Trigonometri - Facitliste

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Trigonometri - Facitliste"

Transkript

1 Trigonometri - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres eksempelvis Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer, men de er mange steder fulgt op af eksempler på eller forslag til elevbesvarelser. Til de opgaver, hvortil der er nogle generelle kommentarer, vil de være skrevet afslutningsvis i opgaven. FIT SIDE Opgave 1 Elevernes egne beskrivelser af begreberne og sætningerne. Opgave Da vinkelsummen i en trekant er 180, kan vinkel beregnes til 50 og vinkel E til 30. Trekanterne er altså ensvinklede og derfor ligedannede. = 50, E = 30. Længdeforholdet mellem og DEF er 4,5:13,5 = 1:3. Vi får derfor = 8,8 : 3 =,93. DE = 5,8 3 = 17,4. Opgave 3 er naturligvis lig med i begge trekanter. Da begge trekanter er ligebenede vil og DE være parallelle, og der gælder derfor = E = D =. Der gælder = og D = E, da begge par af vinkler er grundvinkler i en ligebenet trekant, og der gælder fx = D, da disse vinkler er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. D = 18 8 = 1 1 E = 18 1 = 6 Opgave 4 - Opgave 5 a b c Trekant Trekant , Trekant Elevernes egne skitser. Vinkler af samme størrelse markeres på skitsen (begrundelse kræves ikke i opgaven). Vinkler af samme størrelse er: E = (begge er rette vinkler) = D (ensliggende vinkler ved parallelle linjer) ED = (topvinkler) E = D (topvinkler) 1

2 D Opgave 6 Iflg. er de to trekanter ensvinklede og dermed ligedannede. Forstørrelsesfaktoren fra den lille til den store trekant er 10:,5 = 4. Vi får derfor: = 0:4 = 5 D = = 500 = 10 5,36 = D :4 =,5 5 5,59 Trekantstegninger i et digitalt værktøj. Her er anvendt GeoGebra. Tabel: Vinkel Vinkel Vinkel a b c ,09 3 3, ,5 3 3, ,0 3 6

3 FIT SIDE Opgave 7 Opgave 8 D Opgave 9 Kiten befinder sig 5,5 m oppe i luften. eregningen er: 1, = 1, = 5,5 Linens længde l er da: ll = (19 1,5) + 10 = 406,5 = 0,15564 m, altså i praksis 0,16 m. Makkersamtale om andre løsningsmetoder (fx tegning og måling i et bestemt længdeforhold). Elevernes egne skitser. Elevernes egne forklaringer. ygningen er 30:0,75 = 40 m høj. Hvis tavlelinealens skygge er 1,5 m (det dobbelte af 75 cm), vil bygningens skygge være 60 m (det dobbelte af 30 m). I skemaet herunder angiver et kryds ( ), at den pågældende størrelse (vinkel/side) er kendt, et angiver, at størrelsen kan beregnes, og et M angiver, at størrelsen kan måles (efter en udført tegning), mens et 0 angiver, at størrelsen hverken kan beregnes eller måles (der vil være flere mulige løsninger). Vinkel er altid 90, og er derfor udeladt af skemaet. a b c M M M M M M M M Mulighederne er Den sidste vinkel kan beregnes ingen af siderne kan beregnes. Den sidste side kan beregnes, de to spidse vinkler kan ikke beregnes. Den sidste vinkel kan beregnes, ingen af de manglende sider kan beregnes. Opgavens pointe (og det vi ønsker eleverne skal opleve) er, at vi mangler beregningsmæssig mulighed for at knytte viden om siderne til viden om vinklerne og omvendt. Formålet med dette kapitel er netop at etablere denne mulighed. Opgave 10 Den manglende katete er a. Da arealet af trekanten er 0 har vi 1 10 aa = 0 a = 4 Længden af hypotenusen er cc = = 116 = 9 10,77 3

4 Opgave 11 Opgave 1 Elevernes egne tegninger i et passende længdeforhold. Eleverne kan selv overveje, hvad passende vil sige i denne forbindelse. Det er sådan, at hvis man vælger længdeforholdet 1:00 (dvs. så længden 10 m mellem punkterne og repræsenteres af et linjestykke på 5 cm), så vil det vandrette stykke fra flagstangen til punkt blive 16,6 cm. Det kan derfor rummes på den korte led af et stykke 4-papir. Den beregnede diameter er 4,0 m. Man må forvente afvigelser fra dette tal i elevernes resultater dels pga. tegneusikkerhed, dels pga. måleusikkerhed. Det er nok mere rimeligt at vurdere elevernes løsningsmetode end deres resultat. Hvis den benyttede metode i princippet giver det rigtige resultat, er opgaven løst. Elevernes resultater her skal bedømmes ud fra deres resultat i spørgsmål (π gange kvadratet på halvdelen af resultatet fra ). Det beregnede resultat er 459,9 m. Elevernes egne skitser. Her er en skitse tegnet isometrisk, hvor loftet er tænkt fjernet. Der er i alt 16 forskellige diagonaler i klasseværelset, men der er kun 4 forskellige diagonallængder i lokalet. Der er 4 diagonaler på de korte vægge. Længden af hver af dem er 3,5 + 6 = 48,5 6,95 m. Der er 4 diagonaler på de lange vægge. Længden af hver af dem er 3,5 + 8 = 76,5 8,73 m. Der er 4 diagonaler på gulv og loft. Længden af hver af dem er = 100 = 10 m. Der er 4 rumdiagonaler. Længden af hver af dem er 3, = 11,5 10,59 m. emærk, at det ikke i opgaven forlanges, at eleverne bestemmer diagonalernes længder. Kun antallet af forskellige længder ønskes bestemt. D Den længste diagonal i klasselokalet er rumdiagonalen, som (punkt ) er 10,59 m lang. eregning af den længste diagonal i elevens eget klasselokale. 4

5 Opgave 13 Elevernes egne forklaringer. egge trekanter er retvinklede. To andre vinkler er topvinkler og derfor lige store. Da vinkelsummen i begge trekanter er 180, må også de to sidste vinkler være lige store. Trekanterne er altså ensvinklede og dermed ligedannede. Elevernes egne forklaringer. Floden er 3, = 18 m bred. Opgave 14 Vinkelsummen i en trekant er 180. Vinkelsummen i enhver femkant er 540. Da alle vinkler i en regulær polygon er lige store, er vinkelstørrelsen i en regulær femkant lig med = 108. Tegning af femkant. Eleven vil med stor sandsynlighed tegne en konveks femkant, dvs. en femkant hvor alle vinkler er mindre end 180. Femkanten kan da deles i fem trekanter, som har en fælles vinkelspids i det indre af femkanten. Femkantens vinkelsum kan så udregnes som minus summen af de indre trekantvinkler, dvs. minus 360. D Hvis eleven generaliserer tankegangen fra punkt D, vil de formentlig komme til formlen Vinkelsum(n) = n eller Vinkelsum(n) = (n ) 180 5

6 FIT SIDE UNDERSØGELSE: SMMENHÆNGEN MELLEM SPIDSE VINKLER OG KTETELÆNGDER I ENHEDSTREKNTER Det skema, der forventes udfyldt i DEL 1 og DEL, er her udfyldt via lommeregner med fire decimaler. Da eleverne aflæser deres resultater, kan man ikke forvente mere end decimalers nøjagtighed. Hosliggende katete Modstående katete 5 0,996 0, ,9848 0, ,9659 0, ,9397 0, ,9063 0, ,8660 0, ,819 0, ,7660 0, ,7071 0, ,648 0, ,5736 0, ,5000 0, ,46 0, ,340 0, ,588 0, ,1736 0, ,087 0,996 DEL 1 DEL Venstre spalte i skemaet herover. Elevernes egne beskrivelser. Længden af den hosliggende katete (siden b) bliver mindre, når bliver større. Højre spalte udfyldes. Længden af den modstående katete (siden a) bliver større, når bliver større. Hvis = 0, eller = 90, er der ingen trekant. Opgave 15 = 75. = 15. a = 0,

7 Opgave 16 Hosliggende katete b = 0,648. Modstående katete a = 0,7660. = 40. Opgave 17 Den hosliggende katete tilhører intervallet ]0,7660 ; 0,819[. Den modstående katete tilhører intervallet]0,5736 ; 0,648[. Opgave 18 tilhører intervallet ]55 ; 60 [ tilhører intervallet ]30 ; 35 [ Opgave 19 Ja, af skemaet kan man se, at for = 45 er de to kateter lige store. Når = 45, er også = 45. Når de to kateter er lige store, er trekanten ligebenet, og grundvinklerne er derfor lige store. Da der er 90 til overs til grundvinklerne, er de hver 90 : = 45. 7

8 FIT SIDE 6-63 UNDERSØGELSE: SINUS OG OSINUS I VILKÅRLIGE RETVINKLEDE TREKNTER DEL 1 Skalafaktoren fra den lille til den store trekant er. a 1 = 8, b 1 = 9. DEL I enhedstrekanten er siden sin() ensliggende med siden a i den store trekant. Tilsvarende er hypotenusen 1 ensliggende med hypotenusen c. Da forholdet mellem ensliggende sider er det samme, gælder altså sin () aa = 1 cc, hvoraf vi (ved multiplikation med a) som ønsket får sin() = aa cc Samme ræsonnement: cos() er ensliggende med b, hypotenusen 1 er ensliggende med c, altså får vi cos () = 1 bb cc cos() = bb cc Opgave 0 Resultaterne herunder angives med 4 decimaler. sin(5 ) = 0,46 cos(5 ) = 0,9063 sin(53 ) = 0,7986 cos(53 ) = 0,6018 sin(78 ) = 0,9781 cos(78 ) = 0,079 Tegning af enhedstrekant, aflæsning og sammenligning med lommeregnerværdier. Opgave 1 = 55, a = 4,59, b = 6,55. = 5, a = 6,34, b = 13,59. = 45, a = 14, c = 19,80. D = 65, b =,33, c = 5,5. Opgave Stigen når 4,15 m op ad væggen. 8

9 Opgave 3 D Elevernes egne skitser. Går man 1 m op ad rampen, er man 34, cm over jorden. På det højeste punkt er rampen 6,84 m høj. er 18,79 m lang. E Stigningen er på 6, % = 36,4 %. 18,79 Opgave 4 I situationen til venstre er kiten 5 sin(75 ) + 1,30 = 5,45 m oppe. I situationen til højre er kiten 5 sin(65 ) + 1,30 = 3,96 m oppe. 9

10 FIT SIDE Opgave 5 Elevundersøgelse af, hvordan elevens lommeregner og andet digitalt udstyr finder vinkler, når sinus eller cosinus til vinklen er kendt. De søgte vinkler er: v = 47,00. v = 86,97. v = 1,00. D v = 37,00. E v = 19,00. F v = 83,00. Opgave 6 Undersøgelse med makkersamarbejde. Når sin(v) er tæt på 0, er også vinklens gradmål tæt på 0. Når sin(v) er tæt på 1, er vinklens gradmål tæt på 90. Når cos(v) er tæt på 0, er vinklens gradmål tæt på 90. Når cos(v) er tæt på 1, er vinklens gradmål tæt på 0. Opgave 7 Eleverne egne begrundelser og præsentationer for et andet makkerpar. = 63,61, = 6,39. = 65 8,06. Opgave 8 = 16,60, = 73,40. = 3 5 6,71. Opgave 9 = 53,13, = 36,87. = 0. 10

11 Opgave 30 Elevernes egne forklaringer. Ligningen løses ved at gange med 10 på begge sider af lighedstegnet. a = 10 tan(34 ) 6,75. UNDERSØGELSE: TNGENS DEL 1 DEL Elevernes egne tegninger. Elevernes egne forklaringer og aflæsninger. Sammenligning med lommeregnerværdi (tan(40 ) 0, ). Sammenligning af aflæsning og lommeregnerværdier af tan(15 ) 0,67949 tan(5 ) 0, tan(35 ) 0,70007 tan(45 ) 1 Elevernes egne undersøgelser. Når vinklen v nærmer sig 90, går tan(v) mod uendelig. Opgave 31 I den gule trekant er den røde katete lig med tan(74 ) 6,9748. I den grå trekant er den røde katete lig med 13 tan (58 ) 8,1. 11

12 FIT SIDE Opgave 3 Skema: Trekant 1 Trekant Trekant 3 Vinkel Vinkel Side a cm 5 cm 1,40 cm Side b cm 4,0 cm 3 cm Side c, 8888 cm 6,53 cm 3,31 cm Opgave 33 Elevernes egne skitser. emærk, at der er andre beregningsmuligheder end de, der er anvendt her. emærk også, at afrundinger undervejs fra DE til F kan give (små) udsving i resultaterne. DE: Skitse: E = 90 51,34 = 38,66. E = 4 tan(51,34 ) 5,00. D = 4 cos(51,34 ),50. E: Skitse: E = = 74 8,60. E = tan ,54. 7 E = 90 35,54 54,46. EF: Skitse: Her er det ikke nødvendigt med nye beregninger. Da tre af vinklerne i firkant EF er rette, er også den fjerde vinkel ( F) ret, så firkanten er et rektangel. Diagonalen E deler altså rektanglet i to kongruente trekanter, Vi får derfor af resultaterne fra E: EF = E = 35,54. EF = ED = 54,46. EF = = 7. F = E = 5,00. 1

13 F: Skitse: F = cos 1 5 = 30,95. 5,83 F = 90 30,95 = 59,05. F = 5,83 5 = 3,00. Opgave 34 Elevernes egne tegninger. Retvinklet trekant hvor siden b er 7 lang og tan() = 0,5 (dvs. den modstående katete er halvt så lang som den hosliggende). Vinklen bliver = 6,57. D Elevernes egne tegninger. Retvinklet trekant hvor tan( ) = 1, dvs. hvor = 6,57. Trekanten er altså ensvinklet med trekanten fra spørgsmål. Elevernes egne tegninger. Enhver retvinklet trekant vil være et rigtigt svar, for i enhver retvinklet trekant (med = 90 ) gælder, at cos() = sin(). Opgavens pointe er altså de generelt gyldige formler: sin(90 v) = cos(v) cos(90 v) = sin(v) Elevernes egne tegninger. En retvinklet trekant, hvor sin() = cos() er en ligebenet retvinklet trekant ( = = 45 ) Opgave 35 emærk, at der i opgaven primært spørges efter forklaringer på, hvorfor bestemte sammenhænge gælder, og hvordan bestemte længder kan beregnes. Der spørges ikke efter konkrete resultater men det er selvfølgelig fristende også at efterspørge (og udregne) dem. De er derfor også angivet her, men er altså ikke de egentlige facits. Elevernes egne forklaringer. Tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant (her = 5 ) er længden af vinklens modstående katete (her ) divideret med længden af dens hosliggende katete (10). ltså gælder tan(5 ) =. 10 Elevernes egne forklaringer. f ligningen fås (ved multiplikation med 10 på begge sider af lighedstegnet), at = 10 tan(5 ) ( 4,66) Elevernes egne forklaringer. osinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er den hosliggende katete divideret med hypotenusen. I dette tilfælde er vinklen kendt (5 ) og den hosliggende katete er kendt (10). Vi kan derfor opstille ligningen: cos(5 ) = 10 Heraf kan beregnes. ( = 10 11,03). cos (5 ) 13

14 Opgave 36 Første trekant: a = 8,9 cos(7 ) 7,93. b = 8,9 sin(7 ) 4,04. = 90 7 = 63. nden trekant: c = ,45. = tan , = 90 41,99 48,01. Opgave 37 Opgave 38 Rutsjebanen er 39,5 tan(30 ) =,81 m høj. Rutsjebanen er Skitser: 39,5 cos (30 ) = 45,61 m lang. ygning ygning ygning Opgave 39 Højden af de tre bygninger er ygning : 53,35 sin(0,4 ) = 18,60 m. ygning : 61,75 sin(13,7 ) = 14,63 m. ygning : 78,63 sin(17,5 ) = 3,64 m. ygning er således den højeste bygning. Vilmas afstand til de tre bygninger: ygning : 53,35 cos(0,4 ) = 50,00 m. ygning : 61,75 cos(13,7 ) = 60,00 m. ygning : 78,63 cos(17,5 ) = 75,00 m. Huset er tan(35 ) 7,0 m højt. Linjestykket er hypotenuse i den retvinklede trekant ( = 90 ), hvor kateterne er (7, m lang) og (6 m lang). Vi får da: = 7, + 6 = 87,84 9,37 m. 14

15 FIT SIDE UNDERSØGELSE: TRIGONOMETRI OG TREKNTSREL DEL 1 DEL h = a sin() = 1 aa bb sin () I denne udformning går formlen i folkemunde under navnet en halv appelsin. = 1 bb cc sin () = 1 aa cc sin () Opgave 40 real = 1,8 4,7 sin (5,3 ) 5,1. Opgave 41 Første trekant: = sin (47 ) 6,58. nden trekant: = sin (75 ) 15,45. Tredje trekant: = sin (36,34 ) 5,33 Opgave 4 Da arealet af trekant er 14 har vi 14 = bb sin (30 ). Heraf fås bb = = 7. 8 sin (30 ) Opgave 43 Da 9,368 = sin() får vi: = sin 1 9,368 = 4, Opgave 44 Elevernes egne forklaringer. I trekant D kan beregnes vha. invers tangens. Derefter kan beregnes vha. vinkelrelationen. = tan ,81. 1 = 180 ( ,81 ) = 80,19. Elevernes egne forklaringer. Længden af linjestykket kan beregnes i trekant D vha. sinusfunktionen. 10 D = 11,55. sin (60 ) 10 = 15,6. sin (39,81 ) 10 = ,77. tan (60 ) E real = ,77 = 88,85. 15

16 Opgave 45 Elevernes egne skitser. = 70 (Grundvinklerne i en ligebenet trekant er lige store) = = 40 real = sin (40 ) 15,75. Opgave 46 Topvinklen v er 360 : 5 = 7. real = 5 trekantsareal = sin (7 ) 59,44. real af 1-kant = sin 360 = D real af regulær n-kant indskrevet i en cirkel med radius r: = 1 nnrr sin 360 nn Opgave 47 D Elevernes egne forklaringer. Trekant kan deles i to kongruente retvinklede trekanter ved at tegne højden fra. Elevernes egne forklaringer. Korden er dobbelt så lang som kateten H i en af de retvinklede trekanter. Denne katete kan beregnes i fx trekant H vha. sinusfunktionen. = H = 60 sin(70 ) 11,76 cm. Elevernes egne forklaringer. ordpladens areal kan findes som summen af cirkeludsnittet (centervinkel 0 ) plus arealet af den ligebenede trekant. E ordpladens areal er ca. 8068,5 cm. Forklaring: realet af cirkeludsnittet er π ,50 cm. For at finde arealet af trekant er det fristende at bruge formlen = 1 aaaa sin(). Gør eleverne det via fx vha. deres lommeregner, vil de også få det rigtige resultat ( sin(140 ) 1157,0 cm ). Men en tænksom elev vil undre sig over, at man kan finde sinus til 140, når nu de funktioner udelukkende (i hans/hendes begrebsverden) er knyttet til spidse vinkler. Vil man undgå at komme ind på forklaringer om udvidelse af definitionsområdet for de trigonometriske funktioner, må man altså bestemme trekantarealet på anden vis. Herons formel er en mulighed alle tre sidelængder er kendt. 16

17 En halv højde gange grundlinje er også en mulighed, men kræver udregning af højden i trekant. Det kræver trigonometri, så derfor vil det være passende at gå den vej. f figuren i punkt kan man se, at cos(70 ) = h 60. Heraf kan man finde h = 60 cos(70 ). Da vi ved (punkt ), at grundlinjen er 60 sin(70 ) bliver trekantsarealet: = 1 60 cos(70 ) 60 sin(70 ) 1157,0 cm. Det samlede areal er da 6911, ,0 = 8068,5. 17

18 FIT SIDE TEM: HVORDN FINDER VI HØJDEN, LÆNGDEN OG RELET? Der vil være mange svarmuligheder på de spørgsmål, der rejses i kortene. Den eller de metoder, der beskrives herunder, er næppe de eneste muligheder. 1.1 Den klassiske metode her er at måle afstanden a til genstanden fra et valgt punkt P på jordoverfladen og at måle vinklen v mellem sigtelinjen fra P til genstandens top og vandret. Derefter kan højden h beregnes af tan(vv) = h til h = a tan(v). aa emærkninger. Figur 1 1. Den afstand, der skal måles, skal være afstanden fra det valgte punkt til tårntoppens projektion på jordoverfladen. Eiffeltårnets base er et kvadrat (se figur ), så toppens projektion på jorden er diagonalernes skæringspunkt i dette kvadrat. Overvejelser over dette bør høre med til besvarelsen.. Sædvanligvis i denne slags opgaver forestiller vi os, at det er muligt at måle vinklen v som skitseret på figur 1. For teodolitter, der virker ved, at man sigter mod et punkt, er det imidlertid ikke muligt at måle vinklen mellem sigtelinjen og jordoverfladen. Situationen vil i stedet se som på figur 3. Figur Den vinkel v 1, der derved måles, er mindre end vinklen v på figur 1. Om det i praksis giver anledning til en væsentlig fejl på højdemålingen, er imidlertid tvivlsomt. Måske en ekstraopgave for særligt interesserede elever? eregningen af højden h ændres så til h = h 1 + a tan(v 1). Figur 3 18

19 1. Vi ser først på figuren, sådan som den fremtræder på arket. Metode 1. Følgende metode anvender længde- og vinkelmåling men ikke trigonometri. Vi kalder punktet med flagstangen for og punktet med træet for. Man stiller sig i et punkt i terrænet, hvorfra man dels kan komme til at måle vinkel og dels kan komme til at måle afstandene og. Hvis vinkel er større end 90, bevæger man sig længere væk fra linjen, hvis vinkel er mindre end 90, bevæger man sig tættere på linjen. På den måde bestemmer man et punkt, hvor vinkel er 90. Trekant er nu retvinklet, man kan måle længden af de to kateter og bruge Pythagoras til at beregne hypotenusen, der netop er afstanden mellem flagstangen () og træet (). Metode. Metode 1 virker på den aktuelle situation, men hvis søens udstrækning i retningen vinkelret på er tilstrækkelig stor, findes der ikke et punkt, hvor er ret, og det er muligt at måle afstandene og. Et eksempel på en sådan situation er vist på figur 5. Hvad gør man så? Her er en mulig fremgangsmåde. Figur 4 Vi søger. Vi placerer punktet, så og går over land (dvs. kan måles), og så =, og vi måler vinklen v mellem og. Nu er trekant ligebenet, så højden fra toppunktet er også vinkelhalveringslinje for vinkel og midtnormal for siden. Trekant H er derfor retvinklet med H = 1 og med en kendt vinkel H = 1 vv og en kendt side. Figur 5 I denne trekant gælder sin 1 vv = 1 Heraf kan vi isolere den søgte afstand : = sin 1 vv. Figur 6 19

20 1.3 Eleverne kan overveje hvilke mål, der fastlægger størrelsen (arealet) af den regulære ottekant. Det kan fx være radius r i den omskrevne cirkel eller sidelængden s i ottekanten. Radius r måles. Radius r er den halve diameter d, men hverken radius eller diameter kan måles direkte, fordi rytterstatuen i pladsens centrum står i vejen. Man kan imidlertid benytte samme trick som i 1. metode 1 til at skabe en retvinklet trekant med d som hypotenuse, hvor kateterne kan måles og d (og dermed r) derefter kan udregnes ved hjælp af Pythagoras. Herunder er vist to mulige retvinklede trekanter. De to viste rette vinkler er periferivinkler i den omskrevne cirkel. De spænder begge over en diameter og er derfor rette. Når r er bestemt, er der (mindst) to muligheder for at komme videre. Mulighed 1. Når radius i den omskrevne cirkel er kendt, kan eleverne bruge den formel, de har udviklet i opgave 46: realet af en regulær n-kant indskrevet i en cirkel med radius r er = 1 nnrr sin 360. nn I dette tilfælde, hvor n = 8 får man altså = 1 8 rr sin = 4rr sin(45 ). Mulighed. Denne metode kræver også måling af sidelængden s. Eleverne ved, at en regulær ottekant kan inddeles i otte kongruente, ligebenede trekanter. De kan beregne trekanternes topvinkel (360 :8 = 45 ) og dermed de lige store grundvinkler (( ): = 67,5 ), og de kan danne den retvinklede trekant som vist i figuren her. Nu kan r beregnes. I gælder cos() = rr = ss cos (67,5 ). ss rr, dvs. Sidelængden s måles. Hvis vi nøjes med at måle sidelængden s kan vi igen betragte fra figuren. I den er alle vinkler og en side kendt. Så kan vi beregne hypotenusen (r) og derefter beregne arealet med 8 gange en halv appelsin ( 1 hypotenuse hypotenuse sin(45 )), dvs. igen bruge den formel, de har udviklet i spørgsmål D i opgave 46. 0

21 EVLUERING DEL 1 DEL Elevaktiviteter. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. DEL 3 Der må påregnes lidt tegne- og måleusikkerhed, som kan bevirke, at elevernes resultater afviger fra resultaterne her. De resultater, der angives her, er de rigtige med det antal decimaler, der er vist. s hosliggende katete er 0,648. s modstående katete er 0,7660. = 45,57. D = 44,43 DEL 4 v = 15,30. v = 75,13. c = 13. D sin() = ,3846 =,6. = 67,38. E a = c sin() = 7 sin(35 ) = 4,0. = c cos() = 7 cos(35 ) = 5,73. DEL 5 v = 18,14. v = 89,77. = 1 5,4 7, sin (6,48 ) = 17,4. D f formlen for arealet : = 1 aaaa sin () fås sin() = = 1 = 1 aaaa 8 6 hvoraf vi får = 30. DEL 6 Elevernes egne forklaringer og skitser. Elevernes egne forklaringer og skitser. Det kunne fx være noget i denne retning, hvor afstanden a så kan beregnes til aa = 1 tan (vv) 1

22 FIT SIDE 7-73 TRÆN 1 - FÆRDIGHEDER Opgave 1 v = 7,09 v = 80,97 v = 8,11 Opgave v = 8,91 v = 9,03 v = 61,89 Opgave 3 v = 13,70 v = 50,99 v = 84,9 Opgave 4 = 48,5. = 41,75. Opgave 5 = 36,87. = 53,13. c = 6,5. Opgave 6 a = 3,88. b = 7,49. Opgave 7 b = 8,6. c = 9,4.

23 Opgave 8 Trekantens areal er 11,16. Opgave 9 = 3,50. Opgave 10 realet af trekanten til venstre er = 0,5 5 6 sin(65 ) 13,59. realet af trekanten til højre er = 0,5 10 7,5 sin(85 ) 37,36. Opgave 11 Møllen er 107,4 m høj. Fra punktet på jorden til møllens top er der 146,63 m. 3

24 TRÆN - FÆRDIGHEDER Facits til opgave 1, og 3 er angivet med decimaler, men de angivne vinkelmål er faktisk eksakte. Opgave 1 v = 30,00 v = 45,00 v = 60,00 Opgave v = 60,00 v = 45,00 v = 30,00 Opgave 3 v = 30,00 v = 45,00 v = 60,00 Opgave 4 c = 7,1. = 53,6 = 36,38 Opgave 5 c = 19,37. = 6,6 = 7,38 Opgave 6 = 37,66 = 5,34 a = 7,33. Opgave 7 a = 15,9 c = 1,6 4

25 Opgave 8 a = 14,1 b = 18,7 Opgave 9 real =,9. Opgave 10 c = 7,9. Opgave 11 Korden til venstre kan findes (uden at beregne) ved følgende ræsonnement: Da trekanten er ligebenet, er grundvinklerne lige store. De er derfor ( ): = 60. Da alle vinkler således er 60, er trekanten ikke bare ligebenet, men ligesidet. Korden er derfor 5 cm lang. Korden til højre kan beregnes ved at tegne højden fra den ligebenede trekants toppunkt. Da højden fra toppunktet også er midtnormal og vinkelhalveringslinje, kan man bruge den retvinklede trekant, der derved fremkommer. Her er siden lig med 5 sin(40 ), og den er også lig med den halve korde. Vi får derfor: k = 5 sin(40 ) 6,43 cm. Opgave 1 Det stykke, der er knækket af, er lig med hypotenusen h i den oplagte retvinklede trekant, og bliver h = 15 17,3 m. cos (30 ) Længden af resten af stammen er lig med 17,3 15 8,66 m. Før det knækkede var træet derfor 17,3 + 8,66 = 5,98 m højt. 5

26 FIT SIDE TRÆN 1 - PROLEMLØSNING Opgave 1 c = 17. = tan 1 15 = 61,93. 8 = 90 61,93 = 8,07. Opgave = = 55. a = 6 sin(35 ) = 3,44. b = 6 cos(35 ) = 4,91. Opgave 3 = sin 1 3 = 36,87. 5 = 90 = 53,13. = cos 1 7 = 45, = 90 = 44,43. = tan 1 3 = 30,96. 5 = 90 = 59,04. Opgave 4 Der er flere mulige veje til resultaterne i denne opgave. Her vises kun én. aa b = = 5,46 = 1,70. tan () tan (3,19 ) c = aa = 5,46 sin () sin (3,19 ) = 13,81. b = a tan() = 34,7 tan(5,17 ) = 44,13. aa c = = 34,7 = 55,88. cos () cos (5,17 ) a = c cos() = 17,38 cos(37,6 ) = 13,83. b = c sin() = 17,38 sin(37,6 ) = 10,5. 6

27 Opgave 5 Trekantens grundvinkler ( og på skitsen) er lige store, da trekanten er ligebenet. Højden h fra toppunktet er også midtnormal, så H = 1: = 6. Vi får da: = = tan 1 9 = 56,31. 6 f vinkelrelationen fås derfor = ,31 = 67,38. Opgave 6 real = 1 bb cc sin() = 1 1,4 8,3 sin(47,36 ) = 37,86 cm. Her søger vi løsning til ligningen 1 cc = 1,4 cc sin(47,36 ) = , sin (47,36 ) = 10,96 cm. Opgave 7 cos() = bb cc ; sin()= aa cc ; tan () = aa bb Vi kan vise det ønskede på to måder. 1: Vi starter med det, vi skal gøre rede for (tan() = sin () cos () ), og viser derefter ved omskrivninger, at det er det samme som noget, vi ved er sandt (tan() = aa ): bb aa sin () tan() = cos () = cc = aa bb cc : bb cc = aa cc cc bb = aa bb cc : Vi starter med det, vi ved, er sandt (tan() = aa ) og omskriver til det, vi skal gøre rede for bb (tan() = sin () cos () ) tan() = aa bb = aa:cc bb:cc røken forkortes med c. = aa cc bb cc Divisionerne skrives som brøker. = sin () cos () Pr. definition af sin og cos i punkt. 7

28 Opgave 8 Den centrale figur for løsningen er den retvinklede trekant på figuren. Med måleenheden 1 m er der tale om en enhedstrekant. edets højde over den øvrige have er trekantsiden a: a = sin(50 ) = 0,7660 m = 76,6 cm. Den vandrette afstand svarer til siden b: b = cos(50 ) = 0,648 m = 64,3 cm. Opgave 9 Skråningen er et tresidet prisme med trekant som grundflade og højden 3,5 m. Den har rumfanget 0,5 0,7660 0,648 3,5 = 0,86 m 3. Elevernes egne skitser. Længden D kan i D beregnes ved hjælp af tangensfunktionen: tan() = D D = tan() = 5 tan(38 ) = 3,91. D kan i D beregnes ved hjælp af Pythagoras eller sin(38 ) eller cos(38 ). Uanset metode får man D = 6,35. D realet af D bliver 1 5 3,91 = 9,78. realet af firkanten bliver derfor 9,78 +,0 = 31,98. E D i D kan bestemmes ved vinkelrelationen: D = = 5. I D kan D (= D) bestemmes ved hjælp af arealformlen: real(d) = 1 D D sin (D) sin(d) = real(d) =,0 = 0, D D 6,35 7 Heraf fås D = 87,8. Ved brug af vinkelrelationen i D fås så D = 180 ( ,8 ) = 49,7. I firkanten gælder derfor: = ,7 = 87,. D = ,8 = 139,8. 8

29 TRÆN - PROLEMLØSNING Opgave 1 = sin 1 3 = 48,59 ; 4 = 90 = 41,41. = cos 1 7 = 54,31 ; 1 = 90 = 35,69. = tan 1 4 = 3,96 ; 9 = 90 = 66,04. Opgave bb = aa = 4,7 = 7,35. tan () tan (3,58 ) cc = aa = 4,7 = 8,73. sin () sin (3,58 ) a = b tan() = 1,9 tan(54,7) = 18,3 cc = bb = 1,9 =,33. cos () cos (54,7 ) a = c sin() = 3,78 sin(17,73 ) = 7,4. b = c cos() = 3,78 cos(17,73 ) =,65. Opgave 3 Med denne opgave er der mulighed for at opfriske den omvendte Pythagoræiske læresætning, som eleverne har mødt i MULTI 8. Den pythagoræiske læresætning siger: Hvis en trekant er retvinklet, vil summen af kvadraterne på de to korteste sider i trekanten være lig med kvadratet på trekantens længste side. Her går vi altså fra en viden om, at trekanten er retvinklet til en viden om en bestemt relation mellem siderne. Den omvendte pythagoræiske læresætning siger: Hvis summen af kvadraterne på de to korteste sider i en trekant er lig med kvadratet på trekantens længste side, så er trekanten er retvinklet, og den rette vinkel ligger over for den længste side. Her er præmisserne, at der findes en bestemt relation mellem siderne, og konklusionen er, at trekanten er retvinklet. Sætningen kan således bruges til at undersøge, om en trekant er retvinklet, når man kender dens sidelængder De to korteste sidelængder er 30 og 16, den længste er 34. Da = = 1156 = 34 kan vi slutte, at er retvinklet med som den rette vinkel. Der gælder fx = cos 1 16 = 61,9 og dermed = 90 61,9 = 8,

30 Opgave 4 Da trekanten er retvinklet, kan vi bruge Pythagoras til at opstille en ligning: (x 4) + 8 = x Ved at regne på ligningen fra får vi: x = x 8x = 80 x = 10 Hypotenusen er altså 10 cm, og den sidste katete er 6 cm. D Opgave 5 Den ene spidse vinkel er cos 1 6 = 53,13, og den anden er derfor ,13 = 36,87. Fra arealformlen real = 1 real aa bb sin () kan vi isolere sin(): sin() = aa bb Vi får da = sin 1 8,34 = 5,79. 5,7 1,5 Opgave 6 cos() = bb cc sin() = aa cc cos () + sin () = bb cc + aa cc = aa +bb cc Da er retvinklet med = 90, gælder a + b = c. Indføres dette i får vi cos () + sin () = cc cc = 1, som ønsket. Der gælder altså for enhver vinkel v, at cos (v) + sin (v) = 1. Dette kaldes grundrelationen mellem cosinus og sinus. Opgave 7 Mindste højde: h min = + 3 tan(15 ) =,80 m. Største højde: h max = + 3 tan(45 ) = 5,00 m. Opgave 8 Summen af vinklerne og er 3,6 + 66,4 = 90. Da vinkelsummen i trekanten er 180, er der altså netop 90 til overs til, så trekanten er retvinklet. fstanden kan fx beregnes således: = 7 sin(3,6 ) = 8,83 km. fstanden kan tilsvarende beregnes til = 7 sin(66,4) = 65,98 km. 30

31 D fstanden fra skibet til kysten svarer til højden h på hypotenusen i. Den kan fx beregnes ved at finde trekantens areal på to forskellige måder med den sædvanlige arealformel (T = 1 hgg). T = 1 = 1 8,83 65,98 = 951,10 T = 1 h = 1 h 7 = 36h Vi har derfor 36h = 951,10 h = 6,4. Skibet er altså 6,4 km fra kysten. 31

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

OM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I

OM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I PLNGEOMETRI OM KPITLET I dette kapitel om plangeometri skal eleverne arbejde med trekanter og deres egenskaber. Eleverne skal kunne anvende deres viden om trekanter til at beregne afstande, som de ikke

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Elevark Niveau 2 - Side 1

Elevark Niveau 2 - Side 1 Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

OM KAPITLET DIGITALE VÆRKTØJER. egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse

OM KAPITLET DIGITALE VÆRKTØJER. egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse OM KPITLET I dette kapitel om digitale værktøjer skal eleverne arbejde med anvendelse og vurdering af forskellige digitale værktøjer, som kan bruges til at løse opgaver og matematiske problemstillinger.

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Matematik. Meteriske system

Matematik. Meteriske system Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122

Læs mere

ELEVFORUDSÆTNINGER OM KAPITLET PLANGEOMETRI

ELEVFORUDSÆTNINGER OM KAPITLET PLANGEOMETRI OM KAPITLET I dette kapitel om plangeometri arbejder eleverne med forskellige egenskaber ved plane figurer. I den første del af kapitlet arbejder eleverne med at finde areal af rektangler, parallelogrammer,

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b. Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Færdigheds- og vidensområder

Færdigheds- og vidensområder Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

OM KAPITLET FLYTNINGER OG MØNSTRE. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I

OM KAPITLET FLYTNINGER OG MØNSTRE. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I OM KPITLET I dette kapitel om flytninger og mønstre skal eleverne undersøge forskellige egenskaber og sammenhænge ved flytningerne: spejling, drejning og parallelforskydning. Eleverne skal tillige analysere

Læs mere

Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning

Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i

Læs mere

Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning

Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

F-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade

F-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i

Læs mere

Foreløbig lærervejledning. Version juni 2017

Foreløbig lærervejledning. Version juni 2017 Foreløbig lærervejledning Version juni 2017 Kontext 9 Kapitel 1 Foreløbig lærervejledning juni 2017 Om Afstande og vinkler Kernebogen side 4-23 Fælles Mål Geometriske egenskaber og sammenhænge/fase 3 Måling/Fase

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Trekanter: kende navne for sider og vinkelspidser i trekanter, kunne konstruere bestemte trekanter ud fra givne betingelser

Læs mere

Om ensvinklede og ligedannede trekanter

Om ensvinklede og ligedannede trekanter Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Den pythagoræiske læresætning

Den pythagoræiske læresætning Den pythagoræiske læresætning 1. Udfyld skemaet herunder dvs. find den manglende hypotenuse ved a 2 + b 2 = c 2 : 1 20 21 2 12 35 3 28 45 4 56 33 5 119 120 6 168 95 7 52 165 8 207 224 9 315 572 10 627

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Plangeometri FORHÅNDSVIDEN. I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan.

Plangeometri FORHÅNDSVIDEN. I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan. Plangeometri I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan. I den første del af kapitlet skal du arbejde med trekanter, hvor du skal

Læs mere

GEOMETRISK TEGNING. to- og tredimensionale figurer. Eleverne har i MULTI på mellemtrinnet arbejdet med:

GEOMETRISK TEGNING. to- og tredimensionale figurer. Eleverne har i MULTI på mellemtrinnet arbejdet med: OM KPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne undersøge og gengive to- og tredimensionale figurer fra omverdenen. Eleverne skal, med og uden digitale værktøjer, tegne,

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler Tegning Arbejds og isometrisk Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektiv Kassens højde Bundens bredde dybde Hullets diameter Afstand mellem hul og bund Højde over jorden Musvit 30 10

Læs mere

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2 Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

På opdagelse i GeoGebra

På opdagelse i GeoGebra På opdagelse i GeoGebra Trekanter: 1. Start med at åbne programmet på din computer. Du skal sørge for at gitteret i koordinatsystem er sat til. Dette gør vi ved at trykke på Vis oppe i venstre hjørne og

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

A U E R B A C H. c h A H

A U E R B A C H. c h A H M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere