Af Per Nørgård & Ivar Frounberg & Jørgen Mortensen
|
|
- Michael Kjær
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 R I G T I G M U S I K FA L S K E T O N E S Ø E R? D E B AT ( ) Af Per Nørgård & Ivar Frounberg & Jørgen Mortensen Debat: En reaktion på Ivar Frounbergs artikel om Jørgen Mortensens bog Per Nørgårds Tonesøer i Dansk Musik Tidsskrift , nr. 7, maj Det er næppe indbildning når jeg aflæser en umiskendelig opfordring til dans i Ivar Frounbergs kommentarer i forbindelse med Jørgen Mortensens bog om mine tonesøer. Han forefinder en inkonsistens mellem på den ene side min egen søgen efter konsistens i de kompositionstekniske procedurer og på den anden min påviselige brug af en senere som inkonsistent karakteriseret (=falsk) tonesø. Det synes jeg, også, er spændende. Før jeg dog går ind på denne specielle problemstilling, vil jeg vie et par ord til belysningen af grader af konsistens : Det er ganske rigtigt (således som Frounberg gør opmærksom på) at jeg, på den ene side, anvender en 36-tonerække i min 5. Symfoni og, på den anden, senere offentligt hænger denne række ud for at være en falsk tonesø! Men det er også rigtigt, at begrebet tonesø ikke var dæmret for mig, da jeg anvendte 36-tone-rækken, som nemlig ikke er en falsk tonerække: Tværtimod er det en særdeles strukturstærk og velproportioneret, kredsende melodi, uden begyndelse og ende, der sammenvæver 4 tretone-rækker med forskellige startpositioner. Det gør jo ikke denne tonerække forkert ( falsk ), at jeg senere opdager, at såfremt 2 af disse 4 tretonerækker bliver udfoldet retrogradt og derved, cyklisk, forbinder sig med de to normalt ( med tiden ) udviklede, opstår der en 36-tone- sø, der via en multiplikationsproces med 3 kan formere sig uendeligt med endelige tonesøer og dette med en konsistens, der overgår den før omtalte 36-tonekreds. I slutningen af dette indlæg skal jeg argumentere herfor. Men først til det efter min mening mest spændende ved Frounbergs udfordring: at fastholde, sammentænkende, såvel min søgen efter konsistente strukturer (som klassiske eksempler på sådanne kan måske nævnes de bach ske gådekanons eller de berg ske og webern ske 12-tone-vidundere) som min faktiske komposition med forhåndenværende søm. Dette er i hvert fald min erfaring (som jeg mener at dele med næsten alle de kolleger, jeg har diskuteret sagen med): at der er en art indåndings-udåndings-forhold mellem strengt forfulgte, teoretisk-praktiske mål og, på det løseste grundlag (og evt. korteste tid) færdiggjorte opus er, der kvalitativt ikke (nødvendigvis) står de strengt skabte noget efter. Karl Aage Rasmussen ynder at forestille sig den samtidige kompositionstekniske Zeitgeist for komponister i tidlige stadier af store stilarter, såsom barok og klassik: en Schütz tænkte vel næppe, at det var egentlig ærgerligt at være dømt til kun at være en forgænger til den store Bach men komponerede ud fra den uomtvistelige nutids-bevidsthed, som man må formode komponister deler med alle andre mennesker... Dette er naturligvis rigtigt; men det er jo også rigtigt, at der, historisk set, vitterligt synes at være en teleologi, en art stilistisk selvorganisering, kulminerende f. eks. i Bachs mangedimensionale kompositionsteknik: stadium for stadium i over 100 år kan man i hvert fald fastslå u-omgørbare udviklinger henimod en super raffineret harmonik, en virtuos instrumentbehandling, en storslået formbeherskelse etc.: Det synes altså klart, at der samtidig med en ukompliceret dagligdags komposition udvikles et overordnet bølgemønster (udtrykt f. eks. i de nævnte modenhedsudtryk). Denne komplementaritet er ikke fremmed for komponisten, der kender til dobbelttydighed fra sin egen praksis. Og derfor kan han leve i hvert fald på dét punkt lykkeligt med viden om, at han komponerer med overleverede (evt. fra egen tidligere produktion), og 1
2 Eks. 1 Eks. 2 måske om få år forladte, teknikker, samtidigt med at han evt. udvikler og forvandler dem! Netop denne dobbelthed mellem et tidligt og et modent stadium af en teknisk nydannelse, kommer til udtryk i forskellen mellem den tidlige (og bl.a. i min 5. Symfoni anvendte) 36-tone-række og Tonesøen: de 36. For overskuelighedens skyld, og for pladshensynets, vil jeg blot belyse 13 af denne tonesøs toner og disses forhold til tonaliteten (samt postulere at således forholder det sig hele vejen : Læseren henvises til mit efterord i Jørgen Mortensens bog, hvis han skulle få lyst til at erhverve sig et samlet overblik). Se nodeeksempel 1. I dette fragment kan (udover et fletværk af stigende og faldende, kromatiske linier) aflæses to, hinanden udelukkende, diatoniske polariteter, henholdsvis i Es/A- eller C/Ges-(dur). Med omtydning fra enharmonikken i eksemplet til de to flg. tonale tydninger (som nævnt: hinanden udelukkende) opstår en dobbelt gruppetilhørs-rytme : Se nodeeksempel 2. For sammenligningens skyld har jeg sværtet hhv. Es- og Ges-noderne. Herved bliver det tydeligt, at det drejer sig om to tydninger, der fordrer forskellig notation (f.eks. h overfor ces). Når det samtidig fastholdes, at der i den samlede rækkefølge på 36 toner indgår en meget streng indbyrdes intervalrelation (som kan anes i den 3. tones kvart/kvint-relation til den 7., den 6. s til den 10. og den 9. s til den 13.) kan fraværet af tilfældighed måske udtrykkes ved kvaliteten af det flertydige potentiale (på jævnere, men misforståeligere dansk: det er meget svært at forestille sig sådanne strukturelle egenskaber opstået på såvel statistisk grund som udviklede ved simpelt tryand-error -slid). Noter Nørgårds artikel (Debat: Rigtig musik falske tonesøer? trykt i Dansk Musik Tidsskrift (Årgang 67, nr. 8, 286) er en reaktion på Ivar Frounbergs anmeldelse af Jørgen Mortensens bog Per Nørgårds Tonesøer (Det store & det små (dmt 67, nr.7 (maj), side 249). Debatten rummede desuden svar fra Jørgen Mortensen (Debat: Svar til Ivar Frounberg) i DMT 67, nr. 8, 286), samt indlæg af Svend Hvidtfelt Nielsen (Hvor går tiden hen?. Betragtninger over falske og ægte tonesøer) i DMT 68, nr. 3, der til orientering begge bringes her, efter Frounbergs igangsættende anmeldelse. 2
3 DET STORE & DET SMÅ (Jørgen Mortensen: Per Nørgårds Tonesøer. Vestjydsk Musikkonservatorium, 1993) Af Ivar Frounberg Uendelighedsrækken fylder ikke meget, bare en halv A4-side skriver Jørgen Mortensen i sit forord. Strengt taget fylder den kun to linier: et DNA, der rummer en mangfoldighed, der strækker sig ud i uendeligheden. Resten af den halve A4-side er computerteknik. Udgangspunktet for Jørgen Mortensen var et møde mellem ham og Per Nørgård på Ringkøbing station i efteråret Jørgen Mortensen, der kender sin computer og som kender Per Nørgårds uendelighedsrække fra sin egen kompositoriske virksomhed, kunne... ikke nære mig for at prale lidt. Men det skal man ikke overfor Per Nørgård, der straks satte pralet på en prøve og dermed blev resultatet denne publikation: et forskningsresultat fra Vestjydsk Musikkonservatorium. Per Nørgårds Tonesøer består af en relativ lille del, en kortfattet beskrivelse af uendelighedsrækken og tonesøerne ; hertil kommer fire appendices: én om fraktaler og tre med computerprogrammer, og så et stort nodeafsnit med næsten 80 siders udskrifter af de forskellige tonesøer. Alligevel kan man ikke sige at både det store og det små berøres i bogen. Groft set er det vel kun Per Nørgårds efterord, der indirekte berører det små de kvalitative elementer men mere herom senere. Mange af bogens forklaringer er forbilledligt enkle, og Jørgen Mortensen er ikke faldet i Per Nørgårds ofte esoteriske formuleringsstil. Men, der sker kvantespring, som ikke øger forståeligheden for ikke-indviede: Den enkleste tonesø er på 12 toner, sammensat af 4 enkeltrækker med hver 3 toner. Jørgen Mortensen trækker ikke sammenhængen tilbage til de indledende beskrivelser af uendelighedsrækkerne, og nævner slet ikke at de valgte enkeltrækker udgør en kvint-udgave af uendelighedsrækken! Derudover har jeg forbehold overfor sammenblandingen af matematisk/logisk algoritme og indføring i programmeringssprog. De fleste musikere vil kun med besvær forstå computertekniske program-formuleringer, mens programmører ikke har brug for disse elementære forklaringer. Den optimale forståelighed ville være opnået hvis de musikalske beskrivelser havde været rent håndværksmæssige, mens to efterfølgende appendices beskrev den matematisk/logiske algoritme i et pseudo-programsprog og behørigt adskilt i konkret optimeret kode. Kun det sidste finder vi, omend RAVEL-sproget har kryptiske egenskaber og der typografisk er sjusket med løkkeindrykninger i appendix 4. Jørgen Mortensens bog om Per Nørgårds tonesøer viser meget om computerens egenskaber: på den ene side kan rækkefænomener som uendelighedsrækken beskrives simpelt i en algoritme (ofte er nogle få programlinier nok!). Algoritmen kan så sættes i gang og derefter beregner computeren den ene tone efter den anden, så længe computerens RAM rækker. Denne proces kan kaldes materiale-generering. Men efter den simple materiale-generering kommer så den praktiske omsættelse i komposition. Denne proces kan computeren ikke hjælpe med og det fremgår da også tydeligt af Per Nørgårds efterord: Det er naturligvis næppe muligt at sætte sig ind i kompositionsprocessen og -oplevelserne... Denne del af processen, som er nok så spændende, mangler fuldstændigt i bogen. Nok siger ovenstående citat, at det nærmest er umuligt, men nogle analyser af afsnit af de omtalte relevante kompositioner, ville have været en begyndende indgang til en kiggen komponisten over skulderen og et ønskeligt supplement. Der kan ikke herske tvivl i mit sind om, at hvis Per Nørgård var startet med computeren, ville uendeligheds-rækkens og tonesøernes egenskaber simpelthen være gået tabt i mængden af toner. Dét, at udregne og skrive sin materiale-generering i hånden først, betyder at komponisten sér materialets egenskaber i kraft af gentagelsen af den samme proces de 324 gange, eller som jeg selv har oplevet det: gennem at nedskrive mere end ét tusinde akkord-par! Efterordet af Per Nørgård rejser flere interessante spørgsmål. Han beskriver, hvorledes 3
4 relationerne i brugen af uendelighedsrækken groft kan beskrives som den elementære i Rejsen ind i den gyldne skærm eller i 2. Symfoni og den komplicerede som i 3. Symfoni. Denne perspektivering peger mod en grundliggende kompositorisk problemstilling, der ligger udenfor bogens rammer, men som man kunne ønske sig en videre diskussion af. Pudsigt nok opleves regnefejl som musikalsk forsvarlige, det har Per oplevet med offentliggørelsen af de falske 36 i DMT nr /88, der er grundlaget i f.eks. 5. Symfoni. Igen efterlyser jeg analyser: en påvisning af fejlanvendelser eller som Morton Feldman formulerede det systemernes sammenbrud kunne føre videre fra en forståelse af det materielle univers til det kompositoriske. Ved gennemlæsningen af 5. Symfoni i forbindelse med denne anmeldelse blev jeg bekræftet i, at serialismen stadigvæk spøger gennem fraværet af harmonik i den bredeste forstand: som felter med begrænsede intervalliske egenskaber. Selvom Jørgen Mortensen beskriver de tonale felter (= harmonik i den snævre klassiske forstand) ses rækkefølger at medføre, at den eneste form for harmonik, der er mulig i tonesøerne, er heterofoni. Dette dimensionsbortfald bliver så meget mere interessant, fordi de tonale felter og akser Jørgen Mortensen beskriver i bogen ikke nødvendigvis er statistisk signifikante og dermed en objektiv egenskab for netop tonesøer. Der beskrives, hvordan der opstår et kromatisk equilibrium efter 81 toner i rækken. Når man derefter i tonesøerne udtyder tonale felter udfra tritonus-beslægtede tonaliteter, vil sandsynligheden for at en given tone tilhører en given tonalitet være 7/12. Der er derfor intet mærkeligt i, at der opstår tonale felter. I tonesø de 108 er den tonale balance mellem de to tonaliteter så tæt på 108 * 7/12 = 63 som den kan være! Helt ekstremt har jeg forsøgt med en lineært distribueret tilfældighed i den kromatiske skala og fundet lignende tonale felter og grupperinger. I sit forskningsprojekt burde Jørgen Mortensen nok have gennemskuet dette og givet en mere udtømmende beskrivelse af de objektive kvaliteter, som Per Nørgård refererer til. Som det fremtræder nu, kan man acceptere Per Nørgårds objektive kvaliteter som et kompositorisk udgangspunkt, men ikke som en specifik egenskab i materialet. DEBAT: SVAR PÅ IVAR FROUN- BERGS ANMELDELSE AF MIN BOG (Per Nørgårds Tonesøer) I DMT nr. 7, Af Jørgen Mortensen Det hører vist egentlig ikke til god tone at svare på en anmeldelse, men når den direkte er behæftet med fejl, må det vel være på sin plads. Til oplysningen om, at jeg skulle kende Per Nørgårds uendeligheds-række fra mit eget kompositoriske virke, må jeg sige, at jeg aldrig har anvendt andet materiale, end det, som jeg selv har udviklet. Jeg har hverken brugt Nørgårds eller nogen andens rækker eller systemer. Den manglende sammenkædning mellem rækker og tonesøer, som anmelderen iagttager, må vist skyldes, at han er kommet til at springe over side 21, for her står de formidlende sætninger faktisk. Anmelderen påstår, at de tonale felter og akser, som jeg beskriver, ikke nødvendigvis er statistisk signifikante. Dette er ikke rigtigt. Jeg har ikke været uvidende om, at også tilfældigt udvalgte toner vil gruppere sig i tonale felter, forstået som et udvalg af toner, der tilhører en bestemt durtonalitet. Men de tonale flader er på en eller anden måde selve det fascinerende ved tonesøerne. Dette har jeg erfaret pr. øre, og jeg har grund til at tro, at det også er ud fra de fluktuerende tonaliteter, at Per Nørgård tænder på tonesøerne. Hvis tonesøerne var konstant atonale eller tonale ville de nok ikke være interessante. I Nørgårds udvikling af tonesøerne lå da også i første omgang nogle tonale overvejelser, og for de korte tonesøers vedkommende er der mange ejendommelige regelmæssigheder, hvoraf nogle er påvist i bogen. For de større tonesøers vedkommen- 4
5 Eks. 3 de er billedet mere uregelmæssigt, men til gengæld optræder der tonale grupperinger af et omfang, som langt overgår, hvad en tilfældighedsgenerator kan præstere. Som et eksempel (se Eks. 3) kan man i tabel l se, hvorledes C-durs toner afsættes. 294 toner står som enkelttoner, dvs. en enkelt tone tilhørende C-dur skalaen (f.eks, d) med mindst én tone, der ikke tilhører C-dur skalaen før og mindst én efter. Grupper á 2 toner igen to C-dur toner med ikke-c-dur toner før og efter forekommer 161 gange, grupper á 3 toner 214 gange etc. (se tabel 1). Det ses, at 2 gange forekommer grupper á 21 toner, l gang en gruppe á 30 toner og 2 gange en gruppe á 38 toner. De tilsvarende tal for 2916 tilfældigt udvalgte toner (her resultatet af en gennemkørsel med en tilfældighedsgenerator) kan som det ses slet ikke hamle op med dette. For fuldstændighedens skyld er grupperingerne af ikke-c-dur-toner også vist (tabel 2). Den første af de to grupper med 38 C-dur toner kan iagttages i bogens udskrift fra slutningen af takt 90 på side 83. Der vil forekomme to korresponderende flader i Fisdur. Jeg har givet disse tal til matematikeren cand. scient. Jørgen Harboe Jensen, som har regnet videre på dem og har fundet sandsynligheden for, at der i 2916 tilfældigt udvalgte toner er et tonalt felt i en bestemt toneart på 20 toner eller mere. Der er 1.9 % chance for, at der er ét sådant område Der er 0.0 % chance for at der er 2 eller flere områder (tabel 3). Det er altså ikke tilfældigt, at der optræder så mange og så omfangsrige tonale felter. Der er en signifikant forskel på det observerede og tilfældigheder. Det som Jørgen Mortensen nok burde have gennemskuet er altså forkert. Med hensyn til bogens indhold og sigte, så var det først og fremmest min idé at videregive disse musikalske strukturer, tonesøerne, som for de flestes vedkommende blev synlige første gang på min computerskærm til andre, samt at give en første gennemgang af deres struktur. Det er mit håb, at dette materiale vil sætte andre i stand til at tage kvalificeret stilling til Per Nørgårds nyeste og formentlig også kommende værker. Med den strukturelle nøgle (der måske er fulgt!) i hånden kan man kigge komponisten over skulderen og bedømme selve musikken. En musikalsk struktur er jo, som nævnt i bogen, ikke det samme som en komposition. Det var ikke bogens sigte at belyse de nyeste værker, som anvender tonesøerne, men jeg glæder mig til, at der må komme bøger og artikler af andre, og måske også af mig selv som belyser musikken og eventuelt uddyber forståelsen af tonesøerne. 5
6 HVOR GÅR TIDEN HEN? Af Svend Hvidtfelt Nielsen I sin omtale af Per Nørgårds brug af tonesøer i 5. Symfoni (DMT nr /94, At redigere det moderne), bemærker Ursula Andkjær Olsen i en fodnote, at hun ikke vil komme ind på problematikken om sande og falske tonesøer. I forbindelse med det ærinde Andkjær Olsen er ude i er det ganske forståeligt. Men det gør ikke problematikken mindre spændende. Selv om jeg vil foretrække at tale om ægte i stedet for sande tonesøer, vil jeg her tage Andkjær Olsens fodnote som en anledning til at prøve at belyse denne problematik. Og det kan der være flere grunde til. For det første er dette forhold hidtil kun tåget grænsende til misvisende behandlet. Om forholdet beretter Per Nørgård i sit efterord til Jørgen Mortensens bog, Per Nørgårds Tonesøer, noget svævende, at den falske tonesø opstod på grund af en ukorrekt bestemmelse af tilbageløbende og fremadløbende uendelighedsrækker (Jørgen Mortensen: Per Nørgårds Tonesøer, Vestjysk Musikkonservatorium 1992, s. 64). Som eksempel på en sådan ukorrekt bestemmelse vises da 36-tonersudvidelsen fra violinkoncerten Helle Nacht. Det ukorrekte i dette eksempel er at ingen af uendelighedsrækkerne er tilbageløbende. For det andet kan netop forholdet mellem de falske og de ægte tonesøer give et indblik i de gradvise tilblivelsesprocesser i Per Nørgårds kompositoriske praksis, et indblik i hvorledes Per Nørgårds komplicerede serielle systemer ikke kommer i stand som åbenbaringer, men er resultat af slidsomme try-anderror -processer. Endelig kan en undersøgelse af forholdet mellem ægte og falske tonesøer bruges til at perspektivere Per Nørgårds teoretisk/filosofiske overvejelser over sine systemers implikationer, samt belyse vekselvirkningen mellem kompositionsteknik og teoretisk tolkning hos Per Nørgård. Jeg vil forsøge at fremstille forholdet mellem de forskellige tonesø-versioner i form af en kronologisk gennemgang af teknikkens udvikling fra forvandlingskugle til tonesø. Denne gennemgang vil friste til at drage en forsøgsvis teoretisk konklusion af, hvilke filosofisk/teoretiske implikationer den ægte tonesø indebærer. En konklusion der det må understreges står helt og aldeles for undertegnedes regning. FORVANDLINGSKUGLEN Udgangspunktet er Forvandlingskuglen, De 12, eller hvilket navn man vil hæfte på den toneranke, der for første gang optrådte i strygekvartetten Tintinnabulary. Som Andkjær Olsen rigtigt fremhæver, er den konstrueret af fire kvintstabler, der kan grupperes to og to. Disse parvise grupperinger repræsenterer to diatoniske skalaer i tritonus-afstand, C-dur og Fis/Ges-dur (repræsenteret ved henholdsvis tonerne: F-C-G/ A-E-H og H-Fis-Cis/Es-B- F). Denne kvintstabling af en dia-tonisk skala med udelukkelse af en af skalaens toner (i C-dur versionen: D) genfindes i artiklen Er diatonik et universelt fænomen. Her argumenterer Per Nørgård for, at den diatoniske skala kan afledes af overtone- og undertonerækken. Nørgård skelner mellem grundtoner, dvs. de toner som man opbygger en durtreklang over, og fokustoner, dvs. de toner der genererer en moltreklang nedad som differenstoner. En fokustone er kvinten i en moltreklang, mens en grundtone er, ja, grundtonen i en durtreklang. Det er disse grund- og fokus-toner, der er stillet op i de to kvintgrupper, der udgør forvandlingskuglen. Med andre ord er det ikke bare to kvintgrupper. Hvis C-dur kvintgruppen ses som model for universel diatonik overhovedet, må den i en eller anden forstand repræsentere enhver mulig diatonisk musik, hvis ikke den, udledt som den er af overtonerækken, repræsenterer hele det hørbare klangrum. I en sådan tolkning bliver tritonus-afledningen et problem. Hvad brug er der for den? Det forklarer Per Nørgård i DMT nr. 4, 1987/88 i artiklen Henimod en optimalt økonomisk signalsystematik: Denne tritonuspol må teoretisk forstås som antiresonans til det, jeg her har kaldt C-dur kvintgruppen. Forvandlingskuglen kommer i stand ved at flette de fire kvintstabler ind i hinanden. 6
7 Kuglens smukke melodiske udformning kommer af, at fis/ges-dur-stablens kvinter forløber retrogradt: F-B-Es og Cis-Fis-H. Denne omvending passer fint med tolkningen af gruppen som antiresonans. Anti må jo ret beset være omvendt af det, det er anti til. Når kvintstablerne flettes, begyndes ideelt set med nonespringet fra stablernes sidste til første tone (fx G-F). Vi nummererer de således omarrangerede fire kvintstabler: 1.G-F-C, 2.H-A-E, 3.Eb-F-B, 4.H-Cis-Fis. Forvandlingskuglens forløb, G-A-B-H-F- E-Es-Cis-C-H-F-Fis (-G-A etc. ad infinitum), fremkommer da ved at flette disse fire kvintstabler ind i hinanden således at stabel 1 s første tone efterfølges af stabel 2 s anden tone, der efterfølges af stabel 3 s tredje tone, der efterfølges af stabel 4 s første tone, der efterfølges af stabel 1 s anden tone og så fremdeles. EGENSKABER Af de specielle egenskaber ved denne forvandlingskugle, som Per Nørgård har hæftet sig ved, skal et enkelt tonalt aspekt kommenteres her. Fletværkets systematik medfører, at accentuering af hver anden tone i denne forvandlingkugle vil fremhæve tonerne fra enten stabel 1 og 3, eller stabel 2 og 4. Med andre ord er det ikke i første omgang den tilgrundliggende tritonuspolaritet mellem C- og Fis/ Ges-dur, der får konsekvenser i den kompositoriske praksis. Det er derimod sammenfletningens biprodukt, tritonuspolariteten mellem tonegrupperne G-F-C-Eb-F-B (stabel 1 og 3) og H-A-E-H-Cis-Fis (stabel 2 og 4). Disse to grupper tillader forskellige tonale tolkninger. Per Nørgård vælger at se dem som repræsentanter for henholdsvis Eb-dur og A-dur, da netop disse tonearter begge indeholder de to eneste toner, der ikke med i forvandlingskuglen: D og As/Gis. At det er Ebdur/A-dur polariteterne, og ikke C-dur/Fisdur, der anses for forvandlingskuglen konstituerende element, får betydning, når denne forvandlingskugles karakteristika søges forstørret op i længere forløb (36-, 108-, etc. tonesøer) ved hjælp af uendelighedsprincippet. BAGLÆNS TID Efter kompositionen af Helle Nacht, hvor rækken blev udvidet til en 36-tonersgruppe omend i et andet end tonesø-regi (her udbyggedes den til en Supersekvens ) opstod en musikteoretisk skruppel for Per Nørgård. Komponisten fik nemlig da den nærliggende tanke, at Fis/ Eks. 4. De toner, der udgør de 12 er noteret fire sekstendedele lange. Læses Stabel 3 og 4 bagfra fra hhv. tonerne Cis og F fremgår det, at de er transpositioner af stablerne 1 og 2 læst forfra, fra hhv. tonerne G og H. Nederste linje udgøres af de fire stablers samlede tonesum. Bemærk at tonesøen spejler sig, transponeret en tritonus, omkring de to tritoni: D-As og E-Ais (notationen skal fremhæve treklange og tonale felter). Bemærk ligeledes de to tonale områder: g-mol og des-mol. 7
8 Ges-rækkens toner, der jo udgør en retrograd version af C-dur rækkens toner, var udtryk for baglæns tid! Skulle denne forvandlingskugle, 12-tone-søen, udvides ved hjælp af uendelighedsprincippet, ja, så måtte udvidelsen af Fis/ Ges-dur kvinterne ske baglæns. En udvidelse måtte ske med udgangspunkt i de oprindelige kvintstabler, begyndende med sidste tone i hver, således at de fremstod i en form begyndende med faldende none. Når så udvidelsen var udarbejdet, vendes hele rækken igen, og flettes med de to C-dur rækker. I dette lys fremstod den form som 36-toners udgaven af forvandlingskuglen havde i Helle Nacht som håbløst inkonsekvent. 5. SYMFONI I 5. symfoni råder Per Nørgård bod på sin inkonsekvens ved at arbejde med tonesøer (36- og 108-) der er udarbejdet således, at antiresonans -gruppen forløber i baglæns tid, mens den anden gruppe stadig forløber i retvendt tid (se eks. 4). Problemet er bare, at denne tonesø-udforming også viser sig at være falsk. Hvorfor? Per Nørgård ønskede med sine forlængelser af den oprindeligt 12 toner lange række at projicere netop de egenskaber, som appellerede til ham i hans kompositoriske praksis, op i større format. Fx de tonale komplekser Eb-dur og A-dur. Det viste sig imidlertid i 5. symfoni, at netop denne regelmæssighed ikke var repræsenteret i 36- og 108-toners søerne. Og med al vor bagklogskab kan vi sige, selvfølgelig ikke. Eb/A-polariteten beroede jo på, at kvintstablerne blev sammenholdt parvis 1 og 3, og 2 og 4. Denne pardannelse bliver brudt i samme øjeblik stabel 1 og 2 udsættes for en anden procedure end stabel 3 og 4. Skal en forlængelse af stablerne bevare Eb-A polernes regelmæssighed, må de stabler, der udgør henholdsvis Es og A tonaliteterne, behandles ens. Skal to stabler forlænges retrogradt, må det således være enten stabel 1 og 3 (Eb-polen) eller stabel 2 og 4 (A-polen). Stillet over for denne situation vælger Per Nørgård, at lade stabel 2 og 4, de to fokustonestabler, forløbe retrogradt, altså i baglæns tid. Nu går kabalen op. De karakteristika, som tiltalte Per Nørgård i den oprindelige forvandlingskugle, bibeholdes ved tonesøernes udvidelser (se Jørgen Mortensen: Per Nørgårds Tonesøer). TOLKNING Der er altså to typer falske tonesøer (eller hvad man vil kalde dem). Den ene er den type, der indgår i den såkaldte Supersekvens, der benyttes i sidste sats af violinkoncerten Helle Nacht, hvor der ved udvidelser ved hjælp af uendelighedsprincippet ikke er taget hensyn til den baglæns forløbende tid. Den anden er den, der bruges i 5. symfoni, hvor det er de forkerte kvintstabler, der løber baglæns. Men hvis såvel resonans som antiresonans er splittet op i en fortløbende og en baglæns forløbende række, hvorledes passer disse processer da ind i en teoretisk tolkning? Hele den metafysiske fundering, der ifølge artiklen Henimod... synes at være netop disse tilgrundliggende kvintstablers raison d etre, er den ikke nu gået fløjten? Nej, det er den ikke nødvendigvis. Som enhver anden ordentlig metafysik er også den Per Nørgårdske føjelig overfor foranderlig empiri. Man må nu se det som en fejl at tro at forskellen i tidsretningen havde noget med forskellen mellem resonans og anti-resonans at gøre. Nej, den egentlige modsætning ligger i forholdet mellem grund- og fokus-toner. Det er selvfølgelig fokustone-kvintstablerne, der løber i modsat tidsretning. Den moltreklang, som en fokustone generer nedad, er jo netop en præcis intervallisk omvending af den durtreklang, der bygges op over en grundtone. Stor plus lille terts nedad overfor stor plus lille terts opad! Per Nørgård har mig bekendt ikke selv foretaget ovenstående revision af sin metafysik. Men går man ind på ideen, åbnes der for en ny og banebrydende tolkning af fænomenet mol. Mol kan ikke længere bare ses som forbundet med dur i kraft af de to tonaliteters omvendingsforhold (jvf. forholdet mellem grund- og fokus-toner). Nej, tages de implikationer, der ligger i konstruktionen af den ægte tonesø, op til tolkning, må man indse, at mol ganske enkelt må opfattes som dur forløbende i baglæns tid!! Voila! 8
1. Forstærkning af melodien
http://cyrk.dk/musik/medstemme/ Medstemme Denne artikel handler om, hvordan man til en melodi kan lægge en simpel andenstemme, der understøtter melodien. Ofte kan man ret let lave en sådan stemme på øret,
Læs mereRen versus ligesvævende stemning
Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440
Læs mereForberedelse. Forberedelse. Forberedelse
Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Det betyder at du skal formidle den viden som du er kommet i besiddelse
Læs mereHjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996
Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet
Læs merePrætoriansk stemning: Hvor mange tonearter kan man spille i? Gert Uttenthal Jensen
Prætoriansk stemning: Hvor mange tonearter kan man spille i? Gert Uttenthal Jensen I overgangen fra de ikke-tempererede stemninger, som fx den prætorianske til de tempererede, som fx den ligesvævende,
Læs mereSamråd den 22.04.2009
Samråd den 22.04.2009 Skatteministeren og jeg besvarer de to samrådsspørgsmål som i kan stille spørgsmål til selvfølgelig Samrådsspørgsmålet er jo også formuleret på den måde, som også [ ] har fremstillet
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereForberedelse. Forberedelse. Forberedelse
Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du
Læs mereEksempler på alternative leveregler
Eksempler på alternative leveregler 1. Jeg skal være afholdt af alle. NEJ, det kan ikke lade sig gøre! Jeg ville foretrække at det var sådan, men det er ikke realistisk for nogen. Jeg kan jo heller ikke
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs mereGRÆNSESTRIDIGHEDER FRAKTALE TRÆK HOS J.S. BACH? (1989)
GRÆNSESTRIDIGHEDER FRAKTALE TRÆK HOS J.S. BACH? (1989) Af Per Nørgård Et par videnskabsskribenter 1 har omtalt og beskrevet aspekter af min produktion som fraktal, hvilket har stimuleret mig til at forstå,
Læs mereFremstillingsformer i historie
Fremstillingsformer i historie DET BESKRIVENDE NIVEAU Et referat er en kortfattet, neutral og loyal gengivelse af tekstens væsentligste indhold. Du skal vise, at du kan skelne væsentligt fra uvæsentligt
Læs mereChromatic staff. Af Peter Hass. Introduktion
Chromatic staff Af Peter Hass Introduktion Der har været musik, længe inden der var nodesystemer. Inden man indførte nodelinier, forsøgte man at notere musik ved hjælp af neumer som blot var upræcise angivelser
Læs mere3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden
Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde
Læs mereMusik, matematik og forholdsregler
MATEMATIK Baggrund lærer Hvis du skærer rør (tæppe-/nedløbs- eller et andet rør) i tre forskellige længder, f.eks. 1 meter, 66,6 cm og 1/2 m, vil du få tre forskellige toner: en grundtone (1m) oktaven
Læs mereNr. 3 September 2013 25. årgang
KØBENHAVNS KOMMUNEKREDS Nr. 3 September 2013 25. årgang I dette nummer bl.a.: Portræt af en frivillig samtale med Sven Aage Knudsen Formidling af følelser uden ord Videnskabelig skabt legeplads til børn
Læs mereFormål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1
Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte
Læs mereSÅDAN KAN MAN OGSÅ SPILLE AUTUMN LEAVES...
28 omlyd December 2009 SÅDAN KAN MAN OGSÅ SPILLE AUTUMN LEAVES... AUTUMN LEAVES ER BLEVET SPILLET I UENDELIGT MANGE UDGAVER. I DENNE ARTIKEL ANALYSERES KEITH JARRETTS UDGAVE, SOM DEN BLEV SPILLET UNDER
Læs mereForberedelse. Forberedelse. Forberedelse
Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du
Læs mereLæring af test. Rapport for. Aarhus Analyse Skoleåret
Læring af test Rapport for Skoleåret 2016 2017 Aarhus Analyse www.aarhus-analyse.dk Introduktion Skoleledere har adgang til masser af data på deres elever. Udfordringen er derfor ikke at skaffe adgang
Læs mereAnalyse af PISA data fra 2006.
Analyse af PISA data fra 2006. Svend Kreiner Indledning PISA undersøgelsernes gennemføres for OECD og de har det primære formål er at undersøge, herunder rangordne, en voksende række af lande med hensyn
Læs mereAvisforside. Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet
Avisforside Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet Vi vil meget gerne høre dine umiddelbare tanker om forsiden til avisen. Hvad forventer du dig af indholdet og giver den dig lyst til
Læs mereKryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Læs mereRåd og vink 2012 om den skriftlige prøve i Musik. Ministeriet for Børn og Undervisning Center for Kvalitetsudvikling, Prøver og Eksamen August 2012
Råd og vink 2012 om den skriftlige prøve i Musik Ministeriet for Børn og Undervisning Center for Kvalitetsudvikling, Prøver og Eksamen August 2012 Fagkonsulent Claus Levinsen I. De skriftlige censorers
Læs mereKonstruktiv Kritik tale & oplæg
Andres mundtlige kommunikation Når du skal lære at kommunikere mundtligt, er det vigtigt, at du åbner øjne og ører for andres mundtlige kommunikation. Du skal opbygge et forrådskammer fyldt med gode citater,
Læs mere4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter
Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi
Læs mereTenorens højeste højeste tone: tone: eller eller Altens dybeste tone:
Poprock-arrangement s. (TH 12) Poprock-arrangement s. 1 (TH 11) GENERELT GENERELLE PRINCIPPER FOR KORSATS Besætning: Besætning: Lav Lav koret koret 3-stemmigt 3-stemmigt for for sopran, sopran, alt alt
Læs mereForberedelse. Forberedelse. Forberedelse
Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du
Læs mereHvad er formel logik?
Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt
Læs mereINDIREKTE GENTESTS PÅ FOSTRE MEDFØRER ETISKE PROBLEMER - BØR MAN KENDE SANDHEDEN?
INDIREKTE GENTESTS PÅ FOSTRE MEDFØRER ETISKE PROBLEMER - BØR MAN KENDE SANDHEDEN? I Danmark kan man på 6 af landets offentlige sygehuse få foretaget indirekte prænatale gentests. Dette er eksempelvis muligt,
Læs mereForberedelse. Forberedelse. Forberedelse
Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Det betyder at du skal formidle den viden som du er kommet i besiddelse
Læs merePsyken. mellem synapser og samfund
Psyken mellem synapser og samfund Psyken mellem synapser og samfund Af Svend Brinkmann unı vers Psyken mellem synapser og samfund Svend Brinkmann og Aarhus Universitetsforlag 2009 Omslag: Jørgen Sparre
Læs mereSystematisk oversigt. 1. del. Det lineære grundlag
Systematisk oversigt 1. del. Det lineære grundlag Tonematerialet... 6 1. Tonesystemet... 6 1.1 Stamtonerne... 6 1.2 Orientering af dybe og høje toner... 6 1.3 Stamtonebetegnelser i de forskellige oktaver...
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs merepræsenterer OTTO MORTENSEN
T R I O E N S A M K L A N G præsenterer OTTO MORTENSEN 1907 1986 Som komponist, pædagog, dirigent, pianist og musikvidenskabelig forsker. I Sang / Musik Fortælling og Billeder Hvilken betydning har Otto
Læs mereBrugerundersøgelse på nyidanmark.dk 2009
Brugerundersøgelse på nyidanmark.dk 2009 I perioden fra 3. april til 9. juni 2009 har webanalyse-firmaet Netminers gennemført en kvantitativ brugerundersøgelse på nyidanmark.dk. Undersøgelsen viser først
Læs mereDet er svært at komme på ældste trin. Der er mange helt nye ord, fx provokation og oplevelsesfase.
Overgang fra mellemtrin til ældste trin samtale med 6. kl. Det er svært at komme på ældste trin. Der er mange helt nye ord, fx provokation og oplevelsesfase. Det er en meget anderledes arbejdsform, men
Læs mereUNDERVISNINGSPLAN FOR MUSIK 2015
UNDERVISNINGSPLAN FOR MUSIK 2015 Undervisningen i faget Musik bygger på Forenklede Fælles Mål. Signalement og formål med musik Som overordnet mål i faget musik, er intentionen at eleverne skal inspireres
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mereForberedelse af testamente
- 1 Forberedelse af testamente Af advokat (L) og advokat (H), cand. merc. (R) Nytåret giver almindeligvis anledning til forskellige overvejelser om status og tiden, der kommer. Måske særligt for den ældre
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereUndervisningsevaluering Kursus
Undervisningsevaluering Kursus Fag: Matematik A / Klasse: tgymaauo / Underviser: Peter Harremoes Antal besvarelser: ud af = / Dato:... Elevernes vurdering af undervisningen Grafen viser elevernes overordnede
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer
Læs mered e t o e g d k e spør e? m s a g
d e t o E g d spør k e e s? m a g Forord I vores arbejde med evalueringer, undersøgelser og analyser her på Danmarks Evalueringsinstitut, er spørgeskemaer en værdifuld kilde til information og vigtig viden.
Læs mereDet fleksible fællesskab
Kultur Det fleksible fællesskab Kirsten Hastrup unı vers Kultur Det fleksible fællesskab Kultur Det fleksible fællesskab Af Kirsten Hastrup unıvers Kultur Det fleksible fællesskab er sat med Adobe Garamond
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereLitterær artikel I den litterære artikel skal du analysere og fortolke en (eller flere) skønlitterære tekster samt perspektivere den/dem.
Litterær artikel I den litterære artikel skal du analysere og fortolke en (eller flere) skønlitterære tekster samt perspektivere den/dem. Din litterære artikel skal bestå af tre dele: 1. Indledning 2.
Læs mereEksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver
Eksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver Hypotesedannelse I har alle produceret grafer af typen 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 (de lilla punkter er fundet ved en strenglængde på 35,
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereAf Helle Wachmann og Bolette Balstrup, pædagoger og henhv. leder og souschef i Svanen TEMA: ANERKENDENDE PÆDAGOGIK OG INKLUSION, VERSION 2.
Om inklusionen og anerkendelsen er lykkedes, kan man først se, når børnene begynder at håndtere den konkret overfor hinanden og når de voksne går forrest. Af Helle Wachmann og Bolette Balstrup, pædagoger
Læs mereÅrsplan for 2.kl i Matematik
Årsplan for 2.kl i Matematik Vi følger matematiksystemet "Matematrix". Her skal vi i år arbejde med bøgerne 2A og 2B. Eleverne i 2. klasse skal i 2. klasse gennemgå de fire regningsarter. Specielt skal
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereDansk/historie-opgaven
Dansk/historie-opgaven - opbygning, formalia, ideer og gode råd Indhold 1.0 FORMELLE KRAV... 2 2.0 OPGAVENS OPBYGNING/STRUKTUR... 2 2.1 FORSIDE... 2 2.2 INDHOLDSFORTEGNELSE... 2 2.3 INDLEDNING... 2 2.4
Læs mereRapport om brugerevaluering af pilotprojektet Bedre Breve i Stevns Kommune
Rapport om brugerevaluering af pilotprojektet Bedre Breve i Stevns Kommune Lektor Karsten Pedersen, Center for Magt, Medier og Kommunikion, kape@ruc.dk RUC, oktober 2014 2 Resume De nye breve er lettere
Læs mereSandhed - del 2 To typer af sandhed
Sandhed - del 2 To typer af sandhed Her er nogle interessante citater fra Et Kursus i Mirakler : Frelse er genkendelsen af, at sandheden er sand, og at intet andet er sandt. Det har du måske hørt før,
Læs mere1. BAGGRUNDEN FOR UNDERSØGELSEN...
Social- og Sundhedsforvaltningen og Skole- og Kulturforvaltningen, efterår 2008 Indholdsfortegnelse 1. BAGGRUNDEN FOR UNDERSØGELSEN... 3 1.1 DATAGRUNDLAGET... 3 1.2 RAPPORTENS STRUKTUR... 4 2. OPSAMLING
Læs mereVi er her for at søge. Af Frederikke Larsen, Villa Venire A/S april 2011
Vi er her for at søge Af Frederikke Larsen, Villa Venire A/S april 2011 På sidste års kundeseminar spurgte jeg skuespiller Lars Mikkelsen, hvorfor tvivlen er en ressource og en drivkraft for ham. Han forklarede
Læs mereNyhedsbrev. Kurser i VækstModellen
MG- U D V I K L I N G - C e n t e r f o r s a m t a l e r, d e r v i r k e r E - m a i l : v r. m g u @ v i r k e r. d k w w w. v i r k e r. d k Nyhedsbrev N u m m e r 5 D e c e m b e r 2 0 1 2 Velkommen
Læs mereFORDOMME. Katrine valgte: ABENHEDENS VEJ
16 Katrine valgte: ABENHEDENS VEJ 17 Mange psykisk syge er fyldt med fordomme, siger 32-årige Katrine Woel, der har valgt en usædvanlig måde at håndtere sin egen sygdom på: Den (næsten) totale åbenhed.
Læs mereRaymond Queneau. Litteraturens grundlag
Raymond Queneau Litteraturens grundlag Efter at have overværet en forelæsning i Halle af Wiener (ikke Norbert, selvfølgelig) om Desargues og Pappus teoremer mumlede David Hilbert tænksomt, mens han ventede
Læs mereEvaluering af den skriftlige prøve i musik A-niveau studentereksamen maj/juni 2010
Evaluering af den skriftlige prøve i musik A-niveau studentereksamen maj/juni 2010 September / Fagkonsulent Claus Levinsen Evalueringen indeholder et kort afsnit om censorernes kommentarer til årets opgavesæt
Læs mereManual til Groupcare: Indhold, formål og brug
Manual til Groupcare: Indhold, formål og brug Indledning Groupcare er en elektronisk, internetbaseret kommunikationsform som vi bruger i forbindelse med din DOL-uddannelse. Grundlæggende set er Groupcare
Læs mereNedenfor er tegnet svingningsmønsteret for to sinus-toner med frekvensen 440 og 443 Hz:
Appendiks 1: Om svævning: Hvis to toner ligger meget tæt på hinanden opstår et interessant akustisk og matematisk fænomen, der kaldes svævning. Det er dette fænomen, der ligger bag alle de steder, hvor
Læs mereLearningTech vejledning til peer review-procedure til redaktion og medlemmer af kritikerpanelet
vejledning til peer review-procedure til redaktion og medlemmer af kritikerpanelet er et forskningsbaseret tidsskrift med fokus på læremidler, didaktik og teknologi. Læremidler defineres som: Medier og
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereBilag 1: Interviewguide:
Bilag 1: Interviewguide: Vores interview guideforskningsspørgsmål Spiller folk på ITU multiplayer, frem for singleplayer? Skaber onlinespil sociale relationer mellem folk på ITU? Interviewspørgsmål Foretrækker
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOm skalaer, tonearter og akkorder 1 CD 02/2002
Om skalaer, tonearter og akkorder 1 CD 02/2002 Når skalaen ligger fast har man materialet til melodisk og harmonisk stof i skalaens toneart Vi spiller Lille Peter Edderkop i C dur og kan derfor betjene
Læs mereSkriv en artikel. Korax Kommunikation
Skriv en artikel Indledningen skal vække læserens interesse og få ham eller hende til at læse videre. Den skal altså have en vis appel. Undgå at skrive i kronologisk rækkefølge. Det vækker ofte større
Læs mereFokus på det der virker
Fokus på det der virker ICDP i praksis Online version på www.thisted.dk/dagpleje Forord: Gode relationer er altafgørende for et barns trivsel. Det er i det gode samvær barnet udvikler sig det er her vi
Læs mereVejledning i upload af serier til Danske tegneseriskaberes app.
Vejledning i upload af serier til Danske tegneseriskaberes app. En kort intro Version 1.2 22/11/2012 Danske Tegneserieskabere har lavet appen for at give medlemmer og andre en nem adgang til at publicere
Læs mereAnalyse af klassisk musik
Analyse af klassisk musik af Jakob Jensen Indhold Genre og instrumenter...1 Melodi, tema...1 Satsopbygning...2 Form...3 Klang...4 Tonalitet og harmonik...4 Perspektivering...4 Analyse af klassisk musik
Læs mereEn musikalsk praktisk introduktion til Stemninger. Feb-08
En musikalsk praktisk introduktion til Stemninger. Feb-08 Allerførst vil jeg introducere den rene kvint og den rene stor-terts. Det er de toner der optræder som overtoner (eller partialtoner) i enhver
Læs mereDer er elementer i de nyateistiske aktiviteter, som man kan være taknemmelig for. Det gælder dog ikke retorikken. Må-
Introduktion Fra 2004 og nogle år frem udkom der flere bøger på engelsk, skrevet af ateister, som omhandlede Gud, religion og kristendom. Tilgangen var usædvanlig kritisk over for gudstro og kristendom.
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereHensigten har været at træne de studerende i at dele dokumenter hvor der er mulighed for inkorporering af alle former for multimodale tekster.
Projekt edidaktik Forsøg med multimodal tekstproduktion På Viden Djurs er der I to klasser blevet gennemført et forsøg med anvendelse af Microsoft Office 365. Hensigten har været at træne de studerende
Læs mereI den litterære artikel skal du analysere og fortolke en (eller flere) skønlitterære tekster samt perspektivere den/dem.
Litterær artikel I den litterære artikel skal du analysere og fortolke en (eller flere) skønlitterære tekster samt perspektivere den/dem. Din litterære artikel skal bestå af tre dele: 1. Indledning 2.
Læs mereUndervisningsmiljø i elevhøjde
Undervisningsmiljø i elevhøjde Samlet gennemgang og perspektivering af resultaterne fra spørgeskemaundersøgelsen i skoleåret 2007/08 fra 4.-9. klassetrin - Aalborg Kommunale Skolevæsen 1 Forord Rapporten
Læs mereGradsprøver. -program. European Piano Teachers Association
Gradsprøver -program European Piano Teachers Association EPTA Danmark Carit Etlarsvej 4, 2840 Holte Tel: 45 42 29 63 Mobil: 28 39 01 07 Fax: 38 33 52 58 e-mail: info@epta.dk www.epta.dk BG Bank: 1551-0016796603
Læs mereAt konstruere et socialt rum. Annick Prieur og Lennart Rosenlund
At konstruere et socialt rum Annick Prieur og Lennart Rosenlund Vort sigte Vise hvorledes vi er gået frem, når vi har konstrueret et socialt rum ud fra surveydata fra en dansk by Aalborg efter de samme
Læs mereTjørring Skole gode overgange
Der er mange overgange i et barns forløb fra børnehave til skole og videre op gennem skolens afdelinger. Tjørring Skole har i dette projekt fokus på hvordan pædagoger og børnehaveklasseledere kan samarbejde
Læs mereI 4.-6.-klaser arbejdes der hen mod, at eleverne får et mere bevidst forhold til at anvende faglige begreber og det religiøse sprogs virkemidler.
I 4.-6.-klaser arbejdes der hen mod, at eleverne får et mere bevidst forhold til at anvende faglige begreber og det religiøse sprogs virkemidler. Det skal medvirke til, at eleverne bliver i stand til at
Læs mereUNDERVISNINGSPLAN FOR MUSIK 2017
UNDERVISNINGSPLAN FOR MUSIK 2017 Undervisningen i faget Musik bygger på Forenklede Fællesmål. Signalement og formål med musik Som overordnet mål i faget musik, er intentionen at eleverne skal inspireres
Læs mere18. søndag efter trinitatis I Salmer: 2, 12, 691, 54, 57, 696
18. søndag efter trinitatis I Salmer: 2, 12, 691, 54, 57, 696 Helligånden oplyse sind og hjerte og velsigne ordet for os. Amen Når jeg underviser mine konfirmander, har et af temaerne de seneste år været
Læs mereRune Elgaard Mortensen
«Hovedløs rytter», 59x85 cm, olie og akryl på lærred 203 «Kirurgisk saks, jazzmusiker», 55x70 cm, olie og akryl på lærred 204 «Kirurgisk saks, sløret baggrund», 55x70 cm, olie på lærred 205 «Limitless
Læs merePrædiken 4. søndag efter Hellig Tre Konger 2014, 2. Tekstrække, Matth 14,22-
Prædiken 4. søndag efter Hellig Tre Konger 2014, 2. Tekstrække, Matth 14,22-33. Se om mennesker, der tilsyneladende kan overkomme alt og som ikke løber ind i modgang siger man undertiden, at de kan gå
Læs mereforklare forskellen mellem forklare forskellen mellem Eleven bør være i stand til at skelne mellem sin egen subjektive smag inden for kunst og æstetik
Billedkunst Faglige mål med kommentarer fra vejledningen 2017 B STX C STX Kommentarer undersøge en problemstilling gennem en vekselvirkning mellem praksis, analyse og teori undersøge en problemstilling
Læs mereVildledning er mere end bare er løgn
Vildledning er mere end bare er løgn Fake News, alternative fakta, det postfaktuelle samfund. Vildledning, snyd og bedrag fylder mere og mere i nyhedsbilledet. Både i form af decideret falske nyhedshistorier
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereComputeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.
Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.
Læs mereTips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF
Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De
Læs merePeriodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum
Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet
Læs mereTegn på læring til de 4 læringsmål
Plot 6, kapitel 1 At spejle sig Side 10-55 Oplevelse og indlevelse fase 1 Eleven kan læse med fordobling at læse på, mellem og bag linjerne Eleven kan udtrykke en æstetisk s stemning måder at udtrykke
Læs mereFå problemet ud af hovedet og tilbage i sammenhængen
Interview med Søren Hertz bragt i Indput 4/2012, De psykologistuderende på Københavns Universitets blad. Få problemet ud af hovedet og tilbage i sammenhængen Af Anne Rogne, stud.psych. (Igennem de mere
Læs mereSkriftlig genre i dansk: Kronikken
Skriftlig genre i dansk: Kronikken I kronikken skal du skrive om et emne ud fra et arbejde med en argumenterende tekst. Din kronik skal bestå af tre dele 1. Indledning 2. Hoveddel: o En redegørelse for
Læs mereBOSK F2011, 1. del: Induktion
P(0) ( n N. P(n) P(n + 1) ) = ( n N. P(n) ) February 15, 2011 Summa summarum Vi får et tip om at følgende kunne finde på at holde for n N: n N. n i = n(n + 1). 2 Vi husker at summation læses meget som
Læs mereEn harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.
Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,
Læs mereDe fire elementers kostbare spejl
Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af
Læs mereFUSION Kommentarer fra tidligere studerende fra Designafdelingen:
FUSION Kommentarer fra tidligere studerende fra Designafdelingen: Som designer med en arkitektbaggrund har jeg en god og bred forståelse for den kreative arbejdsproces i mange forskellige sammenhænge.
Læs mere