PLANGEOMETRI OM KAPITLET

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "PLANGEOMETRI OM KAPITLET"

Transkript

1 PLANGEOMETRI OM KAPITLET I dette kapitel om plangeometri arbejder eleverne med forskellige egenskaber ved plane figurer. I den første del af kapitlet arbejder eleverne med at finde areal af rektangler, parallelogrammer, trapezer og trekanter. Eleverne får i teorirammen præsenteret formler, der kan bruges til bestemmelse af arealet af de enkelte figurer. I det efterfølgende arbejde med de forskellige arealformler er der lagt vægt på, at eleverne gennem undersøgelser opnår en forståelse af, hvorfor de præsenterede formler kan anvendes. I kapitlet lægges der flere steder op til, at et digitalt værktøj (et dynamisk geometriprogram) enten kan eller skal inddrages i arbejdet med opgaver og undersøgelser. Mange af opgaverne kan desuden med fordel løses med hjælp fra et digitalt værktøj. Derefter arbejder eleverne med polygoner og regulære polygoner og bestemmelse af areal ved hjælp af triangulering. Eleverne undersøger vinkelsum og antal diagonaler i en polygon, og skal gennem undersøgelsen selv medvirke til at udvikle en formel, der kan bruges til at beregne vinkelsum og antal diagonaler en vilkårlig polygon. Herefter arbejder eleverne med cirklens omkreds og areal, samt centervinkler og periferivinkler. Der arbejdes også her undersøgende med de i teorirammen præsenterede formler, fagord og begreber. Eleverne skal bl.a. undersøge, størrelsen af en periferivinkel, der spænder over en diameter, og hvordan størrelsen af en centervinkel og en periferivinkel, der spænder over samme bue, forholder sig til hinanden. Dernæst præsenteres eleverne for trekantens medianer og midtpunktstransversaler. Kapitlets tema: Geometri i kunst tager udgangspunkt i et billede af den schweiziske arkitekt, billedhugger og maler Max Bill ( ). Kendetegnende for hele kapitlet er den undersøgende tilgang til arbejdet med de forskellige formler, metoder og begreber. Der er gennem hele kapitlet ligeledes lagt vægt på, at eleverne arbejder med den opnåede faglige viden i forskellige konkrete og anvendelsesorienterede sammenhænge. 14

2 ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan navngive og beskrive forskellige plane figurer kan beregne omkreds og areal af forskellige polygoner kan udvikle metoder til at finde areal af trapezer, trekanter og cirkler kan bestemme mål i plane figurer ved hjælp af formler og digitale værktøjer kan bruge deres viden om plangeometri til at løse problemer i praktiske sammenhænge. PRINTARK A Geometristjerneløb A3 Søen U3 Vinkelsum E Begreber og fagord Plangeometri MATERIALER Kamera eller telefon med kamera Sakse Karton Lim FAGLIGE BEGREBER I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: omkreds areal Herons formel polygon triangulering vinkelsum centervinkel periferivinkel median midtpunktstransversal. DIGITALT VÆRKTØJ Dynamisk geometriprogram, fx GeoGebra FÆLLES MÅL På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. 15

3 PLANGEOMETRI SIDE Plangeometri I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri, som handler om plane figurer og deres egenskaber. PACMAN Ordet geometri kommer fra græsk og betyder egentlig jordmåling. At ordet har denne betydning skyldes formodentlig, at geometri blev til i de gamle flodkulturer. Det var babylonierne og ægypterne, der fandt på metoder til eksempelvis at opmåle marker. Men i dag handler geometri om meget mere end jordmåling. Inden for geometri beskæftiger man sig både med plane og rumlige figurer. I dette kapitel skal du kun arbejde med figurer i planen. Det er figurer, der kan tegnes i en plan. Kvadratet, cirklen og trekanten er eksempler på plane figurer. Måske kender du det klassiske computerspil Pacman. Pacman kan gå op, ned, til højre eller venstre. Den kan ikke gå ind eller ud. MÅL, FAGORD OG BEGREBER Målet er, at du: Du skal arbejde med: kan navngive og beskrive forskellige plane omkreds figurer areal kan beregne omkreds og areal af forskellige Herons formel polygoner polygon kan udvikle metoder til at finde areal af trapezer, triangulering trekanter og cirkler vinkelsum kan bestemme mål i plane figurer ved hjælp af centervinkel formler og digitale værktøjer periferivinkel kan bruge din viden om plangeometri til at løse median problemer i praktiske ammenhænge. midtpunktstransversal. FORHÅNDSVIDEN Stumpvinklet trekant Trapez A Beskriv med tegninger og ord begreberne: Radius Ligesidet trekant Parallelogram Rombe Polygon Kvadrat Ligebenet trekant Rektangel Spidsvinklet trekant Diameter Længdeforhold OPGAVE Kommunen har besluttet at inddrage et stort engareal, som de vil bruge til forskellige fritidsaktiviteter. På engen er der en cirkelformet sø, som skal være hegnet ind. Derudover er der et område med buske og små træer, som man ønsker at bevare pga. dyrelivet. På resten af området er det besluttet at så græs. 10 m 100 m 40 m 80 m 40 m 0 m A Hvor stort er det samlede engareal? B Beregn, hvor langt hegnet rundt om søen skal være. C Hvor stort er arealet med de små buske og træer? D Hvor mange kvadratmeter skal der sås græs på, når søens areal er cirka 160 m? Værelset er tegnet i længdeforholdet 1:100. A Hvad betyder det, at rummet er tegnet i længdeforholdet 1:100? B Hvor stort er værelsets areal i virkeligheden? C Tegn værelset i længdeforholdet 1:50. D Tegn værelset i længdeforholdet 1:00. E Hvilken betydning har det for tegningen af værelset, at længdeforholdet ændres til henholdsvis 1:50 og 1:00? XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX PLANGEOMETRI 35 OPGAVE 4 Undersøg om to trekanter altid er ligedannede, hvis de A er ligesidede. B er ligebenede. C har samme vinkler. D har samme omkreds. OPGAVE 5 Undersøg om to firkanter altid er ligedannede, hvis de A er kvadrater. B er rektangler. C er parallelogrammer. D har de samme vinkler eller samme omkreds. E har de samme vinkler og samme omkreds. AKTIVITET GEOMETRISTJERNELØB Aktivitet for to til tre personer. Materialer: Geometristjerneløb (A), lineal, et kamera eller en mobiltelefon med kamera. Regler: I bliver sendt ud til forskellige poster. Ved hver post er der en opgave, som I skal løse på jeres vej tilbage til klassen. Når I har løst opgaven, skal det dokumenteres i form af en tegnet skitse eller et billede taget med eksempelvis en mobiltelefon. Opgaven på en post er løst, når jeres lærer har godkendt jeres dokumentation, og I har fået et kryds på arket Geometristjerneløb (A), der viser I har klaret posten. I sendes nu videre til den næste post. Det handler om at løse flest opgaver. FACIT Elevbesvarelser. OPGAVE A 1000 m B 15,66 m C 100 m D m A Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden. B m C Elevtegning D Elevtegning E Hvis længdeforholdet ændres til 1:50 bliver tegningen af værelset dobbelt så høj og dobbelt så bred. Tegningens areal bliver 4 gange så stort. Ændres længdeforholdet til 1:00 bliver tegningen af værelset halvt så høj og halvt så bred. Tegningens areal bliver en fjerdedel af arealet af tegningen i bogen. OPGAVE 4 A Ja, det er de. B Nej C Ja D Nej OPGAVE 5 A Ja B Nej C Nej D Nej E Nej 16

4 VEJLEDNING og/eller ord. Beskrivelserne kan gemmes og tages frem igen, når eleverne skal arbejde med evaluering af kapitlet. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På de to sider bliver eleverne introduceret til kapitlets elevmål, fagord og begreber. I de efterfølgende opgaver og aktivitet arbejder eleverne med opgaver, der skal aktivere deres forhåndsviden om emnet. MATERIALER Lineal Kamera eller mobiltelefon med kamera PRINTARK A Geometristjerneløb FORHÅNDSVIDEN Målet med forhåndsviden er, at få sporet eleverne ind på kapitlets emne og mål samt at få aktiveret deres forforståelse. Eleverne skal i den første opgave beskrive en række begreber med tegninger og ord. Der kan være elever, der har svært ved at beskrive de enkelte begreber med ord, og derfor vil have gavn af at lave en tegning først, og derefter beskrive begrebet/tegningen. Det kan være en god ide, at lade eleverne arbejde parvis eller i mindre grupper, så de har mulighed for at snakke sammen om deres svar. Afslutningsvis kan der være en fælles snak i klassen om de forskellige beskrivelser og tegninger. UDDYBENDE FORKLARING Kapitlet indledes med, at eleverne bliver introduceret til emnet plangeometri. I introteksten gives en kort beskrivelse af, hvad emnet handler om. Herefter præsenteres eleverne for kapitlets fem elevmål samt fagord og begreber. Gennem forskellige opgaver og en aktivitet arbejder eleverne med deres forhåndsviden om emnet. Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med forskellige polygoner og deres egenskaber, hvorfor det forventes, at de har et vist kendskab til navngivning og egenskaber, der knytter sig til de enkelte figurer. MÅL, FAGORD OG BEGREBER Eleverne skal læse og tale om elevmål, fagord og begreber. Det kan være en god ide, at det enten foregår parvis eller i mindre grupper, så eleverne får aktiveret deres forforståelse. De kan fx tale om, hvad de enkelte mål betyder - er der fagord eller begreber i målene, der er svære at forstå? Kan de genkende nogle af målene fra mellemtrinnet? Der vil være en række begreber og fagord, som er nye for eleverne, det drejer sig om: Herons formel, centervinkel, periferivinkel og midtpunktstransversal. De øvrige begreber og fagord bør eleverne kende fra mellemtrinnet. Det kan alligevel være en god proces, at lade eleverne beskrive de enkelte begreber med tegninger I de efterfølgende opgaver arbejder eleverne med forskellige opgaver, der alle har til formål at aktivere den viden, de allerede har om emnet. I opgaverne arbejdes ligeledes med fagområder, som eleverne skal anvende i arbejdet med den øvrige del af kapitlet. Det er fagområder som fx arealberegning af sammensatte figurer, længde- og arealforhold og egenskaber ved ligedannede figurer, som det forudsættes, at eleverne kender til, i det videre arbejde med kapitlet. Der bliver ikke arbejdet eller præsenteret nye begreber i Forhåndsviden. I aktiviteten Geometristjerneløb skal eleverne parvis eller i mindre grupper rundt til forskellige poster, hvor der skal løses en opgave - enten på selve stedet eller på vej tilbage til klassen. Printarkene Geometristjerneløb (A) indeholder et afkrydsningsark, hvorpå læreren kan markere, når en opgave er godkendt og opgaver til 16 forskellige poster. Inden løbet starter, placeres posterne forskellige steder på og omkring skolen. Hver gruppe får udleveret et afkrydsningsark, og de skal sørge for, de har de materialer, der er beskrevet på arket. Læreren har en base, hvorfra de enkelte grupper sendes ud til posterne. Lad grupperne starte med hver deres post. Når en gruppe har løst en opgave, og den er godkendt af læreren, så sendes gruppen ud til en ny post. Løbet fortsætter indtil alle poster er besøgt, eller tiden er gået. Det vil være en god ide efter løbet, at tage en fælles snak i klassen om, hvordan de enkelte grupper har løst opgaverne. 17

5 PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI PLANGEOMETRI TEORI UNDERSØGELSE AREAL AF FIRKANTER AREAL AF ET TRAPEZ Der findes flere forskellige typer firkanter. Undersøgelse for to personer. Her er vist tre forskellige firkanter, og hvilke Materialer: Saks og karton. formler der kan benyttes til at beregne deres arealer. OPGAVE 8 0 Her er en skitse af tre parallelogrammer. A Tegn firkanterne i et koordinatsystem: Firkant 3: (5, 8) (4, 4) (3, 4) (1, 8) Firkant 4: ( 9, 9) ( 7, 5) (, 5) ( 3, 9) 7 Firkant 6: (5, 5) (8, 4) (11, 5) (8, 6) 5 Firkant 7: (7, 4) (5, 6) (6, 9) (9, 10) 5 Firkant 8: (9, 8) (9, 9) (10, 9) (13, 8) Firkant 9: ( 7, 1) ( 3, 1) ( 1, 3) ( 5, 3) de to parallelle sider er 5 cm og 15 cm, b 7 B Navngiv de to parallelle sider henholdsvis a og b. Skriv bogstaverne inde i C Hvad kalder man firkanten i. kvadrant? D Hvad kalder man firkanterne i 3. kvadrant? 8 E Hvad kalder man firkanterne i 4. kvadrant? parallelogrammet. F Beregn arealet af firkant 1, 3, 4, 5, 8 og 9. C Indtegn en højde og kald den h. 1 D Klip trapezet ud. E Tegn en linje, der halverer højden og som F Klip langs denne linje. med en omkreds på 100 cm. deler du i to ved at klippe langs højden. E Romber B Beregn arealet af hvert af de tre rektangler. 8 H Læg de tre stykker af trapezet, så de C Undersøg, om det er rigtigt, at arealet af et rektangel er størst, når alle fire sider er lige lange. danner et rektangel. a D Parallelogrammer A Angiv sidelængderne for tre forskellige rektangler 8 G Du har nu to mindre trapezer. Det mindste g 1 Et rektangel har omkredsen 100 cm. står vinkelret på højden. Parallelogram: A = h g C Rektangel B Hvad kalder man firkanterne i 1. kvadrant? og hvor højden er 0 cm. h B Trapezer Firkant 5: (5, 1) (6, 3) (7, 3) (8, 1) A Tegn på et stykke karton et trapez, hvor Rektangel: A = a b A Firkant 1: ( 3, ) ( 3, 6) ( 1, 6) ( 1, ) Firkant : (3, 1) (5, 7) (3, 13) (1, 7) SKITSE I skal undersøge, hvordan man kan finde arealet at et trapez. a DEL 8 6 Når I er færdige, skal I diskutere resultatet af h 8 Tal for eksempel om: A Var jeres trapezer ens? b Trapez: A = F Firkant 1: 8 jeres undersøgelse med to andre fra klassen. 1 B Hvorfor er jeres rektangler ens? h (a + b) C Hvordan kan I formulere en formel for rektanglets areal, hvis I skal bruge A Tegn parallelogrammerne. benævnelserne a, b og h fra trapezet? B Beregn parallelogrammernes areal. C Angiv for hvert parallelogram sidelængder OPGAVE 6 for et rektangel med samme areal. A Vis, hvorfor formlen for rektanglets areal og parallelogrammets areal dækker over det OPGAVE 9 samme. Svar med sandt eller falsk. A Alle firkanter er kvadrater. OPGAVE 7 B Alle kvadrater er firkanter. Tegn parallelogrammer, med de nævnte sidelængder. C Alle rektangler er kvadrater. Tag de mål på tegningen, som du har behov for, og D Alle kvadrater er rektangler. beregn arealet af hvert parallelogram: E Alle kvadrater er romber. Firkant 3: 8 Firkant 4: 0 Firkant 5: 4 Firkant 8:,5 Firkant 9: 8 Molly vil gerne bygge en fold til sin hest. Hvor mange m kan en firkantet fold højst blive, hvis hun køber et sikkerhedshegn på. A 3 og 7. F Alle romber er kvadrater. A 400 meter? B og 4. G Alle romber er parallelogrammer. B 305 meter? C 4 og 4. H Alle parallelogrammer er romber. C n meter? FACIT OPGAVE 6 14 A Eleven viser, at formlen for arealet af et rektangel og 1 formlen for arealet af et parallelogram dækker over 10 det samme. For eksempel: 8 Hvis siden b i rektanglet kaldes grundlinjen g, så er 6 siden a lig med højden h, og arealet af rektanglet er 1 derfor h g ligesom i parallelogrammet OPGAVE A, B, C Eleven tegner parallelogrammer, måler højder og 8 4 finder arealer OPGAVE 8 14 A Elevens tegning af parallelogrammerne. 16 B Grøn 8 Orange 8 Blå C Der er flere muligheder her. 4 For eksempel: Grøn: Sidelængder 4 og 7. 1 Orange: Sidelængder 1 og 8. Eleveksempler på rektangler med omkreds 100 cm. Blå: Sidelængder 6 og 8. For eksempel: A Fx eller OPGAVE 9 eller A Falsk B Ud fra eksemplerne i A: B Sandt C Falsk C Det er rigtigt. 600 cm 400 cm og 5 cm. D Sandt E Sandt F Falsk A m G Sandt B 5814,06 m H Falsk C I 18 n 4 n 4 = ( n4 ) = 1 16 n

6 VEJLEDNING MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne bliver præsenteret for en formalisering af arealberegning af rektangel, parallelogram og trapez. De arbejder herefter med opgaver og en undersøgelse, hvor de skal forklare og sammenligne metoder til at finde arealet af de nævnte firkanter. Eleverne skal ligeledes navngive, sammenligne og kategorisere forskellige typer firkanter ud fra deres form og egenskaber. MATERIALER Saks Karton DIGITALT VÆRKTØJ Evt. et dynamisk geometriprogram UDDYBENDE FORKLARING Eleverne skal lære at beregne arealet af forskellige typer firkanter. I teoriboksen Areal af firkanter præsenteres formlerne til beregning af arealet af et rektangel, parallelogram og trapez. samme. Det kan være en udfordrende opgave, da eleverne både skal sammenligne og forklare sammenhængen mellem forskellige geometriske repræsentationer. Eleverne kan fx tegne et rektangel og et parallelogram, hvor rektanglets sidelængder a og b har samme længde som parallelogrammets h (højde) og g (grundlinje), og herefter beregne arealet af de to figurer. I undersøgelsen arbejder eleverne med at finde arealet af et trapez. Det kan være en god ide, at indlede undersøgelsen med at repetere, at et trapez er en figur med netop to parallelle sider. Hvis eleverne har svært ved at skrive en formel i Del opgave C, kan det være en fordel, at de med ord beskriver sammenhængen mellem arealformlen for et trapez og arealformlen for et rektangel. Så kan de efterfølgende få hjælp til at bruge variable til at navngive siderne. Kaldes et sæt modstående sider i et rektangel for a og b (selv om de er lige lange og lig med grundlinjen g), og kaldes længden af af hver af de sidste to sider for h, kan rektanglets areal A beskrives ved A = 1 (a + b) h nøjagtig som for trapezets areal. I de øvrige opgaver arbejdes der på forskellig vis med areal, arealformler og navngivning af forskellige firkanter. Der er i matematik mange symboler og fagudtryk, der kan være vanskelige for nogle elever at læse og forstå. I forbindelse med arealformlerne indgår bl.a. symbolerne h (højde) og g (grundlinje). Det er symboler og fagudtryk, som eleverne gennem hele kapitlet skal arbejde med, det er derfor en god ide, at gennemgå de forskellige arealformler fælles i klassen. På den måde har læreren mulighed for at supplere teksten med tegnede eksempler for hele klassen. Der bliver gennem samtalen ligeledes sat ord og forklaringer på de forskellige formler og betydningen af de variable, der indgår i dem. I gennemgangen af arealformlerne kan der fx tales om, at en figurs højde afhænger af grundlinjen, som man selv kan vælge. Eleverne bliver opmærksomme på, at figuren kan have flere grundlinjer og flere højder. Opgaverne 6-1 kan løses både med og uden et dynamisk geometriprogram. I opgave 6 skal eleverne sammenlige formlen for rektanglets areal og formlen for parallelogrammets areal og beskrive/vise, hvorfor de to formler dækker over det 19

7 ., SKITSE I SKITSE PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI PLANGEOMETRI 39 TEORI AREAL AF TREKANTER Der findes forskellige metoder til at bestemme arealet af trekanter. Du har tidligere arbejde med formlen til beregning af arealet af en trekant: A = 1 h g. h h HERONS FORMEL Arealet af trekanter kan også bestemmes ved hjælp af Herons formel: A = s ( s a) ( s b) ( s c) hvor s = a + b + c C b a A B c Heron levede fra ca. 10 e.kr. til ca. 70 e.kr. i byen Alexandria ved Nilens udløb i Middelhavet. Han var en betydningsfuld ingeniør og matematiker. Han var meget betaget af teater og byggede automatiserede forestillinger med musik og træfigurer. OPGAVE UNDERSØGELSE 17 EN FORMEL TIL TREKANTENS AREAL Undersøgelse for to personer. Materialer: Saks, papir og/eller et digitalt A Beskriv med tegninger og ord, hvordan I har værktøj. undersøgt og fundet frem til jeres løsning. I skal ved hjælp af arealet af et parallelogram Fremlæg og diskuter jeres løsning med andre undersøge, hvorfor arealet af en trekant kan grupper. Det kan være en idé at tale om: beregnes ved hjælp af formlen: A = 1 h g. B Hvordan kan parallelogrammet deles op, så det bliver til to lige store trekanter? C Hvor stort er arealet af de to trekanter? h D Hvordan passer det med formlen for arealet af A = h g en trekant? g g 3 Trekant ABC har sidelængderne 3, 5 og 6, og trekant DEF har sidelængderne 5, 8 og 4. A Tegn de to trekanter. g Brug Herons formel, og B beskriv med egne ord, hvad s betyder. C beregn s for de to trekanter. D beregn de to trekanters areal. 4 FACIT 6 A B D 3 H 4 5 F M C E A Beregn arealet af trekanterne. B Hvilken metode brugte du til at finde arealet af de fire trekanter? Hvorfor? 5 Brødrene Steen og Erik har arvet en skov. Skoven dækker et firkantet areal med sidelængderne 116 m, 640 m, 47 m og 804 m. Der løber et jernbanespor på 600 m fra skovens ene hjørne til det andet, så skoven bliver delt i to. Steen foreslår, at de deler skoven mellem sig der, hvor jernbanen deler skoven. Han vil gerne have det stykke, der har sidelængderne 116 m, 640 m og 600 m. Erik kan så få stykket, som har sidelængderne 47 m, 804 m og 600 m. Erik bliver sur, for han føler sig snydt. J 5 7 K L 10 A Lav en skitse, der viser, hvordan de deler skoven. B Lav en beregning, der viser, om Erik bliver snydt. Steen og Erik har hver to børn. C Vis med beregninger eller tegning, hvordan jorden kan fordeles, hvis de fire børn skal have jorden i stedet for Steen og Erik. De fire børn skal have lige meget af skoven. 6 En gartner skal anlægge en have for en kunde, der har følgende krav til indretning af haven: En trekantet terrasse foran huset. Et rosenbed, der har form som et trapez. Et firkantet blomsterbed med rette vinkler. I den øvrige del af haven skal der sås græs. I haven er der allerede en trekantet havedam, der skal blive, hvor den er. Herunder er påbegyndt en skitse, hvor havedammen og terrassen er tegnet ind. Haven er 10 m x 30 m. A Beregn længden fra huset til terrassens fjerneste hjørne. B Beregn havedammens areal. C Kunden har 35 m sten, der skal lægges rundt om blomsterbedet. Bedet skal være så stort som muligt. Hvad er det største areal, bedet kan få? D Rosenbedet har to parallelle sider, der er 4 m og 7 m og en højde på 5 m. Der skal plantes fire rosenbuske pr. kvadratmeter. Hvor mange planter skal der bruges? E Hvor mange kvadratmeter skal der sås græs på? 10 m HAVEDAM 8,94 m 4 m 8 m 6 m 4 m TERRASSE B Elevformulering. For eksempel: s er halvdelen af trekantens omkreds. C ABC s s = 7 DEF s s = 8,5 D ABC s areal = 7,48 E DEF s areal = 8,18 4 A Rød 17,3 Blå 1 Orange stumpvinklet 7,5 Orange spidsviklet 43,3 B Elevens angivelse af og begrundelse for valg af metoder. 3 EN FORMEL TIL TREKANTENS AREAL A Elevbesvarelse. Forklaringen kunne fx være: Eleverne har tegnet og evt. klippet et parallelogram og delt det i to lige store trekanter. 5 A Elevskitse, fx 116 m Steen 47 m Erik 600 m 640 m 804 m Arealet af et parallelogram er A = h * g, og da arealet af hver af de to trekanter er det halve af parallelogrammets areal, så må arealet af en trekan være A = 1 h g B-D Elevbesvarelser. 3 A Elevtegninger af to trekanter. Her tegnet i GeoGebra. B Ved hjælp af Herons formel er det beregnet, at Steen får ,35 m, og Erik får 15 49,18 m. Erik får dermed mindre end Steen. C Elevforslag til fordeling i fire lige store dele. 6 A 8 m B 16 m C 76,56 m D 110 rosenbuske E 156 m 0

8 VEJLEDNING MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne bliver præsenteret for to forskellige metoder til beregning af arealet af trekanter: A = 1 h g og Herons formel. Eleverne skal med udgangspunkt i arealet for et parallelogram undersøge, hvorfor arealet af en trekant kan beregnes ved hjælp af formlen A = 1 h g. I de efterfølgende opgaver arbejder eleverne med de to arealformler og deres anvendelse i praktiske sammenhænge. MATERIALER Saks PRINTARK Et dynamisk geometriprogram UDDYBENDE FORKLARING Eleverne skal lære at beregne arealet af trekanter ved hjælp af to forskellige metoder. De har tidligere arbejdet med formlen A = 1 h g til bestemmelse af arealet af en trekant. Herons formel er ny for eleverne. Det er en god ide, at gennemgå de to arealformler enten parvis, i mindre grupper eller fælles i klassen. I gennemgangen af den første formel kan det fx være relevant at repetere, at trekanten har tre forskellige højder, der er afhængig af, hvilken side i trekanten, der vælges som grundlinje. I teoriboksen vises ligeledes, at højder kan falde udenfor trekanten. Det kan være svært for nogle elever at tegne denne højde, hvor det er nødvendigt at forlænge den grundlinje, som højden skærer. Derfor kan eleverne selv eller læreren ved en fælles gennemgang tegne en række eksempler på trekanter, hvor højden falder uden for trekanten. Der kan fx stilles spørgsmål til, i hvilken type trekant flere af højderne falder uden for trekanten. Man kan også bede eleverne om at undersøge, hvordan højderne er placeret i en retvinklet trekant. De vil her erfare, at to af trekantens højder vil være sammenfaldende med to af trekantens sider. Herons formel er ny for eleverne, og den kan være svær at forstå og anvende på grund af de mange variable, der indgår i den. Det står ikke direkte i teoriboksen, at formlen udmærker sig ved, at kun sidelængderne indgår. Det kan derfor være en god ide at tale om i hvilke sammenhænge, de to præsenterede arealformler kan bruges, så det bliver klart for eleverne, hvornår de kan bruge den ene frem for den anden. I undersøgelsen arbejder eleverne med at udlede arealformlen A = 1 h g ved hjælp af arealformlen for et parallelogram. I opgave 13 arbejder eleverne med Herons formel. I opgave 14 skal eleverne ved hjælp af de to præsenterede arealformler beregne arealet af forskellige trekanter. I opgave 15 og 16 skal eleverne bruge arealformlerne i praktiske sammenhænge. Begge opgaver indeholder en del tekst med mange oplysninger, som eleverne skal forholde sig til. Det kan derfor være en god ide, at eleverne bruger printarket Læs matematik (A1) som en støtte, når de skal løse opgaverne. Det kan være en fordel, at lade eleverne arbejde parvis, så de kan hjælpe hinanden med læse og forstå opgaverne. I opgave 15 kan der indledningsvis tages en fælles snak i klassen om, hvad en skitse er, og hvad den kan/bør indeholde af informationer. For nogle elever vil det i en matematisk sammenhæng være et nyt begreb, hvorfor det kan kræve noget forklaring. Der kan evt. tages udgangspunkt i side 118 i MULTI 7 Grundbog, hvor begrebet skitse forklares. I opgave 16 er det ikke beskrevet direkte, at eleverne skal lave en skitse af situationen, men for nogle elever kan det være en hjælp, at de selv skitserer situationen, og sætter egne ord og noter på, og for andre er det nok at se på den skitse, der er tegnet i bogen. 1

9 PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI PLANGEOMETRI 41 TEORI OPGAVE 0 UNDERSØGELSE Jørgen Nielsen ejer en sø, der er skabt ved grusgrav ning. Da der ikke er mere grus at grave efter, UNDERSØG VINKELSUM POLYGONER bliver området genskabt. Det medfører, at søen får OG ANTAL DIAGONALER I EN En polygon er en plan, lukket figur, der er begrænset af rette linjestykker. et andet udseende og en anden størrelse. POLYGON Jørgen elsker at løbe. Efter området er blevet POLYGONER REGULÆRE POLYGONER genskabt, har Jørgen fået lavet en sti langs med søbredden, som han bruger til at løbe på. UNDERSØGELSE Undersøg vinkelsum og antal diagonaler i en polygon. A Hvor lang er Jørgens løberute cirka? Figurerne ovenfor er alle polygoner. Ordet polygon stammer fra græsk og kan oversættes til mangehjørne. På dansk henviser polygonernes navne til bestemme arealet. Der findes heller ingen formel til at bestemme arealer af polygoner med fem eller flere sider. Brug arket Søen (A3). En dag Jørgen løber sin rute omkring søen, kommer han til at tænke på, hvordan søens areal har forandret sig. Der er ingen formel, der direkte kan benyttes til at beregne søens areal. Hvis man skal komme med et bud på søens areal, må man derfor beregne arealet af en polygon, der tilnærmelsesvis følger søbredden. B Beregn arealet af søen før og efter reetableringen. Brug arket Søen (A3). A Elevtegninger. antallet af kanter for eksempel trekant og firkant. Men da antallet af kanter og hjørner altid er det samme, har dette ingen praktisk betydning. I en regulær polygon har alle sider samme længde og alle vinkler samme størrelse. AREAL Der er formler til at bestemme arealet af trekanten, rektanglet, trapezet, parallelogrammet. Men for en generel firkant findes der ingen formel til at 7 Se på de to femkanter i teoriboksen. A Beregn arealet af de to figurer. B Beskriv, hvordan du kom frem til resultatet. 8 A Tegn en regulær trekant og en regulær femkant. B Tegn de to figurer fra opgave A i længdeforholdet 1:. C Tegn en firkant og syvkant, der ikke er regulær. D Tegn de to figurer fra opgave C i længdeforholdet TRIANGULERING Arealet af en n kant kan bestemmes ved at inddele den i figurer, hvor formlen til beregning af arealet er kendt. En polygon kan altid inddeles i trekanter. Det kaldes triangulering. Ved at addere trekanternes arealer, får du n kantens areal. VINKELSUM I polygoner kaldes summen af de enkelte vinklers gradmål for polygonens vinkelsum. 9 A Tegn en regulær firkant med omkredsen 0 cm og beregn dens areal. B Tegn to forskellige firkanter, der ikke er regulære, med omkredsen 0 cm og beregn deres areal. C Beskriv, hvordan du kan tegne en firkant med en omkreds på 0 cm, så den får det størst mulige areal. D En firkant har omkredsen x. Hvis firkanten skal have det størst mulige areal, hvad skal siderne så måle? FØR EFTER Undersøgelse for to personer. Materialer: Vinkelsum (U3) og et digitalt værktøj. A Tegn en trekant, firkant, femkant, en sekskant og en tikant med et digitalt værktøj. DEL A Undersøg vinkelsummen for hver figur og udfyld skemaet på arket Vinkelsum (U3). B Hvad er vinkelsummen i en 100 kant? C Hvad er vinkelsummen i en n kant? DEL 3 A Tegn og tæl antallet af diagonaler for hver figur. Udfyld skemaet på arket Vinkelsum (U3). B Et af nedenstående regneudtryk kan bruges til at beregne antallet af diagonaler i en n kant. Hvilket udtryk er det? Hvorfor? n (n 3) 1. n 6. DEL A Vinkelsummer: :1. E Beregn arealet af hver figur fra opgave A og C. Trekant Firkant Femkant Sekskant Tikant FACIT A Arealet af den blå femkant er 5,1 cm. Arealet af den orange (regulære) femkant er 4,4 cm. B Elevbeskrivelse af metode. B Vinkelsummen i en 100-kant er C Vinkelsummen i en n-kant er (n ) 180. DEL 3 A Elevtegninger og optælling af diagonaler: 8 A Elevtegning. B Elevtegning. C Elevtegning. D Elevtegning. E Elevberegning. 9 A Elevtegning. Arealet er 5 cm. B Elevtegning og -beregning. C Ved at tegne et kvadrat med sidelængden 5 cm. D Siden skal måle 6 cm, og firkanten skal være et kvadrat. Trekant Firkant Femkant Sekskant Tikant B Det er udtryk nr., der er det rigtige. Begrundelse: Begge udtryk giver det rigtige resultat i tre- og firkanter, men kun udtryk giver det rigtige, når antallet af kanter er større end 4. VEJLEDNING OPGAVE 0 Der må forventes mange forskellige bud på disse resultater. A Løberuten på tegningen på printark A3. er ca. 6,8 cm lang. Da 1 cm på tegningen svarer til 500 m i virkeligheden, er ruten ca. 13, 45 km lang. B Arealet af søen før reetableringen er ca. 7,1 km. Arealet af søen efter reetableringen er ca. 7,9 km. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På disse sider arbejder eleverne med forskellige polygoner. Eleverne lærer, at de altid kan finde arealet af en polygon ved hjælp af triangulering. De skal undersøge og udvikle metoder til at finde vinkelsum og antal diagonaler i en polygon. DIGITALT VÆRKTØJ Et dynamisk geometriprogram PRINTARK A3 Søen U3 Vinkelsum

10 UDDYBENDE FORKLARING Eleverne bliver i teoriboksen præsenteret for polygoner, og hvordan man kan beregne arealet af en polygon ved hjælp af triangulering. Eleverne har i MULTI 6 arbejdet med triangulering, hvorfor begrebet og metoden ikke er ny viden for dem. Men det kan være en god idé, at tage en fælles samtale i klassen om, hvordan man triangulerer. Udgangspunktet for samtalen kan fx være de i teoriboksen viste polygoner, hvor der kan tales om, hvor få trekanter de kan inddeles i. Vær opmærksom på, at der i beskrivelsen af triangulering er brugt fagbegrebet addere i forbindelse med, at trekantens samlede areal findes ved at lægge arealet af alle polygonens trekanter sammen. Det kan være et begreb, som nogle elever skal have oversat. Til sidst i teoriboksen defineres begrebet vinkelsum. Eleverne skal i undersøgelsen på side 41 selv prøve at udlede et regneudtryk, der kan bruges til at beregne vinkelsummen i en polygon. I opgave 17 er der lagt op til, at eleverne skal bruge triangulering for at finde arealet af de to forskellige polygoner. I opgave 18 skal eleverne finde arealet af forskellige polygoner, og de arbejder i samme opgave med at tegne figurerne i forskellige længdeforhold. I opgave B bliver figurerne fra opgave A formindsket i forholdet 1:, og i opgave D forstørres figurerne fra opgave C i forholdet :1. I opgave 19 arbejder eleverne med sammenhængen mellem areal og omkreds i firkanter. Det kan være en hjælp, at anvende et dynamisk geometriprogram til løsning af opgave C og D, da det vil være lettere for eleverne, at ændre firkanternes areal og omkreds. Formålet med undersøgelsen Undersøg vinkelsum og antal diagonaler i en polygon er, at eleverne selv finder frem til en metode, hvormed man kan beregne vinkelsummen og antallet af diagonaler i en vilkårlig polygon. Med printarket Vinkelsum (A3) bliver eleverne i del guidet til en systematisk undersøgelse af vinkelsummen for forskellige polygoner. Hensigten er, at eleverne på baggrund af resultaterne kan se en sammenhæng mellem antallet af kanter og den samlede vinkelsum og dermed kan generalisere og nå frem til, at vinkelsummen i en n-kant er (n ) 180. Der kan være elever, der ikke kan skrive beskrive sammenhængen med et algebraisk udtryk. De kan opfordres til i første omgang at beskrive sammenhængen med ord, og kan evt. efterfølgende få hjælp til at beskrive generaliseringen algebraisk. I del 3 arbejder eleverne på samme systematiske vis som i del med sammenhængen mellem antallet af kanter og antallet af diagonaler. Eleverne får givet to forskellige regneudtryk, hvor de skal begrunde, hvilket et af udtrykkene, der kan bruges til at beskrive sammenhængen. Eleverne kan fx lave en skærmvideo, hvor de forklarer, hvilket udtryk og hvorfor, det kan bruges til at beregne antallet af diagonaler. Ved at lade eleverne vælge forskellige måder og metoder til at beskrive og forklare matematik med, lærer de, at der kan være mange måder, at beskrive matematik på. Det kan give anledning til en fælles snak i klassen om fordele og ulemper ved de forskellige præsentationer. I opgave 0 skal eleverne bruge printarket Søen (A3). På printarket er afbilledet Jørgen Nielsens sø før og efter, den er genetableret. Man skal være opmærksom på, at der kan være en del forskel i resultatet af besvarelserne i opgave B, da der kan være mange forskellige bud på, hvordan søen kan trianguleres. Eleverne kan sammenligne deres resultater og trianguleringer parvis eller i mindre grupper. Opgaven kan fx afrundes med, at der tages billeder af nogle besvarelser med få og mange inddelinger, som kan vises på tavlen. Der kan tages en snak om, hvad det betyder for resultatet af beregningerne, når søen bliver trianguleret forskelligt. 3

11 PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI PLANGEOMETRI 43 TEORI UNDERSØGELSE CIRKLENS OMKREDS OG AREAL UNDERSØGELSE AF FORMLEN A B C Cirklens omkreds og areal beregnes ved hjælp af FOR CIRKLENS AREAL formlerne: Undersøgelse for to personer. Materialer: Saks og passer. Omkreds O: O = π r O = d π I skal undersøge sammenhængen mellem formlen for cirklens areal og formlen for et Areal A: A = π r parallelograms areal. D C: centrum for cirklen d: cirklens diameter r: cirklens radius A Tegn og klip en cirkel med en radius på k: korde til cirklen 10 cm. B Beregn cirklens omkreds og areal. OPGAVE 4 Viktoria har en app på sin telefon, der kan fortælle C Del cirklen i otte lige store stykker og A Beregn omkreds og areal af cirkeludsnittene. hende, at deres gennemsnitshastighed var 8,7 km/t. placer dem på dit bord, så de tilnærmelsesvis danner et parallelogram. Cykelturen tog 45 minutter. k OPGAVE 5 C Hvor lang var cykelturen? D Mål højden i parallelogrammet. Viktoria cykler en tur sammen med sin lillebror Aksel. D Hvor mange omdrejninger foretog Viktorias E Halver dine cirkelstykker, så du i alt har Aksel synes, det er hårdt at følge med Viktoria. Men cykelhjul på turen? 16 stykker. Læg cirkelstykkerne, så de Viktoria opmuntrer ham ved at sige, at han bliver C E Hvor mange omdrejninger foretog Aksels tilnærmelsesvis danner et parallelogram. super stærk af det, for han skal få sine cykelhjul til at cykelhjul på turen? d Undersøg parallelogrammet: dreje flere gange rundt, end Viktoria skal få sine til at F Hvor mange omdrejninger foretog Aksels r F Hvad måler højden? dreje rundt på samme tur. cykelhjul mere end Viktorias? Sammenlign højden med cirklens radius. Da de kommer hjem fra deres tur, beslutter Viktoria G Hvad måler grundlinjen? sig for at regne ud, hvor mange gange mere Aksels OPGAVE 6 Sammenlign længden med cirklens cykelhjul har drejet rundt end Viktorias cykelhjul. I Josefine og Anne Sofies klasse skal der være omkreds. Hun måler sine egne hjul til at have en diameter klassefest. De to piger har fået lov til at stå for H Beregn arealet af parallelogrammet. på 6 og Aksels hjul til at have en diameter på 0. indretningen af lokalet, hvor festen skal holdes. Sammenlign arealet med cirklens areal. Viktoria ved, at 1 =,54 cm. Til festen kommer af deres kammerater. Hvad opdager du? Det betyder, at de i alt bliver 4. Lokalet, de skal A Beregn, hvor langt Viktoria cykler, når hendes holde festen i er rektangulært, og har længden En cirkel har en radius på 35 cm. DEL cykelhjul er drejet en hel omgang rundt. 8,5 m og bredden 10 m. Pigerne vil lave et rundt Diskuter jeres resultat med to andre grupper. B Beregn, hvor langt Aksel cykler, når hans cykel A Hvor stor er diameteren? dansegulv midt i lokalet. I kan fx tale om: hjul er drejet en hel omgang rundt. B Beregn cirklens omkreds. De vil markere dansegulvet med en lysslange, A Hvordan vil parallelogrammet se ud, hvis der kan tåle at blive trådt på. Deres lysslange er OPGAVE man deler cirklen uendeligt mange gange? 44 m lang. A Tegn en cirkel med en diameter på 7 cm. B Hvad er højden i parallelogrammet, når B Hvor stor er den længste korde til cirklen? Dansegulvet skal have en diameter på 5 m. cirklen deles uendeligt mange gange? Hvorfor? C Hvad er grundlinjen i parallelogrammet, A Hvor stor bliver omkredsen på dansegulvet? C Beregn cirklens omkreds. når cirklens omkreds er O = π r? B Hvor mange hele gange kan lysslangen nå rundt D Beregn cirklens areal. D Hvordan hænger det sammen med at om dansegulvet? cirkels areal er A = π r? C Hvor mange kvadratmeter bliver dansegulvet? D Hvor meget plads er der til hver elev på dansegulvet, hvis alle til festen vil danse på én gang? En cirkel har en omkreds på 10 cm. A Hvor stor er radius? E Hvor stor skal diameteren på dansegulvet være, B Beregn cirklens areal. hvis alle elever skal have 1 m? FACIT A 70 cm B 19,9 cm C OPGAVE A Elevtegning af cirkel med d = 7 cm. B 7 cm C,0 cm D 38,5 cm A 1,6 cm B 8,0 cm UNDERSØGELSE AF FORMLEN FOR CIRKLENS AREAL A Elevtegning af cirkel med r = 10 cm. OPGAVE 4 A Diameteren er målt til 3,8 cm. Omkreds 9,8 cm Areal 5,7 cm B Radius er målt til,8 cm. Omkreds 10,0 cm Areal 6, cm C Radius er målt til,3 cm. Centervinklen er målt til 40. Omkreds 14, cm Areal 11,1 cm D Radius er målt til 9,4 cm. Centervinklen er målt til 10. Omkreds 0,4 cm Areal 7,7 cm OPGAVE 5 A 07,5 cm B 159,6 cm C 6,55 km D 3144,6 omdrejninger. E 4088,3 omdrejninger. F 943,7 omdrejninger. OPGAVE 6 A 15,7 m B C 19,6 m D 0,8 m E 5,5 m B Cirklens omkreds: 6,83 cm Cirklens areal: 314,16 cm 3 C-E Elevopgave F Højden i parallelogrammet nærmer sig cirklens radius (r). G Grundlinjen i parallelogrammet nærmer sig halvdelen af cirklens omkreds ( r). H Arealet af parallelogrammet, som hele tiden er det samme som arealet af cirklen, vil blive cirka r og det er derfor også cirklens areal. DEL A-D Elevbesvarelser. 4

12 VEJLEDNING MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne introduceres til forskellige linjestykker og punkter ved cirklen samt formler til beregning af cirklens omkreds og areal. MATERIALER Saks Passer Eleverne undersøger formlen for cirklens omkreds og areal. Formålet med undersøgelsen er, at eleverne skal opleve, hvordan højden i parallelogrammet nærmer sig cirklens radius (r), mens grundlinjen i parallelogrammet nærmer sig halvdelen af cirklens omkreds ( r). Vær opmærksom på, at cirklen kun tilnærmelsesvis omformes til et parallelogram, da de enkelte stykker jo har en buet side. Arealet af parallelogrammet (som hele tiden er det samme som arealet af cirklen) vil så i grænsen blive r og det er derfor også cirklens areal. UDDYBENDE FORKLARING I teoriboksen præsenteres eleverne for formlerne for cirklens omkreds og areal. De har i MULTI 5 arbejdet med formlen for cirklens omkreds, men det er første gang, de ser cirklens areal beskrevet med en formel. Eleverne skal senere på siden undersøge netop formlen for cirklens areal, så derfor kan man med fordel vente med at tale om, hvorfor formlen ser ud som vist i teoriboksen. Eleverne har tidligere i MULTI 7 s. 7 fået præsenteret og efterfølgende arbejdet med. Det kan alligevel være en god ide, at tage en fælles snak i klassen om, hvad er, og hvilken værdi den kan have. I MULTI 5 har eleverne undersøgt sammenhængen mellem cirklens omkreds og dens diameter og erfaret, at når de dividerer en cirkels omkreds med dens diameter, så får de samme værdi. Der kan i den fælles snak fx indgå elevernes resultater og besvarelser af opgave 31 og 3 på side 7, der handler om,hvilken betydning for resultatet, at bliver tilnærmet med forskellige tal. Når eleverne har adgang til en lommeregner med en indbygget -værdi, så bør de bruge den i deres beregninger, da den ofte vil være rigtig på de første ca. 14 decimaler. I opgave 1-3 arbejder eleverne færdighedsorienteret med at anvende formlerne til at beregne forskellige cirklers areal og omkreds. I undersøgelsens DEL skal eleverne diskutere deres resultater fra. Der er givet nogle forslag til, hvad de kan tale om. Diskussionen kan organiseres, så eleverne først diskuterer i mindre grupper og efterfølgende viser for resten af klassen, hvad de har diskuteret. Det kan fx gøres ved hjælp af en lille video, der er optaget med en telefon, en skærmvideo eller på tavlen. I opgave 4 skal eleverne beregne omkredsen og arealet af de viste cirkeludsnit. Det kan være en god ide, at lade eleverne arbejde parvis om denne opgave, så de har mulighed for at snakke om, hvordan man kan beregne omkreds og areal af et cirkeludsnit. For de elever, der har brug for ekstra udfordring, kan der spørges til en generel formel til beregning af arealet af et cirkeludsnit. De kan fx forklare det med ord eller ved hjælp af en skærmvideo. Nogle elever kan måske finde frem til denne formel for arealet A af et cirkeludsnit med en centervinkel på v : A = r v 360, hvor er r er cirklens radius. En anden mulighed er, at give eleverne formlen og lade dem forklare, hvorfor den ser ud, som den gør. I opgave 5 og 6 arbejder eleverne anvendelsesorienteret med cirklens areal og omkreds. Opgaverne indeholder en længere række informationer, og eleverne kan evt. bruge printarket Læs matematik (A1), når de skal løse opgaverne. 5

13 SKITSE SKITSE PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX PLANGEOMETRI 45 TEORI OPGAVE 7 Beregn UNDERSØGELSE CENTERVINKEL OG PERIFERIVINKEL Periferi betyder omkreds, og bruges ofte om den kurve, der afgrænser en figur. En cirkel er mængden af punkter, der har samme afstand til et punkt nemlig cirklens centrum. Mængden af disse punkter kaldes også cirkel periferien. C CENTERVINKEL En centervinkel er en vinkel, der har vinkelspidsen placeret i en cirkels centrum. En centervinkels ben afgrænser en bue på cirkelperiferien. Man siger også, at centervinklen spænder over denne bue. A cirklens omkreds. B cirklens areal. C længden af cirkelbuen AB. D arealet af cirkeludsnittet ABC. A r = 4 cm 40 C B OPGAVE 8 Mål på tegningen, og A beregn arealet af cirklen. B beregn arealet af trekanten. C beregn arealet af den del af cirklen, der ligger CIRKLER OG VINKLER Undersøgelse for to personer. Materialer: Et digitalt værktøj. PERIFERIVINKEL OG CIRKLENS DIAMETER I skal undersøge størrelsen af en periferivinkel, der spænder over cirklens diameter. A Tegn en cirkel med centrum O og en diameter på 5 cm. B Tegn en periferivinkel, der spænder over diameteren. C Mål periferivinklen. D Tegn tre andre cirkler med forskellig diameter. Tegn i hver cirkel en periferivinkel, der spænder over en diameter. Mål de tre periferivinkler E Hvad finder I ud af? PERIFERIVINKEL OG CENTERVINKEL I skal undersøge, hvordan størrelsen af en centervinkel og en periferivinkel, der spænder over samme bue, forholder sig til hinanden. DEL A Tegn en cirkel med centrum A og en diameter på 5 cm. B Afsæt to punkter B og C på cirkelperi ferien. Afstanden mellem punkterne skal være mindre end cirklens diameter. C Forbind B til A og C til A. Mål center vinklen. D Afsæt et punkt D på den del af cirkelbuen, som centervinklen ikke gaber over. E Forbind punktet D med B og C. F Mål periferivinklen. G Flyt punkterne B, C og D, så der dannes en ny centervinkel og periferivinkel i din cirkel. over den røde korde. O B C D A PERIFERIVINKEL En periferivinkel er en vinkel, der har vinkelspidsen placeret i et punkt på cirkelperiferien, og hvis ben skærer periferien i to andre punkter. OPGAVE 9 A Beregn figurens areal og omkreds. C 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm H Mål nu størrelsen på de nye vinkler. I Hvordan forholder størrelsen af center vinklen og periferivinklen sig til hinanden? J Afprøv om centervinkler og periferivinkler altid forholder sig sådan til hinanden. K Hvad finder I ud af? FACIT OPGAVE 7 A 5,1 cm B 50,3 cm C,8 cm D 5,6 cm OPGAVE 8 Når radius r måles til cm og centervinklen til 10, får man: A 1,6 cm B 1,8 cm C,4 cm OPGAVE 9 A Areal 77 cm Omkreds 50 cm UNDERSØGELSE. CIRKLER OG VINKLER Elevbesvarelse. DEL Elevbesvarelse. 6

14 VEJLEDNING periferivinkler. De kan fx også tale om, hvad der menes med centervinklens ben og vinkelspids. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne introduceres til begreberne cirkelperiferi, centervinkel og periferivinkel. I de efterfølgende opgaver skal eleverne beregne forskellige mål i cirklen. Herefter undersøger de størrelsen på periferivinkeler, der spænder over en diameter og sammenhængen mellem periferivinkler og centervinkeler, der spænder over samme bue. DIGITALT VÆRKTØJ Et dynamisk geometriprogram I opgave 7-9 arbejder eleverne færdighedsorienteret med indholdet i teoriboksen. Opgaverne kan med fordel løses parvis eller i mindre grupper, da det kan være en hjælp undervejs at tale om, hvordan de kan løses. I opgave 7 skal eleverne vide, hvordan de finder ud af, hvor stor en del af cirklens samlede omkreds cirkelbuen udgør og tilsvarende, hvor stor en del cirkeludsnittet udgør af cirklens samlede areal. Det kan fx være en idé at spørge til størrelsen af 1. Opgave 8 kan løses på flere måder, da tegningen er målbar. I opgave 9 udgør figurens areal halvdelen af den samlede cirkel. UDDYBENDE FORKLARING Eleverne bliver i teoriboksen præsenteret for begreberne cirkelperiferi, centervinkel og periferivinkel. De to sidstnævnte er nye begreber for eleverne. Det kan indledningsvis være hensigtsmæssigt med en fælles snak i klassen om, at gradmålet for vinkler defineres ved at inddele cirkelperiferien i 360 lige store dele, der hver kaldes en grad. Det betyder, at buer på en cirkelperiferi får et gradmål, som er det antal grader, buen dækker. Det betyder også, at en vinkel med vinkelspids i cirklens centrum får samme gradmål som buen. Det vil for de fleste elever være kendt viden, at en cirkel består af 360, men det kan alligevel være en god idé, at uddybe denne forklaring, da det dels bliver relevant i forståelsen og beskrivelsen af de i teoriboksen nævnte begreber, og dels er relevant i forhold løsning af de efterfølgende opgaver. I beskrivelserne af de tre begreber indgår der en række forskellige fagord, og det kan derfor være en god ide, at lade eleverne arbejde med teoriboksen sammen med en makker. De kan fx tale om de nye begreber og ord ud fra figurer, som de selv tegner enten i hånden eller i et dynamisk geometriprogram. I undersøgelsen Cirkler og vinkler, skal de bruge et dynamisk geometriprogram, hvorfor det kan være hensigtsmæssigt, at eleverne inden har prøvet tegne både centervinkel og Undersøgelsen Cirkler og vinkler indeholder to dele, hvor der i begge tilfælde skal bruges et dynamisk geometriprogram. I den første del skal eleverne undersøge størrelsen af en periferivinkel, der spænder over cirklens diameter. Formålet er, at eleverne erfarer, at en periferivinkel, der spænder over en diameter, er en ret vinkel. I den anden del skal eleverne undersøge, hvordan størrelsen af en centervinkel og en periferivinkel, der spænder over samme bue, forholder sig til hinanden. Formålet er, at eleverne erfarer, at hvis en periferivinkel og en centervinkel, spænder over samme bue, vil periferivinklen være halvt så stor som centervinklen. Eleverne kan efterfølgende diskutere deres fremgangsmåde og besvarelser i mindre grupper. I den første del kan det være, der er nogle elever, der har valgt at indsætte en skyder til cirklens diameter, så de ikke skal tegne en ny cirkel hver gang. Ved at trække i skyderen kan man observere, at selvom diameteren ændres, så er periferivinklen altid en ret vinkel. Det er også en måde at udvide undersøgelsen på. 7

15 PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI PLANGEOMETRI 47 TEORI 1 5 A Tegn en tilfældig trekant og navngiv den ABC. Axel har designet et bord med en trekantet bordplade. Pladen placeres på ét bordben. TREKANTENS MEDIANER OG B Tegn midtpunkter på trekantens sider, og navngiv MIDTPUNKTSTRANSVERSALER dem E (midtpunkt af siden a), F og G. A Tegn en bordplade i et passende længdeforhold. C Tegn trekantens tre medianer og kald deres B Hvor skal bordbenet placeres, så pladen har MEDIAN skæringspunkt T. ligevægt? En median i en trekant er et linjestykke, der går D Hvordan er forholdet mellem længden af C Forklar Axel, hvordan han finder ud af, hvor fra en af trekantens vinkelspidser og til midtpunktet (M) på den modsatte side. Et midtpunkt linje stykket ET og længden af linjestykket AT? bordbenet skal placeres. E Gør dette forhold sig også gældende for Hele bordet skal males i fire forskellige farver. Axel vil på et linjestykke er det punkt på linjestykket, der trekantens to andre medianer? gerne inddele bordet i fire kongruente trekanter. har samme afstand til linjestykkets endepunkter. F Undersøg, om dette forhold gælder for alle I trekant ABC er vist medianen fra vinklen A til trekanter og deres medianer. D Forklar Axel, hvordan han kan inddele bordet. midtpunktet af siden a. Den betegnes også som m a. UNDERSØGELSE B A Tegn en trekant og navngiv den MNO. B Tegn midtpunkterne på trekantens sider, og FIRKANTENS MIDTPUNKTER navngive dem P, Q og R. M C Tegn linjestykker mellem midtpunkterne. Undersøgelse for to personer. D Hvad kaldes linjestykkerne, og hvor mange er der? Materialer: Saks, lim, to ark karton og to ark m a papir. A C 3 Du skal bruge trekant MNO fra opgave 3. MIDTPUNKTSTRANSVERSAL Trekanten er inddelt i fire mindre trekanter. En midtpunktstransversal er et linjestykke, der A Beregn arealet af trekant MNO. i en trekant forbinder midtpunkterne af to sider. B Beregn arealet af de fire indre trekanter. I trekant ABC er linjestykket PQ midtpunktstransversal. C Hvordan er forholdet mellem arealet af trekant Hvad opdager du? B MNO og arealet af en af de indre trekanter? D Undersøg, om dette gælder for alle trekanter. A Tegn begge to en firkant på et stykke karton. B Tegn midtpunkter på hver af firkanternes P Q 4 sider. A Tegn en trekant og navngiv den HIJ. B Tegn den af trekantens midtpunktstransversaler, A C der er parallel med siden HJ. Navngiv de to midtpunkter K og L. Når midtpunktstransversalen er tegnet har vi to trekanter: trekant HIJ og trekant KIL. Brug evt. et digitalt værktøj til opgaverne på denne C Sammenlign den lille og den store side og næste side. trekant ved at måle deres vinkler og sider. Hvad opdager du? 0 D Undersøg, om dette gælder for alle trekanter. A Tegn to forskellige trekanter. B Tegn i hver trekant én midtpunktstransversal. C Hvordan forholder længden af midtpunktstransversalen sig til længden af det linjestykke, den er parallel med? D Undersøg, om dette gælder for alle trekanter. FACIT C Tegn linjestykker mellem midtpunkterne, så linjestykkerne deler jeres firkant i en indre firkant og fire trekanter. D Klip den ydre firkant ud. E Klip langs linjerne mellem midtpunkterne, så I får fire trekanter og en firkant. F Undersøg, om det for jer begge kan lade sig gøre, at de fire trekanter kan samles til en firkant, der kan dække den indre firkant. G Lim jeres resultat op på et stykke papir og hæng det op i klassen. DEL A Beskriv, hvad der kendetegner den indre firkant. 0 A Eleven tegner to forskellige trekanter. B Eleven tegner én midtpunktstransversal i hver trekant. C Midtpunktstransversalen er halvt så lang som den trekantside, den er parallel med. D Det gør det. 1 A Eleven tegner trekant ABC. B Eleven finder sidernes midtpunkter. C Eleven tegner trekantens medianer. D ET er det halve af AT, dvs. forholdet mellem ET og AT er 1:. E Ja. F Ja det gælder for alle trekanter og deres medianer. KLIP 4 A Eleven tegner trekant HIJ. B Eleven tegner midtpunktstransversal KL parallel med HJ. C Vinklerne er parvis lige store. Siderne i trekant HIJ er dobbelt så lange som siderne i trekant KIL. D Det gælder for alle trekanter. 5 A Eleven tegner en trekant. B Bordbenet skal placeres, hvor medianerne skærer hinanden. Det er trekantens tyngdepunkt. C Axel kan tegne trekantens medianer og finde deres skæringspunkt. D Axel kan tegne trekantens tre midtpunktstransversaler. De fire trekanter, der opstår herved vil netop være kongruente. UNDERSØGELSE. FIRKANTENS MIDTPUNKTER Eleverne tegner hver deres firkant, forbinder sidemidtpunkterne og klipper de fire trekanter ud. Formålet er, at eleverne skal opdage, at de fire trekanter kan samles til samme firkant som den indre firkant. DEL Den indre firkant vil altid være et parallelogram. Linje stykkerne bliver parallelle to og to, da de er midtpunktstransversaler i de trekanter, der dannes ved hjælp af diagonalerne i den tegnede firkant. A Eleven tegner trekant MNO. B Eleven finder sidemidtpunkter P, Q og R. C Eleven tegner linjestykker mellem midtpunkterne. D Midtpunktstransversaler, der er tre i en trekant. 3 A Eleven beregner arealet af trekant MNO fra opgave 3. B De har alle samme areal. Dvs. de har hver en fjerdedel af MNO s areal. C 4:1 D Det gælder for alle trekanter 8

ELEVFORUDSÆTNINGER OM KAPITLET PLANGEOMETRI

ELEVFORUDSÆTNINGER OM KAPITLET PLANGEOMETRI OM KAPITLET I dette kapitel om plangeometri arbejder eleverne med forskellige egenskaber ved plane figurer. I den første del af kapitlet arbejder eleverne med at finde areal af rektangler, parallelogrammer,

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2 Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres.

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres. .01 Trekanter Trekanttypespil En retvinklet trekant med siderne,, og. Kan ikke konstrueres. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En ligesidet trekant med siden. En spidsvinklet trekant hvor den ene

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

MULTI 7 A1 LÆS MATEMATIK FØR UNDER EFTER

MULTI 7 A1 LÆS MATEMATIK FØR UNDER EFTER LÆS OG SKRIV MATEMATIK A1 LÆS MATEMATIK Brug de tre rammer i modellen, når du skal løse en matematikopgave. Det er ikke sikkert, du skal bruge alle punkter i hver ramme til alle opgaver. Find ud af, hvilke

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

Modellering med Lego EV3 klodsen

Modellering med Lego EV3 klodsen Modellering med Lego EV3 klodsen - Et undervisningsforløb i Lego Mindstorm med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af: Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg EV3 - et modelleringsprojekt i matematik

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Procesorienteret. skrivning

Procesorienteret. skrivning Procesorienteret Dansk 84 skrivning Skriveprocessen kan være en hjælp til at tænke og samle sig, en erkendelsesform Når man skriver, hvad man tænker, finder man ud af hvad man mener I Norge har Stiftelsen

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning

Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning Dette er en hjælp til dig der gerne vil bringe mapop ind i din læringsmålstyrede undervisning. Vi tager udgangspunkt i Læringsmålstyret

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Kursusmappe. HippHopp. Uge 29: Nørd. Vejledning til HippHopp guider HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1

Kursusmappe. HippHopp. Uge 29: Nørd. Vejledning til HippHopp guider HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1 Uge 29: Nørd Vejledning til HippHopp guider Kursusmappe Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1 HIPPY HippHopp uge_29_guidevejl_nørd.indd 1 06/07/10 10.42 Denne vejledning er et supplement

Læs mere

Bogstavregning. Formler...74 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86. Bogstavregning Side 73

Bogstavregning. Formler...74 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86. Bogstavregning Side 73 Bogstavregning Formler...7 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86 Bogstavregning Side 7 Formler 1: Regn disse opgaver med formler: a: Beregn: y = 5 + når: = b: Beregn: b = 15 a

Læs mere

FP9. 1 Køb af smartphone 2 Skærmstørrelsen på en smartphone. 3 Mobilabonnement 4 På Facebook 5 En ydre og to indre cirkler 6 Talfølger i en gangetabel

FP9. 1 Køb af smartphone 2 Skærmstørrelsen på en smartphone. 3 Mobilabonnement 4 På Facebook 5 En ydre og to indre cirkler 6 Talfølger i en gangetabel FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning Maj 2015 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Køb af smartphone 2 Skærmstørrelsen på en smartphone 3 Mobilabonnement 4 På Facebook 5 En ydre og to indre

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematiske færdigheder opgavesæt

Matematiske færdigheder opgavesæt Matematiske færdigheder opgavesæt SÆT + 0 :, 0 000 9 0 cm m 0 liter dl ton kg Hvilket år var der flest privatbiler i Danmark? Cirka hvor mange privatbiler var der i 99? 00 0 000 Priser i Tivoli, 00: Turpas

Læs mere

Lektion 8s Geometri Opgaver

Lektion 8s Geometri Opgaver Matematik på Åbent VU Lektion 8s Geometri Indholdsfortegnelse Sammensatte figurer Kunstruktionsopgaver Trigonometri Lavet af Niels Jørgen ndreasen, VU Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVU Lektion 8s Side

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Tegning og figurer. 1 Tegn med GeoGebra. Du skal bruge Computer. Tablet. 2 Rundt om og indeni Du skal bruge Målebånd. Kvadratpapir.

Tegning og figurer. 1 Tegn med GeoGebra. Du skal bruge Computer. Tablet. 2 Rundt om og indeni Du skal bruge Målebånd. Kvadratpapir. Tegning og figurer 1 Tegn med GeoGebra Du skal bruge Computer Tablet KG 2 Rundt om og indeni Du skal bruge Målebånd Kvadratpapir Arbejdsark 23 24 KG Værksted 3: Byg huse. 25 26 27 Værksted 4: Tegn, hvad

Læs mere

Ny Nordisk Skole. Arbejdshæfte til forandringsteori

Ny Nordisk Skole. Arbejdshæfte til forandringsteori Ny Nordisk Skole Arbejdshæfte til forandringsteori Introduktion Ny Nordisk Skole handler om at styrke dagtilbud og skoler, så de har de bedste forudsætninger for at give børn og unge et fagligt løft. Dette

Læs mere

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 I efteråret 2015 skal alle arbejdspladser i Frederiksberg Kommune udarbejde en ny grundlæggende APV og gennemføre en trivselsundersøgelse.

Læs mere

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

KORT GØRE/RØRE. Vejledning. Visuel (se) Auditiv (høre) Kinæstetisk (gøre) Taktil (røre)

KORT GØRE/RØRE. Vejledning. Visuel (se) Auditiv (høre) Kinæstetisk (gøre) Taktil (røre) GØRE/RØRE KORT Vejledning Denne vejledning beskriver øvelser til Gøre/røre kort. Øvelserne er udarbejdet til både de kinæstetisk, taktilt, auditivt og visuelt orienterede elever. Men brugeren opfordres

Læs mere

Sæt ord pa sproget. Indhold. Mål. November 2012

Sæt ord pa sproget. Indhold. Mål. November 2012 Sæt ord pa sproget November 2012 Indhold Mål... 1 Baggrund... 1 Projektets mål... 1 Sammenhæng... 2 1 Beskrivelse af elevernes potentialer og barrierer... 2 2 Beskrivelse af basisviden og hverdagssprog...

Læs mere

FORBEDRING AF UDEOMRÅDE, 6-8 LEKTIONER, 7.-8. KLASSE

FORBEDRING AF UDEOMRÅDE, 6-8 LEKTIONER, 7.-8. KLASSE FORBEDRING AF UDEOMRÅDE, 6-8 LEKTIONER, 7.-8. KLASSE FRA FORENKLEDE FÆLLES MÅL Kompetenceområde: 1. Geometri og målinger: 2. Matematiske kompetencer: 3. Tal og algebra: Kompetencemål: 1. Eleven kan forklare

Læs mere

fsa 1 På indkøb 2 En redekasse 3 Mikaels løbeture 4 Brug af Facebook 5 En femkantblomst 6 Sumtrekanter Matematisk problemløsning

fsa 1 På indkøb 2 En redekasse 3 Mikaels løbeture 4 Brug af Facebook 5 En femkantblomst 6 Sumtrekanter Matematisk problemløsning fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning Maj 2013 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt 1 På indkøb 2 En redekasse 3 Mikaels løbeture 4 Brug af Facebook 5 En femkantblomst

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

PERSONALE- OG LEDELSESPOLITIKKEN SAT I SPIL

PERSONALE- OG LEDELSESPOLITIKKEN SAT I SPIL 114659_Manual_250x250 17/10/03 13:38 Side 1 Kunde & Co. Frederiksholms Kanal 6 1220 København K Tlf: 33 92 40 49 perst@perst.dk www.perst.dk Løngangstræde 25, 4. 1468 København K Tlf: 38 17 81 00 cfu@cfu-net.dk

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Former, linjer og punkter

Former, linjer og punkter 30 t dele Former, linjer og punkter Klassesamtalen Diskuter og forklar, hvilke geometriske figurer I kan se på fotoet af bygningen. Forklar, hvordan den ydre og den indre cirkel ligger i forhold til hinanden.

Læs mere

OM KAPITLET DIGITALE VÆRKTØJER. egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse

OM KAPITLET DIGITALE VÆRKTØJER. egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse OM KPITLET I dette kapitel om digitale værktøjer skal eleverne arbejde med anvendelse og vurdering af forskellige digitale værktøjer, som kan bruges til at løse opgaver og matematiske problemstillinger.

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

Matematik 1. klasse Årsplan. Årets overordnede mål inddelt i faglige kategorier:

Matematik 1. klasse Årsplan. Årets overordnede mål inddelt i faglige kategorier: Matematik 1. klasse Årsplan Årets overordnede mål inddelt i faglige kategorier: Tallenes opbygning og indbyrdes hierarki Tælle op til 100. Kende tælleremser som fx 10 20 30, 2 4 6, 1 3 5, osv. Kunne navigere

Læs mere

6 Geometri. Faglige mål. Areal og overflade. Cirkler og ellipser. Konstruktion

6 Geometri. Faglige mål. Areal og overflade. Cirkler og ellipser. Konstruktion 6 Geometri Faglige mål Kapitlet Geometri tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Areal og overflade: kunne foretage beregninger af sammensatte arealer og sammensætte formler til beregning af disse.

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Om uddannelsesplanen Uddannelsesplanen er din plan for fremtiden. Du skal bruge den til at finde ud af,

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Beskrevet med input fra pædagogerne Annette Wittrup Christensen og Helle Danielsen, Børnehuset Viaduktvej, Aalborg Kommune

Beskrevet med input fra pædagogerne Annette Wittrup Christensen og Helle Danielsen, Børnehuset Viaduktvej, Aalborg Kommune 176 Hjemmebesøg Beskrevet med input fra pædagogerne Annette Wittrup Christensen og Helle Danielsen, Børnehuset Viaduktvej, Aalborg Kommune Overgange Hjemmebesøg BAGGRUND Kort om metoden Hjemmebesøg er

Læs mere

Omkredsspil. Måling. Format 5. Nr. 75. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 77

Omkredsspil. Måling. Format 5. Nr. 75. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 77 Omkredsspil Nr. 75 Paraktivitet. Kast på skift med to -sidede terninger, og gang øjentallene. Gæt, hvilken figur der har denne omkreds. Mål og udregn omkredsen. Ved rigtigt gæt: Skriv initialer i figuren.

Læs mere

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015 FFM Matematik pop-up eftermiddag CFU, UCC 11. Maj 2015 Formål Deltagerne har: Kendskab til Forenklede Fælles Måls opbygning Kendskab til tankegangen bag den målstyrede undervisning i FFM Kendskab til læringsmål

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. 054966 22/12/05 7:45 Side 1 Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005 05-A-1-U Typeopgave 1 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består

Læs mere

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1 Når man skal holde styr på mange oplysninger,

Læs mere

Årsplan matematik 7 kl 2015/16

Årsplan matematik 7 kl 2015/16 Årsplan matematik 7 kl 2015/16 I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale, og har matematikfessor som suplerende materiale, samt kopisider. I systemet er der,ud over grundbogen, også kopiark

Læs mere

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen.

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen. Til underviseren Her er nogle små skrivelser med information til forældrene om Perspekt 3. Du kan bruge dem til løbende at lægge på Forældreintra eller lignende efterhånden som undervisningen skrider frem.

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Vejledning til AT-eksamen 2016

Vejledning til AT-eksamen 2016 Sorø Akademis Skole Vejledning til AT-eksamen 2016 Undervisningsministeriets læreplan og vejledning i Almen Studieforberedelse kan findes her: http://www.uvm.dk/uddannelser/gymnasiale-uddannelser/fag-og-laereplaner/fagpaa-stx/almen-studieforberedelse-stx

Læs mere

Vi passer på hinanden

Vi passer på hinanden Vi passer på hinanden Sammen kan vi lege os til forståelse, sjov og fællesskab. For voksne og børn, de vilde og de stille. Aktiviteter for både born og forældre Forældreaften Side 6-7 Vind en sjov fest

Læs mere

Webinar - Matematik. 1. Fælles Mål 2014. 2. Relationsmodellen og et forløbsplanlægningsskema

Webinar - Matematik. 1. Fælles Mål 2014. 2. Relationsmodellen og et forløbsplanlægningsskema Webinar - Matematik 1. Fælles Mål 2014 2. Relationsmodellen og et forløbsplanlægningsskema 3. Et eksempel på et forløb om areal og omkreds på mellemtrinnet 4. Relationsmodellen som refleksionsmodel Alle

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Projekt Guidet egenbeslutning og epilepsi. Refleksionsark. Tilpasset fra: Vibeke Zoffmann: Guidet Egen-Beslutning, 2004.

Projekt Guidet egenbeslutning og epilepsi. Refleksionsark. Tilpasset fra: Vibeke Zoffmann: Guidet Egen-Beslutning, 2004. Projekt Guidet egenbeslutning og epilepsi Refleksionsark Tilpasset fra: Vibeke Zoffmann: Guidet Egen-Beslutning, 2004. Label: Refleksionsark, der er udfyldt og drøftet 1. Samarbejdsaftale Markér 1a. Invitation

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE Briefing Vi er to specialestuderende fra Institut for Statskundskab, og først vil vi gerne sige tusind tak fordi du har taget dig tid til at deltage i interviewet! Indledningsvis

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298 Inventor 2011 - Del 1 Featuren Circular Pattern 2D Constraints Constraints er bindinger, der kan oprettes mellem de forskellige elementer i fx en Sketch. Du har allerede arbejdet med nogle af dem, programmet

Læs mere

Dette er et godt forløb til den tidlige billedkunstundervisning, da eleverne skal beskæftige sig med grundlæggende male-

Dette er et godt forløb til den tidlige billedkunstundervisning, da eleverne skal beskæftige sig med grundlæggende male- 3. årgang 1-2 lektioner Læringsmål aglighed: Mulighed for tværf matematik Maleri og collage: Eleven kan anvende farvernes virkemidler til at skabe en bestemt stemning, og eleven har viden om farvelære.

Læs mere

Matematik 2. klasse Årsplan

Matematik 2. klasse Årsplan Matematik 2. klasse Årsplan Årets overordnede mål inddelt i faglige kategorier: Tal og algebra Tælle og kende talnavne op til 9999. Kunne navigere på en tallinje inddelt i enere og tiere, på en tallinje

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Trekanter: kende navne for sider og vinkelspidser i trekanter, kunne konstruere bestemte trekanter ud fra givne betingelser

Læs mere