PLANGEOMETRI OM KAPITLET

Transkript

1 PLANGEOMETRI OM KAPITLET I dette kapitel om plangeometri arbejder eleverne med forskellige egenskaber ved plane figurer. I den første del af kapitlet arbejder eleverne med at finde areal af rektangler, parallelogrammer, trapezer og trekanter. Eleverne får i teorirammen præsenteret formler, der kan bruges til bestemmelse af arealet af de enkelte figurer. I det efterfølgende arbejde med de forskellige arealformler er der lagt vægt på, at eleverne gennem undersøgelser opnår en forståelse af, hvorfor de præsenterede formler kan anvendes. I kapitlet lægges der flere steder op til, at et digitalt værktøj (et dynamisk geometriprogram) enten kan eller skal inddrages i arbejdet med opgaver og undersøgelser. Mange af opgaverne kan desuden med fordel løses med hjælp fra et digitalt værktøj. Derefter arbejder eleverne med polygoner og regulære polygoner og bestemmelse af areal ved hjælp af triangulering. Eleverne undersøger vinkelsum og antal diagonaler i en polygon, og skal gennem undersøgelsen selv medvirke til at udvikle en formel, der kan bruges til at beregne vinkelsum og antal diagonaler en vilkårlig polygon. Herefter arbejder eleverne med cirklens omkreds og areal, samt centervinkler og periferivinkler. Der arbejdes også her undersøgende med de i teorirammen præsenterede formler, fagord og begreber. Eleverne skal bl.a. undersøge, størrelsen af en periferivinkel, der spænder over en diameter, og hvordan størrelsen af en centervinkel og en periferivinkel, der spænder over samme bue, forholder sig til hinanden. Dernæst præsenteres eleverne for trekantens medianer og midtpunktstransversaler. Kapitlets tema: Geometri i kunst tager udgangspunkt i et billede af den schweiziske arkitekt, billedhugger og maler Max Bill ( ). Kendetegnende for hele kapitlet er den undersøgende tilgang til arbejdet med de forskellige formler, metoder og begreber. Der er gennem hele kapitlet ligeledes lagt vægt på, at eleverne arbejder med den opnåede faglige viden i forskellige konkrete og anvendelsesorienterede sammenhænge. 14

2 ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan navngive og beskrive forskellige plane figurer kan beregne omkreds og areal af forskellige polygoner kan udvikle metoder til at finde areal af trapezer, trekanter og cirkler kan bestemme mål i plane figurer ved hjælp af formler og digitale værktøjer kan bruge deres viden om plangeometri til at løse problemer i praktiske sammenhænge. PRINTARK A Geometristjerneløb A3 Søen U3 Vinkelsum E Begreber og fagord Plangeometri MATERIALER Kamera eller telefon med kamera Sakse Karton Lim FAGLIGE BEGREBER I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: omkreds areal Herons formel polygon triangulering vinkelsum centervinkel periferivinkel median midtpunktstransversal. DIGITALT VÆRKTØJ Dynamisk geometriprogram, fx GeoGebra FÆLLES MÅL På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. 15

3 PLANGEOMETRI SIDE Plangeometri I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri, som handler om plane figurer og deres egenskaber. PACMAN Ordet geometri kommer fra græsk og betyder egentlig jordmåling. At ordet har denne betydning skyldes formodentlig, at geometri blev til i de gamle flodkulturer. Det var babylonierne og ægypterne, der fandt på metoder til eksempelvis at opmåle marker. Men i dag handler geometri om meget mere end jordmåling. Inden for geometri beskæftiger man sig både med plane og rumlige figurer. I dette kapitel skal du kun arbejde med figurer i planen. Det er figurer, der kan tegnes i en plan. Kvadratet, cirklen og trekanten er eksempler på plane figurer. Måske kender du det klassiske computerspil Pacman. Pacman kan gå op, ned, til højre eller venstre. Den kan ikke gå ind eller ud. MÅL, FAGORD OG BEGREBER Målet er, at du: Du skal arbejde med: kan navngive og beskrive forskellige plane omkreds figurer areal kan beregne omkreds og areal af forskellige Herons formel polygoner polygon kan udvikle metoder til at finde areal af trapezer, triangulering trekanter og cirkler vinkelsum kan bestemme mål i plane figurer ved hjælp af centervinkel formler og digitale værktøjer periferivinkel kan bruge din viden om plangeometri til at løse median problemer i praktiske ammenhænge. midtpunktstransversal. FORHÅNDSVIDEN Stumpvinklet trekant Trapez A Beskriv med tegninger og ord begreberne: Radius Ligesidet trekant Parallelogram Rombe Polygon Kvadrat Ligebenet trekant Rektangel Spidsvinklet trekant Diameter Længdeforhold OPGAVE Kommunen har besluttet at inddrage et stort engareal, som de vil bruge til forskellige fritidsaktiviteter. På engen er der en cirkelformet sø, som skal være hegnet ind. Derudover er der et område med buske og små træer, som man ønsker at bevare pga. dyrelivet. På resten af området er det besluttet at så græs. 10 m 100 m 40 m 80 m 40 m 0 m A Hvor stort er det samlede engareal? B Beregn, hvor langt hegnet rundt om søen skal være. C Hvor stort er arealet med de små buske og træer? D Hvor mange kvadratmeter skal der sås græs på, når søens areal er cirka 160 m? Værelset er tegnet i længdeforholdet 1:100. A Hvad betyder det, at rummet er tegnet i længdeforholdet 1:100? B Hvor stort er værelsets areal i virkeligheden? C Tegn værelset i længdeforholdet 1:50. D Tegn værelset i længdeforholdet 1:00. E Hvilken betydning har det for tegningen af værelset, at længdeforholdet ændres til henholdsvis 1:50 og 1:00? XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX PLANGEOMETRI 35 OPGAVE 4 Undersøg om to trekanter altid er ligedannede, hvis de A er ligesidede. B er ligebenede. C har samme vinkler. D har samme omkreds. OPGAVE 5 Undersøg om to firkanter altid er ligedannede, hvis de A er kvadrater. B er rektangler. C er parallelogrammer. D har de samme vinkler eller samme omkreds. E har de samme vinkler og samme omkreds. AKTIVITET GEOMETRISTJERNELØB Aktivitet for to til tre personer. Materialer: Geometristjerneløb (A), lineal, et kamera eller en mobiltelefon med kamera. Regler: I bliver sendt ud til forskellige poster. Ved hver post er der en opgave, som I skal løse på jeres vej tilbage til klassen. Når I har løst opgaven, skal det dokumenteres i form af en tegnet skitse eller et billede taget med eksempelvis en mobiltelefon. Opgaven på en post er løst, når jeres lærer har godkendt jeres dokumentation, og I har fået et kryds på arket Geometristjerneløb (A), der viser I har klaret posten. I sendes nu videre til den næste post. Det handler om at løse flest opgaver. FACIT Elevbesvarelser. OPGAVE A 1000 m B 15,66 m C 100 m D m A Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden. B m C Elevtegning D Elevtegning E Hvis længdeforholdet ændres til 1:50 bliver tegningen af værelset dobbelt så høj og dobbelt så bred. Tegningens areal bliver 4 gange så stort. Ændres længdeforholdet til 1:00 bliver tegningen af værelset halvt så høj og halvt så bred. Tegningens areal bliver en fjerdedel af arealet af tegningen i bogen. OPGAVE 4 A Ja, det er de. B Nej C Ja D Nej OPGAVE 5 A Ja B Nej C Nej D Nej E Nej 16

4 VEJLEDNING og/eller ord. Beskrivelserne kan gemmes og tages frem igen, når eleverne skal arbejde med evaluering af kapitlet. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På de to sider bliver eleverne introduceret til kapitlets elevmål, fagord og begreber. I de efterfølgende opgaver og aktivitet arbejder eleverne med opgaver, der skal aktivere deres forhåndsviden om emnet. MATERIALER Lineal Kamera eller mobiltelefon med kamera PRINTARK A Geometristjerneløb FORHÅNDSVIDEN Målet med forhåndsviden er, at få sporet eleverne ind på kapitlets emne og mål samt at få aktiveret deres forforståelse. Eleverne skal i den første opgave beskrive en række begreber med tegninger og ord. Der kan være elever, der har svært ved at beskrive de enkelte begreber med ord, og derfor vil have gavn af at lave en tegning først, og derefter beskrive begrebet/tegningen. Det kan være en god ide, at lade eleverne arbejde parvis eller i mindre grupper, så de har mulighed for at snakke sammen om deres svar. Afslutningsvis kan der være en fælles snak i klassen om de forskellige beskrivelser og tegninger. UDDYBENDE FORKLARING Kapitlet indledes med, at eleverne bliver introduceret til emnet plangeometri. I introteksten gives en kort beskrivelse af, hvad emnet handler om. Herefter præsenteres eleverne for kapitlets fem elevmål samt fagord og begreber. Gennem forskellige opgaver og en aktivitet arbejder eleverne med deres forhåndsviden om emnet. Eleverne har på mellemtrinnet arbejdet med forskellige polygoner og deres egenskaber, hvorfor det forventes, at de har et vist kendskab til navngivning og egenskaber, der knytter sig til de enkelte figurer. MÅL, FAGORD OG BEGREBER Eleverne skal læse og tale om elevmål, fagord og begreber. Det kan være en god ide, at det enten foregår parvis eller i mindre grupper, så eleverne får aktiveret deres forforståelse. De kan fx tale om, hvad de enkelte mål betyder - er der fagord eller begreber i målene, der er svære at forstå? Kan de genkende nogle af målene fra mellemtrinnet? Der vil være en række begreber og fagord, som er nye for eleverne, det drejer sig om: Herons formel, centervinkel, periferivinkel og midtpunktstransversal. De øvrige begreber og fagord bør eleverne kende fra mellemtrinnet. Det kan alligevel være en god proces, at lade eleverne beskrive de enkelte begreber med tegninger I de efterfølgende opgaver arbejder eleverne med forskellige opgaver, der alle har til formål at aktivere den viden, de allerede har om emnet. I opgaverne arbejdes ligeledes med fagområder, som eleverne skal anvende i arbejdet med den øvrige del af kapitlet. Det er fagområder som fx arealberegning af sammensatte figurer, længde- og arealforhold og egenskaber ved ligedannede figurer, som det forudsættes, at eleverne kender til, i det videre arbejde med kapitlet. Der bliver ikke arbejdet eller præsenteret nye begreber i Forhåndsviden. I aktiviteten Geometristjerneløb skal eleverne parvis eller i mindre grupper rundt til forskellige poster, hvor der skal løses en opgave - enten på selve stedet eller på vej tilbage til klassen. Printarkene Geometristjerneløb (A) indeholder et afkrydsningsark, hvorpå læreren kan markere, når en opgave er godkendt og opgaver til 16 forskellige poster. Inden løbet starter, placeres posterne forskellige steder på og omkring skolen. Hver gruppe får udleveret et afkrydsningsark, og de skal sørge for, de har de materialer, der er beskrevet på arket. Læreren har en base, hvorfra de enkelte grupper sendes ud til posterne. Lad grupperne starte med hver deres post. Når en gruppe har løst en opgave, og den er godkendt af læreren, så sendes gruppen ud til en ny post. Løbet fortsætter indtil alle poster er besøgt, eller tiden er gået. Det vil være en god ide efter løbet, at tage en fælles snak i klassen om, hvordan de enkelte grupper har løst opgaverne. 17

5 PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI PLANGEOMETRI TEORI UNDERSØGELSE AREAL AF FIRKANTER AREAL AF ET TRAPEZ Der findes flere forskellige typer firkanter. Undersøgelse for to personer. Her er vist tre forskellige firkanter, og hvilke Materialer: Saks og karton. formler der kan benyttes til at beregne deres arealer. OPGAVE 8 0 Her er en skitse af tre parallelogrammer. A Tegn firkanterne i et koordinatsystem: Firkant 3: (5, 8) (4, 4) (3, 4) (1, 8) Firkant 4: ( 9, 9) ( 7, 5) (, 5) ( 3, 9) 7 Firkant 6: (5, 5) (8, 4) (11, 5) (8, 6) 5 Firkant 7: (7, 4) (5, 6) (6, 9) (9, 10) 5 Firkant 8: (9, 8) (9, 9) (10, 9) (13, 8) Firkant 9: ( 7, 1) ( 3, 1) ( 1, 3) ( 5, 3) de to parallelle sider er 5 cm og 15 cm, b 7 B Navngiv de to parallelle sider henholdsvis a og b. Skriv bogstaverne inde i C Hvad kalder man firkanten i. kvadrant? D Hvad kalder man firkanterne i 3. kvadrant? 8 E Hvad kalder man firkanterne i 4. kvadrant? parallelogrammet. F Beregn arealet af firkant 1, 3, 4, 5, 8 og 9. C Indtegn en højde og kald den h. 1 D Klip trapezet ud. E Tegn en linje, der halverer højden og som F Klip langs denne linje. med en omkreds på 100 cm. deler du i to ved at klippe langs højden. E Romber B Beregn arealet af hvert af de tre rektangler. 8 H Læg de tre stykker af trapezet, så de C Undersøg, om det er rigtigt, at arealet af et rektangel er størst, når alle fire sider er lige lange. danner et rektangel. a D Parallelogrammer A Angiv sidelængderne for tre forskellige rektangler 8 G Du har nu to mindre trapezer. Det mindste g 1 Et rektangel har omkredsen 100 cm. står vinkelret på højden. Parallelogram: A = h g C Rektangel B Hvad kalder man firkanterne i 1. kvadrant? og hvor højden er 0 cm. h B Trapezer Firkant 5: (5, 1) (6, 3) (7, 3) (8, 1) A Tegn på et stykke karton et trapez, hvor Rektangel: A = a b A Firkant 1: ( 3, ) ( 3, 6) ( 1, 6) ( 1, ) Firkant : (3, 1) (5, 7) (3, 13) (1, 7) SKITSE I skal undersøge, hvordan man kan finde arealet at et trapez. a DEL 8 6 Når I er færdige, skal I diskutere resultatet af h 8 Tal for eksempel om: A Var jeres trapezer ens? b Trapez: A = F Firkant 1: 8 jeres undersøgelse med to andre fra klassen. 1 B Hvorfor er jeres rektangler ens? h (a + b) C Hvordan kan I formulere en formel for rektanglets areal, hvis I skal bruge A Tegn parallelogrammerne. benævnelserne a, b og h fra trapezet? B Beregn parallelogrammernes areal. C Angiv for hvert parallelogram sidelængder OPGAVE 6 for et rektangel med samme areal. A Vis, hvorfor formlen for rektanglets areal og parallelogrammets areal dækker over det OPGAVE 9 samme. Svar med sandt eller falsk. A Alle firkanter er kvadrater. OPGAVE 7 B Alle kvadrater er firkanter. Tegn parallelogrammer, med de nævnte sidelængder. C Alle rektangler er kvadrater. Tag de mål på tegningen, som du har behov for, og D Alle kvadrater er rektangler. beregn arealet af hvert parallelogram: E Alle kvadrater er romber. Firkant 3: 8 Firkant 4: 0 Firkant 5: 4 Firkant 8:,5 Firkant 9: 8 Molly vil gerne bygge en fold til sin hest. Hvor mange m kan en firkantet fold højst blive, hvis hun køber et sikkerhedshegn på. A 3 og 7. F Alle romber er kvadrater. A 400 meter? B og 4. G Alle romber er parallelogrammer. B 305 meter? C 4 og 4. H Alle parallelogrammer er romber. C n meter? FACIT OPGAVE 6 14 A Eleven viser, at formlen for arealet af et rektangel og 1 formlen for arealet af et parallelogram dækker over 10 det samme. For eksempel: 8 Hvis siden b i rektanglet kaldes grundlinjen g, så er 6 siden a lig med højden h, og arealet af rektanglet er 1 derfor h g ligesom i parallelogrammet OPGAVE A, B, C Eleven tegner parallelogrammer, måler højder og 8 4 finder arealer OPGAVE 8 14 A Elevens tegning af parallelogrammerne. 16 B Grøn 8 Orange 8 Blå C Der er flere muligheder her. 4 For eksempel: Grøn: Sidelængder 4 og 7. 1 Orange: Sidelængder 1 og 8. Eleveksempler på rektangler med omkreds 100 cm. Blå: Sidelængder 6 og 8. For eksempel: A Fx eller OPGAVE 9 eller A Falsk B Ud fra eksemplerne i A: B Sandt C Falsk C Det er rigtigt. 600 cm 400 cm og 5 cm. D Sandt E Sandt F Falsk A m G Sandt B 5814,06 m H Falsk C I 18 n 4 n 4 = ( n4 ) = 1 16 n

6 VEJLEDNING MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne bliver præsenteret for en formalisering af arealberegning af rektangel, parallelogram og trapez. De arbejder herefter med opgaver og en undersøgelse, hvor de skal forklare og sammenligne metoder til at finde arealet af de nævnte firkanter. Eleverne skal ligeledes navngive, sammenligne og kategorisere forskellige typer firkanter ud fra deres form og egenskaber. MATERIALER Saks Karton DIGITALT VÆRKTØJ Evt. et dynamisk geometriprogram UDDYBENDE FORKLARING Eleverne skal lære at beregne arealet af forskellige typer firkanter. I teoriboksen Areal af firkanter præsenteres formlerne til beregning af arealet af et rektangel, parallelogram og trapez. samme. Det kan være en udfordrende opgave, da eleverne både skal sammenligne og forklare sammenhængen mellem forskellige geometriske repræsentationer. Eleverne kan fx tegne et rektangel og et parallelogram, hvor rektanglets sidelængder a og b har samme længde som parallelogrammets h (højde) og g (grundlinje), og herefter beregne arealet af de to figurer. I undersøgelsen arbejder eleverne med at finde arealet af et trapez. Det kan være en god ide, at indlede undersøgelsen med at repetere, at et trapez er en figur med netop to parallelle sider. Hvis eleverne har svært ved at skrive en formel i Del opgave C, kan det være en fordel, at de med ord beskriver sammenhængen mellem arealformlen for et trapez og arealformlen for et rektangel. Så kan de efterfølgende få hjælp til at bruge variable til at navngive siderne. Kaldes et sæt modstående sider i et rektangel for a og b (selv om de er lige lange og lig med grundlinjen g), og kaldes længden af af hver af de sidste to sider for h, kan rektanglets areal A beskrives ved A = 1 (a + b) h nøjagtig som for trapezets areal. I de øvrige opgaver arbejdes der på forskellig vis med areal, arealformler og navngivning af forskellige firkanter. Der er i matematik mange symboler og fagudtryk, der kan være vanskelige for nogle elever at læse og forstå. I forbindelse med arealformlerne indgår bl.a. symbolerne h (højde) og g (grundlinje). Det er symboler og fagudtryk, som eleverne gennem hele kapitlet skal arbejde med, det er derfor en god ide, at gennemgå de forskellige arealformler fælles i klassen. På den måde har læreren mulighed for at supplere teksten med tegnede eksempler for hele klassen. Der bliver gennem samtalen ligeledes sat ord og forklaringer på de forskellige formler og betydningen af de variable, der indgår i dem. I gennemgangen af arealformlerne kan der fx tales om, at en figurs højde afhænger af grundlinjen, som man selv kan vælge. Eleverne bliver opmærksomme på, at figuren kan have flere grundlinjer og flere højder. Opgaverne 6-1 kan løses både med og uden et dynamisk geometriprogram. I opgave 6 skal eleverne sammenlige formlen for rektanglets areal og formlen for parallelogrammets areal og beskrive/vise, hvorfor de to formler dækker over det 19

7 ., SKITSE I SKITSE PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI PLANGEOMETRI 39 TEORI AREAL AF TREKANTER Der findes forskellige metoder til at bestemme arealet af trekanter. Du har tidligere arbejde med formlen til beregning af arealet af en trekant: A = 1 h g. h h HERONS FORMEL Arealet af trekanter kan også bestemmes ved hjælp af Herons formel: A = s ( s a) ( s b) ( s c) hvor s = a + b + c C b a A B c Heron levede fra ca. 10 e.kr. til ca. 70 e.kr. i byen Alexandria ved Nilens udløb i Middelhavet. Han var en betydningsfuld ingeniør og matematiker. Han var meget betaget af teater og byggede automatiserede forestillinger med musik og træfigurer. OPGAVE UNDERSØGELSE 17 EN FORMEL TIL TREKANTENS AREAL Undersøgelse for to personer. Materialer: Saks, papir og/eller et digitalt A Beskriv med tegninger og ord, hvordan I har værktøj. undersøgt og fundet frem til jeres løsning. I skal ved hjælp af arealet af et parallelogram Fremlæg og diskuter jeres løsning med andre undersøge, hvorfor arealet af en trekant kan grupper. Det kan være en idé at tale om: beregnes ved hjælp af formlen: A = 1 h g. B Hvordan kan parallelogrammet deles op, så det bliver til to lige store trekanter? C Hvor stort er arealet af de to trekanter? h D Hvordan passer det med formlen for arealet af A = h g en trekant? g g 3 Trekant ABC har sidelængderne 3, 5 og 6, og trekant DEF har sidelængderne 5, 8 og 4. A Tegn de to trekanter. g Brug Herons formel, og B beskriv med egne ord, hvad s betyder. C beregn s for de to trekanter. D beregn de to trekanters areal. 4 FACIT 6 A B D 3 H 4 5 F M C E A Beregn arealet af trekanterne. B Hvilken metode brugte du til at finde arealet af de fire trekanter? Hvorfor? 5 Brødrene Steen og Erik har arvet en skov. Skoven dækker et firkantet areal med sidelængderne 116 m, 640 m, 47 m og 804 m. Der løber et jernbanespor på 600 m fra skovens ene hjørne til det andet, så skoven bliver delt i to. Steen foreslår, at de deler skoven mellem sig der, hvor jernbanen deler skoven. Han vil gerne have det stykke, der har sidelængderne 116 m, 640 m og 600 m. Erik kan så få stykket, som har sidelængderne 47 m, 804 m og 600 m. Erik bliver sur, for han føler sig snydt. J 5 7 K L 10 A Lav en skitse, der viser, hvordan de deler skoven. B Lav en beregning, der viser, om Erik bliver snydt. Steen og Erik har hver to børn. C Vis med beregninger eller tegning, hvordan jorden kan fordeles, hvis de fire børn skal have jorden i stedet for Steen og Erik. De fire børn skal have lige meget af skoven. 6 En gartner skal anlægge en have for en kunde, der har følgende krav til indretning af haven: En trekantet terrasse foran huset. Et rosenbed, der har form som et trapez. Et firkantet blomsterbed med rette vinkler. I den øvrige del af haven skal der sås græs. I haven er der allerede en trekantet havedam, der skal blive, hvor den er. Herunder er påbegyndt en skitse, hvor havedammen og terrassen er tegnet ind. Haven er 10 m x 30 m. A Beregn længden fra huset til terrassens fjerneste hjørne. B Beregn havedammens areal. C Kunden har 35 m sten, der skal lægges rundt om blomsterbedet. Bedet skal være så stort som muligt. Hvad er det største areal, bedet kan få? D Rosenbedet har to parallelle sider, der er 4 m og 7 m og en højde på 5 m. Der skal plantes fire rosenbuske pr. kvadratmeter. Hvor mange planter skal der bruges? E Hvor mange kvadratmeter skal der sås græs på? 10 m HAVEDAM 8,94 m 4 m 8 m 6 m 4 m TERRASSE B Elevformulering. For eksempel: s er halvdelen af trekantens omkreds. C ABC s s = 7 DEF s s = 8,5 D ABC s areal = 7,48 E DEF s areal = 8,18 4 A Rød 17,3 Blå 1 Orange stumpvinklet 7,5 Orange spidsviklet 43,3 B Elevens angivelse af og begrundelse for valg af metoder. 3 EN FORMEL TIL TREKANTENS AREAL A Elevbesvarelse. Forklaringen kunne fx være: Eleverne har tegnet og evt. klippet et parallelogram og delt det i to lige store trekanter. 5 A Elevskitse, fx 116 m Steen 47 m Erik 600 m 640 m 804 m Arealet af et parallelogram er A = h * g, og da arealet af hver af de to trekanter er det halve af parallelogrammets areal, så må arealet af en trekan være A = 1 h g B-D Elevbesvarelser. 3 A Elevtegninger af to trekanter. Her tegnet i GeoGebra. B Ved hjælp af Herons formel er det beregnet, at Steen får ,35 m, og Erik får 15 49,18 m. Erik får dermed mindre end Steen. C Elevforslag til fordeling i fire lige store dele. 6 A 8 m B 16 m C 76,56 m D 110 rosenbuske E 156 m 0

8 VEJLEDNING MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne bliver præsenteret for to forskellige metoder til beregning af arealet af trekanter: A = 1 h g og Herons formel. Eleverne skal med udgangspunkt i arealet for et parallelogram undersøge, hvorfor arealet af en trekant kan beregnes ved hjælp af formlen A = 1 h g. I de efterfølgende opgaver arbejder eleverne med de to arealformler og deres anvendelse i praktiske sammenhænge. MATERIALER Saks PRINTARK Et dynamisk geometriprogram UDDYBENDE FORKLARING Eleverne skal lære at beregne arealet af trekanter ved hjælp af to forskellige metoder. De har tidligere arbejdet med formlen A = 1 h g til bestemmelse af arealet af en trekant. Herons formel er ny for eleverne. Det er en god ide, at gennemgå de to arealformler enten parvis, i mindre grupper eller fælles i klassen. I gennemgangen af den første formel kan det fx være relevant at repetere, at trekanten har tre forskellige højder, der er afhængig af, hvilken side i trekanten, der vælges som grundlinje. I teoriboksen vises ligeledes, at højder kan falde udenfor trekanten. Det kan være svært for nogle elever at tegne denne højde, hvor det er nødvendigt at forlænge den grundlinje, som højden skærer. Derfor kan eleverne selv eller læreren ved en fælles gennemgang tegne en række eksempler på trekanter, hvor højden falder uden for trekanten. Der kan fx stilles spørgsmål til, i hvilken type trekant flere af højderne falder uden for trekanten. Man kan også bede eleverne om at undersøge, hvordan højderne er placeret i en retvinklet trekant. De vil her erfare, at to af trekantens højder vil være sammenfaldende med to af trekantens sider. Herons formel er ny for eleverne, og den kan være svær at forstå og anvende på grund af de mange variable, der indgår i den. Det står ikke direkte i teoriboksen, at formlen udmærker sig ved, at kun sidelængderne indgår. Det kan derfor være en god ide at tale om i hvilke sammenhænge, de to præsenterede arealformler kan bruges, så det bliver klart for eleverne, hvornår de kan bruge den ene frem for den anden. I undersøgelsen arbejder eleverne med at udlede arealformlen A = 1 h g ved hjælp af arealformlen for et parallelogram. I opgave 13 arbejder eleverne med Herons formel. I opgave 14 skal eleverne ved hjælp af de to præsenterede arealformler beregne arealet af forskellige trekanter. I opgave 15 og 16 skal eleverne bruge arealformlerne i praktiske sammenhænge. Begge opgaver indeholder en del tekst med mange oplysninger, som eleverne skal forholde sig til. Det kan derfor være en god ide, at eleverne bruger printarket Læs matematik (A1) som en støtte, når de skal løse opgaverne. Det kan være en fordel, at lade eleverne arbejde parvis, så de kan hjælpe hinanden med læse og forstå opgaverne. I opgave 15 kan der indledningsvis tages en fælles snak i klassen om, hvad en skitse er, og hvad den kan/bør indeholde af informationer. For nogle elever vil det i en matematisk sammenhæng være et nyt begreb, hvorfor det kan kræve noget forklaring. Der kan evt. tages udgangspunkt i side 118 i MULTI 7 Grundbog, hvor begrebet skitse forklares. I opgave 16 er det ikke beskrevet direkte, at eleverne skal lave en skitse af situationen, men for nogle elever kan det være en hjælp, at de selv skitserer situationen, og sætter egne ord og noter på, og for andre er det nok at se på den skitse, der er tegnet i bogen. 1

9 PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI PLANGEOMETRI 41 TEORI OPGAVE 0 UNDERSØGELSE Jørgen Nielsen ejer en sø, der er skabt ved grusgrav ning. Da der ikke er mere grus at grave efter, UNDERSØG VINKELSUM POLYGONER bliver området genskabt. Det medfører, at søen får OG ANTAL DIAGONALER I EN En polygon er en plan, lukket figur, der er begrænset af rette linjestykker. et andet udseende og en anden størrelse. POLYGON Jørgen elsker at løbe. Efter området er blevet POLYGONER REGULÆRE POLYGONER genskabt, har Jørgen fået lavet en sti langs med søbredden, som han bruger til at løbe på. UNDERSØGELSE Undersøg vinkelsum og antal diagonaler i en polygon. A Hvor lang er Jørgens løberute cirka? Figurerne ovenfor er alle polygoner. Ordet polygon stammer fra græsk og kan oversættes til mangehjørne. På dansk henviser polygonernes navne til bestemme arealet. Der findes heller ingen formel til at bestemme arealer af polygoner med fem eller flere sider. Brug arket Søen (A3). En dag Jørgen løber sin rute omkring søen, kommer han til at tænke på, hvordan søens areal har forandret sig. Der er ingen formel, der direkte kan benyttes til at beregne søens areal. Hvis man skal komme med et bud på søens areal, må man derfor beregne arealet af en polygon, der tilnærmelsesvis følger søbredden. B Beregn arealet af søen før og efter reetableringen. Brug arket Søen (A3). A Elevtegninger. antallet af kanter for eksempel trekant og firkant. Men da antallet af kanter og hjørner altid er det samme, har dette ingen praktisk betydning. I en regulær polygon har alle sider samme længde og alle vinkler samme størrelse. AREAL Der er formler til at bestemme arealet af trekanten, rektanglet, trapezet, parallelogrammet. Men for en generel firkant findes der ingen formel til at 7 Se på de to femkanter i teoriboksen. A Beregn arealet af de to figurer. B Beskriv, hvordan du kom frem til resultatet. 8 A Tegn en regulær trekant og en regulær femkant. B Tegn de to figurer fra opgave A i længdeforholdet 1:. C Tegn en firkant og syvkant, der ikke er regulær. D Tegn de to figurer fra opgave C i længdeforholdet TRIANGULERING Arealet af en n kant kan bestemmes ved at inddele den i figurer, hvor formlen til beregning af arealet er kendt. En polygon kan altid inddeles i trekanter. Det kaldes triangulering. Ved at addere trekanternes arealer, får du n kantens areal. VINKELSUM I polygoner kaldes summen af de enkelte vinklers gradmål for polygonens vinkelsum. 9 A Tegn en regulær firkant med omkredsen 0 cm og beregn dens areal. B Tegn to forskellige firkanter, der ikke er regulære, med omkredsen 0 cm og beregn deres areal. C Beskriv, hvordan du kan tegne en firkant med en omkreds på 0 cm, så den får det størst mulige areal. D En firkant har omkredsen x. Hvis firkanten skal have det størst mulige areal, hvad skal siderne så måle? FØR EFTER Undersøgelse for to personer. Materialer: Vinkelsum (U3) og et digitalt værktøj. A Tegn en trekant, firkant, femkant, en sekskant og en tikant med et digitalt værktøj. DEL A Undersøg vinkelsummen for hver figur og udfyld skemaet på arket Vinkelsum (U3). B Hvad er vinkelsummen i en 100 kant? C Hvad er vinkelsummen i en n kant? DEL 3 A Tegn og tæl antallet af diagonaler for hver figur. Udfyld skemaet på arket Vinkelsum (U3). B Et af nedenstående regneudtryk kan bruges til at beregne antallet af diagonaler i en n kant. Hvilket udtryk er det? Hvorfor? n (n 3) 1. n 6. DEL A Vinkelsummer: :1. E Beregn arealet af hver figur fra opgave A og C. Trekant Firkant Femkant Sekskant Tikant FACIT A Arealet af den blå femkant er 5,1 cm. Arealet af den orange (regulære) femkant er 4,4 cm. B Elevbeskrivelse af metode. B Vinkelsummen i en 100-kant er C Vinkelsummen i en n-kant er (n ) 180. DEL 3 A Elevtegninger og optælling af diagonaler: 8 A Elevtegning. B Elevtegning. C Elevtegning. D Elevtegning. E Elevberegning. 9 A Elevtegning. Arealet er 5 cm. B Elevtegning og -beregning. C Ved at tegne et kvadrat med sidelængden 5 cm. D Siden skal måle 6 cm, og firkanten skal være et kvadrat. Trekant Firkant Femkant Sekskant Tikant B Det er udtryk nr., der er det rigtige. Begrundelse: Begge udtryk giver det rigtige resultat i tre- og firkanter, men kun udtryk giver det rigtige, når antallet af kanter er større end 4. VEJLEDNING OPGAVE 0 Der må forventes mange forskellige bud på disse resultater. A Løberuten på tegningen på printark A3. er ca. 6,8 cm lang. Da 1 cm på tegningen svarer til 500 m i virkeligheden, er ruten ca. 13, 45 km lang. B Arealet af søen før reetableringen er ca. 7,1 km. Arealet af søen efter reetableringen er ca. 7,9 km. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD På disse sider arbejder eleverne med forskellige polygoner. Eleverne lærer, at de altid kan finde arealet af en polygon ved hjælp af triangulering. De skal undersøge og udvikle metoder til at finde vinkelsum og antal diagonaler i en polygon. DIGITALT VÆRKTØJ Et dynamisk geometriprogram PRINTARK A3 Søen U3 Vinkelsum

10 UDDYBENDE FORKLARING Eleverne bliver i teoriboksen præsenteret for polygoner, og hvordan man kan beregne arealet af en polygon ved hjælp af triangulering. Eleverne har i MULTI 6 arbejdet med triangulering, hvorfor begrebet og metoden ikke er ny viden for dem. Men det kan være en god idé, at tage en fælles samtale i klassen om, hvordan man triangulerer. Udgangspunktet for samtalen kan fx være de i teoriboksen viste polygoner, hvor der kan tales om, hvor få trekanter de kan inddeles i. Vær opmærksom på, at der i beskrivelsen af triangulering er brugt fagbegrebet addere i forbindelse med, at trekantens samlede areal findes ved at lægge arealet af alle polygonens trekanter sammen. Det kan være et begreb, som nogle elever skal have oversat. Til sidst i teoriboksen defineres begrebet vinkelsum. Eleverne skal i undersøgelsen på side 41 selv prøve at udlede et regneudtryk, der kan bruges til at beregne vinkelsummen i en polygon. I opgave 17 er der lagt op til, at eleverne skal bruge triangulering for at finde arealet af de to forskellige polygoner. I opgave 18 skal eleverne finde arealet af forskellige polygoner, og de arbejder i samme opgave med at tegne figurerne i forskellige længdeforhold. I opgave B bliver figurerne fra opgave A formindsket i forholdet 1:, og i opgave D forstørres figurerne fra opgave C i forholdet :1. I opgave 19 arbejder eleverne med sammenhængen mellem areal og omkreds i firkanter. Det kan være en hjælp, at anvende et dynamisk geometriprogram til løsning af opgave C og D, da det vil være lettere for eleverne, at ændre firkanternes areal og omkreds. Formålet med undersøgelsen Undersøg vinkelsum og antal diagonaler i en polygon er, at eleverne selv finder frem til en metode, hvormed man kan beregne vinkelsummen og antallet af diagonaler i en vilkårlig polygon. Med printarket Vinkelsum (A3) bliver eleverne i del guidet til en systematisk undersøgelse af vinkelsummen for forskellige polygoner. Hensigten er, at eleverne på baggrund af resultaterne kan se en sammenhæng mellem antallet af kanter og den samlede vinkelsum og dermed kan generalisere og nå frem til, at vinkelsummen i en n-kant er (n ) 180. Der kan være elever, der ikke kan skrive beskrive sammenhængen med et algebraisk udtryk. De kan opfordres til i første omgang at beskrive sammenhængen med ord, og kan evt. efterfølgende få hjælp til at beskrive generaliseringen algebraisk. I del 3 arbejder eleverne på samme systematiske vis som i del med sammenhængen mellem antallet af kanter og antallet af diagonaler. Eleverne får givet to forskellige regneudtryk, hvor de skal begrunde, hvilket et af udtrykkene, der kan bruges til at beskrive sammenhængen. Eleverne kan fx lave en skærmvideo, hvor de forklarer, hvilket udtryk og hvorfor, det kan bruges til at beregne antallet af diagonaler. Ved at lade eleverne vælge forskellige måder og metoder til at beskrive og forklare matematik med, lærer de, at der kan være mange måder, at beskrive matematik på. Det kan give anledning til en fælles snak i klassen om fordele og ulemper ved de forskellige præsentationer. I opgave 0 skal eleverne bruge printarket Søen (A3). På printarket er afbilledet Jørgen Nielsens sø før og efter, den er genetableret. Man skal være opmærksom på, at der kan være en del forskel i resultatet af besvarelserne i opgave B, da der kan være mange forskellige bud på, hvordan søen kan trianguleres. Eleverne kan sammenligne deres resultater og trianguleringer parvis eller i mindre grupper. Opgaven kan fx afrundes med, at der tages billeder af nogle besvarelser med få og mange inddelinger, som kan vises på tavlen. Der kan tages en snak om, hvad det betyder for resultatet af beregningerne, når søen bliver trianguleret forskelligt. 3

11 PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI PLANGEOMETRI 43 TEORI UNDERSØGELSE CIRKLENS OMKREDS OG AREAL UNDERSØGELSE AF FORMLEN A B C Cirklens omkreds og areal beregnes ved hjælp af FOR CIRKLENS AREAL formlerne: Undersøgelse for to personer. Materialer: Saks og passer. Omkreds O: O = π r O = d π I skal undersøge sammenhængen mellem formlen for cirklens areal og formlen for et Areal A: A = π r parallelograms areal. D C: centrum for cirklen d: cirklens diameter r: cirklens radius A Tegn og klip en cirkel med en radius på k: korde til cirklen 10 cm. B Beregn cirklens omkreds og areal. OPGAVE 4 Viktoria har en app på sin telefon, der kan fortælle C Del cirklen i otte lige store stykker og A Beregn omkreds og areal af cirkeludsnittene. hende, at deres gennemsnitshastighed var 8,7 km/t. placer dem på dit bord, så de tilnærmelsesvis danner et parallelogram. Cykelturen tog 45 minutter. k OPGAVE 5 C Hvor lang var cykelturen? D Mål højden i parallelogrammet. Viktoria cykler en tur sammen med sin lillebror Aksel. D Hvor mange omdrejninger foretog Viktorias E Halver dine cirkelstykker, så du i alt har Aksel synes, det er hårdt at følge med Viktoria. Men cykelhjul på turen? 16 stykker. Læg cirkelstykkerne, så de Viktoria opmuntrer ham ved at sige, at han bliver C E Hvor mange omdrejninger foretog Aksels tilnærmelsesvis danner et parallelogram. super stærk af det, for han skal få sine cykelhjul til at cykelhjul på turen? d Undersøg parallelogrammet: dreje flere gange rundt, end Viktoria skal få sine til at F Hvor mange omdrejninger foretog Aksels r F Hvad måler højden? dreje rundt på samme tur. cykelhjul mere end Viktorias? Sammenlign højden med cirklens radius. Da de kommer hjem fra deres tur, beslutter Viktoria G Hvad måler grundlinjen? sig for at regne ud, hvor mange gange mere Aksels OPGAVE 6 Sammenlign længden med cirklens cykelhjul har drejet rundt end Viktorias cykelhjul. I Josefine og Anne Sofies klasse skal der være omkreds. Hun måler sine egne hjul til at have en diameter klassefest. De to piger har fået lov til at stå for H Beregn arealet af parallelogrammet. på 6 og Aksels hjul til at have en diameter på 0. indretningen af lokalet, hvor festen skal holdes. Sammenlign arealet med cirklens areal. Viktoria ved, at 1 =,54 cm. Til festen kommer af deres kammerater. Hvad opdager du? Det betyder, at de i alt bliver 4. Lokalet, de skal A Beregn, hvor langt Viktoria cykler, når hendes holde festen i er rektangulært, og har længden En cirkel har en radius på 35 cm. DEL cykelhjul er drejet en hel omgang rundt. 8,5 m og bredden 10 m. Pigerne vil lave et rundt Diskuter jeres resultat med to andre grupper. B Beregn, hvor langt Aksel cykler, når hans cykel A Hvor stor er diameteren? dansegulv midt i lokalet. I kan fx tale om: hjul er drejet en hel omgang rundt. B Beregn cirklens omkreds. De vil markere dansegulvet med en lysslange, A Hvordan vil parallelogrammet se ud, hvis der kan tåle at blive trådt på. Deres lysslange er OPGAVE man deler cirklen uendeligt mange gange? 44 m lang. A Tegn en cirkel med en diameter på 7 cm. B Hvad er højden i parallelogrammet, når B Hvor stor er den længste korde til cirklen? Dansegulvet skal have en diameter på 5 m. cirklen deles uendeligt mange gange? Hvorfor? C Hvad er grundlinjen i parallelogrammet, A Hvor stor bliver omkredsen på dansegulvet? C Beregn cirklens omkreds. når cirklens omkreds er O = π r? B Hvor mange hele gange kan lysslangen nå rundt D Beregn cirklens areal. D Hvordan hænger det sammen med at om dansegulvet? cirkels areal er A = π r? C Hvor mange kvadratmeter bliver dansegulvet? D Hvor meget plads er der til hver elev på dansegulvet, hvis alle til festen vil danse på én gang? En cirkel har en omkreds på 10 cm. A Hvor stor er radius? E Hvor stor skal diameteren på dansegulvet være, B Beregn cirklens areal. hvis alle elever skal have 1 m? FACIT A 70 cm B 19,9 cm C OPGAVE A Elevtegning af cirkel med d = 7 cm. B 7 cm C,0 cm D 38,5 cm A 1,6 cm B 8,0 cm UNDERSØGELSE AF FORMLEN FOR CIRKLENS AREAL A Elevtegning af cirkel med r = 10 cm. OPGAVE 4 A Diameteren er målt til 3,8 cm. Omkreds 9,8 cm Areal 5,7 cm B Radius er målt til,8 cm. Omkreds 10,0 cm Areal 6, cm C Radius er målt til,3 cm. Centervinklen er målt til 40. Omkreds 14, cm Areal 11,1 cm D Radius er målt til 9,4 cm. Centervinklen er målt til 10. Omkreds 0,4 cm Areal 7,7 cm OPGAVE 5 A 07,5 cm B 159,6 cm C 6,55 km D 3144,6 omdrejninger. E 4088,3 omdrejninger. F 943,7 omdrejninger. OPGAVE 6 A 15,7 m B C 19,6 m D 0,8 m E 5,5 m B Cirklens omkreds: 6,83 cm Cirklens areal: 314,16 cm 3 C-E Elevopgave F Højden i parallelogrammet nærmer sig cirklens radius (r). G Grundlinjen i parallelogrammet nærmer sig halvdelen af cirklens omkreds ( r). H Arealet af parallelogrammet, som hele tiden er det samme som arealet af cirklen, vil blive cirka r og det er derfor også cirklens areal. DEL A-D Elevbesvarelser. 4

12 VEJLEDNING MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne introduceres til forskellige linjestykker og punkter ved cirklen samt formler til beregning af cirklens omkreds og areal. MATERIALER Saks Passer Eleverne undersøger formlen for cirklens omkreds og areal. Formålet med undersøgelsen er, at eleverne skal opleve, hvordan højden i parallelogrammet nærmer sig cirklens radius (r), mens grundlinjen i parallelogrammet nærmer sig halvdelen af cirklens omkreds ( r). Vær opmærksom på, at cirklen kun tilnærmelsesvis omformes til et parallelogram, da de enkelte stykker jo har en buet side. Arealet af parallelogrammet (som hele tiden er det samme som arealet af cirklen) vil så i grænsen blive r og det er derfor også cirklens areal. UDDYBENDE FORKLARING I teoriboksen præsenteres eleverne for formlerne for cirklens omkreds og areal. De har i MULTI 5 arbejdet med formlen for cirklens omkreds, men det er første gang, de ser cirklens areal beskrevet med en formel. Eleverne skal senere på siden undersøge netop formlen for cirklens areal, så derfor kan man med fordel vente med at tale om, hvorfor formlen ser ud som vist i teoriboksen. Eleverne har tidligere i MULTI 7 s. 7 fået præsenteret og efterfølgende arbejdet med. Det kan alligevel være en god ide, at tage en fælles snak i klassen om, hvad er, og hvilken værdi den kan have. I MULTI 5 har eleverne undersøgt sammenhængen mellem cirklens omkreds og dens diameter og erfaret, at når de dividerer en cirkels omkreds med dens diameter, så får de samme værdi. Der kan i den fælles snak fx indgå elevernes resultater og besvarelser af opgave 31 og 3 på side 7, der handler om,hvilken betydning for resultatet, at bliver tilnærmet med forskellige tal. Når eleverne har adgang til en lommeregner med en indbygget -værdi, så bør de bruge den i deres beregninger, da den ofte vil være rigtig på de første ca. 14 decimaler. I opgave 1-3 arbejder eleverne færdighedsorienteret med at anvende formlerne til at beregne forskellige cirklers areal og omkreds. I undersøgelsens DEL skal eleverne diskutere deres resultater fra. Der er givet nogle forslag til, hvad de kan tale om. Diskussionen kan organiseres, så eleverne først diskuterer i mindre grupper og efterfølgende viser for resten af klassen, hvad de har diskuteret. Det kan fx gøres ved hjælp af en lille video, der er optaget med en telefon, en skærmvideo eller på tavlen. I opgave 4 skal eleverne beregne omkredsen og arealet af de viste cirkeludsnit. Det kan være en god ide, at lade eleverne arbejde parvis om denne opgave, så de har mulighed for at snakke om, hvordan man kan beregne omkreds og areal af et cirkeludsnit. For de elever, der har brug for ekstra udfordring, kan der spørges til en generel formel til beregning af arealet af et cirkeludsnit. De kan fx forklare det med ord eller ved hjælp af en skærmvideo. Nogle elever kan måske finde frem til denne formel for arealet A af et cirkeludsnit med en centervinkel på v : A = r v 360, hvor er r er cirklens radius. En anden mulighed er, at give eleverne formlen og lade dem forklare, hvorfor den ser ud, som den gør. I opgave 5 og 6 arbejder eleverne anvendelsesorienteret med cirklens areal og omkreds. Opgaverne indeholder en længere række informationer, og eleverne kan evt. bruge printarket Læs matematik (A1), når de skal løse opgaverne. 5

13 SKITSE SKITSE PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX PLANGEOMETRI 45 TEORI OPGAVE 7 Beregn UNDERSØGELSE CENTERVINKEL OG PERIFERIVINKEL Periferi betyder omkreds, og bruges ofte om den kurve, der afgrænser en figur. En cirkel er mængden af punkter, der har samme afstand til et punkt nemlig cirklens centrum. Mængden af disse punkter kaldes også cirkel periferien. C CENTERVINKEL En centervinkel er en vinkel, der har vinkelspidsen placeret i en cirkels centrum. En centervinkels ben afgrænser en bue på cirkelperiferien. Man siger også, at centervinklen spænder over denne bue. A cirklens omkreds. B cirklens areal. C længden af cirkelbuen AB. D arealet af cirkeludsnittet ABC. A r = 4 cm 40 C B OPGAVE 8 Mål på tegningen, og A beregn arealet af cirklen. B beregn arealet af trekanten. C beregn arealet af den del af cirklen, der ligger CIRKLER OG VINKLER Undersøgelse for to personer. Materialer: Et digitalt værktøj. PERIFERIVINKEL OG CIRKLENS DIAMETER I skal undersøge størrelsen af en periferivinkel, der spænder over cirklens diameter. A Tegn en cirkel med centrum O og en diameter på 5 cm. B Tegn en periferivinkel, der spænder over diameteren. C Mål periferivinklen. D Tegn tre andre cirkler med forskellig diameter. Tegn i hver cirkel en periferivinkel, der spænder over en diameter. Mål de tre periferivinkler E Hvad finder I ud af? PERIFERIVINKEL OG CENTERVINKEL I skal undersøge, hvordan størrelsen af en centervinkel og en periferivinkel, der spænder over samme bue, forholder sig til hinanden. DEL A Tegn en cirkel med centrum A og en diameter på 5 cm. B Afsæt to punkter B og C på cirkelperi ferien. Afstanden mellem punkterne skal være mindre end cirklens diameter. C Forbind B til A og C til A. Mål center vinklen. D Afsæt et punkt D på den del af cirkelbuen, som centervinklen ikke gaber over. E Forbind punktet D med B og C. F Mål periferivinklen. G Flyt punkterne B, C og D, så der dannes en ny centervinkel og periferivinkel i din cirkel. over den røde korde. O B C D A PERIFERIVINKEL En periferivinkel er en vinkel, der har vinkelspidsen placeret i et punkt på cirkelperiferien, og hvis ben skærer periferien i to andre punkter. OPGAVE 9 A Beregn figurens areal og omkreds. C 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm H Mål nu størrelsen på de nye vinkler. I Hvordan forholder størrelsen af center vinklen og periferivinklen sig til hinanden? J Afprøv om centervinkler og periferivinkler altid forholder sig sådan til hinanden. K Hvad finder I ud af? FACIT OPGAVE 7 A 5,1 cm B 50,3 cm C,8 cm D 5,6 cm OPGAVE 8 Når radius r måles til cm og centervinklen til 10, får man: A 1,6 cm B 1,8 cm C,4 cm OPGAVE 9 A Areal 77 cm Omkreds 50 cm UNDERSØGELSE. CIRKLER OG VINKLER Elevbesvarelse. DEL Elevbesvarelse. 6

14 VEJLEDNING periferivinkler. De kan fx også tale om, hvad der menes med centervinklens ben og vinkelspids. MÅL OG FAGLIGT INDHOLD Eleverne introduceres til begreberne cirkelperiferi, centervinkel og periferivinkel. I de efterfølgende opgaver skal eleverne beregne forskellige mål i cirklen. Herefter undersøger de størrelsen på periferivinkeler, der spænder over en diameter og sammenhængen mellem periferivinkler og centervinkeler, der spænder over samme bue. DIGITALT VÆRKTØJ Et dynamisk geometriprogram I opgave 7-9 arbejder eleverne færdighedsorienteret med indholdet i teoriboksen. Opgaverne kan med fordel løses parvis eller i mindre grupper, da det kan være en hjælp undervejs at tale om, hvordan de kan løses. I opgave 7 skal eleverne vide, hvordan de finder ud af, hvor stor en del af cirklens samlede omkreds cirkelbuen udgør og tilsvarende, hvor stor en del cirkeludsnittet udgør af cirklens samlede areal. Det kan fx være en idé at spørge til størrelsen af 1. Opgave 8 kan løses på flere måder, da tegningen er målbar. I opgave 9 udgør figurens areal halvdelen af den samlede cirkel. UDDYBENDE FORKLARING Eleverne bliver i teoriboksen præsenteret for begreberne cirkelperiferi, centervinkel og periferivinkel. De to sidstnævnte er nye begreber for eleverne. Det kan indledningsvis være hensigtsmæssigt med en fælles snak i klassen om, at gradmålet for vinkler defineres ved at inddele cirkelperiferien i 360 lige store dele, der hver kaldes en grad. Det betyder, at buer på en cirkelperiferi får et gradmål, som er det antal grader, buen dækker. Det betyder også, at en vinkel med vinkelspids i cirklens centrum får samme gradmål som buen. Det vil for de fleste elever være kendt viden, at en cirkel består af 360, men det kan alligevel være en god idé, at uddybe denne forklaring, da det dels bliver relevant i forståelsen og beskrivelsen af de i teoriboksen nævnte begreber, og dels er relevant i forhold løsning af de efterfølgende opgaver. I beskrivelserne af de tre begreber indgår der en række forskellige fagord, og det kan derfor være en god ide, at lade eleverne arbejde med teoriboksen sammen med en makker. De kan fx tale om de nye begreber og ord ud fra figurer, som de selv tegner enten i hånden eller i et dynamisk geometriprogram. I undersøgelsen Cirkler og vinkler, skal de bruge et dynamisk geometriprogram, hvorfor det kan være hensigtsmæssigt, at eleverne inden har prøvet tegne både centervinkel og Undersøgelsen Cirkler og vinkler indeholder to dele, hvor der i begge tilfælde skal bruges et dynamisk geometriprogram. I den første del skal eleverne undersøge størrelsen af en periferivinkel, der spænder over cirklens diameter. Formålet er, at eleverne erfarer, at en periferivinkel, der spænder over en diameter, er en ret vinkel. I den anden del skal eleverne undersøge, hvordan størrelsen af en centervinkel og en periferivinkel, der spænder over samme bue, forholder sig til hinanden. Formålet er, at eleverne erfarer, at hvis en periferivinkel og en centervinkel, spænder over samme bue, vil periferivinklen være halvt så stor som centervinklen. Eleverne kan efterfølgende diskutere deres fremgangsmåde og besvarelser i mindre grupper. I den første del kan det være, der er nogle elever, der har valgt at indsætte en skyder til cirklens diameter, så de ikke skal tegne en ny cirkel hver gang. Ved at trække i skyderen kan man observere, at selvom diameteren ændres, så er periferivinklen altid en ret vinkel. Det er også en måde at udvide undersøgelsen på. 7

15 PLANGEOMETRI SIDE PLANGEOMETRI PLANGEOMETRI 47 TEORI 1 5 A Tegn en tilfældig trekant og navngiv den ABC. Axel har designet et bord med en trekantet bordplade. Pladen placeres på ét bordben. TREKANTENS MEDIANER OG B Tegn midtpunkter på trekantens sider, og navngiv MIDTPUNKTSTRANSVERSALER dem E (midtpunkt af siden a), F og G. A Tegn en bordplade i et passende længdeforhold. C Tegn trekantens tre medianer og kald deres B Hvor skal bordbenet placeres, så pladen har MEDIAN skæringspunkt T. ligevægt? En median i en trekant er et linjestykke, der går D Hvordan er forholdet mellem længden af C Forklar Axel, hvordan han finder ud af, hvor fra en af trekantens vinkelspidser og til midtpunktet (M) på den modsatte side. Et midtpunkt linje stykket ET og længden af linjestykket AT? bordbenet skal placeres. E Gør dette forhold sig også gældende for Hele bordet skal males i fire forskellige farver. Axel vil på et linjestykke er det punkt på linjestykket, der trekantens to andre medianer? gerne inddele bordet i fire kongruente trekanter. har samme afstand til linjestykkets endepunkter. F Undersøg, om dette forhold gælder for alle I trekant ABC er vist medianen fra vinklen A til trekanter og deres medianer. D Forklar Axel, hvordan han kan inddele bordet. midtpunktet af siden a. Den betegnes også som m a. UNDERSØGELSE B A Tegn en trekant og navngiv den MNO. B Tegn midtpunkterne på trekantens sider, og FIRKANTENS MIDTPUNKTER navngive dem P, Q og R. M C Tegn linjestykker mellem midtpunkterne. Undersøgelse for to personer. D Hvad kaldes linjestykkerne, og hvor mange er der? Materialer: Saks, lim, to ark karton og to ark m a papir. A C 3 Du skal bruge trekant MNO fra opgave 3. MIDTPUNKTSTRANSVERSAL Trekanten er inddelt i fire mindre trekanter. En midtpunktstransversal er et linjestykke, der A Beregn arealet af trekant MNO. i en trekant forbinder midtpunkterne af to sider. B Beregn arealet af de fire indre trekanter. I trekant ABC er linjestykket PQ midtpunktstransversal. C Hvordan er forholdet mellem arealet af trekant Hvad opdager du? B MNO og arealet af en af de indre trekanter? D Undersøg, om dette gælder for alle trekanter. A Tegn begge to en firkant på et stykke karton. B Tegn midtpunkter på hver af firkanternes P Q 4 sider. A Tegn en trekant og navngiv den HIJ. B Tegn den af trekantens midtpunktstransversaler, A C der er parallel med siden HJ. Navngiv de to midtpunkter K og L. Når midtpunktstransversalen er tegnet har vi to trekanter: trekant HIJ og trekant KIL. Brug evt. et digitalt værktøj til opgaverne på denne C Sammenlign den lille og den store side og næste side. trekant ved at måle deres vinkler og sider. Hvad opdager du? 0 D Undersøg, om dette gælder for alle trekanter. A Tegn to forskellige trekanter. B Tegn i hver trekant én midtpunktstransversal. C Hvordan forholder længden af midtpunktstransversalen sig til længden af det linjestykke, den er parallel med? D Undersøg, om dette gælder for alle trekanter. FACIT C Tegn linjestykker mellem midtpunkterne, så linjestykkerne deler jeres firkant i en indre firkant og fire trekanter. D Klip den ydre firkant ud. E Klip langs linjerne mellem midtpunkterne, så I får fire trekanter og en firkant. F Undersøg, om det for jer begge kan lade sig gøre, at de fire trekanter kan samles til en firkant, der kan dække den indre firkant. G Lim jeres resultat op på et stykke papir og hæng det op i klassen. DEL A Beskriv, hvad der kendetegner den indre firkant. 0 A Eleven tegner to forskellige trekanter. B Eleven tegner én midtpunktstransversal i hver trekant. C Midtpunktstransversalen er halvt så lang som den trekantside, den er parallel med. D Det gør det. 1 A Eleven tegner trekant ABC. B Eleven finder sidernes midtpunkter. C Eleven tegner trekantens medianer. D ET er det halve af AT, dvs. forholdet mellem ET og AT er 1:. E Ja. F Ja det gælder for alle trekanter og deres medianer. KLIP 4 A Eleven tegner trekant HIJ. B Eleven tegner midtpunktstransversal KL parallel med HJ. C Vinklerne er parvis lige store. Siderne i trekant HIJ er dobbelt så lange som siderne i trekant KIL. D Det gælder for alle trekanter. 5 A Eleven tegner en trekant. B Bordbenet skal placeres, hvor medianerne skærer hinanden. Det er trekantens tyngdepunkt. C Axel kan tegne trekantens medianer og finde deres skæringspunkt. D Axel kan tegne trekantens tre midtpunktstransversaler. De fire trekanter, der opstår herved vil netop være kongruente. UNDERSØGELSE. FIRKANTENS MIDTPUNKTER Eleverne tegner hver deres firkant, forbinder sidemidtpunkterne og klipper de fire trekanter ud. Formålet er, at eleverne skal opdage, at de fire trekanter kan samles til samme firkant som den indre firkant. DEL Den indre firkant vil altid være et parallelogram. Linje stykkerne bliver parallelle to og to, da de er midtpunktstransversaler i de trekanter, der dannes ved hjælp af diagonalerne i den tegnede firkant. A Eleven tegner trekant MNO. B Eleven finder sidemidtpunkter P, Q og R. C Eleven tegner linjestykker mellem midtpunkterne. D Midtpunktstransversaler, der er tre i en trekant. 3 A Eleven beregner arealet af trekant MNO fra opgave 3. B De har alle samme areal. Dvs. de har hver en fjerdedel af MNO s areal. C 4:1 D Det gælder for alle trekanter 8