Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk
|
|
- Anders Svendsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Eksakte løsninger: fuldstændig løsning og partikulær løsning Mange differentialligninger kan løses eksakt. Fx kan differentialligningen dy dx = y differentialligning (1) løses eksakt, og den fuldstændige løsning er f(x) = C e x fuldstændig løsning til differentialligningen (1) hvor e x er den naturlige eksponentialfunktion, og C er en konstant. Hvis vi kender et punkt på løsningskurven, kan konstanten fastlægges - og vi finder så den såkaldte partikulære løsning til differentialligningen. Hvis vi ved at f(0) = 2, så er konstanten C lig med 2, og vi har den partikulære løsning f(x) = 2 e x partikulær løsning til ligningen (1) med f(0) = 2 Numerisk løsning Hvorfor dog interessere sig for numeriske (tilnærmede) løsninger? Årsagen er, at man langtfra altid kan løse differentialligninger eksakt. Eller at de eksakte løsninger er så relativt komplicerede, at numeriske løsninger er at foretrække i den givne sammenhæng. Vi vil se på numerisk løsning af differentialligningen (1) med begyndelsesbetingelsen f(0) = 2. Det er selvfølgelig ikke nødvendigt med en numerisk løsning, da vi jo allerede har den eksakte løsning. Men fordelen ved også at have en eksakt løsning er, at vi kan udregne fejlen på den numeriske løsning. Men først til en generel formulering af løsningsmetoden. Eulers metode Den første metode, vi ser på, er den såkaldte Euler-metode. Det er i praksis ikke den bedste metode, men den illustrerer på en enkel måde princippet i de numeriske løsninger. Vi ser på en differentialligning af typen dy dx = g(x, y) 1. ordens differentialligning (2) hvor g(x, y) er en kontinuert funktion af de to variable x og y. Vi søger en (numerisk) løsning, der opfylder, at f(x 0 ) = y 0. Vi vælger så en steplængde h, der er xafstanden mellem beregnede funktionsværdier. Det betyder, at vi søger (tilnærmede) værdier af den eksakte løsningsfunktionen f(x) i x-værdierne x 0, x 0 + h, x 0 + 2h, x 0 + 3h osv. som vi også betegner x 0, x 1, x 2, osv 1
2 Vi betegner de numerisk beregnede funktionsværdier y 0, y 1, y 2 osv. Og hvordan beregner vi så disse funktionsværdier? Formlen er y n+1 = y n + g(x n, y n ) h Eulers formel (3) hvor n = 0, 1, 2,. og x n = x 0 + n h Tænker vi grafisk, betyder det, at vi (når n = 0) beregner differentialkvotienten dy dx = g(x 0, y 0 ) for løsningsfunktionen f(x) i punktet (x 0, y 0 ). Efter formlen (3) bliver y 1 = y 0 + g(x 0, y 0 ) h Vi følger altså tangenten i begyndelsespunktet (x 0, y 0 ), og lander så i punktet (x 1, y 1 ). I dette nye punkt beregner vi nu tangenthældningen g(x 1, y 1 ) for en løsningsfunktion gennem dette punkt - som sandsynligvis afviger fra et punkt på grafen for den eksakte løsning - og kører så et stykke ud ad denne nye tangent: Osv. Se figur 1 nedenfor. y 2 = y 1 + g(x 1, y 1 ) h Vi risikerer med denne fremgangsmåde at fjerne os mere og mere fra den eksakte løsningsfunktion f(x), i hvert fald hvis vi bruger en for stor værdi af step -værdien h. Som det også fremgår af figur 1. Figur 1: Eksakt og numerisk løsning til y = 0,04y(10-y) - Eulers metode 2
3 Det fremgår tydeligt af figur 1, at den anvendte steplængde er alt for stor til at give brugbare værdier af de beregnede y-værdier - når man sammenligner med den eksakte løsning. Ikke desto mindre illustrerer figuren principperne i numerisk løsning: for hver numerisk beregnet y-værdi forsøger metoden at finde en god værdi for næste y-værdi ved at udnytte vækstligningen. Men vi forsøger nu at lave beregningerne med et regneark. Princippet for regnearket fremgår af tabellen nedenfor. Den konkrete funktionen g(x, y) skal med cellereferencer til cellerne indeholdende x 0 og y 0 indtastes i formlen for y 1, ligesom cellen med værdien x 0 + h beregnes ud fra cellen med x 0 og cellen indeholdende h (med fast reference!!). Resten af beregningscellerne fremkommer ved kopiering af første beregningslinje nedad. h = (indskriv værdi i en celle) x-værdi y-værdi numerisk Evt. eksakt værdi Evt. afvigelse (%) x 0 (indskriv værdi) y 0 (indskriv værdi) x 0 + h y 1 = y 0 + g(x 0, y 0 ) h x 0 + 2h y 2 = y 1 + g(x 1, y 1 ) h x 0 + 3h y 3 = y 2 + g(x 2, y 2 ) h Osv. Osv. Tabel 1: princippet i regnearket til numerisk løsning Vi vælger differentialligningen (1) som eksempel til regnearket. Her er funktionen g(x, y) = y. Eulers metode y' = y og y(0)=2 steplængde h: 0,50 x y-numerisk y-eksakt afvigelse (%) 0 2,00 2,00 0,0 0,5 3,00 3,30-9,0 1 4,50 5,44-17,2 1,5 6,75 8,96-24,7 2 10,13 14,78-31,5 2,5 15,19 24,36-37,7 3 22,78 40,17-43,3 3,5 34,17 66,23-48,4 Vi ser voldsomme afvigelser med denne steplængde. Vi prøver derfor at halvere denne. 3
4 Eulers metode y' = y og y(0)=2 steplængde h: 0,25 x y-numerisk y-eksakt afvigelse (%) 0 2,00 2,00 0,0 0,25 2,50 2,57-2,6 0,5 3,13 3,30-5,2 0,75 3,91 4,23-7,7 1 4,88 5,44-10,2 1,25 6,10 6,98-12,6 1,5 7,63 8,96-14,9 1,75 9,54 11,51-17,1 2 11,92 14,78-19,3 2,25 14,90 18,98-21,5 2,5 18,63 24,36-23,6 2,75 23,28 31,29-25,6 3 29,10 40,17-27,6 3,25 36,38 51,58-29,5 3,5 45,47 66,23-31,3 Vi ser ved de mindre x-værdier næsten en halvering af afvigelserne. Fx ved x = 1 reduceres fejlen fra 17% til 10%. Til gengæld er der udført dobbelt så mange beregninger (rækker i regnearket) Bedre metoder - en metodes orden Der findes bedre metoder end Eulers metode ovenfor, fx Eulers forbedrede metode (også kaldet RK2 = Runge-Kutta 2. ordens metode), og de endnu bedre RK4, Runge-Kutta 4. ordens metode. En metodes orden fortæller, hvad der i grove træk sker, når man halverer steplængden. Fejlen i forhold til den eksakte løsning formindskes med 1/2 opløftet til metodens orden. Fx vil fejlen ved RK4 metoden falde til ( 1 2 )4 = 1 ved halvering af steplængden. Eulers metode ovenfor er 16 en 1. ordens metode. Eulers forbedrede metode Hvordan skal vi fremskrive y-værdierne så de afviger mindre fra de eksakte værdier? Det ser vi på i dette afsnit. Vi skal forsøge at forbedre den hældning vi benyttede for at fremskrive y-værdierne. I Eulers metode brugte vi tangenthældningen for den løsningsfunktion, der går igennem punktet (x n, y n ) som det fremgår af Eulers formel (3). Vi vil forbedre denne ved at udregne en tilnærmet værdi for tangenthældningen i det næste punkt (fremskrevet med Eulers metode) og så benytte gennemsnittet af hældningen i 4
5 udgangspunktet og det næste punkt til at lave fremskrivningen. For at være mere konkret, så vil vi bruge gennemsnitshældningen hvor a middel = g(x n, y n ) + g(x n+1, y n+1 ) 2 x n+1 = x n + h og y n+1 = y n + g(x n, y n ) h Herved bliver fremskrivningsformlen hvor I eksemplet med regneark ser vi følgende: Eulers forbedrede metode y n+1 = y n + a middel h Eulers forbedrede formel (4) a middel = g(x n, y n ) + g(x n+1, y n+1 ) 2 y'=y og y(0)=2 steplængde h 0,25 x y-numerisk y-eksakt afvigelse (%) 0 2,00 2,00 0,00 0,25 2,56 2,57-0,22 0,5 3,28 3,30-0,43 0,75 4,21 4,23-0,65 1 5,39 5,44-0,86 1,25 6,91 6,98-1,08 1,5 8,85 8,96-1,29 1,75 11,34 11,51-1, ,52 14,78-1,72 2,25 18,61 18,98-1,93 2,5 23,84 24,36-2,14 2,75 30,55 31,29-2, ,14 40,17-2,56 3,25 50,15 51,58-2,77 3,5 64,25 66,23-2,98 Vi ser en væsentlig bedre overensstemmelse med de eksakte værdier end ved Eulers første metode. 5
6 En standardmetode til numerisk løsning af differentialligninger er i mange matematikprogrammer RK4, dvs. Runge-Kutta metoden af 4. orden, evt. med variabel steplængde (afhængig af den estimerede fejl). Vi gør nedenfor kort rede for denne metode. RK4 Runge-Kutta metoden af 4. orden I denne metode til fremskrivning af y-værdierne benyttes et vægtet gennemsnit af hele 4 estimater af tangenthældninger. Vi betegner de 4 tangenthældninger med k 1, k 2, k 3 og k 4. Her er k 1 = g(x n, y n ) k 2 = g(x n h, y n k 1 h) og den vægtede tangenthældning er k 3 = g(x n h, y n k 2 h) k 4 = g(x n + h, y n + k 3 h) k = k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 6 Og fremskrivningen sker med denne vægtede hældning: y n+1 = y n + k h I tilfældet med differentialligningen y = y bliver k 1 = y n k 2 = y n y n h k 3 = y n (y n y n h) h k 4 = y n + (y n (y n y n h) h)h og den vægtede tangenthældning bliver k = k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 6 = y n ( h h h3 ) og derved fremskrivningsformelen 6
7 y n+1 = y n + k h = y n + y n ( h h h3 ) h eller y n+1 = y n (1 + h h h h4 ) Men parentesen er jo en rækkeudvikling af den naturlige eksponentialfunktion fra 0: e h = 1 + h h h h h5 + Her er e h den eksakte fremskrivningsfaktor for løsningsfunktionen, idet f(x n + h) = 2 e x n+h = 2 e x n e h = f(x n ) e h For små værdier af steplængden h forventer vi derfor gode fremskrevne numeriske værdier med ovenstående fremskrivningsformel for y n+1. Vi prøver igen med et regneark: RK4 metoden y'=y og y(0)=2 Steplængde h 0,25 x y-numerisk y-eksakt afvigelse (%) 0 2,00 2,00 0,00 0,25 2,57 2,57 0,00 0,5 3,30 3,30 0,00 0,75 4,23 4,23 0,00 1 5,44 5,44 0,00 1,25 6,98 6,98 0,00 1,5 8,96 8,96 0,00 1,75 11,51 11,51 0, ,78 14,78-0,01 2,25 18,97 18,98-0,01 2,5 24,36 24,36-0,01 2,75 31,28 31,29-0, ,17 40,17-0,01 3,25 51,58 51,58-0,01 7
8 3,5 66,22 66,23-0,01 Det fremgår af afvigelserne, at metoden er fx Eulers metode langt overlegen for den samme steplængde men at den også kræver betydelig flere beregninger. 8
Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1
Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender
Læs mereNumerisk løsning af differentialligninger
KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereDifferentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002
Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 19
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 19 Morten Grud Rasmussen 15. november, 2013 1 Mangeskridtsmetoder til løsning af førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.2 side 908] 1.1 Adams-Bashforth-metoder
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mereOversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning Opgave 1: r ( t) Q( 7,8) 21. maj 2019: Delprøven UDEN hjælpemidler 2t + 1 = 2 t 1 a) Funktionsværdien bestemmes ved indsættelse af t-værdien: 2
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereDifferentialligninger af første orden
Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereNumeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method
Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................
Læs mereGrafregnerkravet på hf matematik tilvalg
Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereOpgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:
7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereEksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst
Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen
Læs mereTeori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen
Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereOpvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3
eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x
Læs mereEulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2
Eulers metode Tom Pedersen //Palle Andersen pa,tom@es.aau.dk Aalborg University Eulers metode p. 1/2 Differentialligninger m(t) H(t) d(h(t)) dt = 0.0125m(t) 0.001772 H(t) hvor m(t) er kendt og H(t) skal
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereOpgavesamling Matematik A HTX
Opgavesamling Matematik A HTX Denne opgavesamling viser eksempler på opgaver, der kan stilles ved den skriftlige prøve i Matematik A på HTX efter reformen 2017 inden for de nye elementer. Dette involverer
Læs mereSådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler
Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den
Læs mereVejledning til WordMat på Mac
Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger
Læs mereEksamensspørgsma l Mat B
Eksamensspørgsma l Mat B 1. Lineære funktioner og tangentligningen Gør rede for de lineære funktioner og deres grafiske billeder, herunder betydning og bestemmelse af de konstanter, som indgår i regneforskriften.
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereOpgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven
2014-0522 1stx141-MAT-B - eksemplarisk besvarelse Bemærk, at i opgaverne uden hjælpemidler er Maple blot benyttet som tekstbehandling. Til eksamen skal besvarelsen laves med papir og blyant. Opgavetksten
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs merelineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1
Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereGennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()
Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices
Læs mereBeregning af angrebspunktet for luftens kræfter for henholdsvis en konisk, parabolsk, elliptisk og tangent ogive spids
Beregning af angrebspunktet for luftens kræfter for henholdsvis en konisk, parabolsk, elliptisk og tangent ogive spids Jørgen Franck Til beregning af angrebspunktet for luftens kræfter på raketspidser
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs merePeter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015
Opgave 6 a) Stationært punkt beregnes. f (x) = 0 Den afledte sættes lig nul for at bestemme stationært punkt. 5 ln (x) + 5 = 0 Funktionen er differentieret ved hjælp af produktreglen. ln (x) = 1 Der er
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereTERMINSPRØVE APRIL x MA, 3z MA og 3g MA/2 MATEMATIK. onsdag den 11. april Kl
TERMINSPRØVE APRIL 2018 3x MA, 3z MA og 3g MA/2 MATEMATIK onsdag den 11. april 2018 Kl. 09.00 14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereMATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) Lommeregner hverken grafisk eller programmerbar
EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2008 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling Lommeregner hverken grafisk
Læs mereDifferentialligninger
en blid start på Differentialligninger Frank Nasser 26. marts 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereBeregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold
Indhold Arealberegning... 2 Kvadrat/rektangulær... 2 Rektangel... 2 Kvadrat... 2 Cirkel... 2 Omkredsberegning... 3 Kvadrat/rektangulær... 3 Rektangel... 3 Kvadrat... 3 Cirkel... 3 Rumfangsberegning...
Læs mereMicrosoft Excel - en kort introduktion. Grundlag
Microsoft Excel - en kort introduktion Grundlag Udover menuer og knapper - i princippet som du kender det fra Words eller andre tekstbehandlingsprogrammer - er der to grundlæggende vigtige størrelser i
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereStart Excel Du skal starte med at åbne Excel. I Excel åbner du herefter en tom projektmappe.
Lineær programmering i Excel Version for PC I lærebogens kapitel 29 afsnit 4 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere knappe
Læs merex + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.
Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereVejledning til bedømmelse af eksamensopgaver i matematik
Vejledning til bedømmelse af eksamensopgaver i matematik I Læreplanen for Matematik stx A og Matematik stx B er der i afsnit 4.3 angivet en række bedømmelseskriterier, som alle lægges til grund for vurderingen
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs merebrikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt
brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNumerisk. differentiation. Erik Vestergaard
Numerisk differentiation Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 25. Billeder: Forside: istock.com/iunewind Side 5: istock.com/cienpies Desuden egne illustrationer Erik
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA
STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereSide 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereLektion 8 Differentialligninger
Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 1stx111-MAT/A-18052011 Onsdag den 18. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereExcel-1: kom godt i gang!!
Excel-1: kom godt i gang!! Microsoft Excel er et såkaldt regneark, som selvfølgelig bliver brugt mest til noget med tal men man kan også arbejde med tekst i programmet. Excel minder på mange områder om
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 1stx111-MAT/A-18052011 Onsdag den 18. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs merematematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk
matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale
Læs mereLINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL
LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereBrugsvejledning for Frit fald udstyr
Brugsvejledning for 1980.10 Frit fald udstyr 13.12.10 Aa 1980.10 1. Udløser 2. Tilslutningsbøsninger for prøveledninger 3. Trykknap for udløser 4. Kontaktplader 5. Udfræsning for placering af kugle 6.
Læs mere