RAMSEY MODELLEN Carl-Johan Dalgaard. Økonomisk Institut, Københavns Universitet

Transkript

1 RAMSEY MODELLEN Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut, Københavns Universitet Oktober 2003

2 BAGGRUND Solow-modellen ex. på traditionel model. Adfærdsrelation: Opsparing antages at være en konstant proportional andel indkomsten (empirisk ikke altid heldig). Ulemper ved adfærdsrelationer: (i) Hvis en adfærdsrelation kan begrundes med rationel adfærd, så bør det også være modelleret (indsnævring af modelbyggernes frihedsgrader); (ii) Man kan ikke drage politik konklusioner udfra (eksogene) adfærdsrelationer på trods af empirisk belæg (Lucas-kritikken); (iii) Man kan ikke sige noget om velfærd. Moderne makro-modeller har mikro-grundlag: dvs. agenterne maksimerer veldefinerede objektfunktioner. Ramseymodellen giver bl.a. en idé om dynamisk inefficiens bør ventes at forekomme. 2

3 GRUNDANTAGELSER. Kontinuerttid Én gode økonomi: Output kan enten forbruges eller investeres Lukket økonomi: S = Y C = I samt at samlet formue b =samlet kapitalbeholdning, k. Ingen offentlig sektor (indtil videre) Alle markeder (færdigvarer, produktionsfaktorer) er kompetitive. Mao: Producenter og forbrugere tager priserne på output, arbejdskraft og kapital som udefra givne. Virksomhederne efterspørger kapital og arbejdskraft; profitmaximerer.. Stort antal identiske husholdninger, H. (el. eksistensen af en repræsentativ husholdning) 3

4 Modellen set lidt fra oven 4

5 HUSHOLDNINGERNE OG DERES ADFÆRD Husholdningerne lever uendeligt ( lever endeligt, men holder af sine børn arvemotiv.) Antal medlemmer i husholdning: lt. Befolkningsvækst: lt/lt = n. Fuldforudseenhed Præferencer: Maximere den tilbagediskonterede værdi af nytten ved forbrug U = Z t=0 u (ct) l0e nt e ρt dt,ρ>n,c(t) C (t) /l0e nt u (ct) benævnes elementarnytten. l0e nt repræsenterer antallet af medlemmer i husholdningen på tidspunkt t. Egenskaber:u 0 > 0, u 00 < 0 samt limc 0 u 0 =, limc u 0 =0. 5

6 HUSHOLDNINGERNE OG DERES ADFÆRD elementarnytten. 6

7 HUSHOLDNINGERNE OG DERES ADFÆRD Konkaviteten af u (c) vil give husholdnigen incitamenter til forbrugsudjævning. Vi kommer til at arbejde meget med den specifikke nyttefunktion u (c) = c1 θ 1 1 θ. e ρt er diskonteringsfaktoren (ρ diskonterings raten). Konkret indebærer den, at husholdningen vil tillægge forbrug i morgen relativt mindre vægt en forbrug i dag: u (c0)+u (c1) e ρ u (c T ) e ρt Dermed bliver ρ et mål for utålmodigheden ( stor ρ betyder dermed meget utålmodig). Uendelig levetid? Kræver udstrakt bekymring for fremtidige generationer ( Don Corleone præferencer). 7

8 HUSHOLDNINGERNE OG DERES ADFÆRD: FORBRUGSMU LIGHEDER Husholdningens arbejdsudbud er uelastisk og lig lt. Husholdningen modtager reallønnen wt som kompensation herfor. Køber output, som enten forbruges (ct pr. pers.) eller opspares (bt pr. pers.). Outputpris normeret til 1. Virksomhederne lejer kapitalapparatet af husholdningen. Som modydelse modtages rt. Udviklingen i formuen, B, over tid: Ḃt = rtbt + wtlt ctlt +(andel af ren profit), (1) hvor B0 er givet og profit =0.B = husholdningens formue. Omskrivning: bt Bt/Lt = formue per medlem af husholdningen (husk l = nl): ḃt =(rt n) bt + wt ct. (2) 8

9 HUSHOLDNINGERNE OG DERES ADFÆRD: FORBRUGSMU LIGHEDER Men dette er IKKE en budgetrestriktion! For at indføre en sådan tilføjes: No-Ponzi-game betingelse (NPGB): R ts=0 (rs n)ds b t 0 (3) lim t e R ts=0 rsds B t = l0 lim t e Den vil gælde med lighedstegn i optimum (pga. monotonicitet). NB: Flow-budget-betingelsen + no-ponzi-betingelsen er ækvivalent med den intertemporale budgetbetingelse: B0 + Z t=0 wtlte R t s=0 rsds dt Z t=0 (ctlt) e R t s=0 rsds dt 9

10 HUSHOLDNINGERNE OG DERES ADFÆRD: PROBLEMET U.bib max {ct t=0 Z t=0 u (ct) e nt e ρt dt, ρ > n, l0 1. c (t) 0 ḃt =(rt n) bt + wt ct, b0 given l0 lim t e R t s=0 (rs n)ds b t 0. Bemærk: I hver periode er b given, mens c kan "kontrolleres". Vi vil benævne c for "kontrolvariablen", mens b for "tilstandsvariablen". Løsning af dette problem > Optimal kontrolteori (Pontryagins maksimumsprincip) 10

11 LØSNINGSMETODE: KOGEBOG Gælder for problemer der kan skrives på formen (note ligger til download med lidt flere detaljer): ubib max {ut} t=0 Z 0 f (xt,ut) e δt dt ut A ẋt = g (xt,ut) x0 given Der gælder derudover en form for terminalbetingelse, fx. lim x t 0 t ut er her den tilknyttede kontrolvariabel, mens x er tilstandsvariablen. 11

12 LØSNINGSMETODE: KOGEBOG TRIN 1: Opstil Hamiltonfunktionen: H (xt,ut,λt) =f (xt,ut)+λtg (xt,ut) TRIN 2: Nødvendige betingelser, som en løsning skal opfylde: Hut (x t,ut,λt) =0 Hxt (x t,ut,λt) = λt + δλ samt Transversalitetsbetingelsen (TVB): lim λ txte δt =0 t 12

13 ANVENDELSE: HUSHOLDNINGENS PROBLEM FOB: H (bt,ct,λt) =u (ct)+λt ((rt n) bt + wt ct) Hct (b t,ct,λt) =u 0 (ct) λt =0 H b t (b t,ct,λt) =λt (rt n) = λt + ρλ samt Transversailitetsbetingelsen lim λ tbte ρt = λ0 lim b te t t R t 0 (rs n)ds =0 13

14 ANVENDELSE: HUSHOLDNINGENS PROBLEM Fra FOB Hc samt H b ċt = 1 ct ε (ct) (r t ρ), (4) hvor ε (ct) u 00 (ct) ct/u 0 (ct) kaldes grænsenytteelasticiteten. (4) kaldes Keynes-Ramsey reglen. Når u (c) =c 1 θ /1 θ : ċt ct = 1 θ (r t ρ),daθ = u00 (ct) ct u 0 (ct). 14

15 HUSHOLDNINGENS PROBLEM: FORTOLKNING AF RAM- SEYREGLEN ċt ct = 1 θ (r t ρ) rt = ρ + θċt ct Overfladisk set angiver Keynes-Ramsey reglen den optimale ændringsrate i forbruget over tid; altså den optimale afvejning af forbrug idag vs. forbrug imorgen".. Afkastet ved opsparing er lig rt (øgede forbrugsmuligheder "imorgen"). Afkastet ved forbrug idag. To grunde til at ville forbruge idag: Utålmodighed (ρ), Ønske om forbrugsudjævning fanges via θċc. Alternativt kan man se Keynes-Ramsey reglen som udtryk for MRS=MRT 15

16 HUSHOLDNINGENS PROBLEM: FORTOLKNING AF RAM- SEYREGLEN Tænk på en simpel to-periode model i diskret tid: U = c1 θ 1 1 θ + 1+ρ 1 mens budget restriktionen er c1 + c 2 1+r I. Grafisk: c 1 θ 2 1 θ, Figure 1: 16

17 HUSHOLDNINGENS PROBLEM: FORTOLKNING AF RAM- SEYREGLEN MRS: du = c θ 1 dc ρ c θ 2 dc 2 =... dc2 =... dc1 MRT c2 =... c1 MRT=MRS:... =... 17

18 VIRKSOMHEDENS PROBLEM Teknologi: Y = F (Kt,AtLt), hvor A = ga (eksogene tekniske fremskridt). Vi antager konstant skalaafkast (η >0): ηy = F (ηk, ηal) Y = ALf ³ k, k K/AL. Antag endvidere ³ k lim f 0 k 0 ³ k lim f 0 k = =0 samt at ³ k f 0 > 0,f 00 < 0. 18

19 VIRKSOMHEDENS PROBLEM max Π = F (K t,atlt) wtlt rtkt L,K FOB rt = F K wt = F L At ³ Da AL Y = F KAL, 1 f ³ k haves. rt = f 0 ³ kt ³ wt = f ³ kt ktf 0 ³ kt Lønnen i effektivitetsenheder w w A. (5) At (6) 19

20 GENEREL LIGEVÆGT: Udviklingen i kapitalbeholdningen pr. effektivitetsenhed Bogholderiligningen" angiver at formuen pr. capita udvikler sig iflg: ḃt =(rt n) bt + wt ct b b/a bt =(rt n g) bt + wt ct, b0 given Da økonomien er lukket må det gælde at bt = kt bt = kt =(rt n g) kt + wt ct, k0 given kt Endelig: konstant skalafkast til K, L indebærer at F (K, AL) =Y = wl + rk f ³ k =ỹ = w + r k kt = f ³ kt ct (n + g) kt, k0 given. (7) 20

21 GENEREL LIGEVÆGT: Udviklingen i forbruget pr. effektivitetsenhed Vi har Ramsey-reglen": ċt = ct/θ (rt ρ) Definer ct ct/at ct + g ct = ċt/at ct/ ct =1/θ (rt ρ θg) Endelig haves rt = f 0 ³ kt c/ c =1/θ ³ f 0 ³ kt ρ θg. (8) 21

22 GENEREL LIGEVÆGT: TVB og begrænset nytte Ydermere, TVB omskrives: λ0 lim b te t TVB kræver at f 0 ³ ks R t 0 (rs n)ds λ 0=1 = lim t kte R t 0 ³f 0³ ks >n+ g, for k konstant. n g ds =0. Endelig bemærkes det, at en parameterrestriktion er nødvendig for at have endelig tilbagediskonteret nytte U = Z t=0 1 1 θ c 1 θ t At 1 1 θ Z t=0 e nt e ρt dt A 0=1 = e (ρ n)t dt Z t=0 c 1 θ 1 θ e (ρ n (1 θ)g)t dt for c konstant kræves ρ > n +(1 θ) g for at nytten (U) er opad til begrænset. 22

23 STEADY STATE: VÆKSTEN Tilsammen karakteriserer differentialligningerne (7) samt (8) plus TVB >0 f f 0 ³ kt økonomiens dynamiske udvikling. Ultimativt må c og kt 0 (dvs k og c tenderer mod konstanter). k/ k ³ k 0 ³ Antag c/ c =1/θ ρ θg 0. Bemærk at når c konstant da følger det umiddelbart at: ³ k f kt = k c (n + g) 0. kt, c, k alle er konstanter. Væk- I steady state haves dermed at ỹ = f ³ k sten i per capita indkomsten (eller i c, k): (ẏ/y) =..., y Y/L. 23

24 STEADY STATE: INVESTERINGSRATEN Da vi er i en lukket økonomi, må S = Y C = I. st = I t Yt = Y t Ct Yt =1 c t f ³ kt For lukket form løsning: antag ỹ = f Hvis vi udnytter at k =0 ³ k f (n + g) k (n + g) k s =1 ³ k = ³ k. f f = k α (Cobb-Douglas ³ k produktionsfunktion). Nyttig egenskab ved C-D: ³ k ³ k f f 0 = α k 24

25 STEADY STATE: INVESTERINGSRATEN Hvis dette anvendes s = α n ³ k + g f 0 og fra c ³ k =0haves at f 0 = ρ + θg. Altså: s = α n + g ρ + θg. Bemærk: (1) TVB limt kte R ³ t 0 f 0³ ks n g ds ³ k ³ fortæller os at n + g<f 0 = ρ + θg, så IY <α<1; (2) s når n eller ρ. Men: s / g = α ρ θn (ρ + θg) 2 S 0. <" hvis θ er tilpas stor. Forklaring? 25

26 STEADY STATE: HVOR MEGET INDKOMST VARIA- TION KAN VI FORKLARE? Antag et øjeblik, at udviklingen i forbruget følger ³ c/ c =1/θ πf 0 ³ kt ρ θg, hvor π 1 og tænkes at afspejle "forvridninger" i økonomien ³ k (fx en skat på renteindkomst). Bemærk at dette implicerer f 0 =(ρ + θg) /π, så (givet f ( ) er Cobb-Douglas) haves: s = πα n + g ρ + θg. Indkomsten per capita i steady state: µµ y K α µ 1 α απ = A = Y ρ + θg α 1 α A. Forskelle i s på 1:4 kan nu principielt begrundes. Men de implicerede forskelle i indkomst per capita er præcis som i Solow modellen. 26

27 TILPASNINGSDYNAMIK: FASEDIAGRAM ³ Vi har: c = θ 1 f 0 ³ kt ρ θg c. I steady state skal c =0. Det følger nu at ³ k c =0 f 0 = ρ + θg c =0. 27

28 TILPASNINGSDYNAMIK: FASEDIAGRAM ³ kt Så betragter vi kt = f ct (n + g) kt. k =0 c = f ³ k (n + g) k Sammenhængen mellem c og k: 28

29 Altså kan vi også tegne sammenhængen mellem c og k k = f ³ kt c (n + g) kt 29

30 STEADY STATE: FASEDIAGRAM Toppunktet" repræsenterer ³ ³ k golden rule faktorintensiteten": kgr = c max k f (n + g) k =max k Hvad er forholdet mellem k og k gr ³ k ³ kgr? k kgr f 0 f 0 ρ + θg n + g m ρ n +(1 θ) g (modstrid) da vi har antaget ρ>n+(1 θ) g for endelig tilbagediskonteret nytte. Resultat: Dynamisk inefficiens kan IKKE opstå i Ramseymodellen. Menhvorforer k < k gr? (Bemærk: dét viste vi godt siden s < α...). k :modificeret golden rule. 30

31 TILPASNINGSDYNAMIK: FASEDIAGRAM Det samlede fasediagram: Steady state opstår når k = c =0. Der er således... steady states. Men hvordan kommer vi hen til den ikke-trivielle k? 31

32 TILPASNINGSDYNAMIK: FASEDIAGRAM k0 er givet (eksogen), mens c0 er endogen (springvariable). I princippet er der uendelig mange mulige forløb alt efter hvilken c0 der vælges. 32

33 TILPASNINGSDYNAMIK: FASEDIAGRAM Udelukkelse af banerne I og III. I) Her vil kapitalbeholdningen gå i nul i endelig tid. Det betyder at forbruget falder til nul -> uendelig stor disnytte. II) Betragt situationen hvor vi ligger i k. Her vil f 0 k <n+ g. Her er TVB brudt: lim t Dette er også intuitivt... R t ke 0 ³f 0³ k n g ds. Der er således (for given k0) étoptimalt c0. Modellen er saddelpunkt stabil", og banen II benævnes saddelbanen. 33

34 TILPASNINGSDYNAMIK Saddelbanen afspejler ligevægtssammenhængen" mellem c of k; Positiv hældning, ender i st. st. punktet. Men udseendet afhænger generelt af de underliggende parametre i modellen. Saddelbanen og θ s størrelse. 34

35 TILPASNINGSDYNAMIK: Konvergenshastigheden Hældningen på saddelbanen afspejler konvergenshastigheden i Ramsey modellen. Denne afhænger således af modellens parametre (jf. Romer s.64-68). Hvis θ er "høj" > langsom konvergens; θ lav > hurtig konvergens. Intuition: dynamikken i opsparingskvoten. Hurtigere el. langsommere end i Solow? Detkanvises(givetf (k) =k α ) at udviklingen i 1 s (t) er givet ved (brug def z = c/ k α samt de to diff. ligninger i c, k): µ ż = z µα k α 1 z θ 1 µ +(ρ + θg) s 1,s = α n + g θ θ ρ + θg Hvis θ er sådan, at s =1/θ, davilz, s være konstant i transitionen - Solow tilfældet. Konvergenshastigheden? Hvis θ er "større" > z er faldende mod st. st (s stigende), og omvendt hvis θ er "lavere". 35

36 TILPASNINGSDYNAMIK: FASEDIAGRAM Eksperiment: fald i g ("produktivitets slowdown). Overvej: (1) Effekt på. ct ³ k =0linien (f 0. = θg + ρ)? b) Effekt på kt =0-linien ( c = f ³ k (n + g) k)? Effektpåkortsigt?Effekt på langt sigt (mht. s,y )? 36

37 SAMFUNDSPLANLÆGGERENS PROBLEM spg: Er markedsløsningen Pareto-optimal? Hvis det kan lade sig gøre, at stille én bedre uden at stille nogen dårligere, vil det med identiske agenter betyde, at alle kan stilles bedre. Dvs. en social planner kan finde en bedre allokering af ressourcerne? Kriteriefunktion? forbrugerens (Den repræsentative) nyttefunktion: R max {ĉ t} c 1 θ t t=0 t=0 1 θ e (ρ n (1 θ)g)t dt. ³ kt Øvrige bibetingelser? Ressourcebegrænsningen kt = f ct (n + g) kt, k0 given samt - i stedet for solvensbetingelsen - kt > 0 t. 37

38 SAMFUNDSPLANLÆGGERENS PROBLEM Hamiltonfunktionen ³ H c, k, λ = c1 θ ³ t 1 θ + λ f ³ kt ct (n + g) kt FOB Hc : H k : samt TVB: limt λt kte (ρ n (1 θ)g)t =0 c/ c = Konklusion: 38

39 OFFENTLIG SEKTOR OG EFFEKTEN AF ØKONOMISK POLITIK Antag, at den offentlige sektor forbruger Gt =ˆγAtlt pr. husholdning og indkræver lump-sum skat Tt =ˆτAtlt pr. husholdning. Antag balanceret budget Gt = Tt for all t. Husholdningens intertemporal budgetbetingelse: Z B0 + wtlte R Z t s=0 rsds dt (ctlt + Tt) e R t s=0 rsds dt t=0 Flow-budget betingelse: t=0 Ḃt = rtbt + wtlt ctlt Tt. kt = f ³ kt ct ˆγ (n + g) kt,. ct = 1 ct θ ³ f 0 ³ kt ρ θg 39

40 OFFENTLIG SEKTOR: NYT FASEDIAGRAM 40

41 OFFENTLIG SEKTOR: UVENTET PERMANENT ÆN- DRINGER Antag, at vi er i steady state initialt, og at ˆγ =ˆγ 1. Pludselig stiger ˆγ til ˆγ 2, og alle ved at den vil være på dette niveau fremover. 41

42 OFFENTLIG SEKTOR: POLITIK. UVENTET PERMA- NENT ÆNDRINGER RESULTATER Dvs. fuld crowding out: højere offentligt forbrug i hver periode fremover modsvares af en tilsvarende nedgang i privat forbruget i hver periode. Ingen effekt på den langtsigtede (eller kortsigtede) aktivitet. MEN: 1) Fuldstændig inelastisk arbejdsudbud. Husholdningerne oplever en nedgang i deres samlet rigdom pga. beskatningen, hvilket kan få dem til at arbejde mere. 2) Offentligt forbrug indgår ikke i forbrugerens nyttefunktion. Hvis offentligt forbrug påvirker marginalnytten af privatforbruget kan resultatet tænkes at blive påvirket. 3) Offentligt forbrug/investeringer kan også påvirke den aggregerede produktion, fx. pga. forbedret infrastruktur. 42

43 OFFENTLIG SEKTOR: FORVENTET PERMANENT ÆN- DRINGER (ikke i Romer) Antag, at vi er i steady state initialt, og at ˆγ =ˆγ 1. Det vides nu, at fra og med t2 ude i fremtiden vil ˆγ øges til ˆγ 2, og alle véd at den vil være på dette niveau fremover. 43

44 OFFENTLIG SEKTOR: FORVENTET PERMANENT ÆN- DRINGER. RESULTATER Annonceringen af udgiftsekspansion leder til midlertidig aktivitetsvirkning. Langtsigtseffekten er den samme som i eksperiment 1. Fortolkning: Agenterne véd at de skal slippe nogle flere skillinger om t2 perioder. For at udjævne forbruget akkumuleres formue. Udviklingen i k: 44

45 OFFENTLIG SEKTOR: UVENTET, TEMPORÆR ÆN- DRING Antag, at vi er i steady state initialt, og at ˆγ =ˆγ 1. Pludselig stiger ˆγ til ˆγ 2,menallevedatdenfraogmedt2 vil vende tilbage til ˆγ =ˆγ 1. 45

46 OFFENTLIG SEKTOR: UVENTET, TEMPORÆR ÆN- DRING kapital og renteudvikling: Empirisk test: Barro, JME UK Højt temporært forbrug under krig høj rente. 46

47 OPSUMMERING: HVAD HAR VI LÆRT? 1. Ramsey modellen tillader analysen af determinationen af opsparings/investerings kvoten: Ændringer i økonomisk politik, væksten i arbejdsstyrken, utålmodigheden evt produktivitetsvæksten påvirker denne. 2 Ramsey modellen kan "replikere" Solowmodellen når det angår konvergenshastigheden: generelt til λ" dog være enten højere eller lavere end forudsagt af Solowmodellen. Under plausible parameterkonfigurationer: hurtigere. 3. Ramsey modellen bidrager ikke med noget nyt når det angår langtsigtede indkomst per capita forskelle. Ganske som i Solow modellen (se dog pkt. 1) 47

48 OPSUMMERING: HVAD HAR VI LÆRT? 4 Central gevinst ved Ramsey modellen er, at den tillader velfærdsanalyse. Specifikt: Markedsallokeringen er pareto optimal ingen rolle for økonomisk politik. Dynamisk Inefficiens kan udelukkes i modellen. 5. Offentlig sektor og politik. HVIS den offentlige sektor er financieret af Lump sump beskatning (+ fravær af endogent arbejdsudbud mv) da vil offentlig forbrug ikke påvirke indkomsten per capita på langt sigt (men forbruget per capita). Annoncering, eller fravær heraf spiller en stor rolle vis-a-vis effekten af politik ændringer. Hvis det offentlige forbrug financieres af kapitalbeskatning vil der være aktivitetseffekt og velfærdstab på langt sigt. Analytisk kan de sidste vises at svare til 5-15% af forbruget (Chamley, kan downloades via hjemmesiden...for den interesserede). 48