Funktioner af to og tre variable

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Funktioner af to og tre variable"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00

2

3 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle aledede kan tegne graer or unktioner a to variable, beregne lokale og globale ekstrema og ved hjælp a dierentialer oretage ejlvurderinger Der gives også en kort orientering om hvorledes de tilsvarende begreber kan beregnes or unktioner a tre variable Forudsætninger: Der orudsættes et kendskab til dierentialregning svarende til pensum i matematik på A- niveau (se evt. notatet Matematik ra C til A - niveau der i pd-ormat kan indes på adressen ) Endvidere kendskab til beregning a determinanter a 3. orden i en udstrækning svarende til emnet i notatet Matricer og lineære ligninger (kan også indes på ovennævnte adresse) Regnemidler: Der bliver i eksemplerne vist, hvorledes man kan oretage beregningerne med matematiklommeregneren Ti 89 og edb-programmet Mathcad For en mere omattende gennemgang henvises til lærebogen Bjarne Hellesen, Mogens Oddershede Larsen: Matematik or Ingeniører bind. Enkelte eksempler er også hentet herra. (Bøgerne kan indes på ovennævnte adresse) januar 0 Mogens Oddershede Larsen iii

4 Indhold INDHOLD Funktion a variable. Indledning.... Graisk remstilling....3 Partiel dierentiation Geometrisk tolkning a partielle aledede, tangentplan Partielle aledede a højere orden Lokalt ekstremum Globalt ekstremum....8 Grænseværdi, kontinuitet, dierentiabilitet Dierential... 5 Funktion a mere end to variable... 8 Opgaver... 0 Facitliste... 4 Stikord... 6 iv

5 Funktion a variable Grundlæggende begreber. Indledning Funktioner a variabel = (), deres gra i et retvinklet koordinatsstem, dierentiation, bestemmelse a lokale ekstrema osv. osv. er velkendt. Vi vil i dette kapitel se på unktioner a variable z = (, ), deres gra i et tredimensionalt koordinatsstem, dierentiation og bestemmelse a lokale ekstrema... Graisk remstilling. En unktion a variable z = (, ) vil graisk sædvanligvis kunne remstilles i et rumligt koordinatsstem som en lade med bakker og dale. En sådan rumlig tegning kan være vanskelig at orestille sig. Man vil deror ote i stedet tegne niveaukurver, som svarer til højdekurver på et geodætisk kort. Ligesom en dgtig orienteringsløber kan se landskabet or sig ved at betragte højdekurverne på et kort, kan man ved at studere niveaukurverne å et godt indtrk a laden. En niveaukurve er en punktmængde (, (, ) k hvor har en konstant værdi { } = (, ) k. På igur. er der vist niveaukurver or en unktion med et lokalt maksimum samt den samme unktions 3-dimensionale udseende. På igur. er de tilsvarende igurer tegnet or et lokalt minimum, og på igur.3 er der tegnet en unktion med et saddelpunkt (disse begreber deineres mere præcist i et senere kapitel). Figur. Gra og niveaukurvediagram or unktionen (, ) = 00 e ( ) + ( ) +

6 Funktioner a to eller lere variable Matcad: Skriv unktionen (,):= osv. ) Tredimensional gra: Vælg Paletten: Surace Plot Skriv i nederste venstre hjørne. En tredimensional gra viser sig. Man kan nu ændre graens udseende på orskellig måde. Cursor på graen. a) Højre musetast. Vælg Bo og man år en kasse som på iguren. b) Trk to gange. Der viser sig en menu, hvor man kan skite arver osv. Vælges Quick Plot Data kan man skite grænserne or og. c) Med venstre musetast nede kan man trække iguren rundt så man ser iguren ra en bedre retning. ) Niveaukurver: Vælg paletten Contour Plot Skriv i nederste venstre hjørne. Der tegnes nogle niveaukurver. Man kan nu på samme måde som under punkt ændre grænser, arver osv, Ti 89: Mode: Graph = 3D, Y= (indtast unktion), gul rude,vælg akser m.m., F, Vælg ZoomStd, Se på iguren, og eventuelt: i Windows ændre ma osv, ved piletaster ændre hvorledes graen ses, trk på X,Y og Z or at se i akseretninger. Niveaukurver : Trk på. Jo større Grid vælges jo mere detaljeret bliver tegningen, og jo længere tid tager det et tegne den g g Fig... Niveaukurvediagram og tredimensional gra or en unktion g (, ) = ( ) + ( 3) + 0 med minimum. h Fig..3. Niveaukurvediagram og tredimensional gra or en unktion h (, ) = ( ) ( 3) + 0 med saddelpunkt.

7 . Graisk remstilling Sædvanligvis er det alt or besværligt selv at tegne en rumlig lade og dens niveaukurver. Kun hvis niveaukurverne er velkendte kurver som linier, cirkler hperbler og parabler kan det være hensigtsmæssigt selv at skitsere laderne. Det ølgende er et eksempel herpå. Eksempel.. Graisk remstilling a enkle unktioner a to variable. Der ønskes en graisk remstilling a unktionen (, ) = + Løsning: Lad z = + Først tegnes nogle niveaukurver. Lad a > 0 være en given konstant. Vi har da: z = a + = a + = a Niveaukurverne er ølgelig cirkler med centrum i (0,0) se ig..4. Hera kan sluttes, at laden må være a orm som en rund skål med minimum 0 i punktet (0.0). Fig..4. For at å et tværsnit a skålen skæres laden med z-planen ved at indsætte = 0 i ligningen z = +. Vi år da: z = z = (se ig..5). Fig..5. Vi kan nu se, at skålen er en kegle med spidsen nedad. (se ig..6). Fig..6. 3

8 Funktioner a to eller lere variable.3 Partiel dierentiation Hvis man or unktionen z = (, ) holder konstant på værdien 0, så vil (, 0 ) være en unktion a én variabel. Er denne unktion dierentiabel, så kan man på sædvanlig måde inde dens alede unktion. Denne kaldes s partielle aledede med hensn til og skrives eller. (, 0 ) (, 0 ) Tilsvarende deineres s partielle aledede med hensn til. d Tegnet læses "blødt d" og markerer, at unktionen har lere variable. Dette indebærer nemlig, at (i modsætning til ) d ikke uden videre kan opattes som en brøk i beregninger. Eksempel.3. Partiel dierentiation Lad unktionen være givet ved (, ) = a) Find de to partielle aledede og b) Find og. (,) 0 (,) 0 Løsning: a) Idet vi opatter som en unktion a alene, dvs. opatter som en konstant, ås umiddelbart (, ) = Tilsvarende ås (, ) = + Ti89: dierentialet d står over 8-tallet : a) : d(^*^/4+^/+/,), : d(^*^/4+^/+/,) Matcad: : d d 4 d : d 4 b) Ved indsættelse a (,) = (0.) ås og (,) 0 = (,) 0 = Ti89: (0,): d(^*^/4+ /+/,) =0 and = Den lodrette streg indes i venstre række (betder orudsat) og and i CATALOG Matcad: skriv :=0 := og dereter som under punkt a) Såremt det a sammenhængen klart remgår, hvilket punkt (,) der er tale om, udelades det ote a betegnelserne, således at man kun skriver og 4

9 .4 Geometrisk tolkning a partielle aledede, tangentplan Andre skrivemåder. z I stedet or skrives ote eller når z= (, ). z Undertiden skrives hvor der orneden er angivet, hvad de andre variable er. Eksempelvis kan energien E a en gas E enten opattes som en unktion a trk og rumang eller som en unktion a trk og temperatur. Deror ville være et tvetdigt P E E smbol, mens og er entdige. P V P T.4. Geometrisk tolkning a partielle aledede, tangentplan De partielle aledede kan som anskueliggøres i eksempel.4 geometrisk tolkes som hældningskoeicienter til tangenter. Eksempel.4. Geometrisk betdning a partielle aledede. På ig..7 er tegnet graen or (, ) = + + or 4 0 og På iguren er k skæringskur- ven mellem planen = og graen or mens k er skæringskurven mellem planen = 0 og graen or. Fig..7. De to partielle dierentialkvotienter i (0,) er hældnings koeicienterne or tangenterne T og T. er hældningskoeicienten a tangenten T til kurven k l or (,) = (0,) (,) 0 er hældningskoeicienten a tangenten T til kurven k or (,) = (0,). (,) 0 Den plan, som er bestemt ved tangenterne T og T kaldes tangentplanen or graen or i punktet (0,). 5

10 Funktioner a to eller lere variable Tangentplan Lad unktionen være dierentiabel i et punkt ( 0, 0) og lad z0 = ( 0, 0). Lad være skæringskurven mellem planen = k 0 og graen or og T være tangenten til k med røringspunkt i (, ). Tilsvarende er og graen or og T er tangen- planen = 0 ten til k. k 0 0 er skæringskurven mellem Fig..8. Tangentplan i (, ) Den plan, som er bestemt ved tangenterne T og T kaldes tangentplanen or graen or i punktet ( 0, 0). Ligningen or tangentplan z = (, ) + ( ) ( ) (, ) ( 0, 0 ) 0 Bevis: Lad or kortheds skld ' = ( 0, 0) og ' = ( 0, 0) 0 0 r Da er hældningskoeicienten or tangenten T til kurven k har en retningsvektor or T koordinaterne a = r r r Tilsvarende er b = retningsvektor or T. En normalvektor til tangentplanen er ølgelig a b = 0 = Planens ligning bliver deror ( 0) ( 0) + ( z z0) = 0 Eksempel.5. Tangentplan Lad der være givet unktionen (, ) = Find ligningen or tangentplanen til unktionen i punktet (0,). Løsning: I eksempel.3 andt man or unktionen (, ) = + + at og 4 (,) 0 =. Idet ås ligningen: (,) 0 = (,) 0 = z = + ( 0) + ( ) z = + 6

11 .4 Geometrisk tolkning a partielle aledede, tangentplan Dette gælder or alle unktioner som er dannet a de sædvanlige stamunktioner 7.5. Partielle aledede a højere orden. Har partielle aledede a ørste orden i deinitionsmængden D, kan og (, ) (, ) igen opattes som unktioner a to variable i D. Hvis disse ne unktioner selv har partielle aledede, siges at have partielle aledede a anden orden i D. Disse skrives,, og = = = = For de to sidste blandede aledede gælder, at de sædvanligvis er ens, dvs. = Eksempel.6. Partielle aledede a anden orden I eksempel.3 andt man or unktionen de partielle aledede (, ) = og (, ) = + (, ) = + a) Find de partielle aledede a anden orden or unktionen. b) Find værdierne a ovennævnte partielle aledede i punktet (,) = (0.). Løsning: a) = = + = = = + = = = + = + Da de blandede anden alede er ens, er det unødvendigt at beregne den anden kombination = TI89; : d(d(^*^/4+ /+/,,), : d(d(^*^/4+ /+/,,), Matcad: : d d b) (, ), (, ), (, ), = = = Ti89: (0,): d(d(*e^(*)+cos(/(^+)),,) =0 and = Matcad: skriv :=0 := og dereter som under punkt a)

12 Funktioner a to eller lere variable Analogt deineres partielle aledede a højere end anden orden, og også or disse kan dierentiationernes rækkeølge normalt vælges vilkårligt,.eks = =.6. Lokalt ekstremum Lad P 0 være et indre punkt i deinitionsmængden D or en unktion og M D være en omegn a P 0. Hvis ( P ) ( P) or alle punkter P i M, så kaldes denne værdi or s lokale 0 minimum, og P 0 or et lokalt minimumspunkt. Hvis ( P0 ) ( P) or alle punkter P i M, så kaldes denne værdi or s lokale maksimum, Ved et lokalt ekstremum orstås enten et lokalt maksimum eller et lokalt minimum. Er ( P ) ( P) or alle punkter P i deinitionsmængden D, så kaldes denne værdi or s 0 globale minimum eller mindsteværdi, og er ( P0 ) ( P) or alle punkter P i deinitionsmæng- den D, så kaldes denne værdi or s globale maksimum eller størsteværdi. Nedenstående igurer leder os ind på, at det som et led i ekstremumsbestemmelser kan være nttigt at se på punkter, hvor graen har "vandret tangent(plan)" - såkaldte stationære (eller kritiske) punkter. Fig..9. Stationære punkter Fig.0. Stationære punkter ( ), ( ) ( ) På igurerne har (og g) vandret tangent (tangentplan) i og 3 3, globalt maksimum i 3 ( 3 ) og globalt minimum i 4 ( 4) Endvidere er graen or vandret mellem a og b. Fra dierentiable unktioner a én variabel vides, at man inder de stationære punkter or en unktion ved at inde de værdier or hvilke ( ) = 0 Man kan endvidere bestemme om et stationært punkt er lokalt maksimumspunkt eller minimumspunkt ved at lave en ortegnsdiskussion a ( ) (se igur.) 8

13 .6 Lokalt ekstremum Imidlertid kan man som regel også agøre arten a et stationært punkt ved at betragte de aledede a. orden i punktet. Der gælder nemlig ølgende: Lad 0 være et stationært punkt or en unktion (dvs. ( ) = ). ( ) > 0 er et lokalt minimumspunkt 0 0 ( ) < 0 er et lokalt maksimumspunkt 0 0 Fig. Fortegnsdiskussion or () ( 0 ) = 0 nærmere undersøgelse må oretages 0 0 For dierentiable unktioner a variable vil man tilsvarende se på de punkter hvor unktionen har vandret tangentplan, dvs. hvor de partielle aledede er 0. Deinition a stationært punkt. Lad være en dierentiabel unktion a variable med deinitionsmængde D. Et indre punkt ( 0, 0) i S kaldes et stationært punkt or, hvis ( 0, 0 ) = 0 ( 0, 0 ) = 0 Eksempel.7 Stationære punkter. 3 En unktion er givet ved (, ) = Find de stationære punkter or. Løsning: De stationære punkter or indes a ligningssstemet = = 0 () = = 0 ( ) I ligning () kan sættes udenor en parentes. Vi år: ( 3 4) = 0 = = 0 9

14 Funktioner a to eller lere variable 4 Tilælde : Indsættes = 0 i ligning (), ås = 0 =. 3 4 Stationært punkt: (, ) = 0, 3 Tilælde : Ligningen 3 4= 0løses med hensn til og indsættes i ligning (). 3 4 = indsættes: = = 0 = ± = 4 = 5 Stationære punkter ( (, ) = ( 4, 4) (, ) = 5, TI89: Funktionen deineres ^* - ^3 - *^ + 3*^ + 8* - STO (,) ENTER F: solve(d ((,),)=0 and d ((,),)=0,{,}) Resultat: =-4 and =_/ or =-4 and = -4 or =0 and =-4/3 Bemærk: d indes over 8 tast og and i CATALOG 3 Matcad: (,) := := := (startværdier) Given d d (, ) = 0 d d (, ) = 0 Find(,) boolsk lighedstegn Skal man skae sig et overblik over en unktions "udseende", kan det være nødvendigt at se på kende arten a de stationære punkter, dvs. vide om de er lokale maksima, minima eller såkaldte saddelpunkter. Da man jo ikke kan lave en ortegnsdiskussion på en unktion a variable, må man i stedet betragte de partielt aledede a anden orden. Der gælder ølgende sætning som anøres uden bevis: Sætning. (undersøgelse a arten a et stationært punkt). Lad (, ) være et stationært punkt or en dierentiabel unktion, og sæt 0 0 A = (, og 0, 0) B = 0 (, 0) C = A z B Lad determinantligningen B C z = 0 have rødderne z og z (, ) 0 0 0

15 .6 Lokalt ekstremum Der gælder da a) z og z positive: har lokalt minimum i (, ) 0 0 b) z og z negative: har lokalt maksimum i (, ) 0 0 ) z og z orskelligt ortegn: har intet lokalt ekstremum i (, ) 0 0 3) z = 0 og/eller z = 0: Nærmere undersøgelse må oretages. Eksempel.8. Lokale ekstrema 4 4 a) Find de stationære punkter or unktionen givet ved (, ) = b) Agør or hver a ovennævnte stationære punkter, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Løsning: a) 3 = = = 0 8 (, ) = ( 00, ) (, ) = ( 5, ) (, ) = ( 5, ) + = 0 5 (Ti 89 eller Matcad benttet) b) (0, 0) (, 5 ) (-, 5) A = = B = = 4 C = =

16 Funktioner a to eller lere variable (0,0): 4 z = z = z z = 5 5 Lokalt minimum (, 5): 3 z ( 3 ) = 5 z z = z =. z =. z 5 Saddelpunkt (-, 5): 3 z ( 3 ) = 5 z z = z =. z =. z 5 Saddelpunkt.7 Globalt ekstrema Ved optimeringsproblemer er man interesseret i at inde et globalt ekstremum or et konkret problem. Følgende eksempel illustrerer remgangsmåden, som jo er nært beslægtet med de tilsvarende problemer or unktion a. variabel. Eksempel.9. Optimering En retvinklet kasse uden låg skal have et rumang på 3m 3. Kassen skal konstrueres således, at dens overlade bliver mindst (mindst materialeorbrug). Find kassens optimale dimensioner. Løsning: ) Optimeringsproblemet opstilles. Lad længde, bredde og højde a kassen være, og z. Vi har da Find det globale minimum (mindsteværdi) or unktionen g(,, z) = z + z + i mængden S givet ved begrænsningen z = 3,, > 0, > 0, z > 0. ) Problemet reduceres. Begrænsningsligningen benttes til at reducere antallet a variable. 3 z = 3 z =. Ved indsættelse a z = 3 i g og de øvrige begrænsninger ås =, > 0, > 0, > 0. Problemet kan deror nu reduceres til Find det globale minimum (mindsteværdi) or unktionen (, ) = 64 i mængden S givet ved begrænsningerne 0<, 0 (. kvadrant)

17 .7 Globalt ekstremum 3) De mulige ekstremumspunkter bestemmes = 0 + = 0 = 64 = 0 + = 0 () Indsættes = 64 i ligning () ås = 0 + = = 0 = 0 = 4 64 Da > 0 er kun = 4 en løsning. Ved indsættelse a = 4 i = 64 ås = 4 Samlet har vi altså undet stationært punkt (4,4). 4) Vurdering a, at det stationære punkt er et globalt minimumspunkt =, =, = 3 3 Indsættes (4,4) ås A =, B =, C = z 0 = ( z) = z = ± z = z 3 Hera ses, at unktionen har et lokalt minimum i punktet (4,4) At det også er et globalt minimumspunkt snes rimeligt, da det er det eneste stationære punkt i deinitionsmængden. Endvidere ses at 0 0 så går (, ) Anvendes Matcad til at tegne niveaulinierne or unktionen ås ølgende tegning: For at å tal rem, så Sæt cursor på igur, Trk to gange, Vælg Special, number, og slet markering ved Autocontour Hera ses, at unktionen har globalt minimum i (4,4). Dimensionerne er = 4 m, = 4 m og z = m 3

18 Funktioner a to eller lere variable.8 Grænseværdi, kontinuitet, dierentiabilitet De ølgende deinitioner på grænseværdi, kontinuitet og dierentiabilitet er generaliseringer a tilsvarende begreber or unktion a variabel. Lad (, ) have deinitionsmængden D. Lad endvidere a være et reelt tal i D Grænseværdi: Hvis (, ) er vilkårlig tæt på a, blot (, ) er tilstrækkelig tæt på ( 0, 0 ) (og (, ) D), siger vi, at (, ) har grænseværdien a or (, ) gående mod ( 0, 0). Skrives: (, ) a or (, ) ( 0, 0) For en præcis deinition se :Matematik or ingeniører bind side 0. Kontinuitet: er kontinuert i ( 0, 0), hvis (, ) ( 0, 0) or (, ) ( 0, 0) Intuitivt kan man orestille sig kontinuerte unktioner som unktioner, hvis gra er "ubrudt". På igur.8 er vist nogle ikke-kontinuerte unktioners graer. Fig... Nogle ikke-kontinuerte unktioners graer. På basis a disse deinitioner, kan man vise ølgende sætninger, som gør, at det er nemt at agøre om en unktion a lere variable er dierentiabel. Sætning. Har en unktion kontinuerte partielle aledede i en åben mængde D, da er dierentiabel i D (og dermed også kontinuert). Til at agøre om en unktion er kontinuert gælder ølgende: Sætning.3. Enhver unktion, der ved "sædvanlig regning" ( + g, g, g,, ) g o g (ep, ln, potens, sin, cos, osv.), blive kontinuert i sin deinitionsmængde. kan dannes ud ra standardunktionerne 4

19 .9 Dierential.9. Dierential Dierential or unktion a variabel Følger vi graen or en dierentiabel unktion ra et punkt med abscissen til et punkt = ( ) 0 med abscissen 0 + bliver unktionstilvæksten = ( 0 + ) ( 0 ) jævnør igur igur.. Fig..3. Tilvækst i tangents retning I stedet or at ølge graen ra 0 til 0 + kunne vi som en tilnærmelse ølge tangenten i 0. I så ald bliver - tilvæksten ( 0 ) som kaldes dierentialet d eller d. For den ahængige variabel, gælder = d (betragtes den identiske unktion ( ) = år vi nemlig d = d =, dvs. d = ) Vi har deror d = ( ) d. 0 d Divideres med d, ås den kendte sammenhæng =. d Bemærk, at man altid gerne må dividere med d, når blot d 0. Navnet dierentialkvotient betder netop en kvotient mellem dierentialer. Eksempel.0. Dierential Find dierentialet a unktionen ( ) = 5 4 Løsning: Dierentialet d = ( ) d = 0 3 d Dierential or unktion a variable Lad unktionen være dierentiabel i et punkt ( 0, 0) og lad z0 = ( 0, 0). Går vi ra punktet ( 0, 0 ) til punktet ( 0 +, 0 + ) bliver unktionstilvæksten z = ( 0 +, 0 + ) ( 0, 0) jævnør igur.9. I stedet or a ølge graen or, kunne vi som en tilnærmelse ølge tangentplanen i ( 0, 0) d.v.s. den plan der udspændes a tangenterne AB og AD på igur.. 5

20 Funktioner a to eller lere variable Da tangentplanen har ligningen z = (, ) + (, ) ( ) + (, ) ( ) bliver z-tilvæksten z (, ) = (, ) ( 0, 0 ) Fig..4. Dierential dz Denne z-tilvækst, som ås ved at ølge tangentplanen, kaldes dierentialet d eller d z. Ligesom or unktioner a variabel gælder, at man kan erstatte med d og med d, hvorved dierentialet kan skrives d = d + d Ved visse anvendelser kaldes dierentialet or det totale dierential a. Eksempel.. Dierential Lad unktionen være givet ved z = (, ) = ) Beregn z når punktet (,) ændrer sig ra (,) til (.03, 0.98) ) Beregn dz når punktet (,) ændrer sig ra (,) til (.03, 0.98) Løsning: ) z = (. 03,. 0 98) (,) = = ) dz= + d d hvor d og d = =, 0 =, = 003. dz= ( 0. 0) =

21 .9 Dierential Fejlvurdering. Ved enhver måling kan den siske størrelse aldrig måles eksakt. Målingen behætes altid med en vis usikkerhed. Det kan skldes usikkerhed på objektet, måleinstrumentet, brugeren a instrumentet osv. Sstematiske ejl er ejl, hvor man eksempelvis har glemt at korrigere or temperaturens indldelse på måling a et stos hårhed. Er målingen beriet or sstematiske ejl, er der kun tilbage tilældige ejl. Eksempelvis vil der ote på et instrument være anørt en instrumentusikkerhed, som viser hvor nøjagtigt instrumentet kan måle. En sådan usikkerhed kan eksempelvis indes ved at man oretager en måling lere gange eventuelt a orskellige personer. Maksimal ejl eller usikkerhed Den maksimale usikkerhed er så deineret som den numerisk største avigelse mellem en målt værdi og gennemsnittet. Er eksempelvis en temperatur angivet som ± 0.05 menes hermed, at i værst tænkelige tilælde kunne målingen være eller Relativ ejl eller relativ usikkerhed Ved den relative ejl (usikkerhed) på en størrelse orstås størrelsen Eksempel.. Maksimal og relativ ejl Lad = 53 ± m og = 5 ± m a) Find den maksimale ejl z på z = - b) Find den relative ejl på z. Løsning: Det ses umiddelbart, at z = 53-5 = 8 og a) z = + =3 m dvs. z = 8 ± 3 m 3 b) rel(z) = = =. 34% 8 Den maksimale ejl (eller usikkerheden) på to størrelser kan jo godt være den samme,.eks. cm, men hvis den ene størrelse er usikkerheden på diameteren a et rør på 0 cm og den anden er højden på et hus, så er det klart, at det er den relative usikkerhed, der siger mest. Fejlberegning ved anvendelse a dierentialer. Ved mere komplicerede udtrk er det ikke som i eksempel. muligt direkte at beregne den maksimale usikkerhed. Man må så i stedet erstatte bentte dierentialet ved beregningen. Det svarer jo til, at man erstatter unktionen med dens tangentplan. Dette er tilladeligt når blot usikkerhederne og er små. Der gælder ølgende: 7

22 Funktioner a to eller lere variable Fejlberegning Den maksimale absolutte ejl z or unktionen z = (, ) i punktet ( (, ) er z orudsat ejlene og er små + (, ) (, ) Koeicienterne og kaldes så s ølsomhed overor ejl på henholdsvis og. Eksempel.3. Fejlvurdering. Et clindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok. Man ved, at r = 3 ± 0. cm og h = 0 ± 0. cm ) Find den maksimale absolutte ejl på hullets volumen V ) Find den maksimale relative ejl på V 3) Har V størst ølsomhed overor r eller overor h? Løsning. V = π r h. Dierentialet på V er dv = π r dh + π r hdr ) Den maksimale absolutte ejl på hullets volumen V: V = π 3 h+ π 3 0 r = 9π π 0. = ) V = Den maksimale relative ejl er dv V = 77%. 3) V har størst ølsomhed over or ejl på r, da dv dv = π 0 > = π 3 dr dh Formlen er ikke mere kompliceret end man kan regne den maksimale ejl direkte V = π π 3 0 =

23 Funktion a mere end variable. Funktion a mere end variable De deinitioner og begreber som er gælder or unktioner a variable kan umiddelbart generaliseres til unktioner a 3 og lere variable. Graisk remstilling Graen or en unktion a 3 variable muligt at tegne en niveaulade hvor (,, z) (,, z) kan naturligvis ikke tegnes i et 4-dimensionalt rum. Derimod er det har en konstant værdi k. Eksempelvis er en såkaldt orbital eller bølgeunktion Ψ( z,, ) or et atom anskueliggjort ved en niveaulade or Ψ på igur.. (Orbitaler spiller en stor rolle or orståelsen a atomers og moleklers egenskaber). Et andet eksempel er nogle kugleormede niveaulader or tngdepotentialet på igur.. a + + z omkring jorden vist Fig... Niveaulade or en atomorbital Ψ( z,, ) Fig... Niveaulader or tngdepotentialet omkring jorden Begreberne ra kapitel kan umiddelbart kan generaliseres ra til lere variable. Eksempelvis gælder or en unktion a 3 variable analogt med unktion a variable: Sætning. Art a lokalt ekstremum or unktion a 3 variable Lad a = (,, z ) være et stationært punkt or en dierentiabel unktion a 3 variable. A = (, ), B = og 0 (, 0) C = 0 0 (, ) 0 0 a u a ( ) ( ) ( z a ) Lad determinantligningen a ( ) ( a) u ( z a ) z a z a ( ) ( ) ( a) u z = 0 have rødderne u, u og u 3. Der gælder da ) z, z og z 3 alle positive: har lokalt minimum i a = (,, z ) ) z, z og z 3 alle negative: har lokalt maksimum i (, )

24 . Funktion a mere end variable 3) z, z og z 3 har ikke samme ortegn: har intet lokalt ekstremum i (, ) 4) Hvis én eller lere a rødderne z, z og z 3 er 0 og de øvrige har samme ortegn, : Nærmere undersøgelse må oretages. Eksempel.. Funktion a 3 variable Lad unktionen være bestemt ved (,, z) = e z z a) Find de partielle aledede or unktionen b) Find de stationære punkter or c) Undersøg arten a de stationære punkter undet i spørgsmål b) Løsning: I det ølgende skrives or kortheds skld e = e a) = ( 4) e a, = ( 4 ) e a, = ( z ) e a z z z a = 0 = b) = 0 = 3 Stationært punkt (,, z)=(, 3,) z = = 0 z = + ( 4) e, = 4+ ( 4 ) e, = + ( z ) z 0 0 c) ( ) ( ) ( ) a a a a a a = ( 4)( 4 ) e, = ( 4)( z ) e, = ( 4 )( z ) e z z (,,) 3 =, (,,) 3 = 4, (,,) 3 =, (,,) 3 = (,,) 3 = (,,) 3 = 0 z z z u u u = 0 u = u = 4 u = Hera ses, at har et lokalt minimum i punktet (,, z)=(, 3,) e 0

25 Opgaver Opgaver Opgave. Lad være en unktion givet ved (, ) = a) Tegn i et rumligt koordinatsstem graen or unktionen ved anvendelse a et matamatikprogram b) Tegn niveaukurverne or unktionen og agør herudra om unktionen har noget lokalt minimum? - lokalt maksimum? - saddelpunkt? Opgave. Man er interesseret i graisk remstilling a unktionen (, ) = +. Der ønskes hovedsageligt betragtet punkter, hvor (, ) 3 og der lægges ikke vægt på nøjagtighed, men på principielle træk. Såvel positive som negative - og -værdier betragtes. a) Tegn i et rumligt koordinatsstem graen or unktionen ved anvendelse a et matamatikprogram b) Tegn niveaukurverne or unktionen og agør herudra om unktionen har noget lokalt minimum? - lokalt maksimum? - saddelpunkt? Opgave.3 4 Lad være en reel unktion a to variable givet ved (, ) =. 3 9 ) Angiv s deinitionsmængde (skitsér den i - planen). ) Skitsér i et - koordinatsstem s niveaukurver svarende til niveauerne 0,,, 3 og 4. 3) Skitsér i et z - koordinatsstem skæringskurven mellem s gra og planen = 0. 4) Skitsér graen or i et z - koordinatsstem, således at man år et indtrk a graens 3- dimensionale udseende. Opgave.4 Man er interesseret i graisk remstilling a unktionen (, ) =. Der ønskes hovedsageligt betragtet punkter, hvor (, ), og der lægges ikke vægt på nøjagtighed, men på principielle træk. a) Tegn i et rumligt koordinatsstem graen or unktionen ved anvendelse a et matamatikprogram b) Tegn niveaukurverne or unktionen og agør herudra om unktionen har noget lokalt minimum? - lokalt maksimum? - saddelpunkt? Opgave.5 Find de partielle aledede a ørste og anden orden or ølgende unktioner 3 ) (, ) = ) (, ) = ( > ) + 3 3) e (, ) = 4) (, ) = ln + 4

26 Funktion a eller lere variable Opgave.6 Find ligningen or tangentplanen or ) (, ) = i punktet (,) = (-,3) ) (, ) = i punktet (,) = (, -) Opgave.7 Find de stationære punkter or unktionerne 3 3 ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = cos( ), π 3π ; 4) (, ) = Opgave Lad virkningsgraden or en motor være givet tilnærmet ved (, ) = 3 0. og er to variable. ) Find de partielle aledede a. og. orden a. ) Find de partielle aledede a. og. orden a i punktet (-,). 3) Er punktet (-,) et lokalt maksimumspunkt. Opgave.9. Find alle lokale maksimums- og minimumspunkter or ølgende unktioner: ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = ) (, ) = + ( ) 9) (, ) = + + 0) (, ) = + 6 Opgave.0. ( ) Vis, at unktionen givet ved (, ) = + 4 8,hvor har 5 stationære punkter og agør or hvert, om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt.

27 Opgaver Opgave.. 4 a) Find samtlige stationære punkter or unktionen (, ) = + 4 b) Betragt de stationære punkter (, ) or hvilke 0. Agør or hvert a disse punkter, om punktet er et lokalt maksimumspunkt, et lokalt minimumspunkt eller et saddelpunkt. Opgave.. Find de stationære punkter or unktionen (, ) = ( ) + og agør or hvert, 5 om det er et lokalt maksimumspunkt, lokalt minimumspunkt eller saddelpunkt. Opgave.3 En kasseormet tank skal konstrueres, så den år et rumang på 000 m 3. Bund, sider og låg koster henholdsvis 4000 kr./m, 000 kr./m og 000 kr./m. Dimensionér tanken således, at prisen bliver mindst, idet dog ingen a kanterne må overstige 0 m. Opgave.4. z En plan har ligningen + + =, hvor a b c a >, b> 4og c > 5. Planen skærer koordinatakserne i punkterne A, B og C (se iguren). Koordinatsstemets begndelsespunkt kaldes D. Værdierne a a, b og c ønskes bestemt, således at punktet P = (,4,5) ligger på planen gennem A, B og C, og tetraederet ABC s volumen V abc bliver mindst mulig. Det 6 oplses, at der eksisterer værdier a a, b og c med de ønskede egenskaber. Opgave.5 Find dierentialet a unktionen ) (, ) = ) (, ) = + 4 i punktet (,0) Opgave.6 En kugleormet tank har radius r. Med en pejlestok måler man væskehøjden h or at kunne beregne væskerumanget V = π h ( 3r h) 3 a) Angiv et den maksimale ejl på V, når r = ± 0. m og h = 0. ± 0.0 m b) Angiv den maksimale relative ejl på V. 3

28 Funktion a eller lere variable Opgave.7 En bunke har orm som en kegle med højde h og grundladeradius r. Man måler h og r, or at kunne beregne rumanget V = π r h 3 a) Angiv den maksimale ejl på V, når r = 0 ± 0. m og h = 0 ± 0. m b) Angiv den maksimale relative ejl på V. Opgave.8 En olietank er kasseormet med længden L = 3 m, bredden B = m og højden H = m. Tanken er nedgravet vandret, men ejeren år mistanke om, at den hælder en vinkel u. For at inde u, hælder ejeren V = m 3 olie i den tomme tank, og måler oliestandens højde h i den højeste side til 0.0 m.(se iguren) Vinklen u kan indes a ormlen V h u = Arctan B L L ) Find vinklen u. ) Det anslås, at V= ± 00. og h = 0. ± 0.0. Find den maksimale absolutte ejl på u (alle resultater med 3 betdende cire) 3) Angiv den maksimale relative ejl på u. Opgave. Find de partielle aledede a ørste orden or ølgende unktioner 3 3 ) (,, z) = z + z ) (,, z) = sin( z) + Opgave. z Find alle lokale ekstremumspunkter or de ølgende unktioner ) ) 3) 4

29 Facitliste Facitliste. a) - b) -,ingen a delene. a) - b) -, lokalt minimum.3 ) + 9 ) - 3) - 4) -.4 a) - b) -, saddelpunkt ) = 3 + 4, = +, = 6 + 4, =, = ) = ( ) + 3 = + 3 = + 3 ( ), ( ) ( ), ( )( ) ( + ) 5, = ( )( ) ( + ), = ( + )( ) ( + ), 3) 4) = 3 3 e = 3 e = 9 3 e = 3 e = 3 3,,,, e, ( ) ( 3 ) 4 =, =, =, =, =, ( + ) 4 ( + ) ( + ).6 ) z= 30 ( + ) + 6( 3) ) z = 4 4( ) 4( + ) ( ) ( ) ( ).7 ) (0, 0) (3, 3) () (5, -8) 3) 0, π, 0, π 4) (-4, -3) 3.8 ) = 3 3, = 3 3, = 6, = 6, = 3, ) 0, 0, -6, -3, -6 3) ja ( ) 6) lok.min.pkt. (0, 0) 7) lok.min.pkt. (, 0) 8) lok.min.pkt. (, ), (, ).9 ) lok.min.pkt. (0, 0) ) lok.min.pkt. ±, 3) ingen 4) ingen 5)lok.min.pkt. (, 0) 3 9) ) lok.ma.pkt. ± 0) ingen, 0.0 lok.ma.pkt. (0, 0) lok.min.pkt. (0, ) lok.min.pkt. (0, -) saddelpunkt 0 og ( ) ( ). a) (0, 0), (0, ), (0, -), 6,, 6, b) saddelpunkt (0,0) lok. ma. pkt (0,-). lok.min.pkt. (0, 0) saddelpunkt 0, saddelpunkt 0, = 435, = 435, z = 535,.4 6,, 5.5 ) 3 6 d d ) lnd + lnd ( ) (, ) ( 0, ).6 (a) m 3 (b) 0%.7 ) ) 5%.8 ) eller radianer ) eller 0.0 radianer 3).4% ) = 3 z + z, = z + z, = z + 3z z z z z ) = cos( z) z + z ln, = sin( z) + z ln, = cos( z) + ln z. ) lok. ma.pkt. (3,, 3) ) lok. min.pkt. (0.0.0) 3) ingen 5

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Optimering af funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Optimering af funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Optimering a unktioner a lere variable. udgave 04 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle aledede

Læs mere

Funktion af to eller flere variable I

Funktion af to eller flere variable I MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktion a to eller lere variable I Dierentiation og Optimering. udgave 005 FORORD Dette notat giver en indøring i de grundlæggende begreber or analse a reelle unktioner a to og

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 016 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable. udgave 015 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Største- og mindsteværdi Uge 11

Største- og mindsteværdi Uge 11 Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Kap 5 - beviser - matematikb2011

Kap 5 - beviser - matematikb2011 Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr.... 4 Dierentiation a e Bevis nr.... 5 Dierentiation a e Bevis nr.... 6 Dierentiation a! Bevis nr.... 8

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matematik & Statistik

Matematik & Statistik Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1

Læs mere

DTU. License to Thrill

DTU. License to Thrill XM @ DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1 Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 008 HHX08-MAB Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Forår 3 På dansk ved Jacob Stevne Jørgensen, sommer Forord til den danske udgave Kros noter, som introducerer

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema Formålet med denne note er at tegne os frem til nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema for en funktion ved hjælp af

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform a 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere