggende ktete bruges Cosinus en vinkel, hypotenusen og vinklens modstående ktete bruges Sinus en vinkel og de to kteter bruges Tngens geometri.odt Side 15 / 28 2012-10-24

5 Vilkårlige treknter For vilkårlige treknter (ikke nødvendigvis retvinklede) gælder der følgende generelle smmenhænge: Arel A treknt = 1 2 h G Højde h B = c sin( A) = sin (C ) Illustrtion 9: en vilkårlig treknt 5.1 Sinusreltioner Den vilkårlige treknt på Illustrtion 9 kn opdeles til to retvinklede treknter, dskilt f højden h B, hvorved metoderne fr retvinklede treknter, beskrevet i kpitel 5 kn nvendes. D højden h B i vinkel B kn betrgtes fr både vinkel A og vinkel C, kn denne størrelse beregnes på to forskellige bggrunde, ved hjælp f sinus: h B = c sin A = sin C D der er tle om smme højde, må de to udregninger være lig hinnden, og følgende reltion kn udledes: c sin A = sin C sin A = sin C c eller sin A = c sin C Lves smme betrgtninger ved hjælp f højderne i vinkel A og C, vil smme forhold kunne udledes, og vi summerer op til følgende : sin ( A) sin (B) = = sin(c ) b c eller sin (A) = b sin (B) = c sin (C ) geometri.odt Side 16 / 28 2012-10-24

5.1.1 Alterntiv udledning Betrgtes formlen for relberegning, brugt på treknten i Illustrtion 9 kn følgende udledes, lt efter hvilken højde der nvendes: A treknt = 1 2 h A G A = 1 2 h B G B = 1 2 h C G C A treknt = 1 2 c sin( A) b eller A treknt = 1 2 sin(c ) b eller A treknt = 1 sin( B) c 2 D relet er det smme, unset hvilken beregningsmetode der bruges, må de tre udledninger være ens (her flyttet lidt rundt for overblikkets skyld: 1 2 b c sin A = 1 2 b sin C = 1 c sin B 2 1 1 1 b c sin A b sin C c sin B 2 2 2 = = 1 2 b c 1 2 b c 1 2 b c Herf kn der udledes: sin( A) = sin( B) b = sin(c ) c 5.1.2 Opsummering Sinusreltionerne benyttes når der er oplyst 3 ud f 4 værdier for prvise vinkler og modstående sider i en vilkårlig treknt. Skl der findes en vinkel (eksempelvis vinkel A) udledes denne ved sin ( A) sin (B) sin (B) = sin( A) = b b sin (B) A = sin 1( b ) geometri.odt Side 17 / 28 2012-10-24

Benyttes sinusreltionerne på en retvinklet treknt, hvor vinkel C = 90 fås der:..d Sin(90 ) = 1. Dette medfører t sin ( A) = sin (90 ) c = c sin (A)...hvilket svrer til nvendelsen f sinus i en retvinklet treknt jævnførende kpitel 4.3 side 12. 5.2 Cosinusreltioner I Sinusreltionerne udnyttes det, t højden svrer til den modstående ktete i en retvinklet treknt. Her vil vi udnytte t dele f grundlinjen svrer til den hosliggende ktete. = 1 c Illustrtion 10: Vilkårlig treknt På Illustrtion 10 er grundlinjen b delt op i to ukendte linjestykker, x og (b-x). herved kn cosinusreglerne fr den retvinklede treknt benyttes: x = c cos( A) og b x = cos(c ) hvor b = x+(b x) Ved t benytte Pythgors' lærersætning på treknterne ABH og CBH fås: h 2 b x 2 = 2 og h 2 x 2 = c 2 h 2 = 2 b x 2 og h 2 = c 2 x 2 Sættes de to værdier for kvdrtet på højden h 2 lig hinnden fås: geometri.odt Side 18 / 28 2012-10-24

2 b x 2 = c 2 x 2 2 = c 2 b x 2 x 2 2 = c 2 b 2 x 2 2bx x 2 2 = c 2 b 2 2bx D x = c Cos(A) substitueres dette: 2 = b 2 +c 2 2bc cos(a) Beviserne for de to ndre vinkler gennemføres på smme måde, og der endes op med: 2 = b 2 c 2 2bc cos A cos A = b2 c 2 2 2bc b 2 = 2 c 2 2c cos B cos B = 2 c 2 b 2 2c c 2 = 2 b 2 2b cos C cos C = 2 b 2 c 2 2b Med ndre ord er reltionerne mellem en vinkel og dennes hosliggende sider i forhold til den modstående side. 2 =b 2 c 2 2bc cos A b 2 = 2 c 2 2c cos B c 2 = 2 b 2 2b cos C eller cos A = b2 c 2 2 2bc cos B = 2 c 2 b 2 2c cos C = 2 b 2 c 2 2b Illustrtion 11: Vilkårlig treknt geometri.odt Side 19 / 28 2012-10-24

5.2.1 Opsummering Cosinusreltionerne benyttes når der oplyses enten en vinkel og de to hosliggende sider, hvorved den modstående side kn findes lle tre sidelængder, hvorved vinklerne kn findes. Skl der findes en vinkel (eksempelvis A) ud fr de tre siders længde, benyttes den inverse cosinus: 1( cos(a) = b2 +c 2 2 A = cos b2 +c 2 2 2bc 2bc ) Benyttes cosinusreltionerne på en retvinklet treknt med C = 90 fås...d Cos(90 ) = 0. c 2 = 2 +b 2 2b cos(90 ) = 2 +b 2 Derfor kldes cosinusreltionerne somme tider for 'Den udvidede Pythgors'. 5.3 'Det dobbelttydige tilfælde' en vrint f cosinusreltionerne Anvendes på vilkårlige treknter, hvor der eksempelvis kendes vinkel A, siderne c og, det vil sige en vinkel, den modstående smt en hosliggende side, i modsætning til førnævnte cosinusreltion. Illustrtion 12: Vilkårlig treknt D cosinusreltionerne optræder i 2 vrinter med henholdsvis vinklen og den modstående side som løsninger, forsøges her t isolere en f de hosliggende sider: cos A = b2 c 2 2 2bc Ved isolering f eksempelvis siden b, vil denne optræde i både 1. og 2.grd, geometri.odt Side 20 / 28 2012-10-24

hvorfor løsningen til 2.grdspolynomiets nulpunktsformel må benyttes, ved t smle lle led på den ene side f lighedstegnet, med et nul (0) til følge på den nden. cos( A) = b2 +c 2 2 2 b c 2bc cos( A) = b 2 +c 2 2 0 = b 2 +c 2 2 2bc cos( A) 0 = b 2 +( 2c cos( A)) b+(c 2 2 ) 2., 1. og 0.grdskoefficienterne optræder her som smmensætninger f de indgående konstnter, og døbes hermed til de græske bogstver α, β og γ (lf, bet og gmm): x 2 x = 0 =1, = 2c cos A, =c 2 2 Til denne løsning er diskriminnten givet ved: D grundreltionen er givet ved fås d = β 2 4 α γ d = ( 2c cos (A)) 2 4 1 (c 2 2 ) d = 4c 2 cos 2 ( A) 4c 2 +4 2 d = 4 (c 2 cos 2 ( A) c 2 + 2 ) d = 4(c 2 (cos 2 (A) 1)+ 2 ) cos 2 (v)+sin 2 (v) = 1 cos 2 (v) 1 = sin 2 (v) d = 4 (c 2 ( sin 2 ( A))+ 2 ) d = 4 ( 2 c 2 sin 2 ( A)) Indsættes lt dette i løsningen for 2.grdspolynomiets nulpunkter, fås: b = β± β 2 4 α γ 2 α = ( 2c cos(a))± 4( 2 c 2 sin 2 ( A)) 2 1 b = c cos( A)± 2 c 2 sin 2 (A) Gentges proceduren for de tre ndre vinkler i den vilkårlige treknt fås: b = c cos A ± 2 c 2 sin 2 A c = b cos A ± 2 b 2 sin 2 A c = cos B ± b 2 2 sin 2 B = c cos B ± b 2 c 2 sin 2 B = b cos C ± c 2 b 2 sin 2 C b = cos C ± c 2 2 sin 2 C geometri.odt Side 21 / 28 2012-10-24

Det bemærkes t ombytning f de to hosliggende sider i formlen er uden betydning, og i øvrigt kun er i forhold til simpel nvngivning f siderne. 5.4 Kombintion f sinus- & cosinusreltioner Det er muligt t beregne smme forhold ud fr en kombintion f sinus- & cosinusreltionerne, som dog kræver nogle flere skridt: Med sinusreltionerne kn en vinkel beregnes, med udgngspunkt i en nden vinkel og de to modtsående sider, her mellem vinklerne A og C: sin A sin B sin C = = b c c sin A C =sin 1 Vinkel B kn nu beregnes ud fr vinkelsummen, hvorved længden f siden b også kn beregnes: sin( A) = sin(180 A C ) b b sin (A) B = sin 1( ) b = sin(180 A C ) sin ( A) Når sidelængden b kendes kn cosinusreltionerne bruges: B = cos 1 2 c 2 b 2 2 c..hvor de indgående prmetre giver det smlede udtryk: Tilsvrende for vinkel C. c sin A 180 1 2 c sin A sin 1 2 sin A B = cos 2 c Denne er ikke mere overskuelig, men kn dog nvendes. 2 geometri.odt Side 22 / 28 2012-10-24

6 Anlytisk plngeometri D der i kpitel 7 blev nvendt Pythgors' lærersætning til t udlede fstnden mellem to punkter i plnen, vr der blot tle om t de geometriske figurer (her retvinklet treknt) vr blevet plceret i et koordintsystem, hvorved punkterne (vinklerne i treknten) kn beskrives ved hjælp f koordinter. Illustrtion 13: Retvinklet treknt plceret i koordintsystem På Illustrtion 13 er en retvinklet treknt indst i koordintsystem, med nogle relevnte størrelser påtegnet, eksempelvis trekntens hjørners koordinter: A(4; 2), B(12 ;8), C (12,2) Ud fr disse oplysninger kn vi beregne kteternes længder, som forskellene mellem henholdsvis x- og y-værdierne: AC = Δ x = x B x = 12 4 = 8 BC = Δ y = y B y = 8 2 = 6 Afstnden AB kn beregnes ved hjælp f Pythgors: AB = Δ x 2 +Δ y 2 = ( x B x A ) 2 +( y B y A ) 2 = 8 2 +6 2 = 100 = 10 Heldigvis psser beregningerne perfekt med de længder der er opmålt med GeoGebr 9. 9 GeoGebr er et godt grtis progrm, som kn hjemtges fr http://www.geogebr.org/cms/ geometri.odt Side 23 / 28 2012-10-24

Ved t bruge de trigonometriske funktioner kn vinkel A beregnes som tn ( A) = BC AC A = tn 1( 6 8) = 36,87 Der kunne være nvendt cosinus og sinus i stedet, med smme resultt. Linjen gennem A og B hr en hældning på α AB = tn (36,87 ) = 3 4 0,75 Det hr vist sig t være gnske nyttigt t igttge geometrien i et koordintsystem, d der derved åbnes muligheder for beregninger på et meget højere pln end i klssisk geometri, ved t smmensmelte geometrien med funktioner. Dette er tilfældet i ovenstående eksempel, hvor længden og hældningen f hypotenusen, fktisk bliver beregnet ved hjælp f viden om den rette linje og forskelle i koordintværdier. Eksempelvis kn en cirkel defineres som en slgs funktionsudtryk bseret på Pythgors, d lle punkterne P(x;y)på cirkelperiferien ligger lige lngt (rdius) fr centrum C(;b): r = (x ) 2 +( y b) 2 y = b± x 2 +2 x 2 +r 2 For værdierne C(2;4) og r = 5 giver det: (x 2) 2 +( y 4) 2 = 5 2 Mere om dette på A-niveu... geometri.odt Side 24 / 28 2012-10-24

7 Appendiks Ikke lle definitioner for treknter er lige relevnte for den trigonometri der rbejdes med på gymnsieniveu, men bør lligevel være på plds for t sprogbrug og regler vil kunne benyttes i det efterfølgende. Vilkårlige treknter er lle treknter, som ikke lige psser ind under særtilfældene retvinklet, ligebenet, ligesidet osv. 7.1 Smmenhænge mellem trigonometriske funktioner Nedenstående smmenhænge og reltioner kn vises ved betrgtninger på enhedscirklen Illustrtion 5 10. cos v = cos v sin v = sin v tn v = tn v cos(v 180 ) = cos(v) sin (v 180 ) = sin (v) cos(v+180 ) = cos(v) sin (v+180 ) = sin (v) cos(180 v) = cos(v) sin (180 v) = sin (v) cos (v+90 ) = sin (v) sin (v+90 ) = cos(v) cos (v 90 ) = sin (v) sin (v 90 ) = cos(v) cos (90 v ) = sin (v) sin (90 v ) = cos(v) 2 +b 2 = c 2, cos 2 (v)+sin 2 (v) = 1 1+tn 2 1 (v) = cos 2 (v) tn (v+180 ) =tn(v) tn (180 v) = tn(v) tn (90 v ) = tn(v) tn (90 +v ) = tn (v) tn (v 90 ) = tn (v) tn (v ) = sin(v) cos(v) Cotngens 11 cot (v) = 1 tn(v) = cos(v) sin(v) 1+cot 2 (v) = 1 sin 2 (v) tn(v) cot(v) = 1 10 En større smling geometriske reltioner kn ses på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/trigo_reltioner.pdf 11 Cotngens er blot den reciprokke til tngens og hr ikke den store betydening på gymnsieniveu. geometri.odt Side 25 / 28 2012-10-24

7.2 Definitioner og forhold for treknter Vinkelsum A B C = 180 o Arel A treknt = 1 2 h G Retvinklet treknt Ene vinkel er ret, 90 De to ndre vinkler er spidse Stumpvinklet treknt Ene vinkel er større end 90 De to ndre vinkler er spidse Spidsvinklet treknt Ene vinkel er mindre end 90 De to ndre vinkler er ligeledes spidse Ligebenet treknt To sider er lige lnge og to vinkler i lige store A = C = c geometri.odt Side 26 / 28 2012-10-24

Ligesidet treknt Alle tre sider er lige lnge og Alle vinklerne er lige store, 60 A= B= C=60 o = 3 = b = c Ensvinklede treknter Gælder for to eller flere treknter A= A', B=B ' = C =C ' ' = b b' = c c ' = k 7.2.1 Yderligere forhold for vilkårlige treknter Højde Står vinkelret på modstående side ift. vinkelspids Medin Forbinder vinkelspids med midt på modstående side Vinkelhlveringslinie Deler vinkelspids i 2 lige store vinkler geometri.odt Side 27 / 28 2012-10-24

Midtnorml Står vinkelret ud fr midt på side Indskrevne cirkel Hr centrum i skæringspunktet for trekntens mediner. Rdius hr en længde, således t cirklen hr siderne som tngenter Omskrevne cirkel Hr centrum i skæring mellem trekntens midtnormler. Rdius hr en længde, således t cirklen skærer vinkelspidserne geometri.odt Side 28 / 28 2012-10-24