Implicit givne og inverse funktioner
|
|
- Ulrik Henningsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen april Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden. Specielt ved vi, at hvis vi har flere ubekendte end ligninger, vil visse at disse ubekendte variable kunne betragtes som frie, og de øvrige kan udtrykkes ved de frie variable. Vi skal nu se, hvordan man i en vis meget begrænset udstrækning kan generalisere dette billede til et generelt ikke-lineært ligningssystem. Vi skal betragte m ligninger i m ` n variable. Lad m funktioner f 1, f 2,..., f m : R m`n Ñ R være givet, og antag, at er en løsning til ligningerne pb 1, b 2,..., b m, a 1, a 2,..., a n q P R m`n f 1 py 1, y 2,..., y m, x 1, x 2,..., x n q 0, f 2 py 1, y 2,..., y m, x 1, x 2,..., x n q 0, f 3 py 1, y 2,..., y m, x 1, x 2,..., x n q 0, f m py 1, y 2,..., y m, x 1, x 2,..., x n q 0,. Under hvilke omstændigheder kan vi finde funktioner h 1, h 2,..., h m af de n variable x 1, x 2,..., x n således at h i pa 1, a 2,..., a n q b i og f i ph 1 px 1,..., x n q, h 2 px 1,..., x n q,..., h m px 1,..., x n q, x 1, x 2,..., x n q 0 for alle i 1, 2,..., m, og for alle px 1, x 2,..., x n q i en omegn af pa 1, a 2,..., a n q? Vi har jo m ligninger, og hvis vi betragter x i erne som kendte, kan vi jo have begrundet håb om, ved hjælp af ligningerne at kunne fastlægge de sidste m variable som kontinuerte funktioner af x 1, x 2,..., x n. En mere komprimeret måde at formulere dette spørgsmål på er følgende: Givet en funktion F : R m`n Ñ R m og vektorer a P R n og b P R m, som opfylder at F pb, aq 0 hvornår kan man finde en kontinuert funktion h, defineret i en lille kugle omkring a, således at hpaq b, og F phpxq, xq 0 for alle x i denne lille kugle? Det er præcist denne situation den generelle version af sætningen om implicit givne funktioner udtaler sig om. 1 Disse noter er en nødtørftig bearbejdning af et uddrag af 3. version af noterne Supplement til Matematik 1GB fra 2002 af Jan Philip Solovej, skrevet til brug på kurset Matematik 1 Grundkursus B ved Københavns Universitet som et supplement til bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe Thue Poulsen. Tak til Jan Philip Solovej for tilladelse til at bruge materialet. Ansvaret for materialet i disse noter ligger dog udelukkende hos undertegnede. 1
2 Sætning 1 (Implicit givne funktioner generel version). Lad U Ď R m`n være en åben mængde og F : U Ñ R m være en kontinuert differentiabel funktion med koordinatfunktionerne F py, xq pf 1 py, xq, F 2 py, xq,..., F m py, xqq, x P R n, y P R m. Antag at a P R n, b P R m opfylder pb, aq P U, F pb, aq 0 og at determinanten BF 1 BF 1 BF 1 BF 1 By 1 By 2 By 3 By m BF 2 BF 2 BF 2 BF 2 By 1 By 2 By 3 By m BF m BF m BF m BF m ˇ By 1 By 2 By 3 By ˇ m Så findes en åben kugle, B δ1 paq Ď R n med radius δ 1 ą 0 og centrum i a og en åben kugle, B δ2 pbq Ď R m med radius δ 2 ą 0 og centrum i b samt en kontinuert differentiabel funktion H : B δ1 paq Ñ B δ2 pbq, så vi for alle x P B δ1 paq har Specielt er Hpaq b. y P B δ2 pbq, F py, xq 0 ô y Hpxq. Vi skal ikke give beviset for denne sætning her. Fra lineær algebra vides at kravet i sætningen om, at determinanten af BF 1 BF 1 BF 1 BF 1 By 1 By 2 By 3 By m BF 2 BF 2 BF 2 BF 2 By 1 By 2 By 3 By m BF m BF m BF m BF m By 1 By 2 By 3 By m skal være forskellig fra 0, er ækvivalent med at forlange, at denne m ˆ m-matrix er invertibel. Vi overlader det til læseren at overbevise sig om, at det i tilfældet, hvor F er en lineær funktion, præcis betyder, at x 1,..., x n er frie variable og y 1,..., y m er ledende variable i ligningssystemet F py 1,..., y m, x 1,..., x n q 0. Sætning 2 (Tilfældet m 1 og implicit differentiation). Lad U Ď R 1`n være en åben mængde og lad f : U Ñ R være en kontinuert differentiabel funktion som vi skriver py, x 1,..., x n q ÞÑ fpy, x 1,..., x n q. Antag at pb, a 1,..., a n q P U, fpb, a 1,..., a n q 0 og at den partielt afledte B By fpb, a 1,..., a n q 0. Da findes en åben kugle, B δ1 paq Ď R n med radius δ 1 ą 0 omkring a og et åbent interval, pb δ 2, b`δ 2 q af længde 2δ 2 ą 0 med centrum i b samt en kontinuert differentiabel funktion h: B δ1 paq Ñ pb δ 2, b`δ 2 q, så vi for alle px 1,..., x n q P B δ1 paq har y P pb δ 2, b ` δ 2 q, fpy, x 1,..., x n q 0 ô y hpx 1,..., x n q. 2
3 Specielt er hpa 1,..., a n q b. Desuden gælder for px 1,..., x n q P B δ1 paq, at Bh px 1,..., x n q Bf phpx 1,..., x n q, x 1,..., x n q Bf By phpx 1,..., x n q, x 1,..., x n q. (1) Bevis. Eksistensen af h følger fra Sætning 1. Vi mangler blot at vise (1). Hvis vi benytter at fphpx 1,..., x n q, x 1,..., x n q 0 for alle px 1,..., x n q P B δ1 paq får vi fra Kædereglen 2, at 0 B fpx 1,..., x n, hpx 1,..., x n qq Bf px 1,..., x n, h px 1,..., x n qq ` Bf By px 1,..., x n, hpx 1,..., x n qq Bh px 1,..., x n q. Ligning (1) følger ved at løse for Bh ovenfor. Bemærk, at man kan antage, at kuglen B δ1 paq er valgt så nævneren i (1) ikke er 0. Det er fordi nævneren er kontinuert, da f er kontinuert differentiabel og h er kontinuert, og nævneren per antagelse ikke er 0, når px 1,..., x n q pa 1,..., a n q. Bemærk at man kan benytte (1) til at bestemme Bh pa 1,..., a n q da man ved, at hpa 1,..., a n q b. Man finder altså de partielt afledte af h, selvom man faktisk ikke kender funktionen fuldstændigt nær a. Man taler derfor om implicit differentiation. Man benytter ofte en notation, hvor man udelader h og skriver y ypx 1,..., x n q. Beviset for implicit differentiation følger da fra den mere kompakte udregning 0 B pfpy, x 1,..., x n qq Bf py, x 1,..., x n q ` Bf By py, x 1,..., x n q By. Bemærkning 3 (Niveaukurver/flader er kurver/flader). Lad a P L c pfq Ď R n være et punkt på en niveaumængde for en kontinuert differentiabel funktion f af n variable, hvor fpaq 0. Da vil mindst en af de partielt afledte B fpaq, j 1,..., n være forskellig fra nul. Vi kan for nemheds B skyld antage, at Bx n fpaq 0. Det følger da fra Sætning 2 om implicit givne funktioner, brugt på funktionen x ÞÑ fpxq c, at der findes δ 1, δ 2 ą 0 og en kontinuert differentiabel funktion h: B δ1 pa 1,..., a n 1 q Ñ pa n δ 2, a n ` δ 2 q, så der for alle px 1,..., x n 1 q P B δ1 pa 1,..., a n 1 q gælder, at x n P pa n δ 2, a n ` δ 2 q, fpx 1,..., x n 1, x n q c ô x n hpx 1,..., x n 1 q. (Bemærk at vi før kaldte a n for b.) Denne påstand siger simpelthen, at mængden B δ1 pa 1,..., a n 1 q ˆ pa n δ 2, a n ` δ 2 q č L c pfq er grafen for funktionen h. I tilfældet n 2 ved vi, at denne graf er en kurve og i tilfældet n 3, at den er en flade. 2 Se Funktioner af en og flere variable Sætning
4 Eksempel 4. Lad F py, xq sinpxyq y. Da x π{2 og y 1 løser ligningen sinpxyq y 0 har vi at F p1, π{2q 0. Desuden er BF py, xq cos pxyq x 1, By så BF p1, π{2q 1 0. Vi kan derfor bruge Sætning 2 til at konkludere, at der findes et ε ą 0 og By en kontinuert differentiabel funktion h: pπ{2 ε, π{2 ` εq Ñ R som opfylder at hpπ{2q 1 og Desuden vil sinpxhpxqq hpxq, x P pπ{2 ε, π{2 ` εq. h 1 pxq BF Bx BF By phpxq, xq cos pxhpxqq hpxq phpxq, xq cos pxhpxqq x 1. Da hpπ{2q 1 har vi at h 1 pπ{2q 0. Da h er kontinuert differentiabel ser vi fra udtrykket for h 1 pxq, at h 1 også er kontinuert differentiabel i nærheden af π{2 (sålænge cos pxhpxqq x 1 0). D.v.s. at h er to gange kontinuert differentiabel. Vi kan beregne h 2 pxq h1 pxq psin pxh pxqq h pxq x ` cos 2 pxh pxqq x cos pxh pxqqq pcos pxh pxqq x 1q 2 sin pxh pxqq h pxq2 cos 2 pxh pxqq h pxq pcos pxh pxqq x 1q 2. Hvis vi benytter hpπ{2q 1 og h 1 pπ{2q 0 finder vi h 2 pπ{2q 1. På samme måde kan man se, at h er vilkårligt ofte kontinuert differentiabel i nærheden af π{2 og man kan beregne alle de højere afledte af h i π{2. 2 Inverse funktioner Det er velkendt, 3 at hvis en funktion f af en variabel har en invers eller omvendt funktion g f 1 og f er differentiabel i a og g er differentiabel i fpaq, da vil g 1 pfpaqq 1 f 1 paq. (2) Vi skal nu benytte Sætning 1 om implicit givne funktioner til at vise et endda mere generelt resultat for funktioner af flere variable. Sætning 5 (Sætningen om inverse funktioner). Lad F : U Ñ R n være en kontinuert differentiabel funktion defineret på en åben mængde U Ď R n. Antag at der i punktet a P U gælder, at 3 Se Afsnit 7.2 i Funktioner af en og flere variable. det DF paq 0, (3) 4
5 altså, at Jacobi-matricen 4 i a er invertibel. Der findes da δ 1, δ 2 ą 0 og en kontinuert differentiabel funktion så der for alle y P B δ1 pf paqq gælder G: B δ1 pf paqq Ñ B δ2 paq, x P B δ2 paq, y F pxq ô x Gpyq. (4) Man udtrykker dette ved, at F i nærheden af a har en invers G defineret nær F paq. Desuden gælder, at Jacobi-matricen DGpF paqq er givet ved DGpF paqq DF paq 1. (5) Bemærk at i tilfældet af en variabel reducerer denne relation simpelthen til (2). Bevis. Vi definerer funktionen F: U ˆ R n Ñ R n ved Fpx, yq F pxq y. Mængden af punkter px, yq, hvor y F pxq kan udtrykkes som Fpx, yq 0. Vi vil benytte Sætning 1 på funktionen F. Da vi ønsker at udtrykke x som funktion af y, spiller x og y de omvendte roller her sammenlignet med Sætning 1. Vi bemærker, at antagelsen (3) svarer til antagelsen om, at determinanten er forskellig fra 0 i Sætning 1. Eksistensen af G er da en direkte konsekvens af denne sætning. Vi mangler blot at vise (5). Da F er kontinuert, findes der et δ ą 0 så δ ă δ 2 og }x a} ă δ ñ }F pxq F paq} ă δ 1. For alle x så }x a} ă δ gælder derfor, at y F pxq P B δ1 pf paqq. Vi kan derfor benytte (4) til at konkludere, at GpF pxqq x. Hvis vi benytter Kædereglen for vektorfunktioner 5 finder vi, da Jacobi-matricen for identitetsafbildningen x ÞÑ x er identitetsmatricen I, at hvilket giver (5). DGpF paqqdf paq I, Eksempel 6. Betragt funktionen F : R 2 Ñ R 2 givet ved F px, yq pexppxq ` yx, sinpyq ` x 2 q. Vi ønsker at vise, at F nær px, yq p0, 0q har en invers G defineret nær F p0, 0q p1, 0q og at finde DGp1, 0q. Vi udregner ˆ exppxq ` y x DF px, yq. 2x cospyq Derfor er determinanten DF px, yq pexppxq ` yq cospyq 2x 2 og DF p0, 0q 1. Eksistensen af G følger af Sætning 5 og ligeledes finder vi, at ˆ 1 ˆ DGp1, 0q DF p0, 0q Se Definition 9.32 og Sætning 9.33 i Funktioner af en og flere variable 5 I Funktioner af en og flere variable er det Sætning 9.36 (3. udgave af kædereglen). 5
6 2.1 Opgaver Opgave 1. Gør rede for, at der findes et ε ą 0 og en kontinuert differentiabel funktion f : p ε, εq Ñ R, således at fp0q 0, og e fpxq cospxq cos 2 pfpxqq, x P p ε, εq. Find desuden f 1 p0q. Opgave 2. Gør rede for, at der findes et ε ą 0 og en kontinuert differentiabel funktion ϕ: p1 ε, 1 ` εq Ñ R, således, at ϕp1q 0 og e x2 ϕpxq x, x P p1 ε, 1 ` εq. Bestem desuden ϕ 1 p1q. Argumenter for at ϕ er to gange kontinuert differentiabel nær 1 og find ϕ 2 p1q. Opgave 3. Gør rede for, at der findes et ε ą 0 og en kontinuert differentiabel funktion ϕ: p ε, εq Ñ R således at ϕp0q 0 og lnpx ` ϕpxq ` 1q ` 1 cospϕpxqq, x P p ε, εq. Bestem desuden ϕ 1 p0q. Opgave 4. Gør rede for at der findes en åben kugle B omkring punktet p1, 0q i R 2 og en kontinuert differentiabel funktion h: B Ñ R så hp1, 0q 0 og Bestem desuden Bh Bx 1 p1, 0q og Bh Bx 2 p1, 0q. x 2 exppx 1 hpx 1, x 2 q 2 q x 1 hpx 1, x 2 q. Opgave 5. Gør rede for at der findes et ε ą 0 og to kontinuert differentiable funktioner f, g : p1 ε, 1 ` εq Ñ R, således at fp1q 1, gp1q π 2, og x 2 fpxq sinpgpxqq fpxq 3, cospgpxqq fpxq 3 1, for alle x P p1 ε, 1 ` εq. Bestem desuden f 1 p1q og g 1 p1q. Opgave 6. Gør rede for at der findes et ε ą 0 og to kontinuert differentiable funktioner f, g : p ε, εq Ñ R, således at fp0q gp0q 0 og e fpxq cospgpxqq x ` 1, fpxq gpxq x 2, for alle x P p ε, εq. Bestem desuden f 1 p0q og g 1 p0q. Opgave 7. Bevis Sætning 5 direkte for funktioner af én variabel, altså i tilfældet n Vink: Benyt Sætningerne 5.23, 7.8 og 7.14 i Funktioner af en og flere variable. 6
Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable
Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable Morten Grud Rasmussen 1. marts 2016 1 Taylors Sætning for funktioner af én variabel Sætning 1.1 (Taylors Sætning med restled).
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereSupplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej
Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mere: B r (x 0 )! R, j =1, 2,..., m, i =1, 2,...,n. alle er kontinuerte i x 0.SåerF differentiabel i x 0.
Sætning 9.32 Lad F : U! R m være en funktion og lad x 0 2 U. Antag, at de partielt afledte af F s koordinatfunktioner eksisterer i alle punkter i en åben kugle B r (x 0 ) U, og at de derved fremkomne funktioner
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mere1 Punktmængdetopologi. metriske rum, fuldstændighed
Punktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed Morten Grud Rasmussen 23. november 2015 1 Punktmængdetopologi I algebra beskæftiger man sig bl.a. med abstrakte strukturer, hvori forskellige regneoperationer
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereGrafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs merePunktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed. Morten Grud Rasmussen 17. november 2017
Punktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed Morten Grud Rasmussen 17. november 2017 Indhold 1 Punktmængdetopologi 2 1.1 Topologiske rum................................. 2 1.2 Kontinuitet...................................
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereLineær algebra 4. kursusgang
Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereEksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Læs mereExponentielle familer, ark 2
1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereDifferentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011
Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mere