Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt"

Transkript

1 Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00 0,56 64,00 0,90 5,00 0,09 35,00 0,57 65,00 0,91 6,00 0,10 36,00 0,59 66,00 0,91 7,00 0,12 37,00 0,60 67,00 0,92 8,00 0,14 38,00 0,62 68,00 0,93 9,00 0,16 39,00 0,63 69,00 0,93 10,00 0,17 40,00 0,64 70,00 0,94 11,00 0,19 41,00 0,66 71,00 0,95 12,00 0,21 42,00 0,67 72,00 0,95 13,00 0,23 43,00 0,68 73,00 0,96 14,00 0,24 44,00 0,69 74,00 0,96 15,00 0,26 45,00 0,71 75,00 0,97 16,00 0,28 46,00 0,72 76,00 0,97 17,00 0,29 47,00 0,73 77,00 0,97 18,00 0,31 48,00 0,74 78,00 0,98 19,00 0,33 49,00 0,75 79,00 0,98 20,00 0,34 50,00 0,77 80,00 0,98 21,00 0,36 51,00 0,78 81,00 0,99 22,00 0,37 52,00 0,79 82,00 0,99 23,00 0,39 53,00 0,80 83,00 0,99 24,00 0,41 54,00 0,81 84,00 0,99 25,00 0,42 55,00 0,82 85,00 1,00 26,00 0,44 56,00 0,83 86,00 1,00 27,00 0,45 57,00 0,84 87,00 1,00 28,00 0,47 58,00 0,85 88,00 1,00 29,00 0,48 59,00 0,86 89,00 1,00 30,00 0,50 60,00 0,87 90,00 1,00

2 Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

3 Indledning Indledning Trigonometri er studiet af trekanter. Grunden til at trekanten benyttes er, at den er en meget enkel figur, hvori beregningerne er forholdsvis lette. Samtidig kan enhver polygon (det betyder mangekant) opdeles i trekanter. Firkanten deles for eksempel af diagonalen i to trekanter. I den forbindelse er det ved beregninger en stor hjælp at kunne benytte sig af tabeller som korde- og sinustabeller. De første trigonometriske tabeller er ikke sinustabeller, men kordetabeller, som viser sammenhængen mellem centervinklens størrelse og den tilsvarende kordelængde. Disse tabeller skyldes grækeren Hipparchos (190 fvt fvt.), som benyttede dem i arbejdet med at beskrive månens og solens bevægelser. Men disse tabeller var et generelt middel til at løse alle mulige trekantsopgaver. Vejen fra det antikke Grækenland til det moderne Europa blev lang. Studierne af trekanterne fortsatte i Indien, hvor sinusfunktionen optræder første gang. Senere fortsættes studierne af araberne for endelig i 1500-tallet at komme tilbage til Europa. 31

4 Trigonometri Standardtrekanter I en retvinklet trekant har siderne navne: hypotenuse og kateter. Hypotenusen er siden overfor den rette vinkel; kateterne er de to andre (kortere) sider. I et retvinklet koordinatsystem tegnes en cirkel med radius 1 og centrum i origo: A= (0,0). Vi vælger et tilfældigt punkt på cirkelperiferien i 1. kvadrant: B. Gennem B tegnes en linje parallel med 2. aksen; denne linje skærer 1. aksen i C. 1 ABC er en retvinklet trekant og hypotenusen har længden 1. Dette er et eksempel på en standardtrekant. Hver gang vi har en tilfældig retvinklet trekant med en spids vinkel lige så stor som A, vil denne trekant være ensvinklet med den givne standardtrekant. (Overvej det!) Det medfører, at den givne trekant er en forstørrelse eller en formindskelse af den givne standardtrekant. Eksempel Antag, at der er givet en retvinklet trekant med en spids vinkel v og hypotenusen har længden 2. Lad os se på en standardtrekant med samme spidse vinkel v. Hvis én af de spidse vinkler er markeret eller valgt, kan kateterne betegnes i forhold til denne. Her er den spidse vinkel A valgt; derfor er BC den modstående katete og AC den hosliggende katete. 1 Om radius er 1 dm eller 5 cm eller 1 fod er underordnet; når størrelsen af radius er fastlagt, skal alle længder blot måles med denne enhed. 32

5 Standardtrekanter Da trekanterne er ensvinklede, er den ene en forstørrelse af den anden. Forstørrelsesforholdet er k = 2/1 = 2. På tegningen ses, at BC = 0,6. Siden, der svarer til BC i den store trekant, har en længde d = EF, hvor d =2 0,6=1,2 Begrundelsen for at anvende standardtrekanter og sinustabeller Man kan ved hjælp af oplysningerne om størrelserne i én standardtrekant beregne alle størrelser i alle retvinklede trekanter med samme spidse vinkel som standardtrekantens. Og nu har man kendskab til størrelserne i standardtrekanter med alle mulige spidse vinkler (mellem 0 og 90 ); derfor kan man så beregne størrelserne i alle mulige retvinklede trekanter. Hvorledes størrelserne i standardtrekanterne evt. kan findes, demonstreres herunder: Øvelser På et A4-ark tegnes et koordinatsystem og en cirkel med centrum i origo (A) og radius 1 kaldet enhedscirklen. (Koordinatsystemet er et sædvanligt retvinklet koordinatsystem, hvor enheden på akserne har samme længde: fx 10 cm.) I 1. kvadrant tegnes nu halvlinjer fra A, som danner vinklerne 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 og 80 med 1. aksen. (Benyt vinkelmåler.) Disse halvlinjer skærer enhedscirklen i punkter, der kaldes P 1, P 2 osv. Gennem P i tegnes en linje parallel med 2. aksen; denne linje skærer 1. aksen i C i. 33

6 Trigonometri Herunder er vist en af halvlinjerne med de tilsvarende punkter P 6 og C 6. Bemærk, at A P 6 C 6 er en standardtrekant, da den er retvinklet og hypotenusen har længden 1. (Hvorfor?) På tegningen kan ses ved måling / aflæsning, at P 6 C 6 = 0,87 Noget tilsvarende gøres for alle halvlinjerne. For hver trekant måles længden af den modstående katete (i forhold til den spidse vinkel A). Resultaterne skrives i tabellen herunder: Vinkel Længde af modstående katete 0,87 Sammenhængen mellem vinklerne og de tilsvarende katetelængder kaldes sinusfunktionen. Sammenhængen mellem katetelængderne og vinklerne, hvor vinklerne er den afhængig variable, er den omvendte funktion: sin -1 (læses: sinus-i-minus-første). Herefter vises, hvorledes standardtrekantens størrelser bruges ved beregninger i en vilkårlig valgt retvinklet trekant. 34

7 Standardtrekanter Øvelser fortsat Lad der være givet en retvinklet trekant med hypotenuselængden 5 og en spids vinkel på 60. Vi skal finde længden af den modstående katete. Tegn den givne trekant og standardtrekanten ved siden af hinanden Beregn forstørrelsesfaktoren Marker med farve de to kateter i de to trekanter, der er modstående i forhold til vinklerne på 60. Du kender længden af en katete i den ene trekant: skriv længden på tegningen. Hvorledes kan du nu finde længden af den tilsvarende katete i den anden trekant? Gør det! Kunne du også have fundet længden af den umærkede katete i standardtrekanten? Hvordan? Lad der være givet en ny retvinklet trekant med en spids vinkel på 60 og hvor længden af den modstående katete er 6,7. Vi skal finde længden af denne trekants hypotenuse. Tegn den givne trekant og standardtrekanten ved siden af hinanden Beregn forstørrelsesfaktoren Marker med farve de to hypotenuser i de to trekanter. Skriv længden på den kendte. Beregn længden af den ukendte hypotenuse. Lad der være givet nok en ny retvinklet trekant med ukendte spidse vinkler. Til gengæld vides, at hypotenusen har længden 10 og den ene katete har længden 5. Vi skal finde størrelsen af den spidse vinkel overfor den kendte katete. Tegn den givne trekant og standardtrekanten ved siden af hinanden Beregn forstørrelsesfaktoren Beregn længden af kateten i standardtrekanten, der svarer til den kendte katete. Find vinklen! Bemærkning Som du kan se, har du kunnet løse alle opgaverne med hjælp fra tabellen side 34. Den kan naturligvis ikke bruges altid, fordi der kun er medtaget få vinkler og fordi resultaterne ved måling / aflæsning ikke altid er nøjagtige nok. På side 29 kan du se en mere fuldstændig tabel; resultaterne der er også så nøjagtige, som det er muligt med det givne antal decimaler. Tabellen er en sinustabel: sin(v) er defineret som længden af den modstående katete i standardtrekanten. 35

8 Trigonometri At måle disse katetelængder er naturligvis kun en nødløsning; der findes forskellige beregningsmetoder til at finde tabellens værdier, som vi ikke kommer ind på her. Din lommeregner kan for enhver vinkel v finde den tilsvarende sin(v), og og også omvendt: kendes t = sin(v), findes v som v = sin -1 (t). Definitioner og sætninger Definition: sin(a) sin(a) [læses: sinus til A] defineres som længden af den modstående katete til den spidse vinkel A i standardtrekanten. På helt tilsvarende måde kunne vi have målt den hosliggende side i standardtrekanten. Længderne svarende til vinklen A kaldes cos(a): Definition: cos(a) cos(a) [læses: cosinus til A] defineres som længden af den hosliggende katete til den spidse vinkel A i standardtrekanten. Sætning: mk = hyp sin(v) I en retvinklet trekant, hvor en spids vinkel har størrelsen v, den tilsvarende modstående katete har længden mk og hypotenusen har længden hyp, gælder mk = hyp sin(v) Bevis Der er givet en tilfældig retvinklet trekant DEF, hvor den spidse vinkel har størrelsen v (fx 63,69 ). Denne trekant er ensvinklet med en standardtrekant, der også har en spids vinkel af størrelse v, idet den tredje vinkel bliver den samme i de to trekanter på grund af 180 reglen. 36

9 Definitioner og sætninger Derfor er trekanterne ligedannede; skalafaktoren k beregnes ved hjælp af siderne overfor den rette vinkel som k = hyp / 1 = hyp; da siderne med længderne mk og sin(a) ligger overfor vinkler med den samme størrelse, nemlig v, fås sætningen mk = k sin(a) = hyp sin(v) Sætning: hk = hyp cos(v) I en retvinklet trekant, hvor en spids vinkel har størrelsen v, den tilsvarende hosliggende katete har længden hk og hypotenusen har længden hyp, gælder mk = hyp sin(v) Beviset for denne sætning er helt tilsvarende det forrige bevis. Definition: tan(a) tan(a) [læses: tangens til A], hvor A er en spids vinkel defineres som si n A t a n A = c o s A Sætning: tan(v) = mk / hk Når v er en spids vinkel i en retvinklet trekant, gælder t a n v = m k h k Bevis Når v er en spids vinkel i en retvinklet trekant, gælder m k hk = h y p s i n v h y p c o s v m k hk = h y p s i n v = si n v h y p c o s v co s v ifølge vore sætninger (se lige ovenover) forkort brøken med hyp m k h k = h y p s i n v = si n v =t a n v iflg. definitionen på tan (tangens) h y p c o s v co s v 37

10 Trigonometri Typiske opgaver Eksempel I: kendt spids vinkel og hypotenuse Givet en retvinklet trekant med hypotenusen 5 og en spids vinkel på 30. Beregn de to manglende sider. Løsning (Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål) Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: m k=h y p si n(v) De oplyste tal indsættes: m k=5 si n(30 )=5 0,50 m k=2,50 m k=2,5 Øvelse Færdiggør eksemplet, idet du beregner den manglende vinkel benytter samme metode og opstilling igen Eksempel II: kendt spids vinkel og modstående katete Givet en retvinklet trekant med modstående katete på 0,8 og en spids vinkel på 30. Beregn de to manglende sider. Først findes hypotenusen. (Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål) Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: m k=h y p si n(v) De oplyste tal indsættes: 0,8=h y p si n(30 ) 0,8 si n(30 ) = h y p si n(30 ) si n(30 ) 0,8 si n(30 =h y p ) 1,6=h y p 38

11 Typiske opgaver Øvelse Den manglende katete kan nu beregnes som i eksempel I ovenover. Gør det. Eksempel III: kendt katete og hypotenuse Givet en retvinklet trekant hvor hypotenusen har længden 20 og den modstående katete 3 skal vinklen findes. Løsning (Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål) Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: m k=h y p si n(v) De oplyste tal indsættes: 3=20 si n(v) 3 20 si n( v) = =si n(v) 20 si n 1 ( 3 20 )=si n 1 ( si n(v )) 8,62 = v v = 8,6 2 Bemærkning Hvis du ser på tabellen, der indleder kapitlet, er der to kolonner: en for vinkler og en for sinus-værdier. Tabellen kan læses begge veje: Kender du vinklen, starter du i 1. kolonne, kender du sinus-værdien, starter du i 2. kolonne og går tilbage til 1. kolonne. At gå tilbage (til vinklen) i sinustabellen skrives: sin -1. Antag, at du ved sin(v) = 0,6561. Du skal finde den hertil svarende vinkel. Løsning I tabellen findes i sinuskolonnen tallet 0,6561 eller det tal, der kommer nærmest. Ud for det står vinklen 41. Det er den søgte vinkel. Løsningen beskrives således: sin(v) = 0, Bemærk, at det er hensigtsmæssigt at undlade at regne med afrundede decimalbrøker og at udskyde anvendelsen af lommeregneren indtil det endelige resultat kan udregnes ved én tastesekvens. 39

12 Trigonometri v = sin -1 (0,6561) v = 41 Alternativ løsning Tabeller er ikke den bedste metode til at løse opgaven. Indtil for knap år siden var det metoden, men i dag benyttes lommeregnere. På lommeregneren indtastes en sekvens som eller [2nd] [sin] ( 0,6561 ) [enter] 0,6561 [inv] [sin] eller noget tredje. Læs manualen til lommeregneren.! Eksempel IV: kendte kateter Givet en retvinklet trekant, hvor den modstående katete har længden 3 og den hosliggende har længden 5, beregnes de to spidse vinkler. Løsning (Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål) Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: t a n v = m k h k De oplyste tal indsættes: t a n(v)= 3 5 t a n 1 (t a n( v))=t a n 1 ( 3 5 ) v=30,96 v=31,0 Den sidste vinkel findes nemt med 180-graders reglen. Øvelser for én eller et par Tegn en lang række forskellige retvinklede trekanter med vilkårlige mål på vinkler og sider (men hvor den rette vinkel tegnes så præcist som muligt). Mål i hver af dem yderligere to størrelser og beregn derefter de manglende. Der bør indgå opgaver, hvor du kender en spids vinkel og den modstående katete 40

13 Typiske opgaver en spids vinkel og den hosliggende katete en spids vinkel og hypotenusen en katete og hypotenusen 2 kateter og gerne flere af hver slags Kontroller ved måling på din tegning, om du har regnet rigtigt. Trekanterne kan også tegnes med GeoGebra; i det tilfælde har du en nøjagtig facitliste. Opgave med besvarelse Opgavetekst December 2010, opgave 1 (HF Matematik C) Figuren viser en retvinklet trekant ABC. Nogle af trekantens mål fremgår af figuren. a) Bestem vinkel A. Besvarelsen 3 Da trekanten er retvinklet, gælder det, at h k=h y p c os(v) Ved benyttelse af tegningens betegnelser fås b=c c o s( A) og ved indsættelse af af de oplyste tal: 3 Bemærk, at tegningen af trekanten gentages i besvarelsen. Det må være i skitseform, men det anbefales at gøre tegningens mål nøjagtige, da det giver mulighed for at kontrollere beregningerne. 41

14 Trigonometri c o s 11,1=12,7 co s( A) 11,1 12,7 c o s( A) = 12,7 12,7 11,1 =co s( A) 12,7 11,1 1( 12,7) =c o s 1 (c o s( A)) 29,07 =A Α = 29,1 Model Ofte møder du en opgave med et eksempel fra "det virkelige liv". Den kunne være formuleret således: "Bestem solhøjden (dvs. vinklen mellem vandret plan og en sigtelinje til solen) når Peter, der måler 1,80 m kaster en 2,30 m lang skygge på jorden." Besvarelse Vi formulerer en matematisk model ved at indføre nogle forenklende antagelser: Peter kan beskrives ved et lodret linjestykke med længden 1,80, hans skygge ved et vandret linjestykke med længden 2,30. De to linjestykker er benene i en ret vinkel med vinkelspidsen under Peters fødder. På tegningen her er den matematiske model skitseret: Opgaven er at finde vinklen β; da de to kateter kendes i den retvinklede trekant, benyttes sætningen t a n v = m k h k 42

15 Model Heri indsættes de kendte størrelser: tan( β ) = β = tan 1 1,8 2,30 1,8 2,30 = 38,04 = 38,0 Dvs. at solhøjden β er 38,0 Udvidede definitioner De trigonometriske funktioner: sinus, cosinus og tangens blev defineret ved hjælp af standardtrekanter. Det betyder, at vi kun kan finde funktionsværdier for spidse vinkler, dvs. vinkler mellem 0 og 90 grader. Vi ser nu på enhedscirklen med standardtrekanten igen: APC er en standardtrekant; derfor er kateternes længder hhv. cos(v) og sin(v). Men herved fås koordinaterne til punktet P: P = (cos(v), sin(v)) Den spidse vinkel v i standardtrekanten kan også beskrives som vinklen mellem 1. aksen og halvlinjen gennem A og P. Til enhver vinkel findes der et punkt P, som kaldes retningspunktet. Og vi kan benytte retningspunktets koordinater som en ny definition af henholdsvis cosinus og sinus og vel at mærke få de samme resultater som før. Fordelen er, at vi ikke længere er bundet af grænserne 0 og 90 ; ligger P i 2. kvadrant, er v en stump vinkel, men P er veldefineret og vi kan finde koordinaterne. Det gælder også selvom vinklen bliver større end 180! 43

16 Trigonometri Det ses nemt, at hvis v = 180, har P koordinaterne (-1, 0) og hvis v = 0 (eller v = 360 ), har P koordinaterne (1,0). Den udvidede definition kan også anvende cosinus- og sinusfunktionen på vinkler, der er større end 360 ; en vinkel på 390 opfattes som én, hvor venstre ben er drejet mod uret 390, men det er jo det samme som en hel omdrejning og 30. Retningspunktet for 390 og 30 er således det samme og dermed også værdierne af cosinus og sinus. Også negative værdier for vinkler giver mening: Det svarer blot til at vinkelbenet drejes med uret således, at fx -40 og 320 får samme retningspunkt. Bemærk, at tangens stadig kan defineres som tan(v)= sin(v) cos(v) med den undtagelse, at v 90 + n 180, n Z dvs. funktionen tan ikke er defineret når vinklens retningspunkt er (0,1) eller (0,-1), da nævneren i en brøk ikke må være nul. 44

17 Formler til trekantsberegninger Formler til trekantsberegninger Vi vil nu præsentere alle de nødvendige formler til beregninger af sidelængder, vinkler og arealer i trekanter, du har brug for. Nogle få af dem er bevist tidligere, andre beviser følger i et senere kapitel. Den retvinklede trekant I den retvinklede trekant bruges følgende forkortelser for sidernes længder: mk = modstående katetes, hk = hosliggende katetes og hyp = hypotenusens længde. v er størrelsen af den aktuelle spidse vinkel. Hvor det er uden betydning, om det er mk eller hk kan betegnelserne k 1 og k 2 benyttes. Pythagoras' sætning: hyp 2 =k 1 2 +k 2 2 mk=hyp sin(v) hk =hyp cos( v) mk =hk tan(v) En vilkårlig trekant Ensvinklede trekanter er forstørrelser af hinanden (med samme skalafaktor for alle sider) og omvendt I de følgende sætninger er det forudsat, at trekanten kaldes ABC Sætning om vinkelsummen i en trekant: A + B + C = arealsætning: T=½ h g, h er én af de tre højder og g den hertil svarende grundlinje; T er trekantens areal 2. arealsætning: T=½ ab sin C 3. Herons formel: T= s s a s b s c, hvor s = ½(a+b+c) Sinusrelationerne: a sin A = b sin B = c sin C eller sin(a) a = sin(b) = sin(c) b c Cosinusrelationerne: c 2 =a 2 +b 2 2 ab cos(c) eller cos(c)= a2 +b 2 c 2 2 ab 45

18 Trigonometri Opgaver om skævvinklede trekanter For at finde de manglende størrelser i en trekant, skal man have 3 størrelser oplyst som for eksempel 2 vinkler og én side. Den eneste kombination, der ikke er tilstrækkelig, er 3 vinkler. Selvom man kan tegne figuren, kan man ikke give den én bestemt (rigtig) størrelse. I virkeligheden var den 3. vinkel heller ikke en ny, tredje oplysning; den kan jo beregnes med 180 reglen. Eksempel I: SSS (tre sider kendte) I trekanten er de tre sidelængder 4, 5 og 6 kendte. Opgaven er at beregne vinklerne. Besvarelse Cosinusrelationerne gælder i alle trekanter; da vi vil finde en vinkel, benyttes formlen cos(c)= a2 +b 2 c 2 2 ab De kendte tal indsættes: cos(c)= cos(c)= 40 cos(c)= 5 40 C = 82,8 cos(c)= 1 8 C=cos 1 ( 1 8 ) 4 4 Når du skal huske formlen, kan du bemærke at siden c svarer til vinklen C, og at den har en særstatus: modsat fortegn i tæller og ikke med i nævner. 46

19 Opgaver om skævvinklede trekanter Øvelser Beregn på samme måde vinklerne A og B Beregn vinkelsummen Eksempel II: SVS (to sider kendte samt den mellemliggende vinkel) I trekanten er de to sidelængder 5 og 6 kendte. Opgaven er i første omgang at beregne a. Besvarelse Cosinusrelationerne gælder i alle trekanter; da vi vil finde a benyttes formlen c 2 =a 2 +b 2 2 ab cos(c) som omskrives, fordi den kendte vinkel er A og den side, der skal beregnes, er a: a 2 =c 2 +b 2 2 cb cos(a) De kendte tal indsættes: a 2 = cos(55) a 2 = cos(55) a= cos(55) a=5,16 a = 5,2 (Bemærk, at ligningens negative løsning 5,2 kan der ses bort fra, da a er en længde.) Øvelser Beregn de manglende vinkler (Obs.: tegningen er facitliste!) Beregn vinkelsummen 47

20 Trigonometri Eksempel III: VSV (to vinkler kendte samt den mellemliggende side) I trekanten er sidelængden 5 kendt sammen med vinklerne på 55 og 48 grader. Opgaven er at beregne den sidste vinkel og de manglende sider. Besvarelse 180-graders reglen gælder i alle trekanter: Derfor fås: Β = Α C De kendte tal indsættes: Β = Β = 77 Sinusrelationerne gælder i alle trekanter; da vi vil finde a benyttes formlen a sin(a) = b sin(b) De kendte tal indsættes: a sin(55) = 5 sin(77) a= 5 sin(55) sin(77) a=4,20 a=4,2 (Bemærk, at ligningens negative løsning 5,2 kan der ses bort fra, da a er en længde.) Øvelser Beregn den manglende side (Obs.: tegningen er facitliste!) Antag, at det ikke var den mellemliggende side, der var kendt, men i stedet c = 3,81. Beregn de manglende 3 størrelser i dette tilfælde. 48

21 Opgaver om skævvinklede trekanter Eksempel IV: VSS (hvor en vinkel samt dens hosliggende og dens modstående sider er kendte) I trekanten her er Α = 55, a = 4,3 og b = 5 de kendte størrelser. Opgaven er at finde de manglende 3 størrelser i en trekant, der opfylder disse betingelser. Bemærk, at i denne opgavetype er der ingen løsning, hvis a er for kort; forsøg evt. med a = 3,9. a skal kunne nå fra C over til vinkel A's venstre vinkelben. På tegningen er der vist 2 trekanter, som svar på opgaven: Begge opfylder de opstillede betingelser. Det er der ikke altid: Hvis a > b, hvis a = b eller hvis a lige akkurat kan nå vinkel A's venstre ben, er der præcis én løsning. Besvarelse Sinusrelationerne gælder i alle trekanter; da vi vil finde Β benyttes formlen sin(a) = sin(b) a b De kendte tal indsættes: sin(55) 4,3 = sin(b) 5 5 sin(55) =sin(b) 4,3 Β = 72,3 eller Β = 107,7 (idet du bemærker, at sin(v) = sin(180 -v). For hver af disse vinkler kan findes løsninger for vinklen C og siden c. Øvelser Beregn vinklerne C 1 og C 2 og de tilsvarende sider. (Obs.: tegningen er facitliste!) 49

22 Trigonometri Opgaver for par Begge finder hjemmesiden Begge konstruerer 1 eller 2 trekanter af hver type; de frie objekter blandt sider og vinkler skal have nye værdier. Disse kan indtastes i Inputlinjen. Hver ny trekant udskrives både med røde tal (facitlisten) og uden de røde tal (opgavearket). Parrene løser hinandens opgaver og får dem kontrolleret løbende hos makkeren. Kontroller også afrundingsfejl. Lav evt. facitliste, hvor der er 10 decimaler i svarene. Opgaver for par Begge tegner tilfældige skævvinklede trekanter, og hver måler 3 størrelser på sine egne tegninger. Hver beregner nu de resterende 3 størrelser på en tegning med de målte størrelser og overlader så tegningen til makkeren, der også beregner de samme størrelser. Resultaterne sammenlignes og kontrolleres ved at måle på tegningen. I tilfælde af manglende overensstemmelse, findes fejlen. Opgave med besvarelse Opgavetekst Maj 2011, opgave 6 (HF Matematik C) Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel C er spids. Nogle af målene er anført på figuren. a) Bestem trekantens areal b) Bestem længden af BC c) Bestem vinkel C Besvarelsen 5 a) Trekantens areal For alle trekanter gælder sætningen om arealet T: T= 1 bc sin( A) 2 5 Bemærk, at tegningen af trekanten gentages i besvarelsen. Det må være i skitseform, men det anbefales at gøre tegningens mål nøjagtige, da det giver mulighed for at kontrollere beregningerne. 50

23 Opgaver om skævvinklede trekanter De oplyste tal indsættes: T= 1 2 8,5 6,4 sin(34,2)=15,29 T = 15,3 b) Længden af BC Cosinusrelationerne gælder i alle trekanter også denne. a = BC. Vi benytter følgende variant af cosinusrelationerne a 2 =c 2 +b 2 2 cb cos(a) og indsætter de oplyste tal: a 2 =6,4 2 +8,5 2 a = 4,8 c) Vinkel C 2 6,4 8,5 cos(34,2)=23,22 (idet der ses bort fra den negative løsning) Sinusrelationerne gælder i alle trekanter; da vi vil finde C benyttes formlen sin(a) = sin(c) a c De kendte tal indsættes: sin(34,2) = sin(c) 4,8 6,4 6,4 sin( 34,2) =sin(c) 4,8 C= 48,3 Ifølge det oplyste, er der ingen løsning, hvor vinkel C er stump. (Det følger i øvrigt også af, at c < b, og derfor er vinkel C ikke størst og ikke stump.) 51

24 Trigonometri Danmarkskort Som det allerede er nævnt, betyder geometri jordmåling og resultaterne benyttes til at tegne kort. Kort er og var vigtige. Formålet med at have dem kunne fx være at finde vej eller at fastlægge skel mellem ejendomme eller at beregne ejendommes størrelse. I Danmark skyldes de ældste kort optegnelser gjort af Ptolemæus fra Alexandria ca. 200 EVT. Selve kortet er dog tegnet væsentligt senere. Det ældste Danmarkskort Kort tegnet efter optegnelser fra Ptolemæus af Alexandria, 200 E.V.T. Johannes Mejers kort De første første gode kort i Danmark og hertugdømmerne skyldes Johannes Mejer fra Husum. Han tegnede en lang række kort: først for hertugen på Gottorp, Friedrich 3. og senere for den danske konge, Christian 4. Han havde studeret matematik i København, som dengang også bl.a inkluderede astronomi, landmåling og kartografi. I midten af 1600-tallet var hans kort ubestridt de bedste, og det vedblev de med at være i en lang periode. Trianguleringen i Danmark Blandt de mange kort, der blev tegnet før 1700-tallet, var der et uløst problem: at få lokale kort til at hænge rigtigt sammen med andre lokale kort. Problemet bestod dels i, at uundgåelige småfejl ville blive summeret op ved sammentegning af mange kort, men værre: at de enkelte målebordsblade krympede en smule efter at være fjernet fra målebordet. 52

25 Danmarkskort Først så sent som i 1764 startede Thomas Bugge 6 en opmåling, hvor hele landet blev delt ind i trekanter, som skabte et net til at placere lokale kort korrekt. Teknikken var: Bugge startede med en omhyggelig opmåling af én side i den første trekant (basislinjen). Derefter målte han Triangulering (Bugges første trekanter) Basislinjen er den blå (omhygggeligt opmålte) linje fra Tinghøj til Brøndbye Høj. Alle øvrige (sorte) afstande er beregnet ved hjælp af vinklerne og basislinjen. Fra de nye punkter arbejdes der videre på trekantsnettet over Ballerup, Ølstykke... til det fjerne Jylland. vinklen i et trekantshjørne, hvor basislinjen er det ene vinkelben og sigtelinjen mod trekantens 3. punkt er det andet ben. Denne vinkelmåling blev gentaget i det andet trekantshjørne på basislinjen. Så kunne alle sider og vinkler bestemmes i denne første trekant. Fra de beregnede sider i trekanten kunne man arbejde sig videre og opmåle nye trekanter udelukkende ved at bestemme vinkler. Således blev hele Danmark dækket af et net af trekanter, der kunne bruges til korrekt placering af de kort, der dækkede et mindre område. De lokale kort, der dækkede et areal på ca. 6,3 km x 9,4 km, udførtes som målebordsblade - se 1. kapitel: Ligedannede trekanter. Vi har tidligere set, hvordan målebordsblade blev tegnet; nu tegnes med denne triangulering et Danmarkskort, hvor de lokale kort kan indplaceres. For bedre at kunne indplacere lokalkortene blev der samtidigt med opmålingen af trekanternes hjørner også opmålt vigtige punkter som fx kirker. Selvom om arbejdet hurtigt kan skitseres, var det en enorm indsats, det tog over et halvt århundrede at fuldføre. Arbejdedet lettedes af, at instrumenterne til opmåling af vinkler var 6 53

26 Trigonometri blevet meget nøjagtige, og at man ved hjælp af sinuselationerne kunne beregne afstandene ret nøjagtigt. Så man var ganske vist fri for det meget besværlige og arbejdskrævende arbejde med at opmåle afstande med undtagelse af basislinjen og nogle få verifikationsafstande, men mange opmålinger af den samme vinkel, besværlig transport, tunge beregninger osv. tog sin tid. Ved samlingen af kortene blev målestokken ændret fra 1: til 1: Dertil benyttedes et tegneteknisk redskab: en pantograf, som kan ses her: Som øvelse for at forstå virkemåden kan du benytte linket: 54

27 Oversigt Oversigt Du har lært Hvad sinus, cosinus og tangens betyder Hvilke sætninger der gælder i den retvinklede trekant, og hvorledes nogle af disse sætninger bevises Hvorledes du benytter dem til at beregne størrelser i den retvinklede trekant Hvorledes du benytter sinusrelationer, cosinusrelationer og andre formler til at beregne sidelængder, vinkelstørrelser og arealer i skævvinklede trekanter Hvorledes du formulerer en geometrisk model af virkeligheden og at modellen ikke er virkeligheden Hvorledes Danmark blev kortlagt 55

28 Trigonometri Kilder 56

29 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Trigonometri...29 Indledning...31 Standardtrekanter...32 Eksempel...32 Begrundelsen for at anvende standardtrekanter og sinustabeller...33 Øvelser...33 Øvelser fortsat...35 Bemærkning...35 Definitioner og sætninger...36 Definition: sin(a)...36 Definition: cos(a)...36 Sætning: mk = hyp sin(v)...36 Bevis...36 Sætning: hk = hyp cos(v)...37 Definition: tan(a)...37 Sætning: tan(v) = mk / hk...37 Bevis...37 Typiske opgaver...38 Eksempel I: kendt spids vinkel og hypotenuse...38 Øvelse...38 Eksempel II: kendt spids vinkel og modstående katete...38 Øvelse...39 Eksempel III: kendt katete og hypotenuse...39 Bemærkning...39 Eksempel IV: kendte kateter...40 Øvelser for én eller et par...40 Opgave med besvarelse...41 Model...42 Besvarelse...42 Udvidede definitioner...43 Formler til trekantsberegninger...45 Den retvinklede trekant...45 En vilkårlig trekant...45 Opgaver om skævvinklede trekanter...46 Eksempel I: SSS (tre sider kendte)...46 Øvelser...47 Eksempel II: SVS (to sider kendte samt den mellemliggende vinkel)...47 Øvelser

30 Trigonometri Eksempel III: VSV (to vinkler kendte samt den mellemliggende side)...48 Øvelser...48 Eksempel IV: VSS (hvor en vinkel samt dens hosliggende og dens modstående sider er kendte)...49 Øvelser...49 Opgaver for par...50 Opgaver for par...50 Opgave med besvarelse...50 Danmarkskort...52 Johannes Mejers kort...52 Trianguleringen i Danmark...52 Oversigt...54 Du har lært...54 Kilder...55 Indholdsfortegnelse

31

32

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Modellering Ib Michelsen 2013

Modellering Ib Michelsen 2013 Modellering Ib Michelsen 2013 Ib Michelsen Modellering Side 2 Matematisk modellering indeholder en række elementer, der er i spil alt afhængig af den konkrete sag: For det første må der ske en afgrænsning

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Geometri. Ib Michelsen

Geometri. Ib Michelsen Geometri Ib Michelsen Ikast 007 Forsidebilledet Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648) tilhørende Ib Michelsen. Version: 1.01 (19-08-07 19:39:18) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Triangulering af Danmark.

Triangulering af Danmark. Triangulering af Danmark. De tidlige Danmarkskort De ældste gengivelser af Danmark er fra omkring 200 e.kr. Kortene er tegnet på grundlag af nogle positionsangivelser af de danske landsdele som stammer

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Modellering Ib Michelsen 2013

Modellering Ib Michelsen 2013 Modellering Ib Michelsen 2013 Ib Michelsen Modellering Side 2 Matematisk modellering 1 indeholder en række elementer, der er i spil alt afhængig af den konkrete sag: For det første må der ske en afgrænsning

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål i ma til 1p sommeren 2009 (revideret) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Geometri. Ib Michelsen

Geometri. Ib Michelsen Geometri Ib Michelsen Ikast 2008 Forsidebilledet Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648) tilhørende Ib Michelsen. Version: 1.01 16-8 Version: 1.02 18-8

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Ib Michelsen. Matematik C. mimimi.dk

Ib Michelsen. Matematik C. mimimi.dk Ib Michelsen Matematik C mimimi.dk Matematik C Copyright Ib Michelsen, Ikast ISBN... mimimi.dk 23-08-10 Indhold Indhold...3 Forord...7 Geometri Arven fra Grækenland...11 Begreber og sprog...12 Hvad betyder

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses. 18-02-2009 16:13:02 Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Den Flydende Kran Samson

Den Flydende Kran Samson Den Flydende Kran Samson Formål: Kranen Samson, har en maksimal løfteevne på 900 tons, kranarmen er på 67 meter. Formålet med dette projekt er at løse nogle forskellige opgaver om geometrien for kranen.

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Erik Vestergaard, Haderslev 2010

Erik Vestergaard, Haderslev 2010 Erik Vestergaard, Haderslev 2010 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Det første nøjagtige Danmarks kort Før år 1760 eksisterede der landkort over Danmark, men de var meget upræcise. Det første

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere