Bachelorprojekt. Fourieranalyse på lokalkompakte abelske grupper. Fourier analysis on locally compact abelian groups. SDU, 28.

Transkript

1 Bachelorprojekt Fourieranalyse på lokalkompakte abelske grupper Fourier analysis on locally compact abelian groups SDU, 28. februar 2007 Asger Christiansen

2

3 Projektformulering Bachelorprojektet skal indeholde en selvstændig gennemgang af Fouriertransformationen for en generel lokalkompakt abelsk gruppe. Følgende emner bør indgå i bachelorprojektet: Den duale gruppe, positivt definitte funktioner, Bochner s sætning, inversionssætningen, Plancherel s sætning og Pontryagin s dualitets sætning. De matematiske problemer og metoder, som indgår i bachelorprojektet ligger i naturlig forlængelse af kurset MM09 - Analyse 2. Indhold 1 Indledning 1 2 Indledende resultater LCA rupper og Haarmålet Translatering og spejling i L p () Banach-Algebraen L 1 () Fouriertransformationen Dualgruppen Fouriertransformationen Udvidelsen til M r () Bochners Sætning Positive definite funktioner Bochners sætning Inversionssætningen Konsekvenser af inversionssætning Fouriertransformationen på L 2 () Plancherels sætning Dualitetsteori Pontryagins dualitetssætning Konsekvenser af Pontryagins sætning

4 INDHOLD INDHOLD 8 Eksempel - L 1 (R) Dualgruppen R Skalering af mål A Komplekse Mål 48 A.1 Absolut kontinuitet B Lokalkompakte Hausdorffrum 50 B.1 Radonmål B.2 Radon-Nikodym B.3 Produktmål C LCA grupper 55 C.1 Dualiteten mellem L 1 og L ii

5 1 INDLEDNIN 1 Indledning Beskrivelse af bachelorprojektet I Analyse II har vi indført Fouriertransformationen for de reele tal. Dette bachelorprojekt beskriver hvorledes denne teori kan generaliseres til en lokalkompakt abelsk gruppe. Projektet ligger i naturlig forlængelse af Søren Thorsens bachelorprojekt[11], som redegører for eksistensen af Haarmålet, på en lokalkompakt gruppe. Indledningsvis indfører vi foldningen og Fouriertransformationen på Banachalgebraen L 1 (). Et centralt punkt her i, er at vise at dualgruppen, påført en passende topologi, kan identificeres med karakterrummet for L 1 (). Herved indføres Fouriertransformation blot som elfandtransformationen. Herefter vises at L 1 () er indlejret i mængden af komplekse Radonmål og at Fouriertransformationen kan udvides hertil. Næste del af projektet, beskriver de kontinuert og positive definitte funktioner på, for hvilke der viser sig, at være en bijektiv korrespondance med de endelig positive Radonmål på. Denne korrespondance spiller en væsentlig rolle i udledning af inversionssætningen. Herefter videreføres Fouriertransformationen til L 2 (). Vi forsætter med at generalisere teorien fra Analyse II, og viser at Plancherels sætning også gælder for L 2 (). Denne omhandler, at Fouriertransformationen bliver en Hilbertrums i- somorfi af L 2 () på L 2 (). På baggrund af teorien vedr. Fouriertransformationen, er vi derefter i stand til at vise Pontryagins dualitetssætning. Dette er et interessant result, der viser at bidualen kan identificeres med selv. Endeligt slutter vi med at vise, at Fouriertransformation på lokalkompakte grupper, er en generalisation af teorien fra Analyse II. Her betragtes den additive gruppe R, for hvilken det viser sig, at dualgruppen R kan identificeres med R. Forudsætninger Kurserne, der danner rammen for dette bachelorprojekt, er: MM07 - Analyse I Indledende mål- og integralteori 1

6 1 INDLEDNIN MM09 - Analyse II Banach- og Hilbertrumsteori, samt Fouriertransformationen på R MM67 - Indlendende operatoralgebra Spektralteori for Banach- og C*-algebraer, herunder elfandtransformationen Der er en del forudsætning, som ikke er nået at blive dækket i ovenstående kurser. Det første er teorien vedr. komplekse mål, som er belyst i Appendiks A. Det andet er den omfangsriget og stærke teori vedr. lokalkompakte Hausdorffrum, og Radonmål her på. Dette er belyst i appendiks B. Specielt skal nævnes at generelle lokalkompakte gruppe, som vi betragter i projektet, ikke behøver være σ-endelige. De almene udgaver Radon-Nikodyms sætning og Fubinis sætning forudsætter σ-endelighed. I lokalkompakte Hausdorffrum viser det sig dog, at Radon-Nikodyms sætning kan opretholdes for Radonmål, og ved at tilføje lidt ekstra forudsætninger kan Fubinis sætning også opretholdes. Den sidste forudsætning omhandler generel teori for lokalkompakte abelske grupper, hvilket belyses i Appendiks C. Her vises, at integrable funktioner kun lever på en σ-kompakt mængde, hvilket er specielt nyttigt i sammenhæng med de ekstra kriterier i Fubinis sætning. Endelig vises yderligere, at dualiteten mellem L 1 () og L () også kan opretholdes, trods den manglende σ-endelighed. Litteratur De beskrevne forudsætning i ovenstående, er opnået via Cohn[2]. Projektet er skrevet over hovedværket: Fourier Analysis On roups af Rudin[1]. Der er hentet en del indspiration i Folland[3], Berg/Frost[4], Stetkær[5] og Bachman[6]. Specielt mener undertegnede, at Rudin argumenterer noget tynd i to sætninger. I inversionsætningen skal det til sidst vises, at f 1 L (). Her giver Stetkær et godt argument. Det andet, er argumentet for at α() er lukket i Pontryagins dualitetssætning. Her giver Berg/Frost til gengæld et godt argument. Endeligt vil jeg gerne sige tak til min vejleder Uffe Haagerup, for en god og konstruktiv hjælp, samt tålmodigheden over for undertegnede. Der skal også lyde en tak til Søren Thorsen, for nogle gode diskusioner, samt Niels Jørgen Nielsen for nogle inspirerende rygepauser. 2

7 2 INDLEDENDE RESULTATER 2 Indledende resultater Vi indleder for en god ordens skyld med hovedresultatet fra Søren Thorsens bachelorprojekt[11], der giver eksistensen af Haarmålet. Herefter arbejder vi os frem mod at vise at L 1 () er en Banach-Algebra. 2.1 LCA rupper og Haarmålet Definition 2.1. En topologisk gruppe er en gruppe udstyret med en topologi, der gør gruppeoperationerne (x, y) xy og x x 1 kontinuerte. En lokalkompakt gruppe betegner en topologisk gruppe, hvor topologien tilmed er lokalkompakt og Hausdorff. I dette projekt skal vi generalisere Fouriertransformationen på L 1 (R, B, m). Det viser sig at den rette ramme at arbejde under, er en lokalkompakt Abelsk gruppe (LCA gruppe). Sætning 2.2 (Eksistensen af Haarmålet). Lad være en LCA gruppe. Da eksisterer der et translationsinvariant Radonmål m på og eksistensen er entydig op til skalering. Målet benævnes Haarmålet. Vi lader fremover være en LCA gruppe og fikserer da et Haarmål m på. Hvis er kompakt vil vi normalt vælge det normaliserede Haarmål, som opfylder at m() = 1. Hvis er diskret vælges tællemålet normalt. Det følger desuden af gruppens Abelske egenskab og entydigheden af Haarmålet, at Haarmålet også er spejlingsinvariant, hvilket vil sige at m(e) = m( E) for E tilhørende B(). 2.2 Translatering og spejling i L p () Lad f L p () = L p (, B(), m) for 1 p. Den translaterede af f med x betegnes da f x og spejlingen af f betegnes f, hvor f x (y) = f(y x) y (2.1) f(y) = f( y) y (2.2) Lineariteten af integralet og Lebegues monotonisætning giver da, at integration med Haarmålet er invariant under translatering og spejling af funktioner. 3

8 2.2 Translatering og spejling i L p () 2 INDLEDENDE RESULTATER Da translatering og spejling i er homeomorfe afbildninger, bliver topologien på derfor invariant under translatering. Det giver derfor mening at snakke om uniform kontinuitet. Definition 2.3. Lad være en LCA gruppe og (X, d) være et metrisk rum. Afbildningen f : X siges da at være uniformt kontinuert hvis ɛ > 0 V Ù(0) x, y : y x V d(f(x), f(y)) < ɛ (2.3) hvor Ù(0) betegner mængden af omegne om 0. Det er let at se at begrebet hænger fint sammen med almindelig kontinuitet, da enhver uniformt kontinuert afbildning også er kontinuert. Sætning 2.4. Lad 1 p < og f L p (). Da er afbildningen x f x fra ind i L p () uniformt kontinurt. Bevis. Lad ɛ > 0 være givet. Da C c () er tæt i L p () (Appendiks B.9) findes g C c () med kompakt støtte K, så g f p < ɛ/3. Da g er uniformt kontinuert (Appendiks C.3) findes en omegn V af 0 så x, y : y x V f(x) f(y) < ɛ/3 (2m(K)) 1/p (2.4) hvor regulariteten af m garanterer endeligheden af m(k). Vælg nu x V fast og vi ønsker at vurdere g g x p. Først bemærkes at g(y) g x (y) = g(y) g(y x) < ɛ/3 (2m(K)) 1/p y (2.5) da y (y x) = x V. Dvs. at g g x u < ɛ/3 (2m(K)) 1/p. Sæt nu M = K (x + K). Da er støtten af g g x indeholdt i M og translations invariansen af m giver at m(m) 2m(K). Heraf vurderes g g x p = g g x p dm 1/p g g x p u dm 1/p (2.6) M < ɛ/3 (2m(K)) 1/p (2m(K)) 1/p = ɛ/3 (2.7) Dette giver nu: f f x p f g p + g g x p + g x f x p < ɛ (2.8) hvor sidste led vurderes ved g x f x = (f g) x. For vilkårlig x, y med y x V har vi derfor at f x f y p = (f f y x ) x p = f f y x p < ɛ (2.9) hvor ved f er uniformt kontinuert. 4

9 2 INDLEDENDE RESULTATER 2.3 Banach-Algebraen L 1 () 2.3 Banach-Algebraen L 1 () Vi kender allerede fra Analyse I at L 1 () er et normeret vektorrum, der er fuldstændigt under 1-normen. Multiplikationen i L 1 () indføres som foldningen kendt fra Analyse II. (f g)(x) = f(x y)g(y)dy (2.10) for x, hvor integralet er defineret. Dvs. når f(x y)g(y) dy <. Det ses let at multiplikationen er uafhængig af de valgte repræsentanter og at faktorerne kommuterer følger af (f g)(x) = f(x y)g(y)dy = f( x + y)g( y)dy (2.11) = f(y)g(x y)dy = (g f)(x) (2.12) hvor vi i først skridt spejler og andet skridt translaterer med x. Hvorvidt integralet er defineret, redegøres der for i følgende sætning. Sætning 2.5. a) Hvis f L 1 () og g L (), da er f g begrænset og uniformt kontinuert. b) Hvis f, g C c (), da vil supp(f) + supp(g) supp(f g) og f g C c (). c) For 1 < p <, 1/p + 1/q = 1, f L p () og g L q () vil f g C 0 (). d) Hvis f, g L 1 (), da vil f g(x) være defineret for næsten alle x, så f g L 1 (). Yderligere gælder uligheden f g 1 f 1 g 1. Bevis. a) Lad f L 1 () og g L (). Bemærk at L () er blevet redefineret i appendiks C definition C.9. Det følger direkte af Hölders ulighed at f g er begrænset af f 1 g. For x, y vurderes nu (f g)(x) (f g)(y) f(x z) f(y z) g(z) dz (2.13) f x f y 1 g (2.14) Sætning 2.4 giver nu at f x f y 1 kan gøres vilkårlig lille for y x tilhørende en omegn af 0, hvorved f g bliver uniformt kontinuert. b) Lad f, g C c () med kompakt støtte A og B. Da ses f(x y)g(y) 0 x y A y B x A + B (2.15) Dvs. at integranten er konstant nul for x / A+B, så støtten for f g er indeholdt i A + B. Tychonoffs sætning giver at A + B er kompakt og kontinuiteten af f g 5

10 2.3 Banach-Algebraen L 1 () 2 INDLEDENDE RESULTATER følger direkte af a). c) Lad f L p () og g L q (). Da C c () er tæt i L p () og L q () vælges følger (f n ) n N, (g n ) n N i C c () så f f n p 0 og g g n q 0. Hölders ulighed giver nu (f g)(x) (f n g n )(x) = f(x y)g(y) f n (x y)g n (y) dy (2.16) (f(x y) f n (x y))(g(y) g n (y)) dy (2.17) + (f(x y) f n (x y))g n (y) dy + f n (x y)(g(y) g n (y)) dy ( f) x ( f n ) x p g g n q (2.18) + ( f) x ( f n ) x p g n q + ( f n ) x p g g n q = f f n p g g n q + f f n p g n q + f n p g g n q (2.19) Da hvert led indeholder en faktor vi kan gør vilkårlig lille, uafhængig af x, konvergerer f n g n uniformt mod f g. Da C 0 () er afslutningen af C c () må f g tilhøre C 0 (). d) Lad f, g L 1 () og sæt h(x, y) = f(x y)g(y). Da vi nu skal betragte dobbelt integraler henledes igen til appendiks B, hvor Radon produkt målet indføres på B( ). For at vise at h er B( )-målelig bemærkes først at B(X) B(Y ) B(X Y ) hvor X og Y er vilkårlige Hausdorffrum. Dette skyldes at projektionsafbildningerne π X : X Y X og π Y kontinuerte og B(X Y )-målelige. For A B(X) og B B(Y ) vil A B = (A Y ) (X B) = π 1 X : X Y Y er (A) π 1 Y (B) B(X Y ) (2.20) Herved er frembringer systemet for B(X) B(Y ) indeholdt i B(X Y ), hvorved inklusionen er vist. Fra Analyse I kender vi at h er B() B()-målelig og ovenstående inklussion giver at den også er B( )-målelig. Vi ønsker nu at redegøre for at h er integrabel. Sætning C.6 giver at f og g lever på henholdvis A og B, som er σ-kompakte mængder i. Derved vil h kun leve på (A + B) B og da A + B ligeledes er σ-kompakt 1, lever h på et rektangel 1 A+B σ-kompakt følger af at A+B = n N Kn+ m N K m = (n,m) N N Kn+K m, hvor kompaktheden af K n + K m følger af Tychonoffs sætning og kontinuitet af gruppeoperationen. 6

11 2 INDLEDENDE RESULTATER 2.3 Banach-Algebraen L 1 () med σ-endelige sider. Tornellis sætning (B.15) giver da at h d(m m) = f(x y)g(y) dx dy = f 1 g 1 (2.21) Y X Det vil sige at h L 1 (, B( ), m m) og Fubinis sætning (B.14) giver da at afbildning x h(x, y) dy = f(x y)g(y) dy = f g(x) er defineret næsten overalt og tilhører L 1 (, B(), m). Herved kan f g opfattes som et element i L 1 (, B(), m). Normen vurderes da ved (f g)(x) dx f(x y)g(y) dy dx (2.22) = g(y) f(x y) dx dy = f 1 g 1 hvor Fubinis sætning benyttes på baggrund af at h L 1 ( ) og lever på et rektangel med σ-endelige sider. Endeligt mangler vi blot at redegøre for at multiplikationen er distributiv og associativ. Distributiviteten vises let og for f, g, h L 1 () og x ses at ((f g) h)(x) = (f g)(x y)h(y) dy (2.23) = f(x y z)g(z) dz h(y) dy (2.24) = f(x z)g(z y) dz h(y) dy (2.25) = f(x z) g(z y)h(y) dy dz (2.26) = f(x z)(g h)(z) dz (2.27) = (f (g h))(x) (2.28) hvor vi i (2.25) tranlaterer med y og i (2.26) benytter Fubini. Dette retfærdiggøres ligeledes af at (y, z) f(x z)g(z y)h(y) lever på et rektangel med σ-endelige sider. Sammenfattet kan vi nu formulere: Sætning 2.6. L 1 () er en kommutativ Banach-algebra med multiplikation defineret ved foldning. Sættes f (x) = f( x) defineres en involution på L 1 (), hvor ved L 1 () yderligere bliver en Banach- -algebra. Hvis er diskret, har L 1 () enhed. Bevis. Vi har allerede set at L 1 () er en kommutativ Banach-algegra. Det ses let at f (x) = f( x) er en involution og at f 1 = f 1. Vi mangler blot 7

12 2.3 Banach-Algebraen L 1 () 2 INDLEDENDE RESULTATER at vise at L 1 () har enhed når er diskret. Da m er translationsinvariant, er målet ens på alle singleton mængder. Foldningen bliver da (f g)(x) = y f(x y)g(y)m({0}) (2.29) hvor ved enheden i L 1 () bliver m({0}) 1 1 {0} Vi skal senere se at hvis L 1 () ikke har enhed, da er ikke diskret. 8

13 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN 3 Fouriertransformationen 3.1 Dualgruppen Definition 3.1. Lad være en LCA gruppe. Da defineres dualgruppen ved = {γ : T γ er kontinuert, γ(x + y) = γ(x)γ(y) for x, y } Betegnelsen dualgruppen berettiges af at med operationen (γ 1 + γ 2 )(x) = γ 1 (x) γ 2 (x) γ 1, γ 2, x (3.1) er en gruppe. Neutralelementet i er den konstante funktion 1 og det ses let at γ( x) = γ(x) 1 = γ(x) (3.2) Vi skal i det følgende se at der eksisterer en bijektiv korrespondance mellem og karakterrummet (L 1 ()), kendt fra MM67 (Zhu[7] s. 22). Da dette rum kendes at være lokalkompakt Hausdorff og specielt kompakt når L 1 () har enhed, kan vi overføre topogien til via bijektionen. Endeligt mangler vi blot at vise at denne topologi gør til en topologisk gruppe, hvorved bliver en LCA gruppe. Sætning 3.2. Lad γ og L γ : L 1 () C være givet ved L γ (f) = f(x)γ(x) dx f L 1 () (3.3) Da er afbildningen γ L γ en bijektion mellem og (L1 ()). Bevis. Lad γ. Vi viser først at L γ er en ikke-triviel homomorfi. Integralet er veldefineret, da γ er begrænset og heraf ses yderligere at L γ 1. Lineariteten ses let, mens multiplikativiteten følger af L γ (f g) = f(x y)g(y) dy γ(x) dx (3.4) = f(x y)g(y) γ(x) dx dy (3.5) = g(y) γ(y) f(x y) γ(x y) dx dy (3.6) = L γ (f) L γ (g) (3.7) for f, g L 1 (). Endeligt er L γ ikke triviel, da L γ L 1 () og dualiteten med L () (Appendiks C.11) giver at γ i modsat fald skulle være 0 lokalt næsten 9

14 3.1 Dualgruppen 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN overalt. Lad nu γ 1, γ 2 og antag at L γ 1 = L γ2. Heraf f(x)(γ 1 (x) γ 2 (x)) dx = 0 (3.8) for alle f L 1 (). Da γ 1 γ 2 L () har vi igen at γ 1 = γ 2 lokalt næsten overalt. Betragtes et vilkårligt x med omegn V, hvor V er kompakt med endeligt mål, da vil γ 1 = γ 2 næsten overalt på V. Da begge funktioner er kontinuerte, giver standardargumentet fra Analyse I at γ 1 = γ 2 på hele V og specielt i x. Da x var valgt vilkårligt, er funktionerne ens på hele og afbildningen må derfor være injektiv. Surjektiviteten vises ved at betragte h (L 1 ()). Dualiteten mellem L 1 () og L (), giver at der findes et φ L () således at h(f) = f(x)φ(x) dx f L 1 () (3.9) med φ = h 1, da karakterrummet er indeholdt i (L 1 () ) 1. For f, g L 1 () bemærkes at h(f)g(y)φ(y) dy = h(f)h(g) = h(f g) (3.10) = f(x y)g(y) dy φ(x) dx (3.11) = g(y) f(x y)φ(x) dx dy (3.12) = h(f y )g(y) dy (3.13) Da h ikke er triviel, kan vi nu vælge f L 1 () fast, således at h(f) 0. Da y h(f y ) er begrænset af f 1 og ovenstående integrerer ens for vilkårligt g L 1 (), følger igen at h(f)φ(y) = h(f y ) for lokalt n.a. y (3.14) Sætning 2.4 giver at højresiden er kontinuert, og da h(f) 0, stemmer φ overens med en kontinuert funktion lokalt næsten overalt. Vi kunne derfor oprindeligt vælge φ kontinuert, da vi betragter ækvivalensklasser i L (). Bemærk at (3.9) ikke ændres ved andet valg af φ, hvilket følger af samme argumentation som i 10

15 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN 3.2 Fouriertransformationen eksempel C.10. Da φ nu er kontinuert, gælder (3.14) for alle y. For vilkårlig x, y gælder derfor h(f)φ(x + y) = h(f x+y ) = h((f x ) y ) = h(f x )φ(y) = h(f)φ(x)φ(y) (3.15) φ(x + y) = φ(x)φ(y) (3.16) Det ses let at φ(0) = 1 hvor ved φ(x) = φ( x) 1 for alle x. Da φ 1 følger derfor at φ(x) = 1 for alle x. Hermed er φ et element i, med h = L φ 1 og afbildningen er derfor surjektiv. Lader vi Φ : (L1 ()) betegne den ovenstående bijektion Φ(γ) = L γ og definerer topologien på ved τ = { Φ(A) A åben i (L 1 ()) } (3.17) har vi at Φ bliver en homeomorfi og bliver et lokalkompakt Hausdorffrum. Inden vi viser at denne topologi harmonerer med operationerne på indfører vi først Fouriertransformationen. 3.2 Fouriertransformationen Vi kender elfandtransformation Γ : L 1 () C 0 ( (L 1 ())) fra MM67 ved Γ(f)(φ) = φ(f) f L 1 (), φ (L 1 ()) (3.18) Identificerer vi (L 1 ()) med indfører vi netop Fouriertransformationen Γ(f)(L γ ) = L γ (f) = f(x) γ(x) dx f L 1 (), γ (3.19) Rent teknisk foregår identifikationen ved at konstruere afbildningen Φ : C 0 ( (L 1 ())) C 0 () givet ved Φ(ψ)(γ) = ψ(φ(γ)) ψ C 0 ( (L 1 ())), γ (3.20) Da Φ er en homeomorfi følger det let at Φ bliver en C*-isomorfi. Herved kan vi definerer Fouriertransformationen F ved den sammensatte afbildning F = Φ Γ. For f L 1 () betegner vi da f = F(f) som den Fouriertransformerede af f og denne får da foreskriften f(γ) = (( Φ Γ)(f))(γ) = Γ(f)(L γ ) = f(x) γ(x) dx γ (3.21) 11

16 3.2 Fouriertransformationen 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN Ligeledes indføres co-fouriertransformationen F ved F(f)(γ) = f(x) γ(x) dx (3.22) hvor det let indses at F( f) = (F(f)) = F(f). På baggrund af vores kendskab til elfandtransformationen er vi nu i stand til at beskrive en række egenskaber ved Fouriertransformationen. Sætning 3.3. a) Fouriertransformationen er en -homomorfi b) Fouriertransformationen er normformindskende med f u f 1 og er dermed kontinuert. { } c) A() = f f L 1 () er en selvadjungeret delalgebra der skiller punkter i C 0 (), således at A() bliver tæt i C0(). Bevis. a+b) Vi kender fra MM67 at elfandtransformationen er en normformindskende homomorfi 2 med Γ(f) u f 1 og da Φ er en C*-isomorfi bevarer den norm 3. Det følger heraf at f u f 1 og at Fouriertransformationen er en homomorfi. Vi mangler derfor blot at vise at den er -bevarende. Her er det lettere at betragte Fouriertransformationen direkte. f (γ) = f( x) γ(x) dx = f(x)γ(x) dx = f(γ) (3.23) c) Da Fouriertransformation er en -homomorfi følger det direkte at billedet er en selvadjungeret delalgebra af C 0 (). Vi viser nu at A() skiller punkter. Lad γ 1 γ 2 tilhøre. Da L γ 1 L γ2 findes f L 1 () så L γ1 (f) L γ2 (f). Heraf er f(γ 1 ) f(γ 2 ). For at benytte Stone-Weierstrass sætning (Appendiks B.2) mangler vi blot at vise at der for ethvert γ findes f L1 () så f(γ) 0. Lad derfor γ. Da L γ er en ikke triviel homomorfi på L 1 () findes derfor f L 1 () så f(γ) = L γ (f) 0. Hermed er kriterierne opfyldt for at benytte Stone-Weierstrass, hvilket giver at A() er tæt i C0(). Efter at have indført Fouriertransformationen og specielt med henblik på kontinuiteten af de fouriertransformerede funktioner, er vi nu i stand til at vise at den valgte topologi på gør til en LCA gruppe. 2 Zhu[7] s Formelt er Zhu s behandling af non-unitale C*-algebraer mangelfuld og der henvises til Murphy[8] thm

17 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN 3.2 Fouriertransformationen Først skal vi minde om at topologien på karakterrummet er initialtopologien frembragt af de elfandtransformerede { Γ(f) f L 1 () } Det betyder tilsvarende at den påførte topologi på via Φ bliver initialtopologien frembragt af de Fouriertransformerede { F(f) f L 1 () } Dette indses ved at Φ ligeledes giver en korrespondance mellem mængderne der udgør subbaserne for begge topologier } Φ(F(f) 1 (A)) = Φ( {γ F(f)(γ) A ) (3.24) hvor A er en åben mængde i C. = { L γ (L 1 ()) Γ(f)(L γ ) A } (3.25) = Γ(f) 1 (A) (3.26) Sætning 3.4. a) Afbildning (x, γ) γ(x) er kontinuert på b) Lad K, C være kompakte delmængder af og og r > 0. Sættes } N(K, r) = {γ : 1 γ(x) < r for alle x K (3.27) N(C, r) = {x : 1 γ(x) < r for alle γ C} (3.28) da er γ + N(K, r) en åben omeng for γ og x + N(C, r) en åben omegn for x c) Familien af mængder γ + N(K, r) udgør en omegnsbasis for γ d) er en LCA gruppe Bevis. a) Vi bemærker først, at der for f L 1 (), x og γ gælder f(γ)γ(x) = f(y)γ( y + x) dy = f x (y)γ( y) dy = f x (γ) (3.29) For fast f L 1 () viser vi først at f x (γ) er kontinuert på. Lad derfor (x, γ) og (x α, γ α ) α Λ være et net i med (x α, γ α ) (x, γ). Lad ɛ > 0 være givet. Da (x α, γ α ) konvergerer koordinatvis og da x f x og f x er kontinuerte på hhv. og, kan vi vælge α 0 Λ således at for α α 0 vil 1) f xα f x 1 < ɛ/2 (3.30) 2) f x (γ) f x (γ α ) < ɛ/2 (3.31) 13

18 3.2 Fouriertransformationen 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN Da Fouriertransformationen er normformindskende giver 1) at f xα (γ α ) f x (γ α ) = (f xα f x )(γ α ) f xα f x 1 < ɛ/2 (3.32) Samlet giver trekantsuligheden nu f xα (γ α ) f x (γ) f xα (γ α ) f x (γ α ) + f x (γ α ) f x (γ) < ɛ (3.33) Det vil sige at f xα (γ α ) f x (γ) og kontinuiteten er hermed vist. Vi forsætter nu med at betragte samme net og vælger f L 1 () med f(γ) 0, hvilket var muligt iht. det 3. kriterie i Stone-Weierstrass. Da f(γ α ) f(γ) og f(γ α ) fra et vist trin er forskellig fra 0, giver (3.29) at γ α (x α ) må konvergere mod γ(x). b) Lad γ, r > 0 og K være en kompakt delmængde af. Vi bemærker først at } γ + N(K, r) = {γ : γ(x) γ(x) < r for alle x K (3.34) Vi skal vise at der for γ 0 γ + N(K, r) findes en omegn, der er indeholdt i γ + N(K, r). For x 0 K sættes a = r γ(x 0 ) γ 0 (x 0 ) > 0 (3.35) Kontinuiteten i a) giver at der findes omegne V x0 og W x0 om hhv. x 0 og γ 0 så γ 0 (x 0 ) γ(x) < a/2 x V x0, γ W x0 (3.36) Ligeledes giver kontinuiteten af γ i x 0 at der findes en omegn V x 0 om x 0 så γ(x 0 ) γ(x) < a/2 x V x 0 (3.37) Samlet giver trekantsuligheden for x V x0 V x 0 og γ W x0 γ(x) γ(x) γ(x) γ(x 0 ) + γ(x 0 ) γ 0 (x 0 ) + γ 0 (x 0 ) γ(x) (3.38) < a/2 + (r a) + a/2 = r (3.39) Da { V x0 V x 0 x 0 K } udgør en åbne overdækning af K, findes x 1,..., x n så K n i=1 V x i V x i. Sætter vi W = n W xi (3.40) i=1 14

19 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN 3.2 Fouriertransformationen bliver W en omegn af γ. For γ W og x K vil x V xi V x i og γ W xi for et i, hvor ved (3.39) giver at γ γ + N(K, r). Dvs. at W γ + N(K, r), så γ + N(K, r) er åben. Tilsvarende vises at x + N(C, r) er en åben omeng for x. Dette er tilmed lettere da vi blot skal vise at N(C, r) er åben. c) Lad V være en omegn af γ. Vi skal finde K kompakt og r > 0 så γ + N(K, r) V. Pr. definition af initialtopologien findes n N, A 1,... A n åbne i C og f 1,..., f n L 1 () så γ n 1 f i (Ai ) V (3.41) i=1 Vi vælger nu ɛ > 0 således at A i = B( f i ( γ), ɛ) er indeholdt i A i for 1 i n. Herved får vi at γ n 1 f i (A i ) = i=1 n { γ : fi (γ) f } i ( γ) < ɛ V (3.42) i=1 Da C c () er tæt i L 1 () vælger vi g 1,..., g n C c () så Sætter vi r < ɛ/(2 max { g i 1 f i g i 1 < ɛ/4 for 1 i n (3.43) : 1 i n}) og lader K være en kompakt mængde indeholdende støtten for g 1,..., g n, er vi i stand til at vise at γ + N(K, r) V. For γ γ + N(K, r) og 1 i n gælder f i (γ) f i ( γ) f i (x)(γ( x) γ( x)) dx (3.44) f i (x) g i (x) γ( x) γ( x) dx (3.45) + g i (x) γ(x) γ(x) dx (3.46) K 2 f i g i 1 + r g i 1 (3.47) < ɛ/2 + ɛ/2 (3.48) Af (3.42) følger da at γ V og hermed er γ + N(K, r) V. d) For at er er LCA gruppe, mangler vi at vise at gruppeoperationen og inverteringen er kontinuert. Dette indses let, når vi har vist at h : givet ved h(γ 1, γ 2 ) = γ 1 γ 2 er kontinuert. Lad derfor (γ 1, γ 2 ) og lad U være en omegn om h(γ 1, γ 2 ). Del c) giver at der findes K kompakt og r > 0 så 15

20 3.2 Fouriertransformationen 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN h(γ 1, γ 2 ) + N(K, r) U. Da (γ 1 + N(K, r/2)) (γ 2 + N(K, r/2)) er en omegn om (γ 1, γ 2 ) og da h((γ 1 + N(K, r/2)) (γ 2 + N(K, r/2))) (3.49) = h(γ 1, γ 2 ) + N(K, r/2) N(K, r/2) (3.50) h(γ 1, γ 2 ) + N(K, r) U (3.51) er h derfor kontinuert. Sidste skridt følger af omskrivningen 1 (γ γ )(x) = 1 γ (x) (1 γ (x) γ, γ (3.52) Vi har nu set at også er en LCA gruppe og alle resultater vedrørende kan derfor overføres til. Yderligere kan det nævnes at vi senere skal se at familien af mængder x + N(C, r) ligeledes udgør en omegnsbasis for x. Fouriertransformationen sættes os også i stand til at beskrive dualgruppen når er diskret eller kompakt. Sætning 3.5. Hvis er diskret, er kompakt. Hvis er kompakt er diskret. Bevis. Antag er diskret. Sætning 2.6 giver at L 1 () har enhed og dermed er karakterrummet (L 1 ()) kompakt. Da er homeomorf med (L1 ()), følger kompaktheden. Antag er kompakt og at m er normaliseret så m() = 1. Da er γ(x) dx = 1 {0} (γ) γ (3.53) Dette følger let for γ = 0 og for γ 0 findes x 0 med γ(x 0 ) 1. Da er γ(x) dx = γ(x 0 ) γ(x x 0 ) dx = γ(x 0 ) γ(x) dx (3.54) hvilket giver at integralet må være nul. Betragtes f(x) = 1 for x vil f L 1 () og ovenstående giver at f(γ) = 1 {0} (γ) for γ. Da f er kontinuert, betyder det at {0} er åben i, og da topologien på translation, er derfor diskret. er invariant under 16

21 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN 3.3 Udvidelsen til M r () 3.3 Udvidelsen til M r () Vi ønsker nu at vise at Fouriertransformationen kan udvides til mængden af komplekse Radonmål M r (). Afsnittet indleder med at indfører multiplikationen på M r () ved foldningen af mål. Herefter vises at L 1 () kan indlejres i M r (), således at vi reelt kan tale om en udvidelse af både foldningen og Fouriertransformation, der indføres til sidst i afsnittet. Vi indleder med at betragte de endelige positive Radonmål M r + (). Lemma 3.6. Lad µ, ν M r + (). For A B() defineres foldningen ved (µ ν)(a) = (µ ν)({(x, y) x + y A}) (3.55) hvor µ ν er Radon produkt målet. Da er µ ν et endeligt Radonmål på og (µ ν)(a) = ν( x + A)dµ(x) = µ( y + A)dν(y) (3.56) Bevis. Sæt F (x, y) = x + y. Da F er Borelmålelig, er foldningen givet ved billedmålet (µ ν)(a) = (µ ν)(f 1 (A)) (3.57) Vi bemærker at der for snittet F 1 (A) x gælder F 1 (A) x = {y F (x, y) A} = {y y x + A} (3.58) Heraf giver sætning B.13 (1) at (µ ν)(f 1 (A)) = ν(f 1 (A) x )dµ(x) = ν( x + A)dµ(x) (3.59) Tilsvarende vises anden del i (3.56). Da µ ν er et endeligt mål, følger at µ ν bliver endelig. Vi mangler nu blot at vise at µ ν er et Radonmål og starter med at vise at det er indre regulært på alle Borelmængder, ikke blot de åbne. Lad ɛ > 0 og A B() være givet. Regulariteten af µ ν samt sætning B.8, giver at vi kan vælge K 0 kompakt så (µ ν)(k 0 ) > (µ ν)(f 1 (A)) ɛ (3.60) Sættes K = F (K 0 ) er K kompakt og K 0 F 1 (K). Heraf (µ ν)(k) = (µ ν)(f 1 (K)) > (µ ν)(k 0 ) > (µ ν)(a) ɛ (3.61) 17

22 3.3 Udvidelsen til M r () 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN Da ɛ var valgt vilkårligt følger den indre regularitet. For A B() kan vi approksimerer A c inden fra med kompakte mængde, hvor af vi kan approksimere A ude fra med åbne mængder. Heraf følger den ydre regularitet. Betragter vi nu de komplekse Radonmål µ, ν, definerer vi foldningen ved (µ ν)(a) = ν( x + A)dµ(x) = µ( y + A)dν(y) A B() (3.62) Vi minder om at integration mod komplekse mål, foregår ved Jordan dekompositionen: µ = 4 a i µ i ν = i=1 4 b j ν j (3.63) hvor a 1 = b 1 = 1, a 2 = b 2 = 1, a 3 = b 3 = i, a 4 = b 4 = i. Integralet bliver da j=1 (µ ν)(a) = ν( x + A)dµ(x) (3.64) 4 4 = a i b j ν j ( x + A) dµ i (x) (3.65) = i=1 4 i=1 j=1 j=1 4 a i b j (µ i ν j )(A) (3.66) Sætning B.4 giver at µ i, ν j er Radonmål, hvorved lemma 3.6 giver at µ i ν j er et endeligt positiv Radonmål. Sætning B.4 giver da igen at summen af målene bliver et kompleks Radonmål og foldningen er dermed veldefineret. Ovenstående omskrivning viser ligeledes at det andet lighedstegn i (3.62) gælder. Det skal bemærkes at benytter vi Jordan dekompositionen og sætning B.13 (1) fås at afbildningen x ν( x + A) = ν(f 1 (A) x ) er en begrænset Borelfunktion. Herved er integralet også er veldefineret. For en begrænset Borelfunktioner f på gælder at fd(µ ν) = f(x + y) dν(y)dµ(x) = f(x + y) dµ(x)dν(y)(3.67) Dette indses ved via lineariteten af integralet og omskrivningen i (3.65) at re- 18

23 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN 3.3 Udvidelsen til M r () ducerer til tilfældet hvor µ, ν, f er positive. For A B() gælder 1 A d(µ ν) = (µ ν)(a) (3.68) = ν( x + A)dµ(x) (3.69) = 1 A (x + y)dν(y)dµ(x) (3.70) Tilsvarende gælder for ombytning af µ og ν. Lineariteten af integralet giver at ovenstående gælder for simple funktioner og herefter giver majorantsætningen af f kan approksimeres med simple funktioner. Vi er nu klar til at formulerer: Sætning 3.7. M r () med foldning som multiplikation er en kommutativ Banachalgebra med enhed. Sættes µ (E) = µ( E) defineres en involution, således at M r () bliver en Banach- -algebra. Bevis. Vi har fra sætning B.5 at M r () er et Banachrum. I ovenstående har vi set at foldningen er en veldefineret afbildning ind i M r (). Det følger let at foldningen er distributiv og kommutiviteten følger direkte af (3.62). Associativiteten indses ved at betragte ν 1, ν 2, ν 3 M r () (ν 1 (ν 2 ν 3 ))(A) = (ν 2 ν 3 )( x + A) dν 1 (x) (3.71) = ν 3 ( y x + A) dν 2 (y)dν 1 (x) (3.72) ((ν 1 ν 2 ) ν 3 )(A) = ν 3 ( u + A) d(ν 1 ν 2 )(u) (3.73) = ν 3 ( (x + y) + A) dν 2 (y)dν 1 (x) (3.74) Sidste udregning følger af (3.67), da u ν 3 ( u + A) som tidligere nævnt er en begrænset Borelfunktion. Vi viser nu identiteten µ ν µ ν for µ, ν M r (). Lad derfor (A i ) n i=1 være en vilkårlig inddeling af i disjunkte Borelmængder. n n (µ ν)(a i ) = µ( y + A i ) dν(y) (3.75) i=1 i=1 i=1 n µ( y + A i ) d ν (y) (3.76) µ d ν = µ ν (3.77) 19

24 3.3 Udvidelsen til M r () 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN Det skal bemærkes at vi i (3.76) har benyttet (A.9) hvor den nummeriske værdi flyttes ind i integralet, og at vi i (3.77) har benyttet at ( y + A i ) n i=1 er en inddeling af. Da µ ν er et overtal ved en vilkårlig inddeling af, har vi derfor at µ ν µ ν. Endeligt mangler vi at vise at M r () har en enhed. Dette ses let ved at betragte Diractmålet δ 0 koncentreret i 0. Sættes µ (E) = µ( E) for E B() giver (C.5) at µ er et Radonmål og at µ = µ. Det ses let at involutionen er konjungeret lineær og at (µ ) = µ. Fra (C.7,C.8) har vi at der for en begrænset Borelfunktion f gælder at f(x)dµ (x) = hvilket giver os det sidste krav for at være en involution (ν µ )(E) = = ν ( x + E)dµ (x) = f( x)dµ(x) (3.78) ν (x + E)dµ(x) (3.79) ν( x E)dµ(x) = (µ ν)( E) = (µ ν) (E) (3.80) Vi skal nu se at L 1 () kan indlejres i M r (). Hertil skal vi betragte M a (), der er mængden af komplekse Radonmål, som er absolut kontinuert mht. det valgte Haarmål m. Da gælder: Sætning 3.8. a) M a () er et ideal i M r () b) For f L 1 () sættes ν f (A) = A f dm. Afbildningen f ν f er da en normbevarende -isomorfi af L 1 () på M a () Bevis. a) M a () er et underrum, hvilket følger af identiteten µ + ν µ + ν. Lad nu ν 1 M r () og ν 2 M a (). For A B() med m(a) = 0, følger det af translationsinvariansen at m( x + A) = 0 for alle x. Da ν 2 er absolut kontinuert mht. m er ν 2 ( x + A) = 0 for x. Heraf får vi (ν 1 ν 2 )(A) = ν 2 ( x + A) dν 1 (x) = 0 (3.81) så ν 1 ν 2 M a (), som hermed er et ideal. b) Sætning B.12 giver at afbildningen f ν f er en lineær isometri af L 1 () på hele M a (). Vi mangler derfor at vise at afbildningen er multiplikativ og 20

25 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN 3.3 Udvidelsen til M r () -bevarende. For f, g L 1 () og A B() gælder ν f g (A) = f g dm (3.82) = A 1 A (t)f(s)g(t s) ds dt (3.83) = 1 A (t + s)f(s)g(t) dt ds (3.84) = 1 A (t + s) dν g (t) dν f (s) (3.85) = 1 A (x) d(ν f ν g )(x) (3.86) = (ν f ν g )(A) (3.87) ν f (A) = f( x)dx = f(x)dx = νf (A) (3.88) A A Vi kan hermed opfatte L 1 () indlejret som et ideal i M r () og multiplikativiteten af f ν f viser, at foldningen netop er en udvidelse. Vi mangler endeligt at udvide Fouriertransformationen til de komplekse Radonmål. For µ M r () defineres afbildningen Fµ : C ved F(µ)(γ) = γ(x) dµ(x) γ (3.89) Vi betegner ligeledes F(µ) med µ og denne kaldes den Fourier-Stieltjes transformerede af µ. Vi bemærker at integralet er veldefineret, da γ er begrænset og kontinuert på. Der gælder følgende: Sætning 3.9. For µ M r () gælder: a) F(µ) er begrænset og uniformt kontinuert på b) F er en unital -homomorfi fra M r () ind i C b () For x, γ, γ 0 gælder formlerne c) F(δ x )(γ) = γ(x) d) F(δ x µ)(γ) = γ(x) F(µ)(γ) e) F(γ 0 µ)(γ) = F(µ)(γ γ 0 ) Bevis. a) For µ M r () er µ(γ) γ(x) d µ = µ γ (3.90) 21

26 3.3 Udvidelsen til M r () 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN Dvs. at µ er begrænset. Lad nu ɛ > 0 være givet. Da µ er regulær og endelig, kan vi vælge K kompakt i, så µ (K c ) < ɛ. For γ 1, γ 2 med γ 1 γ 2 N(K, ɛ) har vi at 1 (γ 1 γ 2 )(x) < ɛ for x K. Heraf følger µ(γ 1 ) µ(γ 2 ) γ 1 (x) γ 2 (x) d µ (x) (3.91) ( ) = + 1 (γ 1 γ 2 )(x) d µ (3.92) K K c < ɛ µ + 2 µ (K c ) (3.93) Da N(K, ɛ) er en åben omegn af 0, er µ dermed uniformt kontinuert. b) For µ, ν M r (), α C og γ følger lineariteten af F(αµ + ν)(γ) = γ(x)d(αµ + ν)(x) (3.94) = α γ(x)dµ(x) + γ(x)dν(x) = (αf(µ) + F(ν))(γ) (3.95) Multiplikativiteten ses ved F(µ ν)(γ) = γ(z)d(µ ν)(z) (3.96) = γ(x + y)dµ(x)dν(y) (3.97) = γ(x)dµ(x) γ(y)dν(y) = (F(µ) F(ν))(γ) (3.98) hvor vi igen har benyttet (3.67). Ved brug af (3.78) ses at F er -bevarende F(µ )(γ) = γ(x)dµ (x) = γ( x)dµ(x) = F(µ)(γ) (3.99) Endeligt følger at F(δ 0 )(γ) = γ(0) = 1 af del c). c) Lad nu x, γ, γ 0. Da følger direkte at F(δ x )(γ) = γ(z) dδ x (z) = γ(x) (3.100) d) Følger direkte af multiplikativiteten og del c) e) Da µ er et Radonmål og γ 0 er begrænset, følger let at γ 0 µ M r (). Heraf F(γ 0 µ)(γ) = γ(x)γ 0 (x)dµ(x) = (γ γ 0 )(x)dµ(x) = F(µ)(γ γ 0 )(3.101) Vi lader fremover B() betegne mængde af transformerede mål { µ µ M r()}. 22

27 3 FOURIERTRANSFORMATIONEN 3.3 Udvidelsen til M r () Bemærkning Sætning 3.9 giver at afbildningen µ µ(γ) fra M r () ind i C, er en karakter for hvert γ. Dvs. at naturligt kan indlejres i (M r ()). Den Fouriertransformerede af målet µ M r () kan således opfattes som restriktionen af den elfandtransformerede af µ til delmængden af (M r ()). 23

28 4 BOCHNERS SÆTNIN 4 Bochners Sætning I dette afsnit skal vi vise Bochners sætning, der beskriver en bijektiv korrespondance mellem de kontinuerte, positive definitte funktioner på og de endelige positive Radonmål på. 4.1 Positive definite funktioner En funktion φ : C kaldes positiv definit, hvis der for vilkårlig N N og x 1,..., x N Dvs. hvis der gælder gælder at matricen A = (φ(x n x m )) er positiv semidefinit. Ac, c = N n,m=1 Der gælder da følgende simple resultater. Lemma 4.1. For x, y gælder: a) φ(0) 0 b) φ( x) = φ(x) c) φ(x) φ(0) d) φ(x) φ(y) 2 2φ(0) Re(φ(0) φ(x y)) c n c m φ(x n x m ) 0 for alle c C N (4.1) Bevis. a) Følger af (4.1) ved valg af N = 1, x 1 = 0 og c 1 = 1. b) Vi vælger N = 2, x 1 = 0, x 2 = x, c 1 = 1, c 2 = c, hvor c C. Da fås (1 + c 2 )φ(0) + cφ(x) + cφ( x) 0 (4.2) For c = 1 bliver a = φ(x) + φ( x) reel og for c = i bliver b = i(φ(x) φ( x)) reel. Da er a + ib = a + ib, hvor af b) følger. c) Antag φ(x) 0, eller følger c) trivielt. Sættes c = φ(x) φ(x) følger c) direkte. d) Antag φ(x) φ(y) 0, ellers følger d), da c) giver at højresiden bliver positiv. Vi vælger nu N = 3, x 1 = 0, x 2 = x, x 3 = y, c 1 = 1 og for λ R vælges c 2 = λ φ(x) φ(y) φ(x) φ(y), c 3 = c 2 (4.3) Da giver (4.1) at 2 (φ(0) Re(φ(x y)))λ φ(x) φ(y) λ + φ(0) 0 (4.4) Da diskriminanten af 2. gradspolynomiet ikke er strengt positiv følger d). 24

29 4 BOCHNERS SÆTNIN 4.1 Positive definite funktioner Vi lader P() betegne mængden af funktioner, der er kontinuerte samt positiv definitte. Det ses let at P() er lukket under addition og multiplikation med positive skalare. Lemma 4.2. Lad f L 2 (). Da er f f P(). Bevis. Det følger direkte af sætning 2.5 c) at f f er kontinuert og for N N, c C N og x 1,..., x N er N n,m=1 c n c m f f (x n x m ) = = = N n,m=1 n,m=1 c n c m N f(x n x m y)f( y) dy (4.5) c n c m f(x n y)f(x m y) dy (4.6) N c n f(x n y) n=1 2 dy 0 (4.7) Sidste omskrivning indses ved at sætte a = (f(x n y)) N n=1 så c H aa H c = c H a(c H a) H = c H a 2, hvor H angiver kompleks transponering. Bemærkning 4.3. Fra MM67 kender vi de positive lineære funktionaler på Banach- -algebraer 4. P() kan også indføres som de funktioner φ L (), der definerer et positivt lineært funktionale i dualrummet L 1 (). Dvs. at gælder f f φ dm 0 for alle f L 1 () (4.8) Ækvivalensen af de to definitioner følger af nedenståenden sætning. Vi viser dog kun den ene implikation, da denne skal benyttes senere. For uddybning henvises til Folland[3] thm Sætning 4.4. Lad φ være kontinuert på. Da vil φ opfylde (4.8) hvis og kun hvis φ er positiv definit. Bevis. Antag φ er kontinuert og positiv definit. Lad først f C c () med kompakt støtte K og lad ɛ > 0 være givet. Sættes F (x, y) = f(x)f(y)φ(y x) er F kontinuert med støtten indeholdt i K K. Sætning C.3 giver at F er uniformt kontinuert 5, hvor ved vi kan vælge en omegn U af 0 så F (x, y) F (x, y ) < ɛ for (x x, y y ) U U (4.9) 4 Formelt indfører Zhu[7] de positive lineære funktionaler for C*-algebraer. 5 Her benyttes at bliver en LCA gruppe, når operationerne defineres koordinatvis 25

30 4.2 Bochners sætning 4 BOCHNERS SÆTNIN Da ((x, y) + U U) (x,y) K K er en åben overdækning, vil endeligt mange overdække K K. Denne kasseoverdækning kan findeles i mindre kasser (E i E j ) n i,j=1 hvor E 1,..., E n er disjunkte, indeholdt i K og forbliver målelige, samtidig med at (4.9) bevares for E i E j. Vi vælger nu x i E i fast for 1 i n og vurderer da f f φ dm = = = n F (x, y) d(m m)(x, y) (4.10) E i E j n F (x i, x j )m(e i )m(e j ) + R (4.11) i,j=1 i,j=1 n f(x i )m(e i )f(x j )m(e j )φ(x i x j ) + R R (4.12) i,j=1 hvor sidste ulighed følger af at φ er positiv definit. Resten R vurderes da til n R = (F (x, y) F (x i, x j )) d(m m)(x, y) E i E j < ɛ m(k)2 (4.13) i,j=1 Da ɛ var valgt vilkårligt følger det at f f φ dm 0. For vilkårlig f L 1 () vælger vi en følge (f n ) i C c () med f f n 1 0. Da involutionen og multiplikationen er kontinuerte, og da φ er begrænset, må f n f n f f i 1-norm hvor ved f f φ dm = lim n f n f n φ dm 0 (4.14) 4.2 Bochners sætning Vi er nu i stand til at beskriven sammenhængen mellem P() og M r + (). Sætning 4.5 (Bochners sætning). En kontinuert funktion φ på er positiv definit hvis og kun hvis der findes et positivt mål µ M r + () så φ(x) = γ(x) dµ(γ) x (4.15) Målet µ er entydigt bestemt ved φ og kaldes det til φ associerede mål. Bevis. Lad µ M r + () og φ være givet som i (4.15). Kontinuiteten følger af sammen bevismetode, som blev benyttet i beviset for kontinuiteten af de 26

31 4 BOCHNERS SÆTNIN 4.2 Bochners sætning Fouriertransformerede mål i sætning 3.9, blot med ombytning af og. For at vise at φ er positiv definit vurderes N n,m=1 hvor N N og c C N. c n c m φ(x n x m ) = = N n,m=1 c n c m γ(x n x m ) dµ(γ) (4.16) N c n γ(x n ) n=1 2 dµ(γ) 0 (4.17) Eksistens: Lad nu φ være kontinuert og positiv definit. Vi antager at φ(0) = 1, ellers skaleres det fundne mål blot. Vi definerer T φ : L 1 () C ved T φ (f) = Da er T φ et lineær funktional med T φ 1. Sættes f(x)φ(x) dx f L 1 () (4.18) f, g = T φ (f g ) f, g L 1 () (4.19) defineres et semi-indre produkt. Lineariteten og den konjungerede linearitet i hhv. første og anden koordinaten ses let, mens sætning 4.4 giver at f, f 0 for f L 1 (). Cauchy-Schwarz ulighed giver da f, g 2 f, f g, g f, g L 1 () (4.20) Vi lader nu f L 1 () fast. Da φ er kontinuert giver lemma 4.1 d) at φ er uniform kontinuert. Dvs. at for vilkårlig ɛ > 0 kan vi finde en omegn U af 0, snittet ned til endeligt mål (m(u) < ) så φ(x y) φ(x) < ɛ y U, x (4.21) φ(x y) 1 < ɛ y x U (4.22) Vi kan vælge en symmetrisk omegn V om 0 med V +V U. Da vil ovenstående gælde for x, y V. Lader vi g = 1 m(v ) 1 V R 1 = f, g T φ (f) = R 2 = g, g 1 = 1 m(v ) 2 får vi følgende to vurderinger: 1 f(x) (φ(x y) φ(x)) dy dx m(v ) V (4.23) (φ(x y) 1) dx dy (4.24) V V 27

32 4.2 Bochners sætning 4 BOCHNERS SÆTNIN Da giver (4.21,4.22) at R 1 og R 2 kan gøres vilkårlig små, for passende valg af g. Vi har nu T φ (f) 2 f, g 2 + R f, g R 1 (4.25) f, f g, g + R f, g R 1 (4.26) f, f + f, f R 2 + R f, g R 1 (4.27) hvor de sidste led kan gøres vilkårligt små, da f, g er begrænset uafhængig af g. Dvs at T φ (f) 2 f, f = T φ (f f ) (4.28) Vi sætter nu h = f f og h n = h n 1 h for n 2. Da h n er selvadjungeret giver (4.28) at T φ (f) 2 T φ (h) (T φ (h 2 )) (T φ (h 2n )) 2 n h 2n 2 n 1 (4.29) Når n går mod uendelig vil h 2n 2 n 1 konvergere mod spektralradius 6. Da L 1 () er kommutativ har vi at r(h) = Γ(h) u og som vi så i sætning 3.3 er Γ(h) u = ĥ u. Samlet har vi T φ (f) 2 f f u = f 2 u T φ (f) f u (4.30) For f 1, f 2 L 1 () med f 1 = f 2 giver lineariteten af T φ og (4.30) at T φ (f 1 ) = T φ (f 2 ). Dvs. at afbildningen f T φ (f) er en veldefineret linearform på A() og (4.30) giver videre at afbildningen har norm mindre end 1. Da A() er tæt i C 0 () ved vi fra Analyse II at afbildningen kan udvides på entydig måde til en linearform på C 0 () med samme norm. Riesz repræsentationssætning giver, at der findes 7 µ M r () med µ 1 så T φ (f) = f( γ) dµ(γ) = f(x) γ(x)dµ(γ) dx (4.31) Da x γ(x)dµ(γ) er begrænset giver ovenstående sammenholdt med (4.18) at den ønskede lighed i (4.15) gælder for lokalt næsten alle x. Da begge sider i (4.15) er kontinuerte har vi, som tidligere omtalt, at lighedstegnet gælder for alle x. Da 1 = φ(0) = dµ(γ) = µ() µ 1 (4.32) 6 Igen bør Murphy[8] konsulteres vedr. den non-unitale spektral teori. Thm og s.12 7 Bemærk at vi her har spejlet det givne mål ν fra Riesz repræsentationssætning. Det vil sige at µ(e) = ν(e) = ν( E) hvor ved f(γ) dν(γ) = f( γ) dµ(γ). Se (C.7) 28

33 4 BOCHNERS SÆTNIN 4.2 Bochners sætning har vi at µ() = µ. Sætning A.4 giver heraf, at µ er et positivt mål. Entydighed: Endelig følger entydigheden ved at betragte µ, ν M r + () γ(x)dµ(γ) = γ(x)dν(γ) x (4.33) γ(x)d(µ ν)(γ) = 0 x (4.34) da giver nedenstående sætning at µ = ν og vi er hermed færdige. Sætning 4.6. For µ M r () med γ(x) dµ(γ) = 0 for alle x (4.35) gælder at µ = 0. Bevis. Vi betragter f L 1 () hvor om der gælder f(γ)dµ(γ) = f(x) γ( x)dµ(γ) dx = 0 (4.36) Da A() er tæt i C0() følger at h(γ)dµ(γ) = 0 for alle h C 0(), hvor af Riesz repræsentationssætning giver at µ = 0. runden til at vi har formuleret hovedparten af entydighedsbevis seperat, skyldes at vi ofte skal få brug for overstående sætning, samt følgende korollar. Korollar 4.7. Lad µ være et positivt Radonmål på og f L1 (, µ). Hvis f(γ)γ(x) dµ(γ) for alle x (4.37) Da er f = 0 næsten overalt. Bevis. Sætning B.10 giver at f µ M r (), så ovenstående giver at f µ = 0. 1 Den isometriske indlejring af L (, µ) i Mr() fra sætning B.12, giver da at f = 0 næsten overalt. 29

34 5 INVERSIONSSÆTNINEN 5 Inversionssætningen Vi lader nu B() betegne mængden af alle funktioner på, der har formen f(x) = γ(x)dµ(γ) x (5.1) hvor µ M r (). Bochners sætning og Jordan dekompositionen giver at B() netop er de endelige linearkombinationer af P(). For f B() indfører vi notationen µ f, som det til f associerede mål. Endeligt vil vi betegne B() L 1 () med B 1 (). Lemma 5.1. Lad K være kompakt. Da findes f C c() P() så f 0 på hele og f > 0 på K. Bevis. For γ 0 K kan vi vælge h C c () med ĥ(γ 0) 0. Dette følger af sætning 3.3 og da C c () er tæt i L 1 (). Sættes g = h h vil ĝ = ĥ 2 0 og specielt er ĝ(γ 0 ) > 0. Da ĝ er kontinuert, findes derfor en omegn V af γ 0 hvor ĝ > 0. Sætning 2.5 b) og lemma 4.2 giver desuden at g C c () P(). Da K er kompakt findes i henhold til ovenstående V 1,..., V n åbne i og g 1,..., g n C c () P() med K i V i, ĝ i 0 på og ĝ i > 0 på V i. Sættes f = i g i vil f 0 på og f > 0 på hele K. Da P() er lukket under addition får vi dermed at f C c () P(). Lemma 5.2. For f, g B 1 () vil målene f µ g og ĝ µ f være ens. Bevis. Lad f, g B 1 () og betragt h L 1 (). Da er (h f)(0) = h( x)f(x)dx = ĥ(γ)dµ f (γ) (5.2) Dette gælder ligeledes for g, hvilket giver at ĥĝ dµ f = ((h g) f)(0) = ((h f) g)(0) = Da A() er tæt i C0(), giver Riesz repræsentationssætning at ĥ f dµ g (5.3) ĝ µ f = f µ g (5.4) hvor man bør bemærke at regulariteten af ĝ µ f og f µ g er opfyldt. Ved brug af ovenstående lemmaer er vi nu klar til at vise inversionssætningen. 30

35 5 INVERSIONSSÆTNINEN Sætning 5.3 (Inversionssætningen). For det fikserede Haarmål m på kan vi normalisere Haarmålet dγ på så der for f B1 () gælder: a) f 1 L () = L1 (, B(), dγ). b) Inversionsformlen f(x) = f(γ)γ(x) dγ for alle x (5.5) Bevis. Vi ønsker at konstruere en translationsinvariant og positiv linearform på C c (). Lad ψ Cc() med kompakt støtte K. Lemma 5.1 giver at der findes g C c () P() med ĝ > 0 på K. Vi sætter ψ T ψ = ĝ dµ g (5.6) K hvor integralet er endeligt, da ψ ĝ er kontinuert. Hvis g erstattes af f B1 () med f > 0 på K giver lemma 5.2 at ψ K ĝ dµ ψ g = K ĝ f f ψ dµ g = K ĝ f ĝ dµ ψ f = K f dµ f (5.7) Dvs. T ψ er uafhængig af det valgte g og T er derfor veldefineret. Lineariteten ses let. Da g P() vil µ g M r + (), hvor ved T ψ 0 for ψ 0. Vi kan vælge 8 f C c () P() og ψ C c () så ψ dµ f 0. Lader vi forsat K være støtten for ψ og g være valgt som før, får vi T (ψ f) ψ = f ĝ dµ ψ g = ĝ ĝ dµ f = K Da ψ f C c () er T 0. K ψ dµ f 0 (5.8) Vi viser nu at T er translationsinvariant. Lad γ 0 og ψ Cc() med støtte K. Vi vælger denne gang g C c () P() med g > 0 på K (γ 0 + K). Sættes f(x) = γ 0 (x) g(x) x (5.9) har vi fra sætning 3.9 e) at f(γ) = ĝ(γ γ 0 ). Desuden bemærkes at f > 0 på K og at f C c () P(). De associerede mål opfylder da γ(x)dµ f (γ) = f(x) = γ 0 (x)g(x) = (γ γ 0 )(x)dµ g (γ) (5.10) = γ(x)d((µ g ) γ0 )(γ) (5.11) 8 Vælg f.eks. f iht. lemma 5.1 på en kompakt mængde C med m(c) > 0. Da µ f ikke er triviel, giver regulariteten at der findes kompakt C med µ f (C ) > 0. Da vælges ψ C + c () med ψ = 1 på C 31

36 5 INVERSIONSSÆTNINEN hvor vi iht. (C.6) minder om hvorledes integration mod translaterede mål foregår. Da (µ g ) γ0 ligeledes tilhører M r + (), giver entydigheden af associerede mål at µ f = (µ g ) γ0. Dette giver nu ψ(γ γ 0 ) T (ψ γ0 ) = dµ g (γ) = γ 0+K ĝ(γ) = K K ψ(γ) ĝ(γ + γ 0 ) d((µ g) γ0 )(γ) (5.12) ψ(γ) f(γ) dµ f (γ) = T ψ (5.13) Vi har hermed vist at T er en translationsinvariant og positiv linearform på C c (). Det tilhørende mål fra Rieszs repræsentationssætning, bliver derfor et translationsinvariant 9 og positivt Radonmål. Dvs. vi har fundet et Haarmål på, som vi betegner dγ og for hvilket der gælder T ψ = ψ(γ) dγ ψ C c () (5.14) Vi lader nu f B 1 (). Da giver (5.14) og samme omskrivning som i (5.8) at ψ dµ f = T (ψ f) = ψ(γ) f(γ) dγ ψ C c () (5.15) Heraf ψ(γ) f(γ) dγ ψ d µ f ψ u µ f ψ C c () (5.16) Nedenstående lemma giver da, at f 1 L (, dγ). Dette giver iht. sætning B.10 at f dγ M r () og yderligere får vi at (5.15) gælder for hele C0(), da C c () er tæt i C0(). Entydigheden i Rieszs repræsentationssætning giver da at f dγ = dµ f. Sammenholdt med Bochners sætning får vi da den ønskede inversionsformel f(x) = γ(x) dµ f (γ) = f(γ)γ(x) dγ x (5.17) For det givne Haarmål på, giver inversionssætning et specifik mål for hvilket inversionsformlen gælder. Dette mål betegnes dγ eller m og vi siger da at m og m harmonerer. Ligeledes vil vi med m betegne det Haarmål på, der harmonerer med m. 9 Dette følger af entydigheden i Rieszs sætning, samt at translatering af mål bevarer regularitet. Se Thorsen[11] s. 28, hvor der argumenteres fra eksistensen af et translationsinvariant Haarintegral til eksistensen af et translationsinvariant Haarmål. 32

37 5 INVERSIONSSÆTNINEN 5.1 Konsekvenser af inversionssætning Lemma 5.4. Lad µ være et Radonmål på et lokalkompakt Hausdorffrum X og lad f C(X). Antag at der findes C > 0 så ψ(x)f(x) dµ(x) C ψ u for alle ψ C c (X) (5.18) X Da vil f L 1 (X, µ). Bevis. Lad K X være kompakt. I følge Uryhsons lemma kan vi vælge ψ K C c (X, [0; 1]) så ψ K = 1 på K. Da 1 K sgn(f) er målelig og 1 K sgn(f) 1 følger det af Lusins sætning 10, at vi kan vælge en følge (ψ n ) i C c (X) med ψ n 1 så ψ n 1 K sgn(f) punktvis næsten overalt. Benyttes Lebegues n Majorantsætning får vi af ψ K (x)ψ n (x)f(x) dµ(x) C ψ Kψ n u C (5.19) X at X ψ K(x) f(x) dµ(x) C og dermed at f(x) dµ(x) C. K Lad nu ɛ > 0 være givet. Sættes U = {x X : f(x) > ɛ} har vi at U er åben, og den indre regularitet giver da, at der findes en voksende følge af kompakte delmængder K 1, K 2,... af U, således at µ(k n ) µ(u). Fra vurderingen n C f(x) dµ(x) ɛµ(k n ) (5.20) K n følger at µ(u) C/ɛ, så µ(u \ K n ) 0. Dvs. at 1 Kn (x) f(x) 1 U (x) f(x) n n for næsten alle x X og da K n f(x) dµ(x) C giver Lebegues Monotonisætning at 1 U f L 1 (X, µ) med f(x) dµ(x) C. U For n = 1, 2,... sættes U n = {x X : f(x) > 1/n}. Ovenstående giver at 1 Un f L 1 (X, µ) og at X 1 U n (x) f(x) dµ(x) C. Da U 1 U 2 U 3... vil 1 Un (x) f(x) n at f L 1 (X, µ). f(x) for x X og Lebegues Monotonisætning giver endeligt 5.1 Konsekvenser af inversionssætning Efter at have vist inversionssætningen er vi nu i stand til at vise to interessante resultater. Det første er en udbygning af sætning Se korollaret af Lusins sætning s. 56 i Rudin[10] 33