Kontinuerte systemer.
|
|
- Helena Madsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kontinuerte systemer. Vi har hidtil beskæftiget os med diskrete systemer, dvs. systemer, hvis tilstand er beskrevet ved et endeligt antal frihedsgrader (normalt få). Ved studiet af transportprocesser i et kontinuum - såsom lyd- eller varmeudbredelse - har vi derimod med uendeligt mange frihedsgrader at gøre. Lydudbredelse. Lydudbredelse er en samtidig transport af en densitetsændring og en trykændring igennem et medie. Denne transport er betinget af, at mediet både har en masse eller mere præcist en densitet, ρ og endvidere en elasticitet eller mere præcist en kompressibilitet, κ. Kompressibiliteten er defineret som forholdet mellem en trykstigning og den relative kompression den forårsager: κ = 1 V V p (1) Udbredelsen foregår med en vis hastighed, c, som man kan estimere ud fra et rent dimensionsargument. Gennemfør dette dimensionsargument. Figur 1 Forskydningsfeltet.
2 Lad os nu i detalje se på lydudbredelse i een dimension for 0 x l. En snitflade, der uforstyrret befandt sig i position x befinder sig til tiden t i positionen x + ξ(x, t) (se figur 1). ξ(x, t) kaldes forskydningsfeltet. Læg mærke til, at der er uendelig mange frihedsgrader ξ, nemlig een for hvert x. Trykket vil vi her beskrive i termer af de tilsvarende kræfter, trykket giver anledning til over tværsnitsarealet, A. Disse kræfter er beskrevet ved et felt F(x). F(x) er kraften, hvormed stoffet på venstre side af snitfladen ved x påvirker stoffet på højre side af snitfladen (se figur 2). Volumenelementet med Figur 2 Kræfterne, der virker på volumenelementet mellem x og x + dx massen dm mellem x og x + dx påvirkes da af to kræfter, F(x) fra venstre side og F(x + dx) fra højre side. Hastigheden af elementet er v = ξ og accelerationen er ξ = v. Newtons anden lov giver derfor hvilket også kan skrives F(x, t) F(x + dx, t) = dm ξ (2) F(x + dx, t) = F(x, t) dm v(x, t) (3) Massen af volumenelementet er proportionalt med dx, dm = M l dx = ρadx (4) hvor M l er massen pr. længdeenhed. Ændringen i volumenelements længde er ξ(x+dx) ξ(x) (se figur 1). Denne ændring er ifølge Hooke s lov proportional med kraften F(x). Det kan vi skrive ξ(x + dx, t) ξ(x, t) = dj F(x, t) (5) Eftergiveligheden (en reciprok fjederkonstant) dj må selv være proportional med dx og omvendt proportional med tværsnitsarealet A. Altså er dj = J l dx = κ 1 dx (6) A 2
3 hvor J l er eftergiveligheden pr. længdeenhed og κ er den føromtalte kompressibilitet. Ligningerne (2) og (4) kan kombineres til og (5) og (6) kan kombineres til F x = ρa 2 ξ t 2 (7) ξ x = κ 1 A F (8) Differentieres (8) mht. x og indsættes (7) fås bølgeligningen: hvor 2 ξ t = 2 ξ 2 c2 (9) x 2 c = 1 κρ (10) Antag, at f(x) angiver et forskydningsfelt til tiden t = 0. Gør rede, for at ξ(x,t) = f(x ct) da beskriver, at dette felt bevæger sig fremad (som en bølge) med hastighed c. Hvad er forskellen på c og v? Vis, at funktionerne f(x ct) og f(x+ct) begge opfylder bølgeligningen. Vi har haft megen nytte af e iωt i studiet af diskrete dynamiske systemer. For kontinuerte dynamiske systemer bliver tilsvarende e i(kx+ωt) nyttig. k kaldes bølgetallet og er den rumlige pendant til vinkelfrekvensen. Hvad er sammenhængen mellem bølgelængden λ og bølgetallet k af en harmoniske bølge i rummet? Der kræves en ganske bestemt sammenhæng mellem bølgetallet og vinkelfrekvensen for, at e i(kx+ωt) kan være en løsning til bølgeligningen (9). Denne sammenhæng kaldes dispersionsrelationen. Find dispersionsrelationen k(ω). Udtryk den ved bølgelængden λ og frekvensen ν. Hvis vi vil lave en netværksmodel af det kontinuerte system, må vi vende tilbage til det differentielle element beliggende mellem x og x+dx. For tidsligt 3
4 harmonisk varierende felter, F(x, t) = Re{ ˆF(x)e iωt } og v(x, t) = Re{ˆv(x)e iωt } kan de to ligninger (3) og (5) skrives og ˆF(x + dx) = ˆF(x) iωdm ˆv(x) (11) ˆv(x + dx) = ˆv(x) iωdj ˆF(x) (12) Det differentielle element er derfor beskrevet ved en differentiel overførings matrix, dt, ( ) ( ) ( ) ( ) ˆF(x + dx) 1 iωdm ˆF(x) ˆF(x) = = dt (13) ˆv(x + dx) iωdj 1 ˆv(x) ˆv(x) Figur 3 Lydudbredelse. J l er eftergiveligheden pr. længdeenhed og M l massen pr. længdeenhed. Figur 4 Model af et elektriskt koaxialkabel med selvinduktion dl/dx og kapacitet dc/dx pr. længdeenhed. 4
5 Det differentielle element kan illustreres som ved figur 3 eller ved ækvivalentdiagrammet i figur 4. Den kontinuerte beskrivelse fremkommer nu approximativt ved at sammensætte N sådanne led med dx = l/n. Dette netværk kaldes kædelinien. Bølgeudbredelse generelt i een dimension. Bølgeligningen (9) kan kun beskrive udæmpede bølger, altså bølger der bevarer deres form, som tiden går. Imidlertid bruges begrebet bølge meget mere generelt i fysikken om forplantningen af en forstyrrelse af et felt også selv om bølgens form ændres i tiden. Derfor vil vi studere kædelinien mere generelt som illustreret i figur 5, hvor Z l er den»langsgående«impedans og og Y l er den»tværgående«admittans, begge pr. længdeenhed. Ved at tillade Z l og Y l at være komplekse og frekvensafhængige får vi indfanget en lang række andre fysiske udbredelsesfænomener end de, der er beskrevet ved bølgeligningen, f.eks. varmediffusion, transmission af elektromagnetiske bølger med tab (Telegraphers equation) eller puls i arterie. Figur 5 Generel model af energitransport i dispersivt medium. Vis, at endimensionel varmeudbredelse er beskrevet ved ækvivalentdiagrammet i figur 6. Udtryk R l og C l ved varmeledningsevnen λ og den specifikke varmekapacitet c. Vis, at det ikke spiller nogen rolle for overføringsmatricen dt (til 2. orden i dx) i hvilken rækkefølge netværkselementerne dz og dy står. 5
6 Figur 6 Model af varmediffusion. 6
Den svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs merePartikelbevægelser i magnetfelter
Da fusion skal foregå ved en meget høj temperatur, 100 millioner grader, så der kan foregå en selvforsynende fusion, kræves der en metode til indeslutning af plasmaet, idet de materialer vi kender med
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereDobbeltspalte-eksperimentet. Lad os først se lidt nærmere på elektroner, som skydes imod en skærm med en smal spalte:
Dobbeltspalte-eksperimentet Nogle af kvantemekanikkens særheder kan illustreres med det såkaldte dobbeltspalte-eksperiment, som er omtalt side 73 i Atomernes vilde verden. Rent historisk fandt man elektronen
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereTilstandsligningen for ideale gasser
ilstandsligningen for ideale gasser /8 ilstandsligningen for ideale gasser Indhold. Udledning af tilstandsligningen.... Konsekvenser af tilstandsligningen...4 3. Eksempler og opgaver...5 4. Daltons lov...6
Læs mereLøsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008
Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereManual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.
Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereOpg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen
Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,
Læs mereBeregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:
Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereKort og godt om NemID. En ny og sikker adgang til det digitale Danmark
Kort og godt om NemID En ny og sikker adgang til det digitale Danmark Hvad er NemID? NemID er en ny og mere sikker løsning, når du skal logge på offentlige hjemmesider, dit pengeinstitut og private virksomheders
Læs mereBogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45
Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,
Læs mereKom godt i gang med Fronter
1 Kom godt i gang med Fronter. Introduktion for studerende på den Sundhedsfaglige diplomuddannelse Kom godt i gang med Fronter Introduktion for studerende på den Sundhedsfaglige diplomuddannelse Sådan
Læs mereMatematik Eksamensprojekt
Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende
Læs mereFrank Villa. 15. juni 2012
2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAU-HR Sharepoint Vejledning Medarbejder indplacering
2012 AU-HR Sharepoint Vejledning Medarbejder indplacering Version 2.3 Aarhus Universitet 23-02-2012 Velkommen til AU-HR sharepoint site Databasen Medarbejder indplacering skal anvendes til at sikre, at
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Læs mereTIPS & TRICKS TIL EN GOD TUR
TIPS & TRICKS TIL EN GOD TUR Sådan sikrer du dig, at eleverne både får en sjov dag og noget fagligt med hjem. FØR TUREN Fortæl klassen om den tematur, de skal på. Lad eleverne drøfte de spørgsmål, som
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereProjekt Guidet egenbeslutning og epilepsi. Refleksionsark. Tilpasset fra: Vibeke Zoffmann: Guidet Egen-Beslutning, 2004.
Projekt Guidet egenbeslutning og epilepsi Refleksionsark Tilpasset fra: Vibeke Zoffmann: Guidet Egen-Beslutning, 2004. Label: Refleksionsark, der er udfyldt og drøftet 1. Samarbejdsaftale Markér 1a. Invitation
Læs mereFigur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mereInverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Læs mereStatistik med GeoGebra
Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra
Læs mereDet er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden
DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage
Læs mereArbejdsmiljøgruppens problemløsning
Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase
Læs mereDet danske sundhedsvæsen
Det danske sundhedsvæsen Undervisningsmateriale til sprogskoler Kapitel 8: Undersøgelse for brystkræft (mammografi) 8 Undersøgelse for brystkræft (mammografi) Brystkræft Brystkræft er en alvorlig sygdom.
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereKonfirmand- og forældreaften 27. februar 2014, Hurup kirke Mattæus 14, 22 33
Konfirmand- og forældreaften 27. februar 2014, Hurup kirke Mattæus 14, 22 33 Genezaret sø er ikke større, end at man i klart dagslys kan se til land, ligegyldigt hvor man er på søen. Rundt om søen er der
Læs mereVALG AF DELEGEREDE Delegeretmøde 15
VALG AF DELEGEREDE Delegeretmøde 15 1. BRUG DEMOKRATIET Medarbejderforeninger På mange arbejdspladser med 5 DJ medlemmer eller flere, er der oprettet en medarbejderforening (standardvedtægter for medarbejderforeninger,
Læs mereLektion 6 Logaritmefunktioner
Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi
Læs mereVideopoint. Vejledning til simpelt brug
Videopoint Vejledning til simpelt brug 0. Indledning Videopoint er et smart værktøj, der gør fysikstuderende i stand til, nærmest legende let, at analysere bevægelser af forskellige objekter. Eksempelvis
Læs mereRapport om kvalitetssikring af patientuddannelse Kommentarer fra Komiteen for Sundhedsoplysning
Rapport om kvalitetssikring af patientuddannelse Kommentarer fra Komiteen for Sundhedsoplysning Overordnede kommentarer: MTV ens konklusioner fremhæves ofte som konklusioner om alle former for patientuddannelse.
Læs mereUdgiftspres på sygehusområdet
Kapitel 4 39 Udgiftspres på sygehusområdet Sundhedsudgifterne er stigende. Det er en udvikling, som kendes fra hele den vestlige verden, og som blandt andet er analyseret af OECD. I dette kapitel gennemgås
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereDe fire Grundelementer og Verdensrummet
De fire Grundelementer og Verdensrummet Indledning Denne teori går fra Universets fundament som nogle enkelte små frø til det mangfoldige Univers vi kender og beskriver også hvordan det tomme rum og derefter
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs mereRediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse
Rediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse Institutionens brugeradministrator på Optagelse.dk kan oprette medarbejdere med forskellige roller og rettigheder. Når du opretter en
Læs mereProjekt 4.8. Kerners henfald (Excel)
Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.
Læs mereDen gode motoriske cirkel -som den står i bogen
Den gode e cirkel -som den står i bogen kammerater og voksne Den gode e cirkel -som den står i bogen Skrevet som en rækkefølge og med indlagt niveauforskel Kammerater og voksne F.eks: Kan optimal DIREKTE
Læs mereVands bevægelse i kanaler
Vands bevægelse i kanaler Væskemængde pr tid Væskemængden pr tid Q i et lukket rør er defineret som det volumen ΔV, der passerer et givet sted i røret i løbet af tidsrummet Δt. Dvs at V Q (1) t Hvis rørets
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi
MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012
Læs mereDet sprogpædagogiske kørekort 2012/2013. Modul 2: Blog for begyndere
Det sprogpædagogiske kørekort 2012/2013 Modul 2: Blog for begyndere Ana Acosta og Christoph Schepers Indholdsfortegnelse Gloseliste... 2 Log på bloggen (punkt 1-3) 3 Opret og rediger en side med undersider
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereVejledning til kursusportalen Til dig der skal tilmelde andre til uddannelse ifb. med sundhedsplatformen
Vejledning til kursusportalen Til dig der skal tilmelde andre til uddannelse ifb. med sundhedsplatformen Tilmelding til Sundhedsplatformens uddannelser sker udelukkende i Kursusportalen du finder kursusportalen
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereLogin til den digitale ansøgningsportal
Login til den digitale ansøgningsportal Vejledning om login til den digitale ansøgningsportal for kandidatansøgninger Login til den digitale ansøgningsportal sker via WAYF (Where Are You From), som er
Læs mereDifferentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012
Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens
Læs mereMatematik A, vejledende opgave 2, ny ordning. Vejledende løsninger, Peter B. Delprøven uden hjælpemidler. Opgave 1. a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2
Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2 0 = 8 0 = 8 0 2 Opgave 2 a) Først differentierer vi løsningen: y = 10x. Dernæst indsættes løsningen y i y og vi får: y = 2 5x2 x =
Læs mereMiniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for fysik A 2. A 2011/2012
Undervisningsbeskrivelse for fysik A 2. A 2011/2012 Termin Undervisningen afsluttes den 15. maj 2012 Skoleåret hvor undervisningen har foregået: 2011-2012 Institution Skive Teknisk Gymnasium Uddannelse
Læs mereSpørgeskema på HVAL.DK
Skive, d. 24-05-2006 Journal nr. 7.5.286 Spørgeskema på HVAL.DK Et webbaseret værktøj udviklet af Programdatateket i Viborg amt i forbindelse med Videndeling. Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE 2
Læs mereFå mere synlighed! Vejledningshæfte
Få mere synlighed! Vejledningshæfte Vejledning Sådan kommer dit arrangement på OplevRudersdal.dk Dit arrangement kommer nemt og enkelt på www.oplevrudersdal.dk ved at du opretter dit arrangement på hjemmesiden.
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler
Læs mereQuick-guide til Dynamicweb
Quick-guide til Dynamicweb 1 Indledning... 3 2 Administration i Dynamicweb... 4 3 Tilføj indhold på websiden... 6 3.1 Hvordan opretter jeg hovedsider?... 6 3.2 Hvordan opretter jeg undersider?... 7 3.3
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs mereFÅ OVERBLIK OVER LØNNEN EXCEL FOR TILLIDSREPRÆSENTANTER DEL 4: FORMATERING AF REGNEARKET INFORMATIONSBOKS
FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN Få overblik over lønnen Excel for tillidsrepræsentanter Del 4: Formatering af regnearket Trin 8: Justér visningen af tallene Nu er vi færdige med selve tal-beregningerne i Excel.
Læs mereROUGHNESS. 2. Semesterprojekt 1. JUNI 2015
ROUGHNESS 2. Semesterprojekt 1. JUNI 2015 Emel Caglar 55665 & Ülkü Sara Ocak 55160 Roskilde University Center Hus 14.1, hold 12 Resume I projektet vil det undersøges hvilke forskellige kræfter, der gælder
Læs mereSpørgsmål og svar om håndtering af udenlandsk udbytteskat marts 2016
Indhold AFTALENS FORMÅL... 2 Hvilken service omfatter aftalen?... 2 Hvad betyder skattereduktion, kildereduktion og tilbagesøgning?... 2 AFTALENS INDHOLD OG OPBYGNING... 3 Hvilke depoter er omfattet af
Læs mereOpgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).
Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSorteringsmaskinen. Hej med dig!
Sorteringsmaskinen Hej med dig! Jeg er Thomas Tandstærk, og jeg ved en masse om teknik og natur. Jeg skal lære dig noget om at lave forsøg og undersøgelser. Når klassen er færdig får I et flot diplom!
Læs mereWebGIS. Zoom. Klik på knappen Startside (skift øst/vest) hvis du vil se kommuner i den anden landsdel. September 2014
WebGIS September 2014 WebGIS er en webside, der viser HMN Naturgas gasledninger. Private kan se hvor gas stikledningen ligger på deres egen grund. Visse samarbejdspartnere har fået lidt udvidet adgang
Læs mereVEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Læs mereDenne vejledning henvender sig til katalogadministratoren, og er en guide der gennemgår hvilke elementer en titel består af.
DIN VEJ TIL MÅLRETTET KOMPETENCEUDVIKLING INDLEDNING Denne vejledning henvender sig til katalogadministratoren, og er en guide der gennemgår hvilke elementer en titel består af. Kursets 3 dele: 1. Titlen
Læs merePatientinformation. Knæartroskopi. Velkommen til Vejle Sygehus. Ortopædkirurgisk Afdeling
Patientinformation Knæartroskopi Velkommen til Vejle Sygehus Ortopædkirurgisk Afdeling rev.dec 2010 Knæartroskopi Knæleddet er et hængselled, dvs. et led, som gør det muligt, at knæet både kan bøje og
Læs mereSPØRGESKEMAUNDERSØGELSE
SPØRGESKEMAUNDERSØGELSE Sådan ser du svarprocenten og rykker for eller tilbagekalder besvarelser I denne vejledning kan du læse, hvordan du kan følge arbejdspladsens svarprocent på spørgeskemaundersøgelsen
Læs merePinsedag Joh. 14,15-21; Jer. 31,31-34; Apg. 2,1-11 Salmer: 290, 300, 283-291,292 (alterg.), 298
Pinsedag Joh. 14,15-21; Jer. 31,31-34; Apg. 2,1-11 Salmer: 290, 300, 283-291,292 (alterg.), 298 Lad os bede! Kære hellige ånd, tak fordi Du er hos os som vor ledsager gennem livet. Vi beder dig: bliv hos
Læs mereBaggrund. Arbejdet med fagsproget gennem læsning og samtale Matematik, Fysik og Teknologi. Fokus på læsning af matematikfagtekster.
Arbejdet med fagsproget gennem læsning og samtale Matematik, Fysik og eknologi Mikkel Stampe Hjorth, Sarah Stampe Hjorth og Hanne Nielsen Baggrund Fokus på læsning af matematikfagtekster. Chancelighed
Læs mereJobsøgning og kompetenceafklaring. Chefkonsulent i Djøf rådgivningscenter, Lykke Fehmerling
Jobsøgning og kompetenceafklaring Chefkonsulent i Djøf rådgivningscenter, Lykke Fehmerling Matchet er afgørende Virksomheden leder efter en der kan løses de konkrete udfordringer virksomheden står overfor
Læs mereManual til skinnelayoutprogram
Manual til skinnelayoutprogram Version 1.1 13. marts 2005 Skinnelayoutmanual af 13. marts 2005, version 1.1 1 Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 3 2. Oversigt over startbillede... 3 3 Menulinie... 4
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereÅrsafslutning i SummaSummarum 4
Årsafslutning i SummaSummarum 4 Som noget helt nyt kan du i SummaSummarum 4 oprette et nyt regnskabsår uden, at det gamle (eksisterende) først skal afsluttes. Dette betyder, at det nu er muligt at bogføre
Læs mereLinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse
LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereAppendiks 2 Beregneren - progression i de nationale læsetest - Vejledning til brug af beregner af læseudvikling
Appendiks 2: Analyse af en elevs testforløb i 4. og 6. klasse I de nationale test baseres resultaterne på et ret begrænset antal opgaver (normalt 15-25 items pr. profilområde 1 ). Hensynet ved design af
Læs mereNiels Jonassen ELEKTRO MAGNETISME. Polyteknisk Forlag
Niels Jonassen ELEKTRO MAGNETISME Polyteknisk Forlag FORORD Denne bog er en stærkt revideret og omarbejdet udgave af noter og kompendier, der siden 1984 har været anvendt ved kurser i elektromagnetisme
Læs mereVejledning til skriftlig prøve i fysik/kemi
Vejledning til skriftlig prøve i fysik/kemi Styrelsen for Undervisning og Kvalitet Januar 2016 1 Indhold Indledning... 3 Mål og krav... 4 Indhold... 5 Hjælpemidler... 5 Opgavetyper... 6 Eksempler på opgaver...
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereEtiske principper (og hensyn) for prioriteringer i sundhedsarbejdet
CENTER FOR STUDIER AF LIGHED OG MULTIKULTURALISME/FØDEVAREØKONOMISK INSTITUT, LIFE Etiske principper (og hensyn) for prioriteringer i sundhedsarbejdet Morten Ebbe Juul Nielsen, Adjunkt Københavns Universitet,
Læs mereDeltidsansattes psykiske arbejdsmiljø
1 Deltidsansattes psykiske arbejdsmiljø Deltidsansatte oplever oftere end fuldtidsansatte psykiske belastninger i deres job. Det tyder dog ikke på, at det skyldes tidspres og andre arbejdsmæssige faktorer.
Læs mereDet er tydeligt, at det er meget forskellige historier, som billederne fortæller. Se de orange ringe med forklaringer på billedet.
Mennesker har altid brugt det blotte øje til at udforske rummet med, men har udviklet sig til, at man har lavet mere og mere avancerede teleskoper. Optiske teleskoper bruger det synlige lys til observationer.
Læs merehttps://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf
Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereL: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke.
Bilag 4 Transskription af Per Interviewere: Louise og Katariina L: Louise K: Katariina L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke. L: Vi vil gerne høre lidt
Læs mereHvordan bedømmer du kvaliteten af din skoles undervisning?
Skole og Forældre Kvægtorvsgade 1 110 København V Tlf. 3326 121 Fax 3326 122 post@skole-foraeldre.dk www.skole-foraeldre.dk Skolebestyrelsernes bedømmelse af skolens kvalitet Skole og Forældre har stillet
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereKORT GØRE/RØRE. Vejledning. Visuel (se) Auditiv (høre) Kinæstetisk (gøre) Taktil (røre)
GØRE/RØRE KORT Vejledning Denne vejledning beskriver øvelser til Gøre/røre kort. Øvelserne er udarbejdet til både de kinæstetisk, taktilt, auditivt og visuelt orienterede elever. Men brugeren opfordres
Læs mereHvordan hænger det sammen? Hvad betyder det? Brug og misbrug
ADHD og misbrug Hvordan hænger det sammen? 04 Hvad betyder det? 05 Brug og misbrug 07 Hvordan virker usunde stimulanser på en ADHD-hjerne? 08 Ungdomsliv 10 Hvem taler man med? 11 04 ADHD er en forstyrrelse
Læs mere