1.1 Motivation Formål og omfang Rapportens opbygning Det grundlæggende Capacitated Vehicle Routing Problem...

Transkript

1 CENTER FOR STATISTIK HEURISTIK TIL LØSNING AF VEHICLE ROUTING PROBLEMS KANDIDATAFHANDLING ERHVERVSØKONOMI & MATEMATIK 3. JUNI 2011 SKREVET AF: VEJLEDER: STED: ANTAL NORMALSIDER: KENNETH KNUDSEN & MAMONA TAHIR HANS KEIDING COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL 108 (EKSKL. FORMLER, BILAG OG ILLUSTRATIONER) Kenneth Knudsen Mamona Tahr

2 Executve summary The Vehcle Routng Problem (VRP) s one of the most mportant and challengng problems n the feld of Operatons Research. It was frst presented by Dantzg and Ramser n 1959, as a problem of desgnng a least-cost set of routes for vehcles n such a way, that all customers are vsted once, and vehcle capactes are adhered to. The mportance of VRP s due to the fact that t yelds sgnfcant economc benefts, whch s why researchers have gven more and more attenton to the varous extensons of the VRP that arse from real lfe applcatons. Typcally such extensons consder addtonal and more complcated constrants, such as tme wndows. In ths thess, we have chosen to focus on approxmate soluton technques, whch not only provde hgh qualty solutons, but wthn an acceptable computatonal tme. Such methods are especally necessary n large VRP nstances wth hundreds or even thousands of both customers and constrants. Classcal heurstcs s a category, consstng of methods, whch relatvely qucly converges to a soluton. It suffers, however, from the fact that the search often results n local mnma, whch s why the feld of metaheurstcs currently domnates the heurstcs arena, snce t consders nferor solutons as access ponts to more promsng regons of the soluton space. At the tme of ths wrtng, the proposed metaheurstcs for most of the VRP extensons s rather lmted n the lterature. However, we have nevertheless presented some of the currently best metaheurstcs for several of such extensons. At the end of ths paper, we have appled metaheurstcs for an atypcal real lfe nstance of vehcle routng, whch s based on the dstrct heatng networ n Copenhagen. A soluton s presented, and even though several of the specal characterstcs of the problem have been smplfed and reduced, there s a large smlarty between ths soluton and the exstng networ. 2

3 Indhold KAPITEL 1 INTRODUKTION Motvaton Formål og omfang Rapportens opbygnng... 9 KAPITEL 2 THE VEHICLE ROUTING PROBLEM Det grundlæggende Capactated Vehcle Routng Problem Matemats formulerng af CVRP Omsrvnng af Capacty-cut-constrants Udvdelser tl problemet The Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows The Vehcle Routng Problem wth Pcup and Delvery and Tme Wndows The Vehcle Routng Problem wth Bachauls and Tme Wndows The Open Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows Øvrge Udvdelser KAPITEL 3 EKSAKTE ALGORITMER Branch-and-Bound algortmer Transportproblem Assgnmentproblem Lagrange relaserng Branch-and-Cut algortmer Kolonnegenererng Branch-and-Prce algortmer KAPITEL 4 BEREGNINGSKOMPLEKSITET Beregnngstd Klassfcerng af problemer

4 KAPITEL 5 KLASSISK HEURISTIK Klasss heurst og metaheurst Klasss heurst Heurster for CVRP Clare og Wrghts savngs -algortme Gllett og Mllers sweep -algortme λ-opt forbedrngsalgortme Heurster for VRPTW Solomon (1987) Bräysy (2002) KAPITEL 6 METAHEURISTIK Smuleret udglødnng Tabu Search Large Neghborhood Search Genetse algortmer Ant Colony Optmzaton Neurale Netvær Metaheurst for VRPTW Multple ant colony system Actve guded evoluton strateges Metaheurst for VRPPDTW En adaptve large neghborhood search for VRPPDTW Fjernelse af ordrer Genndsættelse af ordrer Valg af fjernelses- og ndsættelsesheurst Adaptve weght adjustment Afsluttende ommentar

5 6.9 Metaheurst for VRPBTW AS-algortme tl VRPBTW Afsluttende ommentar Metaheurst for OVRPTW Intalløsnng Nabo-områdets strutur Løsnngsevaluerng Tabulste Stoprterer TS-algortme Hårde tdsvnduer Afsluttende ommentar KAPITEL 7 ET FJERNVARMENETVÆRK Københavns fjernvarmenetvær store træ Fousområde for casestude Transmssonsnetværets strutur Efterspørgslens betydnng for problemet Klassfcerng af problemtype Præsentaton af løsnngsmetode Resultater Dsusson Konluson KAPITEL 8 KONKLUSION 122 REFERENCER 123 BILAG BILAG

6 Kaptel 1 Introduton 1.1 Motvaton The Vehcle Routng Problem (VRP) er selv dag et af de mest udbredte og studerede emner. Det er en udvdelse tl det allerede fra 1930'erne endte ombnatorse optmerngsproblem, "Travellng Salesman Problem" (TSP). I et TSP er der en mængde af loalteter (byer) og et antal veje der forbnder dem, hvor der tl hver vej er tlnyttet en afstand. Problemet går ud på at bestemme den orteste rute gennem alle byer under betngelse af, at den rejsende sælger starter og slutter turen samme by og at de andre byer besøges nøjagtg én gang. Fgur 1 er et esempel på et TSP. Fgur 1: Dette er et esempel på et TSP, hvor hver by sal besøges netop én gang. Franten betegner udgangspuntet, crlerne betegner byerne, mens plene angver den rejsende sælgers rute. Dette problem er senere blevet generalseret og udvdet tl et Multple Travelng Salesman Problem (m-tsp), hvor m sælgere dæer et gvet antal byer, og hver by må un besøges af én sælger. Hver sælger starter og slutter samme by, som refereres som et depot. Denne nye dé har sn td været grundlaget for VRP, hvlet an ses for værende et m-tsp med undeefterspørgsler samt en apactet for hver sælger. Et esempel på et VRP an ses herunder. 6

7 Fgur 2: Fguren vser et esempel på et VRP, hvor 16 under servceres af 4 øretøjer. Mn Wen (2010). Det er mulgt at se et VRP som en ombnaton af et TSP og et BPP ( Bn Pacng Problem ). Problemet går ort og onret ud på at undersøge, hvor mange asser der mndst sal bruges, for at alle tngene an paes ned. BPP an altså angve en nedre grænse for, hvor mange øretøjer med en apactet Q, der mndst sal anvendes et VRP med et bestemt antal under (der hver sær har en efterspørgsel). VRP s relaton tl de to ombnatorse optmerngsproblemer er således relatv enel; antal øretøjer samt hvle under de tldeles løses ved et BPP, mens ræefølgen de besøges fndes ved at løse det lassse TSP for hvert øretøj. I ombnators omplestetsteor er både TSP og BPP et NP-hårdt problem, som er et af de sværeste problemer, hvorfor VRP også tlhører lassen af NP-hårde problemer. Relatvt små problemer an nemt løses, men når antallet af noder stger, bevæger man sg ud et langt mere omplest problem. V vl dette afsnt e gå dybden med NP-hårde problemer og beregnngsomplestet, men vender tlbage tl det et senere afsnt. VRP har sn oprndelse 1959, hvor Dantzg og Ramser for første gang ntroducerede VRP deres artel "The Truc Dspatchng Problem. Artlen besrver det grundlæggende VRP, dvs. et såaldt Capactated Vehcle Routng Problem (CVRP), som er et af de smpleste VRP. Sden da har verden set tusndvs af artler, som besrver forsellge varanter af VRP og forsøger at gve et bllede af, hvordan man an løse det. Hasle og Kloster defnerer det lassse CVRP som følgende: A number of dentcal vehcles wth a gven capacty are located at a central depot. They are avalable for servcng a set of customer orders, (all delveres, or, alternatvely, all pcups). Each customer order has a specfc locaton and sze. Travel costs between all locatons are gven. The goal s to desgn a leastcost set of routes for vehcles n such a way that all customers are vsted once and vehcle capactes are adhered to., Hasle og Kloster (2007). Herunder llustreres defntonen grafs, for netop at vse prncppet et CVRP. Der er fre øretøjer tl rådghed, hver med en apactet på 10. Kundeefterspørgsler samt rejseudgfter for hver ant er angvet 7

8 fguren. En mulg rute er gvet ved r 1 = ( 0,2,3,0) hhv. 27 og 8. En mulg løsnng er gvet ved { r, r, r r}, hvor den respetve omostnng og leveret mængde er x= med en totalomostnng på , 4 Fgur 3: Her ses et esempel på løsnngen af et CVRP. Mn Wen (2010) Tl daglgt tæner man e over, hvor stor en del af vores omverden egentlg an besrves som et VRP, selvom v ofte selv er et drete ln processen. Der fndes en lang ræe pratse problemstllnger, såsom transport af handappede, sraldndsamlng og dstrbuton af daglgvarer, som alle tlhører lassen af tradtonelle problemer. Der fndes naturlgvs også utradtonelle VRP-problemstllnger, som e følger ovenstående bllede, men dog allgevel ejer vsse VRP aratersta. Dsse vl v omme nærmere nd på næste aptel. Der er prass væsentlge øonomse fordele at hente ved at optmere sne ruteplanlægnngsproblemer. Derfor ser man løsnnngen af VRP som nøglen tl effetv styrng af transport og supply chan -oordnerng. Det er dog e un det øonomse perspetv, der gør VRP så attratvt prass. Servcenveauet er en anden sde af sagen, som også an tages højde for ved bearbejdnng af problemet. Andre mål prass an tænes at være mnmerng af undernes ventetd og tlbud om forsellge typer servce (afhentnng, leverng eller begge). Forsnngen ndenfor VRP har e un betydnng for den pågældende vrsomhed og dets under, men anvendelsen heraf er også en fordel på det globale plan. Hermed menes reducerngen af CO2- udlednng som en estra gevnst ved en effetv ruteplanlægnng. 8

9 1.2 Formål og omfang Med fous på løsnng af VRP og dets mest almndelge udvdelser, vl v ort besrve VRP og dets varanter samt redegøre grundgt for både heurstse og metaheurstse løsnngsmetoder. Dernæst vl v præsentere et vrelghedsnært VRP gennem Københavns fjernvarmenetvær, besrve det som en VRP-varant samt udarbejde en algortme tl dets løsnng. Som følge af dette fous og formål, har v valgt un at besæftge os med de mest almndelge udvdelser tl VRP, og det gælder alle dele af denne afhandlng. Det drejer sg om følgende varanter af det grundlæggende problem; VRPTW, VRPPDTW, VRPBTW og OVRPTW. V har også lagt mndre vægt på dele af rapporten omhandlende esate algortmer, da dsse benyttes forholdsvst begrænset dag. I stedet foreommer metaheurst at være sagen, når det ommer tl løsnng af udvdelser og større problemer. Området for metaheurster har mdlertd vst sg omfattende mere end én forstand. Der fndes utrolg mange typer af metaheurster, der an benyttes tl at løse VRP, men un få specfe algortmer sller sg ud som forholdsvs succesfulde helt op tl den dag dag. V har derfor valgt først at besrve de forsellge metaheurster for VRP på et generelt plan. Baseret på dsse, udvælger og besrver v herefter specfe algortmer, rettet mod løsnngen af bestemte udvdelser. Også her har v valgt at begrænse os tl et llle antal løsnngsmetoder for hver udvdelse. 1.3 Rapportens opbygnng I aptel 2 af rapporten gennemgår v både den matematse notaton og fortolnngen af det grundlæggende VRP samt en ræe af de mest almndelgt foreommende udvdelser prass. Kaptel 3 og 4 udgør en ort overgang tl heursterne ved hhv. at ntroducere begrebet beregnngsomplestet samt de mest almndelge esate algortmer. I Kaptel 5 redegøres for nogle tdlge heurster for hhv. CVRP og VRPTW, mens aptel 6 ntroducerer metaheurst for VRP på et generelt plan og tager dernæst fat de mest succesfulde metaheurster for VRPTW og de øvrge udvdelser, besrevet aptel 2. Kaptel 7 tager udgangspunt et vrelghedsnært esempel på et VRP, præsenterer en algortme og løser problemet. Kaptel 8 udgør onlusonen på denne afhandlng. 9

10 Kaptel 2 The Vehcle Routng Problem 2.1 Det grundlæggende Capactated Vehcle Routng Problem Det grundlæggende problem ndenfor VRP er et Capactated Vehcle Routng Problem (CVRP). Modellen for CVRP har følgende parametre: c j: Omostnng forbundet med at øre fra unde tl j. K: Antal øretøjer. r ( S) : Mndste antal øretøjer tl servcerng af alle under delmængden S, dvs. den optmale værd af BPP tlnyttet undemængden S. n: Antal under alt. Q: Køretøjernes apactet. d : Kunde s efterspørgsel. hvor cjer en ontnuert, e-negatv varabel og de resterende er e-negatve heltal. Samtlge parametre er determnstse. CVRP ndbefatter et centralt depot med ndes = 0 og en homogen flåde af K øretøjer med en apactet Q, der tlsammen servcerer underne = 1,..., n. Kunderne har en determnsts efterspørgsel og hver af dem må un tlnyttes én rute og dermed un servceres af ét øretøj. Målet er at mnmere den totale transportomostnng, gvet at hvert øretøj starter og slutter depotet og apactetsbegrænsnngen er overholdt. Den matematse model an besrves som en graf: Lad G ( V, E) mængden af noder V = { 0,1,...,n} svarer tl at = 1,..., n er underne og = 0 anter, E= {( j) :, j V, j} ( j) E c tlnyttet. Det er e tlladt at benytte løer, ( ) = være en omplet graf 1, hvor er depotet. Mængden af,, består af alle mulge forbndelser mellem noderne og hver ant, har en omostnng j,, hvlet betyder at gå fra en node tl samme node. Hvad angår grafen, an denne opdeles to varanter, enten som en orenteret graf eller som en uorenteret graf, nedenstående fgur llustrerer de to tlfælde for en eomplet graf. Fguren tl venstre er det orenterede tlfælde, det det esplct ses hvlen retnng man sal øre. I modsat fald har man en uorenteret graf (fguren tl højre). 1 En omplet graf er en betegnelse for en smpel graf, hvor alle par af nuder er forbundet med en ant. 10

11 Fgur 4: Esempel på en orenteret og en uorenteret graf for en VRP-løsnng. Hvs G er en uorenteret graf, er der tale om et symmetrs CVRP (SCVRP), det omostnngsmatrcen c er symmetrs. Omvendt vl en orenteret graf lede tl et asymmetrs CVRP (ACVRP). I pratse stuatoner vl omostnngsmatrcen oftest tlfredsstlle treantsulgheden. (2.0) c + cj cj,, j, V Den logse forlarng er, at det e er optmalt at afvge fra en drete forbndelse mellem to punter og j, ved at ndsætte en node mellem dem. Denne betngelse er e en del af den matematse formulerng af problemet, men vsse algortmer for CVRP er treantsulgheden et rav. I sådanne tlfælde, hvs det oprndelge problem e opfylder treantsulgheden, an et tlsvarende problem opnås på en umddelbar måde ved at tlføje en passende stor postv omostnng M tl hver ant. Dog an denne form for operaton producere meget dårlge løsnnger forhold tl de oprndelge omostnnger, da v således ommer frem tl en e-optmal løsnng. Lad os fortsætte den matematse notaton. Som sagt tdlgere har hver unde en determnsts efterspørgsel på d som sal leveres (eller afhentes), hvormod depotet antager en ftv efterspørgsel, d = 0 0. For en gven mængde af under S V \ { 0 }, sal der gælde at d ( S ) = totale efterspørgsel den pågældende delmængde. Sammenholdes dette tl øretøjerne, må det nødvendgvs antages, at d S d Q for hvert, betegner den = 1,..., n, det v ved at de Kdentse øretøjer, som udgår fra depotet, har en apactet på Q. Hvert øretøj får tldelt højst én rute og der antages at Ke er mndre end K mn, hvor K mn betegner det mndste antal af øretøjer der sal tl for at få alle under servceret 2. I samme dur som tdlgere er der gen tale V \ 0 r S betegner det mndste antal øretøjer der ræves om en delmængde S { }, hvor størrelsen ( ) tl servcerngen af alle under S. En vgtg bemærnng denne sammenhæng er, at ( V \{ 0} ) Kmn r =. 2K mn bestemmes ved at løse BPP for det tlhørende CVRP. Selv for hundredvs af elementer an BPP gve en optmal løsnng på trods af NP-hårdheden. 11

12 Den bnære beslutnngsvarabel j løsnng, og 0 ellers. x antager værden 1, hvs anten ( j) E, tlhører den optmale Matemats formulerng af CVRP I det følgende opstlles en matemats formulerng af CVRP. Der er ltteraturen bl.a. nævnt tre forsellge typer af matematse formulernger, der hver sær har sne fordele og ulemper. Typen Vehcle Flow Formulatons benytter heltalsvarable tlnyttet hver ant på grafen. Dsse varables funton er blot at ndere hvorvdt et øretøj ører ad en bestemt ant. I "Commodty Flow Formulatons" forbndes yderlgere heltalsvarable tl anterne, der repræsenterer det flow af varer der er undervejs ruten. "Set Parttonng Problems" opstller et sæt bnære varable for hver mulg rute, hvlet resulterer et esponentelt antal beslutnngsvarable forhold tl antal under, men også gode mulgheder for at tlpasse specfe brugervalgte begrænsnnger. I forbndelse med CVRP benyttes oftest den førstnævnte formulerng, hvorfor v det følgende vælger at tage udgangspunt her. Nedenstående formulerng er gældende for et asymmetrs problem, men an uden besvær tlpasses det symmetrse. Forsellen er blot, at det symmetrse problem er et specaltlfælde af det asymmetrse med et noget mere begrænset mulghedsområde. (2.1) mn (, j) E c j x j (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) Ubb. V \{} j j V \ V x = 1, j V \{0} {} \{ 0} j V \ j x = 1, V \{0} x x { 0} j 0 = K = 0j K (2.6) r( S) S j S x, S V \{0}, S j (2.7) x { 0,1}, (, j) E j Objetfuntonen (2.1) besrver ort at der er tale om mnmerng af de globale transportomostnnger. Betngelsen (2.2) og (2.3) aldes hhv. nd- og udgangsbetngelserne, som srer at der tl hver node un vælges én ndgående og én udgående ant. Tlsvarende srer (2.4) og (2.5), at antallet af ruter, som hhv. forlader og vender tlbage tl depotet, er lg antallet af øretøjer. Den næstsdste bbetngelse endes ved navnet Capacty-cut-constrants (CCC) og har tl formål at undgå subtours løsnngen. En subtour er en rute der udgør en rng uden ontat tl hveren de andre ruter eller depotet. (2.6) lægger den forbndelse både en apactetsbegrænsnng på øretøjerne og srer at hvert mulgt sæt af under er forbundet tl depotet. 12

13 2.1.2 Omsrvnng af Capacty-cut-constrants Imdlertd er de ovenstående CCC-bbetngelser e særlg prats anvendelge forhold tl en løsnngsmodel, hvorfor man typs omsrver formulerngen tl noget lneært. Dette an gøres på forsellge måder, men langt den smpleste vl være at opstlle en tre-ndes model og ndføre hhv. en belastnngsvarabel, B, der betegner belastnngen på øretøj efter node, samt en postv mængde, der sal leveres tl unde, q (denne er oftest lg den efterspurgte mængde). På denne vs behøves der e yderlgere data for at behandle problemet, det belastnngen er bestemt på baggrund af den leverede mængde alene. Når v antager at q 0, vl modellen således unne omsrves tl følgende: 0 = (2.8) mn K (, j) c j x j E Ubb. (2.9) (2.10) (2.11) (2.12) K j V \ V \ V \ x = 1, V \{0} {} j x h xhj = 0,, h V \{0}, K { h} j V \{ h} x j = 1, K { 0} j V \ x j = 1, K { 0} (2.13) (, j) qxj E Q, K x, (, j) E, K (2.14) ( B q B ) = 0 j j (2.15) 0 B Q, V, K (2.16) q = 0 0, V, K (2.17) x { 0,1}, (, j) E j j Hvor (2.13) ndeholder apactetsbegrænsnngen, så ndeholder (2.14)-(2.16) betngelsen om forbundethed ved at defnere varablen B. Såfremt øretøj ører mellem node og j, sal belastnngen efter servce af j være lg belastnngen efter mnus den mængde der blver leveret tl j. På denne måde vl subtours e unne lade sg gøre, det belastnngen fortsat sal være postv. 13

14 Betragt det tlfælde, hvor underne efter servce af unde 2 være mndre end belastnngen = 1K,,n udgør en subtour. Ifølge (2.14) vl belastnngen mængde q 2 er blevet leveret tl unde 2 af øretøj. På samme vs vl endelg ører mellem unde n s og 1, vl belastnngen { 1, } q > 0, K,, vl dette medføre følgende: n s s B < B 2 B 1 efter servce af unde 1, da en postv Bn s B3 B2 < og når øretøj 1. Men her sprnger æden af. Såfremt (2.18) B1 > Bn > B s 1 >K. Dette an e opfyldes, hvorfor subtours vl være elmneret fra problemet. V sal senere se, at der er andre måder at omsrve CCC-betngelserne på, som er særdeles pratse når det ommer tl udvdelserne af CVRP. 2.2 Udvdelser tl problemet Indtl vdere har v udeluende betragtet det lassse CVRP. Desværre passer langt de fleste af VRP prass e nd dsse meget forsmplede typer af problemer, det v den enelte branche oftest fnder araterstse træ. Lad os ort redegøre for, hvle typer af yderlgere begrænsnnger man an forvente at se sådanne pratse problemer. Depot: Der an esstere mere end ét depot, således at øretøjerne e nødvendgvs behøver at ende deres rute på samme depot, hvorfra de er ommet. Køretøjer: Køretøjerne an nemt være heterogene med forsellg apactet og ndretnng. F.es. an et øretøj have flere rum, hvert tl sn type vare og med hver sn apactet. Der an være tale om en asymmetrs omostnngsmatrx, som betyder at det e oster det samme at transportere fra a tl b, som fra b tl a. De an have andre specelle aratersta, som betyder at bestemte under un an betjenes af en bestemt type øretøjer. Et øretøj an bruges tl mere end én rute og altså sendes ud gen efter at være vendt tlbage tl depotet. Og så er der e mndst forsel på, hvorledes omostnngerne gøres op varable (pr. afstand, pr. tdsenhed) og faste (pr. rute) omostnnger. Chauffører: I dag fnder v mange rav fra bl.a. fagforennger om arbejdstd, pauser, overtd osv. Mange af dsse betngelser an dog uden vdere overføres tl øretøjerne, og chaufførerne ndgår således e drete problemet. Kunder: Der an nemt efterspørges mere end blot én vare, noget der omplcerer ruteplanlægnngen yderlgere. Derudover an der være brug for e un at levere en vare, men også opsamle varer hos andre eller selvsamme under. Der an foreomme bestemte tdspunter og/eller -ntervaller for hver unde, hvor unden sal servceres der an f.es. være tale om undens åbnngstder. Nogle under an det være tlladt at servcere adsllge gange med forsellge øretøjer. En vrsomhed an have særlge præferencer for nogle af deres under, f.es. de der ndgår som en væsentlg del af deres 14

15 ndtjenngsgrundlag. Der an være varer eller personer der sal afhentes ét sted og leveres et andet. Kunder an også have brug for servce mere eller mndre jævnlgt. Objetfunton: Normalt vl det være mulgt at formulere problemet tl et smpelt spørgsmål om at mnmere den totale afstand mellem noderne ruten. Dog an man nemt forestlle sg, at flere mål an have nteresse. Her an som esempel nævnes masmerng af undetlfredshed, proft eller mnmerng af antal øretøjer, tdsforbrug, arbejdsbelastnng, eller endda CO 2 -emmsoner og andre mljøpåvrnnger. Hver af dsse an sg selv være anlednngen tl problemet, men en vrsomhed an have adsllge nteresser som sal tages højde for samtdg og evt. prorteret ræefølge. Rute: Udover de allerede nævnte udvdelser, vl v vrelgheden se meget forsellgartede problemer, noget der ændrer den måde ruten ser ud på. Tag som esempel Open VRP (OVRP), hvor øretøjerne e er pålagt at vende tlbage tl depotet, men hvs de gør, sal det gøres ved at besøge hver af underne omvendt ræefølge. Userhed: Et stort område nden for ruteplanlægnng omfatter userhed. Der an være tale om stoasts efterspørgsel og/eller placerng af under; dvs. noget der e endes med serhed fra starten af, når øretøjerne sendes ud. I nogle tlfælde vl en sandsynlghedsfordelng være endt, andre e. Alle dsse mulge udvdelser og begrænsnnger tl det grundlæggende CVRP vl føre tl forsellge stereotyper af problemer. Herunder an ses et sæt af de mulge standardudvdelser, som ndeholder én eller adsllge af ovenstående aratersta og som vl blve besrevet de følgende afsnt. CVRP VRPB VRPTW VRPPD OVRP VRPBTW VRPPDTW OVRPTW Fgur 5: Vser udvdelserne fra CVRP ved hjælp af ple. Ydermere har alle udvdelser en verson der nluderer tdsvnduer og det er dsse v vl besæftge os med særdeleshed. 15

16 Det sal gen bemæres, at ovenstående er typse udvdelser, og at der naturlgvs an foreomme betngelser fra flere af ovenstående varanter det pågældende problem. Samtdg fndes så mange andre typer af problemer udover de fguren nævnte udvdelser, at det vl være formålsløst at forsøge at besrve dem alle. V vl de ommende afsnt ort besrve de mest foreomne typer af problemer, herunder: The Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows (VRPTW) The Vehcle Routng Problem wth Pcup and Delvery and Tme Wndows (VRPPDTW) The Vehcle Routng Problem wth Bachauls and Tme Wndows (VRPBTW) The Open Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows (OVRPTW) V vælger at ndføre tdsvnduer for alle problemer besrevet dette aptel, det denne type begrænsnnger foreommer langt de fleste problemer prass. Det er forsøgt at holde notatonen ren på tværs af udvdelserne, således at de forholdsvs oversuelgt an sammenlgnes. Blandt andet derfor har v de følgende formulernger valgt at mnmere de totale transportomostnnger, og v vl udeluende besæftge os med homogene øretøjer The Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows VRPTW er én af de mest endte udvdelser tl det lassse CVRP. Køretøjet sal begynde servce af en unde ndenfor det angvne tdsvndue og blve der ndtl servce er afsluttet. Med hårde tdsvnduer er det e tlladt at anomme senere end det specfcerede nterval, og hvs øretøjet ommer for tdlgt, vl det være nødt tl at vente tl starten af tdsvnduet før servce påbegyndes. Med bløde tdsvnduer vl det godt unne lade sg gøre, men det ser med en omostnng eller straf. V vl resten af denne afhandlng antage, at v har med hårde tdsvnduer at gøre, medmndre andet er specfceret. Problemet endes fra bl.a. bustransport eller dverse servce-vrsomheder, hvor en unde blver tldelt et tdsrum, hvor de sal være tl stede og tage mod servcen (fx paepost, vand- og varmeaflæsnng, hjemmepleje m.fl.). Matemats Formulerng V lader node 0 være depotet, hvorfra hvert af de homogene øretøjer K udgår og node n + 1 G = V, E være en orenteret graf, hvor være depotet hvor de ommer tlbage. Lad ( ) V = { 0 } U CU{ n+1} er mængden af samtlge noder nl. depot, C { 1, K,n} og E = {(, j) :, j V, j} er mængden af anter. = er mængden af under Tl hver unde er nyttet en efterspørgsel d samt en servcetd s, som betegner den td det tager at servcere unde, og dermed hvor lang td øretøjet må forblve på stedet. [ a, b ] betegner tdsvnduet, hvor servcerng af den te unde sal være påbegyndt. Et øretøj er tlladt at anomme tl unde før tdsvnduet, men så fald må servce e påbegyndes før a. Dertl ommer at t j betegner rejsetden mellem unde og unde j. Per onstruton sættes d 0 og s 0 for depotet. Q betegner øretøjernes apactet. 0 = d n + 1 = 0 = s n+ 1 = 16

17 Lad x være bnære beslutnngsvarable, der er lg 1 hvs øretøj tlbagelægger afstanden (, j) E j og 0 ellers. Der er nyttet omostnngerne c j tl hver ant og ydermere defneres de ontnuerte tdsvarable w som s start på servce af unde. V srver modellen op som følger: (2.20) mn K (, j) c j x j E Ubb. (2.21) (2.22) K j V \ V \ x = 1, C {} j x h xhj = 0, h C, K { h} j V \{ h} (2.23) (, j) E dxj Q, K (2.24) (2.25) j V \ V \ x 1, K { 0} { n+ 1} 0 j = x 1, K, n+ 1 = (2.26) x { 0,1}, (, j) E, K j x, (, j) E, K (2.27) ( w + s + t w ) 0 j j (2.28) a w b, V, K (2.29) w 0, V, K j Objetfuntonen (2.20) mnmerer de samlede transportomostnnger. (2.21) srer, at ét og un ét øretøj betjener hver unde. Betngelsen (2.22) angver, at hvs øretøj anommer tl unde h, sal det samme øretøj også forlade h. For hvert øretøj, må mængden af servcerede under følge (2.23) e oversrde øretøjets apactet. (2.24) og (2.25) dterer, at hvert øretøj sal forlade hhv. anomme tl depotet præcs én gang. Med (2.27) må servce af unde j e påbegyndes før der er gået mndst s + tj sden servce af unde blev påbegyndt, dvs. servce an e startes før øretøjet er anommet tl unden. Med ulghedstegnet er det dermed også tlladt, at servce af j påbegyndes senere end anomsten. Centralt denne varant af VRP angver (2.28), at servce sal påbegyndes ndenfor undens tdsvndue, eller for depotet, dets åbnngstd. Toth og Vgo (2002) besrver, hvorledes (2.27) an opsrves på lneær form ved: 17

18 (2.30) w w + s + t M( x ) j 1, (, j) E, K j j Hvor M er et tlstræelgt stort tal, således at bbetngelsen stadg er opfyldt (men e bndende) for de anter, der e tlbagelægges af et øretøj. Denne omsrvnng an lette den beregnngsmæssge løsnng af problemet. Som det bemæres, undgår v også CCC-betngelserne fra det oprndelge CVRP dette problem. V har apactetsbegrænsnngen (2.23), og selv om v e har en belastnngsvarabel, der på den måde elmnerer subtours, så ndgår her tdsvarable, w, der har samme effet. Forbndelsen mellem alle noder sal være tdsmæssgt sammenhængende og af samme logse ræsonnement som forrge aptel er det derfor lart, at (2.27) elmnerer subtours. Dette vl være gældende for samtlge problemer med tdsvnduer, hvorfor de følgende problemer også vl opfylde ravet om forbundethed The Vehcle Routng Problem wth Pcup and Delvery and Tme Wndows I VRPPDTW har v nu, stedet for et sæt under, et sæt ordrer om at transportere en mængde genstande fra ét sted tl et andet. Det betyder rent prats, at afhentnngen sal se før leverngen og at de to noder, der repræsenterer hhv. afhentnng og leverng, sal ndgå samme rute, tlbagelagt af samme øretøj. Ét af de bedste esempler på denne type problemer er en tax-central, som modtager en ræe opald, ordrer om at transportere personer fra ét sted tl et andet. Bemær, her antager v at for hver afhentnngsnode er der én og un én leverngsnode, det er altså e tlladt at personer der samles op samme sted blver sat af forsellge steder. Matemats Formulerng Betragt problemet med et enelt depot, der udsender et sæt øretøjer tl at servcere n ordrer af = 1K,,n og n levernger ved node Pcup and Delvery -typen, dvs. n afhentnnger ved node ( ) n+ = ( n+1k,, 2n). V lader node 0 og 2 n + 1 være hhv. depotet hvorfra hvert af øretøjerne K udgår og hvor de ommer tlbage. Lad G = ( V, E) være en orenteret graf, hvor V = { 0 } U PUDU{ 2n+ 1} er mængden af samtlge noder nl. depot, P = { 1K,, n} er mængden af afhentnngssteder og D= { n+1k,, 2n} er de tlsvarende leverngssteder. E = {(, j) :, j V, j} er mængden af anter på grafen. Tl forsel fra VRPTW, specfcerer d mængden der sal afhentes og leveres ved node, hvorfor der gælder, at d = d + > 0 ( = 1, K, n). Depotet har ngen servcetd eller efterspørgsel og derfor n sættes s s 0 og d d 0. 0 = 2n+ 1 = En ny varabel, 0 = 2n+ 1= B, betegner belastnngen på efter node. V srver modellen op som følger: 18

19 (2.31) mn K (, j) c j x j E Ubb. (2.32) (2.33) (2.34) (2.35) K j V \ V \ j V \ x = 1, P {} j x h xhj = 0, h PU D, K { h} j V \{ h} V \ x 1, K { 0} 0 j = x 1, K { 2n+ 1}, 2n+ 1 = (2.36) x { 0,1}, (, j) E, K j x, (, j) E, K (2.37) ( w + s + t w ) 0 j j (2.38) a w b, V, K (2.39) w 0, V, K (2.40) ( B + d B ) = 0 j j j j x, (, j) E, K (2.41) d B Q, P, K (2.42) 0 B Q+ d, D, K (2.43) = 0 B, { 0,2n+ 1}, K (2.44) (2.45) j V \ x j xj, n+ = 0, P, K {} j V \{} w s + tn+ wn+ +,, P, K (2.32) srer, at ét og un ét øretøj servcerer hvert afhentnngssted og at samtlge afhentnngssteder blver servceret. Betngelsen (2.44) angver, at hvs øretøj opsamler ved node, sal samme øretøj også levere ved node n+. Og da samme øretøj servcere n+ som servcerede, så er betngelsen (2.32) mplct også opfyldt for alle leverngssteder. Såfremt øretøj ører mellem node og j, sal belastnngen efter servce af j følge (2.40) være lg belastnngen efter nlusv den mængde der 19

20 leveres tl j. (2.41)-(2.42) ndeholder apactetsbegrænsnngen for hvert øretøj og følge (2.43) er belastnngen på depotet ved start og slut lg 0. Sdstnævnte ses lart, det hver opsamlet mængde sal leveres af samme øretøj nden det an vende tlbage tl depotet. Betngelse (2.45) tvnger øretøjet tl at besøge afhentnngsstedet tdsmæssgt før leverngsstedet n The Vehcle Routng Problem wth Bachauls and Tme Wndows I VRPBTW sal varer fragtes fra et centralt depot rundt tl en ræe under, der hver an hhv. efterspørge en vare eller ønse en vare afhentet. Under bl.a. apactetsbegrænsnnger og under hensyn tl tdsvnduer for underne, gælder det nu om at mnmere de totale transportomostnnger, samtdg med at al leverng (lnehaul) sal se før afhentnng (bachaul). Problemet er grunden meget lg VRPPDTW, men her fyldes øretøjerne altså på depotet og leverer varerne tl de under der efterspørger dem, før de sdst på deres rute ører rundt og samler varer op. Denne grundlæggende antagelse, at al leverng ser før afhentnng, ommer af, at det ofte e er mulgt (eller øonoms fornuftgt) at omarrangere varerne øretøjet ved hvert stop, hvlet nemt an være nødvendgt, hvs det e er de samme varer der leveres, som dem der afhentes. Derfor leveres der først, således at der blver gjort plads tl de varer der senere sal læsses. Derudover ses leverng tl under oftest som en højere prortet prass end afhentnng. I prass fnder v denne type problemer ndenfor produtonsvrsomheder, der sørger for både leverng af produter samt afhentnng af råmateraler fra leverandører. Det vl også være at fnde restauratonsbranchen og ved leverng tl større supermaredsæder. Matemats Formulerng I stl med VRPPDTW deler v underne to mængder, lnehaul L = { 1K,,n} og bachaul B = { n+ 1K,, n+ m} ; lad node 0 og n +m+ 1 være hhv. depotet, hvorfra hvert af øretøjerne K udgår og hvor de ommer tlbage. G = ( V, E) defnerer en orenteret graf, hvor V = { 0 } U LUBU{ n+ m+1} er mængden af samtlge noder nl. depot og E = {(, j) :, j V, j} er mængden af anter på grafen. Hver unde har nu en e-negatv efterspørgsel d, der svarer tl den mængde der hhv. ønses leveret eller afhentet. Per onstruton sættes d 0 og s 0. Modellen opstlles som følger: (2.46) mn Ubb. K (, j) c j xj E 0 = d n+m + 1 = 0 = s n+m + 1= (2.47) K j V \ x = 1, LUB {} j 20

21 (2.48) V \ x h xhj = 0, h LU B, K { h} j V \{ h} (2.49) (2.50) (, j) (, j) dxj L dxj B Q Q, K, K (2.51) (2.52) (2.53) j V \ V \ { } x 1, K { 0} 0 j = x 1, K { n+ m+ 1}, n+ m+ 1= x j 0 UL j BU + 1 { n+ m } = 1, K (2.54) x { 0,1}, (, j) E, K j x, (, j) E, K (2.55) ( w + s + t w ) 0 j j (2.56) a w b, V, K (2.57) w 0, V, K j Kapactetsbegrænsnngerne for hhv. lnehaul- og bachaulnoder fndes (2.49)-(2.50), der med fordel an srves på denne form, det øretøjet er tomt på anten mellem overgangen fra lnehaul tl bachaul. (2.53) er den centrale bbetngelse VRPBTW, det den er tlstræelg tl at sre, at lnehaulunder servceres før bachaulunder The Open Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows OVRPTW lgner på næsten alle områder VRPTW, men med den estra betngelse, at øretøjerne e er pålagt at vende tlbage tl depotet efter endt servce, men hvs de gør, sal det foregå ved at besøge de samme under omvendt ræefølge. 21

22 Problemet an opdeles følgende 3 typer: 1) Kun leverng: Køretøjerne står for at levere varer tl vrsomhedens under og det er e nødvendgt at vende tlbage tl depotet efter endt servce. 2) Kun afhentnng: Køretøjerne står udeluende for afhentnng af varer, der sal leveres tl depotet og an dermed starte ved noden for enden af ruten der går tl depotet. 3) Både afhentnng og leverng: Efter leverng tl alle under på ruten, tager øretøjerne turen tlbage tl depotet mens de afhenter varer hos samtlge under omvendt ræefølge, eller efter afhentnng fra alle under på ruten, tager øretøjerne turen fra depotet med varer tlbage tl underne omvendt ræefølge. Heraf ses, at OVRPTW rent fats er et specaltlfælde af VRPBTW, blot hvor returruten er fastlagt tl de allerede besøgte under. Rent grafs ser problemet ud som et fra depotet udgående Spannng Tree, hvor samtlge noder sal besøges og hver node højst er forbundet tl 2 andre en foregående og en efterfølgende. Der vl med andre ord e foreomme rng-ruter, hvor øretøjerne både starter og slutter ved et depot deraf navnet, et åbent VRP. Denne type problemer fndes mange vrsomheder dag, det det er blevet mere populært at outsource e-essentelle arbejdsopgaver, så der an oncentreres om erneatvteterne. Således fnder v vrsomheder, der e selv står for leverng af varer tl deres under, enten ford de e har øretøjer tl at foretage leverng, ford de e har no tl at tlfredsstlle samtlge under, eller ford de ønser at slppe for vsse omostnnger forbundet ved at have en flåde af øretøjer, såsom reparaton og vedlgeholdelse. De esterne øretøjer er dermed e pålagt at vende tlbage tl depotet, men er frtstllet efter endt servce og øretøjet er tømt for varer. Erhverv hvor denne type problemer er stært foreommende: Offentlg transport som busser og tog, flytransport (ofte med smultan afhentnng og leverng samt tdsvnduer) og f.es. leverng af froost tl soler. Matemats Formulerng V vl her benytte stort set samme notaton som for VRPTW. Dog betegner = 0 nu depotet for både V = 0 U C, C= 1, K, n. I de tlfælde hvor esterne øretøjer revreres, anomst og afgang, hvorfor { } { } vl det mange gange være nødvendgt at nddrage en fast omostnng problemet, hvorfor parameteren f ndføres og betegner den faste omostnng. er atv og 0 ellers. V srver modellen op som følger: y er en beslutnngsvarabel der er lg 1 hvs øretøj (2.58) mn Ubb. K (, j) c j E x j + K f y (2.59) K j V \ x = 1, C {} j 22

23 (2.60) V \ x h xhj = 0, h C, K { h} j V \{ h} (2.61) (, j) E dxj Q, K x, (, j) E, K (2.62) ( w + s + t w ) 0 j j (2.63) a w b, V, K (2.64) x { 0,1}, (, j) E, K j (2.65) w 0, V, K (2.66) { 0,1} y, K j (2.67) x, (, j) E, K j y Indtl nu er ovenstående blot et standard VRPTW, hvor v har fjernet bbetngelserne hvor depotet ndgår. Følgende bbetngelser sal ydermere opfyldes, alt efter hvlen af de førnævnte typer af problemer man står overfor. 1) Kun leverng: (2.68) (2.69) j V \ V x 1, K { 0} \{ 0} 0j x 0, K 0 = Ved leverng foreommer un afgange fra depotet og e anomster. Bemær, da e alle øretøjer nødvendgvs er atve, vl (2.68) e altd være bndende. 2) Kun afhentnng: (2.70) (2.71) j V \ V \ x 0, K { 0} { 0} 0 j = x 1, K 0 Her ses det omvendte tlfælde, hvor un anomster tl depotet er tlladt, mens de pågældende bbetngelser dog stadg e nødvendgvs er bndende. 23

24 3) Både afhentnng og leverng: (2.72) (2.73) (2.74) j V \ V \ x 1, K { 0} { 0} 0j x 1, K 0 x =, (, j) E, K j xj Ford der foreommer både afhentnng og leverng, vl både anomster og afgange tl/fra depotet være mulge. V ndfører dog den betngelse at såfremt tlbagelægger strænngen tl j, sal samme øretøj også øre fra j tl. På den måde ommer øretøjet tl at tage samme tur tlbage gennem punterne efter endt leverng hhv. afhentnng Øvrge Udvdelser Indtl nu har v ndført 4 varanter tl det lassse VRP, men der er naturlgvs langt flere, det verden er fyldt med problemer af specel arater. I dette afsnt vl v ort redegøre for nogle af de vgtgste rent pratse sammenhænge, for at fuldstændggøre blledet af en rg verden af VRP og e mndst størrelsen og omfanget af emnet. Heterogent Vehcle Routng Problem V har allerede berørt spørgsmålet om heterogene eller homogene øretøjer, men ndtl vdere har v udeluende haft med homogene at gøre. Dog er vrelgheden oftest e så smpel, det der er mange årsager tl, at en vrsomhed vælger at holde en forholdsvs forsellgartet flåde af øretøjer. Som esempel an tages et nternatonalt reder, der er atv ndenfor fragt af både tan og tørlast. Her vl det være nødvendgt med en flåde af sbe, hvor mange er specelt ndrettet tl den type last der sal fragtes, det være sg ole eller ul mm. Der an også være hensyn der sal tages tl lovgvnng byområder og mere eller mndre god nfrastrutur. Alle dsse specelle hensyn betyder, at nogle under udeluende an servceres af bestemte øretøjer, hvlet nødvendggør, at formulerngen omsrves tl at omfatte øretøjer af forsellg arater. Mange af dsse omsrvnnger an umddelbart tlsrves følgende: Opdelngen faste og varable omostnnger Forsellge omostnnger for hvert øretøj Begrænset antal øretøjer af hver type Kunders præferencer for bestemte øretøjer (prortetshensyn) V henvser tl Mn Wen (2010) for den matematse formulerng af dsse hensyn. Perods Vehcle Routng Problem Indenfor mange brancher vl der forbndelse med et produt være regelmæssge eftersyn med hensyn på vedlgeholdelse, hvorfor underne sal besøges med en vs frevens. Alt efter undens og produtets arater an dette se med forsellge ntervaller, hvlet betyder, set over en perode, at ruterne 24

25 varerer på dag-tl-dag bass. Denne type problemer aldes PVRP, hvor målet er at mnmere de totale transportomostnnger over hele peroden, således at undernes efterspørgsel og frevensrav tlfredsstlles. Typs vl dette nvolvere opstllngen af en 4-ndes model, der, forhold tl de dette afsnt ndførte 3-ndes modeller, yderlgere tlføjer et ndes over den ønsede tdsenhed. For en dybere forståelse af problemet og den matematse formulerng, henvser v tl Mn Wen (2010) og S. Coene, A. Arnout og F. C. R. Spesma (2008). VRP med stoasts efterspørgsel En anden vgtg udvdelse, VRPSD, har at gøre med stoasts efterspørgsel. V har ndtl vdere haft fuld nformaton vedrørende unders efterspørgsel (determnsts efterspørgsel), men for mange vrsomheder er efterspørgslen uendt på det tdspunt ruten optmeres. Typs vl man dog unne antage en sandsynlghedsfordelng. En ndlysende løsnng vl være smpelthen at optmere ruten efterhånden som efterspørgslen blver endt. Men som D. J. Bertsmas (1991) srver deres artel, er der adsllge ulemper ved denne metode: Typs optmeres ruterne e daglgt, hvorfor det vl ræve estra ressourcer ved f.es. daglg optmerng. Desuden an der være andre hensyn at tage, f.es. tl personlg og regelmæssg servce. Og for det tredje er det e sert, at efterspørgslen endes før unden rent fats besøges. Bertsmas foreslår derfor, at man fastlægger en a pror sevens af under, som dermed besøges denne ræefølge uanset efterspørgslen. Afhængg af om nformaton fra underne om deres behov blver tlgængelg, an to strateger nu anvendes: 1) En strateg hvor efterspørgslen e endes før unden rent fats besøges, hvorfor underne, der sal servceres den pågældende dag, udvælges og besøges den a pror fastlagte rute. 2) En strateg lg den 1), men hvor efterspørgslen af en eller anden grund er blevet endt forud for rutens begyndelse, hvorfor de under der e ræver servce an sppes fra den a pror fastlagte rute. Tlbage mangles nu un en måde at fastlægge denne a pror sevens af under på, for således at have en lar fremgangsmåde. Såfremt der ønses en dybere forståelse af problemet, henvser v tl Dmstrs J. Bertsmas (1991). 25

26 Fgur 6: Ovenstående llustrerer hhv. strateg 1 og 2 forhold tl en a pror fastlagt sevens af under. Bertsmas (1991). Dynams Vehcle Routng Problem Meget lg VRPSD har v DVRP at gøre med userhed tdspuntet for ruteplanlægnngen, men her angående dentteten (og placerngen) af underne. Denne type af problemer ses blandt andet ved udrynng af den ene eller anden art (polt, ambulance), eller andre stuatoner, hvor en rute forvejen er fastlagt og der derefter anommer yderlgere anmodnnger fra andre under, som nu sal passes nd med de essterende (se nedenstående fgur). 26

27 Fgur 7: Allan Larsen (2000) Her sal der tages højde for både den nuværende poston af øretøjet, placerngen af unden samt evt. tdsvnduer. Det er e sert der fndes en mulg løsnng, hvorfor unden må servceres en efterfølgende dag eller henvses tl en anden dstrbutør/omdeler. Allan Larsen (2000) opstller en ræe punter, hvor de dynamse problemer adsller sg fra de statse. Herunder nævnes ort de vgtgste: Hvor en tdsdmenson oftest e er rts det statse tlfælde, er det nødvendgt det dynamse at det vdes, hvor et bestemt øretøj er på et bestemt tdspunt forhold tl en evt. unde der sal passes nd ruten, e mndst hvs der er tdsvnduer nvolveret. Problemet følges oftest med en ræe uendte fatorer, hvor un en sandsynlghedsfordelng er approsmeret, såsom stoasts efterspørgsel. Da der ser løbende opdaternger, sal der være opdaterngsmeansmer, som ntegrerer ny nformaton en mulg løsnng. Anomsten af nye under sætter også sne rav tl beregnngstd, det der oftest e er td tl at vente tmer på en mulg rute, optmal eller ej. Dette fous på hurtge løsnngsmetoder leder oftest tl dverse forbedrngsheurster (mere herom senere). Objetfuntonen er oftest statse problemer en mnmerng af de totale omostnnger, men det mange parametre er uendte, an det være nødvendgt un at medtage allerede endte parametre eller anden tlpasnng. Pga. det dynamse aspet vl det være sværere at passe under nd en rute, hvorfor tdsvnduer oftest er bløde for at få en mulg løsnng. Desuden er det lart at foretræe en evt. straf forbndelse med overtrædelse af vnduet end helt at mste unden. Såfremt der ønses en dybere forståelse af problemet, henvser v tl Allan Larsen (2000). 27

28 Mult-depot Vehcle Routng Problem En vgtg og prats relevant generalserng af VRP er det såaldte MDVRP. Gvet adsllge depoter og en mængde under der sal servcers fra ét af dsse, er problemet nu 1), at tldele hver unde et depot og 2), at bestemme et sæt optmale ruter der mnmerer de samlede transportomostnnger. Oftest er løsnngsmetoder tl denne type problemer netop baseret på en ndledende cluster-fase, der grupperer under efter hvlet depot de sal servceres af, efterfulgt af en onstrutonsfase der danner ruterne. I et standard MDVRP er adsllge øretøjer placeret på adsllge depoter og øretøjerne returnerer tl deres oprndelge depot efter at have besøgt deres tldelte under. Denne udvdelse an dog benyttes forbndelse med ethvert type VRP. V vl derfor heller e placere problemet en specf branche, da de an due op næsten alle typer problemer. 28

29 Kaptel 3 Esate algortmer Inden v går vdere tl de heurstse algortmer, følger her en ort redegørelse for state-of-the-art esate metoder, der, modsat de heurstse, søger en optmal løsnng. Dsse an tl en vs grad benyttes prass, om end un tl løsnng af problemer mndre målesto. Af formulerngerne aptel 2 fremgår det lart, at hvad v har med at gøre er et lneært heltalsproblem, mere specft med bnære beslutnngsvarable. Denne type problemer er som besrevet forrge aptel oftest ΝΡ-hårde, hvorfor beregnngstderne på esate algortmer hurtgt an løbe op estremer. Derfor søges det at sære raftgt af på mulghedsområdet, for at spare både td og masnraft. Laporte (1991) foreslår en opdelng af de esate algortmer følgende typer: Søgetræsalgortmer Dynams programmerng Lneær heltalsprogrammerng V vl det følgende gennemgå nogle af de mest fremtrædende esate algortmer tl løsnng af VRP. Dynams programmerng er dog et stort emne, som v e vl besæftge os med her. 3.1 Branch-and-Bound algortmer Af alle esate metoder er det onsensus ltteraturen 3, at specelt Branch-and-Bound -baserede algortmer an levere gode, brugbare løsnnger tl e blot VRP, men tl lneære heltalsproblemer generelt. Metoden er en søgetræsalgortme, hvor der, ved at ndføre øvre og nedre grænseværder, forsøges at afsære dele af løsnngsrummet, således at en total gennemsøgnng e er nødvendg. Lad os betragte et mnmerngsproblem. Algortmen brancher, eller forgrener sg, ved at dele et problem op 2 eller flere subproblemer på følgende vs: Ved hvert trn algortmen vælges et problem S fra mængden af subproblemer S (ntalt er un det oprndelge problem ndeholdt S ). Lad nu η være en nedre grænseværd for S 4 ; en almndelg måde at vælge sådan en grænseværd på, er ved at løse en LP relaserng af det oprndelge problem. Når der løses en relaserng af det oprndelge problem, vl v få en løsnng der højst sandsynlg e er optmal, hvorfor dette blver en naturlg ny øvre * * grænseværd ϕ for fremtdge mulge løsnnger, det dårlgere løsnnger an sorteres fra. ϕ an * starten sættes tl medmndre andet er oplyst. (1) Derfor, hvsη >ϕ, forastes løsnngen og grenen * * afsæres fra søgetræet. (2) Hvs der genereres en heltalsløsnng, hvor η <ϕ, sættes ϕ =η. Såfremt S S for hvle (1) gælder, an dsse trygt fjernes fra S. Såfremt S stadg er ndeholdt S, 3 Se f.es. P. Toth, D. Vgo (2002): Branch-and-bound algorthms for the capactated VRP, The Vehcle Routng Problem, chapter 2. 4 For at specfcere, der er tale om en nedre grænseværd på objetfuntonen. 29

30 branches problemet tl nye subproblemer der føjes tl mængden S. Nu vælges et nyt S fra Sog proceduren startes forfra. Algortmen stopper når samtlge subproblemer er behandlet og un ét element essterer mængden af anddatløsnnger S, dvs. S = 1. På denne vs an v nøjes med at benytte nogle af bbetngelserne det oprndelge problem og tlføje resten om nødvendgt. Denne relaserng er den generelle tlgang ndenfor branch-and-bound, men hvorledes en nedre grænseværd bestemmes eller hvle relasernger der ndføres, fndes der mange forslag tl, alt efter hvlen type formulerng der tages udgangspunt. Lad os se på et par esempler på LP relaserng Transportproblem Den første og mest smple relaserng af CVRP er helt at se bort fra CCC-betngelserne (se formel (2.7)). Dermed transformeres problemet tl et typs transportproblem, som mnmerer transportomostnngerne under betngelse af, at hver unde besøges én gang og depotet besøges K gange. Der er dog en væsentlg rso for, at løsnngen e er mulg, det v her helt ser bort fra øretøjernes apactet og e mndst forbundethedsrteret, som dermed mulggør subtours løsnngen Assgnmentproblem Det oprndelge CVRP an også formuleres som et m-tsp, et TSP hvor en node besøges m gange, f.es. depotet, som foreslået af Lenstra og Rnnooy Kan (1975). Herfra an CCC erne gen relaseres, hvorved problemet an behandles som et assgnmentproblem. Men dette vl have samme mangler som ovenstående transportproblem Lagrange relaserng Lagrange relaserng er meget anvendt heltalsproblemer. Her vælges den eller de bbetngelser ud som omplcerer problemet, flyttes op objetfuntonen og ganges med en lagrangemultplator. Dermed vl bbetngelsen e længere være nær så streng, det den blot tlføjer en straf tl objetfuntonens værd, såfremt den e opfyldes. Denne metode benyttes også for mange af udvdelserne tl det oprndelge VRP, som f.es. tdsvnduer. 3.2 Branch-and-Cut algortmer En anden ofte anvendt metode er branch-and-cut, som er en varant af branch-and-bound og lgeledes en søgetræsalgortme. Ved at basere metoden på en såaldt cuttng plane -algortme, formår metoden at lare langt større problemer end branch-and-bound. Lad P være mængden af CCC-betngelser tl problemet, udvælg en delmængde Pˆ tl at ndgå problemet og løs relaserngen. Er løsnngen mulg forhold tl det oprndelge problem, er det også en optmal løsnng. Såfremt én eller flere bbetngelser P overtrædes (også aldet cuttng planes ), tlføjes de tl Pˆ og processen gentages. Ved at generere cuttng planes tl det oprndelge problem (og 30

31 evt. ved hver node søgetræet), er det mulgt at forbedre de nedre grænseværder og dermed hurtgere nå frem tl en løsnng. Et esempel ses nedenstående fgur, hvor mulghedsområdet er ndranset med tye lnjer, de grå punter er heltallge løsnnger og den optmale LP-løsnng er ndranset med en punteret lnje. Lnjerne L 1 og L 2 repræsenterer begge gyldge ulgheder 5. Dette ses lart, det ngen af dem udeluer nogle heltallge løsnnger. L 2 er dog e blot gyldg, den er også en cuttng plane, det den særer en del af mulghedsområdet (og dermed søgetræet), og lge dette tlfælde ydermere resulterer en ny optmal løsnng tl problemet. Fgur 8: Jennfer L. Rch (1999) 3.3 Kolonnegenererng Kolonnegenererng an bruges tl at løse alle typer LP-problemer, men bruges oftest hvor antallet af varable er estremt højt. Lad Ω være mængden af samtlge varable tl det oprndelge problem. Der vælges første trn af algortmen un en delmængde Ω Ω af varablene problemet (de resterende antages at have værden 0), mens det sres at der fndes en optmal løsnng tl dette relaserede problem. Lad følgende være det relaserede problem, også aldet master -problemet: (3.1) mn ( c T x) Ubb. (3.2) Ax b, x 0 5 En gyldg ulghed er en ulghed, der særer dele af mulghedsområdet væ, som e ndeholder mulge løsnnger. 31