Exoplaneter. Henrik Brink, Martin Klitte, Kari Gunnarsson. April 4, Vejledere: Johan Fynbo og Anja Andersen

Transkript

1 Exoplaneter Henrik Brink, Martin Klitte, Kari Gunnarsson April 4, 2005 Vejledere: Johan Fynbo og Anja Andersen 1

2 CONTENTS CONTENTS Contents 1 Indledning 3 2 Formal 4 3 Detektion af exoplaneter Planet eller stjerne? Doppler / spektroskopi Planetpassage / fotometri Mikrolinsning Direkte observation Fremtidens planetjagt Teori for Doppler-metoden Doppler-eekten Spektroskopi og stjernens radiale hastighed Stjernens masse Elliptiske baner Omlbstiden i en ellipse Stjernens radiale hastighed Planetens masse Databehandling Sbop Teorien bag Sbop Vrdier for HD Planetens masse Afstand til stjernen Konklusion 18 7 Referenceliste 19 2

3 1 INDLEDNING 1 Indledning Giordano Bruno ( ) skrev i 1584 bogen De l'innito, Universo e Mondi (Om det uendelige Univers og de uendelige verdener), hvor han antydede at Universet er uendeligt, og de stjerner vi ser pa himlen er stjerner ligesom vores egen sol, med planeter som vores egen jord, beboet af intelligente vsener som os selv. Selv om Nicolaus Copernicus (og pa sin vis ogsa visse oldgrske losofer), havde udviklet teorien om at Solen kunne vre centrum af vores solsystem, er det bemrkelsesvrdigt at skrive en sadan bog nar de este andre tror at jorden er i centrum. Specielt kirken var overbevist om at Jorden er i centrum, og pa det tidspunkt var det ikke just kirken man ville modsige alt for meget. Figure 1: Giordano Bruno Brunos teori byggede dog ikke sa meget pa naturvidenskabelige metoder, men mest pa loso. At han 400 ar efter hans dd skulle fa ret i meget af det, var der nok ikke mange der havde regnet med pa hans tid, og han har da ogsa vret mere eller mindre glemt indtil for fa artier siden. Vi ved i dag at prikkerne pa himlen er stjerner som vores egen Sol, og vi ved ogsa at der er planeter om nogle af disse stjerner. Sa ud over sprgsmalet om Universets strrelse er der altsa kun et enkelt af Brunos oprindelige sprgsmal tilbage: Er der liv pa planeter uden for vort solsystem, og dermed, er der intelligent liv pa disse, sakaldte exoplaneter? Brunos ideer deles altsa af mange mennesker i dag, og mange astrofysikere verden over er pa jagt efter exoplaneter, og ikke mindst efter svaret pa det store sprgsmal om livets opstaen. De forsger nde ud af hvordan og hvorfor der dannes planeter om stjerner, og om livet er noget der sker automatisk under de rette omstndigheder, eller om det er unikt for vores planet, i vores solsystem, i vores galakse, i hele universet. 3

4 3 DETEKTION AF EXOPLANETER 2 Formal Vi vil prve at beskrive nogle af de forskellige metoder der i dag bruges til at detektere en planet omkring en anden stjerne. I skrivende stund er der fundet 136 exoplaneter 1, hvoraf strstedelen er fundet med en metode der benytter sig af Doppler-eekten. Det er derfor denne metode vi hovedsageligt vil arbejde med, mens vi kort beskriver de andre metoder og deres fordele og ulemper. Da vi ikke har adgang til udstyr der kan observere data til den omtalte Doppler-metode, for ikke at tale om tiden det ville tage at male et helt omlb af en exoplanet, har vi valgt at fa nogle brugbare data andetsteds fra. Vi vil, ved hjlp af specielle fortran-programmer, teste vores teori med disse data, og sammenligne vores resultater med de publicerede resultater. 3 Detektion af exoplaneter De frste exoplaneter blev opdaget i 1995 vha. Doppler-metoden (Se sektion 3.2). Lige siden har der vret diskussion om hvor grnsen gar mellem planeter og sma stjerner, som fx de sakaldte brune dvrge. Vi vil derfor starte med at beskrive den denition, som de este nu er enige om, og derefter kort beskrive de forskellige metoder der i dag bruges. 3.1 Planet eller stjerne? Nar man opdager et nyt objekt omkring en stjerne, kan man i nogle tilflde komme ud for et problem. Skal man klassicere det fundne objekt som en planet, en stjerne eller maske noget helt andet? Ved hjlp af Doppler-metoden, som er den klart mest succesfulde (se nedenfor), har man indtil videre kun vret i stand til at opdage objekter med masser omkring jupiters, eller derover. Massen der bestemmes ved denne metode, er ogsa kun en minimum-masse, som vi ogsa kommer ind pa senere, men det bliver hurtigt klart, at man ma have en nogenlunde prcis denition pa hvornar noget er en planet. Grnsen pa hvornar et objekt er en planet eller ej, deneres i dag af de este forskere, som grnsen for hvornar objektet ikke lngere er i stand til at forbrnde deuterium 2. Dette er blevet oversat til, at objektet skal have en masse der ca. svarer til 13 gange jupiters masse, altsa ca. 2: kg. 3.2 Doppler / spektroskopi Nar en stjerne udsender lys, sker det som et kontinuert spektrum af frekvenser. Forskellige grundstoer absorberer dog lyset ved forskellige energiniveauer, og en stjernes grundstoer fjerner fx visse linier i det ellers kontinuerte spektrum af lys, der udsendes fra stjernen

5 3.3 Planetpassage / fotometri 3 DETEKTION AF EXOPLANETER Dette fnomen er bedre kendt som spektrallinier. Hydrogen og Helium, som er de to grundstoer der udgr strstedelen af en stjerne, fremkalder altsa visse spektrallinier, sa en observatr, der er i hvile i forhold til en stjerne, altid vil se de samme linier vre fjernet fra spektret. En stjerne med en planet i omkreds, vil derimod bevge sig rundt om deres flles massemidtpunkt, sa stjernen i en periode vil bevge sig vk fra os, mens den i en anden periode vil bevge sig hen mod os. Doppler-eekten pa lysblgerne siger, at hvis en lyskilde er i bevgelse i forhold til observatren, vil lyset der udsendes ved en bestemt frekvens, opfanges ved en anden. Vi kan derfor bruge dette til at opdage, om en stjerne har bevgelse vk fra os, eller mod os. Om den har en sakaldt radial hastighed. Her kan vi altsa gre brug af spektrallinierne, som netop ses ved helt bestemte blgelngder, da vi ellers ikke ville kunne se forskel pa frekvensen af en bestemt lysblge i et kontinuert spektrum. Denne metode egner sig bedst til at nde store planeter, der kredser meget tt pa stjernen, da eekten ellers er alt for svag til at kunne males. Ud over det, er det selvflgelig klart at planeten skal have en radial hastighed i forhold til os. Vi kan fx ikke se planeter, hvor bevgelsesplanen er vinkelret pa vores synsretning. Ikke desto mindre er metoden den absolut mest succesfulde der hidtil er brugt, og som sagt under formalet, er strstedelen af de fundne exoplaneter, er opdaget med netop denne metode. 3.3 Planetpassage / fotometri Opdagelse af planeter omkring andre stjerner ved hjlp af den fotometriske metode, gar i alt sin enkelthed ud pa, at lysintensiteten fra stjernen falder en smule i det tidsrum planeten passerer ind foran stjernen. Denne metode er derfor god til at supplementere Dopplermetoden, hvis planeten ligger i vores synsretning, da man sa kan nde den ellers ukendte inklination, og dermed bestemme massen helt prcist. Derudover kan man bestemme planetens radius, og med massen og radius kan man se pa yderligere egenskaber, som fx densiteten. Metoden er dog ikke uden problemer. Frst og fremmest skal planeten nsten ligge direkte i vores synsretning til stjernen, sa den vinkel vi kalder inklinationen bliver meget lille. Af samme arsag skal den ogsa helst vre tt pa stjernen, da sandsynligheden for at planeten, set fra os, rammer stjernen bliver strre jo tttere den er pa stjernen. Derudover er metoden ogsa meget flsom overfor stj, da malinger pa sa sma sving i lysintensiteten krver meget stor njagtighed. Til sidst er der ogsa det faktum, som i vrigt ogsa gr sig gldende for Dopplermetoden, at et planet-omlb ofte tager rimeligt lang tid. Vi skal med denne metode observere stjernen i det tidsrum hvor planeten rent faktisk passerer ind foran stjernen, hvor vi med Doppler-metoden faktisk skal male et helt omlb for at fa det bedste bud pa planetens egenskaber. Fotometri-metoden har vist sig at holde stik i praksis. Der er fundet to exoplaneter med denne metode, hvoraf den ene var kendt i forvejen, vha. Doppler-metoden. 5

6 3.4 Mikrolinsning 3 DETEKTION AF EXOPLANETER 3.4 Mikrolinsning Denne metode skiller sig markant ud fra de to tidligere beskrevne metoder. Det er Einsteins generelle relativitetsteori, der lgger til grund for teorien bag metoden, og den siger bl.a. at lys afbjes af masse. Hvis man fx ser pa en stjerne, og der ligger en stjerne eller et andet tungt objekt i synslinien mellem stjernen og observatren, vil stjernen ikke i virkeligheden bende sig hvor den observeres, men vre forskudt en smule pa himlen, da dens lys er blevet afbjet pa vejen. Men lyset afbjes ikke kun i en retning, men i ere retninger rundt om det mellemliggende objekt. Dette giver anledning til en forstrkelse af lyset fra den bagvedliggende stjerne, og fnomenet kan sammenlignes med en linse, hvorfor metoden har faet navnet mikrolinsning. Denne linse virker hvis der ligger et tungt objekt mellem observatren og kilden, men den virker meget bedre hvis der ligger to objekter mellem observatren og kilden. Sadanne to objekter kunne vre et dobbeltstjerne-system, eller en stjerne og dens omkredsende planet. Vha. avancerede udregninger, kan man altsa pa den bagvedliggende stjernes lysintensitet beregne de mellemliggende objekters egenskaber. Den helt store forskel ligger sa i, at fnomenet bliver bedst hvis objekterne ligger i en vis afstand fra hinanden. Denne metode kan rent faktisk male planeter, der ligger i en afstand fra dens stjerne der svarer til Jordens, eller Jupiters, selv om omlbstiden er meget stor. Den er ogsa flsom for objekter helt ned til jord-masse, eller mindre, sa man kan i princippet nde Jord-lignende planeter i Jord-lignende afstande til stjernen, og nu begynder det jo virkeligt at ligne noget vi kan forholde os til. Men glden er ikke sa stor som umiddelbart antydet, for der er nogle store ulemper ved denne metode. For det frste er det nogle meget avancerede udregninger der skal laves, ud fra en maling pa lysintensiteten af en bagvedliggende stjerne. Man skal omstte sa lidt information til sa meget viden, at metoden bliver meget usikker. Man kunne fx forestille sig at grafen ville vre nogenlunde ens om der var en Jupiter-lignende planet i Jupiterlignende afstand fra solen, eller en Jord-lignende i Jord-lignende afstand. Og dette bliver endnu vrre da man ikke har en chance mere. Praktisk set vil den samme stjerne aldrig blive forstrket igen, sa hvis man ikke far informationerne ordentligt frste gang, er det bare rgeligt. 3.5 Direkte observation Selv om denne metode umiddelbart er meget abenlys, er det stadig en af de teknisk svreste, og der er i skrivende stund kun opdaget et objekt, som kunne vre en planet. Det er dog ikke blevet bekrftet endnu. For at kunne se en planet omkring en fremmed stjerne, skal man kunne skelne det lys der kommer fra planeten, fra det lys der kommer fra stjernen. Lyset fra planeten er selvflgelig reekteret lys fra stjernen, men hvis man har prcise nok maleinstrumenter, vil man kunne se en forskel. Problemet er sa bare, at stjernen har en meget hjere stralingsintensitet, og planeten sa at sige drukner i stjernens lys. Det er altsa ndvendigt at planeten er er langt nok vk fra stjernen, sa vi kan skelne 6

7 3.6 Fremtidens planetjagt 4 TEORI FOR DOPPLER-METODEN mellem dem, men den skal ogsa vre tt nok pa, for at reektere nok straling fra stjernen. Denne metode kan altsa vise sig at vre meget nyttig til at nde planeter i strre afstande fra stjernen, end de este andre fundne exoplaneter der ligger inden for Jupiters bane om vores sol, hvis man udvikler metoden meget, og bygger meget strre teleskoper. 3.6 Fremtidens planetjagt Det er selvflgelig klart, at rigtig meget af forskningen omkring exoplaneter vil ga pa at forbedre de nuvrende metoder, sa man fx kan se mere prcise radialhastigheder, lysintensiteter osv. Men det star ogsa klart at der skal nye metoder til at nde de mere interessante jordlignende planeter, hvis de overhovedet ndes. Mikrolinsning-metoden har nogle fordele inden for dette, og isr hvis man forbedrer prcisionen, sa man kan vre mere sikker i sin sag. Den teoretisk set mest simple af alle metoderne er nok den direkte observation med et teleskop. Dette er, som sagt ovenfor, meget svrt i dag, da planetens lys vil blive fuldstndig blndet vk af stjernens lys, men fremtiden byder her pa meget spndende udvikling. ESO 3 er i gang med planlgningen af OWL 4, som er sa lysflsomt, at det kan opdage planeter vha. den direkte observation. Ogsa mange andre store projekter er i gang, men som sdvanlig inden for astronomi, er projekterne sa store og dyre, at det tager mange ar fr man har en ide, til projektet er i gang. En ting er helt sikkert: Det bliver spndende at flge udviklingen. 4 Teori for Doppler-metoden 4.1 Doppler-eekten Doppler-eekten har faet sit navn fra den strigske fysiker C. Doppler ( ). Den beskriver hvordan blger opfattes, nar kilden der udsender blgerne og iagttageren af blgerne bevger sig vk fra hinanden. Vi kender alle situationen med en ambulance der kommer krende imod os. Nar ambulancen passerer, og fortstter vk fra os, bliver sirenen dybere. Dette er netop et tilflde af Doppler-eekten, som i dette tilflde gr sig gldende pa lydblger. Fnomenet glder dog ogsa for andre slags blger, som fx vandblger og lysblger. For at forsta denne opfrsel, ma man se pa de blger der udgr sirenens lyd. Afstanden mellem blgetoppene fortller os om tonens frekvens. Hvis blgetoppene er tttere pa hinanden, er frekvensen hjere, mens tiden det tager at komme fra en blgetop til den nste (perioden) er kortere. Sa sammenhng mellem frekvensen og perioden T er = 1. T Pa gur 4.1 ses eksempler pa blger med forskellig frekvens. Hvis vi nu forestiller os at ambulancen krer imod os, og udsender disse lydblger. Da den nrmer sig med en konstant hastighed, vil den ene blgetop have mindre afstand til os end sin forgnger, og da sirenen jo hele tiden udsender blger med samme frekvens, 3 European Southern Observatory 4 Overwhelmingly Large Telescope 7

8 4.1 Doppler-eekten 4 TEORI FOR DOPPLER-METODEN Figure 2: 5 blger med forskellig frekvens. De nederste blger har strst frekvens, men kortest periode Figure 3: Nar bilen bevger sig imod mikrofonen i midten, er lydblgerne tttere pa hinanden; Modsat nar bilen bevger sig vk fra mikrofonen. opfatter vi frekvensen (og dermed tonen) som vrende lidt hjere. Modsat, nar den er pa vej vk, vil afstanden ges for hver blgetop, og frekvensen synes lavere, og tonen dybere. Skiftet i frekvens af lyden fra en sirene er forsgt illustreret pa gur 4.1. Matematisk er Doppler-eekten deneret pa flgende made, som netop opfylder de eekter vi har omtalt 5 : v = 0 (1) v v r hvor v er blgens hastighed, og v r er den relative hastighed mellem iagttageren og kilden.hvis kildens radiale hastighed er imod os, er v r positiv, og hvis den er vk fra os, bliver v r negativ Spektroskopi og stjernens radiale hastighed Pa bilag 1 ses spektrallinier fra Solens lys. Som beskrevet under sektion 3.2, ses det pa disse linier om stjernen bevger sig i forhold til os. Vi vil nu udvikle ligningen for Doppler- 5 UP side 339 8

9 4.2 Stjernens masse 4 TEORI FOR DOPPLER-METODEN eekten til at beskrive stjernens radiale hastighed. Formel 1 kan omskrives en smule, hvis vi forlnger brken med 1=v, og bruger = c til at beskrive blgelngden, i stedet for frekvensen: v 1 = 0 = 0 v v r 1 v r =v =) = 0 (1 v r v ) (2) Da vi jo ser pa elektromagnetiske blger, er v = lyshastigheden c. Vi kan nu nde et udtryk for stjernens radiale hastighed: = 0 (1 v r c ), v r c = 0 1 = 0, v r = c 0 (3) hvor vi har brugt = 0, som altsa beskriver hvor meget en spektral-linie er forskudt i forhold til dens vrdi i laboratoriet. Vi denerer en hastighed vk fra os som positiv, og dermed bliver ligningen ovenfor positivt. Hvis spektral-linierne er forskudt mod strre blgelngde, og dermed mod den rde ende af spektrummet, bevger stjernen sig vk fra os. Hvis de derimod er forskudt mod den bla ende, bevger de sig imod os. Disse to fnomener kaldes derfor ogsa rd- og blaforskydning. 4.2 Stjernens masse For at nde stjernens masse, bruges den sakaldte masse / luminositet-relation. Hvis vi plotter sammenhrende vrdier af masse og luminositet for de stjerner, hvor vi kender massen, kan vi se at der er en sammenhng mellem disse to parametre, som iflge masse/luminositet-relationen 6 er: L L = 8 < : ( M M )4 For M > 0:43M 0:23 ( M M )2:3 For M < 0:43M Denne ligning gar dog ud fra, at stjernen ligger inden for den sakaldte "main sequence" pa Hertzsprung-Russel diagrammet, som er den kurve hvor de este stjerner ligger (Se gur 4.2). Ca. 90 % af de kendte stjerner ligger inden for dette omrade 7. Det er selvflgelig klart, at jo mere prcis luminositeten er bestemt, jo bedre er massen af stjernen udregnet. I praksis far man omkring 8% usikkerhed pa massen, med de metoder der er tilgngelige i dag 8. 6 ML 7 UP side iflge AL 9

10 4.3 Elliptiske baner 4 TEORI FOR DOPPLER-METODEN 4.3 Elliptiske baner Fra vores eget solsystem ved vi at en planets bane omkring sin stjerne ikke ndvendigvis er cirkulr, og vores teori ma derfor ga ud fra at en exoplanets bane kan vre elliptisk. Vi skal derfor vide et par ting om ellipser, og vi begynder med at denere de basale koncepter. En ellipses halve storakse kalder vi a. En ellipses halve lilleakse kalder vi b. Ellipser er formet omkring to brndpunkter, S og S 0, som ligger pa den halve storakse. De har begge to den samme afstand fra centrum, og deres samlede afstand fra et vilkarligt punkt pa ellipsen er altid den samme. Dvs. at hvis du lgger afstanden fra S til et punkt Q sammen med afstanden fra S 0 til et punkt Q pa ellipsen, sa er den strrelse konstant for alle punkter Q pa banen. Brndpunkternes afstand fra centrum, kaldes ellipsens excentricitet, som vi betegner med e. Dette er deneret som et tal mellem 0 og 1, hvor e = 0 angiver en cirkulr bane, og fortller altsa hvor langt ind ad a, S ligger. Dvs. brndpunktets afstand fra centrum er givet ved a e. Et objekt der krer rundt i en elliptisk bane er tttest pa det ene, og lngst fra det andet brndpunkt nar den ligger pa de punkter hvor a rrer ellipsen. Vi kalder dem A (Aphelion) og P (Perihilion), hvor P er tttest pa og A er lngst vk. Iflge Keplers anden lov, har en planet en elliptisk bane omkring en stjerne, der ligger i et af ellipsens brndpunkter, som herefter betegnes som S. Vi bruger derfor polre koordinater til at beskrive dens bevgelse i ellipsen. Planetens position er derfor en funktion af r og, hvor r er afstanden (radius) fra stjernen til planeten, og derfor ndrer sig med tiden. er vinklen som r danner med vores startposition som vi denerer til at vre i P. Iflge Keplers anden lov, er det areal som en planet udspnder over en bestemt tid t, altid den samme. Den har altsa ikke den samme hastighed forskellige steder i sin omlbsbane. Jo tttere planeten er pa S, jo hjere er hastigheden. ud fra dette kan vi ogsa se at planeten bevger sig hurtigst i P, og langsomst i A. 10

11 4.4 Omlbstiden i en ellipse 4 TEORI FOR DOPPLER-METODEN Arealet for hele ellipsen er givet ved ab. 9 Bade stjernen og planeten krer rundt om deres samlede massemidtpunkt i en ellipse, og har halve storakser a for stjernen og a p for planeten. De er knyttet sammen ved relationen a M = a p m, hvor M er stjernens masse, og m planetens Omlbstiden i en ellipse Vi begynder med at udlede omlbstiden i en ellipse. Dette er en generel lsning som kan bruges bade for a og a p. Som sagt i forrige sektion, er det areal der udspndes pa t konstant. Hvis vi sa regner arealet ud for en meget lille tidsndring t, kan vi approksimere at vores planet ytter sig ~r, og arealet er sa: A = 1 j~r ~rj 2 Her bruger vi altsa approksimationen at ~r er meget lille i forhold til hele omlbsbanen, sa vi kan sige at den er meget tt pa at vre en ret linie. Og da strrelsen af et krydsprodukt mellem to vektorer er arealet af det parallelogram de udspnder, ma halvdelen af dette vre A. Ud fra det kan vi ogsa se at: da dt = 1 d~r j~r 2 dt j = 1 j~r ~vj 2 og da denition pa impulsmoment (som ogsa er bevaret i elliptisk planetbevgelse) er ~L = m~r ~v kan vi se at: da dt = j~ Lj (4) 2m For nu at nde omlbstiden T, skal vi integrere over hele perioden. Dvs. T = H orbit dt. Hvis vi sa isolerer dt fra formel 4, kan vi skifte integrationsvariabel: T = 2m j ~ Lj I orbit da = 2m j ~ Lj A = 2m j ~ Lj (ab) hvor vi substituerer A med ab, som vi indfrte i forrige sektion. Hvis vi nu bruger flgende to relationer 11 : a = 1 e 2 ; b = p (5) 1 e 2 hvor = j~ Lj 2, hvor M som sagt er stjernens masse og m er planetens masse. GMm 2 substitiuerer dette udtryk for b ind i vores ligning for T : 9 Ligning 7.22 i Schaums 10 CBS side UP side 106 Vi 11

12 4.5 Stjernens radiale hastighed 4 TEORI FOR DOPPLER-METODEN T = 2m j ~ Lj 2 a 2m p 1 e 2 = j Lj ~ as 1 e 2 1=2 Her kan vi se, at udtrykket under kvadratrodstegnet, netop er udtrykket 12 for a, sa det kan vi udskifte, samt stte vrdier ind for : vu u T = 2m j Lj ~ a a1=2 t j L ~ 2 j GMm 2 = 2m j Lj ~ a3=2 j Lj p ~ = GMm 2 p GM a 3=2 Dette er vores endelige udtryk for omlbstiden, og som vi kan se afhnger det ikke af excentriciteten, men kun af ellipsens halve storakse. Vi gr opmrksom pa, at vi under hele denne udledning har lavet den approksimation, at stjernens masse er meget strre end planetens. Altsa M + m M. Dette er diskuteret nrmere nederst i sektion Stjernens radiale hastighed Vi vil nu nde en ligning, der viser os hvordan den radiale hastighed varierer som funktion af vinklen. For det frste ma vi tage hjde for, at vi ikke ved hvordan banen er orienteret. Vi ser kun banen som todimensionel, men den er jo tredimensionel, sa vi kan ikke vide (med mindre vi kan male det ud fra formrkelse af stjernen) hvordan hldningen pa omlbsbanen er i forhold til os. Det ma vi altsa betegne med en trigonomisk funktion, af en ukendt variabel: sin(i), hvor i er den ukendte hldning, kaldet inklinationen, hvor i = =2 betyder at den ligger i vores synsretning, og vi ville kunne male en formrkelse af stjernen med fotometrimetoden. Indfrelsen af sin(i) betyder at vi kan beskrive systemet som et todimensionelt problem. Hvis vi siger at vi ser op ad z-axen i et koordinatsystem (som set pa gur 4.5, ligger vi under z-aksen og ser op pa systemet), sa kan vi lave en bevgelsesligning der ses op af z-axen, og dierentiere den for at fa hastigheden: z = rsin( +!)sin(i) => _z = sin(i) sin( +!) _r + rcos( +!) _ (6) For at fa et bedre udtryk for _ og _r, bruger vi denne ligning 13 for r og : r = 1 + ecos() Hvis vi nu omskriver ligning 5 for a, og isolerer, far vi = a(1 substituere ind i vores r-udtryk: 12 side 106 i UP 13 UP side 106 e 2 ). Vi kan sa 12

13 4.5 Stjernens radiale hastighed 4 TEORI FOR DOPPLER-METODEN r = a(1 e2 ) 1 + ecos() Dette kan vi nu dierentiere, for at fa udtrykket for hastigheden _r: (7) _r = a(1 e2 ) esin() (1 + ecos()) 2 _ = esin()r _ 1 + ecos Derudover skal vi bruge Keplers anden lov, pa denne form 14 : r 2 _ = 2a 2 (1 e 2 ) 1=2 T som kan omskrives, ved brug af r fra ligning 7, til r _ = 2a(1 + ecos() (1 e 2 ) 1=2 T Nu kan vi begynde at substituere, og starter med at stte _r ind i ligning 6 for z: _z = sin(i) sin( +!) esin()r _ 1 + ecos + r _ cos( +!) Vi kan nu se at vi har r _ to steder i vores ligning, sa vi substituerer vores ligning for r _ som udledt ovenfor: _z = sin(i) sin( +!) esin() 2a(1 + ecos() 1 + ecos (1 e 2 ) 1=2 + T 2a(1 + ecos() (1 e 2 ) 1=2 cos( +!) T Vi kan se at nogle led gar ud, og hvis vi tager det mulige uden for parantesen: _z = 2asin(i) (1 e 2 ) 1=2 cos( +!) + ecos( +!)cos() + sin( +!) esin() T Ved brug af sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), cos(a + b) = cos(a)cos(b) 2asin(i) sin(a)sin(b) samt (1 e 2 ) = K, hvor K er amplituden, far vi ligningen: 1=2 T _z = V radial = K(cos( +!) + ecos(!)) (8) Som altsa er vores generelle ligning for den radiale hastighed. Vi er opmrksomme pa at afhnger af tiden, pa en ikke helt liner made. Vi ved jo iflge Keplers anden lov, at den ikke altid bevger sig med samme hastighed, og dermed er det ikke altid den samme vinkel der bliver dannet ved et givent t, forskellige steder pa ellipsen. Med en passende metode, som vi kommer ind pa senere, kan vi nu bruge ligning 8, til at nde konstanterne T, e, M, a og K. 14 Side 35 i CBS 13

14 4.6 Planetens masse 4 TEORI FOR DOPPLER-METODEN 4.6 Planetens masse I forrige sektion ndes denne ligning for K: K = 2a sin(i) T (1 e 2 ) 1=2 Vi har ogsa udledt en ligning for T, i vores frste sektion: T = p 2 GM a 3=2, hvor vi kan 1=3. Men for at kunne bruge den pa planeten, skal vi frst skifte vores isolere a: a = T 2 GM 4 2 a ud for en ligning der indeholder a p. Til det formal kan vi bruge flgende relation 15, hvor vi isolerer a : a = m M a p (9) Vi substituerer frst denne ligning ind i vores K-ligning, og dernst substituere a p ud for vores a som er isoleret fra T -ligningen: K = Sa stter vi det hele i tredie: 2sin(i) T (1 e 2 ) 1=2 m M a p = 2sin(i)m T (1 e 2 ) 1=2 M T 2 G(M) 4 2 1=3 K 3 = 83 sin 3 (i)m 3 T 2 GM T 3 (1 e) 3=2 M = 2sin3 (i)gm 3 T (1 e 2 ) 3=2 M 2 og til sidst isolerer vi sa for msin(i): K 3 T (1 e 2 ) 3=2 M 2 1=3 msin(i) = (10) 2G Som vi kan se pa ligningen, kan m fas ved at dividere med sin(i). Men da i ofte er ukendt, er massen (msin(i)) vi far ud fra ligningen den mindste masse planeten kan have, da vi skal dividere med noget der ligger mellem 0 og 1. Denne metode har altsa intet prcist bud pa massen, men kan sige, at hvis planetens bevgelsesplan ligger direkte i vores synsretning, vejer planeten m. Dn ligger selvflgelig ikke srligt ofte i vores synsretning, og nogle gange ma man da ogsa sige at planeten sandsynligvis en brun dvrg, hvis inklinationen er en vis strrelse. Se mere om denne diskussion under sektion 3.1: Planet eller stjerne?, og under databehandlingen nedenfor, hvor vi ser pa et konkret eksempel. Vi har tidligere gjort opmrksom pa, at grundlaget for ovenstaende ligning for massen er en approksimation pa, at stjernens masse er meget strre end planetens. Denne approksimation er selvflgelig ikke god hvis man ikke ved om man maler pa en exoplanet. Vi har dog testet ligningen pa tilstrkkeligt mange planeter i kataloget pa exoplanets.org, og isr de meget tunge, som viser at denne approksimation sagtens kan laves uden at miste nogle planeter der ligger pa grnsen til at vre en stjerne. 15 CBS side 45 14

15 5 DATABEHANDLING 5 Databehandling Vi har valgt at kigge pa en planet omkring stjernen HD Denne stjerne er omkring 1.4 gange solens masse. Da banen er meget elliptisk, er det en god planet at teste vores teori pa. Data fra malinger pa denne stjerne ses pa bilag 2. Det har desvrre ikke vret muligt at fa fat i data fra ere exoplaneter, da Sbop (se nedenfor) bruger et specielt format. 5.1 Sbop Sbop er et fortran-program, som bliver brugt til at undersge radialhastigheder i et dobbeltstjernesystem. Da Doppler-metoden for exoplaneter bruger njagtig samme teori, kan vi ogsa bruge programmet til at nde forskellige egenskaber for planeter omkring en stjerne. Det er dog blevet tilpasset for at kunne arbejde med de relative sma radialhastigheder sammenlignet med de este dobbeltstjerne-systemer Teorien bag Sbop Metoden Sbop bruger til at approksimere vrdier ud fra nogle givne data, er at prve pa at minimere det sakaldte 2. Hvis vi forestiller os en situation, hvor flgende tre ting glder, kan man bruge ligningen nedenunder 16, der denerer -kvadratet: a) Vi har et st af x-vrdier, som vi kender meget prcist i forhold til nedenstaende y-vrdier. b) Vi har nogle tilhrende, malte y-vrdier, med en eller anden usikkerhed. c) Vi har en funktion f(x; a), der udregner y-vrdier for et givent x, og som ogsa afhnger af en ukendt strrelse a. Det er denne ukendte strrelse vi forsger at nde. NX 2 = i=1 " # 2 yi f(x; a) i Vi kan se, at jo strre 2 er, jo strre er forskellen mellem den malte vrdi for y, og den med f(x; a) udregnede vrdi for y. 2 viser altsa hvor god a-vrdien er, i forhold til den \rigtige" a-vrdi, der passer fuldstndig med malingerne. Formalet er selvflgelig, at fa 2 til at vre mindst mulig, og ved at variere vores vrdi for a, kan vi fa 2 lngere ned, indtil vi er tilfreds med njagtigheden. Det er dette princip Sbop bruger, selv om det programmeringstekniske i problemet bestemt ikke er sa simpelt. I vores tilflde, er f(x; a) vores ligning for radialhastigheden (formel 8), som jo afhnger af,! og e, hvor ogsa selv afhnger af nogle ukendte konstanter, samt tiden. Vores x- vrdi er tiden for hver maling, som vi jo kender relativt prcist, og vores ukendte strrelser 16 Ligning 6.1 fra SM 15

16 5.1 Sbop 5 DATABEHANDLING er bl.a.!; P; e. y-vrdierne er sa de malte radialhastigheder. Hvis vi nu giver Sbop et kvaliceret bud pa hvad vores konstanter kan vre, varieres de indtil den nder vrdier som giver et 2, der er tilfredsstillende. Det er selvflgelig klart, at jo bedre vores gt er, jo frre gange skal Sbop variere tallene for at fa et mere prcist resultat. Med en smule trning i at se pa plots af maledataene, kan man efterhanden gtte udmrket pa de forskellige vrdier. Se pa side 83 i DS, hvordan graferne ndres med konstanterne e og! Vrdier for HD89744 Ved at kre Sbop-programmet pa HD89744-dataene, far vi resultatet ud i en l. Denne l er vedlagt som bilag 3. Informationerne vi skal bruge for at nde planetens masse, skriver vi dog her: Amplituden K = 0; ; 0074 kms 1. Perioden T = 256; 66 0; 44 dage. Excentriciteten e = 0; 704 0; 012. Stjernens masse (fundet ved masse/luminositet-sammenhngen): M = 1; 40 0; 09 M Sol Sbop giver os ogsa data, som er tilpasset vores radialhastighedsligning. Vi har taget en enkelt fase, og plottet de malte data med de tilpassede: Vi kan her se hvor meget Sbop har gttet for at fa resultaterne. Nogle af punkterne er meget ved siden af, men i det store hele, passer funktionen udmrket. Det er ogsa vigtigt at tnke pa at dette kun er en fase. Flere faser gr det mere njagtigt. 16

17 5.2 Planetens masse 5 DATABEHANDLING 5.2 Planetens masse Vi har faet de ndvendige informationer fra Sbop til at nde vores exoplanets masse. Vi bruger formel 10, og nder denne vrdi: m sin(i) = 7; 05 0; 38 M jup Usikkerheden pa denne vrdi er fundet ved at bruge nedenstaende ligning 17 pa formel 10: m = K P e M Udregningen af m og usikkerheden ses mere detaljeret udfrt pa bilag 4. Vi skal her bruge usikkerheden pa stjernens masse, som er fundet ud fra masse/luminositet-relationen. Da vi ikke selv har gennemfrt denne udregning, har vi undersgt den frste publicerede rapport omkring HD89744's planet, som angiver stjernens masse til at vre 1; 4 0; 09 M. Vrdien for msin(i) passer, inden for usikkerhederne, med tabelvrdien pa 7; 2 M jup. Der er ogsa kilder 18, der siger at planeten vejer helt op til 7; 9 M jup, men de har ogsa en K-vrdi pa omkring 275, samt en excentricitet pa 0; 67. Hvis vi indstter disse tal, far vi ogsa massen til at vre ca. 7; 9. Som vi tidligere har nvnt, kan dette skyldes Sbop, som ikke rigtig er lavet til sa sma radialhastigheder. Den vre grnse pa en planet har vi deneret som ca. 13 Jupiter-masser. Dvs. planeten faktisk godt kan vre en brun dvrg, hvis det fundne tal divideret med sin(i) giver over 13. I dette tilflde ligger grnsen altsa ved en inklination pa i = sin 1 (7=13) = 32; 6. I princippet kan man sige at alle exoplaneter, der ikke er malt ved transit-metoden, kan vre stjerner, hvis bare inklinationen er tt nok pa Afstand til stjernen Sbop giver os ogsa den halve storakse i stjernens elliptiske bane. Det ses i output'et som A SIN(I). Vi kan sa udregne den halve storakse i planetens bane, da de to halve storakser er proportionale med forholdet mellem masserne (formel 9): a p = M m a = 1; 4 1; kg 7; 05 1; kg 6; km = 1; km Dette kan vi fa i astronomiske enheder (AU), hvor 1 AU er afstanden fra Solen til Jorden. Dvs.: a p = 1; km 149; km Dette tal stemmer nt overens med tabelvrdien. 17 Ligning 5.62 i EA 18 AU = 0; 87AU 17

18 6 KONKLUSION Planeten omkring HD89744 har altsa en masse pa mindst 7 Jupiter-masser, og ligger inden for Jordens bane om Solen. Den er rimelig strkt excentrisk, og mange fundne exoplaneter er ligeledes meget excentriske jo lngere vk de ligger fra stjernen. Dette er ikke tilfldet i vores solsystem, hvor den fjerneste, og mest excentriske planet Pluto, har en excentricitet pa 0; 248. En anden ting der tydeligt ses pa et exoplanet-katalog 19, er at planeterne oftest er meget store, og ligger meget inden for Jupiters afstand til Solen. Som vi har skrevet tidligere, kan dette skyldes at vi ikke er i stand til at se mindre planeter i strre afstand fra stjernen, men det kan ogsa skyldes at vores fundamentale forstaelse af planetdannelse er forkert. Der er i hvert fald mange observerede ting uden for vort solsystem, der ikke stemmer overens med de observerede ting inden for. Igen bliver det spndende at flge udviklingen, og se om det lykkedes at nde solsystemer som vores eget. 6 Konklusion Under udarbejdelsen af denne rapport, er det lykkedes os at fa et overblik over nutidens planetjagt. Vi har beskrevet nogle af de fremtrdende metoder der bruges i dag, savel som metoder der kan blive brugbare i fremtiden. Som planlagt, og beskrevet i formalet, er vi gaet i dybden med teorien bag Doppler-metoden, og vi har faet resultater for planeten HD89744b til at passe med de publicerede vrdier. Vi havde habet pa at kunne teste vores teori pa nogle ere exoplaneter, men diverse parametre gjorde at det ikke var muligt. En af de store grunde var fortran-programmet Sbop, der krvede et specielt format pa data-len, som vi trods mange forsg ikke kunne efterligne pa andre planeter. Vi ville ligeledes gerne have vret mere involveret i databehandlingen, som Sbop i hj grad lavede for os. Det viste sig dog for avanceret, og vi matte vlge andre relevante ting at komme nrmere ind pa. I en kilde 20 fandt vi dog en direkte sammenhng mellem radialhastigheden og tiden, men den viste sig at vre for approksimeret, og vi kunne ikke tte dataene til den. Ud over at vi desvrre ikke k spurgt indgaende til Sbop-formatet i tide, er vi tilfredse med resultatet fra den ene tilgngelige planet, der som sagt passede godt inden for usikkerhederne. Vi ma dermed betegne processen som succesfuld An introductory physics exercise using real extrasolar planet data 18

19 7 REFERENCELISTE 7 Referenceliste 19