FYSISK MATEMATIK? Mogens Esrom Larsen February 16, Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet
|
|
- Svend Jørgensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 FYSISK MATEMATIK? Mogens Esrom Larsen February 16, 2007 Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Lertavler og talsystemer I begyndelsen var iagttagelsen. De ældste overleverede matematiske tekster er assyriske fra et par tusind år før vor tidsregning. I de samtidige kulturer i Ægypten og Kina benyttede man brændbare materialer, mens man i Assyrien lavede aftryk i våd ler med små kiler. Selv om en tavle kunne genbruges og ofte blev det, så var dette materiale arkæologernes held. Hver gang et hus brændte, blev de tilfældige optegnelser forevigede. Assyreren måtte så skaffe sig nye lertavler til sin ærgrelse og vores held. Assyrien var et regnfattigt land, tænk bare på Hammurapis ( ) berømte love om reglerne for brug og misbrug af vandingsanlæg. Men til gengæld var og er klimaet gunstigt for iagttagelse af himmellegemernes færd. Man opdagede korte og lange perioder, at de fleste stjerner bevæger sig i parallelle baner i en døgnrytme, der langsomt ændres med årstiderne. Det kunne ligefrem være praktisk nyttigt; vi læser, at når Plejaderne ses om foråret første gang, så er tiden inde til at så korn. Men syv himmellegemer skiller sig ud, sol og måne og de fem vagabonder planeterne. De sidste følger ikke fixstjernerne, men løber somme tider i forvejen, og snart efter tilbage igen i modsat retning. Man anså disse syv for virkelige guder og deres løben frem og tilbage som varsler. Planeterne bærer stadig gudenavne, men nu romerske, Venus, Mars, Jupiter osv. På den tid tænkte man ikke i modellen årsag virkning, men snarere varsel begivenhed. Hændelser var forudbestemt af guderne, men efter advarslen kunne de påvirkes efter anmodning. Men perioderne tillod de lærde at forudse visse begivenheder som f. eks. måneformørkelser, hvilket nok har virket imponerende. Når kongen efter en heldig forudsigelse så spurgte de lærde om andre varsler, så havde de et problem. Hvad enten de nægtede eller tog fejl, var resultatet det samme: umiddelbar henrettelse. Intet nyt under solen, var der ikke for nylig et forslag i et åndeligt u land om at straffe meteorologerne for forkerte vejrudsigter? Blandt lertavlerne finder vi regnestykker med længder, arealer, rumfang, vægt, priser og lønninger. Og også tavler med den lille tabel, i 60 talsystemet er der 1711 produkter fra 2 til 59, (i 10 talsystemet er der kun 36 produkter fra 2 til 1 Typeset by AMS-TEX
2 2 MOGENS ESROM LARSEN February 16, ), og pythagoræiske talsæt, 3 4 5, , osv. De har kendt disse retvinklede trekanter. Assyrerne brugte også tal til at notere stjerners og planeters positioner, de opfandt positionssystemet med grundtal 60, delte omkredsen i 360 grader, og angav positionerne med en nøjagtighed på to hexagesimaler, vore dages 60 minutter (de små) og hver af dem i 60 sekunder (de anden små). Da disse tabeller nåede grækerne, som ikke brugte et positionssystem, blev disse små enheder bevaret og blot skrevet med græske hele tal. Positionen af en stjerne blev altså angivet med tre heltal, grader, minutter og sekunder, de sidste mellem 0 og 59. Da de ikke havde et symbol for nul, valgte Ptolemaios (2. årh.) for ikke at forveksle sekunder med minutter i tilfælde af 0 minutter, at skrive det meningsløse tal 70 for minutterne. Da grækerne brugt alphabetet til tal også, α=1, β=2, osv. var symbolet for 70 tilfældigvis omikron, o. Astronomi De græske astronomer var ikke tilfredse med gudernes viljer. De lavede en veritabel matematisk model for planeternes vagabondering. De forestillede sig jordkloden som en kugle, fixstjernerne som lys på en sfære langt uden om og planeternes baner givet som såkaldte epicykler, dvs. små cirkulære baner, hvis centrer bevæger sig i en større cirkel rundt om jorden. Aristarkos (3. årh. fvt., med tilnavnet mathematikos den alvidende) havde i sin model solen i centrum for alle planeternes små cirkler. Sol Planet Jord Geometri Det gjorde grækerne også og Pythagoras (6. årh. fvt.) var lige så glad for tallene som Assyrerne. Men han gjorde den iagttagelse, at hypotenusen i en ligebenet retvinklet trekant med kateterne 1 ikke kan måles med rationale tal. Eller om man vil, diagonalen i et kvadrat med siden 1 er 2, der ikke er rational. Disse iagttagelser fik grækerne til udvikle geometrien til beskrivelse rummet uafhængigt af tallene. De arbejdede direkte med figurerne, 1, 2 eller 3 dimensionale. Det lykkedes at definere et lighedsbegreb, der udtrykte at figurer havde samme areal eller samme rumfang, uden at disse størrelser blev udregnet som tal. De kunne f. eks. bevise, at Hippokrates (5. årh. fvt.) måne er lige så stor som en vis ligebenet og retvinklet trekant.
3 FYSISK MATEMATIK? 3 Måne Trekant Har trekanten katete 1 og dermed efter vores mening hypotenuse 2 og areal 1 2, så er månen tegnet af to cirkelbuer med radierne 1 og 2 2 og centrum i hypotenusens midtpunkt og trekantens toppunkt hhv. Denne måne har altså også arealet 1 2. Grækernes geometri sammenlignede figurer med figurer og undgik tal. De stillede visse krav på græsk axiom, som skulle afspejle den geometriske praksis, at tegne med passer og lineal. F. eks. axiomerne, at gennem to punkter går der en ret linie, og givet to punkter, så er der en cirkel gennem det ene og med det andet som centrum. Med disse forudsætninger udledte man alle de logiske konsekvenser, man havde fantasi til og udviklede på denne måde det første eksempel på en matematik, dvs. en teori, der er logisk konsistent. Verdens første model af et fysisk fænomen, det rum vi lever i. Når vi taler om konstruktion med passer og lineal, er det en tilsnigelse. Vi mener byggende på Euklids (3. årh. fvt.) axiomer. Ud fra axiomerne kan vi kun klare irrationale forhold, der kan udtrykkes med kvadratrødder. To opgaver, man betragtede, var vinklens tredeling og terningens fordobling. Begge kræver tredierødder, som man ikke kunne ud fra Euklids axiomer. Men allerede i oldtiden kunne man godt klare problemerne. Hvis vi opfatter en lineal som et redskab i den fysiske verden allerede et problem: Hvor får man den første korrekte rette linie fra? man kunne måske vælge en lodret lavet af en snor og en sten ren fysik! så kan vi afsætte et liniestykke på linealen. Er der så givet to skærende rette linier og et punkt uden for dem, så kan man da let tegne en linie gennem punktet, så de to linier afskærer et stykke af den foreskrevne længde på linien. Indskydning Punkt Liniestykke
4 4 MOGENS ESROM LARSEN February 16, 2007 Hvis vi tilføjer axiomet, at givet to linier og et punkt uden for og et liniestykke, så findes en linie gennem punktet, så de givne linier afskærer et stykke af den givne længde på den ny linie, så kan vi også uddrage tredierødder og specielt tredele vinkler og fordoble terninger. For at antyde hvordan, skal vi lige se på en vinkels tredeling. A k m ψ 0 1 B l Figur 4 Vi ønsker at tredele vinklen ψ mellem linierne l og k. Vi tegner cirklen med centrum i 0 og radius 1 på l, den skærer linien k i punktet A. Derefter tegnes AB vinkelret på l. Endelig tegnes linien m gennem A parallel med l. Vi foretager nu i henhold til metoden ovenfor en indskydning, dvs. vi tegner gennem 0 linien, n, der skærer AB i C og m i D, så afstanden CD = 2. A k n Dm E C φ 0 1 B l Figur 5 Betragter vi ACD, som er retvinklet med A som den rette, ser vi, at E er hypotenusens midtpunkt, så AE = 1, den halve hypotenuse. AED er derfor ligebenet, så vi ser, at DAE = ADE = COB = φ. Da OAE også er ligebenet, er AOC = AEC = EAD + ADE = 2φ. Vi har tredelt vinkelen AOB = ψ. Denne metode har være kendt siden det 5. århundrede f. v. t.
5 FYSISK MATEMATIK? 5 Punkt Liniestykke Euclides Danicus Man kan også indskrænke sine axiomer. Georg Mohr beviste, at alle punkter, der kan konstrueres med passer og lineal (i Euklids forstand) kan konstueres med passeren alene. Smukt! Vi behøver altså ikke den givne rette linie! Det vigtigste hjælpemiddel i ræsonnementerne var den såkaldte størrelseslære Euklids 5. bog der definerer, hvad det vil sige, at om fire størrelser af samme art (dimension), A, B, C og D, kan A forholde sig til B som C forholdler sig til D. Månen og trekanten ovenfor forholder sig som et par af to ens. Man kunne så om 2 sige, at siden forholder sig til diagonalen i et kvadrat som de samme i et hvilket som helst andet. For endimensionale størrelser, kan man gange overkors og sige, at de to forhold er ens, hvis a d = b c, idet der her er tale om lighed i størrelse mellem to rektangler. Men grækerne var ikke villige til at danne produktet af to plane figurer, der også havde krævet et 4 dimesionalt volumen. Den endimensionale trivialitet, at under forudsætninge af ligheden mellem de to forhold, så vil også a forholde sig til c som b til d. Ombytningen af mellemleddene for plane eller rumlige figurer, krævede mange overvejelser og kommer derfor først som sætning 16 i Euklids 5. bog. Det er Archimedes ( 212 fvt.), der ser to veje videre fra Euklids størrelseslære. Den ene genialitet er at udvide sammenligningerne fra plane figurer til også krumme overflader af rumlige figurer. Han kræver blot at disse er konvekse. Hertil må han oven i købet udføre approximationer! På denne måde viser han at kuglens overflade er lige så stor som den cirkelskive, der har kuglens diameter som radius. Det er til denne opdagelse, han skriver de berømte ord: Sådan har det altid været, men jeg er den første, der har vidst det! Den anden er at sammenligne forhold mellem par af en dimension med forhold mellem par af en anden dimension. Han viser, at cirklens omkreds (igen konveks) forholder sig til diameteren som arealet til kvadratet på radius. Med andre ord: Vi kan nøjes med et π! Har man to liniestykker, a og b, og to flader, A og B, så a forholder sig til b som A til B, kan man godt gange overkors og sige, at de to rumlige figurer a B og b A har samme rumfang. Men Archimedes har en anden og på en måde mere fysisk idé. Han forestiller sig en skålvægt med armene af længde hhv. a og b og så de to figurer A og B ophængt i enden af armene i omvendt orden. Med den definition af ligheden mellem forholdene, at skålvægten er i balance, får han også defineret en sådan lighed for rumlige figurer A og B, hvor krydsproduktet ville blive 4 dimensionalt. Denne definition bruger han f. eks. til at bestemme arealet
6 6 MOGENS ESROM LARSEN February 16, 2007 af et parabelafsnit. Analyse Axiomerne som grundlag for en matematik er ikke grækernes eneste bidrag til tænkningens udvikling. En problemløsningsmetode kaldet analyse har også stor betydning både inden for og uden for matematikken. Givet et problem, tænker man sig at have fundet en løsning. Derefter ræsonnerer man sig frem til, hvilke begrænsninger den må opfylde. Finder man nu, at disse begrænsninger strider mod hinanden, har man fundet, at problemet er uløseligt. Metoden er blevet til det, vi kalder et indirekte bevis, deductio ad absurdum. Er man mere heldig, finder man så mange begrænsninger, at der højst er én mulig løsning. Det er, hvad man typisk gør ved løsning af en eller flere ligninger. Man antager dem løst med en ukendt løsning, x mfl., manipulerer til man har fundet et entydigt forslag, og dermed har man så ikke løst problemet, men kun vist løsningens entydighed. Til sidst må man så sikre sig, at der er tale om en løsning og ikke blot et ufuldstændigt bevis for umuligheden. Man må gøre prøve. Et eksempel, der på nydeligste vis blander fysik og matematik, er løsningen på Pierre de Fermats ( ) problem: Givet en trekant. Find det punkt, hvorfra summen af afstandene til de tre hjørner er mindst. Nu foretager vi en analyse ved hjælp af et fysisk tankeeksperiment. Vi tænker os de tre punkter er afsat på en plade, og hvert punkt har vi boret et hul. Pladen holdes vandret. Fra punktet trækker vi snore, der er bundet sammen, til hvert hul og ned gennem hullerne. I enden af hver snor fastgør vi et lod, de tre lodder med samme vægt. (Snorene har ingen vægt.) Dette system vil finde ro i en slags ligevægt, med tyngdepunktet lavest muligt, dvs. der hvor summen af afstandene er minimal. Samtidig er summen af de tre træk lig med 0, ellers ville knuden flytte sig. Men for at summen kan være 0, må de tre vinkler mellem trækretningerne være ens (120 ). (Det kræver selvfølgelig, at alle vinkler i den oprindelig trekant er mindre end 120.) Et sådant punkt eksisterer og kan findes ved at konstruere to af synsvinkelbuerne over to af trekantens sider. Fermat Ikke Euklidisk geometri Matematikkens fordrivelse fra fysikken begynder omkring år Indtil da anses den Euklidiske geometri som den perfekte matematiske model af det fysiske rum. Filosoffen Immanuel Kant ( ) er eksponent for denne opfattelse, idet han anser den Euklidiske geometri for at indeholde den eneste erkendelse, som både er a priori - givet på forhånd, og analytisk uafhængig af erfaring. Men samtidige matematikere begynder at tvivle. Problemet er, om parallelpostulatet er et axiom eller kan udledes af de andre mere plausible axiomer. Det siger, at givet en ret linie og et punkt uden for denne findes netop én ret linie gennem
7 FYSISK MATEMATIK? 7 punktet parallel med den givne, (eller som ikke skærer den givne). Heraf slutter man f. eks., at vinkelsummen i en trekant er 180 (Euklid: To rette. ) Utallige forsøg har været gjort på at udlede denne påstand af de øvrige axiomer. Carl Friedrich Gauß ( ) må have haft sine tvivl, eller rettere set postulatets uafhængighed af de øvrige axiomer. Han opfatter spørgsmålet som at spørgsmål om den relevante model for fysikken! Han foretog en geodætisk opmåling af vinklerne i en trekant mellem tre tyske bjergtoppe for at se, om vinkelsummen også i virkeligheden var 180. Det fandt han, at den var. Men andre, Nicolai Ivanovitsch Lobatschevskij ( ) og Johann Bolyai ( ) udviklede ikke euklidiske geometrier med parallelpostulatet erstattet enten af det axiom, at to forskellige rette linier altid skærer hinanden ( elliptisk geometri ), eller at det axiom, at der til en ret linie og et punkt uden for denne gennem punktet findes evt. flere rette linier, der ikke skærer den givne ( hyperbolsk geometri ). Dermed kom matematikerne til at dyrke matematikker uden hensyn til deres eventuelle sammenhæng med fysikken. Samtidig inddrog man den vilkårlige dimension At disse verdensfjerne matematiske modeller kunne være fysisk relevante, var der dog nogen, der så. William Kingdon Clifford ( ) skrev et abstract til en afhandling, On the Space Theory of Matter i 1876, en forløber for den relativitetsteori, Albert Einstein ( ) blev berømt for. At fysikere pludselig finder anvendelse for en i lang tid forefindende matematik, er sket før. Det mest slående eksempel er Johann Keplers ( ) ellipse som model for marsbanen. Der anvender han et keglesnit, som kendtes fra oldtidens matematik, fra Euklid og senere Apollonios (2. årh. fvt.). Sådan er det vel for det meste nutildags. Kvantemekanikken finder til sin glæde flere foreliggende matematiske teorier. I første omgang Lie grupper, (Sophus Lie ), i anden von Neumann algebra, John von Neumann ( ). Samtidig har matematikerne forladt det fysiske indhold og vender sig mod en semantik, der bygger på en mængdelære, der er svær at holde styr på. Axiomerne for den synes at føre tanken til modstrid med det samme. Det er klart, at for enhver mængde må mængden af delmængder have større mægtighed end mængden selv. For hvis vi havde en korrespondance, kunne vi definere mængden af elementer, der korresponderer med delmængder, de ikke tilhører. Denne delmængde skulle så korrespondere med et element. Dette element kan derfor ikke ligge i delmængden. Men gør det ikke det, så er det netop et disse elementer. Altså kan man ikke have en korrespondance, og der må være flere delmængder end elementer. Man kan derfor ikke have nogen største mængde, f. eks. ikke mængden af alle mængder. Der er noget suspekt ved dette ikke fysiske grundlag for matematikken. Et morsomt eksempel på vanskeligheden ved at afgrænse logikkens gyldighed er følgende: På de to skuffer i en dragkiste står to tekster: Første skuffe: Ringen er i den anden skuffe. Anden skuffe: Kun én af sætningerne på skufferne er sandt. Nu kan man tænke sig, at sætningerne er sande eller falske, det ved vi ikke. Falske sætninger findes. Men er den anden sætning sand, så er den første åbenbart falsk, så ringen må være i den første skuffe. Og er den anden sætning falsk, så er begge sætninger falske, og ringen må være i den første skuffe. Men i den fysiske verden er der intet til hinder for, at en eller anden logisk
8 8 MOGENS ESROM LARSEN February 16, 2007 ignorant har lagt ringen i den anden skuffe.
FYSISK MATEMATIK? Mogens Esrom Larsen 18. september 2007. Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet
FYSISK MATEMATIK? Mogens Esrom Larsen 18. september 2007 Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Matematikken blev fordrevet fra fysikken i nyere tid, så vi nu ser de to fag som parallelle.
Læs mereFYSISK MATEMATIK? Mogens Esrom Larsen 24. februar 2007 Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet
FYSISK MATEMATIK? Mogens Esrom Larsen 24. februar 2007 Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Lertavler og talsystemer I begyndelsen var iagttagelsen. De ældste overleverede matematiske tekster
Læs mereFysisk matematik? Af Mogens Esrom Larsen, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet
Fysisk matematik? Af Mogens Esrom Larsen, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Matematikken blev fordrevet fra fysikken i nyere tid, så vi nu ser de to fag som parallelle. Matematikeren
Læs mereAssyrien. Planeterne. Astronomi
Assyrien I begyndelsen var iagttagelsen. De ældste overleverede matematiske tekster er assyriske fra et par tusind år før vor tidsregning. I de samtidige kulturer i Ægypten og Kina benyttede man brændbare
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGeometri med Geometer I
f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereDynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling
Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGeometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -
2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...
Læs mere8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:
8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereMatematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven
Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes
Læs mereAreal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO
Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede
Læs mereJorden placeres i centrum
Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale
Læs mereVEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereFacitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag
[1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs merebrikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereDe 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298
Inventor 2011 - Del 1 Featuren Circular Pattern 2D Constraints Constraints er bindinger, der kan oprettes mellem de forskellige elementer i fx en Sketch. Du har allerede arbejdet med nogle af dem, programmet
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereTrekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres.
.01 Trekanter Trekanttypespil En retvinklet trekant med siderne,, og. Kan ikke konstrueres. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En ligesidet trekant med siden. En spidsvinklet trekant hvor den ene
Læs mereTaxageometri og metriske rum
Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereModellering med Lego EV3 klodsen
Modellering med Lego EV3 klodsen - Et undervisningsforløb i Lego Mindstorm med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af: Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg EV3 - et modelleringsprojekt i matematik
Læs merePladeudfoldning, Kanaler
2009 Pladeudfoldning Kanaler Teoretisk gennemgang af de grundlæggende færdigheder inden for Pladeudfoldning, Kanaler Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereFrank Villa. 15. juni 2012
2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereNår mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet
Når mor eller far er ulykkesskadet når mor eller far er ulykkesskadet 2 Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder, der er ulykkesskadet. Kan dit barn læse, kan det
Læs mereDet Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff
Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereLille Georgs julekalender 08. 1. december
1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken
Læs mereGeometri Følgende forkortelser anvendes:
Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien
Læs mereVi går ud fra, at vi kender udgangspunktets position det kunne f.eks. være en europæisk havn.
Om Bestikregning Bestikregning går ud på, at man forsøger at finde ud af hvor man er ved at benytte sig af følgende oplysninger: a. Udgangspunktets position (breddegrad og længdegrad) b. Hvilken retning
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereArkitektens Værktøjskasse Grundformerne
Tine Olesen og Ulla Svarrer Arkitektens Værktøjskasse Grundformerne Peregrina ARKITEKTENS VÆRKTØJSKASSE GRUNDFORMERNE Forlaget Peregrina og Tine Olesen, 2015 1. udgave, 1. oplag, 2015 ISBN 978-87-995471-3-5
Læs mereTrigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereProjekt 4.8. Kerners henfald (Excel)
Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereInduktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs mereKeplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).
Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers
Læs mereVictor, Sofia og alle de andre
Victor, Sofia og alle de andre Victor betyder vinder, og Sofia betyder vis dom. Begge er egenskaber, som vi alle sammen gerne vil eje. I denne bog er det navnene på to af de børn, vi møder i mange af bogens
Læs mereTegning og figurer. 1 Tegn med GeoGebra. Du skal bruge Computer. Tablet. 2 Rundt om og indeni Du skal bruge Målebånd. Kvadratpapir.
Tegning og figurer 1 Tegn med GeoGebra Du skal bruge Computer Tablet KG 2 Rundt om og indeni Du skal bruge Målebånd Kvadratpapir Arbejdsark 23 24 KG Værksted 3: Byg huse. 25 26 27 Værksted 4: Tegn, hvad
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereFørst falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.
ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereMaxiMat og de forenklede Fælles mål
MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereRumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor
Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå
Læs mereStjerner og sorte huller
Sorte huller 1 Erik Høg 18. januar 2008 Stjerner og sorte huller Der er milliarder af sorte huller ude i Verdensrummet Et af dem sidder i centrum af vores Mælkevej Det vejer fire millioner gange så meget
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereLektion 9 Statistik enkeltobservationer
Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1 Når man skal holde styr på mange oplysninger,
Læs mereMatematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte
Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og
Læs mereÅr 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76
Eksamensspørgsmål i ma til 1b sommeren 2010 1. Procent og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning (i daglig
Læs mereBordkort nr. 1 & 7. Sværhedsgrad 1 Ingen kendskab. Bordkort nr. 2 & 3. Sværhedsgrad 2 Lidt kenskab. Bordkort nr. 4 & 6
SVÆRHEDSGRAD Der er i denne e-bog 8 bordopsætninger, som indeholder 4 sværhedsgrader. Sværhedsgrad 1 er den letteste, og 4 den sværeste. Dog skal det siges, at alle, som er let øvede inden for kort og
Læs mereBilag 4: Transskription af interview med Ida
Bilag 4: Transskription af interview med Ida Interviewet indledes med, at der oplyses om, hvad projektet i grove træk handler om, anonymitet, og at Ida til enhver tid kan sige, hvis der er spørgsmål hun
Læs mereKonfirmationsprædiken: Store bededag
Konfirmationsprædiken: Store bededag Kære konfirmander, familier og venner I midten af september mødtes vi; konfirmanderne og jeg til den første undervisningstime her i Jægersborg Kirke, og nu er der gået
Læs merehttps://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf
Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens
Læs mereInverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Læs mereLøsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner
Læs mereVort solsystem Ny Prisma Fysik og kemi 8. Skole: Navn: Klasse:
Vort solsystem Ny Prisma Fysik og kemi 8 Skole: Navn: Klasse: Opgave 1 Hvilken måleenhed måles kræfter i? Der er 5 svarmuligheder. Sæt et kryds. joule newton pascal watt kilogram Opgave 2 Her er forskellige
Læs mereNavneregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 2 Navneregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Navneregning 2-5 Elevaktiviteter til Navneregning 2.1 Værdifulde navne M-Æ
Læs mereArbejdsmiljøgruppens problemløsning
Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase
Læs mereProjekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten
Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mere4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))
A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k
Læs mereMATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB
MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet
Læs mereHurup 2. påskedag, 227, 218, 238, 249, 227,9?- 234
Hurup 2. påskedag, 227, 218, 238, 249, 227,9?- 234 Det er 2. påskedag og vi har foran os en af de mest nærværende beretninger. Jeg holder meget af den for Maria Magdalene og hendes møde med havemanden
Læs mere