R E E L L E F U N K T I O N E R.

Transkript

1 Købehavs Uiversitets Hateratiske Istitut M A T E M A T I K B. Jesse Forelæsiger over R E E L L E F U N K T I O N E R.

2 Mat 2, MI Kap.l Idledig. l. Weierstrass 11 approksimatiossætig. l, l, l 2. Newtos og Lagrages iterpolatiosformler. 1,2,1 3. E kotiuert fuktio af e reel variabel, som ikke er differetiabel i oget pukt. 1,3,1 4. Peaos kurve. 1,4,1 _,' l. Kap.2 Mål- og itegralbegrebet. T'rappemægder og trappefuktioer. Itervaller og deres mål Bemærkig Trappemægder og deres mål rvrægdelegemer og additive mægdefuktioer Trappefuktioer og deres itegraler Lieære fuktiosrum. Fuktiosgitre Lieære fuktiaaler Mål- og itegralteories problemstillig 2, Riera itegralet. Øvre og edre Riera itegral Riera it.egrable fuktioer Dirichlets fuktio E diskotiuert Riera itegrabel fuktio Sætiger om Riera itegralet Ligelig koverges, lviagler ved Riera itegralet Approksimatio med kotiuerte fuktioer Riera itegrabilitet i e puktmægde 3. Riera målet. Ydre og idre Riera mål Riera malelige puktmægder Forbidelse med Riera itegralet Elemetære sætiger om Riera målet 4. :B 1 udametale hjælpesætiger. 5. Lebesgue itegralet. Defiitioer øvre og edre Lebesgue itegral Lebesgue itegrable fuktioer ~ Defiitio af de elemetære regeoperatioer i li. Elemetære sætiger om Lebesgue itegralet 6. Græseovergag med Lebesgue itegralet. Mooto græseovergag Nøgle sætig,* Talfølger i R Sætiger om lim if og lim sup for fuktiosfølger Fatous lemma Absolut majoriseret koverges 2,1,1 2,1,1 2,1,2 2,1,2 2,1,3 2,1,4 2,1,5 2,1,5 2,1,6 2,2,1 2,2,1 2,2,1 2,2,2 2,2,2 2,2,2 2,2,3 2,2,4 2,2,4 2,2,5 2,3,1 2,3,1 2,3,1 2,3,1 2,3,2 2,4,1 2,5,1 2,5,1 2,5,1 2,5,2 2,5,3 2,5,3 2,6,1 2,6,1 2,6,1 2,6,3 2,6,4 2,6,5 2,6,5

3 !VIa t 2, Lebesgue målet. Ydre og idre Lebesgue mål Lebesgue målelige puktmægder Forbidelse med Lebesgue itegralet Sætiger om Lebesgue målet Nulmægder Nulfuktioer Ækvivalete fuktioer 8. Multipelt itegral. Lebesgue-Fubiis sætig 9. Lebesgue målelige fuktioer. Defii t.io Sætiger om klasse af Lebesgue målelige fuktioer Fuktioer med uedeligt itegral Puktmægder med uedeligt mål lo. J!i ødvedig og tilstrækkelig betigelse for Riera itegrabilitet. Halvkotiuert fukt-io Øvre og edre limesfuktio Riera målelighed 2,7,1 2,7,1 2,;,1 2,7,2 2,7,3 2,7,4 2,7,5 2,7,5 2,8,1 2,8,2 2,9,1 2,9,1 2,9,2 2,9,5 2,9,5 2., ]_CD, l 2,10,1 2,10,1 2,10,3 11. Lebesgue itegrabilitet og Lebesgue målelighed i e puktmægde. Defiitio Ubestemt itegral 12. Differetiatio og itegratio. Volterras eksempel Sæt.ig 13. Osgoods kurve. 14. Fuktioer med komplekse værdier. 2,11,1 2,11,1 2,11,2 2,12,1 2,12,1 2,12,3 2,13,1 2,14,1 Kap.3 Normerede fuktiosrum. l. Normerede Lieære rum. L(Rk) p-orm i det -dimesioale Idre produkt HØlders ulighed Mikowskis ulighed De ormerede talfølgerum lp Idre produkt for talfølger Holders ulighed for følger Hilbert rummet 1 Baach rum 2 Eksempler på fuktiosrum ', talrum R, resp. C 3,1,1 3,1,1 3,1,2 3,1,3 3,1,3 3,1,4 3,1,4 3,1,6 3,1,6 3,1,6 3,1,6 3,1,8

4 Mat 2, De ormerede fuktiosrum Lp(~k). Hovedsætig (om rummet L.) Holders ulighed for Lebesgue itegraler Cauehy-Sehwarz' ulighed for Lebesgue itegraler r1ikowskis ulighed for Lebesgue itegraler Riesz-Fisehers sætig Approksimatiossætiger Lext( R_ k) Lp(A) 3,2,1 3,2,1 3,2,2 3,2,2 3,2,2 3,2,3 3,2,5 3,2,7 3,2,8 Kap.4. Fourierrækker. l l l. Defiitioer. Normerede ortogoalsystemer Heuristisk betragtig Defiitio 2. Summabilitet. Formler for Fourierrækkes afsit og afsitsmiddel Diriehlets kere Fejers. kere Egeskaber ved Fejers kere Fejers sætiger Trigoometrisk approksimatio Stærk summabilitet i Lp Etydighedssæt.ige Fejer-Lebesgues sætig 3. Koverges. Begræset variatio Tilføjelse 4. Diverges. 5. Klasse L 2 Pythagoras' sætig Projektio på edelig dimesioalt uderrum Avedelse på Fourierrækker Stærk koverges af Fourierrække Parsevals ligig Riesz-Fisehers sætig L 2 er isomorf og isometrisk med 1 2 4,1,1 4,1,2 4,1,2 4,1,3 4,2,1 4,2,1 4,2,2 4,2,2 4,2,2 4,2,2 4,2,4 4,2,4 4,2,5 4,2,5 4,3,1 4,3,1 4,3,2 4,4,1 4,5,1 4,5,1 4,5,1 4,5,2 4,5,3 4,5,3 4,5,3 4,5,4

5 Mat 2, MI 1,1,1 Kap. l Idledig. l. Weierstrass' approksimatiossætig. (K.Weierstrass ; sætige er fra 1885.) Rvis f(x) e r e kotiuert fuktio i det afs1uttede iterval [a, b] og > O, da fides et. polyomium p(x) = a +a x+.. +ax, 0 1 for hvilket \f(x) - p(x)\ ~ E for alle x~ [a, b]. Der fides forskellige beviser for dee fudametale sætig. Det følgede bevis skyldes S.N.Berstei. række skridt. Vi går frem i e a) Det, er ok at bevise sætige for itervallet (_o, l]. Thi atages sætige bevist for dette iterval, får vi de for et vilkårligt iterval ~,b] på følgede måde: Når f(x) er kotiuert i ~,b], er der ved g(~) = f(a+(b-a)~) defieret e kotiuert fuktio i (O, l] Til et gi ve t E > O fides da ifølge atagelse et polyomium q(g) = b + b 0 1 ~ +. + b~, l g ( ~ ) -q q;) l ~ c f O r all e ~ E ( 0, l] for hvilket Da er lg(~=:)-q(~=:)l ~ E for alle x E l a, b]. Her er g(xb-a) = f(x) og q(xb-a) =b +blxb-a+. +b (xb-a) er et -a -a o -a -a polyomium p(x) = a +a x+. +ax Vi har altså 0 1 lf ( x ) -p ( x ) \ ~ E f o r all e x E' [a, b] b) Vi atager u, at itervallet er [o, 11. For et vilkårligt helt positivt daes polyomiet P(x) = l:v~of(~)(~)xv(l-x)-v. Vi vil vise: Til [>O fides et ummer 0 = 0 (e), således at der for ethvert ~ 0 gælder lf(x)-p(x)j ~E for alle x E [0,1]. c) Ifølge biomialformle er l = Lv~o(~)xv(l-x)-v for alle x, altså f(x) = [ 17 ~ 0 f(x)(~)x 17 (l-x)~-v for alle x e [0,1]. Heraf' fås f(x)-p(x) = ~v~ 0 (f(x)-f(~))(~)xv(l-x)-v, og følgelig, da (~)xv(l-x)-v ~ O for V= 0,1,., og alle x E [0,1], (*) lf(x)-p(x)l ~ Lv~o lf(x)-f(~) l (~)x'\7(1-x)-v. d) For givet og x deles summe i ~) i to, idet vi vælger et S > O og i de første sum tager de led, for hvilke lx - ~ l < 6,

6 JVlat 2, MI 1,1,2 ) ' og i de ade sum de, for hvilke \x - *J~ 6 summer beteges 2: 1 og I 2, har vi al t så Vi sætter jf(x)-p (x) l ~ sup O~x~l!f(x)i = M L 1 + L:2 og Idet disse to Da f(x) er kotiuert i det afslutt.ede iterval ~,11, er f(x) begræset og ligelig kotiuert. Al t så gælder :r.'i < + oo og w(6) -;>- O for S~ O. Vi fider 'L ~ w(s) Lv~o (~)xv(l-x)-v ~w(~) 1 [ 17 ~ 0 (~)xv(l-x)-v = w(6); jx-~) < 8 L 2 ~ 2ML'I/~ 0 (~)x~(l-x)-v.!x-~~~ 8 e) Det afgørede p~kt i beviset er vurderige af summe på højre side i de sidste ulighed. Hertil går vi ud fra biomialformle ~~~o(~)x~y-v = (x+y) Ved differetiatio efter x og påfølgede multiplikatio med x fås " v () x v -'0 ( )-l ~~=o v y = x x+y Getages processe fås ~o/~v2(~)xvy-v = x(x+y)-1 + (-l)x2(x+y)-2 Sættes y = 1-x fås heraf l:v~o(~)x~(l-x)-v = l.l:; v(~)x.y(l-x)-v = x 0 L:; 0 v 2 (;;)x'y( 1-x)-v=x + 2 (-l)x Af disse ligiger fås ved multiplikatio med heholdsvis -2x/, l/ 2 og efterfølgede additio, at, (x-~)2(~)x'll(l-x)-v = x(l-x) Lv=o v 2 x ' For ethvert x er højre side ~ største værdi for x = i). For ethvert x E= l/4 (idet polyomiet har si [O, l] er alle leddee i summe på vestre side ~ O. Vi bortkaster de led, for hvilke \x-~1 <b og erstatter i de øvrige led (x-*) 2 med 8 2. Da fås Oebysevs ulighed " ()xv(l-x)-v S. _1_ Lv=o ~ - b2 lx-~j~8 4 f) Ved sammefatig fider vi således

7 Hat 2, MI 1,1,3 \f(x)-p(x)\ ~ cu(s) + 2 : 52 for alle x e [0,1]. Til det give c > O vælges u først 6 = 5(E), således at.:v( es) ~ ~ Derefter bestemmes 0 = 0 (E), således at M E 2 cf(e) 2 Da 0 ~ 2 " gælder for ethvert ~, at 0 jf(x)-p(x)l ~f for alle x f [o, 1], hvormed Weierstrass '' sætig er bevist~ l Bemærkiger. l) Af Cebysevs ulighed følger specielt, at der for fast Xe [0,1] og fast cf > O gælder (:t-*) L v~ 0 ( ~) x v ( l-x) -v -7 O f o r --;> oa. [x-~1 ~ 8 Betragtes et spil, som der er sadsylighede x for at vide,, J og spilles spillet gage uafhægigt af hiade, udtrykker (~)x~(l-x)-~ sadsylighede for at vide etop v af spillee, og udtrykket på vestre side i ~*) er derfor sadsylighede for, at atallet af vude spil divideret med afviger midst 5 fra sadsylighede x. Græseligige ~*), hvorefter dee sadsylighed~ O for ~oo, er først bevist af Jaxob Beroulli (Ars xojectadi 1713). De kaldes "de store tals lov" og er begydelse til de videregåede sadsylighedsregig. 2) Weierstrass' approksimatiossætig ka også formuleres således: Hvis f(x) er e kotiuert fuktio i det afsluttede iterval ~,b), da fidesefølge af polyomier p 1 (x),p 2 (x),. xom kovergerer ligeligt mod f(x) i ~,b]. Omvedt gælder: Hvis e fuktio f(x) i [a, b] er græsefuktio for e ligelig koverget følge af polyomier p 1 (x),p 2 (x),, da er f(x) kotiuert. Eller aderledes udtrykt: Hvis e fuktio f(x) i [a,b] har de egeskab, at der for ethvert E >O fides et polyomium p(x), således at \f(x)-p(x) l ~ E for alle x E [a, b], da er f(x) kotiuert. 3) For et givet afsluttet iterval ~,b] beteger vi med B( [a~b]) klasse af alle begræsede fuktioer i [a,b], med C([a,b]) klasse af alle kotiuerte fuktioer i ~,b], og med P( [a~b]) klasse af alle polyomier betragtet i ~,b]. Da gælder B([a,b]) ~ C([a,b]) ~ P([a,b]). Vi sætter for f f B( [a, b]), g E B( [a, b]) dist(f,g) = sup lf(x)-g(x)l. a~x~b B([a,b]) er med dee afstadsdefiitio et metrisk rum. Weierstrass' sætig og des trivielle omvedte sætig (jfr.

8 Mat 2, lvfi 1,1,4 bemærkig 2) ka u uder et udtrykkes således: I det metriske rum B( ta,b]) er C( la, b]) afslutige af mægde P([a,b]).

9 Mat 2, MI 1,2,1 2. Newtos og Lagrages iterpolatiosformler. Sætig: For give (idbyrdes forskellige) abscisser ~ 0 i! 1,.,x og give ordiater y 0 ~ 1,.,y fides et og ku et polyomium p(x) = a 0 +a 1 x+.. +ax af højst 'te grad, som i puk _;_;.,--'--'--...;.o tere x i!,,x atager værdiere y 1 o ~ 1,.,y. - Der ka ikke fides to forskellige sådae polyomier; thi deres differes var da et polyomium af højst 'te grad me& de +l ulpukter x 0, x 1,.., x' i strid med, at, et egetligt polyomium højst har så mage ulpukter som grade agiver. Eksist.ese af et polyomium af de agive art vises ved, at ma opskr:!-ver et; vi agiver to måder. I Newtos iterpolatiosformel skrives p(x) =c +c 1 (x-x )+c 2 (x-x )(x-x 1 )+ +c (x-x ).. (x-x o o o. o -1 ). Koefficietere c,c,,c bestemmes successivt, således at o 1 ligigere p(x ) 0 = y, 0 p(x 1 ) = y 1,..,p(x) = Y bliver opfyldt. Na fider co = Yo' cl = xl-xo y2-(co+cl(x2-xl)) c2= (x2-xo)(x2-xl) '... ' Y- (co+cl(x-xo)+.. +c-l(x-xo).. (x-x-2)) (x-xo)(x-xl).. (x-x-1) I Lagrages iterpolatiosformel skrives p(x) = YoPo(x)+ylpl(x)+. +yp(x), hvor polyomiere p 0 (x),p 1 (x),.,p(x) er bestemt ved, at pj(x) i xj skal have værdie l og i reste af puktere x 0,x 1,,x værdie O. Dette opås for P (x) o... p (x) = jfr. i øvrigt AG III,4,øv.l5. Bemærkig. iterval (a, b). (x-x 1 )(x-x 2 ) (x-x) (xo-xl)(xo-x2).. (xo-x) (x-x 0 )(x-x 2 ) (x-x) (x 1 -x 0 )(x 1 -x~ (x 1 -x) (x-x )(x-x 1 ).. (x-x o -1 ) (x-xo)(x-xl) (x-x-1) Lad f(x) være e kotiuert fuktio i et lukket For et givet ka vi betragte det polyomium P(x) af højst 'te grad, der i de +l pukter a,a+h,a+2h,., b-h, b, hvor h = (b-a)/, atager samme værdier som f(x). rvra

10 Mat 2, MI 1,2,2 kue tro, at følge p 1 (x),p 2 (x),. ville kovergere ligeligt ) mod f(x), me dette er ikke altid tilfældet.

11 Mat 2, l\u l, 3, l 3. E kotiuert fuktio af e reel variabel, som ikke er differetiabel i oget pukt. Det er let at agive e kotiuert fuktio af ~ reel variabel, som ikke er differetiabel i eet pukt, f.eks. f(x) = lxl. Det første eksempel på e fuktio, som ikke er differetiabel i oget pukt, er gi ve t af v'teierstrass ( 1861). FøJJgede 1 oget simplere, eksempel skyldes E.L.va der Waerde -l Vi betragter f 1 (x) = \xl f 2 (x) = (x\ ' / ' ' / ' ' l ' o l 2 fuktioere (se figure): for \x\ ~ l, for periodisk med periode 2 periodisk med periode ~ for lx l~ 1 _, periodisk med periode 1 _.1_ Hver fuktio er defieret, og kotiuert for - oo < x < +w. ethvert er O ~ f (x) ~ l/ 4 -l for alle x. De uedelige række f 1 (x)+f 2 (x)+. +f(x)+ har således de kovergete majaratl / -l række l l De er følgelig ligelig koverget, og des sum f(x) = f 1 (x)+f 2 (x)+. +f(x)+.. er e kotiuert fuktio. Vi vil vise, at f(x) ikke er differetiabel i oget pukt. 3 For Lad x være et givet pukt. Ved et "halvtag" for f (x) meer o vi et stykke af det grafiske billede af f(x) fra kæk til kæk, det vestre kækpukt medreget, det højre ikke. Puktet x ligo ger da uder et bestemt halvtag for hver af fuktioere f 1 (x), f 2 (x),. Disses hældigskoefficieter er alle +l eller -l, og de er bestemt som de højre afledede i x 0 af fuktioere f (x),f (xj,., beteget D+f (x ), D+f (x ), Vi bestemmer u: l) x 1 uder samme halvtag for f 1 (x) som x 0, således at )x 1 -x 0 / = ~ (lig med t af periode for f 1 (x)). Dette er muligt på ee 1 måde; vi har x 1 = x 0 +~, hv~s x 0 halvtaget, ellers x 1 = x 0 -l. ligger til vestre for midte af x

12 Mat 2, MI 1,3,2 2) x 2 uder samme halvtag for f 2 (x) som x 0, således at ji 2 -x 0 j = 2/4 2 (=t af periode for f 2 (x)). Dette er ligeledes muligt på ee måde.... ) x uder samme halvtag for f (x) som x 0, således at jx-x 0 j = 2/4 (=t af periode for f (x)). Dette er atter muligt på ee måde.... Vi har x~ x 0 og vil u vise, at følge af differeskvotieter (f(x)+f(x 0 ))/(x-x ) 0 ikke har oge græseværdi for ~oo, hvormed vil være vist, at f(x) ikke er differetiabel i puktet x 0. Vi har \_ J al t så f(x) = f 1 (x)+ +f(x)+f+l(x)+ f(xo) = fl(xo)+... +f(xo)+f+l(xo)+.. ~) f(x)-f(xo) = fl(x)-fl(xo)+. +f(x)~f(xo) f+l(x)+f+l(xo)+ x -x x -x x -x x -x o o o o Da x ligger uder samme halvtag for f(x) som.x 0, ligger x også uder samme halvtag for hver af fuktioere f 1 (x),.,f_ 1 (x) som x 0._ Heraf ses, at hvert af leddee f 1 (x)-f 1 (x~) f(x)-f(x 0 ) x -x o '... ' x -x o er lig med hældigskoefficiete for det halv~ag af de pågældede fuktio, uder hvilket x o lig med D+f 1 (x 0 ), D+f 2 (x 0 ),,~.,D+f(x 0 ). ) række (*) x -x o er alle O, t.hi \x-x ( 0 er t periode for f+l(x), Vi fider således f(x)-f(x 0 ) x -x o lig ligger. Disse led er altså x -x o De følgede led i '... af periode for f(x), altså lig med med 4 gage periode for f 2 (x) o.s.v. + = D+f 1 (x 0 ) + D+f 2 (x 0 ) + + D+f(x 0 ) d.v.s. sf(x)-f(~o)]/(x-xo) er det 'te afsit i de uedelige række D f (x )+D f (x )+., hvis led alle er +l eller -1. Føl 0 ge af differeskvotieter har derfor ige græseværdi for ~oo.l

13 Mat 2, NI 1,4,1 4. Peaos kurve. (G.Peao ; kurve er fra 1890.) E kotiuert kurve (x,y), = (f( t),g( t)), O i. t s. l, som forløber i kvadratet {_(x,y)l x F (0,1], y E [O,f] = [0,1] x lo,1j og som ideholder ethvert pukt af dette kvadrat. Kvadratet deles i 9 kvadrater med side 1/3 og vi daer de kotiuerte kurve (x,y) = (f 1 (t),g 1 (t)), O~ t~ l, som består af de på fig. l viste diagoaler i de 9 kvadrater i de ved ummerordee bestemte rækkefølge, geemløbet med kostat hastighed. Til t = O og t = l svarer (x,y) = (0,0) og (x,y): = (1,1) l 2 8 og kækpuktere svarer til t= 9'9,...,9. ) (O, O) (l, O) (0,0) (1,0) fig, l fig. 2 Hvert af de 9 kvadrater med side 1/3 deles u i 9 kvadrater. med side 1/3 2, og vi daer de kotiuerte kurve (x,y) = (f 2 (t),g 2 (t)), O 1 t~ l, som beitår af de på fig. 2 viste diagoaler i de $1 kvadrater i de ved ummerordee bestemte rækkefølge, geemløbet med kostat hastighed. Til t= 0,~,~,.,~,1 svarer de samme pukter som på de forrige kurve, og kækpuktertl.1 t = l, 2 80 e svarer 81 81,, 81 Idet vi fortsætter således, fås i det 'te skridt e kurve (x,y) = (f(t),g(t)), O~ t ' l, sammesat af diagoaler i de 9 kvadrater med side l/3 hvori det give kvadrat er delt, geemløbet med kostat hastighed. Til t= O,l/9-l,2/9-l,..,l svarer de samme pukter som på de forrige kurve, og kækpuktere svarer til t= l/9,2/9,,(9-l)/9. Diagoalere i de 9 kvadrater i de 'te deli,rig, som udgør et af kvadratere i de -l'te delig, geemløbes i de rækkefølge som er vist på fig. 3 a,b,c,d, beroede på, bvilke modståede hjører, der skal forbi-

14 --~ Nat 2, r u 1,4,2 des. 3 L( q q Lf ~ l ' 2 5! 1!':, l ~ ~~--~- 2_ 5 l '6 ~----~ ~ i 7 ~ 1 - s q LJ [1 l --. l 7 (" 1! a b c 4 3 fig. 3 Til et iterval (k-1)/gp ~ t ~ k/9, hvor k er hel og l ~ k ~ 9, svarer på de!te kurve e diagoal i et af de 9 kvadrater med side l/3, og på ehver af de følgede kurver (x,y) = (fm(t),gm(t)), m>, e polygo, der forløber~ kvadrat. Heraf ses, at for m> er d dette jfm(t)-f(t)\ ~ l/3 og \gm(t)-g(t)\ ~ l/3 for alle t E [0,1]. ~il ethvert f.. > O ka vi l/3o ~ E Vi ser da, at fide et 0 = 0 (E), således at lfm(t)-f(t) l ~E og f o r all e t E [O, l] år blot m > 0 og > 0 Heraf følger, at fuktiosfølgere fl (t),f2(t)'. og g 1 (t),g 2 (t), er ligeligt kovergete i itervallet O ~ t ~ l. Vi beteger deres græsefuktioer med f(t) og g(t). Disse er da kotiuerte fuktioer og bestemmer altså e kotiuert kurve (x,y) = (f(t),g(t)), O 5 t~ l. Dette er Peaos kurve. Idet O~ f(t) ~ l, O~ g(t) ~ l for alle t E [0,11 og alle, har vi O ~ f( t.) ~ l, O ~g( t) ~ l for alle t f [0,1]. Peaos kurve forløber al t så hel t i kvadratet [o, 11 x [o, l). For t = k/9, hvor k er hel og O ~ k~ 9 gælder (f(t),g(t)) = (f+l(t),g+l(t)) = og altså (f(t),g(t)) = (f(t),g(t)). Til t= O og t= l svarer altså på Peaos kurve puktere (0,0) og (1,1) og Peaos kurve ideholder kækpuktere for ehver af kurvere (x,y) = (f(t),g(t)), emlig svarede til samme parameterværdier. Heraf følger, at Peaos kurve ideholder ethvert pukt (x 0,y ) 0 af kvadratet [0,1] >< [0,1]. Thi mægde af pukter på e kotiuert kurve med afsluttet parameteriterval er kompakt (altså afsluttet og begræset). Nu ka vi for e~ver omeg af (x o,y o ) fide et ummer, således at de- e omeg ideholder et af de g kvadrater med side l/3 fra de 'te delig. Edepuktere for de ee af dettes diagoaler er kækpukter for de 'te kurve (eller (O,O)eller (1,1)) og er altså pukter af Peaos kurve tilhørede de give omeg. Puktet (x,y ) må da også tilhøre Peaos kurve.l o o

15 Mat 2, MI 2,1,1 Kap. 2, Mål- og itegralbegrebet. l, Trappemægder og trappefuktioer. Vi vil betragte reelle fuktioer af e eller flere reelle variable, altså fuktioer defieret på R ' eller R 'k J:t'uktioer som ku er defieret på e delmægde af R eller Rk, vil blive behadlet, idet vi udvider dem til fudtioer defieret på R eller Rk med værdie O ude for de opridelige defiit,iosmægde. ~oreløbig betragtes ku edelige fuktioer, seere vil også fuktioer, der ka atage værdiere +roog -oo, blive tilladt. Vi beytter de gægse geometriske sprogbrug, idet vi taler om h=ft 1 som talliie, om ~ 2 som talplae, og almideligt om Rk som det k-dimesioale talrum, om dets elemeter x = (x,...,xk) som ~ukter, etc. Det uderstreges imidlertid, at 1 teorie ku bygger på de reelle tal. Itervaller og deres mål.... For k = l, hvor tale er om x-akse R, vil vi beytte alle fire itervaltyper afsluttet iterval J = (a, b] = {xla ~ x ~ b 3, a & b halvåbet iterval J = [a, b [ =!x la ~ x < b ' a < b J = Ja, b] = fx la< x ~ bl a < b åbet iterval J = Ja, b[ = ~xla < x < b ~' a < b Bemærk, at et afsluttet iterval ka bestå af et ekelt pukt. Tallee a og b kaldes itervallets edepukter (de ka altså for et afsluttet iterval falde samme). Tallet b- a kaldes itervallets lægde eller mål og beteges m(j): hi\j) = b -a. J:t'or k > l beteges som et iterval i Rk e mægde af forme J= Jlx... ~Jk = {x l xie Ji~ hvor hvert J. er et iterval på x.-akse. Svarede tlli~, at l l hvert J. ka være af de fire oveævte typer, ka J være af k l. 4 typer. Itervallet er afsluttet, hvis og ku hvis hvert J. er afsluttet, og åbet, hvis og ku hvis hvert J. er åbet. l l ~ægdere af itervallere Ji kaldes katlægdere af J og deres produkt kaldes itervallets mål og beteges m(j). J. har edepuktere a. og b. er altså l l l m\j) = (b 1 - a 1 ) \bk- ak) Hvis NB. Det havde været mere systematisk at betege målet af et iterval i Hk med mk(j). Vi kude da have skrevet mk(j) = ml(jl). m 1 (Jk). Da vi imidlertid i almidelighed ku betragter eet k, vil vi ikke komplicere betegelsere på dee måde.

16 Nat 2, MI 2,1,2 Bemærkig. Lad der for k = l være givet et edeligt atal itervaller J på R. ~ad x 0,x 1,..,x være samtlige edepuktet for itervallere J ordet således, at x 0 < x 1 < x 2 < < x. betragter de +l itervaller ~p,xp], Vi p= u,...,, og de itervaæler )xp-l'xp[' p= l,..,. Disse 2+l disjukte itervaller beteger vi som itervallere I. Da er hvert af de give itervaller J foreigsmægdeeaf visse af disse itervaller I, og for hvert J er målet m(j) summe af målee m\i) af de I, hvoraf J er sammesat. Lad der deræst for k > l være givet et edeligt atal itervaller J= fx lx. EJ.! i Rk. For ethvert i bestemmer vi på de l l lige omtalte måde et edeligt atal disjukte itervaller Ii på x.-akse, således at hvert J. er foreigsmægde af visse I., l l l og vi betragter deræst alle itervaller I= {x l xi6 Ii!' som fås ved at ma for hvert i beytter et af disse I.. (I tilfældet l k = 2 er itervallere I dels åbe itervaller, dels akseparallelle liiestykker ude edepukter, og dels pukter.) hvert af de give itervaller J åbebart foreigsmægde af Da er visse af disse itervaller I, og for hvert J er målet m(j) summe af målee m(i) af de I, hvoraf J er sammesat (ifølge sætige om, at et produkt, hvis faktorer er summer, er summe af alle produkter, hvis faktorer er ee added fra hver sum). Trappemægder og deres mål. E puktmægde F i Rk, som er foreigsmægde af et edeligt atal disjukte itervaller, vil vi kalde e trappemægde, og summe af itervalleres mål kaldes trappemægdes mål og beteges m(f). Bortset fra de tilfælde, hvor F består af et edeligt atal pukter, ka e trappemægde F på mage måder fremstilles som foreigsmægde af edelig mage disjukte itervaller. For at godtgøre, at der ved oveståede virkelig er defieret et mål m(f) for mægde F, må vi derfor vise, at hvis de samme mægde F på to forskellige måder er fremstillet som foreigsmægde af edelig mage disjukte itervaller, er summe af disses mål i begge tilfælde det samme tal. Dette fremgår af de foraståede bemærkig, idet vi lader itervallere J være samtlige itervaller, der forekommer i de to fremstill~ger; vil F også være foreigsmægde af visse af itervallere I, og dekubgeb af F i disse itervaller I er e videredelig af hver af de give deliger. Summe af målee af itervallere i hver da

17 Mat 2, MI 2,1,3 J af disse deliger er altså lig med summe af alle m(i) svarede til de I, hvoraf F består, og de to summer er altså ligestore.8 De tomme mægde Ø er foreigsmægde af ige itervaller; de er altså e trappemægde, og m(ø) = O. Hvis F og G er trappemægder, da er også F u G, F G, F ' G trappemægder. Er specielt F og G disjukte, gælder m(f v G) = m(f) + m(g). Vi betragter for hver af mægdere F og G e fremstillig af mægde som foreigsmægde af edelig mage disjukte itervaller. Idet vi lader alle de herved optrædede itervaller være itervallere J i de foraståede bemærkig, får vi et edeligt atal disjukte itervaller I, således at hver af mægdere F og G er foreigsmægde af visse af disse itervaller I. Heraf følger imidlertid, at også hver af mægdere F u G, 1!, G og F' G er foreigsmægde afvisse I. Altså er de trappemægder. De aførte relatio følger umiddelbart af målets defiitio.l Mægdelegemer og additive mægdefuktioer. E~ system ~~af delmægder af e give mægde E kaldes et mægdelegeme, såfremt det år AE 1- og B E d't gælder A v B E 'f, A B E 'f og A-... B E 'f For et vilkårligt edeligt atal mægder A 1,..,A tilhørede mægdelegemet i- gælder aturligvis, at A 1 u. VAE ;f og Al'' A E: f. Ethvert mægdelegeme ideholder de tomme mægde Ø. E fuktio ep= f( A) defieret på et mægdesystem 1- kaldes e mægdefuktio. Foreløbig betragtes ku edelige reelle mægdefuktioer. Seere vil også værdiere +co og -ro blive tilladt. ~ edelig mægdefuktio ~ defieret på et mægdelegeme ~f kaldes additiv, hvis f(a u B) = r:p(a) + p( B) for vilkårlige disjukte mægder AE ;f, B~ r. Da gælder <f( Ø) = O, og f(a' B) = f(a) - f(b), år A ~ B, og for vilkårlige mægder A E ')e,, B f: ;l gælder ep l A ) + f( B) = tf( A u B) + <f( A B). Edvidere gælder for vilkårlige disjukte mægder A e~, 1.. Hvis tp er ikke e Ae 'f, at f(a 1 u... VA) = f(a 1 ) + + f(a). gativ (d.v.s. cfla) ~ O for alle Ae f-) gælder tp(a) ~ (B), år A ~ B. I dette tilfælde gælder for vilkårlige (ikke ødvedegvis disjukte) mægder A 1 E:'/,...,Al::.f, at tf(a 1 u.. va) ~ p(a 1 ) +. + cf(a). Thi sættes B 1 = A 1, B 2 = A 2 ' A 1, B 3 = A 3 '\. ~Al u A 2 ),., B = A' (A 1 u.va), er 1\,..., E disjuk.te mægder tilhørede 'Y2,

18 i'la t 2, IVU 2,1,4 og A 1 u. UA = B 1 u.,. vb; Edvidere er B 1 ~ A 1,..,B ~ A. '.! Altså er f~a 1 u.. ua) = tp(b 1 ) <p(b) ~ f(a 1 ) + + f(a). På gr:uq.iag af de her id;førte begreber ka vi om trappemægder og deres mål udsige følgede: Systemet af trappemægder F i Ak er er mægdelegeme og målet m= m(f) er e additiv, ikke egativ mægdefuktio på dette 1egeme. Trappefuktioer og deres itegraler. E fuktio f = f~x) defieret på Rk kaldes e trappefuktio, hvis de er U ude for e trappemægde F, og.1! 1 ka deles i et edeligt atal disjukte trappemægder F 1,...,F' i hvilke f er kostat. Beteges værdiere af f i disse mægder med a 1,..,a' kaldes summe a 1 m(j!1 1 ) am(f) trappefuktioes itegral og beteges I(f): I(f) = a 1 m\f 1 ) am(f) Fuktioe O er e trappefuktio, og I(O) = O For e give trappefuktio f ka vi på mage måder vælge disjukte trappemægder, i hvilke fuktioe for hvis foreigsmægde fuktioe er O. der ved oveståede virkelig er defieret er kostat, og ude For at godtgøre, at et itegral I(f) for fuktioe f, må vi vise, at de omhadlede sum blier de samme i alle tilfælde. Hertil bemærkes, at vi ifølge bemærkige fora for to sådae valg ka fide et edeligt atal disjukte itervallerj-lad os beæve dem J 1,...,Jp- således at ehver af de optrædede trappemægder er foreigsmægde af visse af disse itervaller. Ihvert af disse itervaller er f kostat, og beteges værdiere i itervallere med b 1,...,bp er de til hvert af de give valg svarede sum lig med b 1 m(j 1 ) +.. +bpm(jp). For et vilkårligt edeligt atal trappefuktioer f 1,..,fm ka vi fide et edeligt atal disjukte itervaller, således at hver af trappefuktioere er kostat i hvert af itervallere og O ude for deres foreigsmægde. Heraf følger, at hvis h(z,..,zm) er e vilkårlig fuktio på Rm med h(o,...,o) 1 =O, da er også h(f 1,...,fm) e trappefuktio. Med heblik på det følgede fremhæves følgede umiddelbare kosekveser af defiitioere og af de foregåede bemærkig: Hvis f er e trappefuktio, da er af, hvor a er et vilkårligt reelt tal, også e trappefuktio. Hvis f og.g er trappefuktioer, da er også f+g, f v g, f l\ f},. For itegralet af trappefuktioer gælder trappefuktioer.

19 Mat 2, MI 2,1,5 I(af) = ai(f) I(f+g) = I(f) + I(g) I (f) l O hvis f ~ O. ) Lieære fuktiosrum. Fuktiosgitre. Lieære fuktioaler. E klasse K af reelle fuktioer defieret på e vilkårlig mægde E kaldes et lieært fuk~iosrum, f E K og a E: R medfører af E: K f e K og g E- K medfører f+g E K hvis Et lieært fuktiosrum er altså et uderrum i vektorrummet af alle reelle fuktioer defieret på mægde E. E klasse K af reelle fuktioer der er defieret på e mægde E kaldes et fuktiosgitter, hvis f E K og g K medfører f v g E K og f A g e K. Et lieært fuktiosrum K er et fuktiosgitter, hvis og ku hvis fek medfører lf!ek. Nødvevdighede ses af, at lfl = f v (7f) og tilstrækkelighede af at.f v g = -Hf+g) + il f-g l, f 1\ g = i(f+g) - i \f-g\. ~ fuktio p= p( f) defieret på e fuktiosklasse K beståede af fuktioer derieret på e mægde E kaldes e fuktioal. Foreløbig betragtes ku edelige reelle fuktioaler. vil også værdiere +oo og - oo blive tillad t. Seere E fuktioal ~ defieret på et lieære fuktiosrum K kaldes e lieær fuktioal (eller e liearform), hvis ~ ( af) = a4?( f) g?(f+g) =~(f) +~(g). Fuktioale ~ kaldes ikke egativ, såfremt g? ( f ) ~ O år f :6 O Da gælder g?(f) ~~(g) år f~ g. Lad ~ være e lieær fuktioal på et lieært fuktiosrum K, som tillige er et fuktiosgitter. p(fj +~(g) =~(f v g) + p(fa g), For f E K, g E K gælde:t da idet f+g = f v g + f 1\. g, så at der på begge sider står p(f+g). Forudsættes yderligere, at 1 er ikke egativ~ ~~(f)/ ~~(/f/), gælder thi -lfl ~ f ~ fil, altså-~( \f\) = 1'(-jfj) ~p( f)~ ~ ( lf/). På grudlag af disse defiitioer ka de ovefor fremhævede egeskaber ved trappefuktioer og deres itegraler udtrykkes på følgede måde: Klasse af trappefuktioer f på R 'k er et lieært fu~ktiosrum og også et fuktiosgitter, og itegralet I = I(f) er e ikke

20 Mat 2, MI 2,1,6 egativ, lieær fuktioal på dette fuktiosrum. Mål- og itegralteories problemstillig. Systemet af trappemægder i R 'k og de på dette defierede mægdefuktio m= m (F), og klasse af trapprfuktioer på Rk og de på dee defierede fuktioal I = I(f) udgør de elemetære basis for mål- og itegralteirie i Rk. Dette mægdesystem og dee fuktiosklasse er aturligvis utilstrækkelig for aalyses behov. Teories videre udviklig går ud på at udvide målbegrebet til mere omfattede mægdesystemer og fuktiosklasser. Begydelse til de modere udviklig blev givet ved Rieras itegralbegreb ( B. Riera , defiitioe er fra 1854), som fremkom ved e præciserig af de klassiske itegraldefiitio. Nøje sammehørede hermed er det målbegreb, som vi vil heteghe som Riera målet, selv om det først er idført seere (af Peao og Jorda). Efter e kort omtale af disse begreber skal vi betragte Lebesgues mål- og iyegralbegreb ( H. Lebesgue ~1; teorie er grudlagt 1902), som udmærker sig ved dels at omfatte lagt flere mægder og fuktioer og dels ved at der her gælder simple sætiger ikke blot vedrørede elemetære operatioer med mægder og fuktioer me også vedrørede græseovergag.

21 Flat 2, MI 2,2,1 2, Riera itegralet. Øvre og edre Riera itegral. Riera itegrable fuktioer. For e vilkårlig fuktio f = f(x) på Rk beteger vi som fuktioes støtte afslutige af puktmægde ~\f(x) t oj. At sige, at fuktioe har begræset støtte, er esbetydede med at sige, at fuktioe er O ude for et vist iter~al. l Rieras itegralteori betragtes udelukkede begræsede fuktioer med begræset støtte; eller, hvad der kommer ud på det samme, fuktioer f, for hvilke der fides trappefuktioer ill og f, således at f i f ~ f. Klasse af disse fuktioer er ~bebart et lieært fuktiosrum og også et fuktiosgitter. For e såda fuktio f gælder for vilkårlige trappefuktioer f og f, for hvilke f ~ f ~ f, ulighede I (f) i I (f). r'iægde af alle I(.f) er derfor edad begræset. Des edre græse kaldes det øvre Riera itegral af f og beteges R(f). Tilsvarede er mægde af alle I(!) opad begræset. Des øvre græse kaldes det edre Riera itegral af f og beteges R(f). Altså R(f) = ifi(1), R(f) = sup I(f) Vi har -oo < R(f) ~ R(f) < +CO Er f specielt e trappefuktio, gælder åbebart R(f) = I(f), R(f) = I(f). Vi opår altså e udvidelse af itegralbegrebet for trappefuktioer geem følgede defiitio: Når R (f) = R(f), kaldes fuktioe f Riera itegrabel og de fælles værdi kaldes fuktioes itegral og beteges I(f): I(f) = R(f) = R(f). E ødvedig og tilstrækkelig betig~lse for, at e fuktio f er Riera itegrabel, er, at der for etpvert E >O fides trappefuktioer! og f, for hvilke!~ f a f ~g I(f-f) < e. Hvis f er O ude for trappemægde D, ka vi aturligvis ved bestemmelse af R(f) og E(f) øjes med at tage trappefuktioer f... og f i betragtig, for hvilke f ~ f ~ f, og som er O ude for 1! 1 Ehver kotiuert fuktio f med begræser støtte er Riera Itegrabel. Bevis: Lad J være et afsluttet iterval, som ideholder mæg Ifølge sætige om ligeligkotiuitet fides de {xjf(x) * OJ. til ethvert E.> O et S=<S(c) >O, således at jf(x)- f(y)j <E for vilkårlige pukter x = (x 1,..,xk) E J og y = (y 1,.,yk) f Vi deler J i disjukte itervaller J,... 1,J' således at alle katlægder i disse er< J, for hvilke [x 1 -y 1 1 < 6,..., lxk-yk l< 8. J

22 Mat 2, MI 2,2,2 og vælger pukter x 1 e J 1,..,xe Jj. Vi betragter u de to trappefuktioer f og f, der defieres ved f(x) } = { O for x E J f(x) f(x.) ±E for xej., i= l,..., - l l hvor plusteget refererer til 1 og miusteget til f. Da er f~ f~ f ogf(x)- f(xj = 2&for xt::j og =O for XfJ. Altså er I(f- f) = 2&m(J), hvormed sætige er bevist.l Dirichle~s fuktio: For k = l betragter vi Dirichlets fuktio f hørede til itervallet [-1,1], d.v.s. de ved O for (xl > l f(x) = Ofor\xl~l,xE~'-Q { l for \x l ~ l, x E Q defierede fuktio..l! 1 u1ctioe er begræset Jog har begræset støtte. De er diskotiuert i ethvert pu:t).kt x c l-1,1], me kotiuert i ethvert pukt x~ [-l, l]. Ud fra defiit ioere fider ma let R(f) = 2, R(f) = O; fuktioe er alt~å ikke Riera itegrabel. E diskotiuert Riera itegrabel fuktio. For k = l betragtes fuktioe f defieret ved l år \xl ~ l og x er e~ uforkortelig q brøk med æver q > O f(x) = O for alle adre x Fuktioe er begræset og har begræset støtte. De er diske- ) tiuert i ethvert ratioalt pukt i l-1,1], me kotiuert i alle adre pukter. f er de ved q o For ethvert hel t tal q 2 l er O ~ f ~ o q' hvor o 1 år \x\~ l og x er e uforkortelig brøk q med æver q ~ q 1 0 for alle adre x ~ [-l, l] q o O for lxl > l defierede trappefuktio. Nu er I(f ) = g. Vi fider altså - 2 qo qo - O S R(f) ~ R\f) ~-,hvilket viser at rt(f) :r R(f) =O. Fuk q - tioe f er således 0 Riema itegrabel med itegralet I(f) = O. Sætiger om Rieme itegralet. Vi betragter udelukkede begræsede fuktioer med begræser støtte. Hvis f~ g, er R(f) ~ R(g) og R(f) ~ R(g). Heraf følger: hvis f og g er Riera itegrable og f~ g, er I(f) ~ I(g). Specielt~

23 Nat 2, MI 2,2,3 Hvis f er Riera itegrabel og f ~ O, er I(f) ~ O. Hvis f er givet, og f og f er trappefuktioer, således at f ~ f ~ f, gælder -f~ -f ~-f, og omvedt. Heraf ses, at R(-f) = -R(f), R(-f) = -R(f). For a > O følger af f ~ f ~ f, at aif ~ af ~ af; og omvedt. Heraf ses, at R(t.af) = ar ( f), R(af) = ar(f) Af disse resultater aflæses: Når f er Riera itegrabel, er af Riera itegrabel for ethvert reelt tal a, og I(af) = ai(f). Lad deræst f og g være give og lad f,f,g,g være trappefuktioer, således at f ~ f ~ f og g~ g ~ g. Da gælder f+g ~ f+g ~ f+g fvg ~ fvg ~ 1vg fl\g ~ fl\g ~ fl\g Heraf følger I(.f)+I(g) = I(f+g) ~ R(f+g) ~ R(f+g) ~ I(f+g) = I(f)+I(g) og I(f)+I(g) = I(f v g)+i(f 1\g) ~ H.( f v g)+r(f f\ g) f R ( f v g) +R ( f 1\ g) ~ I ( f v g)+ I ( f 1\ g) = I {f) +I ( g) Følgelig er R(f)+R(g) ~ R(f+g) ~ R(>f+g) ~ R(f)+R(g) R(f)+g(g) ~ R(fvg)+g(f/\g) ~ R(fvg)+R(fA.g) ~ R(f)+R(gJ Heraf aflæses: Når f og g er Riera itegrable, da er også f+g, f v g, f 1\ g Riera itegrable, og I(f+g) = I(f)+I(g) = I(fv g)+i(f/\g). Om Riera itegralet er hermed vist: Klasse af Riera itegrable fuktioer f på Rk er et lieært fuktiosrum og også et fuktiosgitter, og itegralet I = I({) er e ikke egat~v lieær fuktioal på dette fuktiosrum. E kosekves heraf er~ Med f er også \fl Riera itegrabel, og II(f)l ~I( rfij. Ligelig koverges. Hvis e følge af Riera itegrable fuktioer f 1 ~ 2, alle er O ude for e trappemægde F, og hvis følge er ligelig.,f~ koverget, da er græsefuktioe f = lim f Riera itegrabel, og talfølge I(f 1 ),I(f 2 ),. er koverget med græseværdie t(f). Bevis: Græsefuktioe f er åbebart O ude for F. For ethvert c. >O fides et N = N(.), således at jf(x)-f(xji < E. for ~ N og alle x. Følgelig er f-r1f ~ f ~ f+elf for ~ N. Altså er f begræset og I(f)- m(f) ~ R(f) ~ R(f) 5.. I(f)+tm(F) for ~ N.

24 IVlat 2, Ivii 2, 2, 4 Heraf ses, at R(f)-R(f) ~ 2Em(F) for ethvert e > O. Altså er R(f) = R(f), d.v.s. f er Riera itegrabel. Ulighedere atager u forme I(f)-t:m(F) ~- I(f) ~ I(f)+E-m(F) for ~ N. Altså kovergerer følge I(f 1 ), I(f2),... mod I(f), hvilket skulle vises.l Magler ved Riera itegralet kytter sig (bl.a.) til koverges, der ikke er ligelig. Det er let at agive eksempler på kovergete følger f 1, f 2, af Riera itegrable fuktioer, hvis græsefuktio f ikke er Riera ihtegrabel., siipelthe fordi de ikke er-begræset eller ikke har begræset støtte. Dette er aturligvrl.s ikke at betragte som e magel ved Riera itegtalet. rvle selv om alle fuktioere f er O ude for e trappemægde F og fuktioere er esartet begræsede, d.v.s. der fi- \ J des et tal M, så at \f(x)f ~ M for alle og alle x, behøver græsefuktioe f (der i dette tilfælde åbebart er begræset med begræset støtte) ikke at være R~ema itegrabel. Lad f.eks. f være Dirichlets fuktio~ hørede til itervallet [-1,1].. : Ladtx~,,,x,';'.f 2 være samtlige ratioale tal i [-1,1] ordet som e følge, og lad fllvære de fuktio der er l i pukteru e x 1,..,x og O for alle adre x. Da er f e trappefuktio, al t så Riera itegrabel; alle f er O ude for [-l, l}, og \f(x)\ ~l for alle og alle x. Og følge f 1,f 2,.. kovergerer (edda mootot) mod f, der ikke er Riera itegrabel. ) Approksimatio med kotiuerte fuktioer med begræset støtte. Jor ehver trappefuktio f og ethvert e. > O fides e kotiuert fuktio g 2. f med begræset støtte for hvilke I( g') < I (f)+ E, og e kotiuert fuktio g ~ f med begræset støtte, for hvilke I(g) > I(f)-c:. - Bevis: Vi atager først, at f= lj' hvor J er et iterval J = tx\x.~j.j. l l Lad J'. 1 have edepuktere a. og b.. For hvert i vælger vi l l tal a! < a. og b! > b. og betrg.gter på x. -akse de fuktio h., l l l l l 1 der er = l i (a., b. J, == O for x. < a! og x, > b! og er lieær l l l l l l i [ai,ai] og [bi,bj_]. Defieres u~ ved glx) = li 1 (x 1 )... hk(.xk)' er g kotiuert med begræset- støtte, og f = lj ~ g,& l J,, hvor J' er itervallet ~x/x. E [a!,b!]j. For passede valg af tallee. ' l l l a!, b! opås derfor I (g) < I (f)+ L. l l Hvis a. = b. for midst et i, vælger vi ~ = O. Ellers vælger l l.0. vi for hvert i tal a~ og b~, således at a. < a~ <b~ <b. og bel l l l l l

25 IVlat 2, MI 2,2,5 tragter på x.-akse de fuktio h., der er =l i [a~,b~], =O l -l l l for x. < a. og x. 2 b. og er lieær i (a.,a'.'] og [b'.', b.]. Del::: l l- l l l l l fieres u g ved g(x) = h 1 (x 1 ).. hk(xk)' er g kotiuert med begræset støtte, og l J" ~ g ~ f = l J' hvor J" er itervallet {xlx. E. [a'l,b'.']j. l!,or passede valg af tallee a'.',b'.' opås derl l l.. l l for I(g) > I(f)-f. ' Da e vilkårlig trappefuktio ka skrives som e edelig liearkombiatio af fuktioer af de her betragtede art, følger sætige u umiddelbart.l Af dee sætig fælger u: For e vilkårlig begræset fuktio f med begræset støtte gælder R( f) = if I("g), R(f) = sup I(a), hvor edre og øvre græse tages over alle kotiuerte fuktioer g og g med begræset støtte, for hvilke g ~ f ~ g. E fuktio f er derfor Riera itegrabel, hvis og ku hvis der for ethvert E > O fides kotiuerte fuktioer g og g med begræset støtte, for hvilke g ~ f ~ g og 1 (g-,z) < Riera itegrabilitet i e puktmægde. Vi har hidtil betraftet 'k ~uktioer defieret på hele R. ~ fuktio f, der ikke ødvedigvis er defieret på hele Rk, kaldes Riera itegrabel i (eller over) e puktmægde A tilhørede fuktioes defiitiosmægde, såfremt de i hele Rk defierede fuktio fa' der bestemmes ved _ {f(x) for x E A 1:-.(x)- O for x~ A er Hiera itegrabel. I så fald kaldes I ( f 1 ) itegralet af f over A og beteges også (f.eks.) SAf\x)m(dRk) eller 5Af(x)dx eller 5Af(x 1,..,xk)d(x 1,.,xk).

26 Nat 2, IVII 2, 3, l 3, Riera målet. Ydre og idre Riera mål. Riera målelige puktmægder. ~k Vi betragter begræsede puktmægder i R. De udgør åbebart et mægdelegeme. Lad A være e begræset puktmægde. Da fides trappemægder F og F, således at F ~A~ F (f.eks. 0 og J, hvor J er et iterval, der ideholder A). For vilkårlige sådae mægder gælder m(e) ~ m\f). Nedre græse for mægde af alle m(fj kaldes det ydre Riera mål af A og beteges ry(a). Øvre græse for mægde af alle m(f) kaldes det idre Riera mål af A og beteges ri(a). r y (A) = if m(f), r. (A) = sup m(f). l Vi har O S. r. (A) ~ r (A) < +oo. - l - y Er A specielt e trappemægde, gælder åbebart r (A) = m(a), y r.(a) = m(a). Vi opår altså e udvidelse af målbegrebet for l trappemægder geem følgede defiitio: Når r. (A)= r (A), kaldes mægde A Riera målelig, og de l y fælles værdi kaldes mægdes mål og beteges m(a): m(a) = ri ta) = ry(a). E ødvedig og tilstrækkelig betigelse for, at e mægde A er Riera målelig, er, at der for ethvert E- > O fides trappemægder E og F, for hvilke Æ ~ A ~ F og m( F'- F_) < C.,. Forbidelse med Riera itegralet. For ehver begræset puktmægde A gælder r. (A) = R (la), r (A) = R (la. ). l - y Mægde A er altså Riera målelig, hvis og ku hvis fuktioe la er Riera itegrabel, og iså fald er m(a) = I( la). Bevis: Vi beviser først, at r (A) = R(lA). l) For ehver - y trappemægde ~~A er lf e trappefuktio, og lj~ la. Altså er m(f) = I(lF) ~ R(lA)' hvoraf r (A) 6 R(lA). 2) For ehver trappefuktio f ~ laer j = {x/1(~) ~ l} e trappemægde~ og F ~A. Edvidere er f ~ lf. Altså er I(f) :f: I(lp)= m(f) ~ ry(a). Følgelig er R( la):? ry(a). Ve beviser deræst, at r.(a) = R(l,). l) For ehver trappel - li mægde.l!, ;: A er l.l!, e trappefuktio, og lf ~ la. Altså er m(æ) = I( lp)~,g(ia), hvoraf ri (A)~ B( la)- 2) For ehver trappefuktio f ~ la er Æ= {x{f(x) > 01 e trappemægde, og Æ~ A. Edvidere er f~ lf. Altså er I(f) ~ I(lF) = m(e) ~ ri(a). Følgelig er R( L ) ~ r. (A),-hvilket skulle bevise s -:-1 -.A l I kraft af dee sætri~g heføres teorie for Riera ~ålet

27 :rvrat 2, MI 2,3,2 til teorie for Hiera itegralet. ~lemetære s~tiger om Riera målet. For vilkårlige mægder A og B gælder l A u B = l A v 1 B' la B = l A 1\ 1 B l A"- B = (l A - 1 B) V O" Er A og B disjukte, gælder 1 Au B = 1 A + 1 B" Af egeskabere ved Riera itegralet følger derfor straks: Systemet af Riera målelige puktmægder A i ~k el et mægdelegeme, og Riera målet m = m(a) er e additiv, ikke egativ mægdefuktio på dette legeme. Fpr k::;: J3 ka spm eksempel på e begræset, ikke Riera målelig puktmægde æves mægde af ratioale tal i itervallet l-1,1]. Vi vil ikke på dette sted gå videre i teorie for Riera itegralet og Hiera målet, idet dee, som vi seere skal se, på sikpel måde idordes uder teorie for Lebesgue itegralet og 1ebesgue målet, sbm vi u går over til.

28 Nat 2, lvu 2, 4, l 4. Rudametale hjælpesætiger. Hvis e dalede følge J\? F 2 2 af trappemægder i Rk har fællesmægde F = 0, gælder lim m(f ) = O. ~~~~~~~~~~~ - ~--~ Bevis: Idet m(f 1 ) ~ m(f 2 ) ~.. ~O, er det klart, at lim m(f) eksisterer og er ~ O. Vi fører beviset idirekte, og atager altså, at vi har e dalede følge F ;:; 1 F 2 ~... af trappemægder, for hvilke lim m(f) = k >O, og skal u vise, at F ~ 0 (d.v.s. at mægdere har midst et fælles pukt). Nu er m(f) 6 k for ethvert. Vi betragter for ethvert e fremstillig af F som foreigsmægde af adelig mage disjukte itervaller og erstatter (hvad der åbebart er muligt) hvert af disse med et i itervallet ideholdt afsluttet iterval valgt således, at år G beteger foreigsmægde af disse afsluttede itervaller, er m(f ~G ) ~ - k 2-. De herved frem- kome følge af trappemægder G 1,G 2,.. er_i~ke ødvedigvis dalede..b 1 or atter at komme til e dalede følge daer vi trappemægdere H 1 = G 1, H 2 = G 1 (l G 2,, H = G{'. fig, Da er R 1? H 2 ~, og for ethvert gælder H ~ F 'H ~ - (F 1,G 1 )u.. u(f "G) hvoraf følger, at m(f ""-H ) < m(f G 1 )+... +m(f ~G ).! k k ==- - Da m( F ) 2 k, ses heraf at H :::f 0, me så er også - på grmid afl, at H. ~ \.G ~ OF. Hermed er de - søtig bevist.l G c J!, og = første hjælpe- Hvis e dalede følge f 1 ~ 2 ~... af trappefuktioer på -./ Rk har græsefuktioe O, gælder lim I(f ) = O. Bevis: Vi har åbebart f ~ O for alle. Da I(f 1 ) ~ I(f 2 ) ~ 2 o, eksisterer lim I(f) og er ~O Lad F være e trapperægde, ude for hvilke f er O, og lad 1 N = max [f (x) 1 l x f Rk~. Vi vælger et tal E.> O og betragter mægdere F = ~xlf 11 ~x)~ t j. Disse er åbebart trapperægder, og vi har F ~ F 1 ~ :1!, 2 ~ og 0F = 0. Ifølge de foregåede søtig gælder altså lim m(f) = O. Nu er for ethvert Pølgelig er O~ f ~ E:-lF'F +M ll!, O~ I(f) S. c_m(f'f)+jvir(f) = fm(p)+(m-e)r(j!,), og altså O ~lim I(f) i E m~ F). Da E var et vilkårligt tal /O, ses heraf at lim I (f ) = O, hvilket skulle bevises.l

29 Mat 2, JVII 2,5,1 5. Lebesgue itegralet. Medes vi ved behadlige af Riera itegralet i ~k på forhåd måtte idskræke os til betragtig af begræsede fuktioer med begræset støtte, idet det øvre og edre Riera itegral ku kue defieres for disse fuktioer, vil vi ved behadlige af Lebesgue itegralet i Rk tage vilkårlige reelle fuktioer f på ~k i betragtig, og vi vil edda tillade fuktioere at atage værdiere +oo og -oo. De fuktioer f vi betragter, er altså afbildiger af ~k id i ~~. ~ fuktio, som ikke atager værdiere +oo eller -oo kaldes edelig..j:i'ordele ved at operere med R* er, at e vilkårlig delmægde af R~ har e øvre græse eller supremum og e edre græse eller ifimum, medes disse begreber for delmægder af R ku er defieret for heholdsvis opad begræsede og edad begræsede mægder. Det uderstreges, at begrebet trappefuktio ikke ædres (for trappefuktioer tillades vedblivede ku edelige værdier). Defiitioer. Lad f = f(x) være e vilkårlig reel fuktio på Rk med edelige eller uedelige værdier. For e følge 1 1,f 2,.. af trappefuktioer vil vi skrive f 1 ~f eller f~ 1t' såfremt følge er stigede, d.v.s. f 1 ~ f 2 ~..., og lim f ~ f. Sådae følger fides; f.eks. ka vi sætte f = lw (Vi beytter de faste betegelse W for itervallet {x J'lxil & J). Idet I(f ) 1 ~ I(1 2 ) ~.., eksisterer græseværdie lim I(f); evt. er de +ro. Nedre græse for for mægde af disse græseværdier lim I(f) for alle følger af trappefuktioer 1 t ~ f kaldes det øvre Lebesgue itegral af f og beteges l(f); altså: l(f) = if lim I(f ). I( f) ka evetuel t være +oo eller -oo. For e følge f 1,f 2,... af trappefuktioer vil vi skrive f~ ~f eller f~ f~' såfremt følge er dalede, d,.v.s. f 1 6 f 2 :b, og lim f ~ f. Sådae følger fides; f. Eiks. ka vi sætte f = - lw. Idet I (f ) 2 1 I (f 2 ) 2, eksisterer græseværdie lim I(f )~ evt. er de -~. - 0vre græse for mægdeaf disse græseværdier lim I(f - ) for alle følger af trappefuktioer f l ~f kaldes det edre Lebesgue itegral af f og -'+' beteges I(f) alts~: I(f) = sup lim I(f) l(f) ka evt. være ~eller -ru.

30 Jvlat 2, MI 2,5,2 Vi vil bevise, at ma for ehver fuktio f har I(f) ~ I(f). Det gælder om at vise, at vi for to vilkårlige følger af trappefuktioer f t~ f og -v f '~f - har lim I(f) - ~lim I(f ). Her- til betragtes følge af trappefuktioer g =(f -f) v o. Idet - g 6 g 1 2 ~... og lim g =O, fås af hjælpesætige ovefor, at lim I(g ) =O. Da vi u for alle har f -f 5 g' d. v. s. f ~ - - -f +g og dermed I(f ) ~ I(f )+I(g ), har vi som øsket lim I( f ) ~ lim I(f ) For ehver fuktio f gælder altså: -oo ~ I(f) ~ l(f) ~ +oo Hvis f er e begræset fuktio med begræset støtte, gælder R( f)~ I(f) ~ I(f) ~ R(f). Thi for vilkårlige trappefuktioer f og f, for hvilke f~ f~ f ka vi beytte følge f,f,f,... som følge f og.f,.f,... som følge.!, hvoraf ses, at I (f) ka forekomme som lim. I (f ) og I(f) som lim I(f ). - - Heraf ses, at hvis f er Hiera itegrabel, er I(f) = I(f) ='I(f) Vi opår altså e udvidelse af ~iemas følgede defiitio: Når -{X)< l,(f) = l( f) < +(lo, itegralbegreb geem kaldes fuktioe f Lebesgue itegr.abel, og de fælles værdi af Itf) Qg I(f) kaldes fuktioes itegral og beteges I(f)~ Vi vil s~ere tilskrive visse (me ikke alle) fuktioer f, for hvilke I(f; = I(f),; +ro, itegralet +oo, og aalmgt for -oo. Sådae fuktioer vil dog ikke blive kaldt itegrable i egetlig forstad (vi vil sige, at de er itegrable i udvidet forstad). Ehver fuktio f, som har værdie O ude for e edelig eller umerabel puktmægde A, er Lebesgue itegrabel med itegralet I(f) = 0.:.. Bevis: Vi atager først at A er edelig. Hvis f ku atager edelige værdier, er f e trappefuktio, og af defiitioe af itegralet for e såda ses, at I(f) = o~ Hvis f ikke ku atager edelige værdier, sætter vi f = la og f = - la. er f og f trappefuktioer og f t ~ f og f ' ~ f. Følgelig - -'V - er Y(f) ~ lim I(f) = O og I(f; ~lim I(f) = O. Heraf følger påstade. Vi atager deræst at A er urererbar. Lad A bestå af puktere x 1,x 2,... og lad A pukter x 1,...,x. og f - Sættes trappefuktioer, og Da være trappemægde beståede af de u f = la og.! = - la, er f ]J. f'l' ~f og.!~~ f. Ji,ølgel1g er

31 Mat 2, 1962~63 MI 2,5,3 I(f) ~ lim I(f) = O og l(f) ~ lim I(f) = O, hvoraf påstade følger.l For eksempel ses, at Dirichlets fuktio hørede til itervallet ~l,~ (se side 2,2,2) er Lebesgue itegrabel med itegralet O. Der fides altså begræsede fuktioer med begræset støtte, som er Lebesgue itegrable me ikke Riera itegrable. Defiitio af de elemetære regeoperatioer i R*. Vi defierer a+b som +m, hvis e af addedere er +ro og de ade edelig, eller hvis begge addeder er +oo, og som -oo, hvis e af addedere er -w og de ade edelig, eller hvis begge addeder er -~. Edelig defieres +oo+(-oo) og -~(+~) som o. Vi defierer a b som +ø, hvis e eller beggefaktorer er uede~ lig og ete begge faktorer er > O eller begge faktorer er < O. Vi defierer a b som -oo, hvis e eller begge faktorer er uedelig og e af dem er < O og e af dem er > O. Edelig defieres (+oo) O, O (+~), (-tx~) O og O (-oo)som o. a-b defieres som a+(-b), idet vi sætter -\+~) = -t:tjog -(-oo) - +oo a/b defieres som a i, idet vi sætter 1/+0tJ = O, 1/-oo = O. E sum a a defieres ved sukcessiv udførelse af additioere (idet ma føtst daer a 1 +a 2, så (a 1 +a 2 )+a 3, o.s.v.). E uedelig række a 1 +a tilskrives summe lim \a a)' såfremt dette udtryk har meig. Elemetære sætiger om Lebesgue itegralet. Vi betragter vilkårlige reelle fuktioer på Rk med edelige eller uedelige værdier. Hvis f er e såda fuktio og f~ ~ f ~ f 1', gælder -f.j. ~ -f ~ -f't, og omvedt. Heraf ses, at I(-fJ = -l(f) og J(~f) = -Ilf). For et edeligt a > O følger af f '.S f ~ f ""', at af J -.s af < af t og omvedt. Heraf ses, at -'* - - l - 'V - I(af) = ai(fj og I(af) = ai(f) Af disse resultater aflæses: Når f er Lebesgue itegrabel gælder det samme om af for ethvert a ~ R, ~ I ( af) = a I ( f)..!.. Hvis f ~ g, er I(f) ~ I(g) og I( f)~ I( g)_ Heraf: Hvis f og g er Lebesgue itegrable og f:& g, er I( f)~ I(g). Specielt: Hvis f er Lebesgue itegrabel og>f :z O, er I(f) Æ O. Lad f og g være give fuktioer med edelige øvre og edre

32 Hat 2, MI 2,5,4 ) Lebesgue itegraler. I så fald fides følger af trappefuktioer ft ~ f, f~ ~ f, gt ~ g, gt ~ g, for hvilke græseværdie:rme af I(f), I(f), I(g), I(g) er edelige, og det er ved bestemmelse af l(f), l(f), l(g),l(g) tilstrækkeligt at tage sådae følger i betragtig. For vilkårlige følger af de aførte art gælder u (f+g)~ ~ f+g ~ (f+g)t ( f v g) ~ ~ f v g ~ ( f Y g )t, ( f J\ g) ~ ~ f A g ~ ( f 1\ g )'J" Heraf fål følgede relatioer, i hvilke som følge af de gjorte atagelser alle optrædede tal er edelige: lim I(f)+lim I(g) = lim I(f+g) ~ I(f+g) ~ I(f+g) ~ lim I(f+g) = lim I(f)+lim I(g) og lim I(f ) +lim I(.o-) = lim I(f vg )+lim I(f Af!;. ) -.c - - ~ l(fvg)+l(fl\g) ~ I(fvgJ+l(fAg) Følgelig er ~ lim I(f v g)+lim I(f 1\ g) = lim I(f)+lim I(g) l(f)+l(g) ~ l(f+g) ~ I(f+g) ~ I(f)+l(g), samt l(f)+i(g) ~ l(fv g)+l(f l\ g),? I(fvg)+l(f A g) ~ I(f)+l(g). Heraf aflæses:,~ Når f og g er Lebesgue itegrable, gælder det samme om f+g, f v g og f 1\ g, og I(f+g) = I(f)+I(g) =r I(f V g)+i(f 1\ g). edelige Lebesgue itegrable fuktioer er hermed specielt vist: Klasse af edelige Lebesgue itegrable fuktioer f på Rk er et lieært fuktiosrum og et fuktiosgitter, og itegralet I = I(f) er e ikke egativ lieær fuktioal på dette vektorrum. Klasse af samtlige Lebesgue itegrable fuktioer (med edelige eller uedelige værdier) er itet lieært fuktiosrum. Dette ses f.eks. ved betraftig af fuktioere f= g= (+oo) la' h= (-oo) la' hvor Aer e mægde beståede af eet pukt. Disse er Lebesgue itegrable, me (ftg)+h og f+(g+h) er ikke samme fuktio. Klasse er et fuktiosgitter. Vi ka for dee klasse ikke sammefatte de udledte egeskaber ved fuktioale I =I(f) ved brug af glosere "lieær og ikke egativ", idet vi ku vil tale om lieære fuktiaaler i forbidelse med lieære fuktiosrum. For klasse af samtlige Lebesgue itegrable fuktioer (med edelige eller uedelige værdier) m~ vi derfor heholde os til de øjagtige formuleriger af resultatere ovefor