Numerisk. differentiation. Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Numerisk. differentiation. Erik Vestergaard"

Transkript

1 Numerisk differentiation Erik Vestergaard

2 2 Erik Vestergaard Erik Vestergaard, 25. Billeder: Forside: istock.com/iunewind Side 5: istock.com/cienpies Desuden egne illustrationer

3 Erik Vestergaard 3 Numerisk differentiation I en del situationer har man ikke en forskrift for en funktion. Det kunne for eksempel være et forsøg, hvor man har en række målepunkter. Man kunne da tro, at man er afskåret fra at differentiere, altså finde tangenthældninger. Det er heldigvis ikke tilfældet: man kan benytte numerisk differentiation. For at det skal kunne lykkes på en fornuftig måde, skal datapunkter helst ligge ret tæt og ikke være behæftet med for store usikkerheder eller støj. Lad os tage udgangspunkt i en funktion og forsøge at udvikle en teknik, som giver tilnærmede værdier for differentialkvotienterne i en række punkter. Af definitionen på differentiabilitet ved vi, at en funktion er differentiabel, hvis differenskvotienten har en grænseværdi for x, og differentialkvotenten er da lig med den pågældende grænseværdi: y f ( x+ x) f ( x) () = f '( x) for x x x Sætning Hvis f er en funktion, som er differentiabel i x, så gælder følgende: f ( x+ x) f ( x x) (2) 2 x f '( x ) for x Bevis: Fra definitionen af differentiabilitet ved vi, at grænseværdien af differenskvotienten skal være den samme, uanset om x nærmer sig til fra højre eller fra venstre. I stedet for at sige at x går mod fra venstre, kan vi lige så godt udskifte x med x i (), uden at det ændrer på grænseværdien. Vi har altså: f ( x x) f ( x) (3) x og lægger sammen, så får vi umiddel- Hvis vi ganger () med og ganger (3) med 2 2 bart (2). Detaljerne overlades til læseren. f '( x ) for x Grunden til at vi i det følgende vil bruge grænseværdien (2) fremfor grænseværdien () er, at (2) normalt konvergerer hurtigst af de to. Hermed menes, at udtrykket på venstre side i (2) normalt nærmer sig hurtigere til differentialkvotienten, når x, end den normale differenskvotient gør. Situationen kan ses på grafen på næste side. Vi ønsker en tilnærmet værdi for differentialkvotienten f ( x) i x, dvs. en værdi for hældningen af den røde tangent. Her vil udtrykket på venstre side i (2), som grafisk er hældningen af den grønne sekant, normalt være en bedre tilnærmelse til tangentens hældning, end differenskvotienten er. Denne påstand virker også sandsynlig, når man kigger på grafen på næste side.

4 4 Erik Vestergaard (4) f ( x ) = hældning af den røde linje (5) f ( x+ x) f ( x) = hældning af den blå linje x (6) f ( x) f ( x x) = hældning af den gule linje x f ( x + x) f ( x x) 2 x (7) hældning af den grønne = linje f( x) x x x x x Øvelse 2 Forklar hvorfor (7) er rigtigt, dvs. at udtrykket er lig hældningen af sekanten gennem de to punkter på hver side af x. Vi vil i vore metoder kræve, at datapunkternes x-værdier ligger ligeligt fordelt hen ad x- aksen, dvs. at der er samme skridtlængde overalt. Den vil vi betegne med h. Den kommer til at svare til x ovenfor. For at gøre det mere overskueligt, vælger man ofte at ændre notationen: x-koordinaten for det punkt, vi er i færd med at betragte, vil vi betegne med x. Punkterne til højre for skal have x-koordinater x, x 2,..., mens dem til venstre for skal have x-koordinater x, x 2,... f f f - x -4 x -3 x -2 x - x x x 2 x 3 x 4 h

5 Erik Vestergaard 5 Vi vil endvidere lade f betegne differentialkvotienten i x. Med disse nye betegnelser kommer (5), (6) og (7) til at give anledning til følgende numeriske metoder til bestemmelse af tilnærmede værdier for differentialkvotienten i x : f f (8) f (Forward difference) h f f (9) f (Backward difference) h f f () f (Central difference) 2h Metodernes respektive navne på engelsk er angivet i parentes. Vi ser, at forward difference involverer det betragtede punkt og det næste punkt. Backward difference involverer det betragtede punkt og det forrige punkt. Central difference involverer både det næste og det forrige punkt, men ikke det aktuelle punkt selv. Central difference metoden er normalt klart den mest nøjagtige af de tre. I det næste afsnit vil vi i programmet Excel teste metoderne forward difference og central difference på data fra en kendt funktion. I det efterfølgende afsnit vil vi se på numeriske metoder anvendt på rigtig data fra et forsøg i programmet Logger Pro. Endelig vil vi i sidste afsnit med titlen "Taylorpolynomier og andet godt" otale andre numeriske metoder og hvordan man kan vurdere, hvor nøjagtige metoderne er. Sidste afsnit er ikke specielt rettet mod gymnasieelever, da sværhedsgraden er ret høj.

6 6 Erik Vestergaard Eksperiment i Excel med data fra kendt funktion I denne øvelse skal du teste forskellen på, hvor god metoden central difference er sammenlignet med metoden forward difference i tilfældet, hvor data følger funktionsværdierne for en kendt funktion. Det sætter os nemlig i stand til at sammenligne de numeriske værdier for differentialkvotienterne med de rigtige. Programmet Microsoft Excel er meget velegnet til opgaven. Nedenfor vil jeg give detaljer til, hvordan det udføres for de læsere, som ikke er så rutinerede i brugen af Excel. Vi vil undersøge funktionen f ( x) = x sin( x). Det er et mere eller mindre tilfældigt valg. Vi betragter funktionen i intervallet [,7] og vælger en skridtlængde på,. a) Åben et regneark og skriv i felterne, så det ser ud nogenlunde som nedenfor. Baggrundsfarverne hjælper til at give overblik. b) Vi ønsker at alle tal, som står i kolonnerne fra B til og med G skal vises med 6 decimaler. Det klares ved at markere de seks kolonner i den grå vandrette linje med kolonne bogstaverne og derefter højreklikke, mens cursoren befinder sig et sted over det markerede område. I den fremkomne kontekstmenu vælges Formater celler.

7 Erik Vestergaard 7 c) Under fanen Tal og kategorien Tal vælges antal decimaler til 6. Afslut med OK. d) I kolonne A gør du det samme, bortset fra at antal decimaler sættes til 2. e) Startværdien for x'erne står i felt B3 og skridtlængden står i felt B4. Grunden til at de er skrevet ovenfor det egentlige regneark er, at det så bliver nemmere at foretage ændringer i disse værdier, hvis vi senere vil foretage andre undersøgelser. Start med at skrive =B3 i feltet A8 og tryk Enter. Husk at når man skriver et lighedstegn som det første i et felt, så ved Excel, at man er i gang med at skrive en formel. f) I felt B9 skrives formlen =A8+$B$4 og der afsluttes med Enter.

8 8 Erik Vestergaard g) Vi skal nu til at nedkopiere. Det betyder, at vi sparer arbejdet med at gentage formlerne i hvert felt fra A til A78. Bemærk, at det var vigtigt, at vi i formlen i felt A9 anbragte dollartegn, da det sikrer at feltet B4 ikke ændrer sig ved nedkopiering. Derimod skal feltet A8 i formlen ændres til A9, A, etc. når vi nedkopierer. Derfor ingen dollartegn her! Man nedkopierer ved at lade cursoren vandre ned i højre hjørne af feltet indtil cursoren bliver til et sort plus-tegn. Når cursoren ser således ud, trækker du nedad ind til og med felt A78. h) Du har nu tallene fra til 7 i skrift på, i kolonne A. Vi skal derefter til kolonne B. Her ønsker vi de tilhørende funktionsværdier for funktionen f ( x) = x sin( x). Anbring cursoren i feltet B8 og skriv formlen =A8*sin(A8) og afslut med Enter. Husk at feltet A8 indeholder x-værdien. i) Nedkopier feltet B8 indtil felt B78. j) Vi skal have de korrekte differentialkvotienter i kolonne C. Vi har på forhånd regnet ud, at f ( x) = sin( x) + x cos( x). Derfor skriver du i feltet C8 følgende formel: =sin(a8)+a8*cos(a8), trykker Enter og nedkopierer derefter til feltet C78. k) Vi skal nu have udregnet værdierne for differentialkvotienterne beregnet ved hjælp af forward difference metoden. I felt D8 skriver du formlen =(B9-B8)/$B$4, trykker Enter og nedkopierer derefter til feltet D77 (ikke D78!).

9 Erik Vestergaard 9 l) Bemærk lige fra forrige punkt, at formlen =(B9-B8)/$B$4 er logisk: Den tilnærmede værdi for differentialkvotienten i en given x-værdi er forskellen mellem funktionsværdien et skridt længere fremme og funktionsværdien i den aktuelle x-værdi og så divideret med skridtlængden, som står i feltet B4. Men vi skal have beregnet afvigelsen i forhold til den rigtige værdi for differentialkvotienten. Derfor skriver du i feltet E8 formlen =D8-C8, trykker Enter og nedkopierer ned til E77. m) Vi er nu klar til den numeriske metode kaldet central difference, som vi formoder e r mere nøjagtig end forward difference metoden. Bemærk i øvrigt, at der er tilføjet et 3-tal i navnet. Det skyldes, at der findes en central difference metode for hvert ulige tal. I de metoder med højere nummer medtages blot flere funktionsværdier på højre og venstre side af den aktuelle x-værdi. I feltet F9 (ikke F8!) skriver du følgende formel: =(B-B8)/(2*$B$4), trykker på Enter og nedkopierer til feltet F77. Grunden til, at du skal starte i feltet F9 og ikke allerede i felt F8 er naturligvis, at der ikke er nogen funktionsværdi før den første x-værdi, og det kræves jo af metoden. Så vi starter altså i næste x-værdi! n) Tilsvarende som under punkt l), kan du nu bestemme afvigelserne ved i feltet G9 af skrive formlen =F9-C9 og derefter nedkopiere

10 Erik Vestergaard o) Nu kan du inspicere og sammenligne fejlene i de to numeriske metoder i tilfældet med denne funktion ved at kigge i tallene i kolonne E og G. Det kan dog give et større overblik, hvis man laver en graf over fejlene som funktion af x-værdien. Det kan du gøre ved at markere alle felterne fra A9 til og med A77, holde Ctrl-tasten nede, mens du også markerer felterne fra E9 til og med E77 og felterne G9 til og med G77 og derefter vælge menuen Indsæt > Punktdiagram (kun med datamærker). Så får du en meget visuel indikation, at metoden central difference 3 er meget mere nøjagtig end forward difference. Efter lidt formatering og retten til, kan det komme til at se ud som nedenfor Afvigelse i differentialkvotient,3,25,2,5,,5, -,5 -, -,5 -,2 Fejl i de to numeriske metoder Forward difference Central difference x p) Man kan naturligvis også ønske at tegne grafen for de numeriske differentialkvotienter som funktion af x-værdien. Det kan gøres på lignende måde som under punkt o). Detaljerne overlades til læseren.

11 Erik Vestergaard Analyse af eksperimentel data med støj i Logger Pro I mange anvendelser af numerisk differentiation har man blot en liste af datapunkter fra et forsøg. Udover at disse datapunkter ikke nødvendigvis behøver følge en teoretisk kurve, er de desuden ofte behæftet med støj/usikkerhed. Vi kan dog gøre brug af numerisk differentiation alligevel. Hvilken metode, der er mest velegnet, afhænger dog af datapunkternes forløb og graden af støj. Der findes i øvrigt adskilligt flere metoder til bestemmelse af numeriske værdier for differentialkvotienter end de tre, der er omtalt tidligere i dette dokument. Lad os sige, at vi har optaget målinger af PH-værdien under en titreringsøvelse, hvor vi løbende tilsætter dråber af NaOH til en opløsning af H 3 PO 4. Vi ønsker at bestemme ækvivalenspunktet så nøjagtigt som muligt. Dette punkt findes, hvor hældningskoefficienten på kurven er størst mulig. Man indser, at det svarer til at finde det sted, hvor differentialkvotienten har maksimum. I det følgende antages, at data er optaget ved hjælp af for eksempel en PH-elektrode og en dråbetæller tilsluttet en LabQuest, samt at data er registreret i de to første søjler i software programmet Logger Pro. Logger Pro har indbygget faciliteter til numerisk differentiation: a) Vælg menuen Data > Ny beregnet kolonne I den fremkommende dialogboks anfører du navne. Dernæst trykkes på knappen Funktioner.

12 2 Erik Vestergaard b) I funktionsmenuen vist nedenfor vælges punktet regning > derivative. Sidstævnte er det engelske ord for differentialkvotient. c) Efter punkt b) er der skrevet følgende i feltet Udtryk i dialogboksen: derivative(). Mens cursoren står midt mellem parenteserne, skal du have fortalt, hvad der skal differentieres. Det kan gøres ved at trykke på knappen Variabler, hvorefter der vælges "PH" i dropdown-menuen da det jo er navnet på vore funktionsværdier! Herefter skulle det gerne se således ud i feltet Udtryk:

13 Erik Vestergaard 3 d) Vi skal have valgt det antal decimaler, som tallene i vores nye kolonne skal vises med. Tryk på fanen Indstillinger og vælg mindst 4, som vist nedenfor. Afslut ved at trykke på knappen Udført. e) Du skal nu vælge hvilken numerisk metode, som du vil bruge til at differentiere med. Det gøres i menuen Filer > Indstillinger for efterfuldt af navnet på filen.

14 4 Erik Vestergaard f) Hvis du som nedenfor vælger 3 i dropdown-menuen for Antal punkter for afledt beregning, så anvendes faktisk metoden central difference 3, som vi har behandlet tidligere i denne note. Hvis du gerne vil overbevise dig om rigtigheden heri, kan du jo for eksempel kopiere værdierne fra de to første søjler i Logger Pro over i et Excel regneark og så selv udregne differentialkvotienterne ved hjælp af central difference 3 metoden for at se, at det giver det samme som Logger Pro giver i tredje kolonne - som omtalt i afsnittet Eksperiment i Excel med data fra kendt funktion. g) Du mangler at få vist grafen for differentialkvotienterne. Det gøres meget nemt i Logger Pro ved at klikke et sted på anden-aksen. Herved får du adgang til en lille menu, hvor du vælger punktet Mere. I den nye dialogboks skal du afkrydse feltet Diff, som jo er navnet på vores kolonne med differentialkvotienter!

15 Erik Vestergaard 5 h) Når du har afsluttet med OK, får du grafen for differentialkvotienterne vist sammen med grafen for PH værdierne. i) Datapunkterne i den nye graf kan synes noget store. Det kan heldigvis ændres ved at dobbeltklikke på overskriften i kolonne 3. Herved popper en dialogboks op, hvor du kan indstille datapunkterne til en rund cirkel og størrelsen af punkterne som Meget lille. Afslut med at trykke på knappen Udført.

16 6 Erik Vestergaard j) Ækvivalenspunkterne kan nu nemmere aflæses, ved at kigge på den differentierede graf. Bemærk, at du sagtens kan ombestemme dig og vælge en anden numerisk metode ved at gå ind i menuen Filer > Indstillinger for k) Hvis støjen er så stor, at man ikke synes de numeriske metoder er tilstrækkelige, kan man også foretage udglatning. Man kan for eksempel lave en ny beregnet kolonne og kalde den "Udglat". Tryk på knappen Funktioner og vælg smoothave. Tryk derefter på Variabler knappen og vælg Diff var det er navnet på den kolonne, vi ønsker udglattet. l) Bemærk, at du kan styre graden af udglatning via menuen Filer > Indstillinger for under punktet Antal punkter for smoothing beregning:

17 Erik Vestergaard 7 m) Herefter kan du nemt få vist den udglattede graf ved at klikke på anden-aksen Lad os stoppe databehandlingen i Logger Pro her.

18 8 Erik Vestergaard Taylorpolynomier og flere differensmetoder Dette afsnit og de følgende er dedikeret til folk, som vil have et lidt større overblik over området med numerisk differentiation. Stoffet er nok i overkanten af, hvad de fleste elever i gymnasiet med rimelighed kan tilegne sig. Det er derfor for viderekomne. Lad f være en funktion, som er differentiabel i x. Fra gymnasiet kender vi ligningen for tangenten til grafen for f i punktet x : () y= f ( x) ( x x) + f ( x) Vi ved, at tangenten til grafen for f i x tilnærmer funktionen omkring dette punkt. Hvis vi kigger på det fra et funktionssynspunkt, så kan vi definere følgende funktion: ( ) ( ) ( ) ( ) (2) P x = f x + f x x x som er et førstegradspolynomium i x husk at x er konstant! Men som nævnt er P ( x ) kun en tilnærmelse til f ( x ). Forskellen mellem f ( x ) og P ( x ) vil vi betegne R ( x ). Det betegnes også restleddet. Vi har dermed: f ( x) = f ( x ) + f ( x ) ( x x ) + R ( x) (3) Vi er interesseret i at få lidt mere styr på dette restled. Kan vi sætte en øvre grænse for, hvor stor det kan være? Svaret er bekræftende, hvis vi antager, at funktionen er to gange kontinuert differentiabel i et interval omkring x. Vi skal have fat i den anden afledede af funktionen. Men før vi ser på den, skal vi formulere og bevise en berømt og smuk sætning, som ofte viser sig velegnet i beviser. Sætning 3 (Rolles sætning) Lad f være en funktion, som er kontinuert i det lukkede interval [ a, b ], differentiabel i det tilsvarende åbne interval ] a, b [ og som opfylder at f ( a) = f ( b) =. Så findes der et c ] a, b[, så f ( c) =. Bevis: Rent intuitivt virker sætningen indlysende, når man kigger på en figur. Hvis grafen for f har endepunkter på x-aksen, så må der være mindst et sted imellem, hvor der er vandret tangent. I tilfældet på figuren er der endda to mulige valg for c. a c b

19 Erik Vestergaard 9 Vi vil dog alligevel give et formelt bevis. Hvis funktionen er identisk nul i hele det lukkede interval [ a, b ], så er f ( x) lig med for alle x ] a, b[. I det tilfælde kan ethvert punkt i det åbne interval vælges som c. Hvis f ikke er konstant lig med i det lukkede interval, så bruger vi kontinuiteten af f til at konkludere, at der må findes et maksimum og et minimum for f i [ a, b ]. De kan ikke begge være, eftersom f ikke er konstant lig med. Det punkt på x-aksen, hvori der er et maksimum eller et minimum, som er forskellig fra, kan bruges som c. Dels er der klart vandret tangent i dette punkt og dels er det et indre punkt i intervallet. Det sidste følger af, at funktionsværdien er her, mens funktionsværdierne i endepunkterne er. Sætning 4 (Taylors formel for n= 2 ) Antag at funktionen er to gange kontinuert differentiabel i et interval I, hvor x I. For ethvert x I findes da et c mellem x og x, så (4) f ( x) = f ( x ) + f ( x ) ( x x ) + f ( c) ( x x ) 2 2 Bevis: Ifølge (2) kan (4) også udtrykkes ved (5) f ( x) = P ( x) + f ( c) ( x x ) 2 hvor P er det approksimerende førstegradspolynomium. Lad x og x være givet. Vi vil da definere en størrelse K ved f ( x) P ( x) (6) K = 2 ( x x ) Dermed haves: (7) Vi indfører nu en hjælpefunktion: f ( x) = P ( x) + K ( x x ) 2 2 (8) H ( t) = f ( t) P ( t) K ( t x ) 2 For det første ser vi, at K ikke afhænger af t, så den vil fungere som en konstant i hjælpefunktionen. Lad os differentiere hjælpefunktionen et par gange: (9) H ( t) = f ( t) P ( t) 2 K ( t x) (2) H ( t) = f ( t) P ( t) 2 K = f ( t) 2K I (2) har vi udnyttet, at P er et førstegradspolynomium og derfor giver, når den differentieres to gange. Lad os indsætte x i både H og H : (2) 2 H ( x ) = f ( x ) P ( x ) K ( x x ) = f ( x ) P ( x ) = H ( x ) = f ( x ) P ( x ) 2 K ( x x ) = f ( x ) P ( x ) = (22) Af (7) og (8) får vi at H( x ) =. Da hjælpefunktionen er i både x og x, kan vi bruge Rolles sætning til at konkludere, at der findes et c mellem x og x, så H ( c ) =.

20 2 Erik Vestergaard Vi kan gentage successen med H. Den er nemlig nul i både c og x ifølge (22). Dermed kan Rolles sætning bruges igen. Vi slutter at der findes et c mellem c og x, så H ( c) =. Ifølge (2) betyder det, at f ( c) 2K = K = 2 f ( c). Dnne værdi 2 kan indsættes i (7), hvoraf vi får f ( x) = P ( x) + 2 f ( c) ( x x) og dermed (4), som ønsket. Værdien c ligger desuden klart mellem x og x. Den bør bemærkes, at c normalt afhænger af x og x. At sætningen alligevel er meget brugbar kan demonstreres ved et eksempel. Eksempel 5 Betragt funktionen f ( x) = sin( x). Når vi differentierer et par gange, får vi umiddelbart følgende: f ( x) = cos( x) og f ( x) = sin( x). Vi ønsker at udregne det approksimerende. gradspolynomium i punktet x = π 4 : som giver: f ( x ) = f ( ) = sin( ) = f ( x ) = f ( ) = cos( ) = π π 2 π π , P ( x) = f ( ) + f ( ) ( x ) = + ( x ) = x+ ( ),77x+,57 π π π 2 2 π 2 2 π Spørgsmålet er hvor præcis approksimationen er, hvis man ønsker at indsætte en x værdi i P ( x ) fremfor at indsætte i f ( x ) selv? Lad os sige, at x ligger stykket h fra x, dvs. at h= x x. Vi kan vurdere restleddets numeriske størrelse idet vi bemærker, at sinus altid ligger mellem - og ( ) 2 max ( ) = 2 max sin( ) = 2 c mellem x og x c mellem x og x R x f c x x c h h Fejlen er altså højest af størrelsen 2 2 h. Situationen er illustreret på figuren nedenfor. P( x) f ( x) /4 h x Det er klart at matematikere ikke stiller sig til tåls med at approksimere en funktion med et. gradspolynomium. De vil automatisk tage skridtet videre: Kunne vi ikke approksimere funktionen med et polynomium af højere grad? Det leder os frem til den generelle formel for Taylorpolynomiet.

21 Erik Vestergaard 2 Sætning 6 (Taylors formel) Lad f være en funktion, som er n+ gange kontinuert differentiabel i et interval I, hvor x I. For ethvert x I findes da et c mellem x og x, så ( n) f ( x) f ( x) 2 f ( x) f ( x) = f ( x) + ( x x) + ( x x) + + ( x x)! 2 n! ( n+ ) f ( c) + ( x x ) ( n+ )! n+ n Bevis: Sætningen kan bevises analogt til den måde vi beviste sætning 4 på. Vi vil ikke give detaljer her. Vi kan dele udtrykket i sætning 6 op i to dele: f ( x) = P ( x) + R ( x), hvor n n (23) (24) ( n) f ( x) f ( x) 2 f ( x) Pn ( x) = f ( x) + ( x x) + ( x x) + + ( x x)! 2 n! ( n+ ) f ( c) n+ Rn ( x) = ( x x) ( n+ )! n Her kaldes Pn ( x ) for Taylorpolynomiet af orden n for f ( x ), med udviklingspunkt x. Størrelsen kan også betegnes det approksimerende polynomium af højst n'te grad for f ( x ) i punktet x. Leddet Rn ( x ) kaldes for restleddet. Vi skal kigge på et eksempel. Eksempel 7 I eksempel 5 tilnærmede vi sinus-funktionen med et approksimerende. gradspolynomium i punktet x = π 4. Nu vil vi bestemme det approksimerende 3. gradspolynomium til f ( x) = sin( x) i punktet x =. Vi differentierer fire gange: (4) f ( x) = cos( x), f ( x) = sin( x), f ( x) = cos( x), f () = sin( x) Hvilket med x = indsat giver følgende værdier: f () = sin() =, f () = cos() =, f () = sin() =,, f () = cos() = Vi har dermed: f () f () f () P3 ( x) = f () + ( x ) + ( x ) + ( x )! 2! 3! 2 3 = + x+ x + x! 2! 3! = x 6 x 3 2 3

22 22 Erik Vestergaard f ( x) - P x 3( ) Figuren viser, at det approksimerende tredjegradpolynomium giver en meget fin tilnærmelse til sinus-funktionen, især i nærheden af udviklingspunktet x =. Afvigelsen er bestemt ved restleddet, som vi kan vurdere lidt på samme måde som i eksempel 5: R x f c x x c h h (4) ( ) max ( ) = max sin( ) = ! c mellem og x c mellem og x Vi slutter eksemplet her. Grunden til, at vi har gennemgået teorien for Taylorpolynomierne ovenfor er, at vi kan bruge dem til at udvikle nye metoder til numerisk differentiation. Lad os kigge på Taylorpolynomiet for funktionen f i punktet x og indsætte forskellige værdier for x omkring x, nærmere bestemt x 2 h, x h, x, x+ h og x+ 2h. Det giver følgende: (4) f ( x) f ( x) 2 f ( x) 3 f ( x) 4 f ( x 2 h) = f ( x) + ( 2 h) + ( 2 h) + ( 2 h) + ( 2 h) +! 2! 3! 4! (4) f ( x) f ( x) 2 f ( x) 3 f ( x) 4 f ( x h) = f ( x) + ( h) + ( h) + ( h) + ( h) +! 2! 3! 4! (4) f ( x ) f ( x ) f ( x) 3 f ( x) 4 = ! 2! 3! 4! 2 ( ) f ( x) f x (4) f ( x) f ( x) 2 f ( x) 3 f ( x) 4 f ( x+ h) = f ( x) + h+ h + h + h +! 2! 3! 4! (4) f ( x) f ( x) 2 f ( x) 3 f ( x) 4 f ( x+ 2 h) = f ( x) + (2 h) + (2 h) + (2 h) + (2 h) +! 2! 3! 4! Man kunne nu få den gode idé at gange den første ligning med a 2, den næste ligning med a, den midterste ligning med a og de to efterfølgende ligninger med henholdsvis a og a 2 og derefter lægge alle ligningerne sammen! Derefter kunne man forsøge at bestemme koefficienterne a 2, a, a, a, a2, så funktionsværdien i x, og alle afledede i x op til og med 4. orden går ud, med undtagelse af den første afledede, hvis koefficient vi vil have til at give h. Vi ønsker altså at finde koefficienter a 2, a, a, a, a2, så følgende er opfyldt:

23 Erik Vestergaard 23 (25) a f ( x 2 h) + a f ( x h) + a f ( x ) + a f ( x + h) + a f ( x + 2 h) 2 2 = f ( x ) + h f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + rest (4) Størrelsen rest er en linearkombination af de restled, der ifølge sætning 6 med n= 4, er på følgende form, hvor c i ligger mellem x og x+ i h for alle i= 2,,,, 2 : (26) (5) (5) (5) f ( c 2) 5 f ( c ) 5 f ( c) 5 2 ( 2 ) ( ) rest = a h + a h + a 5! 5! 5! (5) (5) f ( c) 5 f ( c2) 5 2 (2 ) + a h + a h 5! 5! 5 h 5 (5) 5 (5) 5 (5) = ( 2) a 2 f ( c 2) + ( ) a f ( c ) + a f ( c) 5! 5 (5) 5 (5) + a f ( c) + 2 a2 f ( c2) Lad os vende tilbage til ligningssystemet. Opgaven består i at løse 5 lineære ligninger med 5 ubekendte. Ligningssystemet kan meget overskueligt skrives på matrix-form på følgende måde, hvor koefficienterne a 2, a, a, a, a2 altså er de ubekendte: (27) a 2 ( 2) 2 a ( 2) ( ) 2 a = ( 2) ( ) 2 a ( 2) ( ) 2 a 2 Detaljerne overlades til læseren. Vi regner videre og får: (28) a a 4 4 a = 8 8 a 6 6 a 2 Det viser sig, at ligningssystemet har følgende løsning: a =, a =, a =, a =, a = 2 2 (29) Lad os vende tilbage til leddet rest fra (26). Vi ved nu hvad koefficienterne er lig med. (3) 5 h 5 (5) 5 2 (5) 5 (5) rest = ( 2) 2 f ( c 2) + ( ) ( 3) f ( c ) + f ( c) 5! 5 2 (5) 5 (5) + 3 f ( c ) + 2 ( 2) f ( c2)

24 24 Erik Vestergaard 5 Lad os skrive rest på formen rest= k h, hvor k er en konstant, for at fremhæve afhængigheden af skridtlængden h. Hvis vi benytter den korte notation f i for f ( x+ i h) og f for f ( x), så bliver (25) til følgende: f + f f + f = f h k h Ved at dividere med h på begge sider og flytte restleddet over, får vi det endelige udtryk for den metode, som går under navnet 5-point Central difference, fordi den involverer fem punkter (hvor det ene godt nok er ): (3) som også kan skrives: (32) f 2 3 f 3 f 2 f2 f + + = + k h h f f + 8 f 8 f + f 2h 2 2 = + k h Bemærkning Desværre afhænger leddet rest i (3) af den femte afledede i fem forskellige i øvrigt ukendte punkter. Det viser sig imidlertid, at man kan udskifte alle de fem afledede med en femte afledet evalueret i det samme punkt. Det omtalte fælles punkt vil vi 5 (5) betegne c. Derved bliver restleddet til: rest= 3 h f ( c). Det fælles punkt er også ukendt, men vi ved, at det skal ligge imellem x 2h og x+ 2h. Derved får vi den kortfattede formel: (33) f 2 8 f 8 f f2 4 (5) f + + = + h f ( c) 3 2h hvor c ] x 2 h, x+ 2 h[ eller c ] x 2, x2 [, hvis man foretrækker notationen fra side 4 tidligere i denne note. Forudsætningen for ovenstående er, at funktionen f skal være 5 gange kontinuert differentiabel i et interval I, som indeholder de fem punkter, som vi benytter: x 2, x, x, x, x2. Med det mere præcise restled i (33) fremfor (32) kan vi nemmere foretage vurderinger af den begåede fejl, lidt som vi gjorde tidligere i eksempel 5 og eksempel 7. At restleddet kan skrives på formen 4 (5) 3 h f ( c) i (33) fremgår ikke direkte af ovenstående. Restleddet kan imidlertid fås frem, hvis man tager et helt andet udgangspunkt end vi har taget ovenfor: Hvis man i stedet for Taylorpolynomier bruger interpolationspolynomier på Newtons form, kan man udlede det. Det vil føre for vidt at komme ind på det her. Man kan læse om metoden i [2] fra side 35. På side 79 omtales restleddet. Central Difference formler Vi har allerede set eksempler på to af den slags, som betegnes Central difference metoder. Den første er () side 5 og den anden er (33) ovenfor. Ordet "central" går på, at man benytter funktionsværdier i punkter, som ligger symmetrisk omkring det punkt x, hvori man ønsker den numeriske differentialkvotient. Det giver den bedste tilnærmelse.

25 Erik Vestergaard 25 I Wikipedia (se linket [3]), kan man finde en række central difference-formler. Omskrevet og med restled ser de således ud: f f 2 f = 6 h f ( c) 2h f 2 8 f 8 f f2 4 (5) f + + = + 3 h f ( c) 2h f 3 9 f 2 45 f 45 f 9 f2 f3 6 (7) f = 4 h f ( c) 6h 3 f 4 32 f 3 68 f f 672 f 68 f2 32 f3 3 f4 8 (9) f = + h f ( c) 63 84h I nævnte rækkefølge har de navnene 3-punkt central difference, 5-punkt central difference, 7-punkt central difference og 9-punkt central difference. På samme hjemmeside kan man også finde ikke-centrerede differensmetoder, og endda også formler for højere afledede. Savitsky-Golay filtre Alle de metoder, som blev udviklet med Taylorpolynomier i forrige afsnit, har de egenskaber, at de er eksakte for alle polynomier af grad op til og med ordenen af metoden. Således er 3-punkt central difference eksakt for polynomier med grad op til og med punkt central difference er eksakt for polynomier af grad op til og med 4, etc. Denne påstand ses direkte af restleddets udseende. Det er det maksimalt opnåelige for det antal punkter, som er involveret i de enkelte metoder. Man skulle derfor tro, at man havde at gøre med i enhver henseende optimale numeriske metoder. Det viser sig imidlertid, at metoderne er temmelig følsomme, når de anvendes på hurtigt oscillerende funktioner. Derfor er der blevet udviklet numeriske metoder, som har en bedre egenskab her. En familie af disse er de såkaldte Savitsky-Golay filtre. Vi skal ikke gå i detaljer med dem her, blot henvise til Wikipedia i [4], hvor nedenstående metoder kan findes. Begge er punktsmetoder. Den første har orden O( h ), mens den anden har orden O( h ) : f 3 f 2 f f + f + 2 f + 3 f 28h f 22 f 67 f 58 f + 58 f+ 67 f 22 f 252h Disse filter har desuden ofte en udglattende virkning på data. Løst sagt er de blevet udledt ved at anvende foldning og tilnærme et antal datapunkter med et polynomium af relativ lav grad under anvendelse af mindste kvadraters metode.

26 26 Erik Vestergaard Glatte støj-robuste differentiatorer Nogle andre metoder, jeg er faldet over, er metoder udviklet af Pavel Holoborodko. De kan findes på hans hjemmeside [5]. Jeg vil give hans bud på to 7-punktsmetoder, den 2 4 første af orden O( h ), den anden af orden O( h ) : f f 6 f 4 f + 4 f + 6 f + f 28h f 5 f 2 f 39 f + 39 f + 2 f 5 f 96h Der kan siges meget mere om dette emne med numerisk differentiation. Vi afslutter dog diskussionen af emnet her. Litteratur [] Helge Elbrønd Jensen m. fl. Matematisk analyse. 4. udgave. Institut for matematik, Danmarks Teknisk Universitet, 2. [2] Ward Cheney, David Kincaid. Numerical Mathematics and Computing. Fourth Edition. Brooks/Cole Publishing Company, 999. Links [3] Wikipedia om Finite Differences: [4] Wikipedia on Savitsky-Golay filter: [5] Pavel Holoborodko om Smooth noise-robust differentiators:

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

1. Installere Logger Pro

1. Installere Logger Pro Programmet Logger Pro er et computerprogram, der kan bruges til at opsamle og behandle data i de naturvidenskabelige fag, herunder fysik. 1. Installere Logger Pro Første gang du installerer Logger Pro

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Jævn cirkelbevægelse udført med udstyr fra Vernier

Jævn cirkelbevægelse udført med udstyr fra Vernier Fysikøvelse - Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Jævn cirkelbevægelse udført med udstyr fra Vernier Formål Formålet med denne øvelse er at eftervise følgende formel for centripetalkraften på et legeme,

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

er den radioaktive kildes aktivitet til tidspunktet t= 0, A( t ) er aktiviteten til tidspunktet t og k er henfaldskonstanten.

er den radioaktive kildes aktivitet til tidspunktet t= 0, A( t ) er aktiviteten til tidspunktet t og k er henfaldskonstanten. Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Radioaktive henfald Formål Formålet i denne øvelse er at eftervise henfaldsloven A( t) = A0 e kt, hvor A 0 er den radioaktive kildes aktivitet til tidspunktet

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010

Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010 Indholdsfortegnelse Abstract...2 Indledning...3 Konvergens...3 Konvergenskriterier...3 Konvergensorden...3 Fejlestimater...3 Stopkriterier...4 Taylor's Theorem...4 Numeriske metoder...4 Newtonsmetode...4

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word.

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 75 Paint & Print Screen (Skærmbillede med beskæring) Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 1. Minimer straks begge

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere Indholdsfortegnelse Forord... 3 Diskettens indhold... 4 Grafer i koordinatsystemet... 5 Brug af guiden diagram... 5 Indret regnearket fornuftigt... 9 Regneark hentet på Internettet... 15 Læsevenlige tal

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag Microsoft Excel - en kort introduktion Grundlag Udover menuer og knapper - i princippet som du kender det fra Words eller andre tekstbehandlingsprogrammer - er der to grundlæggende vigtige størrelser i

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Tilpas: Hurtig adgang

Tilpas: Hurtig adgang Tilpas: Hurtig adgang Genveje, Se skærmtips Se tips Hold alt tasten nede. Og brug bogstaver Word Fanen Filer PDF dokument Brug skabelon Visninger Husk Luk ved fuldskærmsvisning Brug zoom skyder Marker,

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Newtons afkølingslov

Newtons afkølingslov Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Indhold Forelæsning Dat-D1: Regneark Matematik og databehandling 2012

Indhold Forelæsning Dat-D1: Regneark Matematik og databehandling 2012 Indhold Forelæsning Dat-D1: Regneark Matematik og databehandling 2012 Henrik L. Pedersen Institut for Matematiske Fag henrikp@life.ku.dk 1 Forberedelsesopgaverne Dat-D-1 og Dat-D-2 2 Regnearks grundprincipper

Læs mere

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL I denne og yderligere at par artikler vil jeg se nærmere på diagramfunktionerne i Excel, men der er desværre ikke plads at gennemgå disse i alle detaljer, dertil

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Tekst, tal og formler I et regneark kan man indtaste tekst, tal og formler:

Tekst, tal og formler I et regneark kan man indtaste tekst, tal og formler: Tekst, tal og formler I et regneark kan man indtaste tekst, tal og formler: I cellerne A1, A2 og A3 er der indtastet tekst. Tekst bliver venstrestillet. I cellerne B1 og B2 er der indtastet tal. Tal bliver

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag SPAM-mails Køber varer via spam-mails Læser spam-mails Modtager over 40 spam-mails pr. dag Modtager spam hver dag 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010 Datapræsentation: lav flotte

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Regnearket Excel - en introduktion

Regnearket Excel - en introduktion Regnearket Excel - en introduktion Flytte rundt i regnearket. Redigere celler Hjælp Celleindhold Kopiering af celler Lokalmenu og celleegenskaber Opgaver 1. Valutakøb 2. Hvor gammel er du 3. Momsberegning

Læs mere

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1 Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

REDIGERING AF REGNEARK

REDIGERING AF REGNEARK REDIGERING AF REGNEARK De to første artikler af dette lille "grundkursus" i Excel, nemlig "How to do it" 8 og 9 har været forholdsvis versionsuafhængige, idet de har handlet om ting, som er helt ens i

Læs mere

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Huskesedler. Microsoft Excel 2010

Huskesedler. Microsoft Excel 2010 Huskesedler Indhold Absolutte cellereferencer... 2 Beskyttelse... 3 Fejlkontrol... 5 Flyt og kopiér... 6 Flyt og kopier med musen... 7 Formatering... 8 Formatering - Placering... 9 Formatering Kanter og

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Dig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17

Dig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17 Dig og din puls Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere