Ren versus ligesvævende stemning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Ren versus ligesvævende stemning"

Transkript

1 Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440 Hz (Hz = Hertz = antal svingninger pr. sek.). Jeg vil dog for det meste kun se på relative frekvenser og sætter f.eks. C0 til frekvensen 1. C0 er valgt for nemheds skyld selv om det dybeste C på klaviaturet normalt kaldes C1. Når vi går en oktav op fordobles frekvensen. Nedenfor vises en tabel over de relative frekvenser for C fra C0 og 7 oktaver op til C7: Tone Relativ frekvens C0 1 C1 2 C2 4 C3 8 C4 16 C5 32 C6 64 C7 128 F.eks. fås den relative frekvens for C7 ved at gange 2 med sig selv 7 gange: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 7 = 128. Dette tal kaldes "2 i syvende (potens)" og skrives 2 7. Oktaven er et eksempel på et interval. Intervallernes vellyd er fysiologisk knyttet til egenskaber ved vores øre. Pythagoras interesserede sig for tone-intervaller, kendte dog ikke til begrebet "fysiske frekvenser", men opdagede at på et strenge-instrument svarer de vellydende intervallerne til "pæne" delinger af streng-længden. F.eks. går tonen en oktav op når strengen halveres (forudsat at spændingen på strengen er den samme). Hvis strengens længden formindskes med en faktor 1/4 går tonen to oktaver op, etc. De pæne intervaller fremkomme som overtoner over grundtonen. Hvis grundtonen er C0 med den relative frekvens 1 bliver de første 11 overtoner: Tone nr. Overtone Nr. Tone Relativ frekvens 1 Grundtone C C G C E G Bb C D E F# G3 12 RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 1 af 7

2 Tone-nummeret er givet så grundtonen har nummer 1 og 1. overtone nr. 2 etc. Pythagoras mente at hele tal var det "naturlige", givet af os af det guddommelige. De positive hele tal benævnes i øvrigt i vore dage netop "de naturlige tal". Også brøker bestående af hele tal i tæller og nævner var guddommelige. Pythagoras mente at der ikke fandtes andre slags tal end disse tal - som i vore dage kaldes de "rationale tal". Desværre for Pythagoras viste allerede en af hans elever at diagonalen i et kvadrat med siden 1 har en længde som ikke kan beskrives ved et helt tal eller en brøk med hel tæller og nævner. Med vore dages betegnelser giver Pythagoras' sætning for den retvinklede trekant, den med a 2 + b 2 = c 2, at diagonalen i et kvadrat med siden 1 får længden kvadratroden af 2, 2, - og det kan vises at dette tal ikke kan skrives som en brøk med hel tæller og nævner; et sådant tal kaldes et "irrationalt tal". - Men det er en anden historie... I tabellen med overtoner ser vi at 1. overtone over C0, tone nr. 2, er C1 med relativ frekvens 2, og 2. overtone, tone nr. 3, er G1 med relativ frekvens 3. Springet fra C1 til G1 svarer altså til at frekvensen bliver ganget med 3/2. Dette interval kaldes en kvint (som består af 5 toner i en durskala når både start- og slut-tone regnes med). Regnet i halvtone-trin nås kvinten ved at tage 7 sådanne. Næst efter oktaven betragtede Pythagoras kvinten som det mest fundamentale tone-interval. Tilsvarende svarer springet fra G1 (relativ frekvens 3) til C2 (relativ frekvens 4) til at frekvensen bliver ganget med 4/3. Dette interval er en kvart. På denne måde fås de forskellige intervaller. Man benytter normalt de første 15 overtoner til dette. Her er endnu nogle eksempler: Fra tone nummer 4 til 5, C2 - E2, rel.frek. ganges med 5/4, intervallet er en stor terts. Fra tone nummer 5 til 6, E2 - G2, rel.frek. ganges med 6/5, intervallet er en lille terts. Fra tone nummer 5 til 8, E2 - C3, rel.frek. ganges med 8/5, intervallet er en lille sekst. Fra tone nummer 8 til 10, C3 - E3, rel.frek. ganges med 10/8, intervallet er en stor terts - og det stemmer jo fint med at 10/8 = 5/4. Desuden består det samlede spring E2 - E3 af de to delspring E2 - C3 og C3 - E3, relativ frekvens ganges med 8/5 * 5/4 = 8/4 = 2, altså et oktav-spring. Det stemmer! En lille sekst + en stor terts giver en oktav. På tilsvarende måde kan man se på springet G1 - E2, en stor sekst, og et spring videre: E2 - G2, en lille terts, prøv selv at regne på dette. Også kvinten C1 - G1 plus kvarten G1 - C2 giver en oktav, 3/2 * 4/3 = 2. Systemet ser umiddelbart "sundt" ud og det er fristende at sige at vi på grundlag af dette kan konstruere hele vores 12-tone system. Men desværre lurer der problemer bagved! RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 2 af 7

3 2. Det Pythagoræiske komma og den rene Intervallet kvint kan benyttes til at komme hele vejen rundt i vores 12-tone system. Hvis vi starter på C0 og bevæger os 12 kvinter op, ender vi igen på et C, C7. Lad os beregne den relative frekvens for C7 på to forskellige måder: 1. C7 ligger 7 oktaver over C0, den relative frekvens for C7 må derfor være 2 7 = Vi når C7 i 12 kvint-spring som hver ganger den relative frekvens med 3/2. Samlet bliver den relative frekvens så ganget med 3/2 12 gange: (3/2) 12 = 129,746 med 3 decimaler. Vi havner altså lidt over C7. Denne fejl kaldes "det pythagoræiske komma". Også ved at stable tertser ovenpå hinanden kan vi se at der er et problem. En stor terts svarer til at den relative frekvens ganges med 5/4. Tre store tertser giver en oktav. Men (5/4) 3 = 1,953, altså noget mindre end 2. Tilsvarende giver fire små tertser: (6/5) 4 = 2,074, altså lidt mere end 2. Ligeledes skulle 12 kvart-intervaller give 5 oktaver, men (4/3) 12 = 31,569, altså mindre end 2 5 = 32. Det er som om kvinterne er for store, kvarterne for små, små tertser for store og store tertser for små. I den pythagoræiske forsøgte man at opbygge skalaer alene ud fra rene kvinter og kvarter. Som vi har set vil det ikke lykkes. Den store og lille terts betragtedes oprindeligt som dissonanser. Hvis man trods dette forsøgte at konstruere dem ud fra kvinter og kvarter kunne det gøres således: Hvis vi stabler 4 kvart-intervaller ovenpå hinanden, f.eks. fra C1: C1 - F1 - Bb1 - Eb2 - Ab2, ender vi på Ab2 med den relative frekvens (4/3)^4 = 256/81. Hvis vi dernæst går 2 oktaver ned fra Ab2 får vi Ab0 med rel. frek. 256/81 * 1/4 = 64/81. Den store terts vi herved har konstrueret fra Ab0 til C1 svarer derfor til en relativ frekvens på 81/64 = 1,266. Men en ren terts skulle jo være 5/4 = 1,25. Tilsvarende fører 3 kvart-intervaller fra C1 til Eb2 til (4/3)^3 = 64/27, og når Eb2 føres 1 oktav ned fås en lille terts fra C1 til Eb1 på 32/27 = 1,185, men den rene lille terts er 6/5 = 1,2. Prøv at undersøge hvilken stor terts man får ud af at stable 4 kvint-intervaller ovenpå hinanden. Disse typer af fejl benævnes det syntoniske komma. (*) - tilføjelse nederst s.5. Forsøget på at konstruere skalaer med ren kan dog forbedres ved andre metoder end den pythagoræiske kvint-baserede, men uanset hvordan man bærer sig ad, vil der være intervaller som ikke bliver rene. RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 3 af 7

4 3. Den tempererede eller ligesvævende Hvis man skulle konstruere et klaviatur som kan spille i ren i alle 12 tonearter, måtte man have god plads. For at sikre at f.eks. alle intervaller bliver rene, måtte man have flere udgaver af hver tone. F.eks. vil det før nævnte eksempel med konstruktion af en stor terts ved stabling af 4 kvarter føre til een udgave af Ab, mens kravet om en ren terts fra Ab til C vil føre til en anden udgave af Ab. Og andre "komma-fejl" vil føre til endnu flere udgaver af Ab (hvoraf nogle måske mere berettiget kunne benævnes G#). Ved opbygning af den rene forsøgte man at sikre at i alt fald tonearter med få #'er og b'er kunne stemme rent, men så kun disse. I andre tonearter opstår mere eller mindre urene intervaller. Det berygtede eksempel er "ulvekvinten" som opstår ved at kompensere for hele det pythagoræiske komma i én bestemt kvint, G# - Eb. Hvis vi stabler 11 rene kvinter fås en relativ frekvens på (3/2)^11 = 86, Tilbage til den sidste kvint er så: 128 / 86,49756 = 1,4798, hvilket må siges at være en meget lille kvint. I den tempererede fordeler man - løst formuleret - det pythagoræiske komma "jævnt" over alle kvinterne. Spørgsmålet er hvad "jævnt" vil sige. Vi ved at ét oktav-spring fører til at frekvensen multiplicere med faktoren 2. Hvis vi holder fast på at et interval-spring skal svare til at frekvensen multipliceres med en faktor, kan "jævnt" bedst fortolkes således at man lader alle halvtone-trin (som er det mindste interval i vores tone-system) svare til samme faktor. Da der er 12 halvtone-trin i en oktav, må faktoren være et tal x som ganget med sig selv 12 gange giver 2: x 12 = 2. Tallet x kaldes "tolvte rod af 2" og skrives: 2 =1,0595, og dette er det samme som "2 i en tolvte-del", eller 2 En konstrueret som tempereret vil sikre at et vilkårligt interval får samme relative frekvens i alle tonearter. Omkostningen er til gengæld at ingen intervaller, bortset fra oktaven, bliver rene. F.eks. får kvinten som består af 7 halvtone-trin, den relative frekvens =( 2) =2 =1,4983 Tilsvarende bliver kvarten =( 2) =2 =1,3348 Beregningerne kan foretages på en lommeregner, evt. en mobil-telefon-regnemaskine. Brug "potens-knappen" x y således: 2 x y (7 / 12) =. I display vises 2^(7/12). Divisions-tegnet "/" ser muligvis anderledes ud. I den følgende tabel er vist nogle flere intervaller - jeg har ikke for alle disse vist hvordan man kommer frem til de rene relative frekvenser: RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 4 af 7

5 Interval Ren Tempereret prim 1 1 lille sekund 16/15 = 1,0667 1,0594 stor sekund (?) 9/8 = 1,125 1,1225 lille terts 6/5 = 1,2 1,1892 stor terts 5/4 = 1,25 1,2599 kvart 4/3 = 1,3333 1,3348 tritonus? 1,4142 kvint 3/2 = 1,5 1,4983 lille sekst 8/5 = 1,6 1,5874 stor sekst 5/3 = 1,6667 1,6819 lille septim 16/9 = 1,7778 1,7818 stor septim 15/8 = 1,875 1,8877 oktav 2 2 (?) stor sekund kan også i ren blive 10/9 = 1, (*) Lidt mere om det syntoniske komma: Både ved lille og ved stor terts bliver forholdet mellem det "falske" interval og det rene interval 81/80. Denne fejl nås også i den såkaldte komma-pumpe hvor man bevæger sig i intervaller således: fra C op til G, ned til D, op til A, ned til E, ned til C*. kvint op kvart ned ---- kvint op ---- kvart ned terts ned De relative frekvenser bliver: 3/2 * 3/4 * 3/2 * 3/4 * 4/5 = 81/80, dvs. at vi ender på et C* som er det syntoniske komma højere end det oprindelige C RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 5 af 7

6 Bonus-afsnit : Underdeling af halvtone-trinnet i cents Halvtone-trinnet findeles i 100 lige store del-trin, kaldet cents. Et halvtone-trin svarer til 100 cents, et kvarttone-trin svarer til 50 cents, et tiendedels-halvtone-trin svarer til 10 cents. (Det er historisk, men pokkers at vores mindste tone-enhed hedder "halvtone"). Et halvtone-trin svarer til den relative frekvens 2 =2 =1,0595. Hvert del-trin på 1 cent svarer til den relative frekvens: 2 =2 =1, Hvis springet fra en tone A til en tone B svarer til den relative frekvens b/a, og antal cents betegnes med c, fås sammenhængen: =2 For at komme fra den relative frekvens mellem to toner, b/a, til forskellen mellem de to toner i cents, c, må man benytte logaritmer som er det "omvendte" af potenser: =1200 =1200 log2 log ( ) Her vises den tidligere tabel som sammenlignede ren med tempereret, men nu angivet i cents: Interval Ren Tempereret Tempereret minus Ren prim lille sekund stor sekund (?) lille terts stor terts kvart tritonus? 600 kvint lille sekst stor sekst lille septim stor septim oktav (?) stor sekund som 10/9 svarer til 182 cent. RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 6 af 7

7 F.eks. er for den store terts den tempererede 14 cent højere end den rene, dvs. ca. 1/7 halvtone-trin højere. Tilsvarende er den tempererede lille terts 16 cent lavere end den rene lille terts, ca. 1/6 halvtone-trin lavere. Ulvekvinten med relativ frekvens 1,4798 svarer til 678 cent, altså 22 cent under den tempererede kvints 700 cent og 24 cent under den rene kvints 702 cent. Cent-målet er additivt. Vi havde tidligere et eksempel med stabling af 3 rene store tertser, her landede vi på en for lille oktav, men hvor lille? Stabling af 3 tempererede tertser giver præcis en oktav. I ovenstående tabel ser vi at en stor tempereret terts er 14 cent højere end en stor ren terts. Dvs. at stabling af 3 rene tertser havner = 42 cent under oktaven, altså næsten en kvarttone under. Det pythagoræiske komma, i frekvens 129,476/128, svarer til 23 cents. Det syntoniske komma, i frekvens 81/80, svarer til 22 cents. Ideen bag cent-begrebet er baseret på en almen erfaring om sammenhængen mellem fysiske påvirkninger og sanseindtryk. I mange tilfælde gælder at sanseindtrykket "afhænger logaritmisk" af den fysiske påvirkning. Det betyder at hver gang den fysiske påvirkning øges med en bestemt multiplikations-faktor, så øges sanseindtrykket med et additivt trin. Dette kaldes den "Weber-Fechnerske lov", benævnes dog også i den mere generelle form gældende for mange forskellige slags sanseindtryk "Stevens' Power Law". Lovemæssigheden gælder kun tilnærmet og kun indenfor visse grænser. Det er dette som danner baggrund for f.eks. målet for lydstyrke, decibel-skalaen, db, hvor definitionen er at vækst i fysisk lyd-effekt på en faktor 10 svarer til 10 trin på db-skalaen. Det betyder at en vækst i fysisk lyd-effekt på en faktor 2 svarer til at man går ca. 3 trin op på db-skalaen. Lyd-indtrykket af 1 motorcykel øges med ca. 3 db når vi udsættes for 2 motorcykler. Der skal så 4 motorcykler til igen at øge lydtrykket med 3 db. RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 7 af 7

Hvad er musik. 2 november 2015 Kulturstationen Vanløse

Hvad er musik. 2 november 2015 Kulturstationen Vanløse Hvad er musik 2 november 2015 Kulturstationen Vanløse Hvad er musik egentlig? (Hvad mener du?) Musik? Det skal bare lyde godt Hvad er musik? Følelser Rytme Klang Melodi Stilart - Genre Harmoni Overtoner

Læs mere

En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN

En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN Jørgen Erichsen En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN Ifølge overleveringen, som dog nok mere er en legende end en historisk kendsgerning, var det Pytagoras, som opdagede,

Læs mere

Chromatic staff. Af Peter Hass. Introduktion

Chromatic staff. Af Peter Hass. Introduktion Chromatic staff Af Peter Hass Introduktion Der har været musik, længe inden der var nodesystemer. Inden man indførte nodelinier, forsøgte man at notere musik ved hjælp af neumer som blot var upræcise angivelser

Læs mere

Musik, matematik og forholdsregler

Musik, matematik og forholdsregler MATEMATIK Baggrund lærer Hvis du skærer rør (tæppe-/nedløbs- eller et andet rør) i tre forskellige længder, f.eks. 1 meter, 66,6 cm og 1/2 m, vil du få tre forskellige toner: en grundtone (1m) oktaven

Læs mere

1. Forstærkning af melodien

1. Forstærkning af melodien http://cyrk.dk/musik/medstemme/ Medstemme Denne artikel handler om, hvordan man til en melodi kan lægge en simpel andenstemme, der understøtter melodien. Ofte kan man ret let lave en sådan stemme på øret,

Læs mere

Måske en lidt overambitiøs titel. Vi har vel alle en ret personlig oplevelse af hvad musik er. Kan man overhovedet definere hvad musik er? Nej vel.

Måske en lidt overambitiøs titel. Vi har vel alle en ret personlig oplevelse af hvad musik er. Kan man overhovedet definere hvad musik er? Nej vel. Måske en lidt overambitiøs titel. Vi har vel alle en ret personlig oplevelse af hvad musik er. Kan man overhovedet definere hvad musik er? Nej vel. Meningen med dette foredrag er at tage dig med på en

Læs mere

Lær at spille efter becifring

Lær at spille efter becifring 1 Lær at spille efter becifring Becifringsklaver med - brudte akkorder - Jan Kuby 2 Lærerorientering Anvendelse Overalt hvor unge og voksne undervises i becifringsklaver. Fra den frivillige musikundervisning

Læs mere

hvilket svarer til dette c, hvis man havde noteret i en tenor-nøgle

hvilket svarer til dette c, hvis man havde noteret i en tenor-nøgle Treklangsmedstemmer s. 1 (TH 14) GENERELT Besætning: Lav koret 3-stemmigt for sopran, alt og tenor i tæt beliggenhed angiv besætningen ud for stemmerne. Korarrangementet er tænkt ud fra at der også tilføjes

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Tenorens højeste højeste tone: tone: eller eller Altens dybeste tone:

Tenorens højeste højeste tone: tone: eller eller Altens dybeste tone: Poprock-arrangement s. (TH 12) Poprock-arrangement s. 1 (TH 11) GENERELT GENERELLE PRINCIPPER FOR KORSATS Besætning: Besætning: Lav Lav koret koret 3-stemmigt 3-stemmigt for for sopran, sopran, alt alt

Læs mere

Rytmer. Skalaer i dur og mol

Rytmer. Skalaer i dur og mol Rytmer Treklange og D7 akkorder Nodelæsning Intervaller Skalaer i dur og mol Taktering 1 Mekanisk, fotografisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele af den er ikke tilladt ifølge gældende dansk

Læs mere

VEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL

VEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL inn Stubsgaard 8585 lesborg VJLNIN TIL RØRKLOKKSPIL Tidligere trykt som artikel i Tidsskriftet ysik Kemi, udgivet af anmarks ysik- og Kemilærerforening, Julen 1996, 22 årgang nr 5. Revideret i forbindelse

Læs mere

Den gode stemning 1 I. Om veltemperering af keyboard

Den gode stemning 1 I. Om veltemperering af keyboard Den gode stemning 1 I. Om veltemperering af keyboard Af Jens Ulrik Lefmann, Birkerød Gymnasium og DTU Fra renæssancen udvikler den europæiske musik sig fra at være udpræget melodisk i sin karakter til

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Grundlæggende lydtekniker kursus

Grundlæggende lydtekniker kursus Hvad er lyd? Grundlæggende Lyd kan vi opfatte med ørerne. Lyd opstår ved at noget bringes til at svinge. Hvis man f.eks. knipser en guitarstreng, vil den svinge frem og tilbage. Slår man med en hammer

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Den gode stemning Veltemperering af keyboard, ørets fysik og tonal musikalitet

Den gode stemning Veltemperering af keyboard, ørets fysik og tonal musikalitet EMU/ Den gode stemning / Jens Ulrik Lefmann/Side af 38 Den gode stemning Veltemperering af keyboard, ørets fysik og tonal musikalitet Af Jens Ulrik Lefmann, Birkerød Gymnasium og DTU Vores forståelse af

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Akkordsamling. til guitar. René B. Christensen

Akkordsamling. til guitar. René B. Christensen Akkordsamling til guitar René B. Christensen Akkordsamling til guitar c René B. Christensen, 0 Du er velkommen til at dele dette dokument - helt eller delvist - med andre, sålænge du henviser til det originale

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Kapitel 1. Musik, matematik og astronomi i oldtiden

Kapitel 1. Musik, matematik og astronomi i oldtiden Kapitel 1 Musik, matematik og astronomi i oldtiden Pythagoras store opdagelse Erkendelsen af en sammenhæng mellem musik og matematik går langt tilbage i tiden. Ifølge en legende blev forbindelsen opdaget

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

I Rockvokal vil vi lave en 3-stemmige flydestemme for lige stemmer. Vi har følgende grundtyper af flydestemmer:

I Rockvokal vil vi lave en 3-stemmige flydestemme for lige stemmer. Vi har følgende grundtyper af flydestemmer: Rockvokal Gert Uttenthal Jensen Frederiksborg Gymnasium & HF 2005 Flydestemme og akkorder 1. 3-stemmig flydestemme for lige stemmer I Rockvokal vil vi lave en 3-stemmige flydestemme for lige stemmer. Det

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Det Teknisk-Naturvidenskabelig Basisår ved Aalborg Universitet

Det Teknisk-Naturvidenskabelig Basisår ved Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelig Basisår ved Aalborg Universitet Elektronik og Elektroteknik Gruppe B207 2. semester P2-projekt 2005 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Elektronik og Elektroteknik Strandvejen

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Herning HF og VUC Hf Fag og niveau Matematik C Lærer(e) Hold

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

C Gennem tværfaglighed får eleverne lejlighed til at opleve matematikkens rolle i bredere sammenhænge.

C Gennem tværfaglighed får eleverne lejlighed til at opleve matematikkens rolle i bredere sammenhænge. Efter i flere år at have tumlet med idéen om at lade nogle 1. årgangstuderende arbejde med musik og matematik fik jeg i 1996/97 mulighed for at realisere projektet. Jeg fik timer til et udviklingsarbejde

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber

wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber Indhold Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber... 1 Indhold... 2 Lyd er trykforandringer i luftens molekyler... 3 Frekvens,

Læs mere

Hvorfor kan vi ikke bare bruge rene kvinter og stortertser?

Hvorfor kan vi ikke bare bruge rene kvinter og stortertser? Hvorfor an vi ie bare bruge rene vinter og stortertser? Problemet med alle de stemninger der tager udgangspunt i rene tertser eller rene vinter de vil løbe ind i problemer omring en-harmonise toner - dvs

Læs mere

Musikteori på video v. Anders Aare

Musikteori på video v. Anders Aare 1 Musikteori på video v. Anders Aare - oversigt over rammer, begreber og principper for analyseteori 1) Akkordlæsning Rammer: - klaverpartitur - funktionsharmonik, primært tertsopbygning - fokus på forsk.

Læs mere

Harmonilære. Kompendium. efter. Leif Thybo. 6. udgave

Harmonilære. Kompendium. efter. Leif Thybo. 6. udgave Kompendium efter Leif Thybo 6. udgave 1998 2 Harmonilære Indhold Intervallæren............................................................... 3 Komplementære intervaller.................................................

Læs mere

Indhold. Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik. Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt

Indhold. Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik. Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt Indhold Musik Lyd Natur/teknik... 2 Lyd... 2 Toner... 3 Musikinstrumenter... 3 Idiofoner...4 Membranofoner... 4 Kordofoner...

Læs mere

Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd

Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd Reflecting everyday life Akustik og lyd Akustik er, og har altid været, en integreret del af byggemiljøet. Basis for lyd Akustik er en nødvendig design-faktor ligesom

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Nodelæsning. Guitarister

Nodelæsning. Guitarister Nodelæsning for Guitarister Jesper og Morten Nordal Mekanisk, fotografisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele af den er ikke tilladt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. 2012 MUFO ISMN-nr:

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik

Læs mere

Hvad er det for nogle tal?

Hvad er det for nogle tal? Hvad er det for nogle tal? Ak ja tal er mærkelige og svære at arbejde med. I det følgende er en god portion matematik gemt, men jeg forsøger at formulere det sprogligt uden dog at love, at det bliver lysende

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Dim-akkorder og sange på swingrundgang.

Dim-akkorder og sange på swingrundgang. Dim-akkorder og sange på swingrundgang. Indledning om dim-akkorder....3 Vores tonerække kort fortalt...3 Dim-akkordens bestanddele...4 Hvorfor en dim-akkord kan gå for 4...5 Et par ekstra kommentarer...6

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Elevforsøg i 10. klasse Lyd

Elevforsøg i 10. klasse Lyd Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Lyd Lydbølger og interferens SIDE 2 1062 At påvise fænomenet interferens At demonstrere interferens med to højttalere Teori Interferens: Det

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Funktionsharmonik. Opgave 2.3: Analyser akkordforbindelserne: Opgave 2.2: Udfyld skemaerne i G- dur og D- dur

Funktionsharmonik. Opgave 2.3: Analyser akkordforbindelserne: Opgave 2.2: Udfyld skemaerne i G- dur og D- dur Funktionsharmonik I durtonearterne har vi: rin 1 2 3 4 5 6 7 Funktion Sp Dp S D p - Harmo- C Dm Em F G Am Hdim nier i C- dur Opgave 2.3: Analyser akkordforbindelserne: 1) "Let it be": G D Em C G D C G

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Din brugermanual BEHRINGER BT108 BASSPACK http://da.yourpdfguides.com/dref/2299760

Din brugermanual BEHRINGER BT108 BASSPACK http://da.yourpdfguides.com/dref/2299760 Du kan læse anbefalingerne i brugervejledningen, den tekniske guide eller i installationsguiden. Du finder svarene til alle dine spørgsmål i BEHRINGER BT108 BASSPACK i brugermanualen (information, specifikationer,

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Koral. I 1700-tallet smeltede den enstemmige og flerstemmige menighedssang sammen til det vi i dag stadig forbinder med en koral:

Koral. I 1700-tallet smeltede den enstemmige og flerstemmige menighedssang sammen til det vi i dag stadig forbinder med en koral: Koral Koral (ty. Choral, fra middelalderlatin choralis, som tilhører koret) betegner dels den gregorianske sang, dels melodien til en lutheransk kirkesang, som de fleste forbinder ordet med. 1700-tallet

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Lyd og hørelse. En kort beskrivelse af lyd og hvordan øret fungerer

Lyd og hørelse. En kort beskrivelse af lyd og hvordan øret fungerer Lyd og hørelse 1 En kort beskrivelse af lyd og hvordan øret fungerer Denne brochure er nummer 1 i en serie fra Widex om hørelse og høreapparater. Hvad er lyd? Vores moderne dagligdag er fyldt med mange

Læs mere

Facitliste til MAT X Grundbog

Facitliste til MAT X Grundbog Facitliste til MAT X Grundbog Foreløbig udgave Det er tanken der tæller A Formlen bliver l + b, når l og b er i uforkortet stand. B Ingen løsningsforslag. C Ved addition fås det samme facit. Ved multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Guitar og noder. Melodispil og nodelære 1. position. John Rasmussen. Guitarzonen.dk

Guitar og noder. Melodispil og nodelære 1. position. John Rasmussen. Guitarzonen.dk Guitar og noder Melodispil og nodelære 1. position John Rasmussen Guitarzonen.dk Guitar og noder er udgivet som e-bog 2011 på guitarzonen.dk Forord Denne bog gennemgår systematisk tonernes beliggenhed

Læs mere

Brøker og forholdstal

Brøker og forholdstal Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Mattip om. Brøker 1. Tilhørende kopi: Brøker 1. Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner

Mattip om. Brøker 1. Tilhørende kopi: Brøker 1. Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner Mattip om Brøker Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner Kan ikke Kan næsten Kan Det samme tal kan skrives både som brøk og decimaltal I en uægte brøk er tælleren større end nævneren

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Systematisk oversigt. 1. del. Det lineære grundlag

Systematisk oversigt. 1. del. Det lineære grundlag Systematisk oversigt 1. del. Det lineære grundlag Tonematerialet... 6 1. Tonesystemet... 6 1.1 Stamtonerne... 6 1.2 Orientering af dybe og høje toner... 6 1.3 Stamtonebetegnelser i de forskellige oktaver...

Læs mere

Lidt om lyd - uden formler

Lidt om lyd - uden formler Search at vbn.aau.dk: > Search the AAU phone book: > Sections > Acoustics > Home Education Research Facilities/Equipment Staff & Job About Lidt om lyd - uden formler 1. Hvad er lyd? Lyd er ganske små svingninger

Læs mere

Potenser, rødder og logartime

Potenser, rødder og logartime Potenser, rødder og logartime Hamid Yar Mohammad 9/0-03 0. Potens Almen kendte definition på potens, når n N kan a R. a n = a a... a } {{ } a multipliceret n gange Mere kompleks definition a n = e n In(a),

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2015. Billeder: Forside: istock.com/demo10 (højre) Desuden egne illustrationer Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning I denne

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

Matematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof

Matematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof Matematik Basis Undervisningens mål er, at kursisten kan: a) forstå tallenes opbygning i positionssystemet samt gange og dividere med et multiplum af 10 b) forstå de fire regningsarter og vælge hensigtsmæssige

Læs mere