Ren versus ligesvævende stemning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Ren versus ligesvævende stemning"

Transkript

1 Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440 Hz (Hz = Hertz = antal svingninger pr. sek.). Jeg vil dog for det meste kun se på relative frekvenser og sætter f.eks. C0 til frekvensen 1. C0 er valgt for nemheds skyld selv om det dybeste C på klaviaturet normalt kaldes C1. Når vi går en oktav op fordobles frekvensen. Nedenfor vises en tabel over de relative frekvenser for C fra C0 og 7 oktaver op til C7: Tone Relativ frekvens C0 1 C1 2 C2 4 C3 8 C4 16 C5 32 C6 64 C7 128 F.eks. fås den relative frekvens for C7 ved at gange 2 med sig selv 7 gange: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 7 = 128. Dette tal kaldes "2 i syvende (potens)" og skrives 2 7. Oktaven er et eksempel på et interval. Intervallernes vellyd er fysiologisk knyttet til egenskaber ved vores øre. Pythagoras interesserede sig for tone-intervaller, kendte dog ikke til begrebet "fysiske frekvenser", men opdagede at på et strenge-instrument svarer de vellydende intervallerne til "pæne" delinger af streng-længden. F.eks. går tonen en oktav op når strengen halveres (forudsat at spændingen på strengen er den samme). Hvis strengens længden formindskes med en faktor 1/4 går tonen to oktaver op, etc. De pæne intervaller fremkomme som overtoner over grundtonen. Hvis grundtonen er C0 med den relative frekvens 1 bliver de første 11 overtoner: Tone nr. Overtone Nr. Tone Relativ frekvens 1 Grundtone C C G C E G Bb C D E F# G3 12 RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 1 af 7

2 Tone-nummeret er givet så grundtonen har nummer 1 og 1. overtone nr. 2 etc. Pythagoras mente at hele tal var det "naturlige", givet af os af det guddommelige. De positive hele tal benævnes i øvrigt i vore dage netop "de naturlige tal". Også brøker bestående af hele tal i tæller og nævner var guddommelige. Pythagoras mente at der ikke fandtes andre slags tal end disse tal - som i vore dage kaldes de "rationale tal". Desværre for Pythagoras viste allerede en af hans elever at diagonalen i et kvadrat med siden 1 har en længde som ikke kan beskrives ved et helt tal eller en brøk med hel tæller og nævner. Med vore dages betegnelser giver Pythagoras' sætning for den retvinklede trekant, den med a 2 + b 2 = c 2, at diagonalen i et kvadrat med siden 1 får længden kvadratroden af 2, 2, - og det kan vises at dette tal ikke kan skrives som en brøk med hel tæller og nævner; et sådant tal kaldes et "irrationalt tal". - Men det er en anden historie... I tabellen med overtoner ser vi at 1. overtone over C0, tone nr. 2, er C1 med relativ frekvens 2, og 2. overtone, tone nr. 3, er G1 med relativ frekvens 3. Springet fra C1 til G1 svarer altså til at frekvensen bliver ganget med 3/2. Dette interval kaldes en kvint (som består af 5 toner i en durskala når både start- og slut-tone regnes med). Regnet i halvtone-trin nås kvinten ved at tage 7 sådanne. Næst efter oktaven betragtede Pythagoras kvinten som det mest fundamentale tone-interval. Tilsvarende svarer springet fra G1 (relativ frekvens 3) til C2 (relativ frekvens 4) til at frekvensen bliver ganget med 4/3. Dette interval er en kvart. På denne måde fås de forskellige intervaller. Man benytter normalt de første 15 overtoner til dette. Her er endnu nogle eksempler: Fra tone nummer 4 til 5, C2 - E2, rel.frek. ganges med 5/4, intervallet er en stor terts. Fra tone nummer 5 til 6, E2 - G2, rel.frek. ganges med 6/5, intervallet er en lille terts. Fra tone nummer 5 til 8, E2 - C3, rel.frek. ganges med 8/5, intervallet er en lille sekst. Fra tone nummer 8 til 10, C3 - E3, rel.frek. ganges med 10/8, intervallet er en stor terts - og det stemmer jo fint med at 10/8 = 5/4. Desuden består det samlede spring E2 - E3 af de to delspring E2 - C3 og C3 - E3, relativ frekvens ganges med 8/5 * 5/4 = 8/4 = 2, altså et oktav-spring. Det stemmer! En lille sekst + en stor terts giver en oktav. På tilsvarende måde kan man se på springet G1 - E2, en stor sekst, og et spring videre: E2 - G2, en lille terts, prøv selv at regne på dette. Også kvinten C1 - G1 plus kvarten G1 - C2 giver en oktav, 3/2 * 4/3 = 2. Systemet ser umiddelbart "sundt" ud og det er fristende at sige at vi på grundlag af dette kan konstruere hele vores 12-tone system. Men desværre lurer der problemer bagved! RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 2 af 7

3 2. Det Pythagoræiske komma og den rene Intervallet kvint kan benyttes til at komme hele vejen rundt i vores 12-tone system. Hvis vi starter på C0 og bevæger os 12 kvinter op, ender vi igen på et C, C7. Lad os beregne den relative frekvens for C7 på to forskellige måder: 1. C7 ligger 7 oktaver over C0, den relative frekvens for C7 må derfor være 2 7 = Vi når C7 i 12 kvint-spring som hver ganger den relative frekvens med 3/2. Samlet bliver den relative frekvens så ganget med 3/2 12 gange: (3/2) 12 = 129,746 med 3 decimaler. Vi havner altså lidt over C7. Denne fejl kaldes "det pythagoræiske komma". Også ved at stable tertser ovenpå hinanden kan vi se at der er et problem. En stor terts svarer til at den relative frekvens ganges med 5/4. Tre store tertser giver en oktav. Men (5/4) 3 = 1,953, altså noget mindre end 2. Tilsvarende giver fire små tertser: (6/5) 4 = 2,074, altså lidt mere end 2. Ligeledes skulle 12 kvart-intervaller give 5 oktaver, men (4/3) 12 = 31,569, altså mindre end 2 5 = 32. Det er som om kvinterne er for store, kvarterne for små, små tertser for store og store tertser for små. I den pythagoræiske forsøgte man at opbygge skalaer alene ud fra rene kvinter og kvarter. Som vi har set vil det ikke lykkes. Den store og lille terts betragtedes oprindeligt som dissonanser. Hvis man trods dette forsøgte at konstruere dem ud fra kvinter og kvarter kunne det gøres således: Hvis vi stabler 4 kvart-intervaller ovenpå hinanden, f.eks. fra C1: C1 - F1 - Bb1 - Eb2 - Ab2, ender vi på Ab2 med den relative frekvens (4/3)^4 = 256/81. Hvis vi dernæst går 2 oktaver ned fra Ab2 får vi Ab0 med rel. frek. 256/81 * 1/4 = 64/81. Den store terts vi herved har konstrueret fra Ab0 til C1 svarer derfor til en relativ frekvens på 81/64 = 1,266. Men en ren terts skulle jo være 5/4 = 1,25. Tilsvarende fører 3 kvart-intervaller fra C1 til Eb2 til (4/3)^3 = 64/27, og når Eb2 føres 1 oktav ned fås en lille terts fra C1 til Eb1 på 32/27 = 1,185, men den rene lille terts er 6/5 = 1,2. Prøv at undersøge hvilken stor terts man får ud af at stable 4 kvint-intervaller ovenpå hinanden. Disse typer af fejl benævnes det syntoniske komma. (*) - tilføjelse nederst s.5. Forsøget på at konstruere skalaer med ren kan dog forbedres ved andre metoder end den pythagoræiske kvint-baserede, men uanset hvordan man bærer sig ad, vil der være intervaller som ikke bliver rene. RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 3 af 7

4 3. Den tempererede eller ligesvævende Hvis man skulle konstruere et klaviatur som kan spille i ren i alle 12 tonearter, måtte man have god plads. For at sikre at f.eks. alle intervaller bliver rene, måtte man have flere udgaver af hver tone. F.eks. vil det før nævnte eksempel med konstruktion af en stor terts ved stabling af 4 kvarter føre til een udgave af Ab, mens kravet om en ren terts fra Ab til C vil føre til en anden udgave af Ab. Og andre "komma-fejl" vil føre til endnu flere udgaver af Ab (hvoraf nogle måske mere berettiget kunne benævnes G#). Ved opbygning af den rene forsøgte man at sikre at i alt fald tonearter med få #'er og b'er kunne stemme rent, men så kun disse. I andre tonearter opstår mere eller mindre urene intervaller. Det berygtede eksempel er "ulvekvinten" som opstår ved at kompensere for hele det pythagoræiske komma i én bestemt kvint, G# - Eb. Hvis vi stabler 11 rene kvinter fås en relativ frekvens på (3/2)^11 = 86, Tilbage til den sidste kvint er så: 128 / 86,49756 = 1,4798, hvilket må siges at være en meget lille kvint. I den tempererede fordeler man - løst formuleret - det pythagoræiske komma "jævnt" over alle kvinterne. Spørgsmålet er hvad "jævnt" vil sige. Vi ved at ét oktav-spring fører til at frekvensen multiplicere med faktoren 2. Hvis vi holder fast på at et interval-spring skal svare til at frekvensen multipliceres med en faktor, kan "jævnt" bedst fortolkes således at man lader alle halvtone-trin (som er det mindste interval i vores tone-system) svare til samme faktor. Da der er 12 halvtone-trin i en oktav, må faktoren være et tal x som ganget med sig selv 12 gange giver 2: x 12 = 2. Tallet x kaldes "tolvte rod af 2" og skrives: 2 =1,0595, og dette er det samme som "2 i en tolvte-del", eller 2 En konstrueret som tempereret vil sikre at et vilkårligt interval får samme relative frekvens i alle tonearter. Omkostningen er til gengæld at ingen intervaller, bortset fra oktaven, bliver rene. F.eks. får kvinten som består af 7 halvtone-trin, den relative frekvens =( 2) =2 =1,4983 Tilsvarende bliver kvarten =( 2) =2 =1,3348 Beregningerne kan foretages på en lommeregner, evt. en mobil-telefon-regnemaskine. Brug "potens-knappen" x y således: 2 x y (7 / 12) =. I display vises 2^(7/12). Divisions-tegnet "/" ser muligvis anderledes ud. I den følgende tabel er vist nogle flere intervaller - jeg har ikke for alle disse vist hvordan man kommer frem til de rene relative frekvenser: RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 4 af 7

5 Interval Ren Tempereret prim 1 1 lille sekund 16/15 = 1,0667 1,0594 stor sekund (?) 9/8 = 1,125 1,1225 lille terts 6/5 = 1,2 1,1892 stor terts 5/4 = 1,25 1,2599 kvart 4/3 = 1,3333 1,3348 tritonus? 1,4142 kvint 3/2 = 1,5 1,4983 lille sekst 8/5 = 1,6 1,5874 stor sekst 5/3 = 1,6667 1,6819 lille septim 16/9 = 1,7778 1,7818 stor septim 15/8 = 1,875 1,8877 oktav 2 2 (?) stor sekund kan også i ren blive 10/9 = 1, (*) Lidt mere om det syntoniske komma: Både ved lille og ved stor terts bliver forholdet mellem det "falske" interval og det rene interval 81/80. Denne fejl nås også i den såkaldte komma-pumpe hvor man bevæger sig i intervaller således: fra C op til G, ned til D, op til A, ned til E, ned til C*. kvint op kvart ned ---- kvint op ---- kvart ned terts ned De relative frekvenser bliver: 3/2 * 3/4 * 3/2 * 3/4 * 4/5 = 81/80, dvs. at vi ender på et C* som er det syntoniske komma højere end det oprindelige C RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 5 af 7

6 Bonus-afsnit : Underdeling af halvtone-trinnet i cents Halvtone-trinnet findeles i 100 lige store del-trin, kaldet cents. Et halvtone-trin svarer til 100 cents, et kvarttone-trin svarer til 50 cents, et tiendedels-halvtone-trin svarer til 10 cents. (Det er historisk, men pokkers at vores mindste tone-enhed hedder "halvtone"). Et halvtone-trin svarer til den relative frekvens 2 =2 =1,0595. Hvert del-trin på 1 cent svarer til den relative frekvens: 2 =2 =1, Hvis springet fra en tone A til en tone B svarer til den relative frekvens b/a, og antal cents betegnes med c, fås sammenhængen: =2 For at komme fra den relative frekvens mellem to toner, b/a, til forskellen mellem de to toner i cents, c, må man benytte logaritmer som er det "omvendte" af potenser: =1200 =1200 log2 log ( ) Her vises den tidligere tabel som sammenlignede ren med tempereret, men nu angivet i cents: Interval Ren Tempereret Tempereret minus Ren prim lille sekund stor sekund (?) lille terts stor terts kvart tritonus? 600 kvint lille sekst stor sekst lille septim stor septim oktav (?) stor sekund som 10/9 svarer til 182 cent. RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 6 af 7

7 F.eks. er for den store terts den tempererede 14 cent højere end den rene, dvs. ca. 1/7 halvtone-trin højere. Tilsvarende er den tempererede lille terts 16 cent lavere end den rene lille terts, ca. 1/6 halvtone-trin lavere. Ulvekvinten med relativ frekvens 1,4798 svarer til 678 cent, altså 22 cent under den tempererede kvints 700 cent og 24 cent under den rene kvints 702 cent. Cent-målet er additivt. Vi havde tidligere et eksempel med stabling af 3 rene store tertser, her landede vi på en for lille oktav, men hvor lille? Stabling af 3 tempererede tertser giver præcis en oktav. I ovenstående tabel ser vi at en stor tempereret terts er 14 cent højere end en stor ren terts. Dvs. at stabling af 3 rene tertser havner = 42 cent under oktaven, altså næsten en kvarttone under. Det pythagoræiske komma, i frekvens 129,476/128, svarer til 23 cents. Det syntoniske komma, i frekvens 81/80, svarer til 22 cents. Ideen bag cent-begrebet er baseret på en almen erfaring om sammenhængen mellem fysiske påvirkninger og sanseindtryk. I mange tilfælde gælder at sanseindtrykket "afhænger logaritmisk" af den fysiske påvirkning. Det betyder at hver gang den fysiske påvirkning øges med en bestemt multiplikations-faktor, så øges sanseindtrykket med et additivt trin. Dette kaldes den "Weber-Fechnerske lov", benævnes dog også i den mere generelle form gældende for mange forskellige slags sanseindtryk "Stevens' Power Law". Lovemæssigheden gælder kun tilnærmet og kun indenfor visse grænser. Det er dette som danner baggrund for f.eks. målet for lydstyrke, decibel-skalaen, db, hvor definitionen er at vækst i fysisk lyd-effekt på en faktor 10 svarer til 10 trin på db-skalaen. Det betyder at en vækst i fysisk lyd-effekt på en faktor 2 svarer til at man går ca. 3 trin op på db-skalaen. Lyd-indtrykket af 1 motorcykel øges med ca. 3 db når vi udsættes for 2 motorcykler. Der skal så 4 motorcykler til igen at øge lydtrykket med 3 db. RenVersusLigeStemning docx TM :23 side 7 af 7

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Den gode stemning 1 I. Om veltemperering af keyboard

Den gode stemning 1 I. Om veltemperering af keyboard Den gode stemning 1 I. Om veltemperering af keyboard Af Jens Ulrik Lefmann, Birkerød Gymnasium og DTU Fra renæssancen udvikler den europæiske musik sig fra at være udpræget melodisk i sin karakter til

Læs mere

VEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL

VEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL inn Stubsgaard 8585 lesborg VJLNIN TIL RØRKLOKKSPIL Tidligere trykt som artikel i Tidsskriftet ysik Kemi, udgivet af anmarks ysik- og Kemilærerforening, Julen 1996, 22 årgang nr 5. Revideret i forbindelse

Læs mere

Den gode stemning Veltemperering af keyboard, ørets fysik og tonal musikalitet

Den gode stemning Veltemperering af keyboard, ørets fysik og tonal musikalitet EMU/ Den gode stemning / Jens Ulrik Lefmann/Side af 38 Den gode stemning Veltemperering af keyboard, ørets fysik og tonal musikalitet Af Jens Ulrik Lefmann, Birkerød Gymnasium og DTU Vores forståelse af

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

C Gennem tværfaglighed får eleverne lejlighed til at opleve matematikkens rolle i bredere sammenhænge.

C Gennem tværfaglighed får eleverne lejlighed til at opleve matematikkens rolle i bredere sammenhænge. Efter i flere år at have tumlet med idéen om at lade nogle 1. årgangstuderende arbejde med musik og matematik fik jeg i 1996/97 mulighed for at realisere projektet. Jeg fik timer til et udviklingsarbejde

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2015. Billeder: Forside: istock.com/demo10 (højre) Desuden egne illustrationer Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning I denne

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Et historisk blæseinstruments resonansfrekvenser

Et historisk blæseinstruments resonansfrekvenser Et historisk blæseinstruments resonansrekvenser Tore A Skogberg Danmarks Tekniske Universitet 6 Oversigt En kopi a et musikinstrument ra middelalderen undersøges or bestemmelse a relationen mellem de naturlige

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

BASPAKKENS INDHOLD Førsteklases el-bas Polstret taske Førsteklasses tilslutningskabel (ca. 3 m) Justerbar guitarrem 3 plektre Begynderbog til el-bas 2 INDHOLDSFORTEGNELSE EL-BASSENS DELE... 4 INTRODUKTION...

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker, trin 1 ISBN: 978-87-92488-04-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Koral. I 1700-tallet smeltede den enstemmige og flerstemmige menighedssang sammen til det vi i dag stadig forbinder med en koral:

Koral. I 1700-tallet smeltede den enstemmige og flerstemmige menighedssang sammen til det vi i dag stadig forbinder med en koral: Koral Koral (ty. Choral, fra middelalderlatin choralis, som tilhører koret) betegner dels den gregorianske sang, dels melodien til en lutheransk kirkesang, som de fleste forbinder ordet med. 1700-tallet

Læs mere

FEM KORTEKNIKKER 4 S. Lille kompendium i pop/rock-arr. s. 1 (TH 11) - baseret på flydekor

FEM KORTEKNIKKER 4 S. Lille kompendium i pop/rock-arr. s. 1 (TH 11) - baseret på flydekor Lille kompendium i pop/rock-arr. s. 1 (TH 11) FEM KORTEKNIKKER - baseret på flydekor Solist 4 4 C No G wom- an no cry, Am F C no F wom- an no cry C G 1 4 S A T 2 4 S A T 3 4 S A T 4 4 S A T 5 4 S A T 1)

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Harmonisering Side 1. Sammenhæng mellem toner og akkorder. Akkordtoner, gennemgangstoner/vippetoner og forudhold

Harmonisering Side 1. Sammenhæng mellem toner og akkorder. Akkordtoner, gennemgangstoner/vippetoner og forudhold Side 1 At harmonisere en melodi vil sige at tilføje akkorder. Vi skal her se nærmere på harmonisering i en klassisk funktionsharmonisk vise-stil. Der er mange detaljer der adskiller harmonisering i forskellige

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Din bruksanvisning YAMAHA P-255 http://no.yourpdfguides.com/dref/5513902

Din bruksanvisning YAMAHA P-255 http://no.yourpdfguides.com/dref/5513902 Du kan lese anbefalingene i bruksanvisningen, de tekniske guide eller installasjonen guide for. Du vil finne svar på alle dine spørsmål på i bruksanvisningen (informasjon, spesifikasjoner, sikkerhet råd,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC Matematik C Højere forberedelseseksamen Skriftlig prøve (3 timer) 2HF093-MAC Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 14 spørgsmål. De 14 spørgsmål indgår

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Tidsskrift for rytmisk sang Udgivet af Dansk Barbershopforening

Tidsskrift for rytmisk sang Udgivet af Dansk Barbershopforening BarberBladet Tidsskrift for rytmisk sang Udgivet af Dansk Barbershopforening Nr. 1 Februar 2009 Copenhagen Hot Notes i Nordiske Mesterskaber i Sverige Af Gitte Skovgren Copenhagen Hot Notes gjorde det

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Teknik / Rumakustik. 4.4 Rumakustik 4.4. Gyproc Håndbog 9

Teknik / Rumakustik. 4.4 Rumakustik 4.4. Gyproc Håndbog 9 Teknik / Rumakustik 4.4 Rumakustik 4.4 Gyproc Håndbog 9 451 Teknik / Rumakustik 4.4 Rumakustik Indhold 4.4.0 Akustisk indeklima... 453 4.4.1 Akustiske begreber... 454 4.4.2 Lovkrav... 457 4.4.3 Gode akustiske

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hf2 Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin sommer 15 Institution VUC-vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Kofi Mensah 1maC05

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Spil harmonika. Melodi- og øvehefte. Poul Højbak. Niv. A, Efterår 2005. (Knap- og piano-) - Og lidt om noder, rytmer og toner samt om instrumentet

Spil harmonika. Melodi- og øvehefte. Poul Højbak. Niv. A, Efterår 2005. (Knap- og piano-) - Og lidt om noder, rytmer og toner samt om instrumentet Spil harmonika (Knap- og piano-) Melodi- og øvehefte - Og lidt om noder, rytmer og toner samt om instrumentet Poul Højbak Niv. A, Efterår 00 Revideret orord Dette hefte er resultat af mine mange års erfaring

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Lyd oplevelse. Lydopfattelse. Perception : Oversigt. Lydstyrke Tonehøjde Kritisk Bånd Rumopfattelse... MMT, 2003 Kristoffer Jensen

Lyd oplevelse. Lydopfattelse. Perception : Oversigt. Lydstyrke Tonehøjde Kritisk Bånd Rumopfattelse... MMT, 2003 Kristoffer Jensen Lydopfattelse MMT, 3 Kristoffer Jensen Lydstyrke Tonehøjde Kritisk Bånd Rumopfattelse... Lyd oplevelse Klangfarve Kommunikation Konsonans Rytme Lokalisering Perception : Oversigt [Hearing takes place]

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Matematik C Lise A.

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Mat C Viktor Kristensen

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Støjdæmpning med glas

Støjdæmpning med glas Støjdæmpning med glas Teknisk vejledning Indledning Det kunne være en søndag eftermiddag, hvor du sidder indendørs og læser en god bog, måske ligger du i din seng og skal til at sove eller sidder på arbejdet

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser Demo trin 1 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser Demo trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenser og præfikser, trin 1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Den gode stemning II. Ørets fysik og tonal musikalitet

Den gode stemning II. Ørets fysik og tonal musikalitet Den gode stemning II. Ørets fysik og tonal musikalitet Af Jens Ulrik Lefmann, Birkerød Gymnasium og DTU I fortsættelse af Den gode stemning I fra KVANT, december 2009, gennemgås træk af ørets fysik og

Læs mere

1 Bits og Bytes Computere er fortræffelige til at opbevare data og behandle data Af data vil vi i dette afsnit primært beskæftige os med billeder, tekst og lyd, og se på, hvordan sådanne data lagres i

Læs mere

Grundbegreber & Satslære

Grundbegreber & Satslære Grundbegreber & Satslære 5-ugers kursus E09 Grunduddannelse 1.årstrin v/ Anders Müller Institut for Kunst- og Kulturvidenskab Afdeling for Musikvidenskab Københavns Universitet I. DEL - Lektion 1-5 I.

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,

Læs mere

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU Årsplan for matematik 10. klassetrin 2012 2013 v. CJU Når dette skoleår er omme, så er det målet, at undervisningen har bidraget til, at formålet for faget er opfyldt: Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014 Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ

Læs mere

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3.

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. Den tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. klasse 4. klasse 5. klasse 6. klasse 7. klasse 8. klasse 9. klasse 1.klasse

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. FORELØBIGE eksamensspørgsmål mac7100 og mac710 dec 01 og maj/juni 013. Spørgsmål 1: Ligninger Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Giv eksempler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015, skoleåret 14/15 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC hf enkeltfag

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere