Øvelse 10. Tobias Markeprand. 11. november 2008

Transkript

1 Øvelse 10 Tobias Markeprand 11. november 2008 Kapitel 10 i Blanchard omhandler vækst, dvs. økonomien på det lange sigt. For at kunne foretage analyser af vækst og dets årsager må man kunne sammenligne udviklingen i forskellige lande. Derfor er det afgørende at kunne sammenligne levestandarden i forskellige lande. Vi skal i opgave 10.2 se på problemerne i forbindelse med at sammenligne levestandarden i forskellige lande. Opgave 10.2 Betragt følgende data a) Find US forbrug i $. Madvarer Transport Pris Mængde Pris Mængde Mexico (Peso) US ($) b) Find Mexicansk forbrug i Peso. c) Hvis valutakursen er 10 peso/$, hvad er Mexicansk forbrug i $? d) Hvad er Mexicansk forbrug målt ved købekraftsparitet i $? e) For hver metode, hvordan er levestandarden i Mexico relativt til US? Betyder metoden noget? a) Find US forbrug i $. Vi finder at = = $ b) Find Mexicansk forbrug i Peso. Vi finder at = = Peso 1

2 c) Hvis valutakursen er 10 peso/$, hvad er Mexicansk forbrug i $? Korrigeret for valutakurs er det Mexicanske forbrug = = 1.700$ 10 d) Hvad er Mexicansk forbrug målt ved købekraftsparitet i $? Dette fås ved at benytte $-priser til Mexicanske mængder, dvs. hvad ville det Mexicanske forbrug være værd i USA: = = 2.500$ e) For hver metode, hvordan er levestandarden i Mexico relativt til US? Betyder metoden noget? Vi ser at levestandarden er højere når vi bruger købekraftsparitetsmetoden. Dette betyder at valutakursen ikke afspejler forskellen i købekraften. Med andre ord, når vi korrigerer for valutakursen vil en kurve af varer koste noget forskelligt i de to lande. Det ses f.eks. at maden koster 10 Peso i Mexico og korrigeret for valutakursen er dette $1, imod $2 i USA. Der benyttes følgende egenskaber ved kvadratrodsfunktionen, f(z) = z = z 1 2 (for at se at z = z 1 2 husk at kvadratrodsfunktionen er den omvendte til z 2 ), i de næste opgaver: f(zw) = zw = z w, og f(z 2 ) = f(zz) = z z = z f( z w ) = z w = z w. Vi vender os nu imod muligheder for vækst. På kort sigt er kapitalmængden fast, men på længere sigt bidrager en øget kapitalmængde også til det potentielle output niveau. Vi skal dog ikke bevæge os langt ind i området. Først skal vi se på en konkret produktionsfunktion og konstant skalaafkast. Vi skal også se på levestandarden udtrykt ved output pr. beskæftiget og dennes sammenhæng med kapital pr. beskæftiget. Opgave 10.3 Lad produktionsfunktionen være givet ved a) Find Y når K = 49 og = 81. Y = F (K, ) = K b) Hvis både K og fordobles hvad sker der med output? c) Har produktionsfunktionen konstant skalaafkast? 2

3 d) Opskriv denne produktionsfunktion som en relation mellem output per beskæftiget og kapital per beskæftiget. e) Lad K = 4, hvad er Y? u fordobles K. Fordobles Y? f) Har relationen mellem output per beskæftiget og kapital per beskæftiget konstant skalaafkast? g) Er dit svar i f) det samme som i c)? h) Plot relationen mellem output per beskæftiget op i mod kapital per beskæftiget. Har den samme form som i figur 10.4? a) Find Y når K = 49 og = 81. Vi finder Y = = 7 9 = 63. b) Hvis både K og fordobles hvad sker der med output? Vi finder at Y = = 2 63 = 126 c) Har produktionsfunktionen konstant skalaafkast? Vi betragter et tal x > 0 og får så at F (xk, x) = xk x = ( x) 2 K = x K = xf (K, ) hvilket netop er definitionen på konstant skalaafkast. Denne egenskab betyder at en proportional forøgelse af alle inputfaktorer, her arbejdskraft og kapital, vil give en tilsvarende proportional forøgelse af output. Argumentet er at man altid kan kopiere det bestående. d) Opskriv denne produktionsfunktion som en relation mellem output per beskæftiget og kapital per beskæftiget. Vi finder at Y = K = K således at hvis y Y er output per beskæftiget og k K beskæftiget, da har vi y = k. e) Lad K = 4, hvad er Y? u fordobles K. Fordobles Y? Igen finder vi at Y = 2 når K = 4 samt Y = 2 2 når K = 8. er kapital per 3

4 f) Har relationen mellem output per beskæftiget og kapital per beskæftiget konstant skalaafkast? ej, som vi viste ovenfor bliver output per beskæftiget ikke fordoblet når kapital per beskræftiget fordobles; altså holder skaleringen ikke når x = 2. Dette skyldes det faldende marginale afkast på kapital. Idet vi har y = g(k) = k vil der gælde at g(xk) = x k = xg(k) < xg(k) for alle x > 1. g) Er dit svar i f) det samme som i c)? ej! h) Plot relationen mellem output per beskæftiget op i mod kapital per beskæftiget. Har den samme form som i figur 10.4? Relationen har samme facon som i bogen, altså den konkave. Vi skal nu se på det forhold, at vækst ikke kan genereres alene af kapital akkumulation, når vi har en produktionsfunktion med konstant skalaafkast. Opgave 10.4 Igen lader vi og = 1. Y = F (K, L) = K a) Find relationen mellem vækstraten i output og kapital. b) Hvad skal vækstraten i kapital være hvis vækstraten i output skal være 2%? c) Hvad sker der med kapital/output forholdet over tid? d) Er det muligt at have en sådan vækst i denne økonomi? a) Find relationen mellem vækstraten i output og kapital. Idet vi har at, g z zt z t 1 z t 1 og g z = ag x (approksimativt) når z = x a, har vi at g Y = 1 2 g K hvor g Y er vækstraten i output og g K er vækstraten i kapital. Dette skyldes at vi jo har at z = z 1 2 hvilket vides fra gymnasiet(?!) 4

5 b) Hvad skal vækstraten i kapital være hvis vækstraten i output skal være 2%? Idet vi skal have 2% = g Y = 1 2 g K må g K = 4% c) Hvad sker der med kapital/output forholdet over tid? Idet vi har at = (1 + g K) t (1 + g Y ) t Y 0 = ( ) 104 t 102 Y 0 som vil gå mod uendeligt når t går mod uendeligt. For at se formlen = (1 + g K ) t, bemærk at K 1 = + (K 1 ) = (1 + K 1 ) = (1 + g K ) idet vi jo har at K 1 = g K og på samme måde får vi K 2 = K 1 + (K 2 K 1 ) = (1 + K 2 K 1 K 1 )K 1 = (1 + g K )K 1 = (1 + g K )(1 + g K ) = (1 + g K ) 2. Fortsætter vi på denne måde opnår vi at = (1 + g K ) 1 = (1 + g K )(1 + g K ) t 1 = (1 + g K ) t. På en tilsvarende måde får vi også at = (1 + g Y ) t Y 0. d) Er det muligt at have en sådan vækst i denne økonomi? Først skal vi indse at kapital kræver investeringer og investeringer kræver opsparing. Sammenhængen mellem kapital og investeringer kan skrives som følger: = I t + 1 δ 1 hvor δ er deprecieringsraten. Hvis vi antager at δ = 0 får vi at 1 = I t = S t idet vi bruger at opsparingen er lig investeringerne. Dermed får vi at = g K 1 + g K = S t Dette ville betyde at opsparingen på et tidspunkt skal overstige indkomsten, når > 1, hvilket er umuligt. g K 1+g K 5