Projektbeskrivelse: Konstellationsdiagrammer

Transkript

1 Helena-Céline Arøe Stevelt, Simon Stuhr Harder Carlsen og Nicolai Riisbjerg Jørgensen 2. BT, Bagsværd Kostskole og Gymnasium Projektbeskrivelse: Konstellationsdiagrammer Vi stødte på konstellationsdiagrammer, da vi læste om signalbehandling. Ingen af os kendte til emnet i forvejen, og lige umiddelbart virkede det meget kompliceret og en smule uoverstigeligt - netop derfor valgte vi, at det var det, vi ville undersøge. Vi valgte, efter noget tid, at indsnævre vores fokus til kvadratiske konstellationsdiagrammer. Man kan forestille sig, at et signal sendes som et kvadrat, der består af nogle punkter i et koordinatsystem. Når de sendes af sted, vil disse koordinater blive skubbet enten til højre/venstre eller op/ned, og disse ændringer i strukturen opfattes som støj i signalet. Ved et uroteret kvadrat vil nogle af punkterne enten have samme x-værdi eller samme y-værdi, det vil sige, at hvert punkt kun kan bestemmes på enten y-aksen eller x-aksen. Det medfører en usikkerhed i bestemmelsen af punkterne, samtidig med at der skal tages forbehold for den støj, der opstår på signalet. Hvis hvert punkt skal kunne bestemmes mere nøjagtigt på x- og y-aksen, vil det medføre en større sikkerhed, og derved gøre det lettere at bestemme signalet. For at få den største sikkerhed roteres kvadratet, i en sådan vinkel, at afstanden mellem punkterne, når de projiceres på henholdsvis x- og y-aksen, er den samme. Hvis der findes en sammenhæng mellem kvadratets sidelængde og vinklen, det skal drejes i, for at man, som nævnt, får den samme afstand mellem punkternes x- og y-værdier, vil det være muligt at bestemme punkterne, og dermed signalet, mere nøjagtigt. Vi ønskede derfor at undersøge, om denne sammenhæng fandtes. Da vi fandt sammenhængen, viste det sig, at vores resultater lagde op til, at man bruger cirkulære konstellationsdiagrammer i stedet for kvadratiske, da det markant vil øge, hvor nøjagtigt punkterne kan bestemmes. Ved cirkulære konstellationsdiagrammer er der nemlig mindre sandsynlighed for, at punkterne har samme x- eller y-værdi, når diagrammet er uroteret. Derfor kan det i fremtiden bestemt være interessant at undersøge cirkulære konstellationsdiagrammer nærmere.

2 Helena-Céline Arøe Stevelt, Simon Stuhr Harder Carlsen og Nicolai Riisbjerg Jørgensen 2. BT, Bagsværd Kostskole og Gymnasium Rapport: Konstellationsdiagrammer Vores formal med dette projekt er: At finde en formel, hvorved det er muligt at bestemme den vinkel, et kvadratisk konstellationsdiagram skal drejes med, så alle koordinaterne projiceret på henholdvis y- og x-aksen har den sammen afstand. I vores projektbeskrivelse har vi skrevet uddybende om konstellationsdiagrammer og grundene til at rotere dem. I denne rapport-del har vi beskrevet vores fremgangsmåde, da vi regnede på sammenhængen mellem vinklen, konstellationsdiagrammet skulle roteres i, og kvadratets sidelængde i punkter, som vi kaldte n. Figur 1 Dette er et optimalt diagram, vi har lavet i GeoGebra Figur 2 Et u-roteret kvadrat. I figur 2. definerede vi først punktet B som: cos( ); y Punktet C definerede vi som: cos(45 + 0); y I figur 1 måtte afstanden imellem B og Cs x-værdier så være: 2 cos( ) Vi fandt, at der i figur 1 var et forhold mellem B og Cs x-værdiers afstand og B og D, yderpunkterne,s x-værdiers afstand. Desuden erfarede vi, at a er den del, afstanden mellem B og Cs x-værdier udgør af b, som er afstanden mellem B og Ds x-værdier. For et 4x4 kvadrat opdagede vi, at dette forhold er: a b = 3 15 = 1 5 Dette generaliserede vi til n 1, hvor n er kvadratets sidelængde i punkter, og forholdet kunne da n 2 1 udtrykkes som: n 1 cos( 45 + φ) cos(45 + φ) n 2 = 1 2 cos( 45 + φ)

3 Helena-Céline Arøe Stevelt, Simon Stuhr Harder Carlsen og Nicolai Riisbjerg Jørgensen 2. BT, Bagsværd Kostskole og Gymnasium Vi gangede alle led med to og stillede det op som to brøker: cos( 45 + φ) cos(45 + φ) n 2 = 1 cos ( 45 + φ) cos ( 45 + φ) Derefter forkortede vi det hele så meget som muligt, og resultatet såsådan ud: n 2 1 = 1 cos(45 + φ) cos ( 45 + φ) Herefter omskrev vi, ved hjælp af additionsformlen, cos(45 + φ) = cos(45) cos φ sin(45) sin (φ), så det blev til: n 2 1 Dette kunne vi igen omskrive til: n 2 1 Herefter udregnede vi sin(45) og cos(45): Da vi forkortede det, gav det: cos(45) cos(φ) sin(45) sin(v) = 1 cos( 45) cos(φ) sin( 45) sin (φ) = n 2 = 1 2 sin(45) sin(φ) sin(45) sin(φ) + cos(45) cos(φ) 2 sin(φ) sin(φ) + 2 cos(φ) 2 sin(φ) n 2 = 1 sin(φ) + cos(φ) Ved hjælp af Wolfram Mathematica var det muligt at omskrive ovenstående til: n = cot φ Eftersom n er den bekendte (sidelængden for det givne kvadrat), kan vi tage inverse-funktionen af sidelængden og har da, at vinklen er givet ved: cot 1 n = φ Da vi nu kender sammenhængen mellem vinklen og n (kvadratets sidelængde i punkter), er det muligt for modtageren af signalet at fastlægge punkterne i det kvadratisk konstellationsdiagram mere nøjagtigt. Dette medfører en større sandsynlighed for at læse signalet rigtigt.

4

5

6